四川省成都市金堂县又新镇永乐场九年级数学下册 3.3 垂径定理 3.4 圆周角与圆心角的关系导学案北师大版 精
2021春北师版九年级数学下册 第3章 3.3 垂径定理
导引:连接OM,ON,OA,OC.
知2-讲
∵ O 为圆心,且M,N 分别为AB,CD 的中点,
∴ AB=2AM,CD=2CN,OM ⊥ AB,ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM,
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC,
∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL).
一定平分OB,所以④不一定正确.本题的易错之 处是对垂径定理理解不透,并且图形画得比较特殊, 因而误认为CD平分OB.
请完成《点拨训练》P156对应习题!
知2-讲
即:如图,在⊙O中,
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平
分弦所对的另一条弧,即:如图,在⊙O中,
CD是直径
CD AE
ABC
知2-讲
例3 如图所示,AB,CD 是⊙ O 的弦,M,N 分别 为AB,CD的中点,且∠ AMN = ∠ CNM. 求证: AB=CD.
∴ AM=CN.
∴ AB=CD.
知2-讲
例4 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧(即 图中 CD ,点O 是 CD 所在圆的圆心),其中CD= 600m, E为 CD 上一 点,且OE丄CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半 径.
知2-讲
解:连接OC.设弯路的半径为Rm,则OF= (R- 90) m.
知1-练
4 【中考·牡丹江】如图,在半径为5的⊙O中,弦AB =6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为( C ) A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(共12张PPT)
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CE=DE,
AC=AD,BC=BD
证明结论
已知:在⊙O中,CD是直径, AABE是=弦BE,,CA⌒DC⊥=AB⌒BC,,垂A⌒足D=为B⌒ED。。求证:
证明:连结OA、OB,则OA=OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以,当把圆沿着
直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆
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例题3 C A 例3 已知:⊙O中弦 AB∥CD。
求证:A⌒C=B⌒D
M
D B
.O
证明:作直径MN⊥AB。
N
∵BMA,B∥CMCD=,D∴MM(⌒N垂⊥直C平⌒D分。弦则的A⌒M直=径⌒平
分弦所对的弦)
A⌒M-C⌒M=BM⌒ -D⌒M
∴A⌒C=B⌒D
C
O
A
A
E
北师大版九年级下册数学教案:3.3垂径定理
举例解释:
-对于定理的理解难点,可以通过动态演示或实际操作,如使用圆规和直尺在黑板上画出图形,让学生直观感受半径平分弦和弧的过程。
-在证明过程中,教师需要逐步引导学生,从已知条件出发,运用已学的几何定理,如圆周角定理、弦切角定理等,逐步推导出垂径定理,并强调每一步的逻辑关系。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决与圆相关的问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是圆的半径垂直于弦时,它平分弦,并且平分弦所对的两条弧。这个定理在解决与圆有关的问题时起着重要作用。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过一个图形,展示如何利用垂径定理求解弦的长度或证明线段之间的关系。
五、教学反思
在今天的课堂上,我们探讨了垂径定理及其在解决实际问题中的应用。回顾整个教学过程,我觉得有几个方面值得反思和总结。
北师大版初中数学九年级下册3.3 垂径定理1
北师大初中数学 九年级
重点知识精选
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北师大初中数学
*3.3 垂径定理
方法总结:我们常常连接半径,利用
半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角
1.理解垂径定理和推论的内容,并会 形,然后应用勾股定理解决问题.
变式训练:见《学练优》本课时练习
“课堂达标训练”第 6 题. 【类型二】 利用垂径定理的推论求边
的长度
如图,点 A、B 是⊙O 上两点, AB=10cm,点 P 是⊙O 上的动点(与 A、B 不 重 合 ), 连 接 AP、 BP, 过 点 O 分 别 作 OE⊥AP 于 E, OF⊥ PB 于 F, 求 EF 的 长.
方法总结:将实际问题转化为数学问 题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定 理等知识进行解答.
变式训练:见《学练优》本课时练习 “课堂达标训练”第 8 题
【类型三】 垂径定理的综合应用 如图,已知圆 O 的直径 AB 垂直
于弦 CD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于 点 F,且 CF⊥AD.(1)请证明:点 E 是 OB 的中点;(2)若 AB=8,求 CD 的长.
