2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高一(上)期末数学试卷
2015-2016年重庆市沙坪坝区南开中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）A．￢p或q B．p且q C．p或q D．￢p且￢q2．（5分）椭圆的焦点坐标为（）A．（±1，0）B．C．（0，±1）D．3．（5分）若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．74．（5分）抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=，则=（）A．B．C．D．6．（5分）椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）A．2 B．C．D．不存在最大值7．（5分）命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定形式是（）A．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）≥h（x0）B．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）或g （x0）≥h（x0）C．∀x∈R，f（x）≥g（x）≥h（x）D．∀x∈R，f（x）≥g（x）或g（x）≥h（x）8．（5分）由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）A．e e﹣e B．e e﹣2e C．2e﹣1 D．19．（5分）已知函数f（x）=e x[lnx+（x﹣m）2]，若对于∀x∈（0，+∞），f′（x）﹣f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos∠DOB为（）A．B．C．D．11．（5分）过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）A．2 B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）f（x）=cos3x，则=．14．（5分）z=a+2i（a∈R），若z2+8i为纯虚数，则a=．15．（5分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是．16．（5分）若存在实数m，n，k（m＜n＜k）使得关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），则实数a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线．（1）求实数a的值；（2）求h（x）=f（x）﹣g（x）的极植．18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角N﹣CM﹣B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为﹣1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k．20．（12分）如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE∥平面PBQ（1）求证：OP⊥平面QBD；（2）求二面角E﹣BQ﹣P的平面角的余弦值．21．（12分）如图，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N 两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，﹣1）的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标．22．（10分）已知函数f（x）=xlnx．（1）不等式f（x）＞kx﹣对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）＜f（m）e x恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）A．￢p或q B．p且q C．p或q D．￢p且￢q【解答】解：∵命题p为真命题，命题q为假命题，∴￢p或q，p且q，￢p且￢q为假命题．只有p或q为真命题．故选：C．2．（5分）椭圆的焦点坐标为（）A．（±1，0）B．C．（0，±1）D．【解答】解：∵椭圆，∴c==1，∴椭圆焦点坐标为（±1，0）．故选：A．3．（5分）若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【解答】解：=，又复数的实部与虚部互为相反数，∴．解得b=1．故选：B．4．（5分）抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+1∵AB的中点在直线x=2上，∴x1+x2=4，∴|AF|+|BF|=5，故选：C．5．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：=+，，，∴=+=，故选：D．6．（5分）椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）A．2 B．C．D．不存在最大值【解答】解：设椭圆=1上的点P（2cosθ，sinθ），上顶点B（0，1），|PB|===≤=．∴椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为．故选：C．7．（5分）命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定形式是（）A．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）≥h（x0）B．∃x0∈R，f（x0）≥g（x0）或g （x0）≥h（x0）C．∀x∈R，f（x）≥g（x）≥h（x）D．∀x∈R，f（x）≥g（x）或g（x）≥h（x）【解答】解：命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”可化为：“∀x∈R，f（x）＜g（x），且g（x）＜h（x）”故命题“∀x∈R，f（x）＜g（x）＜h（x）”的否定是“∃x∈R，f（x）≥g（x），或g（x）≥h（x）”，故选：B．8．（5分）由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）A．e e﹣e B．e e﹣2e C．2e﹣1 D．1【解答】解：由e x=，可得x=1，∴由函数y=e x，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（e x﹣）dx=（e x+）=e e﹣2e．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=e x[lnx+（x﹣m）2]，若对于∀x∈（0，+∞），f′（x）﹣f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）﹣f（x）=e x[+2（x﹣m）]＞0，∴m＜+x在x∈（0，+∞）恒成立，而+x≥2=，当且仅当x=时“=”成立，故m＜，故选：A．10．（5分）如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos∠DOB为（）A．B．C．D．【解答】解∵矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，∴BO=DO==，如图，以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，1，0），D（0，），|BD|==，∴cos∠DOB===，∴折起后cos∠DOB=．故选：C．11．（5分）过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB==，设右焦点为F，FB⊥OB，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|OB|==a，则△OAB的面积可以表示为•a•atanθ==，即为6a2﹣5ab﹣6b2=0，解得b=a，即有c==a，则e==．故选：D．12．（5分）F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF 1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由+=1，得a2=4，b2=2，则c2=a2﹣b2=2，∴，连接PM，PN，∵|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a，∴当P，M，N共线时，|MN|最大，此时∠MPF1=∠F1PF2，∠F1PF2=∠F2PN，由∠MPF1+∠F1PF2+F2PN=180°，得∠F1PF2=60°，在△F1PF2中，由余弦定理可得：，∴，即．∴S=．故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）f（x）=cos3x，则=﹣．【解答】解：∵f（x）=cos3x，∴f′（x）=﹣3sin3x，∴=﹣3sin=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）z=a+2i（a∈R），若z2+8i为纯虚数，则a=2．【解答】解：∵z=a+2i（a∈R），∴z2+8i=（a+2i）2+8i=（a2﹣4）+（4a+8）i，又z2+8i为纯虚数，则，解得a=2．故答案为：2．15．（5分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是3．【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是米，（）则该长方体的体积V（x）=，由V′（x）=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值是3．故答案为：3．16．（5分）若存在实数m，n，k（m＜n＜k）使得关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），则实数a的取值范围是（，e）．【解答】解：∵e x﹣a（x2﹣x+1）≥0，∴a（x2﹣x+1）≤e x，∴a≤，令f（x）=，则f′（x）=，故f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；故f max（x）=e，f min（x）=；∵关于x的不等式e x﹣a（x2﹣x+1）≥0的解集为[m，n]∪[k，+∞），∴＜a＜e，故答案为（，e）．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线．（1）求实数a的值；（2）求h（x）=f（x）﹣g（x）的极植．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a，g′（x）=，由题意得：f′（0）=g′（0），解得：a=1；（2）h（x）=f（x）﹣g（x），h′（x）=2x+1﹣=，（x＞﹣1），令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，∴h（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，=h（0）=0．∴h（x）极小值18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角N﹣CM﹣B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离．【解答】（1）证明：取AC的中点D，连结SD、DB，∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD，AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，∵SB⊂平面SDB，∴AC⊥SB；（2）解：∵AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC，过N点作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E点作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N﹣CM﹣B的平面角，∵NE=SD=，EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE=，∴（3）解：在Rt△NEF中，NF=，，，设B到平面CMN的距离为h，由V B=V N﹣BCM得=，﹣CMN∴h=．19．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为﹣1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k．【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a+c=1+，a﹣c=﹣1，解得a=，c=1，b==1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，由以AB为直径的圆过原点，可得OA⊥OB，即有•=0，即为x1x2+y1y2=0，即有（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=0，代入韦达定理，可得=0，化简即为k2=2，解得k=±．20．（12分）如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE∥平面PBQ（1）求证：OP⊥平面QBD；（2）求二面角E﹣BQ﹣P的平面角的余弦值．【解答】（1）证明：连结OQ，由题意知PA∥QC，∴P，A，Q，C共面，∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PACQ，∴BD⊥OP，由题意得PA=2，AO=OC=，OP=，QC=1，OQ=，∴△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，∴OP⊥OQ，∵OP⊥BD，OP⊥OQ，BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD．