江苏省七市2019届高三第三次调研考试数学Word版含答案

2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________． 7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△A OB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________．9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝43CA →·CB →，则CB ＋12CD 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)．(1) 求角C 的值；(2) 若a ＝4b ，求sin B 的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC ，BP ＝BC ，点E ，F 分别是PC ，AD 的中点．求证：(1) BE⊥CD；(2) EF∥平面PAB.(本小题满分14分) 17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N.若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF 处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2) 当风筝面AEA′F的面积为 3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．已知数列{a n }满足(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1(n≥2)，b n ＝1a n－n(n∈N *)．(1) 若a 1＝3，求证：数列{b n }是等比数列；(2) 若存在k∈N *，使得1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列．①求数列{a n }的通项公式；②求证：ln n ＋12a n ＞ln(n ＋1)－12a n ＋1.已知函数f(x)＝ax21＋ln x(a≠0)，e 是自然对数的底数．(1) 当a ＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x≥12，f (x)≥2e b －1(b∈R )，求b a的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x＜0的解集.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)．(1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a∈R ，若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，求a 的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．文章学习积分 1 2 3 4 5概率1919191612视频学习积分 2 4 6概率161312(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P2－Q2的值；(2) 化简nP n－Q n.2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455. 12 6. (－2，0)∪(2，＋∞) 7. 14 8. 29. 7π3 10. －15811. 43 12. 6 13. －13 14. 26215. 解：(1) 在△ABC 中， 因为a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以a(a －b)＝(b ＋c)(c －b)，(3分)即a 2＋b 2－c 2＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得cos C ＝12.(5分)因为0<C<π，所以C ＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a ＝4b 及a 2＋b 2－c 2＝ab ，得c 2＝16b 2＋b 2－4b 2＝13b 2，即c ＝13b.(10分)由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得13b 32＝b sin B，所以sin B ＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝4sin B. 由A ＋B ＋C ＝π，得sin(B ＋C)＝4sin B.因为C ＝π3，所以12sin B ＋32cos B ＝4sin B ，即7sin B ＝3cos B ．(11分)因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得sin 2B ＝352.在△ABC 中，因为sin B>0，所以sin B ＝3926.(14分) 16. 证明：(1) 在△PBC 中，因为BP ＝BC ，点E 是PC 的中点，所以BE⊥PC.(2分) 因为平面BPC⊥平面DPC ，平面BPC∩平面DPC ＝PC ，BE 平面BPC ， 所以BE⊥平面PCD.(5分)因为CD平面DPC ，所以BE⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB 的中点H ，连结EH ，AH. 在△PBC 中，因为点E 是PC 的中点，所以HE∥BC，HE ＝12BC.(9分)又底面ABCD 是平行四边形，点F 是AD 的中点，所以AF∥BC，AF ＝12BC.所以HE∥AF，HE ＝AF ，所以四边形AFEH 是平行四边形， 所以EF∥HA.(12分)因为EF 平面PAB ，HA 平面PAB ，所以EF∥平面PAB.(14分) 17. 解：(1) 因为椭圆C 的上顶点为A(0，3)，所以b ＝ 3.又圆O ：x 2＋y 2＝14a 2经过点M(0，1)，所以a ＝2.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k2.(8分) 由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1kx ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k2.(11分)所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系，则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分) 设F(0，b)(b>0)，因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以b ＝|4b －6|5，解得b ＝23或b ＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43 m 2.答：风筝面ABA′F 的面积为43m 2.(6分)(解法2)设∠ABF＝θ，则∠ABA′＝2θ.在直角三角形ABD 中，tan 2θ＝AD AB ＝34，(2分)所以2tan θ1－tan 2θ＝34，解得tan θ＝13或tan θ＝－3(舍去)． 所以AF ＝ABtan θ＝23.(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23 m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43m 2.答：风筝面ABA′F 的面积为43m 2.(6分)(2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系． 设AE ＝a ，AF ＝b ，A ′(x 0，y 0)， 则直线EF 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 因为点A ，A ′关于直线EF 对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＝a b ，bx 02＋ay 02－ab ＝0，解得y 0＝2a 2ba 2＋b2.(10分)因为四边形AEA′F 的面积为3，所以ab ＝3，所以y 0＝23a 3a 4＋3＝23a ＋3a 3.因为0<a≤2，0<b ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)设f(a)＝a ＋3a 3，233≤a ≤2，则f′(a)＝1－9a 4＝（a 2＋3）（a ＋3）（a －3）a 4. 令f′(a)＝0，得a ＝3或a ＝－3(舍去)．列表如下：当a 所以y 0的最大值为32，此时点A′在CD 上，a ＝3，b ＝1.答：点A′到AB 距离的最大值为32m ．(16分)(解法2)设AE ＝a ，∠AEF ＝θ，则AF ＝atan θ.因为四边形AEA′F 的面积为3，所以AE·AF＝3，即a 2tan θ＝3，所以tan θ＝3a2.