2020高考数学一轮复习课时分层训练33二元一次不等式组与简单的线性规划问题文北师大版

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2020版高考数学一轮复习课时规范练32二元一次不等式组与简单的线性规划问题理北师大版

课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m≥1B.m≤1C.m<1D.m>12.(2018安徽六安舒城中学仿真(三),3)若x,y满足则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.13.(2018广东阳春一中模拟,4)若实数x,y满足不等式组则z=x2+y2的取值范围是()A.,2B.[0,2]C.D.[0,]4.(2018吉林长春高三质监(二),6)已知动点M(x,y)满足线性条件定点N(3,1),则直线MN斜率的最大值为()A.1B.2C.3D.45.(2018山东临沂沂水一中三模,11)已知实数x,y满足的取值范围为()A.-3,B.-3,C.-3,D.-6.(2018宁夏银川四模,6)已知实数x,y满足的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+∞)D.,+∞7.(2018江西南昌联考,9)已知实数x,y满足:若目标函数z=ax+y(其中a为常数)仅在处取得最大值,则a的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.{-1,1}8.(2018江苏南通联考)已知实数x,y满足且(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,则实数k的最小值是.9.(2018福建三明质检,15)若直线ax+y=0将平面区域Ω=划分成面积为1∶2的两部分,则实数a 的值等于.10.(2018云南红河一模,14)已知则z=2x-y的取值范围是.11.(2018北京海淀区二模,13)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表:根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有人.综合提升组12.(2018江西南昌二模,6)已知点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()A.[-5,5]B.[-5,-5]C.[-5,1]D.[-5,1]13.(2018江西南昌测试八,5)已知f(x)=x2+ax+b,0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,则z=(a+1)2+(b+1)2的最小值为()A. B. C. D.114.(2018山西太原一模,7)已知不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D.3215.(2018江西赣州一联,14)已知平面区域Ω:夹在两条斜率为-2的平行直线之间,则这两条平行直线间的最短距离为.创新应用组16.(2018河南一模,7)设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:(x+1) 2+y2=r2(r>0)不经过区域D上的点,则r的取值范围为()A.(0,)∪(,+∞)B.(,+∞)C.(0,)D.[]17.(2018湖北武汉调研,10)若x,y满足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x2+y2-2x的最小值为()A.-2B.C.4D.-参考答案课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由2m+3-5>0,得m>1.2.B作出题设约束条件可行域,如图△ABC内部(含边界),作直线l:x+2y=0,把直线l向上平移,z 增加,当l过点B(3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.故选B.3.B绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,则目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min=02+02=0,目标函数在点A(1,1)处取得最大值:z max=12+12=2,故x2+y2的取值范围是[0,2].故选B.4.C画出线性条件表示的可行域,由可得M(2,-2),由可行域可知当M取(2,-2)时,直线MN的斜率最大值为=3,故选C.5.A先作出不等式组对应的可行域,如图所示,解方程组得A,2,=表示可行域内的点(x,y)到原点的直线的斜率,所以当点在A点时,斜率最大==,没有最小值,无限接近直线3x+y-6=0的斜率-3,所以的取值范围为-3,.故选A.6.D的几何意义为可行域内的点到原点的距离,画出可行域,根据几何图像中的距离,结合点到直线的距离公式,即可求出范围.根据题意作出可行域:此区域为开放区域,所以距离可以无限大,由图像可知最近距离为原点到直线x+y-1=0的距离,所以由点到直线距离公式可得:最短距离d==.故选D.7.A构造二次函数f(t)=t2-t,由函数的单调性可知,f(x)≤f(y),得到自变量离轴越远函数值越大,故≤-y,且0≤y≤,得到可行域为如图所示,直线斜率为-a,由图像可得到-1<-a<1即-1<a<1.故选A.8. 4画出表示的可行域,如图,直线(k-1)x-y+k-2=0过定点(-1,-1),若(k-1)x-y+k-2≥0恒成立,可行域在直线下面,当直线过(0,2)时,k-1有最小值=3, k最小值为4,故答案为4.9.或- 绘制不等式组表示的平面区域如图所示,由题意可知,该平面区域的面积:S=×OB×AC=×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a,当a<0时,如图所示,联立方程组:可得D,,此时S△OCD=×1×=,解得a=,由对称性可知,a=-也满足题意.综上可得:实数a的值等于或-.10.[-6,2]由z=2x-y⇒y=2x-z,则z表示直线y=2x+b在y轴上截距的相反数.如图,易知当直线过点A时直线在y轴上的截距最小为-2,z取最大值为2;当直线过点B时直线在y轴上的截距最大为6,z取最小值为-6.所以,z=2x-y的取值范围是[-6,2].11.35设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,z最大,∴当x=4,y=5时,z取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人,故答案为35.12.C作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由解得A(1,7),且点B(-5,0),又因为点P(m,n)在不等式组所表示的平面区域内,所以实数m的取值范围是[-5,1],故选C.13.B因为0≤f(1)≤1,9≤f(-3)≤12,所以作可行域,则z=(a+1)2+(b+1)2,其几何意义是可行域内点到定点A(-1,-1)距离的平方,其最小值为A到直线x+y+1=0距离的平方,即z min=2=,选B.14.A令z=ax-2by.∵不等式ax-2by≤2在平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,∴函数z=ax-2by在可行域要求的条件下,z max=2恒成立,画出平面区域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如图所示:当直线ax-2by-z=0过点(1,1)或点(1,-1)或(-1,1)或(-1,-1)时,有:点P(a,b)形成的图形是图中的菱形MNTS.∴所求的面积S=2××4×1=4,故选A.15. 画出可行域如下图所示,由图可知,两平行线最短距离为点A(0,2)到直线2x+y-5=0的距离,即d==.16.A作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1,1),N(2,2),P(1,3).∵圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)表示以C(-1,0)为圆心,半径为r的圆,∴由图可得,当半径满足r<CM或r>CP时,圆C不经过区域D上的点,∵CM==,CP==,∴当0<r<或r>时,圆C不经过区域D上的点,故选A.17.D令t=x,+2|y+1|≤2,作出可行域,如图所示.A(,0),B(-,-1),M=t2+y2-t=t-2+y2-表示可行域上的动点到定点,0的距离的平方,然后减去,故其最小值为定点,0到直线AB的距离的平方减去.AB:y=t-,定点,0到直线AB的距离:=, ∴M=t2+y2-t=t-2+y2-≥-=-,故选D.。

2020年高考数学一轮总复习测试卷《二元一次不等式组与简单线性规划》及答案解析

2020年高考一轮总复习测试卷《二元一次不等式组与简单线性规划》
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 不等式表示的平面区域在直线的
A. 右上方
B. 右下方
C. 左上方
D. 左下方
2. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是
A. 该直线的截距
B. 该直线的纵截距
C. 该直线的纵截距的相反数
D. 该直线的横截距
3. 直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域
（用阴影表示）是
A. B.
C. D.
4. 直线把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是
A. B. C. D.
5. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
6. 设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为
A. B. C. D.
7. 设，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
8. 设，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
9. 不等式表示的平面区域是．
A. B.
C. D.
10. 已知变量，满足约束条件则的最大值为
A. B. C. D.
11. 若，满足则的最大值为
A. B. C. D.
12. 若变量，满足约束条件则的最大值是
A. B. C. D.
13. 若，且则的最大值等于
A. B. C. D.。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《简单的线性规划》【题型一】：二元一次不等式（组）表示的平面区域【题型二】：图解法解决简单的线性规划问题.【题型三】：实际应用问题中的线性规划问题【题型二元一次不等式（组）表示的平面区【例1】.画出3x+y-3<0所表示的平面区域.【解析】[x + y — 4 € 0【变式4】下面给出四个点中，位于y，表示的平面区域内的点是（）（x_y + 1 >0A. (0,2)B. (-2,0)C. (0, -2)D. (2,0)【答案】C【变式2】(x 2y 4)(x-y - 4)—0表示的平面区域为( )【变式3】画出不等式2x • y-4 0表示的平面区域。

【解析】先画直线2x • y -4 =0 （画成虚线）取原点（0,0）代入2x ^4得2 0 * 0-4八4 ：：：0,【答案】B;原不等式可转化为'x+2y+4 色0A -y +4 乞0【变式训练】：•••原点不在2x • y 一4 0表示的平面区域内, 不等式2x・y—4 0表示的区域如图:Vq□.**21■ \ 10 1 2\3 4 *1【例2】.画出下列不等式组表示的平面区域。

