07高一数学竞赛练习卷七
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于(
).
解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在 的三个面上，即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1 上.在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在过球心 A 的大圆上，
任意的 x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得
.
一般地，由题设可得
，
且
，于是 af(x)+bf(x-c)=1 可化为
，即
，c=π，则对 ，其中
，所以
.
由已知条件，上式对任意 x∈R 恒成立，故必有
，
若 b=0，则由(1)知 a=0，显然不满足(3)式，故 b≠0.所以，由(2)知 sinc=0，故 c=2kπ+π 或 c=2kπ(k∈Z).当 c=2kπ 时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故 c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.
1.如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠APC=60°，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为( B)
A. B. C. D.
解：如图，在侧面 PAB 内，作 AM⊥PB，垂足为 M.连结 CM、AC，则∠AMC 为二面角 A-PB-C
的平面角.不妨设 AB=2，则
上是增函数，在
，设
，
上是减函数，且 y=g(x)的图像关于直线
对称，则对任意
，存在
，使 g(x2)=g(x1).于是
，而 f(x)在
上是减
函数，所以
，即 f(x)在
上的最小值是 .
12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格内至多 填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).
天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
……….8分
……..12分
即 成立的 的取值集合是 …..14分
20.解：（1）由 ，整理得 ……..2分
若直线和圆C相切，则有圆心 到 的距离 ，
即 ……………………………6分
（2）、设存在满足条件的直线
由 消去 ，得
（1）……………………8分
设直线 和圆C的交点为A ，B ，则 是方程（1）的两根
（2）……………….10分
由题意有：
即
即 （3）
将（2）代入（3）得： ……………………………….12分
解得：
所以满足条件得直线 为： …………….14分
1．A2．D3.C4.D5.B
6．C7.C8：A9、D10．D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．{x|x<0}
12．解析(数形结合)由图形可知点A 在圆 的内部,圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 ,所以
13、
14． （或底面为菱形、正方形）.
三．解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
天河区06-07学年下学期高一数学竞赛试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为（）
(A)(x2)2y25；(B)x2(y2)25；
(C)(x2)2(y2)25；(D)x2(y2)25。
2．已知 的边长为1， = 那么 等于（）
（A）3（B）－3（C） （D）
3.对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是（）
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及答案2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =U ，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a - C 、334a a + D 、221a --3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a z y x ,则abc 的值等于（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}na ，则100a 等于（ ） A 、114 B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：x 0 1 2 3 4 y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ）A 、xy b a =•B 、21y bxax =++C 、2()y x x a b=-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c=++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ）A 、2()f x x =B 、()1sin f x x =+C 、()ln 26f x x x =+-D 、2()lg(1)f x x x =+8、已知点O 是ABC∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=u u u r u u u r u u u r r且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOBBOC COA SS S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于（ ） A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ） A 、x y b a =∙B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 、2()f x x = B 、()1sin f x x =+ C 、()ln 26f x x x =+- D、())f x x =8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( )A. B. C. D.[-3，3]3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10＞0成立的事件发生的概率等于( )A. B. C. D.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( )A. B. C.-1 D.15.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( )6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( )A.62B.66C.68D.74二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若2，且是正整数，则q等于________.a11.已知函数，则f(x)的最小值为________.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种(用数字作答).三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( B )A. B. C. D.解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M.连结CM、AC，则∠AMC为二面角A-PB-C 的平面角.不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得.在△AMC中，由余弦定理得.2.设实数a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是( A )A. B. C. D.[-3，3]解：令，则有，排除B、D.由对称性排除C，从而只有A正确.一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立.