华东师大版九年级数学下册：圆的对称性精品课件
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华师大版圆的对称性第一课时课件
弦的定义和性质
解释弦的定义、性质以及与弦相关的弧长和圆角，帮助您理解弦和圆的几 何关系。
圆心角和圆周角探究
通过具体案例和图形演示，揭示圆心角和圆周角的概念、计算方法以及它们 与弦和弧长的关系。
对称轴和对称中心
探索圆的对称性质，深入研究对称轴、对称中心等概念，并展示对称性在圆上的应用。
圆的对称性质及应用
华师大版圆的对称性第一 课时ppt课件
这个PPT课件将带您探索圆的定义、性质和对称性质，并结合实例和练习帮助 您更好地理解圆的概念与特点。
圆的定义和性质
通过详细介绍圆的定义、半径、直径、弧、弦等基本概念，让您全面理解圆 的性质和基本要素。
弧的定义和测量
深入讨论弧的定义、测量方法和相关的圆心角和圆周角，让您准确理解弧的 概念和测量技巧。
介绍圆的各种对称性质，如旋转对称、轴对称、中心对称等，以及在几何问题中应用对称性的方法和技巧。
习题讲解与课堂练习
通过针对性的习题讲解和课堂练习，帮助您巩固所学的知识，并提升解题能力与应用能力。
华师大版圆的对称性第一课时课件
解析时应指导学生如何找到对 称点，并连接对称点得到新的
圆。
PART 06
总结与展望
REPORTING
本课重点回顾
01
02
03
圆的对称性定义
理解什么是圆的对称性， 以及如何判断一个图形是 否具有对称性。
圆的对称轴
掌握如何找到圆的对称轴 ，并理解对称轴在圆中的 作用。
圆的对称性质
掌握圆的对称性质，如对 称点的连线经过对称轴， 对称轴垂直平分对称点的 连线等。
PART 05
课堂互动与练习
REPORTING
问题解答
01
02
03
04
题目1
什么是圆的对称性？
答案1
圆的对称性是指圆在旋转或平 移过程中，其形状和大小保持
不变的性质。
题目2
如何判断一个图形是否具有圆 的对称性？
答案2
可以通过观察图形的旋转或平 移后的形状是否与原图形重合
来判断。
学生互动讨论
讨论主题
在日常生活和生产实 践中，圆的对称性应 用广泛。
对称性的定义与重要性
对称性是指图形在某种变换下 保持不变的性质。
对称性是数学中一个重要的概 念，广泛应用于几何、代数、 分析等领域。
掌握对称性的知识有助于理解 其他几何图形的性质和特点。
圆的对称性简介
圆具有旋转对称性，即绕圆心旋 转任意角度后仍与原图重合。
圆还具有轴对称性，即沿直径折 叠后与另一半重合。
圆的对称性在几何、代数、分析 等领域有着广泛的应用。
PART 02
圆的对称性概念
REPORTING
圆的基本性质
圆上任一点到圆心的距离相等
01
这是圆的基本定义，也是圆的根本性质。
圆。
PART 06
总结与展望
REPORTING
本课重点回顾
01
02
03
圆的对称性定义
理解什么是圆的对称性， 以及如何判断一个图形是 否具有对称性。
圆的对称轴
掌握如何找到圆的对称轴 ，并理解对称轴在圆中的 作用。
圆的对称性质
掌握圆的对称性质，如对 称点的连线经过对称轴， 对称轴垂直平分对称点的 连线等。
PART 05
课堂互动与练习
REPORTING
问题解答
01
02
03
04
题目1
什么是圆的对称性？
答案1
圆的对称性是指圆在旋转或平 移过程中，其形状和大小保持
不变的性质。
题目2
如何判断一个图形是否具有圆 的对称性？
答案2
可以通过观察图形的旋转或平 移后的形状是否与原图形重合
来判断。
学生互动讨论
讨论主题
在日常生活和生产实 践中，圆的对称性应 用广泛。
对称性的定义与重要性
对称性是指图形在某种变换下 保持不变的性质。
对称性是数学中一个重要的概 念，广泛应用于几何、代数、 分析等领域。
掌握对称性的知识有助于理解 其他几何图形的性质和特点。
圆的对称性简介
圆具有旋转对称性，即绕圆心旋 转任意角度后仍与原图重合。
圆还具有轴对称性，即沿直径折 叠后与另一半重合。
圆的对称性在几何、代数、分析 等领域有着广泛的应用。
PART 02
圆的对称性概念
REPORTING
圆的基本性质
圆上任一点到圆心的距离相等
01
这是圆的基本定义，也是圆的根本性质。
华东师大版数学九年级下册第1课时 圆的对称性课件
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
3 在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的 弧相等,所对的弦相等.