【解析】3x ~'2 y _'2 - 0,【变式2】求不等式组x 4y 4 0,的整数解。

2x y -6 ：： 0【解析】如图所示,x v3 x + y 兰22y H x x +2y 兰3\ ; (2)」；（3）«3x + 2y K6 xH°2y ex +6 -怦i(1)^<x + y <3x 2y _4x _ 0y _0【变式训练】：【变式1】用平面区域表示不等式(x y -1)(x - y 4)02(1)(2)作直线h：3x-2y-2=0 , S：x 4y 4 = 0 , b：2xy-6 = 0 ,在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,- 1), (2,- 1), (3,- 1)即为原不等式组的整数解。

2020年数学新高考一轮复习(理) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2018·浙江名校联考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝y －x 的最大值是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得M (5,10)，N (5，－2)，所以S △OMN ＝12×(10＋2)×5＝30.由z ＝y －x ，得y ＝x ＋z ，作出直线y ＝x ，平移直线y ＝x ，易知当直线z ＝y －x 经过可行域内的点M (5,10)时，目标函数z ＝y －x 取得最大值，且z max ＝10－5＝5.答案：30 51．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c ＞0(a ＞0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b ＞0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b ＜0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等式组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．2．(2019·嘉兴高三基础测试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，3x ＋y ＜3，x ＋y ＞a 表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，34B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 如图所示，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝32(该直线经过直线x －y ＝0和直线3x ＋y ＝3的交点)的下方时，原不等式组表示的平面区域为一个三角形的内部区域，因此a ＜32，故选C.3．(2018·浙江名校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，x ≤1，则点P (x ＋y ，x －y )形成的区域的面积为________，能覆盖此区域(含边界)的圆的最小半径为________．解析：令⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，得⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝a －b2，则原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧3b －a ＋2≤0，a ＋3b ≥0，a ＋b ≤2，所以点P 形成的区域如图中阴影部分所示，易知A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－13，C (3，－1)．设点B 到AC 的距离为d ，则S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×2×⎪⎪⎪⎪1－13－22＝23.所求半径最小的圆即△ABC 的外接圆，AC ，AB 的垂直平分线分别为直线y ＝x －3，y ＝－3x ＋133，求得交点坐标，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫116，－76，所以半径为526. 答案：23 526[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函数的最值(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：9角度二：求非线性目标函数的最值2．(2018·温州模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则约束条件内的y 的最大值为________，目标函数y ＋1x ＋2的取值范围为________．解析：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，可知A ⎝⎛⎭⎫12，32，所以y 的最大值为32.易知y ＋1x ＋2的几何意义是可行域内的点与点(－2，－1)所在直线的斜率，(2,0)与(－2，－1)两点连线的斜率为14，所以y ＋1x ＋2的最小值为14，由图可知y ＋1x ＋2的最大值为直线x －y ＋1＝0的斜率1，所以y ＋1x ＋2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，1.答案：32 ⎣⎡⎦⎤14，1 角度三：线性规划中的参数问题3．(2018·绍兴考前冲刺)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，2y －3≤0.若目标函数z＝x ＋ay 仅在点(3,0)处取得最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[0,2)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＝0时，目标函数为z ＝x ，此时目标函数仅在点(3，0)处取得最大值；当a ＜0时，y ＝－x a ＋z a ，若使z 取得最大值，则需za取得最小值，数形结合知目标函数仅在点(3,0)处取得最大值；当a ＞0时，y ＝－x a ＋za ，要使目标函数仅在(3,0)处取得最大值，则需－1a ＜－12，即0＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，2)．[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2018·湖州五校高三模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x ＋y －3＜0，y ＞0，则z ＝2x －y的取值范围为( )A ．(－6，－1)B ．(－8，－2)C ．(－1,8)D ．(－2,6)解析：选D 法一：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y ＝2x ，平移该直线，可知直线z ＝2x －y 在点B (－1,0)处取得最小值－2，在点C (3,0)处取得最大值6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．法二：三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1，0)，(3,0)，分别代入z ＝2x －y 求值，得0，－2,6，所以z ＝2x －y 的取值范围为(－2,6)．2．(2018·杭州七校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，ax －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为8，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 将目标函数变形为y ＝－2x ＋z ，当z 取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线x ＋y －5＝0与2x －y －1＝0的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.因为直线ax －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，所以要使目标函数能取到最大值，需－1＜a 2＜2，即－2＜a ＜4.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋a ，5a ＋12＋a 处取得最大值，代入目标函数得2×92＋a ＋5a ＋12＋a＝8，解得a ＝1. 3．(2019·宁波高三模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥0，2x －y ≥0，x ≤5，则不等式组表示的平面区域的面积为________，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求平面区域的面积为12×5×[10－(－2)]＝30.z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内的点(x ，y )与点M (－1，1)之间的距离的平方，数形结合易知，z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值为点M (－1,1)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×(－1)－1|22＋(－1)2＝35的平方，即z min ＝95.答案：3095考点三线性规划的实际应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.所以S △ABC ＝12×83×1＝43.2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C. 3．(2019·杭州高三质检)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －9≥0，x －2y －1≤0，设z ＝x ＋2y ，则( )A ．z ≤0B ．0≤z ≤5C ．3≤z ≤5D ．z ≥5解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线过点A (3,1)时，z 取得最小值，z min ＝3＋2×1＝5，即z ≥5.4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 5．(2019·温州四校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，2x －y ≤2，则可行域的面积为________，z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝23，所以A ⎝⎛⎭⎫43，23，易得|BC |＝4，所以可行域的面积S ＝12×4×43＝83.由图可知，当目标函数z ＝2x ＋y 所表示的直线过点A ⎝⎛⎭⎫43，23时，z 取得最大值，且z max＝2×43＋23＝103.答案：83 103二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华四校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.选B. 2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC .由题意可求得A (0,1)，B (1,0)，C (1，a ＋1)， ∵S △ABC ＝2，BC ＝|a ＋1|，BC 边上的高为AD ＝1， ∴S △ABC ＝12×|a ＋1|×1＝2，解得a ＝－5或3，∵当a ＝－5时，可行域不是一个封闭区域，当a ＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是( )A ．(22，5)B ．[22，5]C ．[2,5]D ．[22，5)解析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)，则|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5. 故22≤|PA |＋|AB |≤5.4．(2018·浙江名校联考)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：选C 法一：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1代入2x ＋y ＝72，得a ＝1.法二：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a ＞－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值72，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x ＋y ＝72，得⎩⎨⎧ x ＝32，y ＝12，把⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12代入ax －y －a ＝0，得a ＝1.5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|解析：选C 作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.6．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax ＋y ≤4恒成立，结合图可知，a ≥0且在A (1,0)处取得最小值，在B (2,1)处取得最大值，所以a ≥1，且2a ＋1≤4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32.答案：⎣⎡⎦⎤1，32 7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，3x －y －9≥0，y ≤3，则y ＋1x ＋1的取值范围为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋1的几何意义为可行域内一点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率，故由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0＋13＋1＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1max ＝3＋14＋1＝45，故y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，45.答案：⎣⎡⎦⎤14，458．(2018·金华十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，mx －y －3≤0⎝⎛⎭⎫m ＞13，当m ＝2时，z＝|x ＋5y －6|的最大值为________；当m ＝________时，x ，y 满足的不等式组所表示的平面区域的面积为30.解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，2x －y －3≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫53，13，C (0,2)，令a ＝x ＋5y －6，即y ＝－15x ＋65＋15a ，显然当直线过A (3,3)时，a 取得最大值，此时a ＝12，当直线过B ⎝⎛⎭⎫53，13时，a 取得最小值，此时a ＝－83，又z ＝|a |，所以z 的最大值为12.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，mx －y －3＝0，得A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫153m －1，6m ＋33m －1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，mx －y －3＝0，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫5m ＋1，2m －3m ＋1，如图，易得D (0，－3)，所以S △A ′B ′C ＝S △A ′CD －S △B ′CD ＝12×5×⎝⎛⎭⎫153m －1－5m ＋1＝30，即9m 2＋6m －8＝0，所以m ＝23或m ＝－43(舍去)．答案：12239．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江名校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6，则x ＋3y 的最大值为________；若x 2＋4y 2≤a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥0，y ≤－2x ＋6所表示的平面区域如图1中阴影部分所示，由图1可知，当u ＝x ＋3y 过点 A (2，2)时，u ＝x ＋3y 取得最大值u max ＝2＋3×2＝8.令x ＝x ′，2y ＝y ′，则原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧12y ′≤x ′，12y ′≥0，12y ′≤－2x ′＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－y ′≥0，y ′≥0，4x ′＋y ′－12≤0，作出可行域如图2中阴影部分所示，由图2可知，x ′2＋y ′2的最大值为原点到点B (2,4)的距离的平方，易得|OB |2＝22＋42＝20，所以a 的最小值为20.答案：8 202．某工厂投资生产A 产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m 2，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100 m 2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m 2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数S ＝3x ＋2y .作出可行域如图阴影部分所示，将目标函数S ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋S 2，这是斜率为－32，随S 变化而变化的一组平行直线．S2是直线在y 轴上的截距．由图知，使3x ＋2y 取得最大值的(x ，y )是直线2x ＋y ＝9与2x ＋3y ＝14的交点(3.25,2.50)，此时S ＝3×3.25＋2×2.50＝14.75.∴生产A产品325吨，生产B产品250吨时，获利最大，且最大利润为1 475万元．。

