第九章 一元气体动力学基础
流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理
第九章 一元气体动力学基础一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程p RT ρ=式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。
（2） 绝热指数k/p v k c c =式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为1p k c R k =-，11p c R k =-（3） 焓和熵焓h 的定义是ph e ρ=+式中，e 是气体内能，v e c T =。
h 可一表示为 p h c T =熵的表达式为ln()kps cv c ρ=+常数（4） 音速cc =（5） 马赫数马赫数M 的定义是uM c =式中，u 是气流速度；c 是音速。
2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动ρ=常数22pv g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动T =常数，pRT cρ==2ln 2v c p +=常量2ln 2v RT p +=常量（3） 气体一元绝热流动k p cρ= 212k p v k ρ⋅+-=常量3. 滞止参数气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。
用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。
0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：20112T k M T -=+11200112k kk k p T k M p T ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 气体一元恒定流动的连续性方程2(1)dA dv M A v =-（1） M<1为亚音速流动，v<c ，因此dv 与dA 正负号相反，速度随断面面积增大而减慢；随断面面积减小而加快。
流体力学_09一元气体动力学基础
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
一元气体动力学基础讲解学习
解：喷口处 akRT 31.5m 2/s
Mv 2500.8 a 31.25
k
1 .4
p 0 p 1 k2 1 M 2 k 1 1 1 0 1 .0 4 2 1 0 .8 2 1 .4 1 1.4 5 k2 P pa
h u p ——焓
（4）多变过程
p c n
n c cp c cv
——多变指数
n p v2 c
n1 2
可压缩理想气体的能量方程
n=0
等压过程
n=1
等温过程
n=k
绝热过程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
一元气体动力学基础
安徽建筑工业学院环境工程系 王造奇
INDEX 理想气体一元恒定流动的基本方程 可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
理想气体一元恒定流动的基本方程
可压缩气体 密度变化 1.连续性方程
积分形式 vAc 微分形式 ddvdA0
可压缩气流的几个基本概念
1.音速 声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
aA d d ta dA vdt
略去高阶微量，得
addv
动量方程
pdA pp A aAdv
得 dpadv
解得 a dp d
——音速定义式
液体： E dpa E
d
气体：视作等熵过程
p k
c
微分： dpkpdpa kp kRT
p k
c
k cp cv
9 气体动力学基础
本章重点与难点
重点： 重点：
1. 声速、滞止参数和马赫数的计算； 声速、滞止参数和马赫数的计算； 2. 等熵流动； 等熵流动； 3. 等温管路和绝热管路流动规律及计算。 等温管路和绝热管路流动规律及计算。
难点： 难点：
1. 超声速条件下流速和密度随断面变化的规律； 超声速条件下流速和密度随断面变化的规律； 2. 渐缩喷管或渐扩管出流的计算方法。 渐缩喷管或渐扩管出流的计算方法。
Fluid Mechanics
流体力学
河北工程大学机电学院
9 气体动力学基础
9 气体动力学基础
本章要求