过点A′作AB 的垂线A′T，垂足为T ，则A′T＝A′E·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分)＝a·2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝a·2tan θtan 2θ＋1＝a·2×3a 23a 4＋1＝23a ＋3a3. 因为0<AE≤2，0<AF ≤32，所以233≤a ≤2.(12分)(下同解法1)19. (1) 证明：由(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1，得1a n ＝2a n －1＋2－n ，得1a n －n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a n －1－（n －1），即b n ＝2b n －1. 因为a 1＝3，所以b 1＝1a 1－1＝－23≠0，所以b nb n －1＝2(n≥2)，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) ①解：设1a 1－1＝λ，由(1)知b n ＝2b n －1，所以b n ＝2b n －1＝22b n －2＝…＝2n －1b 1，即1a n－n ＝λ·2n －1，所以1a k ＝λ·2k －1＋k.(6分)因为1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列，则(λ·2k －1＋k)＋(λ·2k ＋1＋k ＋2)＝2(λ·2k＋k ＋1)，所以λ·2k －1＝0，所以λ＝0，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(10分)②证明：要证ln n ＋12a n >ln(n ＋1)－12a n ＋1，即证12(a n ＋a n ＋1)>ln n ＋1n ，即证1n ＋1n ＋1>2ln n ＋1n .设t ＝n ＋1n ，则1n ＋1n ＋1＝t －1＋t －1t ＝t －1t，且t>1，从而只需证：当t>1时，t －1t>2ln t ．(12分)设f(x)＝x －1x －2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋1x 2－2x ＝(1x－1)2>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x －1x>2ln x.因为t>1，所以t －1t>2ln t ，所以原不等式得证．(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e －1)∪(e －1，＋∞)．由f′(x)＝2ax （1＋ln x ）－ax 2·1x （1＋ln x ）2＝2ax （12＋ln x ）（1＋ln x ）2，(2分)令f′(x)>0，因为a>0，得x>e －12.因为e －12>e －1，所以f(x)的单调增区间是(e －12，＋∞)．(4分)(2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2e b －1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<e －1或e －1<x<e －12，所以f(x)在区间(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递减．因为12∈(e －1，e －12)，且f(x)在区间(e －12，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x ＝e －12处取极小值2a e ，即最小值为2ae.(6分)若x ≥12，f (x)≥2e b －1，则2a e≥2e b －1，即a≥e b.不妨设b>0，则b a ≤be b .(8分)设g(b)＝b e b (b>0)，则g′(b)＝1－beb .当0<b<1时，g ′(b)>0；当b>1时，g ′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(b)≤g(1)，即b e b ≤1e，所以b a 的最大值为1e.(10分)(3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递增，在(e －12，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x ＝e －12处取极大值，所以f(e －12)＝2ae＝－2，即a ＝－e.(12分)设F(x)＝f(x)＋e x ，即F(x)＝e x－ex 21＋ln x，当x∈(0，e －1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0；当x∈(e －1，＋∞)，F ′(x)＝e x－ex （1＋2ln x ）（1＋ln x ）2，由(2)知ex ≤e x ，又1＋2ln x ≤(1＋ln x)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e －1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋e x <0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e －1<x<1，即不等式的解集为(e －1，1)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 由题意，得AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bdb ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1.(5分)设P(x ，y)为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P′(x′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝y.(8分) 由已知条件可知P′(x′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0， 所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分)B. 解：(1) 分别将A(4，π2)，B(22，5π4)转化为直角坐标，即A(0，4)，B(－2，－2)，所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(4分)(2) 曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2. 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB 的距离为432＋12＝2105，即r 的值为2105.(10分) C. 解：因为关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，所以Δ＝16－4(|a －1|＋|a|)≥0，即|a －1|＋|a|≤4.(4分)当a≥1时，2a －1≤4，得1≤a≤52；当0<a<1时，1≤4，恒成立，即0<a<1；当a≤0时，1－2a≤4，得－32≤a ≤0.综上，所求a 的取值范围是－32≤a ≤52.(10分)22. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于9分的情形有因为两类学习互不影响，所以概率P ＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59，所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分)(2) 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59，则P (ξ＝0)＝(49)3＝64729；P(ξ＝1)＝C 13(59)(49)2＝240729；P (ξ＝2)＝C 23(59)2(49)＝300729；P(ξ＝3)＝(59)3＝125729.所以随机变量ξ的概率分布列为(8分)所以E(ξ)＝0×64729＋1×240729＋2×300729＋3×125729＝53.所以随机变量ξ的数学期望为53.(10分)23. 解：(1) 由题可知P 2＝1C 04－1C 14＋1C 24－1C 34＋1C 44＝53，Q 2＝－1C 14＋2C 24－3C 34＋4C 44＝103，所以2P 2－Q 2＝0.(2分) (2) 设T ＝nP n －Q n ，则T ＝(n C 02n －n C 12n ＋n C 22n －...＋n C 2n 2n )－(－1C 12n ＋2C 22n －3C 32n ＋ (2)C 2n 2n)＝n C 02n －n －1C 12n ＋n －2C 22n －n －3C 32n ＋…＋－nC 2n 2n①.(6分) 因为C k 2n ＝C 2n －k2n ，所以T ＝n C 2n 2n －n －1C 2n －12n ＋n －2C 2n －22n －n －3C 2n －32n ＋…＋－nC 02n＝－n C 02n －1－n C 12n ＋2－n C 22n －3－n C 32n ＋…＋nC 2n 2n②， ①＋②，得2T ＝0，即T ＝nP n －Q n ＝0， 所以nP n －Q n ＝0.(10分)。