2020年高考数学理科一轮复习课后限时集训33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课后限时集训(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6 B ．19 C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C .]2．不等式组⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＜6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C .]3．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A . 2B ．2C ．4D .689B[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知z min ＝d 2＝2，故选B .]4．点P (x ，y )为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则yx 的最小值为( )A ．－12B ．－2C ．－3D ．－13D[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1).yx 的几何意义为直线OP的斜率，故当点P 与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－13.]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14 000元 B ．16 000元 C ．18 000元D ．20 000元A[设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，x ，y ∈N ，利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z200经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝160，x ＋y ＝50可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.]6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B .]7．(2019·皖南八校联考)设不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 D ．[－1,3]A [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝y ＋1x －2即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A .] 二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)⎩⎨⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0(2)(－18,14) [(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x－5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1[不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1a x ＋z a 的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a ，满足k ＞k AC ，即－1a ＞－3. ∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.]B 组能力提升1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11 B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，11 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，53 A [约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫45，45，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13为顶点的三角形及其内部，yx ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13时，y x ＋1取得最小值111；当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32时，y x ＋1取得最大值35，则y x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35，所以x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11，故选A .]2．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A[不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A .]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[0,2][满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0；当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1；当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2. 故OA →·OM →的取值范围为[0,2]．]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元． 2 400 [设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N .根据题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400.]。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理

课后限时集训(三十三)　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟)A 组　基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－x ，平移该直线，当经35过点C 时，z 取得最大值，由Error!得Error!即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组Error!所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件Error!则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. B ．2 C ．4 D.2689B [作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝＝，易知z min ＝d 2＝2，故选B.]|0＋0－2|12＋1224．点P (x ，y )为不等式组Error!所表示的平面区域内的动点，则的最小值为( )yx A ．－ B ．－2 C ．－3 D ．－1213D [作出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由Error!可得Error!故A (3，－1).的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P 与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此yx 时k OP ＝－.13]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( )A ．14 000元B ．16 000元C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则Error!利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－x ＋经过点A 时，z 最大．32z 200由Error!可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.]6．已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.]7．(2019·皖南八校联考)设不等式组Error!，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.[－32，－1]C. D ．[－1,3](－∞，－32]A [画出不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，y ＋1x －2由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.]二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________．(1)Error!　(2)(－18,14)　[(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为Error!(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1　[不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝x －z .3414平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，z 有最小值．34由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件Error!若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．　[作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，(13，＋∞)当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－x ＋.1a z a 由Error!解得Error!即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－x ＋的下方，即目标函数的斜率k ＝－，满足k ＞k AC ，即－＞－3.1a z a 1a 1a ∵a ＞0，∴a ＞，即a 的取值范围为.]13(13，＋∞)B 组　能力提升1．若x ，y 满足约束条件Error!则的取值范围是( )x ＋1y A. B.[53，11][111，35]C.D.[35，11][111，53]A [约束条件对应的平面区域是以点，和为顶点的三角形及其内部，(45，45)(32，32)(83，13)的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点y x ＋1时，取得最小值；当(x ，y )取点时，取得最大值，则(83，13)y x ＋1111(32，32)y x ＋135∈，所以∈，故选A.]y x ＋1[111，35]x ＋1y [53，11]2．已知实数x ，y 满足Error!若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤1}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域Error!上的一个动点，则·的取值范围是________．OA → OM → [0,2]　[满足约束条件Error!的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，·＝－1×1＋1×1＝0；OA → OM → 当x ＝1，y ＝2时，·＝－1×1＋1×2＝1；OA → OM → 当x ＝0，y ＝2时，·＝－1×0＋1×2＝2.OA → OM → 故·的取值范围为[0,2]．OA → OM → ]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400　[设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N.根据题意，有Error!目标函数为z＝300x＋400y.作出Error!所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析新人教A版

高考数学一轮复习课后限时集训33二元一次不等式组与简单的线性规划问题理含解析新人教A 版课后限时集训(三十三) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45C [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即C (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＜6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [由不等式2x ＋y ＜6得y ＜6－2x ，且x ＞0，y ＞0，则当x ＝1时，0＜y ＜4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0＜y ＜2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4，故选C.]3．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A. 2 B ．2 C ． 4 D.689B [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示．过原点O (0,0)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线段的长度d ＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知z min ＝d 2＝2，故选B.] 4．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则yx的最小值为( )A ．－12 B ．－2 C ．－3D ．－13D [作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故A (3，－1).yx的几何意义为直线OP 的斜率，故当点P与点A 重合时直线OP 的斜率最小，此时k OP ＝－13.]5．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为( ) A ．14 000元 B ．16 000元 C ．18 000元D ．20 000元A [设生产A 产品x 吨，B 产品y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ≤160，2x ＋5y ≤200，x ，y ∈N，利润z ＝300x ＋200y ，可行域如图阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z200经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝160，x ＋y ＝50可得x ＝40，y ＝10，即A (40,10)．z max ＝300×40＋200×10＝14 000.] 6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.] 7．(2019·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，所表示的平面区域为M ，若直线y ＝k (x －2)－1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32D ．[－1,3]A [画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示，y ＝k (x －2)－1恒过C (2，－1)，k ＝y ＋1x －2即为可行域内的点(x ，y )与C (2，－1)连线的斜率，由图可知，k ≤k BC ＝－1，即实数k 的取值范围是(－∞，－1]，故选A.] 二、填空题8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)表示区域D 的不等式组为________；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，则a 的取值范围为________． (1)⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0(2)(－18,14) [(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，得a 的取值范围是－18＜a ＜14.]9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]10．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分所示，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．故a ≠0.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1ax ＋z a.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)．要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点A (2,2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1ax＋z a的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3. ∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.] B 组能力提升1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋4y －4≥0，x ＋y －3≤0，则x ＋1y的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，11 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，53A [约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫45，45，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13为顶点的三角形及其内部，y x ＋1的几何意义是可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)连线所在直线的斜率，当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫83，13时，yx ＋1取得最小值111；当(x ，y )取点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32时，y x ＋1取得最大值35，则y x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤111，35，所以x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，11，故选A.] 2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1≤a ≤1} B ．{a |a ≤－1} C ．{a |a ≤－1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数z ＝ax ＋y 的图象经过点A (3,9)时，z 取得最大值，经过点B (3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1，故选A.]3．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)．若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．[0,2] [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2的平面区域如图阴影部分所示．将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式．当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0；当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1；当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2. 故OA →·OM →的取值范围为[0,2]．]4．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为________元．2 400 [设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元，x ，y ∈N. 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ∈N，y ∈N所表示的可行域，如图中的阴影部分中的整点所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，z max＝400×6＝2 400.]。