（2）解：以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），Q（2，2，1），P（0，0，2），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1），设平面PBQ的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，﹣1，2），设=，则=（1+λ）=（0，2，﹣2），=，，∵CE∥平面PBQ，与平面PBQ的法向量=（2，﹣1，2）垂直，∴=﹣4++=0，解得，∴E（0，，），，=（0，2，1），设平面BEQ的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（﹣1，1，﹣2），设二面角E﹣BQ﹣P的平面角为θ，∵=（2，﹣1，2），=（﹣1，1，﹣2），cosθ=|＜＞|=||=．∴二面角E﹣BQ﹣P的余弦值为．21．（12分）如图，已知点A（﹣1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N 两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，﹣1）的直线交抛物线于Q 点．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标．【解答】（1）解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣1，∴抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky2﹣4y+4k=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，由k MQ==，直线MB的方程为y+1=（x﹣1），∴y1+1=（x1﹣1），可得y1=﹣，∴=﹣，∴y2y3+4（y2+y3）+4=0直线QN的方程为y﹣y2=（x﹣x2）可得y2y3﹣y（y2+y3）+4x=0，∴x=1，y=﹣4，∴直线QN过定点（1，﹣4）．22．（10分）已知函数f（x）=xlnx．（1）不等式f（x）＞kx﹣对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）＜f（m）e x恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，即为k＜lnx+，x＞0，令g（x）=lnx+，x＞0，则g′（x）=﹣=，在（0，）上，g′（x）＜0，g（x）递减，在（，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）在x=处取得极小值，且为最小值1﹣ln2，则k＜1﹣ln2，故实数k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）；（2）∵f（m+x）＜f（m）e x恒成立，∴（m+x）ln（m+x）＜mlnm•e x，即＜恒成立，令g（x）=，g′（x）=，设p（x）=1+（1﹣x）lnx，p′（x）=﹣1﹣lnx，而p′（1）=0且p′（x）递减，∴x∈（0，1）时，p′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，p′（x）＜0，故p（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；又x→0，p（x）→﹣∞，p（1）=1＞0，x→+∞时，p（x）→﹣∞，由零点的存在定理，p（x）=0在（0，1），（1，+∞）内各有一根x1＜1＜x2，∴x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，x2），g′（x）＞0，x∈（x2，+∞），g′（x）＜0，∴g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，∵p（2）=1﹣ln2＞0，p（3）=1﹣2ln3＜0，故x2∈（2，3），∴m=3时，g（x）在（3，+∞）递减，此时，g（3+x）＜g（3）恒成立，若m=1，2，则g（x2）＞g（m），矛盾，综上，存在最小正整数m=3．。
重庆市南开中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．310．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．14．计算：= ．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑．【分析】“”⇒“”，反之不成立，例如α=．即可判断出结论．【解答】解：“”⇒“”，反之不成立，例如α=．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，∴，解得l=5，r=，∴扇形的面积S=lr=故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式，涉及角的弧度数的定义，属基础题．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的零点存在定理判断即可．【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+＜0，f（3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点定理的应用，注意判断函数的单调性，以及零点定理的应用．5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；规律型；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：D．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行推导即可．【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin x，然后向右平移个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，根据三角函数的周期变换和平移变换法则是解决本题的关键．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，则f=f（0），f=f（1）=1，f=f（2），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x=﹣2时，f（﹣2+4）=f（﹣2），即f（2）=﹣f（2），则f（2）=0，即f+f+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质结合条件关系进行转化是解决本题的关键．10．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======，故选：D．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力，属于基础题．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=﹣2x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 1 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，得出m2﹣3m+3=1，求出m的值，再验证幂函数是否为（0，+∞）上的减函数即可．【解答】解：幂函数在（0，+∞）单调递减，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意；当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去；∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．14．计算：= 3 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：=log66+2=3．故答案为：3．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得tan，再由二倍角的正切公式可得．【解答】解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），又∵，∴sin==，∴tan==2，∴tanθ==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为[，1+] ．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，令log2（1﹣x）+1=0，x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，即可得出结论．【解答】解：由题意，令log2（1﹣x）+1=0，∴x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，∴实数a的取值范围是[，1+]．故答案为：[，1+]．【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=﹣，代入tanα=tan[（α+β）﹣β]=，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=，代值计算可得．【解答】解：（1）∵，∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]===﹣；（2）化简可得===【点评】本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=a x+=f（x），则函数为偶函数，当x≥0时，设0≤x1＜x2，即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•，∵a＞1，0≤x1＜x2∴1≤＜，则﹣＜0，•﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增，同理当x≤0时，函数单调递减；（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|），即|x﹣1|＞|2x+1|，平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期；（2）由图象过点可得λ=﹣1，由结合三角函数的值域可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ由函数图象关于直线对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）∵y=f（x）的图象过点，∴2sin（2•﹣）+λ=0，解得λ=﹣1，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，故函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出f（cosθ），问题转化为sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，∴，解得：，∴f（x）=x2+x﹣2；（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，∴由不等式对θ∈R恒成立，得：cos2θ+cosθ﹣2≤sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=+1﹣，∵﹣1≤sinθ≤1，∴①﹣1≤≤1即﹣3≤m≤1时：g min（θ）=1﹣≥0，解得：﹣3≤m≤1，符合题意；②＜﹣1即m＜﹣3时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＞﹣3，无解；③＞1即m＞1时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＜1，无解；综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（θ）=sos2θ+（1+m）sinθ+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（﹣x）==0，由此能求出a．（2）当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=0，得x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）==0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）===0，∴=1，∴1﹣a2x2=1﹣x2，解得a=±1．（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx），由﹣log2（mx）=0，解得mx=1，x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=，由=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】综合题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可．【解答】解：（1）若a=，b=，c=，则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．（3）λ的最大值是．①当λ＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．②当λ=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，即 a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得 sina+sinb＞+=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得 cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当λ=时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为，【点评】本题主要考查新定义的应用，要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。
重庆南开中学2015-2016学年高一数学上册期中考试题