由于，所以，从而上述不等式等价于.3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a-2b+10>0成立的事件发生的概率等于( D )A. B. C. D.解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a-2b+10＞0得2b＜a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为.4.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于( C )A. B. C.-1 D.1解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x-c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x-c)=1，由此得.一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x-c)=1可化为，即，所以.由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0.所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z).当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾，故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=-1.由(1)、(3)知，所以.5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是( A )解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线(当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆).当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1-r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D.由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A.6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集.若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为( B )A.62B.66C.68D.74解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B.证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个.由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B.如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66.二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为().解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|A C|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值.8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于().解：因为，所以，即.因为，，，所以，即.设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于().解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则.同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为.这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为.10.已知等差数列{a n}的公差d不为0，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于().解：因为，故由已知条件知道：1+q+q2为，其中m为正整数.令，则.由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知.11.已知函数，则f(x)的最小值为().解：实际上，设，则g(x)≥0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1).于是，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是.12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有(3960)种(用数字作答).解：使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种.所以，符合题设条件的填法共有722-72-16×72=3960种.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.设，求证：当正整数n≥2时，a n+1＜a n.证明：由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有，即a n+1＜a n.14.已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(x p，y p).若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由方程组消去y，得，即(k-1)x2+x-1=0.由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k-1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得.对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4).同理可求得直线l2的方程为…(5).(4)-(5)得，因为x1≠x2，故有…(6).将(2)(3)两式代入(6)式得x p=2.(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2y p=(3-2k)x p+2，而x p=2，得y p=4-2k.又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段(不含端点).15.设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：(1)对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；(2)对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x).令，，，，其中k为任意整数.容易验证f i(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，f i(x+π)=f i(x)，i=1，2，3，4.下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x).当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x).下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x.于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x).综上所述，结论得证.。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题与详解