高考数学一轮总复习课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题新人教A版

课时规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.已知实数x,y满足约束条件则z=3x+y+的最大值等于()A. B. C.2 D.32.若实数x,y满足约束条件则z=的最小值为()A. B. C. D.13.(2022河南郑州一模)若实数x,y满足则z=x+3y的最小值为()A.9B.1C.D.24.(2022陕西咸阳二模)若x,y满足约束条件,则z=x2y的最小值为()A.5B.1C.3D.55.已知实数x,y满足约束条件则z=的最小值为.6.(2022河南开封三模)已知实数x,y满足条件的最大值为.综合提升组7.过平面区域内一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,记∠APB=α,则当α最大时cos α的值为()A. B. C.0 D.8.已知x,y满足如果目标函数z=的取值范围为[0,2),则实数m的取值范围为()A.(∞,0]B.∞,C.[0,2)D.[0,+∞)9.已知实数x,y满足1≤x+y≤3,4≤2xy≤9,则()A.1≤x≤3B.2≤y≤1C.2≤4x+y≤15D.<xy<10.若实数x,y满足的不等式组表示的平面区域是直角三角形,则的取值范围是.创新应用组11.若变量x,y满足约束条件则x2y的最小值为()A. B. C.0 D.答案：课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.D由约束条件作出可行域如图,联立解得A,由z=3x+y+,得y=3x+z,由图可知,当直线y=3x+z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3=3.2.B画出不等式组表示的平面区域如图,令t=3x+2y,结合图形可知直线t=3x+2y经过点A(3,7)时,t最大,经过点C(3,4)时,t最小,所以1≤t≤23,则当t最大时,z最小,z min=3.B由不等式组作出可行域,如图所示,由z=x+3y,得y=x+z,由图可知,当直线y=x+z过点A(1,0)时,z取得最小值,且最小值为1.4.C由约束条件可得可行域如图阴影部分所示,由z=x2y得y=x,则当z=x2y取最小值时,直线y=x在y轴上的截距取得最大值,由图象可知,当直线y=x过A时,y轴上的截距最大,由即A(1,2),∴z min=12×2=3.故选C.5.画出不等式组表示的平面区域,如图,令t=2xy,则y=2xt,结合图形可知,直线y=2xt经过点(3,1)时,t max=2×31=5,由指数函数性质可知,此时z取最小值,z min=6.如图,阴影部分即为可行域,可以看成阴影部分内的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,联立方程解得x=y=2,所以点A(2,2),显然,当(x,y)为A(2,2)时,斜率最大,此时的最大值为7.C由约束条件可得可行域如图,D(2,0),F(4,2),E(0,2),∴由图知,sin0<,则cosα=12sin2=1,∴要使α最大,则|OP|最小,即在可行域内找到离O点距离最小的P点即可,显然,当OP⊥DE且P 在DE上时α最大,而△ODE为等腰直角三角形,∴P为DE的中点,此时|OP|min=,此时,则cosα=0.8.B由约束条件可得可行域如图阴影部分所示,z=表示点(x,y)与点(m,1)连线的斜率,点(m,1)在直线y=1上,当点(m,1)位于A右侧时,存在z<0的情况,不合题意;当点(m,1)位于线段AB(不含端点B)上时,存在z>2的情况,不合题意;当点(m,1)与B重合时,存在z=2的情况,不合题意;当点(m,1)位于B左侧时,z∈[0,2),满足题意.由即B,1,故m<,即实数m的取值范围为∞,.9.C画出不等式组表示的平面区域,如图所示,由求得点A(1,2),由求得B,,由求得C(4,1),由求得D,所以x的取值范围是1≤x≤4,故A错误;y的取值范围是y,故B错误;设z=4x+y,画出直线z=4x+y,由图象知,当直线z=4x+y过点A时,z取得最小值为z min=42=2,过点C 时z取得最大值为z max=161=15,所以2≤4x+y≤15,故C正确;设z'=xy,画出直线z'=xy,由图象知,当直线z'=xy过点D时,z取得最小值为z'min=,过点B时z'取得最大值为z'max==,所以xy,故D错误.10.0,根据约束条件作出可行域如图所示,因为不等式组所表示平面区域为直角三角形,且直线ax+2y1=0的斜率存在,所以直线ax+2y1=0与2x+y2=0垂直,所以2a+1×2=0,所以a=1.表示可行域内的点(x,y)与点(3,0)连线的斜率,因为所以所以A,令2x+y2=0中y=0,所以x=1,所以B(1,0),由图可知,当取点A时,此时取最大值,所以max=,当取点B时,此时取最小值,所以min==0,所以的取值范围是0,.11.A画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,令m=x2y,则y=x2m,则由图象可得当曲线y=x2m与直线y=x相切时,m取得最小值,联立方程可得x2xm=0,令Δ=1+4m=0,解得m=,故x2y的最小值为。

高考数学一轮复习考点规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考点规范练33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点规范练A 册第22页基础巩固1.若点(1,b )在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b 应取的整数值为( ) A.2 B.1 C.3 D.0 答案:B解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,即(b -78)(b-2)<0,解得78<b<2,则b 应取的整数值为1. 2.若x ,y 满足{x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x+2y 的最大值为( )A.1B.3C.5D.9答案:D解析:由题意画出可行域(如图).设z=x+2y ,则z=x+2y 表示斜率为-12的一组平行线,当过点C (3,3)时,目标函数取得最大值z max =3+2×3=9.故选D .3.设变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0,则目标函数z=3x+5y 的最大值为( )A.6B.19C.21D.45答案:C解析:作出不等式组{x +y ≤5,2x -y ≤4,-x +y ≤1,y ≥0表示的平面区域,如图(阴影部分)所示.由{x +y =5,-x +y =1,解得点A 的坐标为(2,3).由z=3x+5y ,得y=-35x+z5.由图可知,当直线y=-35x+z5过点A 时,z5最大,即z 最大. 所以z 的最大值z max =3×2+5×3=21.4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C .32D.2答案:B解析:可行域如图(阴影)所示,由{y =2x ,x +y -3=0,得交点A (1,2),当直线x=m 经过点A (1,2)时,m 取到最大值为1.5.如图,其中A (5,3),B (1,1),C (1,5),若使目标函数z=ax+y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值是( )A .32 B .12 C.2D .52答案:B解析:直线y=-ax+z (a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax 平移到直线AC 位置时取得最大值的最优解有无穷多个. ∵k AC =-12,∴-a=-12,即a=12.6.已知正三角形ABC 的顶点A (1,1),B (1,3),顶点C 在第一象限内.若点(x ,y )在△ABC 的内部,则z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1-√3,2) B.(0,2)C.(√3-1,2)D.(0,1+√3)答案:A解析:由顶点C 在第一象限内,且与点A ,B 构成正三角形,可求得点C 的坐标为(1+√3,2). 将目标函数z=-x+y 化为y=x+z ,结合图形(图略)可知当y=x+z 过点C 时z 取到最小值,此时z min =1-√3,当y=x+z 过点B 时z 取到最大值,此时z max =2,故z 的取值范围为(1-√3,2). 7.已知实数x ,y 满足约束条件{x ≥0,3x +4y ≥4,y ≥0,则x 2+y 2+2x 的最小值是( )A .25 B .√2-1C .2425D.1答案:D解析:约束条件{x ≥0,3x +4y ≥4,y ≥0所表示的平面区域如图(阴影部分)所示.x 2+y 2+2x=(x+1)2+y 2-1表示点(-1,0)到可行域内任一点距离的平方再减1,由图可知当x=0,y=1时,x 2+y 2+2x 取得最小值1.8.(2020全国Ⅰ,理13)若x ,y 满足约束条件{2x +y -2≤0,x -y -1≥0,y +1≥0,则z=x+7y 的最大值为 . 答案:1解析:画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y 变形可得y=-17x+17z ,平移直线y=-17x.由图可得z 在点A 处取得最大值. 由{x -y -1=0,2x +y -2=0,得{x =1,y =0,所以A (1,0),所以z max =1+7×0=1.9.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元. 答案:27解析:设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨,则获得的利润为z=5x+3y (万元). 由题意得{x ≥0,y ≥0,3x +y ≤13,2x +3y ≤18,此不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)所示.由图可知当y=-53x+z3经过点A 时,z 取得最大值,此时x=3,y=4,z max =5×3+3×4=27(万元). 10.已知x ,y 满足约束条件{x -y +2≥0,x ≤1,x +y +k ≥0,z=x+3y 的最大值是最小值的-2倍,则k= . 答案:1解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,所以z max=1+3×3=10,z min=1+3×(-1-k)=-2-3k.根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.11.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组{2x+3y-6≤0,x+y-2≥0,y≥0所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:√2解析:由约束条件画出可行域,如图(阴影部分)所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=√2=√2.12.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.解:设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时,相应直线在y 轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y 取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是2 800元.能力提升13.已知x ,y 满足约束条件{x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( ) A .12或-1B.2或12C.2或1D.2或-1 答案:D解析:(方法一)由题中条件画出可行域,如图(阴影部分)所示,可知A (0,2),B (2,0),C (-2,-2),则z A =2,z B =-2a ,z C =2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A =z B >z C 或z A =z C >z B 或z B =z C >z A ,解得a=-1或a=2.(方法二)目标函数z=y-ax 可化为y=ax+z ,令l 0:y=ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a=-1或a=2.14.若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.-3B.1C .43D.3答案:B解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m ≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为△ABC.由{x +y -2=0,x +2y -2=0,解得{x =2,y =0,则A (2,0).由{x +y -2=0,x -y +2m =0,解得{x =1-m ,y =1+m ,则B (1-m ,1+m ). 同理C (2-4m 3,2+2m 3),M (-2m ,0).S △ABC =S △ABM -S △ACM =12·(2+2m )·[(1+m )-2+2m 3]=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).15.已知变量x ,y 满足{x -y ≥2,x +2y +2≥0,2x -y -4≤0,若方程x 2+y 2+6y-k=0有解,则实数k 的最小值为 . 答案:-295解析:作出约束条件表示的可行域,如图所示,由方程x 2+y 2+6y-k=0,得x 2+(y+3)2=9+k.问题可转化为求可行域内的点到定点C (0,-3)的距离最小时实数k 的值, 结合图形,点C 到直线x+2y+2=0的距离d=√5=√5为所求,则9+k=(√5)2,解得k=-295.16.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 min,广告的总播放时间不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解:(1)由已知,x ,y 满足的数学关系式为{70x +60y ≤600,5x +5y ≥30,x ≤2y ,x ≥0,y ≥0即{7x +6y ≤60,x +y ≥6,x -2y ≤0,x ≥0,y ≥0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分:图①(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y ,将它变形为y=-125z+z25,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线,z25为直线在y 轴上的截距,当z25取得最大值时,z 的值最大.又因为x ,y 满足约束条件,所以由图②可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距z25最大,即z 最大. 解方程组{7x +6y =60,x -2y =0,得点M 的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.图②高考预测17.若变量x ,y 满足约束条件{4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B .235C.6D .315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域,如图(阴影部分)所示,由z=3x+2y 可得y=-32x+z2.z2指的是直线y=-32x+z2在y 轴上的截距,根据图形可知,当直线y=-32x+z2通过点A 时,可使z2取得最小值,即z 取得最小值. 易知点A 的坐标为(1,45), 所以z min =3×1+2×45=235.。