二、合作探究 探究点一:垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度
如图所示,⊙O 的直径 AB 垂直 弦 CD 于点 P,且 P 是半径 OB 的中点, CD=6cm,则直径 AB 的长是( )
A.2 3cm B.3 2cm C.4 2cm D.4 3cm 解 析 : ∵直 径 AB⊥DC, CD= 6, ∴ DP= 3.连 接 OD, ∵ P 是 OB 的 中 点 , 设 OP 为 x, 则 OD 为 2x, 在 Rt△ DOP 中 , 根据勾股定理列方程 32+x2=(2x)2,解得 x = 3.∴OD=2 3,∴AB=4 3.故选 D.
九年级数学下册 3.3 垂径定理“垂径定理”与解题思路分析素材 (新版)北师大版
“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据,也是学好本章的基础,在学习中要注意以下几点:一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折,直径两边的两个半圆就会重合在一起。
因此,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折,直径两侧的两个半圆能重合这一事实,指出圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,然后利用这一性质给出了垂径定理,并利用圆的对称性证明。
所以,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中,一是隐含着一条直线;二是该直线具有以下性质:(1)经过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分这条弦,(4)平分这条弦所对的劣弧,(5)平分这条弦所对的优弧。
垂径定理可以简记为:由于垂径定理本身的结论有多个,因此在构造逆命题时也会有多个,这就需要掌握构造逆命题的技巧。
例如:以(1)、(3)为条件的逆命题为:如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径),那么这条直线垂直于弦,且平分弦所对的弧。
类似地,同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。
由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时,这条直线唯一确定,所以,上述九个逆命题都是真命题,它们都是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。
对于这十条定理,同学们切不可死记硬背,关键要抓住它们的特点,即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质,就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时,所说的弦不是直径,这是因为如果这里的弦是直径的话,两条直径总是互相平分的,但它们未必垂直)。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论,主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系,其内容虽然简单,但要能灵活应用却非易事。
北师大版九年级数学下册教学课件-3-3 垂径定理
P D
B
重合.
想一想: 能不能用所学过的知识证明你的结论?
试一试
已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足为P.
求证:AP=BP,
⌒⌒ AC =BC,
A⌒D
⌒ =BD.
证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD, ∴AP=BP,
从而∠AOD=∠BOD.
例4如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段
弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
∴A⌒D =⌒BD,
⌒ AC
=B⌒C.
∠AOC=∠BOC.
·O
AP
B
C
归纳总结 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C 推导格式:
∵ CD是直径,CD⊥AB,(条件)
∴ AP=BP, A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.(结论)
·O
AP
B
D
温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。
∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD.
O. A CED B
5. 如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点 C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为_______.
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
➢特别说明:圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作,探究新知
典型例题
C
例2:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm,弦AB的长为10cm,则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A,B,C,其中点B
的坐标为(4,3),点C坐标为(6,1),则该圆
弧所在圆的圆心坐标为( B )A.(0,0) B.
六、布置作业
教材习题3.3;
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等,那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 .