重庆南开中学2015-2016学年高一（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、下列说法正确的是（ ）A 、1N -∈B 、QC 、R π∉D 、Z ∅⊆2、已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,2A B x R x ==∈≥，则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）A 、{}1B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,1,23、给定映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1的原像为（ ）A 、()1,3B 、()3,1C 、()1,1D 、()5,54、“2x y +>”是“11x y >>且”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知函数y =） A 、(,1⎤⎦-∞B 、(,2⎤⎦-∞C 、()(,22,1⎤⎦-∞--D 、)()1,22,⎡⎣+∞6、已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）A 、()32f x x =-B 、()23f x x =-C 、()32f x x =-D 、()3f x x = 7、已知()1y f x =+是R 上的偶函数，且()21f =，则()0f =（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、28、函数y ）A 、(),1-∞B 、()2,1-C 、()1,4D 、()1,+∞9、已知奇函数()f x 在()0,+∞上的图象如图所示，则不等式()01f x x <-的解集为（ ）A 、()()()3,10,11,3--B 、()()()3,10,13,--+∞ C 、()()(),31,03,-∞--+∞ D 、()()(),31,00,1-∞--10、已知函数()()()22,20f x x x g x ax a =-=+>，若对任意1x R ∈，都存在)22,x ⎡⎣∈-+∞，使得()()12f x g x >，则实数a 的取值范围是（ ）A 、3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞B 、()0,+∞C 、30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11、已知集合{}{}22230,0,,,,0A x x x B x ax bx c a b c R ac =-->=++≤∈≠，若(3,4A B ⎤⎦=，A B R =，则22b a a c +的最小值是（ ）A 、3B 、32C 、1D 、3412、设集合{}16,A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{}1,2,5的“交替和”是5214-+=，{}6,3的“交替和”就是633-=，{}3的“交替和”就是3）。
2015-2016学年重庆市重庆一中高一上学期期末考试数学试题 word版
秘密★启用前2016年重庆一中高2018级高一上期期末考试数 学 试 题 卷 2016.1数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.已知集合{}{}2,3,4,2,4,6A B ==，则AB =（ ）A.{}2B.{}2,4C.{}2,4,6D.{}2,3,4,6 2.已知扇形的中心角为3π，半径为2，则其面积为（ ）A.6πB.43π C.3π D.23π 3.已知1tan 3α=，则222cos 2sin cos ααα-=（ ） A.79 B.13- C.13 D.79- 4.三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c <<D.b c a <<5.已知在映射f 下，(,)x y 的象是(,)x y x y +-，其中,x R y R ∈∈。
则元素(3,1)的原象．．为（ ）A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)-D.(2,1)--6.已知函数2sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2sin()26x y π=-B.2sin(4)4y x π=+ C.2sin()26x y π=+ D.2sin(4)6y x π=+7.已知幂函数1()m f x x-=（,m Z ∈其中Z 为整数集）是奇函数。
2015-2016学年重庆市部分区县高一上学期期末数学试卷 解析版
2015-2016学年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩B等于（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1≤x≤3} D．{x|2＜x≤3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接根据交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，所以集合A∩B={x|1＜x≤3}∩{x|x＞2}={x|2＜x≤3}．故选：D．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题目．2．计算sin45°cos15°+cos45°sin15°=（）A．B． C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，故选D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式．属基础题．3．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的而是（）A．y=B．y=C．y=（）2D．y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据同一函数的定义：定义域相同，值域相同，解析式相同，判断即可得到结果．【解答】解：与y=x表示同一函数的是y=，故选：D．【点评】此题考查了判断两个函数是否为同一函数，弄清同一函数的定义是解本题的关键．4．已知向量=（1，2），=（3，1），则与的夹角为（）A．30°B．45°C．120°D．135°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的数量积公式解答即可．【解答】解：cos＜＞===，所以与的夹角为45°；故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式是运用求两个向量的夹角；属于基础题．5．若a=30.5，b=ln2，c=log3sin，则下列不等式正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=30.5＞30=1，0=ln1＜b=ln2＜lne=1，c=log3sin＜log31=0，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．6．已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（）A．﹣1 B．C．﹣1或 D．1或【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．【解答】解：令f（a）=则或，解之得a=或﹣1，故选：C．【点评】已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解．对于分段函数来说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的取舍．7．函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（）A．（，） B．（﹣，0） C．（0，）D．（，）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数零点的判定定理，判断出f（）与f（）的符号相反，即可求得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2x+4x﹣3的图象是连续的，且在定义域R上为增函数，又∵f（）=﹣2＜0，f（）=＞0，故函数f（x）=2x+4x﹣3的零点所在区间是（，），故选：A．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．8．函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为（）A．y=sinx B．y=sin（x+）C．y=sin（4x+）D．y=sin（4x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为y=sin（4x+），故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先找到从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位；再画出对应的图象，即可求出结果．【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．即图象变换规律是：①→②．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题，但也是易错题．易错点在于左右平移，平移的是自变量本身，与系数无关．10．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（）A．1，B．2，C．1，﹣D．2，﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数一个零点和与之最近的最小值点之间的距离，求出T==π，算出ω=2得到表达式为y=sin（2x+φ），再由函数的最小值，将（，﹣1）代入解出φ=，即可得到本题的答案．【解答】解：∵函数的一个零点为x=，与之最近的最小值点为x=∴函数的周期T==4（﹣），即=π，可得ω=2函数表达式为y=sin（2x+φ），∵x=时，函数的最小值为﹣1∴2×+φ=﹣+2kπ，可得φ=﹣+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=故选：B【点评】本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式，着重考查了三角函数的图象与性质、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．B．2或﹣ C．或﹣D．2或﹣或﹣【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】求出二次函数的对称轴为x=m，再分对称轴在区间[﹣2，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别根据当﹣2≤x≤1时y的最大值为4，求得m的值，综合可得结论．【解答】解：∵二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1的对称轴为x=m，﹣2≤x≤1，当m＜﹣2时，函数f（x）在[﹣2，1]上是减函数，函数的最大值为f（﹣2）=﹣（2﹣m）2+1+m2=4，求得m=，舍去；当﹣2≤m≤1时，函数f（x）的最大值为f（m）=1+m2=4，求得m=﹣（舍去）．当m＞1时，函数f（x）在[﹣2，1]上是增函数，函数的最大值为f（1）=﹣（1﹣m）2+1+m2=4，求得m=2．综上可得，m=2或﹣．故选：B．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y=f（x）﹣log a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，4）B．（4，+∞）C．（，1）∪（4，+∞）D．（0，1）∪（1，4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（﹣2，6）内函数f（x）和y=log a（x+2）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），又f（2+x）=f（2﹣x），即f（x+4）=f（﹣x）∴f（x+4）=f（x），则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[0，2]时，f（x）=（）﹣x﹣1，结合题意画出函数f（x）在x∈（﹣2，6）上的图象与函数y=log a（x+2）的图象，结合图象分析可知，要使f（x）与y=log a（x+2）的图象，恰有1个交点，则有0＜a＜1或，解得0＜a＜1或1＜a＜4，即a的取值范围是（0，1）∪（1，4）．故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知全集U=R，集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，则∁U M={y|y＜﹣1}．【考点】补集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】先化简集合M，再根据补集的定义求出∁U M．【解答】解：全集U=R，集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，∁U M={y|y＜﹣1}．故答案为：{y|y＜﹣1}．【点评】本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目．14．函数的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】函数的定义域为，由此能求出结果．【解答】解：函数的定义域为，解得x≥2．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答．15．已知向量，，满足•=0，||=2，||=1，则|+2|=4．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；集合思想；平面向量及应用．【分析】根据题意，由数量积的运算性质可得|+2|2=（+2）2=2+4•+42=||2+4•+4||2，代入数据可得|+2|2的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，|+2|2=（+2）2=2+4•+42=||2+4•+4||2=8，则|+2|=4，故答案为：4．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握数量积的有关运算性质是解题的关键．16．给出下列四个命题：①对于向量、、，若∥，∥，则∥；②若角的集合A={α|α=+，k∈N}．B={β|β=kπ±，k∈Z}，则A=B；③函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有且仅有2个公共点；④将函数f（﹣x）的图象向右平移2个单位，得到f（﹣x+2）的图象．其中真命题的序号是②④．（请写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用；平面向量及应用；集合．