数学精华课件：抛物线的简单几何性质.ppt
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抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动 。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下 ，抛体运动的轨迹是一条 抛物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
学习困难分析
鼓励学生坦诚面对自己在抛物线学习中遇到的困难和挑战，如概念 理解、解题方法掌握等方面的障碍，并探讨可能的解决策略。
学习计划与目标
引导学生制定针对抛物线学习的个性化计划，设定短期和长期目标， 以促进持续学习和进步。
教师点评及建议反馈
课堂表现评价
教师对学生的课堂表现进行点评，包括学习态度、参与度 、合作能力等方面，肯定优点并指出需要改进之处。
抛物线的平移和伸缩
回顾抛物线在平面直角坐标系中的平移和伸缩变换规律，包括上下 平移、左右平移以及横纵伸缩。
抛物线与一元二次方程
阐述抛物线与一元二次方程的联系，如何通过抛物线的图像解一元 二次方程，以及方程的解与抛物线交点的关系。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
邀请学生分享自己在抛物线学习过程中的心得、体会以及所取得的 成果，如解题技巧、思维方式的转变等。
经济学中的成本收益曲线
成本收益曲线的定义
01
在经济学中，表示成本与收益之间关系的曲线称为成本收益曲
线。
抛物线型成本收益曲线
02
在某些情况下，成本收益曲线呈现出抛物线的形状，即随着投
入的增加，收益先增加后减少。
经济决策中的应用
03
通过分析抛物线型成本收益曲线，可以帮助决策者确定最佳的
《抛物线的简单几何性质》课件
变式：已知在抛物线 变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C组成一个等腰直角三 、 、 组成一个等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点 是直角顶点， 角形，且顶点 是直角顶点， (1)设直线 的斜率为 ，求顶点 设直线BC的斜率为 设直线 的斜率为k， B的坐标； 的坐标； 的坐标 (2)求等腰直角三角形的面积的最 求等腰直角三角形的面积的最 小值。 小值。
直线AB经过焦点F
练习2： 练习 ： 如图，定长为 的线段 的线段AB的两 如图，定长为3的线段 的两 2=x上移动，设 端点在抛物线y 上移动 上移动， 端点在抛物线 线段AB的中点为 的中点为M，求点M到 线段 的中点为 ，求点 到y 轴的最短距离。 轴的最短距离。
练习3： 练习 ：正三角形的一个顶点位 于坐标原点， 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y 抛物线 2=2px(p>0)上，求这个 上 三角形的边长。 三角形的边长。
y A1 M1 O B1 A(x1,y1)
M
F B(x2,y2)
y2=2px(p>0) (1)|AB|＝x1+x2+p ＝
2
y A1 M1 O A(x1,y1)
p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 B 4
MБайду номын сангаас
F B(x2,y2) X
1
1 1 2 (3) + = | AF | | BF | P
(4) A, O, B1三点三线 , B, O, A1三点三线
y
y2=2px(p>0)
A1 M1
A(x1,y1)
M
O F B(x2,y2)
N
B1
(5)证明 以AB为直径的圆与准线相切 证明:以 为直径的圆与准线相切 证明 ∠AM1B=Rt ∠, ∠A1FB1=Rt ∠
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线性质的综合应用
[探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关 系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小值？
提示：法一：设 A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点 A 到直线 4x＋3y－8＝0 的距离 d＝|4t－35t2－8|＝|3t2－54t＋8|＝15 3t－232－43＋8＝153t－232＋230＝35t－232＋43. ∴当 t＝23时，d 有最小值43.
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求 解．
②根据(1)求出点 A、B 的坐标，设出点 C 的坐标，由O→C＝O→A＋λO→B，可 用 λ 表示点 C 的坐标，最后根据点 C 在抛物线上求出 λ 值．
[解] (1)法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
(2)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①求该抛物线的方程； ②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[思路探究] (1)法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；法二： 设直线 AB 的方程，建立方程求解．
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[答案] y2＝3x或y2＝－3x
(2)由已知得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ab＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为21· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.因为抛物线开口向右，所 以其标准方程为 y2＝4x.