一、创设情境,引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练,应用知识
1.如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,连接OA,
OB,下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE=BE
B.AD=BD
C.OE=DE
D.∠AOD=∠BOD
2.如图,在☉O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB
四川省成都市金堂县又新镇永乐场九年级数学下册 3.6.2
直线与圆的位置关系2 切线的性质一、学习目标1、知道圆的切线的性质。
2、会运用切线的性质进行证明或计算;3、经历探究、计算、证明的过程,进一步培养分析、推理能力。
4、初步体会反证法的思想方法。
二、学习重点:切线性质的运用。
三、教学过程(一)、知识回顾:直线与圆的三种位置关系是:,和。
(二)、自主学习:当直线l与圆相切时,圆心到直线l的距离等于。
此时,直线与圆有且只有个交点,这个交点叫做直线与圆的。
(三)、合作探究探究1、切线的性质:1.说一说:阅读教材.如图(1),你能讲一讲半径OA与直线l必定垂直的道理吗?圆的切线的性质是:。
如图(一),用符号语言表述为:∵。
∴。
2.议一议:已知,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,过A 作AD 垂直于过C 点的切线于点D ,连接AC 。
求证:AC 平分BAD ∠。
3.做一做: ①如图(2),以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 与小圆相切于点P 。
猜想P 点的特征,并说明理由。
②如图(3),AB 与⊙O 相切于点︒=∠=603,ABO AB A ,。
求⊙O 的半径OA的长。
探究2:切线长定理:切线长的定义:过圆外一点作圆的切线,这一点与切点间的线段2..想一想:如图(4),P 为⊙O 外一点,过P 点作⊙O 的两条切线B A PB PA 、、, 为切点。
说说切线长PA 与 PB 的长度有什么关系,并说明理由。
解:切线长定理:过圆外一点,可引圆的两条切线长,这两条切线长相等。
探究3、弦切角:2.议一 议:如图(5),⊙O 中,AB 为⊙O 的切线,A 为切点,AC 是弦,D 是优弧 AC 上一点.试说明ADC BAC ∠=∠.注:弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的圆同角。
弦切角等于它所夹弧所对的圆心角的 ;也等于它所夹弧的度数的 。
四、当堂测试:1、如图(6),AB 为⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,若,,cm BC cm AB 5.25.1==则AC 的长为 。
【精品】初三九年级数学下册:《3.3 垂径定理》教案
*3.3 垂径定理1.如图,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为E,则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分,则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是______________.2.如图,在⊙O中,直径MN垂直于弦AB,垂足为C,图中相等的线段有__________,相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图,弦AB的长为24 cm,弦心距OC=5 cm,则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示,直径为10 cm的圆中,圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示,秋千链子的长度为3 m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离约为多少?5. “五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图,要把破残的圆片复制完整,已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法,找出弧BAC所在圆的圆心O;(保留作图痕迹,不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形,底边BC=10 cm,腰AB=6 cm,求圆片的半径R;(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数),试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,求OP长的取值范围.思路分析:求出OP长的最小值和最大值即得范围,本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量,在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB,求得OM即可.。
2019-2020年北师大版九年级数学下册教案3.3 垂径定理1
*3.3 垂径定理1.理解垂径定理和推论的内容,并会证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题;(重点)2.利用垂径定理及其推论解决实际问题.(难点)一、情境导入如图①某公园中央地上有一些大理石球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示),他量了下两砖之间的距离刚好是80cm,聪明的你能算出大石头的半径吗?二、合作探究探究点一:垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示,⊙O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是( )A.23cm B.32cmC.42cm D.43cm解析:∵直径AB⊥DC,CD=6,∴DP=3.连接OD,∵P是OB的中点,设OP为x,则OD为2x,在Rt△DOP中,根据勾股定理列方程32+x2=(2x)2,解得x= 3.∴OD=23,∴AB=4 3.故选D.方法总结:我们常常连接半径,利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形,然后应用勾股定理解决问题.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】垂径定理的实际应用如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB︵),点O是这段弧的圆心,C 是AB︵上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是________m.解析:本题考查垂径定理,∵OC⊥AB,AB=300m,∴AD=150m.设半径为R,根据勾股定理可列方程R2=(R-50)2+1502,解得R=250.故答案为250.方法总结:将实际问题转化为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】垂径定理的综合应用如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF ⊥AD .(1)请证明:点E 是OB 的中点;(2)若AB =8,求CD 的长.解析:(1)要证明E 是OB 的中点,只要求证OE =12OB =12OC ,即∠OCE =30°;(2)在直角△OCE 中,根据勾股定理可以解得CE 的长,进而求出CD 的长.