【分析】由于可为零向量，而零向量与任何向量共线，即可判断①；对k讨论为奇数或偶数，分解集合A，判断A，B的关系，即可判断②；写出函数y=2x的图象与函数y=x2的图象的第一象限的交点，令f（x）=2x﹣x2，运用零点存在定理，得到f（x）在（﹣1，0）上有零点，即可判断③；由图象平移的规律，左右平移一定针对自变量x而言，即可判断④．【解答】解：①对于向量、、，若∥，∥，则，的位置关系不确定，由于可为零向量，而零向量与任何向量共线，故①错；②若k=2n，则α=nπ+，若k=2n﹣1，则α=n，n∈Z，则A=B，故②对；③函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有交点（2，4），（4，16），当x＜0时，令f（x）=2x ﹣x2，由于f（﹣1）＜0，f（0）＞0，即f（x）在（﹣1，0）上有零点，故③错；④将函数f（﹣x）的图象向右平移2个单位，得到f（﹣（x﹣2））的图象，故④对．故答案为：②④【点评】本题考查向量的共线，注意零向量的特点，考查函数的图象的平移和图象的交点，注意运用零点存在定理，同时考查集合的相等，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A={x|1＜2x＜4}，B={x|log2x＞0}．（1）求A∪B；（2）若记符号A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求B﹣A．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）通过解不等式1＜2x＜4=22、log2x＞0可知A=（0，2）、B=[1，+∞），进而计算可得结论；（2）通过（1）可知A=（0，2）、B=[1，+∞），进而利用B﹣A的定义计算即得结论．【解答】解：（1）∵1＜2x＜4=22，∴0＜x＜2，A=（0，2），∵log2x＞0，∴x＞1，B=[1，+∞），∴A∪B=（0，+∞）；（2）由（1）可知A=（0，2）、B=[1，+∞），∴B﹣A={x|x∈B且x∉A}=[2，+∞）．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．已知sin（x+）=，且x∈（0，）．（1）求tanx的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出．【解答】解：（1）∵sin（x+）=，且x∈（0，）．∴cosx=，sinx==．∴tanx==．（2）====7．【点评】本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若=（2，1），=（2，﹣2），求的坐标．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】本题（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出λ的值，得到本题结论；（2）利用向量和，用，表示，利用，的坐标，得到的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，，∴==+=．∵A，E，C三点共线，∴存在m∈R，使得，∵，∴=．∴=．∵是平面内两个不共线的非零向量，∴，∴，∴实数λ的值为：．（2）∵，，λ=，∴．∵=（2，1），=（2，﹣2），∴=（﹣6，﹣3）+（﹣1，1）=（﹣7，﹣2）．∴的坐标为：（﹣7，﹣2）．【点评】本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题．20．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润x表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．21．在△ABC中，角A，B，C分别为三个内角，B=2A，向量=（cosA，﹣sinB），向量=（cosB，sinA），且向量⊥．（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调递增区间及f（x）在[0，]上的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直得到关于A的等式求出B；（2）利用（1）的结论，化简三角函数式，求单调区间和最值．【解答】解：（1）由已知B=2A，向量=（cosA，﹣sinB），向量=（cosB，sinA），且向量⊥．得到=cosAcosB﹣sinBsinA=cos（A+B）=cos3A=0，所以3A=，A=，B=；（2）f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx=cos（ωx﹣）+sinωx==，（ω＞0），因为f（x）的最小正周期为π，所以，解得ω=2；所以f（x）=，令2x+∈[]，所以x∈[]，所以f（x）的单调递增区间为[]；当x∈[0，]，2x+∈[]，所以sin（2x+）在[0，]上的最大值为．【点评】本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的性质的运用；关键是正确化简三角函数式为最简形式，利用正弦函数的性质求单调区间以及最值．22．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=log a[f（x）﹣ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g（x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．【解答】解：（1）由函数在（0，+∞）上为增函数，得到﹣2m2+m+3＞0解得，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f（x）是偶函数当m=0时，f（x）=x3，不满足f（x）为偶函数；当m=1时，f（x）=x2，满足f（x）为偶函数；所以f（x）=x2；（2），令h（x）=x2﹣ax，由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上为增函数．当1＜a＜2时，g（x）max=g（3）=log a（9﹣3a）=2，因为1＜a＜2，所以．当0＜a＜1时，g（x）max=g（2）=log a（4﹣2a）=2，∴a2+2a﹣4=0，解得，∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，综上，存在实数，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．【点评】本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．。
重庆南开中学高2015级高一期末数学试题
重庆南开中学高2015级2012～2013学年度高一（下）期末 数 学 试 题第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知点(1,2)M ，)1,2(N ，则直线MN 的倾斜角是 （ ） A ．45B ．90C ．135D ．不存在2．已知c b a ,,满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是 （ ） A ．cb ab 22< B ．ab ac > C. c b a ()-<0 D ．ac a c ()->0 3．直线033:1=+-y x l 与直线033:2=+-y x l 的夹角为 （ ）A ．6π B ．4π C. 3πD ．23π4．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速h km /60是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[)50,40，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有（ ）A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆5．若实数,x y 满足线性约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-03002y x y x y x ，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0 B. 3 C. 92D. 46．直线210kx y k --+=与圆()41)1(22=-+-y x 的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与k 有关第7题图7．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的x 值是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．38．已知0,0p q >>，,p q 的等差中项是12，12,x p y q p q =+=+则x y +的最小值为（ ）A ．7B ．5C. 4+ D ．3+9．已知点(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，直线b x y +=31将ABC ∆分割成面积相等的两 部分，则b 的值为 （ ） A.21 B. 32 C. 43D. 1 10.已知圆:M 051684422=-+++y x y x ,直线01:=-+y x l ,ABC ∆的顶点A 在直 线l 上,顶点C B ,都在圆M 上,且边AB 过圆心M ,︒=∠45BAC .则点A 横坐标的最大值 为 （ ） A.25 B. 23 C. 21 D. 21-第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的 就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽 取的学生人数为12．圆心在原点，并与直线01043=--y x 相切的圆的方程为 . 13．已知正实数b a ,满足8)2)(1(=++b a ，则b a +2的最小值为14．将一张坐标纸折叠一次，使点)1,5(与)3,7(重合，则与原点重合的点的坐标为15．对于满足不等关系221x y x y ⎧+≤⎨+≥⎩的任意实数,x y ，均有2ax y +≤恒成立，则a 的取值范围为______ __三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组同学在某次数学测验中的成绩，两组记录中各有一个数据模糊，无法确认，在图中以x ，y 表示, 已知乙组同学的平均成绩与乙组中位数相等 甲组 乙组 9 x 8 7 84 1 9 y 2 3（1）求y ；（2）若甲组同学与乙组同学平均成绩相等，求x 与甲组同学成绩的方差．（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知三点)0,1(-A ，)4,0(B ，)4,3(C （1）求AC 边上的高所在直线l 的方程； （2）求与直线l 平行且距离为23的直线方程．18．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且满足C bBc a cos cos )2(=-（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos 2),(1,1)m A A n ==，且1,m n b ⋅==ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）已知直线l ：0143=++y x 将圆22:24C x y mx y +--+280m -=)0(>m 截为长度为51：两段圆弧（1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上一动点，求y x y x 4222+++的最大值和最小值．20．（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）. （1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设112n nn b a n +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“折线距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-（1）已知()()1,4,0,1-N M ，P 为直线4=+y x 上一点，若),(),(N P d M P d =，求P 点坐标；（2）求坐标原点O 与直线01034=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值；（3）求圆122=+y x 上一点与直线01034=-+y x 上一点的“折线距离”的最小值．。
重庆南开中学高2015级2012-2013年5月月数学考卷
绝密★启用前重庆南开中学高2015级2012-2013年5月月考卷数学试题考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题）一.选择题.(每小题5分,共50分)1.设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等要直角三角形D ．等边三角形2.在等比数列{}n a 中，若24a =，532a =,则公比应为( )A ．2B ．±2C ．－2D ． ±123.锐角三角形ABC ∆中，若2A B =，则下列叙述正确的是（ ）.①sin3sin B C = ②3tan tan 122B C = ③64B ππ<< ④a b∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1)1(2013)1(636=-+-a a ，1)1(2013)1(200832008-=-+-a a ，则下列结论中正确的是A ．2013200862013,S a a =<B ．2013200862013,S a a =>C ．2013200862013,S a a =-≤D ．2013200862013,S a a =-≥5.在 ABC △中，角C 为最大角，且0222>-+c b a ，则ABC △是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定6.在等差数列{}n a 中，98=1,137,d S =则24698a a a a ++++等于( )A ．91B ．92C ．93D ．947.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8.执行右面的框图，若输出结果为12，则输入的实数x 的值是A ．32 B ．14 C ．22 D ．29.已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．40010.设变量x,y 满足约束条件0,1,2 1.x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z=5x+y 的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第II 卷（非选择题）二.填空题(每小题5分,共25分)11.己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是_________________.12.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin ,ABC ∆的面积=S .13.在△ABC 中，B=60°，AC=3，则AB+2BC 的最大值为_______。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (5)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。
