刚体的转动25..
刚体定轴转动转动定律
c
c
c
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4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
刚体的定轴转动
第一节 刚体运动的描述
图5- 4 刚体的角量描述
第二节 刚体的定轴转动定律
一、 力对转轴的力矩
对于刚体的定轴转动而言，若 作用在刚体上p点的力F在转动平面 内，力的作用点p相对于转轴的位 矢为r，力臂为d，则力F对转轴的 力矩为
M=r×F 其中，力矩的大小M=Frsin θ 如图5-5所示.
图5- 5 力在转动平面内
第一节 刚体运动的描述
图5- 1 刚体的平动
第一节 刚体运动的描述
2. 刚体的转动
刚体在运动过程中，如果其上所有的点都绕同一条直线做圆 周运动，那么这种运动称为转动，这条直线称为转轴.如果转轴的 位置或方向随时间变化，那么这种转动称为非定轴转动；如果转 轴的位置或方向是固定不动的，那么这种转动称为定轴转动.
第一节 刚体运动的描述
一、 刚体的平动和转动
1. 刚体的平动
刚体在运动过程中,如果其上任意两点间所连的直线始终保持平 行,那么这种运动称为刚体的平动.例如,汽缸中活塞的运动、车床上 车刀的运动、升降机运动等,都属于平动.显然,刚体做平动时,刚体上 任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,如图5-1所示.直线上 所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度.在平动过程中,刚体上 所有点的运动是完全相同的，它们都具有相同的位移、速度和加速 度.因此，可以用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动.前面 质点运动的描述和质点力学的规律，实际上是刚体的平动规律.
第一节 刚体运动的描述
一般物体在外力作用下，其形状和大小都要发生变 化.但如果在外力作用下，物体的形状和大小保持不变， 即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变，这样的物 体称为刚体.刚体可以看成由无数个连续分布的质点组成 的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元，这样刚体的 每个质量元都服从质点力学规律.不同于质点，刚体这个 特殊的质点系的力学规律有自己特殊的表现形式.
刚体的转动25
注：“*”选作第一章刚体的转动1.一圆盘绕固定轴由静止开始作匀加速运动，角加速度为3.14rad²s-2。
求经过10s后盘上离轴1.0cm处一点的切向加速度和法向加速度各等于多少？在刚开始时，该点的切向加速度和法向加速度各等于多少？(3.14cm/s-2,9.9 cm/s-2,3.14 cm/s-2,0)2.一轻绳绕于半径r=0.2m的飞轮边缘，现以恒力F=98N拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。
已知飞轮的转动惯量I=0.5kg²m2，飞轮与轴承之间的摩擦不计，求：（1）飞轮的角加速度；(39.2 cm/s-2)（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；(490J)3. 一质量为m, 长度为l的均匀细杆可围绕通过其一端O，且与杆垂直的光滑水平轴转动，若将此杆在水平横放时由静止释放，求当杆转ω=)到与竖直方向成30°角时的角速度。
(l3θg/sin4.质量为m 1、长为l 的匀质棒竖直悬在水平轴O 上，一质量为m 2的小球以水平速度v 与棒的下端相碰，碰后速度v ＇反向运动。
在碰撞中因时间很短，棒可看作一直保持竖直位置，求棒在碰撞后的角速度。
[l m v v m 1'2/)(3+=ω]5. 一块长为L =0.60m ，质量为M =1kg 的均匀薄木板，可绕水平轴OO ＇无摩擦地自由转动。
当木棒静止在平衡位置时，有一质量为m =10³10-3kg 的子弹垂直击中木板A 点，A 离转轴OO ＇距离l =0.36m, 子弹击中木板前的速度为500m ²s -1，子弹穿出木板后的速度为200m ²s -1，求:（1）木板获得的角速度；(9rad ²s -1)（2）子弹穿过木棒的过程中，木板所受角冲量；(1.08mNs)（3）木板的最大摆角。