(1)证明:连接AC ,如图,∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ,∴AC ︵=AD ︵,∴AC =AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥AD ,∴AF =DF ,即CF 是AD 的垂直平分线,∴AC =CD ,∴AC =AD =CD ,即△ACD 是等边三角形,∴∠FCD =30°.在Rt △COE 中,OE =12OC ,∴OE =12OB ,∴点E 为OB 的中点;(2)解:在Rt △OCE 中,AB =8,∴OC =OB =12AB =4.又∵BE =OE ,∴OE =2,∴CE =OC 2-OE 2=16-4=23,∴CD =2CE =4 3.方法总结:解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二:垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数如图所示,⊙O 的弦AB 、AC 的夹角为50°,M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,则∠MON 的度数是( )A .100°B .110°C .120°D .130°解析:已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵的中点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ,所以∠AEO =∠AFO =90°,而∠BAC =50°,由四边形内角和定理得∠MON =360°-∠AEO -∠AFO -∠BAC =360°-90°-90°-50°=130°.故选D.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题.【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度如图,点A 、B 是⊙O 上两点,AB=10cm ,点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合),连接AP 、BP ,过点O 分别作OE ⊥AP 于E ,OF ⊥PB 于F ,求EF 的长.解析:运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线,然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系,从而解决问题.解:在⊙O 中,∵OE ⊥AP ,OF ⊥PB ,∴AE =PE ,BF =PF ,∴EF 是△ABP 的中位线,∴EF=12AB=12×10=5(cm).方法总结:垂径定理虽是圆的知识,但也不是孤立的,它常和三角形等知识综合来解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在解决问题时才能得心应手.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】动点问题如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解析:当点P处于弦AB的端点时,OP最长,此时OP为半径的长;当OP⊥AB时,OP最短,利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长.解:作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,由垂径定理,得AD=DB=12AB=4cm.又∵⊙O的直径为10cm,连接OA,∴OA=5cm.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD=OA2-AD2=3cm.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结:解题的关键是明确OP最长、最短时的情况,灵活利用垂径定理求解.容易出错的地方是不能确定最值时的情况.三、板书设计垂径定理1.垂径定理2.垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理,由于它涉及的条件结论比较多,学生容易搞混淆,本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法,课前布置所有同学制作一张圆形纸片,课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,环环相扣、逐层深入,激发学生的学习兴趣,收到了很好的教学效果.。
北师大版九年级下册数学教案:3.3 垂径定理
二、猜想探索1.如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M。
(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能找出图中有哪些等量关系?说一说你的理由.条件:①CD是直径;②CD⊥AB结论(等量关系):③AM=BM;④⌒AC=⌒BC;⑤⌒AD=⌒BD。
证明:连接OA,OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,证明完毕后,让学生自行用文字语言表述这一结论,最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ,⌒AD =⌒BD .2.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理?注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦。
通过以上辨析,让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。
3.垂径定理逆定理的探索同伴交流通过以上辨析,让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。
让学生猜想、类OCDB AO CDBAODBAC如图,AB 是⊙O 的弦(不是直径),作一条平分AB 的直径CD ,交AB 于点M 。
(1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由。
条件:① CD 是直径;② AM =BM 结论(等量关系):③CD ⊥AB ;④⌒AC =⌒BC ;⑤⌒AD =⌒BD .让学生模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?反例:让学生模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容。
九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理教学_1
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是,因为
没有(méi yǒu)垂
直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是,因为CD没
有(méi yǒu)过圆心
第七页,共三十页。
归纳(guīnà) 总结
Ø垂径定理的几个(jǐ ɡè)基本图 形:
C
A
O
O
A
EBA
DB
D
E
B D O
C
O A CB
第八页,共三十页。
思考(sīkǎo) 探索
一 垂径定理及其推论
问题:如图,AB是⊙O的一条(yī tiáo)弦, 直径CD⊥AB, 垂足为
P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
: 线段(xiànduàn)
C
弧AP:=BA⌒PC=B⌒C,
⌒⌒ AD=BD
理由如下:
·O
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两
个半圆重合,点A与点B重合,AP与BP A P
F ●O
OECD, D C F1C D1600300(m ).
22
根据勾股定理,得 OC2CF2OF2,
R23002R902.
解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m.
