2018人教A版高中数学必修五第二章2.5第3课时数列的通项公式练习
人教A版高中数学必修五第二章2.1.2数列的通项公式与递推公式练习【学生版】.docx
2.1.2数列的通项公式与递推公式（学生版）一、选择题：1．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1－1(n >1，n ∈N *)，则a 99＝( )A ．1B ．99C ．－1D ．－992．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．－163 B.163 C ．－83 D.833．函数y ＝f (x )的图象在下列图中并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n ，则该函数的图象是( )A B C D4．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n，则a 2 017＝( ) A ．－2 B ．－13 C ．－12D ．3 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2(n ≥2)，则数列的通项a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2(n －1)二、填空题：6．已知数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________.7．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2当a n 为偶数时，3a n ＋1当a n 为奇数时.若a 3＝1，则m 所有可能的 取值为________．8．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是________．三、解答题9．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝nn＋1a n.(1)写出数列{a n}的前5项；(2)猜想数列{a n}的通项公式；(3)画出数列{a n}的图象．10．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)．求数列的通项a n.11．(思考题)已知首项为x1的数列{x n}满足x n＋1＝ax nx n＋1.(a为常数)(1)若对任意的x1≠－1，有x n＋2＝x n对任意的n∈N*都成立，求a的值；(2)当a＝1时，若x1>0，数列{x n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；(3)当a确定后，数列{x n}由其首项x1确定．当a＝2时，通过对数列{x n}的探究，写出“{x n}是有穷数列”的一个真命题．(不必证明)。
人教A版高中数学必修五数列练习题——求数列的通项公式.docx
数列练习题——求数列的通项公式一、填空题1．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ） 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =( )4．等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )5．等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为70，则前3n 项的和为（ ）6．等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=L 则（ ）7．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） 8．已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22212n a a a +++L 等于（ ）9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S = 10．等比数列{}n a 中，公比q 是整数，142318,12,a a a a +=+=则此数列的前8项和为（）二、填空题：11．111(1)(2)()242n n ++++++L ＝ ． 12．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n = ．13．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=L ，，，，则此数列的通项公式为 ；数列{}n na 中数值最小的项是第 项．14．在等差数列}{n a 中，10a <，912S S =，该数列前_______项的和最小.三、解答题：15．设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且124,,a a a 成等比数列．求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．16．已知数列{}n a 的前项和为n S ，且*1111,,3n n a a S n N +==∈． （Ⅰ）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 求2462...n a a a a ++++的和．17．已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，证明213-=n n a ． 18．求下列数列的通项公式（1）111,1(2)3n n a a a n -==-+≥； （2）n S 是{}n a 的前n 项和，121n n S +=-。
2017-2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第3课时 数列的通项公式 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝3n ＋1 C ．a n ＝3n －1 D ．a n ＝3n －1答案：C2．数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________.( ) A ．2n ＋1－3 B ．2n －3 C ．2n ＋3D ．2n －1－3 解析：a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴此数列是以a 1＋3为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝(1＋3)×2n －1，即a n ＝2n ＋1－3. 答案：A3．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，则通项公式是( )A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1解析：设|2n －1·a n |的前n 项和为T n ，∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，∴T n ＝n 2，∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12，∴a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .故选C.答案：C4．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2，且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)3n 解析：a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)⇔an ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝an －1⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋1，即b n ＝an ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则数列{b n }为首项b 1＝a113＝3a 1＝3，公差为1的等差数列，所以b n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 所以a n ＝n ＋23n .答案：B5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，anan －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1. 答案：a n ＝3·(－1)n －16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝错误!＋1＝n 2－2n ＋2. 答案：n 2－2n ＋27．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，则通项a n ＝________.解析：由a n ＝3a n －1＋2，得a n ＋1＝3(a n －1＋1)(n ≥2)．∵a 1＝2，∴a 1＋1＝3≠0，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3·3n －1＝3n ，即a n ＝3n －1. 答案： 3n －18．已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a3a1＝________，数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ≥2时，由(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1得an an －1＝n －1n ＋1， 故a3a1＝a2a1·a3a2＝13×24＝16. a n ＝a2a1·a3a2·a4a3·…·an －1an －2·an an －1·a 1＝13×24×35×…×n －2n ×n －1n ＋1×2＝错误!×2＝错误!.又a 1＝2满足上式，故a n ＝错误!(n ∈N *)精品教育资料答案：16a n ＝错误!(n ∈N *)9．已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式． 解析：∵S n ＝1－a n ，① ∴S n ＋1＝1－a n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ， ∴a n ＋1＝12a n ，(n ∈N *)又n ＝1时，a 1＝1－a 1， ∴a 1＝12.∴a n ＝12·(12)n －1＝(12)n(n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .解析：由题意知a n ≠0，因为a n ＋1＝nn ＋1·a n ，所以an ＋1an ＝n n ＋1，故a n ＝an an －1·an －1an －2·…·a2a1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n.[B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，则a n 为( )A ．a n ＝错误!B ．a n ＝错误!C ．a n ＝nn ＋1D ．a n ＝n －1n ＋1解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n ，①∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ (n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1. 即an an －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． ∴a2a1·a3a2·a4a3·…·an an －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1.。
高中数学人教A版必修五优化练习第二章第课时 数列的通项公式与递推公式含解析
10
________.
解析：分别用 3,10 和 2n－1 去代换通项公式中的 n，得
a3＝(－1)3·2
1
1
× 3＋1＝－7，
a10＝(－1)10·2
1
1
× 10＋1＝21，
a2n－1＝(－1)2n－1·2
1 2n－1
＋1＝－4n1－1.
答案：－1 1 － 1 7 21 4n－1
9．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解析：由 an＋1＝3an 得ana＋n 1＝3.