掌握一元气流的欧拉运动微分方程及其在等熵条件下积分 式的推导。 式的推导。 理解绝热流动全能方程中各项的物理涵义。 理解绝热流动全能方程中各项的物理涵义。 掌握声速、滞止参数和马赫数的计算。 掌握声速、滞止参数和马赫数的计算。 掌握渐缩喷管或渐扩管出流的计算方法。 掌握渐缩喷管或渐扩管出流的计算方法。 了解在超声速条件下流速和密度随断面变化的规律。 了解在超声速条件下流速和密度随断面变化的规律。 了解等温和绝热管路的流动计算。 了解等温和绝热管路的流动计算。 注意可压缩流体流动与不可压缩流体的区别和联系。 注意可压缩流体流动与不可压缩流体的区别和联系。 重点是等熵流动，等温管路和绝热管路流动规律及计算。 重点是等熵流动，等温管路和绝热管路流动规律及计算。
1. 声速(或音速) 或 弹性物质(包括流体和固体)受到任意的小扰动( 弹性物质(包括流体和固体)受到任意的小扰动(亦称微弱 物质 扰动) 就会在介质中引发微小的压力增量(或应力增量) 扰动)，就会在介质中引发微小的压力增量(或应力增量)， 以波的形式向四周传播，这种微弱扰动波称为声波( 以波的形式向四周传播，这种微弱扰动波称为声波(或音 称为声波 而扰动波的传播速度就叫做声速( 音速) 就叫做声速 波)，而扰动波的传播速度就叫做声速(或音速)。 2. 可压缩流体与不可压缩流体本质的区别 把声速作为压强、密度状态变化在流体中的传播过程来看待。 把声速作为压强、密度状态变化在流体中的传播过程来看待。 可压缩流体中，压力扰动的传播需要一定时间 而在不可压 一定时间， 可压缩流体中，压力扰动的传播需要一定时间，而在不可压 缩流体中，压力扰动的传播则是瞬时完成的。 瞬时完成的 缩流体中，压力扰动的传播则是瞬时完成的。
一元气体动力学基础安徽建筑工业学院环境工程系王造奇
dh C dT C dT RdT C dT d RT C dT d p p v v v
h h h c T T 2 1 p 2 1
cp 7R 2
dS dh T dp T C dT T R dp p p （4）熵的变化
. 4 1 1 p p 1 M 100 1 0 . 8 152 . 4 kPa p 0 2 2
1 . 4 12 k 1 2 T T 1 M 273 30 1 0 . 8 274 . 1 K 1 . 1 t 0 2 2
p 、 T p 、 T 0 0
℃
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2 .1 % 密度相对变化 0 8.2% 取M=0.4
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· a=0.2×340=68m/s
变截面的等熵流动
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程 欧拉微分方程
（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；
（3）气流中最大音速是滞止音速； a 0 kRT 0
（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为
内能，总能量不变——T0，a0，h0不变，
p0↓，ρ0↓，但p0/ ρ0=RT0不变。如有
能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓
3.马赫数ຫໍສະໝຸດ v M aM<1 亚音速流动 M=1 音速流动 M>1 超音速流动
p 3 1 6 . 199 kg / m 1 RT 1
p 3 2 5 . 592 kg / m 2 RT 2
气体动力学基础
气体动力学基础气体动力学是研究气体运动规律以及与其他物体之间相互作用的学科。
它的研究对象包括气体的压力、体积、温度和分子速度等特性，以及这些特性之间的相互关系。
本文将介绍气体动力学的基础概念、理论模型和重要定律。
一、气体分子模型气体分子模型是气体动力学研究的基础，它假设气体是由大量极小的分子组成的。
这些分子之间几乎没有相互作用力，它们以高速不规则运动，并且具有各向同性的特性。
二、理想气体状态方程理想气体状态方程是描述气体状态的基本定律之一。
根据理想气体状态方程，气体的压力（P）、体积（V）和温度（T）之间存在着下列关系：P * V = n * R * T其中，n代表气体的摩尔数，R代表气体常数。
这个方程表明，在一定温度和摩尔数的条件下，气体的压力和体积成反比，而与气体的物理性质（例如分子大小和形状）无关。
三、气体的压强气体分子在容器壁上会产生压力，这种压力被称为气体的压强。
根据气体分子的运动特性，我们可以得到气体的压强与分子速度和撞击频率之间的关系。
通常情况下，气体的压强与气体分子的速度平方成正比。
四、气体的温度气体的温度是指气体分子的平均动能。