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题与详解一、 选择题（每小题6分，共36分）1.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为（ ）．A ．17B ．17-C ．12D ．12-A B CDPMPDCBA【解答】 B ．如图，在侧面PAB 内，作AM PB ⊥，垂足为M ．连接CM 、AC ，则AMC ∠为二面角A PB C --的平面角．不妨设2AB =，则PA AC ==2AM ⋅，由此得C M A M ==．在A M C ∆中，由余弦定理得2221cos 27AM CM AC AMC AM CM +-∠==-⋅⋅．2. 设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）．A ．1133,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1122,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1143,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]33,- 【解答】 A ．令23x a =，则有1||3a ≤，排除B 、D ．由对称性排除C ，从而只有A 正确． 一般地，对k ∈R ，令12x ka=，则原不等式为234|||1|||||23a k a k a ⋅-+⋅-≥，由此易知原不等式等价于34|||1|23a k k -+-≤，对任意的k ∈R 成立．由于543,233414|1|1,1232353,12k k k k k k k k ⎧-⎪⎪⎪-+-=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，所以R 341min |1|233k k k ∈⎧⎫-+-=⎨⎬⎩⎭，从而上述不等式等价于1||3a ≤．3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于（ ）A ．5281B ．5981C ．6081D ．6181【解答】 D ．甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为2981=个．由不等式2100a b -+>得210b a <+，于是，当1b =、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9545⨯=种；当6b =时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当7b =时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当8b =时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当9b =时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为457531618181++++=． 4.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++．若实数a 、b 、c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca 的值等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1-D ．1【解答】 C ．令πc =，则对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x c +-=，于是取12a b ==，πc =，则对任意的x ∈R ，()()1af x bf x c +-=，由此得cos 1b ca =-．一般地，由题设可得())1f x x ϕ++，())1f x c x c ϕ-+-+，其中02πϕ<<且2tan 3ϕ=，于是()()1af x bf x c +-=可化为sin()sin()1x x c a b ϕϕ++-++=，即sin()sin()cos sin cos()(1)0x x c c x a b ϕϕϕ+++++-=，所以cos )sin()sin cos()(1)0a b c x c x a b ϕϕ+++++-=．由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 0(1)sin 0(2)10(3)a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，若0b =，则由⑴知0a =，显然不满足⑶式，故0b ≠．所以，由⑵知sin 0c =，故2ππc k =+或2πc k =()k ∈Z ．当2πc k =时，cos 1c =，则⑴、⑶两式矛盾．故2ππc k =+()k ∈Z ，cos 1c =-．由⑴、⑶知12a b ==，所以cos 1b ca =-．5.设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【解答】 A ．设圆1O 和圆2O 的半径分别是1r 、2r ，122O O c=，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为1O 、2O ，且离心率分别是122c r r +和122||cr r -的圆锥曲线（当12r r =时，12O O 的中垂线是轨迹的一部份，当0c =时，轨迹是两个同心圆）．当12r r =且122r r c +<时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当1202c r r <<-时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当12r r ≠且122r r c +<时，圆P 的圆心轨迹如选项D ．由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A ． 6.已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B 为空集．若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为（ ）．A ．62B ．66C ．68D ．74【解答】 B ．先证66A B ≤，只须证33A ≤，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n A ∈，使得22n B +∈．证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个．由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述34个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n A ∈，使得22n B +∈．如取A ={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，{22},B n n A =+∈，则A 、B 满足题设且66AB ≤．二、填空题（每小题9分，共54分）7.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为__________．【解答】． 如图，设AC 与BD 交于F 点，则 ||||||||||PA PC AC FA FC +=+≥，||||||||||PB PD BD FB FD +=+≥．因此，当动点P 与F 点重合时，||||||||PA PB PC PD +++取到最小值||||AC BD +=PFDCBA8.在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于___________． 【解答】 23．∵2AB AE AC AF ⋅+⋅=，∴()()2AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+=，即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅=． ∵21AB =，3311AC AB ⋅==-，BE BF =-，∴1()12BF AC AB +⋅--=，即2BF BC ⋅=． 设EF 与BC 的夹角为θ，则有||||cos 2BF BC θ⋅⋅=，即3cos 2θ=，所以2cos 3θ=． 9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________．【解答】 ．如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA BB 、面A B C D 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AAB B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则1π6A A E ∠=．同理π6BAF∠=，所以π6EAF∠=，故弧EF 的长为π6=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，π2FBG ∠=，所以弧FG的长为π2=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=． 