第二十页,共三十页。
针对(zhēnduì) 训练
如图a、b,一弓形(ɡōnɡ xínɡ)弦长4 为6
cm,弓形所在的
圆的半径为7cm,则弓形的高为___2_c_m_或__12.cm
(3)这条直线平分不是直径(zhíjìng)的弦
(4)这条直线平分不是直径的弦所对的 优弧
(5)这条直线平分不是直径的弦所对的 劣弧
九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理课件
为 2分米,若在这个圆内随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形 ABCD
内的概率是( A )
A.π2
B.π9
C.21π
D.2π
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图K-21-5
3 垂径定理(dìnglǐ)
6.如图 K-21-6,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以
点 C 为圆心、CA 长为半径的圆与 AB 交于点 D,则 AD 的长为( C )
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3 垂径定理(dìnglǐ)
三、解答题
13.2018·浦东新区二模 如图 K-21-11,已知 AB 是圆 O 的直 径,弦 CD 交 AB 于点 E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5 3,求弦 CD 的长及圆 O 的半径.
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=OA=OB=6,∴△OAB 是等边三角形.又根据垂径定理
可得,OA 垂直平分 BC,∴OD=AD=3,
在 Rt△BOD 中,由勾股定理得 BD= 62-32=3 3,
∴BC=6 3.故选 A.
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图K-21-4
3 垂径定理(dìnglǐ)
5.如图 K-21-5,正方形 ABCD 的四个顶点均在⊙O 上,⊙O 的直径
图K-21-11
3 垂径定理(dìnglǐ)
解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,连接 OD, ∵∠CEA=30°,∴∠OEM=∠CEA=30°. 在 Rt△OEM 中,∵OE=4,
∴OM=12OE=2,EM=OE·cos30°=4× 23=2 3.
∵DE=5 3,∴DM=DE-EM=3 3.
北师大版九年级数学下册3.3 垂径定理 导学案
*3.3 垂径定理学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程.理解圆的对称性及相关知识.理解并掌握垂径定理.学习重点:垂径定理及其应用.学习难点:垂径定理及其应用.学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例:【例1】判断正误:(1)直径是圆的对称轴.(2)平分弦的直径垂直于弦.【例2】若⊙O的半径为5,弦AB长为8,求拱高.【例3】如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.【例4】如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB于C,OC=3cm,求⊙O的半径长.【例5】如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,EC和DF相等吗?说明理由.如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变?为什么?如图3,当EF∥AB时,情况又怎样?如图4,CD为弦,EC⊥CD,FD⊥CD,EC、FD分别交直径AB于E、F两点,你能说明AE和BF 为什么相等吗?二、课内练习:1、判断:⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.()⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ()⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ()2、已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知:如图,⊙O 中, AB为弦,C 为 AB 的中点,OC交AB 于D ,AB = 6cm ,CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5.储油罐的截面如图3-2-12所示,装入一些油后,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.6.“五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥(如图3-2-16)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图(2)那么这个圆拱所在圆的直径为米.三、课后练习:1、已知,如图在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,求证:AC=BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ,AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分,求:圆心O到弦AB 的距离3、已知:⊙O 弦AB ∥CD 求证:⋂=⋂BD AC4、已知:⊙O 半径为6cm ,弦AB 与直径CD 垂直,且将CD 分成1∶3两部分,求:弦AB 的长.5、已知:AB 为⊙O 的直径,CD 为弦,CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB于F 求证:AE =BF6、已知:△ABC 内接于⊙O ,边AB 过圆心O ,OE 是BC 的垂直平分线,交⊙O于E 、D 两点,求证,⋂=⋂BC 21AE7、已知:AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,BE ⊥CD 于E ,AF ⊥CD 于F ,连结OE ,OF 求证:⑴OE =OF ⑵ CE =DF8、在⊙O 中,弦AB ∥EF ,连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证:AC =DB9、已知如图等腰三角形ABC中,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求ABC的长10、已知:⊙O与⊙O'相交于P、Q,过P点作直线交⊙O于A,交⊙O'于B使OO'与AB平行求证:AB=2OO'11、已知:AB为⊙O的直径,CD为弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F求证:EC=DF。
北师大版九年级数学下册3.3垂径定理学案
北师大版数学九年级下《3.3垂径定理》学案学习目标:1.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理,并会运用其解决有关问题.2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,培养类比分析、猜想探索的能力.3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.学习重点:运用探索、推理,充分把握圆中的垂径定理及其逆定理学习难点:运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明学习过程:一、新知导入1.圆是轴对称图形吗?2.它的对称轴是什么?3.你能找到多少条对称轴?二、新知探究1.如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能图中有哪些等量关系?说一说你的理由.2.垂径定理的内容:______________________________________________几何语言:∵CD是直径,∴_____________、________________、________________3.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理?注意:定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦.4.垂径定理逆定理的探索如图,AB是⊙O 的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.(1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.垂径定理的逆定理: 平分弦(不是直径)的直径________________________________5.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?三、课堂练习1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中错误!未指定书签。
错误!未指定书签。
⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心),其中CD =600m ,E 为⌒CD 上的一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF =90m.求这段弯路的半径.2.如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,且CD ⊥AB ,已知CD = 20,CM = 4,求AB.四、拓展提高1.我是赵州桥,我历史悠久,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。
新北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(12张)
D
AC =AB ,
B
BC =BD.