根据气体分子模型，气体分子的速度与其温度之间呈正相关关系。
在绝对温标上，温度与气体分子的平均动能之间存在着线性关系。
五、气体的体积气体的体积是气体占据的空间大小。
根据观察和实验结果，气体的体积与其分子数量和分子碰撞的频率有关。
当温度不变时，气体的体积与其压强成反比。
六、亚音速和超音速流动亚音速流动是指气体在流动过程中，流速小于音速的情况。
这种流动模式下，气体能够传递信息，且压力和温度分布相对均匀。
超音速流动则是指气体的流速大于音速。
在超音速流动中，气体的压力和温度存在明显的不均匀分布。
七、伯努利定理根据伯努利定理，沿着气体流动的方向，气体的总能量保持不变。
这意味着当气体流速增大时，气体的压强会降低，从而产生较低的静压力。
八、霍金定理霍金定理是描述亚音速气体流动的基本原理。
一元气体动力学基础
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系
由连续性方程
d dv dA 0 vA
9-3-2
欧拉微分方程 dp vdv 0
9-1-1
及 c2 dp
d
M v c
p RT
p
k
常数
得 dA M 2 1 dv
A
v
dA M 2 1 dp
A
kM2 p
dA M 2 1 d
A
M2
dA
M 2 1 dT
A k 1M 2 T
9-3-3
2.讨论 一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
M<1 流动参数
渐缩管 渐扩管
流速v 压强p 密度ρ 温度T
增大 减小 减小 减小
减小 增大 增大 增大
M>1
渐缩管 渐扩管
减小 增大 增大 增大
3000m高空的温度为 T 269K 所以驻点温度为
T
T
1
k
1 2
M
2 a
269 1
数
声音的传播是一种小扰动波
连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得 dp cdv
解得 c dp
d
——音速定义式
液体： E dp c E
d
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k p dp c k p kRT
解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K
第九章 气体动力学
声音传播的速度，即微弱扰动波传播的速度。
声波传播速 度过程可视 为等熵过程
c
p / k C1
dp d
空气 c kRT
340.3m / s
p
p RT
kRT
c k
§9.2 微弱扰动的一维传播
二、声速（续）
c k
声速 马赫数
p
kRT
流体中的声速是状态参数的函数。 在相同温度下，不同介质中有不同的声速。
一、绝热管路运动方程
dp v2 2 d v dl 0 2 2D
k
p/ C
1 1
v
Qm A
A2 dv k k C p dp dl 0 2 v 2D Qm
k 1 k 1 Qm k k C p1 k p2 k 2 k 1 A
§9.3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
d vA 0
d
dp
dv dA 0 v A
c dp v , Ma d c
v2 d 0 2
dA dv Ma 2 1 A v
§9.3 气体一元恒定流动的连续性方程
二、气体速度与断面的关系
vs v dv 0； s s t s ds
ds
p
p dp S 0; s ds
p dx x
v p
dv 1 dp v 0 ds ds
dp
v2 d 0 2
欧拉运动微分方程
§9.1
理想气体一元恒定流动的运动方程
二、气体一元定容流动
dp kMa2 dl 2 p 1 Ma 2 D
流体力学第九章 一元气体动力学基础
声 速 传 播 物 理 过 程
波峰所到之处，液体压强变为ｐ＋ｄｐ，密度变为 d ，
波峰未到之处，流体仍处于静止，压强、密度仍为静止时 的 p，
设管道截面积为Ａ，对控制体写出连续性方程： 展开： c A （c-dv）（ +d）A （９－２０） d dv c 由流体的弹性模量与压缩系数的关系推导出：
第二节
声速、制止参数、马赫数
一、声速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力扰动，压力 扰动就会产生压力波，向四周传播。传播速度的快慢，与流体内在 性质---压缩性（或弹性）和密度有关。微小扰动在流体中的传播速 度，就是声音在流体中的传播速度，以符号表示c声速。 取等断面直管，管中充满静止的可压缩气体。活塞在力的作用下，有一 微小速度向右移动，产生一个微小扰动的平面波。
(9-4)
上式为单位质量理想气体的能量方程式.