2020年高考数学一轮总复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练理含解析

6-2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课时规范练(授课提示：对应学生用书第279页)A 组基础对点练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( B )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－32．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( C ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 33．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( B )A ．8B ．7C ．2D ．14．(2018·龙泉驿区期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ≤2，2x ＋y ≤6，向量a ＝(x ，－1)，b ＝(2，y －m )，则满足a⊥b 的实数m 的最大值为( C ) A ．－265B ．－305C ．2D ．－52解析：由向量a ＝(x ，－1)，b ＝(2，y －m )，满足a⊥b 得m ＝y －2x ，根据约束条件画出可行域(图略)，可将m 的值转化为y 轴上的截距．当直线y ＝2x ＋m 经过点(1,4)时，m 取最大值，∴实数m 的最大值为4－2＝2.5．(2016·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( C )A ．0B ．3C ．4D ．56．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( A )A ．3B ．－3C ．1D ．327．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，x ≤2，则z ＝|x －y |的最大值是( B )A ．2B ．4C ．6D ．88．(2018·赣州期末)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，目标函数z ＝(x ＋1)2＋(y＋1)2的最小值是( A ) A.92 B ．5 C.322D ． 5解析：画出可行域如图，目标函数z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的几何意义是区域内的点到点P (－1，－1)距离的平方，所以z 的最小值为P 到图中x ＋y －1＝0的距离的平方，d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1－122＝92.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( D )A.12万元 C ．17万元D ．18万元10．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( D )A.322B ． 5 C.92D ．511．(2016·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 32.解析：约束条件对应的平面区域是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，z 取得最大值32. 12．(2016·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为－10 .解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x ＋3y －5经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为 3 .解析：作出可行域如图中阴影部分所示，∴A (1,3)，y x的最大值为k OA ＝3.14．(2018·孝感期末)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 3 2 .解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0的平面区域如图所示，直线y ＝x ＋b 分别经过A ，B 时，平行线间的距离最小．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝2，解得B (2，－2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －3y ＋4＝0，解得A (－1,1)．AB 连线与斜率为1的直线垂直，∴这两条平行直线间的距离的最小值是|AB |＝＋2＋＋2＝3 2.B 组能力提升练1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( B )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－32．(2018·尧都区校级期末)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a ，若目标函数z＝ax －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( D ) A.2－1 B ．3 C.2＋1D ．1解析：实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a的可行域如图，由图可知a >0，当x ＝a ，y ＝1－a 时，y ＝a 2x －z2纵截距最小，目标函数z ＝ax －2y 取得最大值，即1＝a 2－2×(1－a )，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)．3．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( A ) A ．6B ．0C ．2D ．2 24．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( D )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( B ) A.211 B ．14 C.12D ．1126．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( C ) A ．5 B ．29 C ．37D ．497．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( B ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1]D ．(－4,1)8．已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( D ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,3]D ．[1,4]9．(2018·新罗区校级月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到的最小值为25，则a 2＋b 2的最小值为( D ) A ．5 B ．4 C. 5D ．2解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得A (2,1)．化目标函数为直线方程得y ＝－a b x ＋z b(b ＞0)．由图可知，当直线y ＝－a b x ＋z b过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小． ∴2a ＋b ＝2 5.即2a ＋b －25＝0.则a 2＋b 2的最小值为|－25|4＋1＝2.10．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( B )A ．2 6B ．4 C. 6D ．211．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( D ) A ．1或14B ．12或18C ．1或12D ．12或1412．(2018·新罗区校级月考)设p ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋2y ≤2，x ≥－2，q ：实数x ，y 满足(x＋1)2＋y 2≤m ，若q 是p 的充分不必要条件，则正实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 .解析：q 是p 的充分不必要条件，即q 对应的平面区域在p 对应平面区域内，作出不等式组对应的平面区域，(x ＋1)2＋y 2＝m 对应的圆心为(－1,0)，半径r ＝m ，由图象知，当圆与x －y ＝0相切时，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|－1|2＝12＝m ，则m＝12. 若q 是p 的充分不必要条件，则0＜m ≤12，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.13．若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6，表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为π24. 解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.14．动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是 (－∞，－1]∪[3，＋∞) ．解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1. 设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

高三江苏专版数学一轮复习课时作业(33)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.pdf

课题功课时两课时教学目标探究什么是物理学中的功，知道物体做功的两个必要条件，知道功在国际单位制中的单位。

能根据物体做功的两个必要条件判断力对物体是否做功，会用公式计算功的大小。

体会到简单机械给人们带来方便和快捷，能从功的角度理解使用简单机械“省力”和“省距离”之间的辨证关系。

教学重点与难点重点：功的概念和物体做功的两个必要条件；运用公式进行简单的功的计算。

难点：正确判断力是否对物体做功。

教具斜面、小车、砝码、木块、弹簧测力计、刻度尺教学过程互动与反馈第一课时：功的基础知识一、课题引入 1．回顾利用动滑轮提升重物，可以省力，但要费距离；利用定滑轮提升重物，不能省力，但也没有多移动距离。

2．分析杠杆省力与省距离之间的关系。

3．提出有没有既省力又省距离的杠杆？二、探究斜面 1．介绍所要探究的斜面的实验装置，并装配好。

2.提出问题： ⑴需要测量哪些物理量，可以解决我们需要探究的问题？（小车及砝码的重力、匀速拉动小车时的拉力、斜面的长度、斜面的高度） ⑵拉动小车时要注意什么？（平行于斜面，匀速拉动）请学生回答。

由学生先讨论再回答。

3．请同学们设计记录实验数据的表格：测量次数 F/N s/m G/N h/m Fs/(N·m) Gh/ (N·m) ⑴ ⑵ ⑶ 4．进行实验将实验数据纪录在表格中。

5．分析表格中的数据，引导学生得出实验结论。

三、关于功的概念 1．进一步分析实验结论，得出：不考虑摩擦等阻力影响，没有既省力又省距离的机械。

2．指出：力与物体在力的方向上通过的距离的乘积是一个有物理意义的量，物理学中称为机械功，简称功。

3．功的计算公式：W=Fs W表示功，F表示力，s表示物体在力的方向上通过的距离。

4．在国际单位制中，功的单位：焦耳，符号：J 1J=1N·m 功的单位是为了纪念英国物理学家焦耳在科学中的贡献而命名的。

高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时达标第33讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[解密考纲]主要考查利用线性规划求目标函数的最值或解决实际应用问题，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( D )A ．1B ．3C ．5D ．9解析作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示(三角形ABC 及其内部)，三个顶点分别为A (1,1)，B (3，－1)，C (3,3)，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线过点C (3,3)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×3＝9.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C ．[－1,6]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当直线z ＝3x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值6，过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，z 取得最小值－32.故选A ．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y 2的取值范围为( C )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，过点O 作OA 垂直直线x ＋y ＝2，垂足为A ，设直线x －y ＝1与y ＝2交于点B ，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z ∈[2,13]．4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－2，则k 的值为( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析将选项中的k 值分别代入约束条件中，则当k ＝1或k ＝2时，目标函数z ＝y －x 无最小值；当k ＝－2时，直线y ＝x ＋z 过点(0,2)时有z min ＝2；当k ＝－1时，直线y ＝x ＋z 过点(2,0)时有z min ＝－2.故选B ．5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝yx的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示．解方程组得可行域的顶点分别为A (3,1)，B (1,2)，C (4,2)．由于y x表示可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)的连线的斜率，则k OA ＝13，k OB ＝2，k OC ＝12，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.故选A ．6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0a 为常数所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( A )A ．3B ．6C ．5D ．4解析先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0对应的区域，如图．因为直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax －y ＋1≥0表示的区域在直线ax －y ＋1＝0的右下方，所以△ABC为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0对应的平面区域．因为A 到直线BC 的距离为1，所以S △ABC ＝12×1×BC ＝2，所以BC ＝4.当x ＝1时，y C ＝1＋a ，所以y C ＝1＋a ＝4，解得a ＝3. 二、填空题7．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为__25__.解析由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，作出不等式组表示的平面区域，如图所示．平移直线y ＝－12x ＋z 2，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋z 2经过点F 时，直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝9，即F (7,9)，代入z ＝x ＋2y ，得z max ＝7＋2×9＝25.8．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则z ＝2x －y 的最小值为__－4__.解析曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z .当直线y ＝2x －z 经过点(－1,2)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 的值最小，故z min ＝2×(－1)－2＝－4，即2x －y 的最小值为－4.9．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 的值为__12__.解析由题意得直线y ＝a (x －3)过x ＝1与2x ＋y ＝1的交点(1，－1)，因此a 的值为12.三、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知 ⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值；(3)求z ＝|2x ＋y ＋4|的最大值与最小值．解析画出满足条件的可行域，如图所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图象可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图象可知，k BD 最大，k CD 最小．又因为C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.(3)因为z ＝|2x ＋y ＋4|＝5·|2x ＋y ＋4|5表示可行域内点P (x ，y )到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的5倍，由图象知A 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最小，C 到直线2x ＋y ＋4＝0的距离最大．又因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，C (3,8)，故当x ＝－52，y ＝52时，z min ＝5·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋52＋45＝32. 当x ＝3，y ＝8时，z max ＝5·|2×3＋8＋4|5＝18. 12．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示.不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解析 (1)由条件可知x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ∈N ，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．。