10.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则q 等于__________．11A 1【解答】 2．因为22222212311122123111()(2)141a a a a a d a d b b b b b q b q q q ++++++==++++++，故由已知条件知道：21q q ++为14m ，其中m 为正整数．令2141q q m ++=，则1122q =-=-+ 由于q 是小于1的正有理数，所以1413m <<，即513m ≤≤且5634m m -是某个有理数的平方，由此可知12q =． 11.已知函数15()()44f x x =≤≤，则()f x 的最小值为__________． 【解答】．实际上πs i n π215()()44x f x x ⎛⎫-+ ⎪=≤≤，设π15()π()444g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤，则()0g x ≥， ()g x 在13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且()y g x =的图像关于直线34x =对称， 则对任意113,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在235,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使21()()g x g x =．于是12()()f x f x ===，而()f x 在35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以5()4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，即()f x 在15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是． 12.将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【解答】3960． 使2个a 既不同行也不同列的填法有2244C A 72=种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2244C A 72=种，故由乘法原理，这样的填法共有272种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有12169C A 种．所以，符合题设条件的填法共有2121697272C A 3960--=种．三、 解答题(本题每小题20分，共计60分)13. 设11(1)nn k a k n k ==+-∑，求证：当正整数2n ≥时，1n n a a +<． 【解答】 由于1111(1)11k n k n k n k ⎛⎫=+ ⎪+-++-⎝⎭，因此1211n n k a n k ==+∑，于是，对任意的正整数2n ≥，有111111111()212n n n n k k a a n k n k ++==-=-++∑∑ 111111111012(1)(2)(1)(2)n n k k n n k n n n n k ==⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑∑，即1n n a a +<．14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：1(0)y x x x =+>交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．【解答】 设点M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y 和2(x ，2)y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为1l 、2l ，其交点P 的坐标为(P x ，)P y ．若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+．由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=． 由题意知，该方程在(0，)+∞上有两个相异的实根1x 、2x ，故1k ≠，且14(1)0k ∆=+-> ……①， 12101x x k +=>- ……②， 1211x x k =>- ……③， 由此解得314k <<．对1y x x =+求导，得211y'x =-，则1211|1x x y'x ==-，2221|1x x y'x ==-，于是直线1l 的方程为112111()y y x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11211111()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简后得到直线1l 的方程为211121y x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……④．同理可求得直线2l 的方程为222121y x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……⑤． ④-⑤得22211211220px x x x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，故有12122p x x x x x =+ ……⑥． 将②③两式代入⑥式得2P x =．④-⑤得222212*********p p y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……⑦， 其中121212111x x x x x x ++==，2222121212122222221212121212()211212(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ⎛⎫++-++===-=--=- ⎪⎝⎭，代入⑦式得2(32)2p P y k x =-+，而2P x =，得42P y k =-．又由314k <<得522p y <<，即点P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）．15.设函数()f x 对所有的实数x 都满足(2π)()f x f x +=，求证：存在4个函数()i f x ()1234,,,i =满足：⑴ 对1234,,,i =，()i f x 是偶函数，且对任意的实数x ，有(π)()i i f x f x +=； ⑵ 对任意的实数x ，有1234()()()cos ()sin ()sin 2f x f x f x x f x x f x x =+++．【解答】 记()()()2f x f x g x +-=，()()()2f x f x h x --=，则()()()f x g x h x =+，且()g x 是偶函数，()h x 是奇函数， 对任意的x ∈R ，(2π)()g x g x +=，(2π)()h x h x +=．令1()(π)()2g x g x f x ++=，2()(π)ππ2cos 2()π0π2g x g x x k x f x x k -+⎧≠+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，3()(π)π()2sin 0πh x h x x k f x xx k -+⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，4()(π)π2sin 22()π02h x h x k x x f x k x ++⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，其中k 为任意整数．容易验证()i f x ，1234,,,i =是偶函数，且对任意的x ∈R ，(π)()i i f x f x +=，1234,,,i =．下证对任意的x ∈R ，有12()()cos ()f x f x x g x +=．当ππ2x k ≠+时，显然成立； 当ππ2x k =+时，因为121()(π)()()cos ()2g x g x f x f x x f x +++==，而3π3πππ(π)ππ2(1)π(π)π()2222g x g k g k k g k g k g x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=+=+-+=--=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故对任意的x ∈R ，12()()cos ()f x f x x g x +=．