(130.8°)第三章 振动学基础1. 一质点同时参与两个简谐振动)(cos 1t x ω=cm 和)2cos(32πω+=t x cm ，求该质点的合振幅及初相位.（2,60°）2. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅m 12.0=A ，周期s 2=T ，0=t 时，位移m 06.00=x ，速度0>0v ，求简谐振动方程.(0.12cos(πt-π/3))3. 水平弹簧振子振幅为0.02m,周期为0.50s,t=0时刻物体在(1)正方向端点(2)负方向端点(3)平衡位置向负方向运动(4) 平衡位置向正方向运动(5)x=0.01m 向负方向运动(6)x=－0.01m 向正方向运动，试分别确定初相位,写出振动方程.（0；π；π/2；3π/2；5π/3）4．一个质量为0.20kg 的质点做简谐振动，其运动方程为：m t x )25sin(60.0π-=求：（1）振动的振幅和周期；（2）质点的初始位置和初始速度；（3）质点在最大位移一半处且向x 轴正向运动的时刻，它所受的力、速度、加速度；（4）在s t π=和s 34π两时刻质点的位移、速度、加速度； （5）振动动能和势能相等时它在哪些位置上？5．已知两个同方各简谐振动如下：m t x )5310cos(050.01π+=，m t x )510cos(060.02π+= 求：（1）它们合振动的振幅和周期（2）另有一同方向简谐振动ϑϑ,)10cos(070.03m t x +=为何值时，31x x +的振幅为最大？ϑ为何值时，31x x +的振幅为最小？6．两个同方向、同频率的简谐振动的运动方程m )3/5cos(41ππ+=t x 和m )6/5cos(32ππ-=t x ，试求它们的合振动的运动方程。
刚体的转动
自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
刚体的转动
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
大学物理1 刚体的转动
刚体如果研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适用，因为一个点是无方位可言的。
若在所研究的问题中，物体的微小形变可以忽略不计时，则可以引入刚体模型。
刚体，是指在任何情况下，都没有形变的物体。
也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布的特殊质点系。
（附图）刚体定轴转动的描述在物体运动过程中，如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴 (这根轴可以在物体之内，也可以在物体之外的某固定处)。
若转轴的方向或位置在物体运动过程中变化，这个轴在某个时刻的位置便称为该时刻的转动瞬轴。
若转动轴固定不动，即既不改变方向又不平移，则这个转轴称为固定轴，这种转动称为定轴转动。
（附图）平动和转动是刚体运动中两种基本形式．无论刚体作多么复杂的运动，总可以把它看成是平动和转动的合成运动。
例如一个车轮的滚动可以分解为车轮随着车轴的平动和整个车轮绕着车轴的转动。
定轴转动是刚体运动中最简单的运动形式之一。
为了研究刚体的定轴转动，定义：垂直于固定轴的平面为转动平面。
研究刚体的定轴转动时，可以任取一个转动平面来讨论。
以转轴与转动平面的交点为原点，则该转动平面上的所有质元都绕着这个原点作圆周运动。
在转动平面内过原点作一射线作为参考方向(或称极轴)，转动平面上任一质元P 对O 点的位矢r 与极轴的夹角θ称为角位置。
引入角速度、角加速度，由于刚体是个特殊质点组，即各质元之间没有相对移动，因此，在同一转动平面上，它们的角量(即角位移、角速度、角加速度)都相同，但由于各质元到轴的距离不同，因此各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度)不同。
dt d θω= 22dt d dt d θωβ==ωR v = βτR a = 22ωR R v a n == 刚体作定轴转动时，每个质元的转动方向只有两种可能，如果以转轴为z 轴，则质元的角速度方向要么与所选z 轴正向相同，要么与所选z 轴正向相反．因此，刚体定轴转动时所有角量的方向，都可用标量前的正负号表示。
刚体的转动
m
m
的匀质杆,一端悬挂, 长为 ,质量为 m 的匀质杆,一端悬挂, l 1 转动.今使杆水平静止落下, 可通过点 o转动.今使杆水平静止落下,在铅直位置
例5
2
的物体作完全非弹性碰撞后, 与质量为 m 的物体作完全非弹性碰撞后, 沿摩擦因 m2 2 的水平面滑动. 滑动的距离. 数 的水平面滑动.求 m 滑动的距离.
(1)棒开始和子弹一起转动时角速度 有多大? (1)棒开始和子弹一起转动时角速度 ω 有多大?