人教A版2020年高考数学(理)一轮复习《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(讲义+课时作业)

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By ＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线.(2)对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域.(3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[常用结论与微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0，0)B.(－1，1)C.(－1，3)D.(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合. 答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A (－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案－55.(2018·石家庄质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx 的最大值为________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max＝k OA .由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案3考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】 (2018·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案 π24考点二求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.0B.1C.2D.3解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12(2)(2018·湘中高三联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3，－1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y min ＝1k OA＝32. 答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 (2018·惠州三调)已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y的最小值为－4，则实数a ＝( ) A.1B.2C.4D.8解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 (1)(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y的最大值是( ) A.0B.2C.5D.6(2)(2018·新乡模拟)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( ) A.54 B.－56C.1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)C (2)C考点三实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案216 000规律方法解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示).当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案600基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D2.(2017·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9.答案 D3.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15B.－9C.1D.9解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－3，0]B.[－3，2]C.[0，2]D.[0，3]解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.(2018·河北名校联盟质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( ) A.－12B.－1C.0D.32解析作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0，故选C.答案 C6.(2018·成都诊断)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( ) A.0B.－2C.2D.6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎨⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4.作出可行域(图略)，得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( ) A.13B.23C.1D.2解析若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14.mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2. 答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案 D二、填空题9.(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.答案－110.(2018·滕州模拟)已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM→·ON →的最大值是________.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM→·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3.答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ). 又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8).法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示. 平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)12.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距.故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.答案 2或－1能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.(2018·高安中学联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B.[0，5)C.[0，5]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析作出可行域如图所示：易求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，C (2，－1)，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x －u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5；过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u 有最小值－53.因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5). 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2018·安徽江南十校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________.解析作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。

2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练32二元一次不等式组与简单的线性计划问题

课时标准练32 二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题基础巩固组1.假设点(m ,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内,则m 的取值范围是( ) ≥1≤1<1 >12.(2018安徽六安舒城中学仿真(三),3)若x ,y 知足{x +x -1≥0,x -x -1≤0,x -3x +3≥0,则z=x+2y 的最大值为( )3.(2018四川双流中学一模,4)若P (x ,y )知足约束条件1≤x ≤2x-y ≤4,且3x -xx=2,则z 的最大值为( )4.(2018广东阳春一中模拟,4)假设实数x ,y 知足不等式组{x -2y +1≥0,y ≥x ,x ≥0,则z=x 2+y 2的取值范围是( )A.14,2 B.[0,2] C.12,√2D.[0,√2]5.(2018吉林长春高三质监(二),6)已知动点M (x ,y )知足线性条件{x -y +2≥0,x +y ≥0,5x +y -8≤0,定点N (3,1),那么直线MN 斜率的最大值为( )6.(2018广东汕头潮南区冲刺,9)设变量x ,y 知足约束条件{x -y ≥-1,x +y ≤4,y ≥a ,目标函数z=3x-2y 的最小值为-4,则a 的值是( )D.127.(2018宁夏银川二中二模,7)设不等式组{y ≥x ,x ≥1,x -2y +3≥0所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称.关于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,|AB|的最小值等于( ) A.285C.125 8.(2018黑龙江四模,9)若x ,y 知足{x +y -3≥0,kx -y +3≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-12,则k 的值为( )A.12 12 C.14 149.(2018河北衡水中学联考,13)已知实数x ,y 知足条件{x -y ≤1,2x -y ≥3,则z=|2x+y -3|x 的最小值是 .10.(2018福建三明质检,15)假设直线ax+y=0将平面区域Ω={(x ,y )|{x ≥0,x +y ≤1,x -y ≤1}划分成面积为1∶2的两部份,那么实数a 的值等于 .11.(2018江西景德镇二联,15)假设实数x ,y 知足{x ≤1,x +y ≥0,x -2y ≥0,则|x-3y|的取值范围是 .12.(2018北京海淀区二模,13)A ,B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.:依照安排,去敬老院的来回总车费不能超过37元,且B 小区参加献爱心活动的同窗比A 小区的同窗至少多1人,那么同意效劳的老人最多有人.综合提升组 13.(2018江西南昌二模,6)已知点P (m ,n )在不等式组{x 2+y 2≤50,2x -y ≤-5表示的平面区域内,那么实数m 的取值范围是( ) A.[-5√2,5√2] B.[-5√2,-5] C.[-5√2,1] D.[-5,1]14.(2018山西太原三模,7)设不等式组{3x +y ≥10,x +3y ≤6表示的平面区域为D ,假设在区域D 上存在函数y=log a x (a>1)图象上的点,那么实数a 的取值范围是( ) A.(3,+∞) B.(1,3) C.[3,+∞) D.(1,3]15.(2018河北衡水模拟,9)点M (x ,y )在不等式组{√3x +y -10≤0,√3x -y -2≥0,y ≥1所确信的区域内(包括边界),已知点A (√3,1),当z=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值时,3x 2+y 2的最大值和最小值之差为( )16.(2018河北衡水金卷一模,15)已知实数x ,y 知足不等式组{y ≥-1,4x +y -4≤0,2x -y -1≥0,那么目标函数z=4x 2+y 2的最大值与最小值之和为 .创新应用组17.(2018河南一模,7)设不等式组{x +y ≤4,y -x ≥0,x -1≥0表示的平面区域为D ,假设圆C :(x+1)2+y 2=r 2(r>0)不通过区域D 上的点,则r 的取值范围为( ) A.(0,√5)∪(√13,+∞) B.(√13,+∞) C.(0,√5) D.[√5,√13]18.(2018湖北武汉调研,10)若x ,y 知足|x-1|+2|y+1|≤2,则M=2x 2+y 2-2x 的最小值为( )B.21149课时标准练32 二元一次不等式(组)与简单的线性计划问题由2m+3-5>0,得m>1.作出题设约束条件下的可行域,如图△ABC 内部(含边界),作直线l :x+2y=0,把直线l 向上平移,z 增加,当l 过点B (3,2)时,z=3+2×2=7为最大值.应选B .∵点P (x ,y )知足约束条件1≤x ≤2x-y ≤4,∴{x ≥1,x -y ≥0,2x -y ≤4,画出不等式组表示的平面区域,如下图:由3x -zy =2得目标函数z=3x-2y.由图形可知,目标函数过点A 时,z 取得最大值,由{x =1,2x -y =4,解得A (1,-2).∴z 的最大值为3×1-2×(-2)=7,应选C .绘制不等式组表示的平面区域如下图,目标函数表示坐标原点到可行域内点的距离的平方,那么目标函数在点(0,0)处取得最小值:z min =02+02=0,目标函数在点A (1,1)处取得最大值:z max =12+12=2,故x 2+y 2的取值范围是[0,2].应选B .画出线性条件{x -y +2≥0,x +y ≥0,5x +y -8≤0表示的可行域,由{x +y =0,5x +y -8=0可得M (2,-2),由可行域可知当M 取(2,-2)时,直线MN 的斜率最大值为1+23-2=3,应选C .作出约束条件所对应的可行域(如图),由{x -y =-1,y =a ,解得x=a-1,y=a ,∴A (a-1,a ),目标函数z=3x-2y 可化为y=32x-12z ,平移直线y=32x-12z 可知,当直线通过点A 时截距取最大值,z 最小,∴3(a-1)-2a=-4,解得a=-1,应选C .由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域Ω1中的点到直线3x-4y-9=0的距离的最小值的两倍,画出已知不等式组表示的平面区域,如下图,可看出点(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最小,故|AB|的最小值为2×|3×1-4×1-9|5=4,应选B .由z=y-x 得y=x+z ,要使z=y-x 的最小值为-12,即y=x-12,那么不等式对应的区域在y=x-12的上方,先作出{y ≥0,x +y -3≥0,y =x -12对应的图象,由{y =0,y =x -12得{x =12,y =0,即C (12,0),同时C (12,0)也在直线kx-y+3=0上,则12k+3=0,得k=-14,应选D .约束条件所表示的可行域如下图,其中A (2,1),因为2x+y-3>0,因此|2x+y -3|x =2x+y -3x =2+y -3x -0,其中y -3x -0表示点(x ,y )与(0,3)连线的斜率,其最小值为点A 与(0,3)连线的斜率,即-1,因此|2x+y -3|x的最小值是1.10.12或-12 绘制不等式组表示的平面区域如下图,由题意可知,该平面区域的面积:S=12×OB×AC=12×1×2=1,直线ax+y=0的斜率为k=-a ,当a<0时,如下图,联立方程组:{ax +y =0,x +y =1可得D11-a ,a a -1,现在S △OCD =12×1×|11-a|=13,解得a=12,由对称性可知,a=-12也知足题意.综上可得:实数a 的值等于12或-12.11.[0,4] 设z=x-3y ,化为y=x 3−z 3,画出{x ≤1,x +y ≥0,x -2y ≥0表示的可行域,平移直线y=x 3−z3,如图,由图知,取得直线y=x 3−z3通过点A ,B 时,z 别离取得最小值与最大值,由{x =1,x -2y =0可得A 1,12,由{x =1,x +y =0可得B (1,-1),因此z 的最小值为1-32=-12,z 的最大值为1+3=4,x-3y 的取值范围是[-12,4],|x-3y|的取值范围是[0,4].设A ,B 两小区参加活动同窗的人数别离为x ,y ,受到效劳的老人人数为z ,则z=5x+3y ,且{ y -x ≥1,3x +5y ≤37,x ≥1,x ,y ∈Z作出可行域,如图平移直线z=5x+3y ,由图可知,当直线z=5x+3y 过点M (4,5)时,z 最大,∴当x=4,y=5时,z 取得最大值为35,即同意效劳的老人最多有35人,故答案为35.作出约束条件所表示的平面区域,如下图,由{x 2+y 2=50,2x -y =-5,解得A (1,7),且点B (-5√2,0),又因为点P (m ,n )在不等式组{x 2+y 2≤50,2x -y ≤-5所表示的平面区域内,因此实数m 的取值范围是[-5√2,1],应选C .作出不等式组{3x +y -10≥0,x +3y -6≤0对应的平面区域如图:由a>1,对数函数的图象通过可行域的点,知足条件,由{3x +y -10=0,x +3y -6=0,解得A (3,1),现在知足log a 3≤1,解得a ≥3,∴实数a 的取值范围是[3,+∞),应选C . 由约束条件画出可行域如以下图,又由z=OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x+y ,因此当直线为AC 时,z 取最大值,z max =10,即√3x+y=10(1≤y ≤4). 因此3x 2+y 2=(10-y )2+y 2=2y 2-20y+100(1≤y ≤4).当y=1时,取最大值82,当y=4时,取最小值52,因此82-52=30,应选B .16.314 令t=2x ,则x=t 2,原可行域等价于{y ≥-1,2t +y -4≤0,t -y -1≥0,作出可行域如下图,经计算得C 52,-1,z=4x 2+y 2=t 2+y 2的几何意义是点P (t ,y )到原点O 的距离d 的平方,由图可知,当点P 与点C 重合时,d 取最大值;d 的最小值为点O 到直线AB :t-y-1=0的距离,故z max =254+1=294,z min =1√1+12=12,因此z=4x 2+y 2的最大值与最小值之和为314,故填314.作出不等式组{x +y ≤4,y -x ≥0,x -1≥0表示的平面区域,取得如图的△MNP 及其内部,其中M (1,1),N (2,2),P (1,3).∵圆C :(x+1)2+y 2=r 2(r>0)表示以C (-1,0)为圆心,半径为r 的圆,∴由图可得,当半径知足r<CM 或r>CP 时,圆C 不通过区域D 上的点,∵CM=√(1+1)2+12=√5,CP=√(1+1)2+32=√13,∴当0<r<√5或r>√13时,圆C 不通过区域D 上的点,应选A .令t=√2x ,|√22t -1|+2|y+1|≤2,作出可行域,如下图.A (√2,0),B (-√2,-1),M=t 2+y 2-√2t=t-√222+y 2-12表示可行域上的动点到定点√22,0的距离的平方,然后减去12,故其最小值为定点√22,0到直线AB 的距离的平方减去12.AB :y=12√2t-12,定点√22,0到直线AB 的距离:14√1+18=13√2,∴M=t 2+y 2-√2t=t-√222+y 2-12≥118−12=-49,应选D .。