重庆南开中学2015-2016学年度春期高一下半期数学试题(含答案)
重庆南开中学高2018届高一下期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知等差数列{}n a 中，2351,4a a a =+=，则该数列公差为（ ） A 、12B 、1C 、32D 、22、已知点()()10,1,2,A B y ，向量()1,2a =，若AB a ⊥ ，则实数y 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、83、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,42a a a a +=+=，则63S S =（ ）A 、12B 、98C 、2D 、94、下列说法中，一定成立．．．．的是（ ） A 、若,a b c d >>，则ab cd > B 、若11a b>，则a b < C 、若a b >，则22a b >D 、若a b <，则0a b +>5、在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若3,a b =且3A π=，则边c 的长为（ ） A、1B、C 、2D6、已知2,3,2a b a b ==-= a 与b的夹角为（ ）A 、30B 、60C 、120D 、1507、已知{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，平面内三个不共线向量OA 、OB 、OC，满足()1720002OC a OA a OB =-+，若点,,A B C 在一条直线上，则2016S =（ ） A 、3024B 、2016C 、1008D 、5048、ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若ABC ∆为锐角三角形，且,23B c π==，则边b的取值范围是（ ） A、)B、C、(D、)+∞9、已知ABC ∆中，3,2AB AC ==，点D 在边BC 上，满足AD AB AD ACAB AC ⋅⋅=，若AB a = ，AC b =，则AD = （ ）A 、1233a b +B 、2133a b +C 、3255a b +D 、2355a b +10、已知单调递增的等差数列{}n a ，满足10111011a a a a ⋅>⋅，且221011a a <，n S 为其前n 项和，则（ ） A 、8120a a +> B 、1219,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值 C 、8130a a +<D 、1220,,S S S 都小于零，10S 为n S 的最小值11、非零向量a 、b 满足2b = ，,30a b <>= ，且对0λ∀>，且a b a b λ-≥- 恒成立，则a b ⋅=（ ）A 、4B 、C 、2D 12、设{}n a 为单调递增数列，首项14a =，且满足()221111682n n n n n n a a a a a a +++++=++⋅，*n N ∈，则1234212n n a a a a a a --+-++-= （ ） A 、()221n n --B 、()33n n -+C 、()421n n -+D 、()61n n -+二、填空题（每小题5分，共20分）13、设12,e e 是不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为 14、数列223334444511111111111,,,,,,,,,,,22222222222，则该数列的第28项为15、设ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知60A = ，a ，sin sin sin B C B C +=，则ABC ∆的面积为16、已知在ABC ∆中，3AC =，G 为重心，边AC 的垂直平分线与BC 交于点N ，且4NG NC NG NA ⋅-⋅=- ，则AB AC ⋅=17、（10分）已知平面内三个向量()()()1,1,,2,2,1a b x c =-==，满足()//a b c + 。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (12)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．44．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[，]，则称f （x ）为“倍缩函数”，若函数f （x ）=log 2（2x +t ）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（﹣∞，）C ．（0，]D ．（﹣∞，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 ．14．（5分）若tanα=﹣，则sin 2α+2sinαcosα的值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=﹣，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2017）+f （2019）= ．16．（5分）已知函数（），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x |x 2﹣6x +5＜0}，C={x |3a ﹣2＜x ＜4a ﹣3}，若C ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知cosα=，cos （α﹣β）=，且0＜β＜α＜， （1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．4．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得，即为，则1＜x≤10，且x≠2，故选：D．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：由f（1﹣x）=f（1+x），得函数关于x=1对称，则c=f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∵当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，且﹣1＜﹣＜0，∴f（﹣1）＞f（﹣）＞f（0），即c＜a＜b，故选：A8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，所以△ABC是等腰三角形．故选：A．9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx•﹣cosxcosx=0，化为：tanx=±1．则sin2x====±1．故选：C．10．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f （x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（0，]D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）若tanα=﹣，则sin2α+2sinαcosα的值为．【解答】解：∵tanα=﹣，∴sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x ≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）=0．【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=﹣=f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=log22=1，f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（2+1）=﹣=﹣1，则f（﹣2017）+f（2019）=﹣1+1=0，故答案为：0．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=2×（+++…+）=2××30=445π．故答案为：445π．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a ﹣3}，若C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C⊆A，∴当C=∅时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；当C≠∅时，a＞1，∴．解得1＜a≤2．综上所述：a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，∴tan=，则tan2α==﹣；（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，得sin（α﹣β）==，可得，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=∴．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（1）∵已知（x∈R，a ∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点），∴f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最大值为a+3=4，∴a=1．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线．如图令==，∴，即面积之比为1：4．（2）由，，由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），x=100时，y=9，代入解得k=，所以y=lgx++5．当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；（2）对于函数模型f（x）==15﹣a为正整数，函数在[50，500]递增；f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344；要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x 对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（本小题12分）（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．…（1分）∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．…（3分）（2）由（1）知，易知f（x）在R上为减函数，…（4分）又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分）∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分）（3）由（1）知，又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，…（10分）即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，…（11分）∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．…（12分）。
重庆南开中学高2016级期末试题(模拟题)
重庆南开中学高2016级高一（上）期末考试模拟试题化学试题化学试题共6 页。
满分150分。
考试时间120分钟。
可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5 Mn -55 Fe-56 Cu-64第一部分（选择题共75分）选择题（本题包括23个小题，每小题只有一个正确选项。
1—17每小题3分，共51分。
18—23每小题4分，共24分。
）1．下列物质中属于纯净物的是（）A．玻璃B．漂白粉C．氯水D．液氨2．下列气体排放时，不会造成大气污染的是（）A．N2B．NO C．NO2D．SO23．存放照相机、显微镜、食品和药品的包装盒中常可发现一些袋装透明胶状颗粒，该颗粒材料可能的名称及其作用是（）A．活性炭、吸附剂B．硅胶、干燥剂C．生石灰、干燥剂D．KMnO4、氧化剂4．区别二氧化硫和二氧化碳气体的最佳方法是（）A．通入澄清石灰水B．用湿润的蓝色石蕊试纸C．用品红溶液D．根据有无毒性5．判断下列有关化学基本概念的依据正确的是（）A．氧化还原反应：元素化合价是否发生变化B．溶液：分散系是否无色、均一、透明C．电解质：物质在水溶液或熔融状态下能否导电D．氧化物：化学式中是否含有氧元素6．下列叙述正确的是（）A．得电子越多的氧化剂，其氧化性就越强B．阳离子只能得到电子被还原，只能做氧化剂C．含有最高价元素的化合物一定具有强的氧化性D．元素的单质可由该元素的化合物经氧化或还原来制得7．在实验室中，用镊子从煤油中取出一小块金属钠，然后用滤纸将煤油吸干，再用小刀切开观察。