二.气体一元等温流动
热力学中等温过程系指气体在温度T不变的条件下所进
行的热力过程.等温流动则是指气体温度T保持不变的流 p (9-5) 动. T 常量， RT C
v2 RT ln p 常量 2
(9-6)
三.气体一元绝热流动
从热力学中得知，在无能量损失且与外界又无热量交换 的情况下，为可逆的绝热过程，又称等熵过程.这样理想 气体的绝热流动即为等墒流动,气体参数服从等墒过程方 p 程式: C (9-7) k
2 c c2 v2 k 1 k 1 2
（9-30）
三、马赫数Ma
马赫数Ma取指定点的当地速度v与该点当地声速c的比值；
不能向上游传播，这就是超声速流动． Ｍａ＜１，ｖ＜ｃ，气流本身速度小于声速，即气流中参数的变化能够 各向传播，这就是压声速流动． Ｍａ数是气体动力学中一个重要无因次数，它反应了惯性力与弹性力的 相对比值．如同雷诺数一样，是确定气体流动状态的准则数．
同济 流体力学 第九章1
(
)
等温管路中的流动(等截面 §9-4等温管路中的流动 等截面、有摩擦 等温管路中的流动 等截面、有摩擦)
总结
dv与dp、dρ异号；
M<
1 增速减压，体积膨胀，温度下降，需外界输入能量，T0↑ k
M>
1 减速增压，体积收缩，温度上升，向外界输出能量，T0↓ k
1 是临界值，临界值只能是出口断面 M= k
（3）极限管长
v1 M1 = = 0.0885 kRT
代入极限管长公式
l max = 948m > 600m
见书P264例题
§9-5绝热管路中的流动 绝热管路中的流动
气体管路运动微分方程
dp
ρ
+ vdv + dh f g = 0
2
dl v dh f = λ D 2g
2dp dv λ + 2 + dl = 0 2 ρv v D
以滞止参数点为参考点 滞止参数点为参考点: 点为参考点 由M1＝0.4及M2＝0.9 根据等熵流动方程计算可 ＝ 及 ＝ 得
To k −1 2 = 1+ M , (T1.M 1 → To ; To .M 2 → T2 ) 2 T
k po ρ o To k −1 = =( ) p ρ T k
用 c 2 = k 代替
ρ
p
dv dv λdl dv kM 2 λdl − + kM 2 + kM 2 =0→ = v v 2D v 1 − kM 2 2 D
dp dρ dv − =− = p ρ v
等温管路中的流动(等截面 §9-4等温管路中的流动 等截面、有摩擦 等温管路中的流动 等截面、有摩擦)
气体动力学基础
气体动力学基础气体动力学是研究气体的运动规律以及与能量、力学和热学等的关系的学科。
它是物理学的一个重要分支，具有广泛的应用领域，涵盖了气象学、空气动力学、燃烧学等多个领域。
本文将介绍气体的基本概念、物理性质和运动规律。
一、气体的基本概念气体是物态的一种，具有以下特性：1.分子间间距较大，相互之间几乎没有相互作用力。
2.分子间的运动是随机的，具有高度的自由度。
3.气体的体积能够随环境条件的变化而变化。
二、气体的物理性质气体的物理性质包括压力、温度和体积。
下面将逐一进行介绍。
1. 压力压力是单位面积上施加的力的大小。
根据理想气体状态方程可以得知，气体的压力与温度、体积、分子数之间存在一定的关系。
2. 温度温度是气体分子热运动的一种度量，通常使用开尔文温标来进行表示。
根据理想气体状态方程，温度与气体的压力、体积、分子数之间存在一定的关系。
3. 体积气体的体积是指气体所占据的空间。
根据理想气体状态方程，气体的体积与压力、温度、分子数之间存在一定的关系。
三、气体的运动规律气体的运动规律主要包括玻意耳-马略特定律、查理定律和盖-吕萨克定律。
1. 玻意耳-马略特定律玻意耳-马略特定律也称为定容气体定律，它表明，在恒定体积下，气体的压力与温度成正比。
即P/T=常数。
2. 查理定律查理定律也称为定压气体定律，它表明，在恒定压力下，气体的体积与温度成正比。
即V/T=常数。