抛物线的简单几何性质1PPT课件
直线与抛物 线相交(一个 交点)
2020年10月2日
计算判别式 判别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离7
四、直线与圆锥曲线位 置关系判断方法的回顾
2020年10月2日
8
直线与圆 把直线方程代入圆的方程
得到一元 二次方程
计算判别式
> 0, 相 交
= 0, 相 切
< 0, 相 离 2020年10月2日
交位 点置 个关 数系
10
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
2020年10月2日
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
11
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程
三、判断位置关系方法总结(方法一) 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程
直线与抛物 线相交(一 个交点)
2020年10月2日
计算判别式
判别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
6
三、判断位置关系方法总结(方法二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
不平行
相交 相切 相离 13
练习： 教材:101页 5 过抛物线 y2=2x的焦点做倾斜角为 450的弦AB,则AB的长度是多少?
答: 4
2020年10月2日
14
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抛物线简单几何性质PPT教学课件
面,把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端,连接好 电路,如图所示.
（3）顶点 原点
在方程中，当y=0时x=0， 因此抛物线的顶点就是坐标 原点．抛物线与它的轴的交 点叫做抛物线的顶点.
（4）离心率 e=1
抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率， 用e表示，由抛物线的定义 可知，e=1
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
图形
标准 焦点 准线 范围 对称 顶点 离心
p
p 2
-p
p
p
-p 2
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如 图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直 径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点 位置．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角
坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点
重合，x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).由已知可得
点A的坐标为（40，30）,代入方程得
302=2p×40，解得p=
45 4
所以所求抛物线的标准方程为y2= 焦点坐标为（ 45 ，0）
45 2
x，
8
练习
1．求适合下列条件的抛物线方程。 ①顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(1,-4) ②顶点在原点，焦点是F(0,5) ③顶点在原点，准线是x=4 ④焦点是F(0,-8)，准线是y=8
方程 坐标 方程
轴 坐标 率
y
ox
x≥0 x轴 （0，0） e=1
y
ox
x≤0 x轴 （0，0） e=1
y
ox
y
o
x
y≥0 y轴 （0，0） e=1 y≤0 y轴 （0，0） e=1
（3）顶点 原点
在方程中，当y=0时x=0， 因此抛物线的顶点就是坐标 原点．抛物线与它的轴的交 点叫做抛物线的顶点.
（4）离心率 e=1
抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率， 用e表示，由抛物线的定义 可知，e=1
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
图形
标准 焦点 准线 范围 对称 顶点 离心
p
p 2
-p
p
p
-p 2
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分（如 图），光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直 径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点 位置．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角
坐标系，使反光镜的顶点（抛物线的顶点）与原点
重合，x轴垂直于灯口直径。 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).由已知可得
点A的坐标为（40，30）,代入方程得
302=2p×40，解得p=
45 4
所以所求抛物线的标准方程为y2= 焦点坐标为（ 45 ，0）
45 2
x，
8
练习
1．求适合下列条件的抛物线方程。 ①顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(1,-4) ②顶点在原点，焦点是F(0,5) ③顶点在原点，准线是x=4 ④焦点是F(0,-8)，准线是y=8
方程 坐标 方程
轴 坐标 率
y
ox
x≥0 x轴 （0，0） e=1
y
ox
x≤0 x轴 （0，0） e=1
y
ox
y
o
x
y≥0 y轴 （0，0） e=1 y≤0 y轴 （0，0） e=1
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 抛物线中的定值、定点问题 例 3 已知抛物线 x2＝2py(p>0)，其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物 线的两条弦 AB 和 CD(点 A，C 在第一象限)，且 M，N 分别是 AB，CD 的中 点． (1)若 AB⊥CD，求△FMN 面积的最小值； (2)设直线 AC 的斜率为 kAC，直线 BD 的斜率为 kBD，且 kAC＋4kBD＝0，求 证：直线 AC 过定点，并求此定点．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋ x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x＝ －32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 抛物线的简单几何性质 例 1 (1)已知抛物线 y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量 x 的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直 线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
又 F32，0，
所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x， 联立y＝ 3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
抛物线的简单几何性质 课件
x2＝－2py (p>0)
|AF|＝_p2_－__y0
4．焦点弦问题 如图所示：AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2， y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，抛物线的准线为 l. (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l__相__切____；
(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋__p____； (3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝___p4_2____，y1·y2＝___－__p_2___.
_y__轴
___(0_,_0_)_____ ____(0_,_0_)____
__F_(－__p2_，__0_)__ ____x_＝__p2____
___F_(_0_，__p2_)__ ___y_＝__－__p2___
离心率
e＝___1____
2．通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_______.
命题方向1 ⇨抛物线的对称性
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2＝ 2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
[规范解答] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且它们坐标 分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2.
又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22， 即 x21－x22＋2px1－2px2＝0， ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
2p
3．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式 下的焦半径公式为
标准 方程
焦半径|AF|