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
•1、人才教育不是灌输知识,而是将开发文化宝库的钥匙,尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些,这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 8:49:20 AM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志,而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律,一、“不要教过多的学科”;二、“凡是你所教的东西,要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的,是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书,他的责任是教人做人;学生不应该专读书,他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
D
O
A
重 合合,,A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒,C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE=BE,AC=BC,AD=BD
C
.O
E
B
D
总结
垂径定理
3、图形语言
A
1、文字语言
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垂径定理(1)[学习目标]1.理解圆的轴对称性;2.掌握垂径定理及其推论,能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. [学法指导]本节课的学习重点是“垂径定理”及其应用,学习难点是垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明;学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论,并加以应用. [学习流程] 一、导学自习1.阅读教材有关“赵州桥”问题,思考能用学习过的知识解决吗?2. 阅读教材“探究”内容,自己动手操作,发现了什么?由此你能得到什么结论? 归纳:圆是__ __对称图形, ____________ ________都是它的对称轴;3. 阅读教材“思考”内容,自己动手操作: 按下面的步骤做一做:(如图1)第一步,在一张纸上任意画一个O ,沿圆周将圆剪下,作O 的一条弦AB ; 第二步,作直径CD ,使CD AB ⊥,垂足为E ; 第三步,将O 沿着直径折叠.你发现了什么?归纳:(1)图1是 对称图形,对称轴是. (2)相等的线段有 ,相等的弧有 . 二、新课研习活动1:(1)如图2,怎样证明“自主学习3”得到的第(2)个结论. 叠合法证明:(2)垂径定理:垂直于弦的直径 弦,并且 的两条弧. 定理的几何语言:如图2 CD 是直径(或CD 经过圆心),且CD AB ⊥ ____________,____________,_____________∴(图1)(图2)(3)推论: 。
活动2 :垂径定理的应用如图3,已知在O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离(弦心距)为3cm ,求O 的半径.(分析:可连结OA ,作OC AB ⊥于C ) 解:小结:(1)辅助线的常用作法:连半径,过圆心向弦作垂线段。
(2)如图4,根据垂径定理和勾股定理,“半弦、半径、弦心距”构成直角三角形,则r d a 、、的关系为 ,知道其中任意两个量, 可求出第三个量. [课堂小结]1.垂径定理是 ,定理有两个条件,三个结论。
2.定理可推广为:在五个条件①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧中,知 推 。
[当堂达标]1.圆的半径为5cm ,圆心到弦AB 的距离为4cm ,则_____AB cm =.2.如图5,AB 是⊙O 的直径, CD 为弦,CD AB ⊥于E ,则下列结论中不成立的是( )A.COE DOE ∠=∠B.CE DE =C.OE BE =D. BDBC = 3. 如图6,CD 为⊙O 的直径,CD AB ⊥于E ,cm DE 8=,cm CE 2=,则=AB ______cm .(图3)(4)(图5)(图6)(图7)[拓展训练]已知:如图7,AB 是⊙O 的直径,弦CD 交AB 于E 点,︒=∠==30,5,1AEC AE BE ,求CD 的长.垂径定理(2)[学习目标]1.熟练掌握垂径定理及其推论;2.能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明,进一步应用垂径定理解决实际问题. [学习流程] 一、导学自习1.垂径定理: 2.推论:3.