八年级数学上册知识点：勾股定理

八年级数学上册知识点：勾股定理八年级数学上册知识点：勾股定理

一、勾股定理：

1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别

为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

２.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，

面积不会改变；

（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等

式，推导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量

关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三

角形的三边就不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理

1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否

是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来

确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边

的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；

（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，

不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足

a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，

但此时的斜边是 b.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角

三角形的一般步骤：

（1）确定最大边；

（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；

（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，

若相等，则说明是直角三角形。

三、勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股

数.

四、一个重要结论：

由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足

“两个较小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用

解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问

题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定

理的应用。

常见考法

（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

误区提醒

（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的一定是斜边。

【典型例题】（2010湖北孝感）

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方

法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，

著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到

其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈

话”的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及

符号语言叙述）；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；

[知识拓展]

勾股定理

一、勾股定理概述

直角三角形中，两直边的平方和等于斜边的平方。

即令直角三角形ABC中，其中角C=90°，直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c,则有

a²+b²=c²

①勾股定理应用的前提是这个三角函数必须是直角三

角形，解题时，只能是同一直角三角形中时，才能利用它

求第三边边长

②在式子a²+b²=c²中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄

错

③遇到直角三角形中线段求值问题（知识点详解见解直

角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“数”与

“形”有机结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关

系这一“数”结合起来，是属性结合思想方法的典型。

④勾股定理的变式

在Rt△ABC中，其中角C=90°，直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c，则

c²=a²+b²

a²=c²-b²=（c-b）(c+b)

b²=c²-a²=(c-a)(c=a)

c=根号下（a²+b²）

a=根号下（c²-b²）

b=根号下（c²-a²）

二、勾股定理证明方法

1.面积法

一个直角梯形由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成。因为三

个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出

等式

1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化简c2=a2+b2

2.赵爽证明法

以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直

角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

―a,∠HEF=90º.

∵EF=FG=GH=HE=b

∴EFGH是一个边长为b―ａ的正方形，它的面积等于

(b-a)2.