新浙教版九年级数学上册同步练习：1.4 二次函数的应用(二)

1．4 二次函数的应用（二）
A组
1.为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产.经过调研预测，某塑料玩具生产公司这一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数表达式y＝－n2＋14n－24.若在当月无利润时公司会停产，则该公司停产的月份为（D）
A. 2月和12月
B. 2月至12月
C. 1月
D. 1月、2月和12月
2.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h ＝－t2＋24t＋1，则下列说法中，正确的是（D）
A. 火箭点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B. 火箭点火后24 s落到地面
C. 火箭点火后10 s的升空高度为139 m
D. 火箭升空的最大高度为145 m
3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，则可卖出（30－x）件.若要使利润最大，则每件商品的售价应定为25元.
（第4题）
4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）关于水平距离x（m）
的函数表达式为y＝－1
12（x－4）
2＋3（如图所示），由此可知铅球推出的距离是10m.
5.已知直角三角形的两直角边长之和为2，则斜边长的最小值为2Ｗ.
（第6题）
6.甲船和乙船分别从A港和C港同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行（如图所示）.现已知甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时，且A，C两港之间的距离为10海里.问：经过多长时间，甲船和乙船之间的距离最短？最短距离为多少？（注：题中的“距离”都是指直线距离，图中AC⊥CB.）
【解】设经过t（h），甲船和乙船分别到达A′，B′处，则A′B′＝A′C2＋B′C2
＝（10－16t）2＋（12t）2＝400t2－320t＋100
＝400（t －0.4）2＋36（t ＞0）.
当t ＝0.4时，400（t －0.4）2＋36有最小值36，
∴当t ＝0.4时，A ′B ′＝36＝6（海里），
即经过0.4 h ，两船之间的距离最短，为6海里.
7.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 运动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 运动.若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，连结PQ ，求线段PQ 的最小值
.
（第7题）
【解】 设运动时间为t （s ），则AP ＝CQ ＝t （cm ），∴CP ＝（6－t ） cm ，∴PQ ＝
CP 2＋CQ 2＝（6－t ）2＋t 2＝2（t －3）2＋18. ∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小， 最小值为2×（2－3）2＋18＝20＝25（cm ）.
B 组
8.竖直上抛的小球离地高度是关于它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t （s ）时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝ 1.6 Ｗ.
【解】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a （t －1.1）2＋h .
由题意，得a （t －1.1）2＋h ＝a （t －1－1.1）2＋h ，
解得t ＝
1.6.
（第9题）
9.如图，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和正方形BPEF ，M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值为 5 Ｗ.
【解】 过点M 作MG ⊥DC 交DC 的延长线于点G .
设MN ＝y ，PC ＝x .
根据题意，得GN ＝5，MG ＝10－2x .
在Rt △MNG 中，由勾股定理，得
MN 2＝GN 2＋MG 2，即y 2＝52＋（10－2x ）2.
∵0<x <10，
∴当10－2x ＝0，即x ＝5时，y 2最小，为25，
∴y 最小＝5，即MN 的最小值为5.
10.某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x （元/千克）
50 60 70 销售量y （千克）
100 80 60
（1）求y 与x 之间的函数表达式.
（2）设销售该商品每天的总利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式（利润＝收入－成本）.
（3）试说明（2）中总利润w 随售价x 的变化而变化的情况，并求出售价为多少元/千克时获得的利润最大，最大利润是多少. 【解】 （1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，
b ＝200， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2x ＋200.
（2）由题意，得
w ＝（x －40）（－2x ＋200）＝－2x 2＋280x －8000，
即w 与x 之间的函数表达式为
w ＝－2x 2＋280x －8000.
（3）∵w ＝－2x 2＋280x －8000＝－2（x －70）2＋1800，40≤x ≤80，
∴当40≤x ≤70时，w 随x 的增大而增大；当70≤x ≤80时，w 随x 的增大而减小，
∴当x ＝70时，w 取得最大值，为1800，
即当售价为70元/千克时获得的利润最大，最大利润是1800元.
（第11题）
11.如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5 m 的A 处正对球门踢出（点A 在y 轴上），足球的飞行高度y （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c .已知足球飞行0.8 s 时，离地面的高度为3.5 m.
（1）足球飞行的时间是多少时，离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44 m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m ，那么他能否将球直接射入球门？
【解】 （1）由题意得，函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过点（0，0.5），（0.8，3.5），
∴⎩⎪⎨⎪⎧0.5＝c ，
3.5＝0.82a ＋5×0.8＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝－2516，c ＝12
. ∴抛物线的函数表达式为y ＝－2516t 2＋5t ＋12
， 即y ＝－2516⎝⎛⎭⎫x －852＋4.5， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5，即当足球飞行的时间是85
s 时，离地面最高，最大高度是4.5 m. （2）把x ＝28代入x ＝10t ，得t ＝2.8.
∵当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12
＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门. 数学乐园
12.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t 个月该新型药的月销售量为P （单位：t ），P 与t 之间存在如图所
示的函数关系，其图象是函数P ＝120t ＋4
（0＜t ≤8）的图象与线段AB 的组合.设第t 个月销售该新型药每吨的毛利润为Q （单位：万元），Q 与t 之间满足如下关系：Q ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2t ＋8（0<t ≤12），－t ＋44（12<t ≤24）. （1）当8＜t ≤24时，求P 关于t 的函数表达式.
（2）设第t 个月销售该新型药的月毛利润为w （单位：万元）.
①求w 关于t 的函数表达式.
②该药厂销售部门分析认为，336≤w ≤513是最有利于该新型药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P 的最小值和最大值.导学号：56250007
,（第12题）)
【解】 （1）当8＜t ≤24时，设P ＝kt ＋b ，
将点A （8，10），B （24，26）的坐标代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝10，24k ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，
b ＝2，
∴P ＝t ＋2. （2）①当0＜t ≤8时，w ＝（2t ＋8）·120t ＋4
＝240； 当8＜t ≤12时，w ＝（2t ＋8）（t ＋2）＝2t 2＋12t ＋16；
当12＜t ≤24时，w ＝（－t ＋44）（t ＋2）＝－t 2＋42t ＋88.
综上所述，w ＝⎩⎪⎨⎪⎧240（0＜t ≤8），2t 2＋12t ＋16（8＜t ≤12），－t 2
＋42t ＋88（12＜t ≤24）.
②当8＜t ≤12时，w ＝2t 2＋12t ＋16＝2（t ＋3）2－2，∴当8＜t ≤12时，w 随t 的增大而增大，
当2（t ＋3）2－2＝336时，解得t 1＝10，t 2＝－16（不合题意，舍去），
当t ＝12时，w 取得最大值，最大值为448，
此时月销量P ＝t ＋2在t ＝10时取得最小值12，在t ＝12时取得最大值14.
当12＜t ≤24时，w ＝－t 2＋42t ＋88＝－（t －21）2＋529，当t ＝12时，w 取得最小值448，
解－（t －21）2＋529＝513，得t 1＝17，t 2＝25（不合题意，舍去），
∴当12＜t ≤17时，448＜w ≤513，
此时P ＝t ＋2的最小值为14，最大值为19.
综上所述，此范围所对应的月销售量P 的最小值为12 t ，最大值为19 t.。