4 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两 条弦中的一组量相等,那么他们对应的其余各组量 都分别相等.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段， 我们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
解：∵ =
,∠B = 70º.
∴ AB = AC B
∴ ∠C = ∠B = 70º
华师大版圆的对称性第二精品PPT教学课件
日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，
利2020用年10月勾2日股定理求解．
5
当堂训练
Ｐ４９练习１、２
2020年10月2日
6
1.如图所示，直径为10cm的圆中，圆心 到弦AB的距离为4cm．求弦AB的长．
解：连结OA．
∵OM⊥AB，105，OM＝4，
2
AM O2 A OM 23
23.1圆的对称性
(第二课时)
2020年10月2日
1
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分这 条弦所对的两条弧。
2020年10月2日
2
自学指导
认真阅读P48例1后到P49页练习前的 内容.并思考下列问题：
1. 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对 称轴是什么?
2. 通过完成P48页的试一试,你得到的 结论是什么?
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2. 在 ⊙O半径为10，弦AB＝12，CD＝ 16，且AB∥CD．求AB与CD之间的离．
分析：本题目属于 “图形不明确型”题 目，应分类求解． (如右图)
感谢你的阅览
Thank you for reading
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2020年10月2日
3
根据自学提示检查自学效果
2020年10月2日
4
教师点评
❖ 1. 圆也是轴对称图形，任意一条直径所 在的直线都是它的对称轴。
❖ 2.垂径定理： 注意：
(1)此性质必须具备两个条件：直径；此直
径垂直于弦，两者缺一不可．
华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(圆的对称性2)》优质课课件
这一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
倍 速 课 时 学 练
我们，还在路上……
解：连结OA，作OE⊥AB于E，则
OE=3cm,AE=BE
A
∵AB=8cm
∴AE=4cm
E
B
└
•o
在Rt中有 OA= OE2 AE2
= 32 42
=5cm ∴ ⊙O的半径为5cm
解后指出：从例2看出圆的半径OA， 圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构 成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理 结合起来，解决这类问题就显得很 容易了。
(4)多方练习，分层评价.
• 练习：
A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，
则圆心到弦的距离是(
)cm
C
答案：3
•o
E
D
B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离
为5,则圆o的直径是(
)
C
E
O•
D
答案：26
A
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，
AE＝16，BE=4,则CD＝(
)
例1、如图，在⊙O中，A⌒C =B⌒D ∠1＝45o，求∠2的度数。
。
。
解Байду номын сангаас∵
⌒⌒
AC =BD
∴ ⌒ ⌒⌒ ⌒
AD－BC＝ＢＤ－BC
∴ ⌒AＢ =Ｃ⌒D
∴ ∠2＝∠1＝45°
B
C
A
2
D
1
O
我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直 径所在的直线都是它的对称轴。
试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4 等分，8等分。
圆的认识-28.1.2圆的对称性课件(华师版九下)
圆的认识-28.1.2圆的对称性课件 华师版九下
目 录
• 圆的定义与性质 • 圆的对称性 • 圆的方程与图形 • 圆的对称性质应用 • 圆的对称性与生活联系
01 圆的定义与性质
圆的定义
01
圆是一种平面图形，由所有与给 定点（中心）距离相等的点组成 。
02
圆也可以定义为围绕一个点旋转 的线段（半径）的轨迹。
太阳和月亮
作为天体中最显著的两个圆形物 体，太阳和月亮的圆形对称性在 自然界中无处不在，它们对地球 生物的生活节奏和自然环境有着
深远的影响。
花朵和果实
许多花朵和果实在形态上呈现出 圆形对称性，如向日葵、玫瑰、 苹果等。这种对称性不仅使它们 看起来更加美观，还有助于植物
的繁殖和生长。