(2)若棒转动时受到大小为 (2)若棒转动时受到大小为 M r = 4.0 N m 的恒定阻力 矩作用, 矩作用,棒能转过多大的角度 θ ?
m, l
m'
v
(1)
1 2 ' 2 m vl = ml + m l ω 3 1 ω = 15.4rad s
刚体的转动
基本内容 1,描述刚体转动的物理量 角位移 dθ
dθ 角速度 ω = dt dω 角加速度 α = dt
与线量的关系
v = rω aτ = rα 2 an = rω
2,刚体定轴转动定律
dω dv M = Jα = J ( F = ma = m ) dt dt
力矩 M = r × F
M = rF sinθ
∫
∫ Mdt = L L = Jω
2 1
2
Jω1 ( ∫ Fdt = P P ) 2 1
dL dP 或 M= (F = ) dt dt 当 M = 0 时 L = Jω = 常量 ( F = 0,P = 常 量) 矢
转动定律应用 M = Jα 说明 (1) 转动中 M = Jα与平动中F = ma ) 地位相同. 地位相同. (2) ) 方向相同. M = Jα , α 与 M 方向相同.
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
刚体的转动 角动量守恒定律
L
r
mv
二.力矩
M
r
F
大小：M
方向： r
rF F
sin
单位： N m 量纲： ML2T 2
三.角动量定理
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时
间的变化率
M
dL
dt
2.8 角动量 角动量守恒定律
一L.角动r量 mv二.力M矩 r三.角F动量定理
M
dL
dt
四.角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质 点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定
x dx
IB
1 3
m L2
1 mL2 12
m
L 2
2
B A h O质
IC
1 XmL2 12
IA
1 12
m L2
m h2
IB
1 mL2 12
m
L
2
2
平行轴定理：绕任意轴的转 动惯量等于绕过质心的平行 的转动惯量加上质量与两轴 间距的平方
I IC md2
d
A
C
例2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄圆 盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并与 环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
质心运动定理反映了物体的平动规律。
2.刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆 周运动，称为刚体作定轴转动。
3.刚体的一般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示 为一个随质心的平动加上绕质心的转动。
三. 刚体定轴转动的特点
每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，
且角位置.角速度.角加速度都相同的圆周运动
复习
冲量：
dI Fdt
I
动量定理：
刚体的转动惯量公式
刚体的转动惯量公式
刚体的转动惯量是描述刚体在转动过程中抵抗改变转动状态的物理量。
转动惯量的大小与刚体的形状和质量分布有关，可以通过转动惯量公式来计算。
对于一个刚体围绕某个轴转动，其转动惯量可以表示为I，根据刚体的形状和质量分布的不同，转动惯量公式也会有所不同。
以下是一些常见形状的刚体转动惯量公式：
1. 杆状刚体绕其一端的转动惯量：
对于一个质量为m、长度为L的细长杆，其绕一端的转动惯量可以表示为I=1/3 * m * L^2。
2. 球状刚体绕其直径轴的转动惯量：
对于一个质量为m、半径为R的均匀球体，其绕直径轴的转动惯量可以表示为I=2/5 * m * R^2。
3. 圆环状刚体绕其对称轴的转动惯量：
对于一个质量为m、半径为R的圆环，其绕对称轴的转动惯量可以表示为I=m * R^2。
需要注意的是，上述公式仅适用于均匀分布质量的刚体。
对于非均匀分布的刚体，转动惯量公式需要根据具体的质量分布情况进行积分计算。
转动惯量公式在物理学中有着广泛的应用，例如在刚体的转动运动方程中，转动惯量是一个重要的物理量。
通过转动惯量的计算，我们可以了解刚体在转动过程中的惯性特性，进而分析和预测其转动运动的行为。
刚体的定轴转动
ri
mi
z
2 L mi ri
i
2
( mi ri )
O
vi
L J
第二章 守恒定律
26
i
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
2 刚体定轴转动的角动量定理 质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt in 合外力矩 对定轴转动的刚体 M i 0 ， ex d d( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt dt d( J ) dL M dt dt
