2016-2017学年辽宁省实验中学分校高三(上)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M 且x∉N}为（）A．（0，3]B．[﹣4，3]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．285．（5分）若，则=（）A．B．C．D．6．（5分）掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知M为△ABC内一点，=+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．8．（5分）有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A．168 B．84 C．56 D．429．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．411．（5分）设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x 的不等式的解集为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．14．（5分）已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为．15．（5分）已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=．16．（5分）已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w ＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名五年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．现从这100名儿童中随机抽取1人，抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图，并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖？（3）是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：19．（12分）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是EC中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求三棱锥M﹣BDE的体积．20．（12分）为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）•f（x）＞﹣成立．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M 且x∉N}为（）A．（0，3]B．[﹣4，3]C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0]．故选：D．2．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．3．（5分）下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x=，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，x2+x﹣2＞0，解得x＜﹣2或x＞1，故“x＞1”的必要不充分条件，故错误，对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”，故正确，对于③，若x=，则tanx=1，”的逆命题为“若tanx=1，则x=，x还可以等于，故错误，对于④，f（x）是R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∵log32=，∴log32与log23不是互为相反数，故错误．故选：A．4．（5分）在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28【解答】解：依题意，+1=5，∴n=8．二项式为（）8，其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86（）2（﹣）6=7．故选B5．（5分）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：若，则cos（+α）=sin[﹣（+α）]=，∴===，故选：C．6．（5分）掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），基本事件总数n=6×6×6=216，其中满足条件的事件是恰有一颗骰子出1点或6点共有m=4×4×3×2=144，所以三个骰子恰有一颗骰子出1点或6点的概率：p===．故选：C．7．（5分）已知M为△ABC内一点，=+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：设，，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连BM．则EF∥AB，∴==．故选：A．8．（5分）有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A．168 B．84 C．56 D．42【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，有C41种方案，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，有C42种情况，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案；此时有C41•C42•C22种分配方案；②甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，此时乙可选的由3箱，有C32种方案，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案，此时有C42•C32•C22种方案；∴不同的分配方案共有C41•C42•C22+C42•C32•C22=42（种），故选D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A11．（5分）设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x 的不等式的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）•sinx＞f（x）；①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；⇒t≥3下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，⇒﹣2≤m≤1，⇒1＜m≤2+，⇒m无解，⇒m≥4，综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为﹣．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．14．（5分）已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为．【解答】解：∵，∴a+b=．∵a+b+c=，∴，解得c=1．∴a+b=．∵S=，∴ab=．∴cosC===．∴C=．故答案为．15．（5分）已知f（x）=3x2+2x+1，若f（x）dx=2f（a），则a=﹣1或．【解答】解：∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．故答案为﹣1或16．（5分）已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．【解答】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w ＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．==≤．∴S△ABC∴△ABC面积的最大值是．18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名五年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．现从这100名儿童中随机抽取1人，抽到不常喝碳酸饮料的学生的概率为（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）根据列联表中的数据绘制肥胖率的条形统计图，并判断常喝碳酸饮料是否影响肥胖？（3）是否有99.9%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．附：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：【解答】解：（1）根据题意，不常喝碳酸饮料的学生为A=100×=60，∴x=60﹣40=20，y=50﹣20=30，B=30+10=40；（2）根据列联表中的数据得常喝饮料的肥胖率为=0.75，不常喝饮料的肥胖率为=0.33，绘制肥胖率的条形统计图如图所示；根据统计图判断常喝碳酸饮料会增加肥胖的可能；（3）由已知数据可求得：K2=≈16.67＞7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．19．（12分）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是EC中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求三棱锥M﹣BDE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）解：∵M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，=V B﹣DEM==．∴V M﹣BDE20．（12分）为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当（即取胜对手的概率彼此相等）（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率．（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛四场要胜三场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是（Ⅱ）记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ=3，4，5所以ξ的分布列为数学期望．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）•f（x）＞﹣成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，而点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，又直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，故有，解得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（x＞0），由xf（x）＜m，得：＜m，令g（x）=，g′（x）=，令h（x）=1﹣x﹣lnx，则h′（x）=﹣1﹣＜0，（x＞0），∴h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1，要使＜m成立，只需m＞1，故m的取值范围是（1，+∞）；（Ⅲ）证明：要证3﹣（x+1）•f（x）=lnx+1＞﹣，对∀x＞0成立，即证明：xlnx+x＞﹣对∀x＞0成立，设φ（x）=xlnx+x（x＞0），φ′（x）=lnx+2，当x＞e﹣2时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当0＜x＜e﹣2时，φ′（x）＜0，φ（x）递减；∴φ（x）min=φ（e﹣2）=﹣，设g（x）=﹣（x＞0），g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；∴g（x）max=g（1）=﹣，∴φ（x）min=﹣＞g（x）max=﹣，∴xlnx+x＞﹣，对∀x＞0成立，∴3﹣（x+1）f（x）=lnx+1＞﹣对∀x＞0成立．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．所以f（x﹣3）=|x|﹣m+1≥0，所以|x|≥m﹣1的解集为为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．所以m﹣1=2，所以m=3；…（5分）（II）由（I）得f（x）=|x+3|﹣2∵∃x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t 成立即∃x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立…（6分）令g（x）=|x+3|=|2x﹣1|=故g（x）max=g（）=…（8分）则有|≥﹣t2+t+2，即|2t2﹣5t+3≥0．解得t≤1或t≥，∴实数t的取值范围是t≤1或t≥…（10分）。