下证对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=．当π2k x ≠时，显然成立； 当πx k =时，()(π)(π2π)(π)(π)h x h k h k k h k h k ==-=-=-，所以()(π)0h x h k ==， 而此时34()sin ()sin 20f x x f x x +=，故34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=；当ππ2x k =+时，3π3πππ(π)(π)π2(1)πππ()2222h x h k h k k h k h k h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3()(π)()sin ()2h x h x f x x h x -+==，又4()sin 20f x x =，从而有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=．于是，对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=． 综上所述，结论得证．。
2007年广东省珠海市高一数学竞赛试题
2007年珠海市高中数学竞赛（高一卷）注意：可以使用计算器，但不得相互借用。
监考老师不回答任何与内容有关的问题． 一、选择题（每题6分共36分，请将正确答案的标号填入下面的表格中）1．集合A=}3,2,1,0{，集合B=}21{，，则从A 到B ，且以B 为值域的函数有（ ）个 （A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）162 已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ）（A ）(6)(7)f f >（B ）(6)(9)f f >（C ）(7)(9)f f >（D ）(7)(10)f f >3．函数)1(log )(22+-=ax ax x f 的定义域是R,则实数a 的范围是（ ） （A ）)4,0( （B ） )4,0[（C ）),4()0,(+∞⋃-∞ （D ）),4[]0,(∞⋃-∞ 4．已知21<<a ,则下各数中,最大的是(A) a 2log (B) )(log log 22a (C)22)(log a (D)a 2log5．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<6．记a a f 11)(1-=，)(11)(1a f a f k k -=+，，⋯=,3,2,1k 则)20082007(2008f ＝（ ） (A)20072008 (B) 20082007 (C)20071- (D) 20081- 二、填空题（每题6分共54分）7．已知x x x f x f -=-+2)1(2)(，则=)(x f .31312-x 8. 若函数ax bx b x f +++=3)(为奇函数，常数0≠b ，则常数a = ．-3 9. 已知函数)(x f 是奇函数，当0x <时，xx x f -++-=12|4|3)(；则当0x >时，()f x =_____________________.12|4|3+-+-x x10.若方程a x x =-+|42|2恰有三个不同的实数解，则常数a = .511. 将函数)(x f =x 2log 的图象C 1沿ｘ轴向左平移2个单位得到C 2，C 2关于点)0,2(-对称的图象为C 3，若C 3对应的函数为)(x g ，则函数)(x g =_______________.)2(log 2---=x y 12. 已知f (x)=⎩⎨⎧<+≥-)6)(2()6(5x x f x x 则((3))f f -=___________.113. 二次函数f(x) 满足 f(2+x)= f(2－x),又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥ f(0), 那么实数 a 的取值范围是_______________.]4,0[14. 函数2211xx y +-=的值域是_______________.]1,1(- 15.已知定义在R 上的函数f(x)满足:)()1(0,0)()(x f xf ，x x f x f -=≠=-+有时当.请写出这样的函数的一个表达式: ______________________．⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0,10,0)(x x x x x f （答案不唯一）三、解答题(共60分)16.（15分）解方程：)1(log )1(log 1222-=++x x ． 解：因为210,10x x +>->，所以1x > 3分 由原方程可得：222l g 2(1)log (1)o x x +=- 5分 所以2230x x --= 8分解得：13x =，21x =-（不合题意，舍去） 12分 经检验可知，3x =是原方程的解。
高一数学竞赛试题7
淄博一中高中一年级数学竞赛试题姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿成绩＿＿＿＿＿一、选择题：（每小题4分，共4*15=60分）x －1，则y ＝|f －1(1－x)|) A.２、已知log a 13 ＞log b 13＞0，则a 、b 的关系是 ( ) A.1＜b ＜＜a ＜＜a ＜b ＜＜b ＜a ＜1３、命题甲：“α=2kπ且β=2nπ，k 、n ∈Z ” ，命题乙：“cosα+cosβ＝2”，则甲是乙的（ ）(A)充分非必要条件； (B)必要非充分条件；(C) 充要条件； (D)既不充分又不必要条件４、函数y ＝2cos(sinx)的值域是 ( )A.[0，2cos1]B.[－2，2]C.[2cos1，2]D.[－2cos1，2cos1]５、函数f(x)＝|x-1|-a 1-x 2是奇函数，则实数a 的值为 ( ) A ．－1； B ．1； C ．－12 D ．12６、已知角θ的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在X 轴的正半轴上，终边经过点P （a ，－2a)(a<0)，则sin θ的值是 （ ）A 、15B 、－15C 、25D 、－25７、设函数f(x)=log 2(2x +1)的反函数为f －1(x)，则方程f(x)=f －1(2x)的解集是 （ ）A 、{－1}B 、{1}C 、{－1，1}D 、φ８、已知π<θ<54 π，sin2θ=12，则cos θ—sin θ等于 （ ） A 、12 B 、－12C 、 3 2D 、－ 3 2 ９、定义在（－∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)＝－f(x)，且在区间[－1，0]上是增函数，下面关于函数f(x)的判断:x①f(x)是周期函数 ②f(x)的图象关于直线x=1对称③f(x)在[0，1]上是增函数， ④ f(x)在[1，2]上是增函数其中正确的判断是 （ ）A 、①④B 、②③C 、①②③D 、①②④10、函数y=4sin(2x+π3)的图象 （ ） A 、关于直线x=π6 对称 B 、关于直线x=π12对称 C 、关于y 轴对称 D 、关于原点对称11、满足不等式sin(x －π4 )＞12的x 的集合是 （ ） A.{x|2k π+5π12 ＜x ＜2k π+13π12} B.{x|2k π－π12 ＜x ＜2k π+7π12} C.{x|2k π+π6 ＜x ＜2k π+5π6} D.{x|2k π＜x ＜2k π+π6 }∪{x|2k π+5π6＜x ＜2k π+π} 12、把函数y=cosx 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移π4个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （ ）Ａ、y=cos(2x+π4 ) B 、y=cos(x 2 +π4) C 、y=sin2x D 、y=－sin2x 13、函数y=－xcosx 的部分图象是上图中的 ( )14、已指数列{a n }的前n 项的和S n =a n -1 (a 是不为0的实数)，那么{a n } （ ）A 、 一定是等差数列B 、一定是等比数列C 、 或者是等差数列，或者是等比数列D 、既不可能是等差数列，也不可能是等比数列15、已知y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x),当x<0时,f(x)= ( )A 、-x(1-x)B 、x(1-x)C 、-x(1+x)D 、x(1+x)二、填空题：（每小题5分，共4*5=20分）16、等差数列{a n }中，已知a 4＋a 7＋a 10＝18，a 6＋a 8＋a 10＝27，若a k ＝21， 则k ＝_________17、已知函数f(x)对任意的实数x 1、x 2满足2f(x 1)f(x 2)＝f(x 1＋x 2)＋f(x 1－x 2)，且f(x)≠0，则此函数为______函数（填奇偶性），并在你学过的函数中写出一个满足这些条件的函数（只需写出一个即可）___________________________________18、函数y=log 12cos(x 3 +π4 )在区间___________________________________上是减函数。