水滴和气泡
水滴和气泡在表面张力的作用下 形成圆形，这种圆形对称性使得 它们能够在空气中保持稳定的形 态，同时也有利于光线的折射和
感谢您的观看
圆的中心对称性质使得圆在旋转和变换时保持形状和大小不变。
圆的旋转对称
圆具有旋转对称性，即圆可以绕 圆心旋转任意角度后与原图形重
合。
圆上任意一点绕圆心旋转180度 后与原点重合。
圆的旋转对称性质使得圆在几何 图形中具有独特的动感和和谐感。
03 圆的方程与图形
圆的方程
标准方程
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ， 其中$(a,b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
圆形轴承
轴承是机械设备中支撑旋转轴的重要部件，而圆形轴承则是最常见的一种。它们具有高精 度、低摩擦、长寿命等优点，广泛应用于各种旋转机械中。
圆形传感器
在电子科技领域，圆形传感器被广泛应用于测量和控制系统中。例如，光电传感器、压力 传感器等常常采用圆形设计，以便更好地适应测量环境和提高测量精度。
目 录
• 圆的定义与性质 • 圆的对称性 • 圆的方程与图形 • 圆的对称性质应用 • 圆的对称性与生活联系
01 圆的定义与性质
圆的定义
01
圆是一种平面图形，由所有与给 定点（中心）距离相等的点组成 。
02
圆也可以定义为围绕一个点旋转 的线段（半径）的轨迹。
太阳和月亮
作为天体中最显著的两个圆形物 体，太阳和月亮的圆形对称性在 自然界中无处不在，它们对地球 生物的生活节奏和自然环境有着
深远的影响。
花朵和果实
许多花朵和果实在形态上呈现出 圆形对称性，如向日葵、玫瑰、 苹果等。这种对称性不仅使它们 看起来更加美观，还有助于植物
的繁殖和生长。
水滴和气泡
水滴和气泡在表面张力的作用下 形成圆形，这种圆形对称性使得 它们能够在空气中保持稳定的形 态，同时也有利于光线的折射和
感谢您的观看
圆的中心对称性质使得圆在旋转和变换时保持形状和大小不变。
圆的旋转对称
圆具有旋转对称性，即圆可以绕 圆心旋转任意角度后与原图形重
合。
圆上任意一点绕圆心旋转180度 后与原点重合。
圆的旋转对称性质使得圆在几何 图形中具有独特的动感和和谐感。
03 圆的方程与图形
圆的方程
标准方程
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ， 其中$(a,b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
圆形轴承
轴承是机械设备中支撑旋转轴的重要部件，而圆形轴承则是最常见的一种。它们具有高精 度、低摩擦、长寿命等优点，广泛应用于各种旋转机械中。
圆形传感器
在电子科技领域，圆形传感器被广泛应用于测量和控制系统中。例如，光电传感器、压力 传感器等常常采用圆形设计，以便更好地适应测量环境和提高测量精度。
圆的对称性-华师大版优质PPT课件
C
D
.
13
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
☺
o
C
D
.
14
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
.
15
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
九年级数学 华东师大版
圆的对称性
.
1
结论:
O A
B' 在⊙O中若∠B’OA’＝∠BOA
则弦AB与弦A’B’， A⌒B 与 A⌒’B’
A' 有什么关系？ B
.
2
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？（请举出两 个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）
A
如果： ∠AOB=∠ COD
B
☺
o C
D
.
21
推论
驶向胜 利的彼
岸
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那
么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
如由条件:③AB=A′B′ 可推出
.
┏
A′ D′ B′
①∠⌒AOB=⌒∠A′O′B′
②AB=A′B′
④ OD=O′D′
（4）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD，OE=OF ，A⌒B=C⌒D 。
D
.
13
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
☺
o
C
D
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14
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
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15
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： AOB= COD
B
o
C
D
九年级数学 华东师大版
圆的对称性
.