如图1,O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是 . 二、新课研习活动1:垂径定理的实际应用怎样求P80赵州桥主桥拱半径?解:如图3,用 AB 表示主桥拱,设 AB 所在圆的圆心是点O ,半径为R .归纳:(1)如图4,半弦、半径、弦心距构成直角三角形,根据勾股定理可得 . (2)在弦长a 、弦心距d 、半径r 、弓形高h 中,知道其中任意两个,可求出其它两个.RBAO(图3)活动2 :如图5,已知 AB ,请你利用尺规作图的方法作出 AB 的中点,说出你的作法.作法:[课堂小结]1. 本节课你有哪些收获?2.你有什么收获和同学分享?还有什么问题?[当堂达标]1.(长春中考)如图6,AB 是O 的直径,弦CD AB ⊥,垂足为E ,如果20,16AB CD ==,那么线段OE 的长为( )圆心O 到弦的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是 . A. 10 B. 8 C. 6 D.42.如图7,在O 中,若AB MN ⊥于点C , AB 为直径,试填写出三个你认为正确的结论: , , .3. P 为⊙O 内一点,cm OP 3=,⊙O 半径为cm 5,则经过P 点的最短弦长为______;•最长弦长为______.4. 如图8,P 为⊙O 的弦AB 上的点,2,6==PB PA ,⊙O 的半径为5,则=OP ______.5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图9所示,污水水面宽度为cm 60,水面至管道顶部距离为cm 10,问修理人员应准备内径多大的管道? 解:如图10,连接OA ,过O 作AB OE ⊥,垂足为E ,交圆于F ,[拓展训练](图5)BA(图6)(图7)A(图8) (图9)已知:如图11,,A B 是半圆O 上的两点,CD 是⊙O 的直径,80AOD ∠=︒,B 是 AD 的中点. (1)在CD 上求作一点P ,使得AP PB +最短;(2)若4CD cm =,求AP PB +的最小值.圆周角与圆心角的关系(1)[学习目标]1.理解圆心角的概念,掌握圆的旋转不变性(中心对称性);2.掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明. [学习流程] 一、导学自习 (一)知识链接1. 是中心对称图形. (自己叙述) 2.要证明两条弧相等,到目前为止有哪两种方法? (1) (2) (二)自主学习1.顶角在 的角叫做圆心角.2. 圆既是轴对称图形,又是 对称图形,它的对称中心是 .实际上,圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合,因此,圆还是 对称图形.(图10)(图11)二、新课研习活动1:(1) 阅读教材“探究”内容,动手操作:(可以把重合的两个圆看成同圆)①在两张透明纸上,作两个半径相等的⊙O 和⊙'O ,沿圆周分别将两圆剪下; ②在⊙O 和⊙'O 上分别作相等的圆心角AOB∠和'AOB ∠,如图1所示,圆心固定. 注意:在画AOB ∠与'AOB ∠时,要使OB 相对于OA 的方向与O B ''相对于O A ''的方向一致,否则当OA 与O A ''′重合时,OB 与O B ''不能重合.③将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA 与O A ''重合.通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由. (2)猜想等量关系: , . (3)(利用圆的旋转不变性)验证:(4)归纳圆心角、弧、弦之间关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 。
(5)推论: 。
活动2:下面的说法正确吗?若不正确,指出错误原因.(1)如图2,小雨说:“因为 ''A B 和 AB 所对的圆心角都是O ∠,所以有''A B AB =.” (2)如图3,小华说:“因为AB CD =,所以AB 所对的 AB 等于CD 所对的 CAD.”活动3:如图4,在⊙O 中, AB AC=,60ACB ∠︒=,求证:AOB AOC BOC ∠=∠=∠. (分析:根据圆心角、弧、弦之间关系定理,欲证AOB AOC BOC ∠=∠=∠,可先证什么?)(图1)(图3)证明:[课堂小结]1. 圆心角、弧、弦关系定理:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据.2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。