3. 盖-吕萨克定律盖-吕萨克定律也称为理想气体状态方程，它表明，在恒定的摩尔数下，气体的压力、体积和温度之间存在一定的关系。
即P*V/T=常数。
四、气体动力学的应用气体动力学具有广泛的应用领域，以下是几个应用领域的简要介绍。
1. 气象学气象学研究大气的运动规律以及与气候、天气等的关系。
气体动力学为气象学提供了重要的理论基础，可以用来解释大气循环、风、气压等现象。
2. 空气动力学空气动力学研究物体在气流中运动时的力学规律，对于飞机、汽车等交通工具的设计和性能研究具有重要意义。
流体力学课后答案第九章一元气体动力学基础
一元气体动力学基础1.若要求22v p ρ∆小于0.05时，对20℃空气限定速度是多少？ 解：根据220v P ρ∆=42M 知 42M < 0.05⇒M<0.45，s m kRT C /3432932874.1=⨯⨯== s m MC v /15334345.0=⨯==即对20℃ 空气限定速度为v <153m/s ，可按不压缩处理。
2.有一收缩型喷嘴，已知p 1=140kPa （abs ），p 2=100kPa （abs ），v 1=80m/s ，T 1=293K ，求2-2断面上的速度v 2。
解：因速度较高，气流来不及与外界进行热量交换，且当忽略能量损失时，可按等熵流动处理，应用结果：2v =2121)(2010v T T +-，其中T 1=293K1ρ=11RT p =1.66kg/m 3. k P P 11212)(ρρ==1.31kg/m 3. T 2=RP 22ρ=266 K 解得：2v =242m/s3.某一绝热气流的马赫数M =0.8，并已知其滞止压力p 0=5×98100N/m 2，温度t 0=20℃，试求滞止音速c 0，当地音速c ，气流速度v 和气流绝对压强p 各为多少？解：T 0=273+20=293K ，C 0=0KRT =343m/s根据 20211M K T T -+=知 T=260 K ，s m kRT C /323==，s m MC v /4.258==100-⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k T T p p解得：2/9810028.3m N p ⨯=4.有一台风机进口的空气速度为v 1，温度为T 1，出口空气压力为p 2，温度为T 2，出口断面面积为A 2，若输入风机的轴功率为N ，试求风机质量流量G （空气定压比热为c p ）。
解：由工程热力学知识：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22v h G N ∆∆，其中PAGRT T c h P ==，pA GRT A G v ==ρ ∴⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)2()(2121122222v T c A p GRT T c G N P P 由此可解得G5.空气在直径为10.16cm 的管道中流动，其质量流量是1kg/s ，滞止温度为38℃，在管路某断面处的静压为41360N/m 2，试求该断面处的马赫数，速度及滞止压强。
第九章气体动力学基础
第九章气体动力学基础第九章气体动力学基础一、微弱扰动在气流中的传播1、音速和马赫数音速是微弱扰动在流场中的传播速度。
微弱扰动通常是流场中某个位置上的压强产生了微小的变化。
在不可压缩流动中，任何扰动总是立即传播到整个流场，但是在可压缩流里，不是在任何情况下都能传播到整个流场，微弱扰动在流场中是按一定的速度传播的，这个速度就是音速。
一个直圆管，里面充满了压强为p、密度为ρ、温度为T的静止气体。
活塞以dv速度运动，将压缩(或膨胀)最相邻的气体层，致使那层气体的压强升高(或降低)、温度升高(或降低)。
这层气体又去压缩另外的气体层。
这样将在管道内形成微弱扰动的压缩波(或膨胀波)，波面的传播速度假设为c，气体本身也将随活塞一起运动，其运动速度将和活塞的运动速度一致，是dv。