1
结论:
O A
B' 在⊙O中若∠B’OA’＝∠BOA
则弦AB与弦A’B’， A⌒B 与 A⌒’B’
A' 有什么关系？ B
.
2
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？（请举出两 个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）
A
如果： ∠AOB=∠ COD
B
☺
o C
D
.
21
推论
驶向胜 利的彼
岸
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那
么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
如由条件:③AB=A′B′ 可推出
.
┏
A′ D′ B′
①∠⌒AOB=⌒∠A′O′B′
②AB=A′B′
④ OD=O′D′
（4）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD，OE=OF ，A⌒B=C⌒D 。
九年级数学下册 27.1.2 圆的对称性课件1 (新版)华东师大版
2.三限定. (1)当知两个圆心角相等时,必须限定同圆或等圆. (2)当两弦相等推圆心角相等时,必须限定同圆或等圆. (3)当两弦相等推弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限 定两弧是同一类弧.
知识点二 垂径定理及其应用 【示范题2】(2014·佛山中考)如图,☉O的直径为10cm,弦 AB=8cm,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.
【自主解答】选A.∵ BCCD∠CD OED， =34°,
∴∠BOC=∠COD=∠EOD=34°, ∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°. 又∵OA=OE,
∴∠AEO=∠OAE, ∴∠AEO= ×(180°-78°)=51°.故选A.
1 2
【想一想】
AB,CD是圆的两条弦,若AB=CD,则 与 相等吗?为什么?
AB CD
提示:不一定,若没有“在同圆或等圆中”这一条件,虽然弦相
等,但所对的弧不一定相等.
【备选例题】如图,A,B,C,D是圆O上的四点, 且AB=CD. 求证:AC=BD,∠AOC=∠BOD. 【证明】∵AB=CD,∴
AB CD,
ACBD, AC AO C BD ,BOD.
【方法一点通】 “知一推二”及三限定 1.“知一推二”. 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有 一组量相等,其余的各组量也相等,简称“知一推二”.
【微点拨】根据垂径定理与推论“知二推三” 对于一个圆和一条直线,若具备: (1)过圆心; (2)垂直于弦; (3)平分弦; (4)平分弦所对的优弧; (5)平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
【方法一点通】 1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连结圆心和弦的一 端(即半径),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在 一个直角三角形中,运用勾股定理求解. 2.方程的思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未 知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题. 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
九年级数学下册第28章圆28.1圆的认识2圆的对称性课件华东师大版
【解析】∵OC⊥AB,根据垂径定理，得BC=3, 在Rt△OCB中，根据勾股定理，得OB BC2 OC2 2. 答案：2
7.(2011·佛山中考)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=20 cm, ∠AOB=120°,求△AOB的面积.
【解析】作OC⊥AB于点C,则有AC=CB,∠AO1C=AOB 60,
2
在Rt△AOC中,OA=20 cm,所以A1C0 =3 cm,OC=10 cm. 所以△AOB的面积 1 AB OC 100 3(cm2 ).
2
1.如图,AB是⊙O的直径,BC，CD，DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA, 则∠BCD=( )
(A)105° (B)120° (C)135° (D)150°
3.如图,在⊙O中, A»B A»C, ∠A=40°, 则∠B=______度. 【解析】∵ A»B A»C, ∴AB=AC. ∵∠A=40°, ∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°. 答案：70
垂径定理的应用 【例2】(8分)(2012·南通中考)如图，⊙O的 半径为17 cm，弦AB∥CD，AB=30 cm，CD= 16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD 间的距离. 易错提醒:不能正确解答此类问题的原因有:①不会作辅助线； ②想不到利用勾股定理.
OM∶OD=3∶5
在Rt△AOM中A, M OA2 OM2 2.52 1.52 2. AB⊥CD⇒AB=2AM=4.
5.(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40,弦CD⊥AB于点E,且
CD=32,则AE的长为(
)
(A)12
(B)8
(C)12或28
(D)8或32
【解析】选D.依据题意,画出如图图形,连结OC，由CD⊥AB,可得
7.(2011·佛山中考)如图,已知AB是⊙O的弦,半径OA=20 cm, ∠AOB=120°,求△AOB的面积.