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
第二章 守恒定律
7
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
第二章 守恒定律
8
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
一
力矩
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F F F
Fi 0,
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
d 角加速度 dt
z
z
>0
第二章 守恒定律
<0
6
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同；
第二章 守恒定律
刚体的转动25
注：“*”选作第一章刚体的转动1.一圆盘绕固定轴由静止开始作匀加速运动，角加速度为3.14rad·s-2。
求经过10s后盘上离轴1.0cm处一点的切向加速度和法向加速度各等于多少？在刚开始时，该点的切向加速度和法向加速度各等于多少？(3.14cm/s-2,9.9 cm/s-2,3.14 cm/s-2,0)2.一轻绳绕于半径r=0.2m的飞轮边缘，现以恒力F=98N拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。
已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2，飞轮与轴承之间的摩擦不计，求：（1）飞轮的角加速度；(39.2 cm/s-2)（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；(490J)3. 一质量为m, 长度为l的均匀细杆可围绕通过其一端O，且与杆垂直的光滑水平轴转动，若将此杆在水平横放时由静止释放，求当杆转ω=)到与竖直方向成30°角时的角速度。
(l3θg/sin4.质量为m 1、长为l 的匀质棒竖直悬在水平轴O 上，一质量为m 2的小球以水平速度v 与棒的下端相碰，碰后速度v ＇反向运动。
在碰撞中因时间很短，棒可看作一直保持竖直位置，求棒在碰撞后的角速度。
[l m v v m 1'2/)(3+=ω]5. 一块长为L =0.60m ，质量为M =1kg 的均匀薄木板，可绕水平轴OO ＇无摩擦地自由转动。
当木棒静止在平衡位置时，有一质量为m =10×10-3kg 的子弹垂直击中木板A 点，A 离转轴OO ＇距离l =0.36m, 子弹击中木板前的速度为500m ·s -1，子弹穿出木板后的速度为200m ·s -1，求:（1）木板获得的角速度；(9rad ·s -1)（2）子弹穿过木棒的过程中，木板所受角冲量；(1.08mNs)（3）木板的最大摆角。
(130.8°)第三章 振动学基础1. 一质点同时参与两个简谐振动)(cos 1t x ω=cm 和)2cos(32πω+=t x cm ，求该质点的合振幅及初相位.（2,60°）2. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅m 12.0=A ，周期s 2=T ，0=t 时，位移m 06.00=x ，速度0>0v ，求简谐振动方程.(0.12cos(πt-π/3))3. 水平弹簧振子振幅为0.02m,周期为0.50s,t=0时刻物体在(1)正方向端点(2)负方向端点(3)平衡位置向负方向运动(4) 平衡位置向正方向运动(5)x=0.01m 向负方向运动(6)x=－0.01m 向正方向运动，试分别确定初相位,写出振动方程.（0；π；π/2；3π/2；5π/3）4．一个质量为0.20kg 的质点做简谐振动，其运动方程为：m t x )25sin(60.0π-=求：（1）振动的振幅和周期；（2）质点的初始位置和初始速度；（3）质点在最大位移一半处且向x 轴正向运动的时刻，它所受的力、速度、加速度；（4）在s t π=和s 34π两时刻质点的位移、速度、加速度； （5）振动动能和势能相等时它在哪些位置上？5．已知两个同方各简谐振动如下：m t x )5310cos(050.01π+=，m t x )510cos(060.02π+= 求：（1）它们合振动的振幅和周期（2）另有一同方向简谐振动ϑϑ,)10cos(070.03m t x +=为何值时，31x x +的振幅为最大？ϑ为何值时，31x x +的振幅为最小？6．两个同方向、同频率的简谐振动的运动方程m )3/5cos(41ππ+=t x 和m )6/5cos(32ππ-=t x ，试求它们的合振动的运动方程。
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注：“*”选作第一章刚体的转动1.一圆盘绕固定轴由静止开始作匀加速运动，角加速度为3.14rad·s-2。
求经过10s后盘上离轴1.0cm处一点的切向加速度和法向加速度各等于多少？在刚开始时，该点的切向加速度和法向加速度各等于多少？(3.14cm/s-2,9.9 cm/s-2,3.14 cm/s-2,0)2.一轻绳绕于半径r=0.2m的飞轮边缘，现以恒力F=98N拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。