请注意，压缩（或膨胀）波的波面速度与活塞(因而是气体)的运动速度不一致的！现在来推导音速公式。
由于微弱扰动在管道里的传播是一个非定常运动，因此假设研究者和波面一同运动。
这样，波面是相对静止的，而波前气流速度为c，波后气流速度为c-dv，同时压强密度和温度分别由p、ρ和T升到p+dp、ρ+dρ和T+dT。
在波面附近取一个微元体，有连续方程：动量方程：因为我们讨论的是微弱扰动，故高阶项可忽略。
把dv消去，得到音速为弱扰动的过程可以认为是一个等熵过程，即有对于微弱扰动，其热力学过程接近于绝热的可逆过程，即等熵过程。
对完全气体，(1)音速的的大小是和流体介质有关：可压缩性大的介质，微弱扰动传播的速度慢、音速就小。
在20度的空气中，音速为343(m/s)；在20度的水里，音速为1478(m/s)。
(2)音速是状态参数的函数。
在相同介质中，不同点的音速也不同。
提到音速，总是指当地音速。
(3)同一气体中，音速随气体温度的升高而升高马赫数的定义在音速定义后，可以定义马赫数1)马赫数是判断气体压缩性的标准, 它是个无量纲量,也是气体动力学的一个重要参数(2)按马赫数，可以将气流分成亚音速、音速和超音速流动。
第九章一元气体动力学基础
断面滞止参数可由方程求出：
k p0 0 k p v2
k 1 0
k 1 2
k
k 1
RT0
k
k 1
RT
v2 2
i0
i
v2 2
c02 c2 v2 k 1 k 1 2
§ 9.2音速、滞止参数、马赫数
因当地音速： c kRT
滞止音速：c0 kRT0
k k 1
d
§ 9.2音速、滞止参数、马赫数
c dp k p kRT
d
不同的气体有不同的绝热指数k，及不 同的气体常数R,所以各种气体有各自 的音速值。（空气、氢气）
同一种气体中音速也不是固定的，它 与气体的绝对温度的平方根成正比。
§ 9.2音速、滞止参数、马赫数
滞止参数
气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过 程降低至零时，断面各参数所达到的值， 称为气流在该断面的滞止参数。 （p,T,i,c)。滞止参数以下标“0”表示。
c dp
d E 1 dp c2
d
气体和液体都适用。
c E
§ 9.2音速、滞止参数、马赫数
音速与流体弹性模量平方根成正比，与流 体密度平方根成反比，则音速在一定程度 上反映出压缩性的大小。
音波传播速度很快，在传播过程 中与外界来不及进行热量交换， 可作为等熵过程考虑。
等断面直管，管内装静止可压缩气体，活塞 微小速度dv向右移动，产生一微小扰动平面 波。若定义扰动和未扰动的分界面为波峰， 则波峰的传播速度就是声音的传播速度。 坐标固定在波峰上
波峰右侧原来静止的流体将以速度c向左运 动，压强为p,密度为ρ。
第九章气体动力学基础
热力学第一定律： ? U ? Q ? W
? U－能量增加为正； Q－增加为正； W －对外作功为正。
u
2 2
? 2
u12
dm
?
g(z2
?
z1 )dm
?
CV
(T2
?
T1 )dm
?
dQ ?
????? ??
p2
?2
?
p1
?1
???dm ?
?
dW f
? ? dW ?
?
方程两边同除以 dm ，得单位质量流体的能 量方程式
d ? ? du ? dA ? 0 ? uA 对于等断面管流， dA ? 0，则
d ? ? du ? 0 ?u
二、状态方程
理想气体状态方程 p ? ? RT dp ? d ? ? dT p?T
对于实际气体，其状态 方程为
p ? Z ? RT
Z: compressibility factor
三、能量方程
q?
? ???
p1
?1
?
p2
?2
? ??? ?
w?
wf
?
u
2 2
? u12 2
?
g(z2
?
z1 ) ?
CV (T2
? T1 )
对于理想气体，p
?
?
RT ，C p
?
Cv
?