2022高考数学一轮复习课时作业33二元一次不等式组与简单的线性规划问题文

课时作业33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[根底达标]一、选择题1．点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，那么a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案：B2．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，0≤x ≤4，那么该不等式组表示的平面区域的面积为( )A.94B.274 C ．9 D.272解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影局部)，其面积S ＝12×(3＋32)×3＝274.应选B 项．答案：B3．[2022·洛阳统考]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3，那么z ＝2x ＋y 的最小值与最大值的和为( )A ．7B ．8C ．13D ．14解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影局部所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移直线2x ＋y ＝0，当直线经过点A (1,2)时，z ＝2x ＋y 取得最小值4，当经过点B (3,4)时，z ＝2x ＋y 取得最大值10，故z 的最小值与最大值的和为4＋10＝14.应选D.答案：D4．[2022·开封测试]实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，那么z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132 B.116C ．32D ．64解析：解法一作出不等式组表示的平面区域中，如图中阴影局部所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，应选C.解法二作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示，易知z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y ，即可求得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得z ＝32；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得z ＝116；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得z ＝4.通过比拟可知，在点A (1,3)处，z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y取得最大值32，应选C.答案：C5．[2022·湖北襄阳一模]清明节，某学校准备租赁A ，B 两种型号的客车安排900名学生到烈士陵园为英烈扫墓，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 200元/辆和1 800元/辆，学校为节约本钱，要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么总租金的最小值为( )A ．27 000元B ．27 080元C ．27 600元D ．28 000元解析：设租用A ，B 两种型号的客车分别为x 辆、y 辆，所用的租金总数为z 元，那么z ＝1 200x ＋1 800y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7(x ，y ∈N )，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≥75，x ＋y ≤21，y －x ≤7(x ，y ∈N )，作出⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ≥75，x ＋y ≤21，y －x ≤7表示的平面区域如图中阴影局部所示，又x ，y ∈N ，所以由图象易知，z ＝1 200x ＋1 800y 取得最小值的最优解为(5,12)，将(5,12)代入z ＝1 200x ＋1 800y ，得z ＝27 600，故总租金的最小值为27 600元．应选C 项．答案：C6．[2022·安徽宿州一中月考]关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3，mx －y ＋3≥0，x x －2≤0表示的平面区域构成一个锐角三角形，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0，12) B.(12，1)C.(13，12) D ．(0,1)解析：由题意易知，直线mx －y ＋3＝0过定点(0,3)．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示．易知边界点A (0,3)，B (2,1)，C (2,2m ＋3)，过点A 分别作AC 1⊥BC 于点C 1，作AC 2⊥AB ，交BC 于点C 2，数形结合可知，当点C 与C 1(2,3)重合或与C 2(2,5)重合时，△ABC为直角三角形；当点C 位于B ，C 1之间或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 为钝角三角形；当点C 位于C 1，C 2之间时，△ABC 为锐角三角形；当点C 在C 1B 的延长线上时，不能构成三角形，所以3<2m ＋3<5，解得0<m <1.应选D 项．答案：D7．[2022·北京八十中学月考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，假设∀(x ，y )∈D ，那么( )A ．x ＋2y ≥－2B ．x ＋2y ≥2C ．x －2y ≥－2D ．x －2y ≥2解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示．设z ＝x ＋2y ，作出直线l 0：x ＋2y ＝0，易知z 的最小值为0，无最大值．所以根据题意知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0恒成立，故x ＋2y ≥－2恒成立．应选A 项．答案：A8．[2022·湖北黄石模拟]假设点(x ，kx －2)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，那么k 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．[2,5] C ．(－∞，－7]∪[2，＋∞) D．[－7,2]解析：作出可行域如图中阴影局部所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点P的坐标为(1,3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点N 的坐标为(2,2)．因为直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以k 1＝2－－22－0＝2，k 2＝3－－21－0＝5，观察图象可知，当直线y ＝kx －2在直线y ＝k 1x －2和直线y ＝k 2x －2之间(包括与两条直线重合)时，才会满足题意，因此可得2≤k ≤5.应选B 项．答案：B9．[2022·河北保定摸底]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x ＋y －10≤0，x ≥1，设向量a ＝(y －2x ，m )，b ＝(1，－1)，假设a ∥b ，那么m 的最大值为( )A ．－6B ．6C ．1D ．－1解析：因为a ＝(y －2x ，m )，b ＝(1，－1)，a ∥b ，所以m ＝2x －y ，作出可行域如图中阴影局部所示，作出直线2x －y ＝0，并平移，结合图象易知，m ＝2x －y 取得最大值的最优解为(4,2)，所以m 的最大值为6.应选B 项．答案：B10．[2022·山西太原一中检测]实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，那么z ＝2|x |－|y |的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：令|x |＝a ，|y |＝b ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作出可行域如图中阴影局部所示，作出直线b ＝2a ，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1,0)时，z 取得最大值，且z max ＝2×1－0＝2.应选D 项．答案：D 二、填空题11．[2022·山东烟台期中]设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，那么z ＝x ＋y 的最小值是________．解析：根据题意作出可行域如图中阴影局部所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x －2y ＝2，得A (－4，－3)，作出直线y ＝－x 并平移，由图可知，当平移后的直线过A (－4，－3)时，z 有最小值，z min ＝－7.答案：－712．[2022·贵州遵义一中期中]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x －3y －2≤0，4x －y ＋3≥0，那么z ＝|x －y ＋1|的取值范围是________．解析：作出可行域如图中阴影局部所示，作出直线x －y ＋1＝0，因为z ＝|x －y ＋1|＝2×|x －y ＋1|2表示点(x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍，所以结合图象易知0≤z ≤3. 答案：[0,3]13．[2022·重庆一中月考]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，假设z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值，那么实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域如图中阴影局部所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ≤0时，结合图象，知当z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值时，－a ≤13，得－13≤a ≤0；当a >0时，显然满足题意．所以a ≥－13.答案：[－13，＋∞)14．[2022·山西省八校联考]假设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y －4≥0，2x ＋y －5≤0，且3(x－a )＋2(y ＋1)的最大值为5，那么a ＝________.解析：设z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，由z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)得y ＝－32x ＋3a －2＋z 2，作出直线y ＝－32x ，平移该直线，易知当直线过点A (1,3)时，z 取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a )＋2(3＋1)＝5，解得a ＝2.答案：2[能力挑战]15．[2022·天津二十五中月考]设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，那么以下不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0 D．2x －y ＋1≥0解析：作出可行域如图中阴影局部所示．由图可以看出，阴影局部不全在直线x ＝3的右侧，故A 项不符合题意；由图可以看出，阴影局部不全在直线y ＝4的上侧，故B 项不符合题意；x ＋2y －8≥0，即y ≥－12x ＋4，作出直线y ＝－12x ＋4，由图可以看出，阴影局部都在直线y ＝－12x ＋4的上侧，故C 项符合题意；2x －y ＋1≥0，即y ≤2x ＋1，作出直线y ＝2x ＋1，由图可以看出，阴影局部不全在直线y ＝2x ＋1的下侧，故D 项不符合题意．应选C 项．答案：C16．[2022·上海华东师大附中月考]记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，x －y ≥4表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(x ，y )，那么下面四个命题，p 1：∀P ∈Ω，y ≤0，p 2：∀P ∈Ω，12x －y ≥2，p 3：∀P ∈Ω，－6≤y ≤65，p 4：∃P ∈Ω，12x －y ＝15.其中是真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 1，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：作出平面区域Ω如图中阴影局部所示，其中A (4,0)，由图可知，y ∈(－∞，0]．作出直线y ＝12x ，并平移，易知当平移后的直线经过点A 时，12x －y 取得最小值2，那么12x －y ≥2，从而p 1，p 2是真命题．应选A 项．答案：A17．[2022·辽宁大连二十四中期中]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y ≤1，z ＝2x ＋y 的最大值为m ，且正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，那么1a ＋4b的最小值为( )A ．9 B.32C.43D.52解析：作出可行域如图中阴影局部所示，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移，由图象可知当平移后的直线经过点A (3,0)时，z ＝2x ＋y 取得最大值．把(3,0)代入z ＝2x ＋y 得，z ＝2×3＝6，即m ＝6.那么a ＋b ＝6，即a 6＋b 6＝1，那么1a ＋4b ＝〔1a ＋4b 〕〔a6＋b 6〕＝16＋46＋4a 6b ＋b 6a ≥56＋24a 6b ·b 6a ＝56＋2×26＝32，当且仅当4a 6b ＝b6a，即b ＝2a 时取等号．应选B 项．答案：B。

2020版高考数学一轮复习集训34二元一次不等式组与简单的线性规划问题文含解析