已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2，飞轮与轴承之间的摩擦不计，求：（1）飞轮的角加速度；(39.2 cm/s-2)（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；(490J)3. 一质量为m, 长度为l的均匀细杆可围绕通过其一端O，且与杆垂直的光滑水平轴转动，若将此杆在水平横放时由静止释放，求当杆转ω=)到与竖直方向成30°角时的角速度。
(l3θg/sin4.质量为m 1、长为l 的匀质棒竖直悬在水平轴O 上，一质量为m 2的小球以水平速度v 与棒的下端相碰，碰后速度v ＇反向运动。
在碰撞中因时间很短，棒可看作一直保持竖直位置，求棒在碰撞后的角速度。
[l m v v m 1'2/)(3+=ω]5. 一块长为L =0.60m ，质量为M =1kg 的均匀薄木板，可绕水平轴OO ＇无摩擦地自由转动。
当木棒静止在平衡位置时，有一质量为m =10×10-3kg 的子弹垂直击中木板A 点，A 离转轴OO ＇距离l =0.36m, 子弹击中木板前的速度为500m ·s -1，子弹穿出木板后的速度为200m ·s -1，求:（1）木板获得的角速度；(9rad ·s -1)（2）子弹穿过木棒的过程中，木板所受角冲量；(1.08mNs)（3）木板的最大摆角。
(130.8°)第三章 振动学基础1. 一质点同时参与两个简谐振动)(cos 1t x ω=cm 和)2cos(32πω+=t x cm ，求该质点的合振幅及初相位.（2,60°）2. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅m 12.0=A ，周期s 2=T ，0=t 时，位移m 06.00=x ，速度0>0v ，求简谐振动方程.(0.12cos(πt-π/3))3. 水平弹簧振子振幅为0.02m,周期为0.50s,t=0时刻物体在(1)正方向端点(2)负方向端点(3)平衡位置向负方向运动(4) 平衡位置向正方向运动(5)x=0.01m 向负方向运动(6)x=－0.01m 向正方向运动，试分别确定初相位,写出振动方程.（0；π；π/2；3π/2；5π/3）4．一个质量为0.20kg 的质点做简谐振动，其运动方程为：m t x )25sin(60.0π-=求：（1）振动的振幅和周期；（2）质点的初始位置和初始速度；（3）质点在最大位移一半处且向x 轴正向运动的时刻，它所受的力、速度、加速度；（4）在s t π=和s 34π两时刻质点的位移、速度、加速度； （5）振动动能和势能相等时它在哪些位置上？5．已知两个同方各简谐振动如下：m t x )5310cos(050.01π+=，m t x )510cos(060.02π+= 求：（1）它们合振动的振幅和周期（2）另有一同方向简谐振动ϑϑ,)10cos(070.03m t x +=为何值时，31x x +的振幅为最大？ϑ为何值时，31x x +的振幅为最小？6．两个同方向、同频率的简谐振动的运动方程m )3/5cos(41ππ+=t x 和m )6/5cos(32ππ-=t x ，试求它们的合振动的运动方程。
第四章 波动学基础1． 已知波源在原点（x = 0）的平面简谐波的波函数为)cos(bx at A y -=，其中A 、a 、b 为正值常量。
试求：(1)波的振幅、波速、频率、周期和波长； (2)传播方向上距离波源l 处一点的振动方程；(3)任意时刻在波传播方向上相距为L 的两点的相位差。
2． 一横波沿绳子传播时的波函数为)410cos(05.0x t y ππ-=。
式中x 、y 以米记，t 以秒记。
试求：（1）波的振幅、波速、频率和波长；（2）绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；（3）求2.0=x m 处的质点,在1=t s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达哪一点？3．已知平面余弦波波源的振动周期5.0=T s ，所激起波的波长10=λm ，振幅为1.0m ，当0=t 时，波源处振动的位移恰为正方向的最大值，取波源处为原点并设沿x 轴正方向传播，求：（1） 此波的波函数；（2） 沿波传播方向距离波源为2λ处的振动方程；（3）当4T t =时，波源和距离波源为4λ的各点各自离开平衡位置的位移.4.一平面简谐波，沿直径为0.16m 的圆柱形管中的空气传播，波的平均强度为8.6⨯10-3J ·s -1·m -2，频率为258Hz ，波速为340m·s －1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？6. 设平面横波 1沿 BP 方向传播，平面横波2沿CP 方向传播，两波在 B 点和C 点振动的方程分别为：t y π2cos 100.431-⨯=和)2cos(100.432ππ+⨯=-t y ，两式中y 的单位是m ，t 的单位是s 。
P 处与B相距0.50m ，与C 相距0.60m ，波速为0.40m.s －1，试求：（1）两波传到P 处时的相位差；（2）在P 处合振动的振幅。
7．1S 和2S 是两相干波源，相距41波长，1S 比2S 的相位超前2 。