[当堂达标]1.在同圆或等圆中,如果 AB CD=,那么AB 与CD 的关系是( ) A.AB CD > B. AB CD = C. AB CD < D.无法确定 2. 下列命题中,真命题是( )A .相等的弦所对的圆心角相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等3.如图5,AB 是 ⊙O 的直径,,C D 是 BE上的三等分点,60AOE ∠=︒, 则COE ∠是( )A . ︒40 B. ︒60 C. ︒80 D. ︒120 4.教材p83练习第2题(做在书上)5.已知,如图6,在⊙O 中,弦AD BC =,你能用多种方法证明AB CD =吗?[拓展训练]OEDC BA(图5)(图6)已知:如图7,AB 为⊙O 的直径,C ,D 为⊙O 上的两点,且C 为 AD 的中点,若︒=∠20BAD ,求ACO ∠的度数.圆周角与圆心角的关系(2)[学习目标]1.理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系,会在具体情景中辨别圆周角. 2.掌握圆周角定理及推论,并会运用这些知识进行简单的计算和证明. [学习流程] 一、导学自习1.阅读教材“思考”并认真读图,如图1,视角AOB ∠叫做 角, 而视角ACB ∠、ADB ∠和AEB ∠不同于视角AOB ∠这一类的角,我们把ACB ∠、ADB ∠和AEB ∠这一类的角叫做 .2.顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角.圆周角定义的两个特征:(1)顶点都在 ;(2)两边都与圆 . 3.自己完成课本练习4.视角AOB ∠和ACB ∠有什么关系?视角ADB ∠和AEB ∠和视角ACB ∠相同吗?实际上要研究同弧( AB )所对的圆心角(AOB ∠)与圆周角(ACB ∠)、同弧所对的圆周角(ACB ∠、ADB ∠、AEB ∠等)之间的大小关系.二、新课研习活动1:(1) 阅读教材“探究”内容,动手量一量问题1:同弧(弧AB )所对的圆心角AOB ∠与圆周角ACB ∠的大小关系是怎样的? 问题2:同弧(弧AB )所对的圆周角ACB ∠与圆周角ADB ∠的大小关系是怎样的?(2)规律:同弧所对的圆周角的度数 ,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 .活动2:(1)同学们在下面图3的⊙O 中任取AB ⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?(图7)(2)实际上,圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如图4)(3)如何对活动1得到的规律进行证明呢?证明:①当圆心在圆周角的一边上,如上图4(1),②当圆心在圆周角内部(或在圆周角外部)时,能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.证明:作出过O的直径(自己完成)(4)同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.其实,等弧的情况下该命题也是成立的,命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的,想一想为什么?(5)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的.(6)由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系,可以证明:(学生自己完成)推论1:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定 .说明:注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提.活动3:(小组讨论)由图5,结合圆周角定理思考问题1:半圆(或直径)所对的圆周角是多少度?90的圆周角所对的弦是什么?问题2:推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 的圆周角所对的弦是直径. 说明:推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.[课堂小结]谈谈本节课的体会:知识、思想、方法、收获、…… [当堂达标]1. 在下列与圆有关的角中,哪些是圆周角?哪些不是,为什么?2. 教材p86练习1、2题(直接做在书上)3. 如图6,点A 、B 、C D 在⊙O 上,若︒=∠60C ,则=∠D ____,=∠AOB _ ___.4. 如图7,等边△ABC 的顶点都在⊙O 上,点D 是⊙O 上一点,则BDC ∠____.[拓展训练]已知:如图8,AB 是⊙O 的直径,弦AB CD ⊥于E ,︒=∠30ACD ,cm AE 2=.求DB 长.※[课外探究]1.如图9,△ABC 的三个顶点在⊙O 上,︒=∠50A ,︒=∠60ABC ,BD 是⊙O 的直径,BD 交AC 于点E ,连结DC ,求AEB ∠的度数.2.已知:如图10,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,且CD AB ⊥于E ,F 为DC 延长线上一点,连结AF 交⊙O 于M .求证:FMC AMD ∠=∠.(1) (2) (3) (4) (5) (图6)(图7)(图8)(图9)11。