【解析】作OC⊥AB于点C,则有AC=CB,∠AO1C=AOB 60,
2
在Rt△AOC中,OA=20 cm,所以A1C0 =3 cm,OC=10 cm. 所以△AOB的面积 1 AB OC 100 3(cm2 ).
2
1.如图,AB是⊙O的直径,BC，CD，DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA, 则∠BCD=( )
(A)105° (B)120° (C)135° (D)150°
3.如图,在⊙O中, A»B A»C, ∠A=40°, 则∠B=______度. 【解析】∵ A»B A»C, ∴AB=AC. ∵∠A=40°, ∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=70°. 答案：70
垂径定理的应用 【例2】(8分)(2012·南通中考)如图，⊙O的 半径为17 cm，弦AB∥CD，AB=30 cm，CD= 16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD 间的距离. 易错提醒:不能正确解答此类问题的原因有:①不会作辅助线； ②想不到利用勾股定理.
OM∶OD=3∶5
在Rt△AOM中A, M OA2 OM2 2.52 1.52 2. AB⊥CD⇒AB=2AM=4.
5.(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40,弦CD⊥AB于点E,且
CD=32,则AE的长为(
)
(A)12
(B)8
(C)12或28
(D)8或32
【解析】选D.依据题意,画出如图图形,连结OC，由CD⊥AB,可得
华东师大版九年级数学下册圆的对称性精品课件
图 23.1.5
∴ ∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧 所对的圆心角相等）
例2: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。
求证：AC=BD
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
小试牛刀
B
1.如图，⊙O中，AB=CD，
1
C
2O
1 50 ，则2 _5_0_o _.
︵ ︵D
A.5π B.6π C.9π D.8π
D
C
A
O
B
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
展示你的风采
2.已知C,D是以AB为直径的⊙O上的 两点，且OD//BC。
求证：AD=DC
A
O
D
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B
C
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
拓展提高
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF.
(1)求证：AC=BD
(2)若E、F分别为OA,OB的中点，则AC=CD=DB
成立吗？请说明理由。 C
D
O
A
E
F
B
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
华东师大版九年级数学下册圆的对称 性精品 课件
以上三句话如没有在同圆 或等圆中，这个结论还会 成立吗？
思考：
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三
个量之间的关系，你能否用一句话概括出来？
结论：在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦中有一组
量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
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圆的对称性1：
●O
圆是轴对称图形，其对
称轴是直径所在的直线
问题3：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与 原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180
A
°
所以圆是中心对称图形，对称中心是圆心
问题4：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 仍与原来的圆重合吗？
·
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与 原来的圆重合．（圆具有旋转不变性）
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
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在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
FB
C
ED
O· A
·O'
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通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
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27.1 .2 圆的对称性
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情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
获取新知
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 问题2 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
例题讲解
例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
解：∵ BC=CD=DE，
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B
75 .
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随堂演练
1．如果两个圆心角相等，那么
O
P
A
B
C
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如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AP=BP. （1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？D
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
O
∴∠AEO=∠BEO=90°，
P
∴CD⊥AB.
A
B
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
C
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如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径CD， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什
D
么？ 是，对称轴是直径CD所在的直线
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由.
CD⊥AB，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
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垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
D
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
O
∴ AM=BM，AC⌒=B⌒C,A⌒D =B⌒D.(结论)
P
A
B
C
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垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
O
∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D A⌒C =B⌒C.
P
A
B
C
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27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
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情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O·
B
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为A⌒B.
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
D（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° .
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3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D 的关系是（ A ） A. A⌒B=2⌒CD B. A⌒B>C⌒D C. A⌒B<C⌒D D. 不能确定
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课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
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①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
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获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂
足为P.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
D
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
O
系？说一说你的理由.
P
A
B
C
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在 同 圆 或 等 圆 中
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题设 如果圆心角相等 如果弧相等 如果弦相等
那么 那么 那么
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
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（1）此图是轴对称图形，对称轴是 直径CD所在的直线
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
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D
O
P
A
B
C
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已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，