设两波在1S 2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，试求（1）1S 2S 连线上在1S 外侧各点处合成波的强度；（2）在2S 外侧各点处合成波的强度。
8．一波源作简谐振动，振幅为A，周期为0.01s，经平衡位置向正方向运动时，作为计时起点。
设此振动以c=400m·s-1的速度传播，求：（1）若振幅A不变，写出此波的波函数；（2）距波源为16m处质点的振动方程；（3）距波源为16m处和20m处两质点的相位差是多少？第七章静电场1.在x-y平面上，两个电量为10-8C的正电荷分别固定在点(0.1, 0)及点(－0.1, 0)上，坐标的单位为m。
求：(a)在原点；(b)在点(0, 0.1)处的场强。
2.均匀带电直线长为2a，其线电荷密度为 ，求在带电直线的垂直平分线上且与带电直线相距为a的点场强。
3.半径为R的圆环，均匀带有电荷，其总电量为q。
试用矢量积分来计算在圆环轴线上且与环心相距为x的点的场强。
4.均匀带电圆环，其半径为5.0cm，总电量为5.0×10-9C，计算轴线上离环心的距离为5.0cm处的点的场强。
5.长度为l的直线段上，均匀分布有正电荷，电荷线密度为 。
求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d的点的场强。
6.两个均匀带电同心球面，内球面半径为0.2m，所带电量为－3.34×10-7C，外球面半径为0.4m，所带电量为5.56×10-7C。
设r是从待求场强的点到球心的距离，求：(a)r=0.1m；(b)r=0.3m；(c)r=0.5m处的场强。
7.两个无限长同轴圆柱面，内圆柱面半径为R，每单位长度带的电1荷为＋λ，外圆柱面半径为R2，每单位长度带的电荷为－λ。
求空间中各处的场强。
8. 设真空中有一半径为R的均匀带电球体，所带总电荷为q，求该球体内、外的场强。
9. 两等值异号点电荷相距2m，q1=8.0×10-6C，q2=－8.0×10-6C。
求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。
10. 长为l的均匀带电直线段，其电荷为＋q。
求其延长线上且距最近端为d的点的电势。
第八章静电场中的导体和电介质1.真空中两块面积很大(可视为无限大)的导体平板A、B平行放置，间距为d，每板的厚度为a，板面积为S。
现给A板带电Q A，B板带电Q B。
(a)求出两板各表面上的电荷面密度；(b)求两板之间的电势差。
2. 一导体球带电q=1.00×10-8C，半径为R=10.0cm，球外有一层相对电容率为=5.00的电介质球壳，其厚度d=10.0cm，电介质球壳外面r为真空。
(a)求离球心O为r处的电场强度；(b)求离球心O为r处的电势；(c)分别取r=5.0cm、15.0cm、25.0cm，算出相应的E和U的量值；(d)求出电介质表面上的极化电荷面密度。
3. 三个电容器其电容C1=4μF，C2=1μF，C3=0.2μF。
C1和C2串联后再与C3并联。
如果在C3的两极接上电源充电到10V，求每个电容器中储存的电场能。
4．半径为10.0×10-2m的金属球A，带电q=1.00×10-8C，把一个原来不带电的半径为20.0×10-2m的金属球壳B（其厚度不计）同心地罩在A球的外面。
（1）求距离球心为15.0×10-2m的P点的电势，以及距离球心为25.0×10-2m的Q点的电势；（2）用导线把A和B连结起来，再求P点和Q点的电势。
5．两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳半径为R1=5.0cm，带电q 1=0.60×10-8C，外球壳内半径R2=7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电量q2=-2.00×10-8C。
求距离球心3.0cm、6.0cm、8.0cm、10.0cm各点处的场强和电势。
如果用导线把两个球壳连结起来，结果又如何？*6．A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地（如图）。
设A板带正电3.0×10-7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。
若在A、B间充以相对电容率为εr=5的均匀电介质，再求B板和C 板上的感应电荷，以及A板的电势。
*7．半径为R1的导体球，带有电荷Q，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分别为R2和R3，相对电容率为εr，如图，求：（1）介质内外的电场强度E和电位移D；（2）介质内的电极化强度P和介质表面上的极化电荷面密度σ；（3）离球心O为r处的电势U；（4）如果在电介质外罩一半径为R3的导体薄球壳，该球壳与导体球构成一电容器，这电容器的电容多大？8．平行板电容器的极板面积为S，两板间距为d，极板间充以两层均匀电介质，其一厚度为d1，相对电容率为εrl；其二厚度为d2，相对电容率为εr2（如图）（1）试证这电容器的电容为22110r r d d S C εεε+=设S=200CM 2 d=5.00mm d 1=2.00mm d 2=3.00mm εrl=5.00 εr2=2.00求电容C 。