R，i
?
C pT
p1
?1
?
p2
?2
?
R Cp
(i1 ?
i2) ?
?
R Cp
(i2
?
i1 )
q?
w?
wf
流体力学第9章
V
2
，对于Cp=1005
J/（kg·K）
的空气，则高出
2c p
T
T0
T
V2 2010
例如速度为100m/s的空气流，滞止温度超过气流的温度约5K，也即约5℃。 可见，将一个带小玻璃球的普通水银温度计或热电偶温度计放在气流中来 测量气流的温度，读出的温度比气流的温度T要高。但小玻璃球上驻点处 的温度虽达到滞止温度，但其上的其他各点的温度升高要小一些，所以普 通水银温度计上读出的平均温度比滞止温度稍低一些。因此用任何静止温 度计都不能直接测得气流的真实温度了，只有用与气流同样速度运动的温 度计才能直接测得 。
流体中的某个地方受到外力的作用使其压力发生变化，我们称为压力扰动， 压力扰动会产生压力波，向四周传播，这个压力波的传播速度，对不同的流 体是不同的，即流体的性质不同，密度、压缩性等不同，传播速度也就不同。
比如：在15℃，1atm下的音速 氢气：1294m/s 空气：340m/s CO2：266m/s
（2）超音速时：dv与dA成正比，速度随断面的增大而增大； 随断面的减小而减小。同不可压缩流动的不一样。
9
§9－2 音速、滞止参数、马赫数
同连续性方程联立，消掉dv，得音速方程为： c 2 dp c dp
d
d
这就是微小扰动的平面波－音速计算公式，同样适用于球面波。也适用于液体。
弹性模量和压缩系数的关系：
E 1 dp d
代入上式，得： E 1 c2 c E
i1
v12 2
i2
v
2 2
2
C pT1
v12 2
C pT2
v22 2
第9章 气体动力学基础(6)(1)
+ ������g∆������ + ������sh
对单位质量气体而言，即有
������
=
∆ℎ
+
∆������2 2
+
∆������
∙
g
+
������sh
（9-13）
式中 ∆������2 = ������22 − ������12，∆ℎ = ∆������ + ∆(������������)
在流体机械中，∆������ ∙ g项完全可以忽略，所以在以后的表示中我们一
保持不变。如果气体焓减小（表现为温度下降），则气体的动能增大（表
现为速度增大），反之亦然。
9.2 一元定常可压缩流动的基本方程
转变为机械能都只能通过气体的膨胀（或压缩）才能得以实现。对
于液体介质，正是因为假定了������
=
1为常数，从而使热量不可能实
υ
现与机械功的转换。
9.1 气体介质的状态参数
3.熵 熵S也是一个导出的状态参数，比熵s以J/（kg ∙ K）为单位，
其表达式为
������������ = ������������+������������������
������ ������
由式（1-4）可得
������ = ������������������
（9-5）
对式（9-5）取对数并微分，便可得到完全气体状态方程式的
微分形式，即
d������ ������ = d������ ������ + d������ ������
（9-6）
第9章 气体动力学基础
������—系统中气体的质量。
将式（9-9）各项除以������，得
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由欧拉运动微分方程： 消去密度 ρ
dp
ρ
+ υdυ = 0
dp υ ，M = ，并将 c = 代入，则断面A与气流速度 υ dρ c
2
之间的关系式为：
dA dυ 2 = ( M − 1) A υ
二、气流速度与断面的关系
3.马赫数 音速大小在一定程度上反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M = c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
ρνA =常量
ρ1v1 A1 = ρ 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( ρυA) = ρυdA + υAdρ + ρAdυ = 0 dυ dρ dA ⇒ + + =0 υ ρ A
第九章 一元气体动力学
§9-2音速、滞止参数、马赫数 音速、 音速 滞止参数、 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程 气体一元恒定流动的连续性方程
音速、 §9-2音速、滞止参数、马赫数 音速 滞止参数、
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。