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案
2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ）A. 71 B. 71-C. 21D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CMAM ACCM AMAMC。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A ）A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]解：令ax32=，则有31||≤a，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令kax 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k kk k k k k k ，所以31|}34|23|1{|minR=-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ）A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
2007年全国高中数学联赛试题及解答
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A.71 B. 71-C.21D. 21-2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[-D. [−3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152 B.8159 C.8160 D.81614. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（ ）A. 21- B.21 C. −1 D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。
2007年温州市摇篮杯高一数学竞赛试题及标准答案
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2００7年4月１5日）１、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =,则集合B 不可能．．．是 ﻩ（ ） A 、{}|1,x x x R >-∈ Ｂ、{}|1,x x x R <-∈ C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 ２、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于ﻩﻩ ( ）A 、3aB 、334a a -ﻩC 、334a a +D 、2-３、已知c b a ,,均为正数，且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于 ﻩ( )A 、1B 、2Ｃ、3ﻩD 、44、将正整数中所有被7整除的数删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于ﻩﻩﻩ（ ） Ａ、114ﻩB 、1１5C 、１１６D 、117５、今有一组实验数据如下:最能近似地表达这些数据规律的函数模型是 ﻩ( ） A 、x y b a =•ﻩＢ、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+ﻩﻩD 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根，则ﻩﻩ（ ) A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立 Ｂ、对一切实数x ,不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ,使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 Ｄ、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是ﻩﻩ( ) A 、2()f x x =B 、()1sin f x x =+C 、()ln 26f x x x =+-D 、2()lg(1)f x x x =+8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外;B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2007年福建省高一数学竞赛试题
2007年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月20日上午8：30—11：00)2.解答书写时不要超过装订线.一、选择题(共5小题，每小题5分，满分25分) 1.给出下列四个命题：（1）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时平行a 、b ； （2）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时垂直a 、b ； （3）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面平行于b ； （4）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面垂直于b ；上述四个命题中，正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.设集合(){}23lg 42,11M x y x x N x x ⎧⎫==--=≥⎨⎬+⎩⎭，则M N = （ ）A.{}11x x -<<B.{}32x x -<≤ C.{}11x x -<<D.{}1312x x x -<<-<≤3.已知函数()2x f x =与()3g x x =的图像交于()()1122,,A x y B x y 、两点，其中12x x <.若()2,1x a a ∈+，且a 为整数，则a =（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 4.已知函数()(){21010),x x f x x f x --≤->=（）( 若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. []0,1C. (),1-∞-D. [)0,+∞5. 点O 在△ABC 的内部，且满足220OA OB OC →→→→++=，则△ABC 的面积和凹四边形ABOC 的面积之比为（ ） A.52 B. 32 C. 54 D. 43 二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)6.若存在实数x 和y ，使得222223sin cos ,21cos sin ,2,x y a x y a +=+=⎧⎨⎩则实数a 的所有可能值为 .CB7. 将一边长为4的正方形纸片按图1中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱，设其体积为1V ；若将同样的正方形纸片按图2中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥，设其体积为2V ；则1V 与2V 的大小关系是 .8. 已知()c o s n n b a π=，其中()23*123n n a n nN=++++∈ ，则122b b b ++ 的值为 . 9.设()(),22f x g x x ππ⎫⎛⎫+=∈- ⎪⎪⎝⎭⎭，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则2244f g ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 10.