2014年高考理科数学试题(湖南卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1． 满足

(z i

i i z +=为虚数单位）

的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122

i --

2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 A ．123

p p p =<

B ．231

p p p =<

C ．132p p p =<

D ．123p p p ==

3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且3

2

()()1,f x g x x x -=++

(1)(1)f g +则＝

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

4．5

1(2)2

x y -的展开式中23

x y 的系数是

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20 5．已知命题2

2

:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题

①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]- 7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)1

2

p q ++- C ．

pq D ．(1)(1)1p q ++-

9．已知函数230

()sin(),()0,f x x f x dx π

ϕ=-=⎰

且则函数()f x 的图象的一条对称轴是

A ．56x π=

B ．712x π=

C ．3x π=

D ．6

x π= 10．已知函数22

1()(0)()ln()2

x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称

的点，则a 的取值范围是

A ．1(,

)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e

- D ．1(,)e e - 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为

4π

的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα

=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则

AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是

12．如图3，已知,AB BC 是圆O 的两条弦，,3,22,

AO BC AB BC ⊥==则圆O 的半径等于

13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51

{|}33

x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）

14．若变量,x y 满足约束条件4y x

x y y k ≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，且2z x y =+的最小值为－6，则k =

15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为

,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>

经过,b

C F a

=两点，则

16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足1||=CD ,则||OD OB OA ++的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为

23

35

和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(Ⅱ)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

如图5，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝

，＝，＝ (Ⅰ)求cos CAD ∠的值； (Ⅱ)若721

cos ,sin ,146

BAD CBA ∠=-∠=求BC 的长．

19．（本小题满分12分）

如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，

11111,,AC

BD O AC B D O ==四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．

(Ⅰ)证明：1;O O ABCD ⊥底面

(Ⅱ)若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．