在这一实验过程中不能得出的钠的物理性质是（）A．金属钠很软B．钠的熔点很低C．钠在常温下是固体D．钠的断面呈银白色，具有金属光泽8．Na2O、NaOH、Na2CO3、NaCl、Na2SO4可按某种标准划为同一类物质，下列分类标准正确的是（）①钠的化合物；②能与硝酸反应的物质；③可溶于水的物质；④焰色反应都显现黄色的物质；⑤钠盐；⑥钠的含氧化合物A．①③④B．①②⑤⑥C．②⑤⑥D．①②④⑤9．当光束通过下列分散系，能观察到明显丁达尔效应的是（）A．碳酸钠溶液B．稀硫酸C．硅酸钠稀溶液中滴加了少量稀盐酸D．三氯化铁溶液中滴加了几滴KSCN溶液10．向某无色透明溶液中加入铝片，有大量氢气产生，则下列离子在该溶液中一定不会大量存在的是（）A．Na+B．Mg2+C．HCO3－D．CO32－11．配制100 mL 2.0 mol·L－1 NaCl溶液时，下列情况中会导致最终浓度偏大的是（）A．容量瓶使用前未干燥B．转移溶液后，烧杯没有洗涤C．在称量NaCl固体时，天平指针偏左D．定容时，不小心加水超过了刻度线后，用胶头滴管吸出部分溶液至刻度线12．下列实验现象，与新制氯水中的某些成分（括号内物质）没有关系的是（）A．将NaHCO3固体加入新制的氯水中，有无色气泡（H+）B．向FeCl2溶液中滴加新制氯水，再滴加KSCN溶液，发现呈红色（Cl2）C．将AgNO3溶液滴加到新制氯水中，有白色沉淀产生（Cl—）D．新制氯水使红色布条褪色（HCl）13．下列实验的设计可行．．的是（）①②③④A．用装置①（省去带铁圈的铁架台未画出）分离碘酒中的碘和酒精B．装置②用于实验室制取氧气C．用装置③除去Cl2中混有的HCl杂质D．使用装置④比较Na2CO3、NaHCO3的热稳定性14．下列叙述中不正确的是( )A．热稳定性：Na2CO3比NaHCO3稳定B．溶解性: Na2CO3比NaHCO3易溶于水C．相同质量的Na2CO3和NaHCO3分别与足量盐酸反应, NaHCO3放出CO2多D．相同物质的量浓度的Na2CO3和NaHCO3溶液分别与同浓度的盐酸反应,产生气体的速率是Na2CO3大15．在一定条件下，RO3n－和氟气可发生如下反应：RO3n－＋F2＋2OH－＝RO4－＋2F－＋H2O。
南开中学高2015级12-13学年(上)半期试题——数学
重庆南开中学高2015级高一（上）期中考试数 学 试 题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确选项）1、已知集合{}{}{}21,2,31,1,3,1,3A a a B A B =--== ，则a 等于（ ） A 、41-或 B 、14-或 C 、1- D 、42、已知不等式x m >的解集是()(),22,-∞-+∞ ，则不等式33x m m ≤--的解集是（ ）A 、(][),11,-∞-+∞B 、RC 、φD 、[]1,1- 3、已知偶函数()f x 在闭区间[]0,5上单调递增，则下列关系式成立的是（ ）A 、()()5522f f f ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭B 、()()5252f f f ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭C 、()()5522f f f ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭D 、()()5252f f f ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭4、函数2232y x x =--的定义域是（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5、已知(),x y 在映射f 作用下的象是(),x y x y +-，那么()2012,2014的原象是（ ）A 、()4026,2-B 、()1,2013-C 、()2,4026-D 、()2013,1-6、函数y = ）A 、[)2,-+∞B 、[]5,2--C 、(],2-∞-D 、[]2,1-7、函数y = ）A 、(B 、⎡⎣C 、⎡⎣D 、( 8、函数()2122f x x -=+，则()1f x -=（ ）A 、3x +B 、2x -C 、2x --D 、4x -9、定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=-+，当1x >时，()f x 单调递减，若122x x +>，且()()12110x x --<，则()()12f x f x +的值（ ）A 、恒小于0B 、恒大于0C 、可能为0D 、可正可负10、已知整数集合{}2360M m x mx =+-=有整数解，非空集合A 满足条件：（1）A M ⊆ （2）若a A ∈，则a A -∈，则所有这样的集合A 的个数为（ ） A 、511 B 、31 C 、15D 、5第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）11、若对任意实数x ，不等式12x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是12、若函数()f x 的定义域是[]0,2，则函数()()21f x g x x =-的定义域是 13、已知()()()()2111x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f -= 14、南开中学高一某班有36名同学参加数学、物理、化学三科竞赛培训，每名同学至多参加两个学科的培训。
重庆市南开中学2015-2016学年高一下学期期末测试数学试卷 Word版缺答案
重庆南开中学高2018届高一（下）期末考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．直线10x +-=的倾斜角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π2．如果a b <，那么下列不等式可能成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b > C ．ln ln a b > D ．a b e e >3．某校教职工年龄结构分布如下表，为了该校未来的发展，学校决定从这些教职工中采用4．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．垂直于直线210x y +-=且平分圆：2220x y x y ++-=周长的直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+= B ．230x y -+= C ．2450x y -+=D ．20x y +=6．执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．127．非零向量,a b r r 满足：()a b a +⊥r r r ，(2)a b b +⊥r r r ，则a r 与b r的夹角,a b <>=r r （ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 8．数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2016a 的值为（ ）A ．67B ．57C ．37D ．179．已知实数,x y 满足：0x >且220x xy -+=，则2x y +的最小值为（ ） A．B．C．D．10．已知,x y 满足3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，且目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值10，则54a b +的最大值为（ ） A ．6 B ．8 C ．60 D ．8012．已知直线11:2l y x =及直线2:2l y x =都与两不同的圆1C 、2C 相切，且圆1C 、2C 均过点3(1,)2P ，则这两圆的圆心距12||C C =（ ）ABCD第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知向量(1,)a a =r ，(1,2)b =-r且(2)//a b b +r r r ，则实数a =________14．过直线:220l x y +-=上任意一点P 做圆22:20C x y x ++=的切线，切点为A ，则切线||PA 的最小值为________15．已知数列{}n a 是等比数列，若3698a a a =-，则172104124816a a a a a a ++的最小值为________ 16．已知||1OA =u u u r ，||2OB =u u u r 且||||1OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，若平面上点C满足|2|OA CB +=u u u r u u u r则||OC u u u r 的取值范围是________ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10分）已知ABC ∆顶点(1,2)A -，AB 边上的高CD 所在的直线方程为：20x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线方程为：230x y -+= （I ）求B 点坐标；（II ）求边AC 所在直线方程。
重庆市沙坪坝区南开中学2016-2017学年高一上学期期中
2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥26．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]10．f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b），且f（1）=2，则=（）A．1006 B．2016 C．2013 D．100811．奇函数f（x）在（0，+∞）内单调递增且f（2）=0，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．14．求函数y=的单调递增区间．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁U M）∩N等于（）A．{1}B．{2}C．{3，4}D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M的补集，再利用交集的定义求（∁U M）∩N．【解答】解：由题意∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2}，∴C U M={3，4，5}，又集合N={2，3，4}，故（∁U M）∩N={3，4}故选：C．2．函数f（x）=+的定义域为（）A．[﹣1，2）∪（2，+∞） B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）∪（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数有意义，需要被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列出不等式组，求出解集即为定义域．【解答】解：要使函数有意义，需使；解得x≥﹣1且x≠2故函数的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞）故选项为A3．若函数f（x）=，则f（2）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】利用函数在不同的定义域内满足的函数关系式求出函数的值．【解答】解：已知函数f（x）=①当x=2时，函数f（2）=f（2+2）=f（4）②当x=4时，函数f（4）=f（4+2）=f（6）③当x=6时，函数f（6）=6﹣3=3故选：B4．设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3]C． D．【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．5．函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x﹣3在上是增函数，则实数a的范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：由题意函数的对称轴x=≤，解得：a≤2，故选：C．6．已知函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C．函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D．函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】容易求出f（x）的定义域，从而判断出f（x）为非奇非偶函数，根据偶函数定义可判断g（x）为偶函数，从而找出正确选项．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称；∴f（x）为非奇非偶函数；解得，﹣1≤x≤1；又；∴g（x）为偶函数．故选B．7．若函数f（x）满足关系式f（x）+2f（1﹣x）=﹣，则f（2）的值为（）A．B．C．D．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用赋值法求解即可．【解答】解：∵f（x）+2f（1﹣x）=﹣，令x=2，则有f（2）+2f（﹣1）=﹣…．①令x=﹣1，则有f（﹣1）+2f（2）=3…②由①②解得f（2）=，故选D．8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B9．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得3a ﹣1＜0、﹣a ＜0、且﹣a ≤3a ﹣1+4a ，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a 的范围．【解答】解：由题意可得，求得≤a ＜，故选：A ．10．f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），且f （1）=2，则=（ ） A ．1006B ．2016C ．2013D ．1008【考点】函数的值．【分析】在f （a +b ）=f （a ）•f （b ）中令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），变形为=f （1）=2．以此可以答案可求．【解答】解：∵f （x ）满足对任意的实数a ，b 都有f （a +b ）=f （a ）•f （b ），∴令b=1得，f （a +1）=f （a ）•f （1），∴=f （1）=2．∴=2（共有1008项），=1008×2=2016．故选：B ．11．奇函数f （x ）在（0，+∞）内单调递增且f （2）=0，则不等式的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2）B ．（﹣2，0）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞） 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】通过当x ＞1时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增，又f （2）=0，则f （x ）＞0=f （2），当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，又函数f （x ）为奇函数，求出x ＜0时不等式的解集，进而求出不等式的解集即可．