若对满足1x ≤的一切实数x ，不等式()214t t x +>-恒成立，则实数t 的取值范围是 .11. 已知()f x 为R 上的偶函数，且对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，则()2007f = 12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：123,,,,n a a a a ，例如：222222123213325437a a a =-==-==-=，，，224318a =-= ，.那么2007a = . 三、解答题(共5小题，每小题12分，满分60分) 13. 已知圆C 满足下列三个条件（1） 圆C 与x 轴相切；（2） 圆心C 在直线30x y -=上； （3） 圆C 与直线0x y -=交于A 、B两点，且△ABC 求符合上述条件的圆C 的方程.14. 已知二次函数()()20f x x bx c b =++>在区间[]1,1-上的最小值为34，最大值为3.（1）求()f x 的表达式；（2）若()()1n a f n f n =--，其中2n ≥，且*n N ∈. 求证：2222234111114n a a a a ++++< .15. 如图，在四边形OBAC 中BO CO ⊥，AB =AC OBAC 面积的最大值.图1 图216.如图，AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，在AB 及其延长线上分别取点D 、E ，使BD =BE ，直线CD 、CE 分别交圆O 于点F 、G .（1）求证：AF AGDF EG=； （2）在直径AB 上是否存在点D ，使得FG 与AB 垂直.若能，请写出作法；若不能，请说明理由.{}1,2,3,,2007 的每17. 求最小的正整数n ，使得集合一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂.简解选择：AACCC填空：6、1；7、21V V >；8、1-；9、2-；10、21212113+<<-t 11、0；12、2679 解答：13、()()()()9319312222=+++=-+-y x y x 或14、（1）()12++=x x x f （2）利用()n n n⋅-<1112进行放缩 15、288+16、（1）证明△ECB ∽△EAG 及△BCD ∽△FAD（2）反证法 17、1002．。
2007年北京市中学生数学竞赛_高一试卷及解析
2007年北京市中学生数学竞赛_高一试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知f(x)是定义R上的奇函数，则f(sinπ2)+f(sinπ)+f(sin3π2)=（）.A. -0.5B. 0C. 0.5D. 12.函数y=|k1x+b1|+|k2x+b2|−|k3x+b3|（其中，k1、k2、k3为正常数，b1、b2、b3均为非0常数）的图像可能是图中的（）.A. B. C. D.3.若O是锐角△ABC内一点，满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2.则点O是△ABC的（）.A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心4.若f(x)=(k−1)x2+2kx+2007是R上的偶函数，则在(−∞,2007)上f(x)（）.A. 是增函数B. 是减函数C. 先减后增D. 先增后减5.在△ABC中，如果abcosC+bccosA+cacosB=c2.其中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则△ABC的面积是( )A. 12abB. 12bcC. 12caD. 12(a2+b2+c2)第II卷（非选择题）二、解答题6.已知一次函数f(x)=ax+b对任意的x、y∈[0,1]都满足|f(x)+f(y)−xy|≤14.试确定这样的f(x).7.如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，另一组对边AD、BC的延长线交于点Q，自P、Q分别作该圆的切线PE、QF其中，E、F是切点，联结PQ.求证：以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.8.已知实数序列x0,x1,x2,⋯,x n,⋯的构成规律由递推关系x0=5，x n=x n−1+1(n=1,2,⋯)给出.求证：45<x1000<45.1.x n−1三、填空题9.已知，，c>1.则log a b+2log b c+4log c a的最小值是_______.10.如图，MN是半圆⊙O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上的点.若AP+PB的最小值为2√2cm，则半圆⊙O的面积是_______cm2.11.—个等差数列的首项为非0实数a，且对每个正整数n，数列的前n项和都等于an2.则这个数列的公差为_________.12.将一副学生用三角板拼成如图所示的四边形ABCD，其中∠CBD=∠CDB=45°，∠BAD=2∠BDA=60°，设对角线CA与边CB所成的角为θ.则tanθ=_______.13.在一张平面上画了2007条互不重合的直线l1,l2,⋯,l2007，始终遵循垂直、平行交替的规则进行(l2⊥l1,l3∥l2,l4⊥l3,l5∥l4,⋯).这2007条互不重合的直线共有_____________个交点.参考答案1.B【解析】1. 由题意可得原式=f (1)+f (0)+f (−1)=0.故选：B. 2.C【解析】2. 由题意可得，当x→+∞时，f (x )=(k 1x +b 1)+(k 2x +b 2)−(k 3x +b 3) =(k 1+k 2−k 3)x +(b 1+b 2−b 3)，当x→−∞时，f (x )=−(k 1x +b 1)−(k 2x +b 2)+(k 3x +b 3) =−(k 1+k 2−k 3)x −(b 1+b 2−b 3)，这两段函数的解析式斜率互为相反数，结合所给的选项，只有C 选项符合题意. 故选：C. 3.A【解析】3.由题意可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 结合题意有：(OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2+(OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2+(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2, 整理可得：OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，即OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,∴OC ⊥AB , 同理可得OA ⊥BC,OB ⊥AC ，即点O 是△ABC 的垂心.故选：A. 4.D【解析】4.函数为偶函数，则f (−x )=f (x )，即(k −1)×(−x )2+2k ×(−x )+2007=(k −1)x 2+2kx +2007， 据此可得：k=0，函数的解析式为：f (x )=−x 2+2007，则在(−∞,2007)上f (x )先增后减.故选：D. 5.A【解析】5.由题意结合余弦定理有：ab ⋅cosC +bc ⋅cosA +ca ⋅cosB=ab ⋅a 2+b 2−c 22ab +bc ⋅b 2+c 2−a 22bc +ca ⋅a 2+c 2−b 22ac=a 2+b 2−c 22+b 2−c 2−a 22+a 2+c 2−b 22=a 2+b 2+c 22=c 2.∴a 2+b 2=c 2.则△ABC 为直角三角形，且C =π2.综上所述△ABC 面积为12ab. 故选：A. 6.答案见解析【解析】6. 对一次函数f (x )=ax +b ，设F (x,y )=ax +b +ay +b −xy .据已知有F (0,0)=2b ≥−14，即b ≥−18.①F (0,1)=a +2b ≤14.②又F (1,1)=2a +2b −1≥−14，即a +b ≥38.③②-③得a+2b −(a +b )≤14−38=−18⇒b ≤−18.结合式①得b =−18.将b=−18代入式②、③，分别得a ≤12，a ≥12⇒a =12.故所求的一次函数为f (x )=12x −18.当f (x )=12x −18时，F (x,y )=|12(x +y )−14−xy|=|x −12|⋅|12−y|≤12×12=14对任意的x 、y ∈[0,1]都成立.7.见解析【解析】7.只须证明：PQ 2=PE 2+PF 2即可.