课后限时集训(三十四)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C DC [(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C ．]2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．2C [如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1,0)．故z 的最小值为3×1－0＝3.故选C ．]3．(2019·泰安模拟)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C ．]4．(2019·衡阳模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A ．13 B ．23 C ．1D ．2D [由选项得m ＞0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －ym ＞，3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2,4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m ＝2.]5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．] 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．－1 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.]7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．5 [作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5.]8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．－12[作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0,1)，B (1,0)，C (3,4)．目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.]三、解答题9．如图所示，已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)． (1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14.故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)时z 取最小值－2，过C (1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故a 的取值范围是(－4,2)．B 组能力提升1．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355 B. 2 C ．322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1C ．43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m3，2＋2m3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m＝－3(舍去)．]3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a－2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图像是斜率为－23，随z 变化的一组平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

2020版高考数学复习二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题分层演练

第3讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B.根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．(2018·郑州第二次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y≤4，x －y≤0，则目标函数z＝x －2y 的最小值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．－6解析：选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数表示的直线z ＝x －2y 经过点A (1，3)时，z 取得最小值，即z min ＝1－2×3＝－5，故选C.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D.直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选 A.法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A.法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211B.14C.12D ．34解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2018·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0x －2y ＋3≥0，x －5≤0则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，并平移，当平移后的直线经过点B 时，z 取得最大值．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4，所以B (5，4)，故z max ＝5＋4＝9.法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数z ＝x ＋y 可求得z 的值是3，9，5，故z max ＝9.答案：97．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)．目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23 C ．1D ．2解析：选D.由选项得m >0，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点．画出不等式组⎩⎨⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ，解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝10 3.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

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【2019最新】精选高考数学一轮复习课时分层训练33二元一次不等式组
与简单的线性规划问题文北师大版
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
B [根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.]
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A．B．2
3
C．D．3
4
C [平面区域如图中阴影部分所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝，∴S△ABC＝××1＝.]
3．(2016·北京高考)若x，y满足则2x＋y的最大值为( )
A．0 B．3
C．4 D．5
C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y＝－2x，当直线平移到
虚线处时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2x＋y取最大值为2×1
＋2＝4.]
4．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件则当取最大值时，x ＋y 的值为( ) 【导学号：00090194】 A ．－1 B ．1 C ．－
D ．
3
D [作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x ，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，，所以x ＋y ＝.故选D ．
]
5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图像上存在点(x ，y)满足约束条件则实数k 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．
D ．1
2
B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B ．] 二、填空题
6．设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝3x －y 的最大值为__________．
4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x －y ，∴y＝3x －z ，当该直线经过点A(2,2)时，z 取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.]
7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足则x2＋y2的取值范围是________.
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y)为阴影区域内的动点．d ＝可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y)之间的距离．数形
结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax ＝＝，dmin ＝＝，所以d2的最小值为，最大值为13，所以x2＋y2的取值范围是.]
8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．
10 [画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝x －.易知在点(a ，a)处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.] 三、解答题
9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)，Q(2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．
[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，
5分
则点P ，Q
在同一区域内，于是⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1－m ＋m>0，
2＋3m ＋m>0，
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1－m ＋m<0，
2＋3m ＋m<0，
所以m 的取值范围是m<－. 12分
10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y≥1，x －y≥－1，
2x －y≤2.
(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；
(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.
【导学号：00090196】
[解] (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0). 2分平移初始直线x －y ＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，
过C(1,0)取最大值1，
所以z的最大值为1，
最小值为－2. 6分
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－<2，解得－4<a<2.
10分故所求a的取值范围为(－4,2). 12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A．－3 B．1
C．D．3
B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，
B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．]
2．(2018·安阳模拟)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是( ) 【导学号：00090197】
A．B．1
4
C．4 D．11
2
B [作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，
此时z最大，
由解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即A(1,1)，zmax ＝2×1＋1＝3，
当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小，
由解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ，
y ＝a ，
即B(a ，a)，zmin ＝2×a＋a ＝3a ， ∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝，故选B ．]
3．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ [解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为
即⎩⎪⎨⎪⎧
7x ＋6y≤60，
x ＋y≥6，
x －2y≤0，
x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点． (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得则点M的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。