【解答】解：当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），∴x＞2．当0＜x＜1时，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，又函数f（x）为奇函数，则f（﹣2）=0且f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，则当x＜0时，f（x）＜0=f（﹣2），∴x＜﹣2，综上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜﹣2，故选：D12．已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】由二次函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线当x=﹣1时，函数取最小时﹣1若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则或则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．故答案为：114．求函数y=的单调递增区间．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】设t=﹣x2+4x+5，先求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系即可得到函数的递增区间．【解答】解：设t=﹣x2+4x+5，由t=﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，则函数t=﹣x2+4x+5的对称轴为x=2，∴当﹣1≤x≤2时，t=﹣x2+4x+5单调递增，此时y=也单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递增，当2≤x≤5，t=﹣x2+4x+5单调递减，此时y=单调递增，∴由复合函数单调性的性质可知函数y=此时单调递减，即函数y=的单调递增区间是[﹣1，2]．15．若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是k＞2．【考点】绝对值三角不等式．【分析】求出f（x）min=2，利用关于x的不等式的解集不是空集，从而可得实数k的取值区间．【解答】解：∵f（x）=|x﹣|+|x+|≥|（x﹣）﹣（x+）|=2，∴f（x）min=2，∵关于x的不等式的解集不是空集，∴k＞2．故答案为k＞2．16．定义有限数集A中的最大元素与最小元素之差为A的“长度”，如：集合A1={1，2，4}的“长度”为3，集合A2={3}的“长度”为0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，则U的所有非空子集的“长度”之和为201．【考点】排列、组合的实际应用；子集与真子集．【分析】根据题意，结合集合长度的定义，对集合A的子集分6种情况讨论，每种情况下分析符合条件的子集的数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合长度的定义，对集合A的子集分类讨论：①、长度为0的子集，共6个：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，②、长度为1的子集，必须为两个元素的集合，且其元素为相邻的两个自然数，共5个：即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，③、长度为2的子集，即子集中最大最小元素差为2，其中最小、最大元素有4种情况：即1、3，2、4，3、5，4、6；每种情况有2个子集，则共有8个子集，④、长度为3的子集，即子集中最大最小元素差为3，其中最小、最大元素有3种情况：即1、4，2、5，3、6；每种情况有4个子集，则共有12个子集，⑤、长度为4的子集，即子集中最大最小元素差为4，其中最小、最大元素有2种情况：即1、5，2、6；每种情况有8个子集，则共有16个子集，⑥、长度为6的子集，即子集中最大最小元素差为5，其中最小、最大元素有1种情况：即1、6；则共有16个子集，则U的所有非空子集的“长度”之和为：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；故答案为：201．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知实数a＞0，集合，集合B={x||2x﹣1|＞5}．（1）求集合A、B；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的表示法．【分析】（1）a＞0时化简集合A，根据绝对值的意义求出集合B；（2）根据交集与空集的定义写出a的取值范围即可．【解答】解：（1）a＞0时，集合={x|﹣1＜x＜a}，集合B={x||2x﹣1|＞5}={x|2x﹣1＞5或2x﹣1＜﹣5}={x|x＞3或x＜﹣2}；（2）当A∩B≠∅时，a＞3，∴a的取值范围是a＞3．18．已知一次函数f（x）在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，8]时，求函数的值域．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x ∈[0，3]时，值域为[1，4]．可求k，b．（2）函数，求出g（x），利用换元法转化为二次函数问题求值域．【解答】解：（1）由题意函数f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，在R上单调递增，当x∈[0，3]时，值域为[1，4]．故得，解得：b=1．k=1，∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+1、（2）函数=2x﹣，令：t=，则x=t2﹣1．∵x∈[﹣1，8]，∴0≤t≤3．∴函数g（x）转化为h（t）=当t=时，函数h（t）取得最小值为，当t=3时，函数h（t）取得最大值为13．故得函数h（t）的值域为[]，即函数g（x）的值域为[]，19．已知函数为奇函数．（1）若函数f（x）在区间上为单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，求k的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）由题意和奇函数的性质得f（﹣1）=﹣f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判断出f（x）的单调性，由条件和单调性列出关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据函数的单调性和条件，分两种情况列出不等式组，求出k的值．【解答】解：（1）∵函数为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），则﹣（1﹣a+4）=﹣（1+a+4），解得a=0，即=，∴f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵函数f（x）在区间上为单调函数，∴m≤2或，则0＜m≤2或m≥4，∴m的取值范围是（0，2]∪[4，+∞）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∵f（x）在区间[1，k]上的最小值为3k，∴或，解得k=或k=（舍去），即k的值是．20．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，集合B={x|x2﹣ax+a≤0}．（1）求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用韦达定理，求出m，n，即可求m﹣n的值；（2）若A∪B=A，B⊆A，分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1，n]，∴，∴m=﹣4，n=3，∴m﹣n=﹣7；（2）A∪B=A，∴B⊆A．①B=∅，△=a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4；②B≠∅，设f（x）=x2﹣ax+a，则，∴4≤a≤，综上所述，0＜a≤．21．已知二次函数f（x）=ax2+x（a≠0）．（1）当a＜0时，若函数定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当a＜0时，求出函数定义域与值域，利用定义域与值域完全相同，求a的值；（2）当a＞0时，分类讨论求函数g（x）=f（x）﹣2x﹣|x﹣a|的最小值h（a）．【解答】解：（1）当a＜0时，定义域为[0，﹣]．=值域为[0，]，∴=，∴a=﹣4；（2）g（x）=，①0≤a≤1，，x≥a，g（x）min=g（）=a﹣，x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，a﹣≥﹣a，∴≤a≤1，h（a）=﹣a；a﹣＜﹣a，∴0＜a＜，h（a）=a﹣；②a＞1，＜a，x≥a，g（x）min=g（a），x＜a，g（x）min=g（0）=﹣a，函数在[0，a]上单调递增，∴h（a）=﹣a；综上所述，h（a）=．22．已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；（3）求不等式的解集．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=y=1可得f（2）=3；令x=y=0可得f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，先探讨f（x）=t的取值范围t∈（﹣1，+∞），原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，（3）（3）f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f （x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．再证明函数y=f（x）在R上单调递增，原不等式转化为x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增F（x）≥F （3）⇒x≥1，【解答】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾，∴f（0）=0；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立⇒f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．令y=﹣x可得f（0）=f（﹣x）f（x）+f（x）+f（﹣x）⇒f（x）=，当x＜0时，f﹣x）＞0，则﹣1＜f（x）=＜0，∴x∈R时，f（x）=t∈（﹣1，+∞）．原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，即tt2+2t+5≥（t+1）a⇒a≤．g（t）=，当t=1时取等号．∴a≤4．（3）由（2）可得f（x）∈（﹣1+∞），f（x+1）∈（﹣1+∞），f（f（x））≥⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）•⇒[1+f（x+1）]•f（f（x））≥7﹣f（x+1）⇒f（x+1）+f（x+1）•f（f（x））+f（f（x））≥7⇒f（x+1+f（x））≥7．下面证明y=f（x）的单调性：任取x1，x2∈R，且x1＞x2，⇒f（x1﹣x2）＞0，f（x2）＞﹣1则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）+f（x1﹣x2）=f（x1﹣x2）[f（x2）+1]＞0所以函数y=f（x）在R上单调递增，∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，∴f（x+1+f（x））≥7⇒．f（x+1+f（x））≥f（3）⇒x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3x+1+f（x）≥3⇔F（x）≥F（3）⇒x≥1，所以原不等式解集为：[1，+∞）．2017年1月18日。
重庆南开中学高2017级高一(上)期末考试数学试题及其答案
1、A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要6、求函数 y= log 1 2sin(2 x )-123的单调区间（）兀 5兀A 、(k ,k )(k Z)41251JIC 、(k ,k )(k Z)635-)(k Z) B 、(k ,k 二 4 12JiJiD 、(k,k )(k Z) 622014-2015重庆南开高2017级高一（上）期末考试数学试卷 （2015.1）本试卷分第I 卷（选择题）和第U 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟 、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合要求）计算 cos28 cos32‘-sin28 sin32 二()C 、A 、 b<a<cB 、 c<a<bC 、 c<b<aD 、 b<c<a件（）2、 若设 a=20'5, b=log o.5e ，c=ln2，则下列结论正确的是（）3、 在厶ABC 中, ■JT-JT已知/ A = —，/ B =—，边AC =、.、3，则边BC 的长为（）43 4、 5、C 、1D 、-、6函数f (x )= 1 A 、（-一,0 ） 4在厶ABC 中,+4X-3的零点所在的区间是（ ）a、11 1 B 、（ 0,-）C 、（-,-）4 4 2b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边,D、（切）“sinA>sinB 是 “A>B 的什么条7、已知函数f （x ）= Acos（「x •「）（A>0，「• 0,0 ：：：「:::二）为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△ EFG 是边长为2的等边三角形，则B 、,3 4.3 3 B、乜CD2=6，8定义在R上的函数f (x)满足f (x+2) =f (x),当x€ [1 , 3], f (x) =2-|x-2|,则下列结论中正确的是（）TT ITA、f (sin ) <f (cos—)B、f (sin 1)> f (cosl)6 62 2C、f (sin ) <f (sin )D、f (cos2)> f (sin2)3 32 39、已知关于x的方程cos2x+ (4t+2) sinx= 2t +2t+1, x€ [0 , 一]，恰好有三个不等实根, 2则实数t的取值范围是( )A . -1<t<0B . -1v t< 0 C. 0<t< 1 D . 0v t< 1 10、如图所示，扇形OMN的半径是2,Z AOB = •，矩形ABCD的端点分别落在两半径及3圆弧上（显然OA = OD）,则矩形ABCD面积最大值是（第U卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分）211、计算lg4+2lg5+83= _____________小—sin ~ x, x 012、已知函数f(x)= f(x_1)_1,x，02 2 213、在厶ABC中，三个内角是A、B、C,且si nA < sin B+s in C—si nBsi nC,则角A的取值范围是 _______________214、若不存在整数x使不等式（kx-k -4）（x-4）v 0成立，则实数k的取值范围是15、 _____________________________________________________________________________ 对于函数f（x）= sin2x+2c °sx（0<x v n，下列结论正确的是_______________________________________sin 2xA .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值D.既无最大值又无最小值C.有最大值且有最小值三、解答题(本大题6个小题，共75分)(必须写出必要的文字说明，演算过程或推理过程)116、(13 分)已知集合A={x|2a w x v a+3}, B={x|2x v 或log5X> 1}.2(1)若a=-1，求A U B ；( ?R A ) AB；(2)若A A B=?,求a的取值范围17、(13 分)已知cos(x ' ) 2, ^,—)410 2 4(1)求sinx 的值；(2)求sin (2x ')的值。