如图，过Q 、D 、C 三点作辅助圆交PQ 于点G ，联结CG. 因为D 、C 、G 、Q 四点共圆，所以，∠PGC =∠QDC =∠ABC .故P 、G 、C 、B 四点共圆. 则QF 2=QC ⋅QB =QG ⋅QP . 又PE 2=PC ⋅PD =PG ⋅PQ ，相加得PE 2+PF 2=PG ⋅PQ +QG ⋅QP =PQ (PG +GQ )=PQ 2因此，根据勾股定理的逆定理得，以线段PE 、QF 、PQ 为边构成的三角形是直角三角形. 8.见解析【解析】8.不难看出，数列的各项都是正数且是递增的，即x 0<x 1<x 2<⋯<x n <⋯.而x n2=(x n−1+1x n−1)2=x n−12+1x n−12+2，x n−12=(x n−2+1x n−2)2=x n−22+1x n−22+2， x n−22=(x n−3+1xn−3)2=x n−32+1x n−32+2，……x 22=(x 1+1x 1)2=x 12+1x 12+2，x 12=(x 0+1x 0)2=x 02+1x 02+2.上述n 个式子相加得x n 2=1x n−12+1x n−22+1x n−32+⋯+1x 12+1x 02+x 02+2n .①当n=1000时，由式①得x 10002>x 02+2×1000=52+2000=2025.故x 1000>45.又当n =100时，由式①得x 10002>x 02+2×100=225=152.则x 10002=1x 9992+1x 9982+1x 9972+1x 9962+⋯+1x 12+1x2+ x 02+2×1000 <1x 10002+1x 1002+⋯+1x 1002+1x 02+1x 02+⋯+1x 02+2500900个 100个≤900152+10052+2025=4+4+2025<452+9<452+2×45×0.1+0.12 =(45+0.1)2=45.12.故x 1000<45.1.综上，45<x 1000<45.1.9.6【解析】9. 由题意可得：lga >0,lgb >0,lgc >0，且： 原式=lgb lga+2lgc lgb+4lga lgc ≥3√lgblga×2lgc lgb×4lga lgc3=6，当且仅当lgb lga =2lgclgb =4lgalgc 时等号成立. 10.2π【解析】10.建立如图所示的直角坐标系，设点B关于直线MN的对称点为B′，由对称性易知AB′的长度为AP+PB的最小值，设圆的半径为R，易知A(12R,√32R),B′(√32R,−12R)，则|AB′|=√2R=2√2,∴R=2，据此可得半圆的面积S=12×π×22=2π cm2.11.2a【解析】11.由题意可得：a2=S2−S1=3a，则数列的公差d=a2−a1=2a.12.√3−12【解析】12.建立如图所示的平面直角坐标系，设OC=m，则C(0,m),A(−m,√3)，由斜率公式可得：K AC=m+2m√3m=1√3，设直线AC的倾斜角为α，易知：tanθ=tan(α−45∘)=tanα−tan45∘1+tanαtan45∘=√3−12.13.1007012【解析】13.由题意易知所绘制的直线中，与直线l1平行的直线有1004条，与直线l2平行的直线有1003条，则这2007条互不重合的直线共有1004×1003=1007012个交点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新高中数学奥数竞赛 高一数学竞赛练习卷七
1、若不等式0124)(2
>++-x
x
m m 对任意的]1,(--∞∈x 恒成立，则m 的取值范围是 （A ）]41
,(-∞（B ）]6,(--∞（C ）),2
1()21,(+∞⋃-∞（D ）（-2，3）
（ ）
2、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()
()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩
当当，
若{1,2}A =，2
{||1|1}B x x ax =++=，且1A B *=,由a 的所有可能值构成的集合是S ， 那么()C S 等于
( )
A ．4 B. 3 C ．2 D ． 1
3、对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：
①若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点A （1，0）对称 ②若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数 ③若对R x ∈，有)(),()1(x f x f x f 则-=-的周期为2
④函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于y 轴对称.其中正确命题的个数是 A . 1
B . 2
C . 3
D . 4 ( )
4、圆)0(2
2
2
>=+r r y x 至少能盖住函数r
x
x f 2sin
30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r 的取值范围是 ( )
A ．),30[+∞
B. ),6[+∞
C. ),2[+∞π
D. 以上都不对
5、设实数x y ,满足约束条件||2,
||2,x y ≤⎧⎨≤⎩
则max{4,z x y =+ 3}x y -的取值范围为
A 、[6,0]-
B 、[7,10]-
C 、[6,8]-
D 、[7,8]-
（ ）
6、已知1tan()42π
α+=，且02π
α-<<，则22sin sin 2cos()4
ααπα+=- （ ）
A.
7、已知向量a 、b 满足|a |=|b |=1，且a 、b 的夹角为60°，点O 、A 、B 满足=2a +b ，
=3a -b ，则△AOB 的面积为（ ）
A ．
235 B ．4
35 C ．
4
3
7 D ．
4
11 8、已知数列{n a }满足31=a ，n
n a a +-=
+11
1，则=2011a （ ）
A ．3
4-
B ．4
1-
C ．3
D ．-3
9、与直线04=--y x 和圆0222
2
=-++y x y x 都相切的半径最小的圆方程是__ _ _。
10、在△ABC 中，若AB=2，AC=2BC ，则ABC S ∆的最大值为________。
11、若△ABC 中，BC ＝12，BC 边上的高h a ＝8，h b ，h c 分别为CA ，AB 边上的高，则乘积h b h c 的最大值为_________。
12、已知数列{n a }满足11=a ，32=a ，且n n n a a a -=++12，则S 100= 。
13、对任意的⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2
,0πθ，有不等式2
1
2cos sin -≤
--q p θθ恒成立，则=+q p 2 。
14、已知函数22
()cos sin sin (0,)f x x x x x x R ωωωωω=+->∈图象的两相邻对
称轴间的距离为
2
π。
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若a =()1,f A =求b c +的最大值．
15、已知数列{a k }定义如下：a k ＝12·3
4·……·2k －32(k －1)·2k －12k (k ＝1，2，……)
求证：（1）a n ＋1＜
1
2n ＋3
； （2）对任意的正整数n ，都有∑n k ＝1
a k ＜2(n ＋1)－1成立。
16、三次方程02
3
=+++c bx ax x 的三根分别为a 、b 、c ，并且a 、b 、c 是不全为零的有理数。
求a 、b 、c 的值。
答案：DBCBBABC ；()()2112
2
=++-y x ；3；
25
2304
；89；2； 14、（1）1=w ；（2）32。
15、放缩法。
16、⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++-=++c abc b ca bc ab a c b a ，由c abc -=，得0=c 或1-=ab 。
（一）若0=c ，则⎩⎨
⎧=-=+b ab a b a ，得⎩⎨⎧==00a b 或⎩⎨⎧=-=1
2
a b ；
（二）若1-=ab ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-+a a a c a c a a 1111得⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a a a a a 12111，
得⎩⎨⎧=-=1
1a b 或()a a +=1212。
设n m a =，则可化为()n m m n +=232，所以n 一定为偶数，
而m 一定为奇数，再对照等式发现不可能。