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2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5.00分）已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2]B．（1，2]C．（0，1） D．（0，1]2．（5.00分）“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5.00分）已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．4．（5.00分）已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（5.00分）函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．6．（5.00分）将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A． B． C．D．7．（5.00分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．（5.00分）已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．9．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f （1）=1，则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5.00分）化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．11．（5.00分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．12．（5.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．（5.00分）已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．14．（5.00分）计算：=．15．（5.00分）已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为．16．（5.00分）已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．（10.00分）已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（12.00分）已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．19．（12.00分）已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．20．（12.00分）已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．21．（12.00分）已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．（12.00分）已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5.00分）已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log 2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2]B．（1，2]C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：B．2．（5.00分）“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：“”⇒“”，反之不成立，例如α=．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．3．（5.00分）已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，∴，解得l=5，r=，∴扇形的面积S=lr=故选：C．4．（5.00分）已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+＜0，f （3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选：C．5．（5.00分）函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：D．6．（5.00分）将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A． B． C．D．【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin x，然后向右平移个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选：B．7．（5.00分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选：B．8．（5.00分）已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．9．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f （1）=1，则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2016）=f（504×4）=f（0），f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=1，f（2018）=f（504×4+2）=f（2），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x=﹣2时，f（﹣2+4）=f（﹣2），即f（2）=﹣f（2），则f（2）=0，即f（2016）+f（2017）+f（2018）=f（0）+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：B．10．（5.00分）化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．【解答】解：tan20°+4sin20°=======，故选：D．11．（5.00分）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．12．（5.00分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=﹣2x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B．二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．（5.00分）已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为1．【解答】解：幂函数在（0，+∞）单调递减，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意；当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去；∴实数m的值为1．故答案为：1．14．（5.00分）计算：=3．【解答】解：=log66+2=3．故答案为：3．15．（5.00分）已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为﹣．【解答】解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），又∵，∴sin==，∴tan==2，∴tanθ==﹣故答案为：﹣16．（5.00分）已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为[，1+] ．【解答】解：由题意，令log 2（1﹣x）+1=0，∴x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，∴实数a的取值范围是（，1+]．故答案为：（，1+]．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．（10.00分）已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]===﹣；（2）化简可得===18．（12.00分）已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=a x+=f（x），则函数为偶函数，当x≥0时，设0≤x1＜x2，即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•，∵a＞1，0≤x1＜x2∴1≤＜，则﹣＜0，•﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增，同理当x≤0时，函数单调递减；（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|），即|x﹣1|＞|2x+1|，平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）．19．（12.00分）已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．【解答】解：（1）化简可得f（x）=•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ由函数图象关于直线对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）∵y=f（x）的图象过点，∴2sin（2•﹣）+λ=0，解得λ=﹣1，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，故函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]20．（12.00分）已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，∴，解得：，∴f（x）=x2+x﹣2；（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，∴由不等式对θ∈R恒成立，得：cos2θ+cosθ﹣2≤sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=+1﹣，∵﹣1≤sinθ≤1，∴①﹣1≤≤1即﹣3≤m≤1时：g min（θ）=1﹣≥0，解得：﹣3≤m≤1，符合题意；②＜﹣1即m＜﹣3时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＞﹣3，无解；③＞1即m＞1时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＜1，无解；综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]．21．（12.00分）已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）===0，∴=1，∴1﹣a2x2=1﹣x2，解得a=1或a=﹣1（舍）故a=1．（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：a=1，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=，由=0，得=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．22．（12.00分）已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）若a=，b=，c=，则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．（3）λ的最大值是．①当λ＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．②当λ=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当λ=时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为，。