＝n
2 n＋1
.
2 答案：n n＋1
6．已知数列{an}满足 lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解析：∵Sn＝a1＋a2＋…＋an，
又 lg(1＋a1＋a2＋…＋an)＝n，∴lg(1＋Sn)＝n.
4
∴Sn＝10n－1. 当 n＝1 时，a1＝S1＝9； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1) ＝9×10n－1. ∵当 n＝1 时也满足上式， ∴an＝9×10n－1.
所以 Sn－1＝(n－1)2an－1 (n≥2)．②
①－②得 an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
可得(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
即(n＋1)an＝(n－1)an－1，故aan－n 1＝nn＋－11.
所以 an＝a1·aa21·aa32·……·nn－ ＋11
＝1×13×24×…nn－ ＋11
5
4 1 a4＝3aa3＋3 1＝3＋7 1＝110，故选 C. 7 答案：C
1
5．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则 a1 000＝( )
人教A版必修5第二章数列章末总结之通项公式的求法
{an
4n
6}是以a1
4
6
3为首项，1 为公比的等比数列 2
an
4n
6
3
(
1 2
)n1
an
3 ( 1 )n1 2
4n
6
思考：如果 f (n) 是一个二次式，应当如何进行构造？
解：当 n 2时， an 3an1 2n
等式两边同时除以 2n ，则原式可化为
an 2n
3an1 2n 3
1
3 2
人教A版必修5第二章章末总结
数列通项公式的求法
课题导入
在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的 讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正 确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习 一下数列的通项公式的求法
目标引领
1：掌握求数列通项公式的方法和技巧 2：能根据数列的前N项和求出数列的 通项公式 3：能利用所给的递推公式求出数列的 通项公式
=2 (2an1 an 2 an1) (am1 an )
则数列 bn 是以 b1 a2 a1 1 公差为2的等差数列
（2）由（1）可得 bn an1 an 1 (n 1) 2 2n 1 利用前面所学的累加法可得
a2 a1 1
a3 a2 3 a4 a3 5
an1
• 往利用累乘法求其通项公式。
解：因为当
n
2
时，
an an1
2n1
则 a2 2, a3 22 , a4 23, , an 2n1
a1
a2
a3
an1
把各个式子相乘可以得到：
a2 a3 a4 an 21 22 2n1
a1 a2 a3
an1
即 an
2123 (n1)
高中数学必修5数列的通项与递推公式专项练习(Word版含解析)
【答案】 C
2．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( ) A．an＋1＝ an＋n，n∈N* B．an＝ an－1＋n，n∈N*， n≥ 2 C．an＋1＝ an＋(n＋1)，n∈ N*，n≥2 D．an＝ an－1＋(n－ 1)，n∈N*，n≥2
【解析】 由 a2－ a1＝3－1＝2，
三、解答题
9．已知数列
{
an} 中，
a1＝
1，
an＋1＝
3an an＋3(n∈
N
*
)，求通项
an .
【解】 将 an＋1＝a3n＋an3两边同时取倒数得：
1 an＋
＝
1
an3＋an3，
1 11
则
an＋
＝
1
an＋
3，
1 11
即
an＋
－
1
an＝
3，
1 111 11
1 11
∴a2－ a1＝3，a3－a2＝ 3， …，an－ an－1＝3，
a3－a2＝ 6－ 3＝ 3， a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝ 15－10＝5，
归纳猜想得 an－an－1＝ n(n≥ 2)， 所以 an＝an－1＋ n， n∈ N*，n≥2.
【答案】 B 3．设 an＝－ 3n2＋15n－ 18，则数列 { an} 中的最大项的值是 ( )
16 13 A. 3 B. 3 C．4 D． 0
高中数学必修 5 数列的通项与递推公式
专项练习
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(建议用时： 45 分钟 )
[ 学业达标 ]
一、选择题
1
1
1．已知数列 { an} 满足： a1＝－ 4，an＝1－an－1(n>1)，则 a4 等于 (
人教A版高中数学必修5：数列的通项公式与递推公式 课时练习
课时作业7 数列的通项公式与递推公式[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．数列{a n }中a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19解析：由a n ＋1＝a n ＋2－a n 得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，所以a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12，a 5＝a 3＋a 4＝19.答案：D2．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n ，则a 3等于( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．15解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n ，∴3＝(2－λ)×1，解得λ＝－1.∴a 3＝(2×2＋1)a 2＝5×3＝15.故选D.答案：D3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n2n －1，按项的变化趋势，该数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1(2n ＋1)(2n －1)<0，∴a n ＋1<a n .故该数列是递减数列． 答案：B4．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0解析：∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案：D5．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，那么a 2017＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：由a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，得a 2＝1－2＝－1，a 3＝1－(－1)＝2，a 4＝1－12＝12，a 2017＝a 1＝12.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________. 解析：由a n ＋1＝2a n －1， 得a n ＝12(a n ＋1＋1)，所以a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案：1947．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5＝________. 解析：依题意得a 2＝1＋(－1)2＝2，所以2a 3＝2＋(－1)3，解得a 3＝12，所以12a 4＝12＋(－1)4，解得a 4＝3，所以3a 5＝3＋(－1)5，解得a 5＝23，得a 3a 5＝34.答案：348．已知数列{a n }中，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋1，当a n 最大时，n ＝________.解析：a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋1·7－2n 9，故当n ＝1,2,3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n，所以此数列的最大项为a 4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ，并加以证明． 解析：由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a 2＝2a 1＝4＝22，a 3＝2a 2＝2·22＝23， a 4＝2a 3＝2·23＝24.猜想a n ＝2n (n ∈N *)． 证明如下：由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ， 得a n a n －1＝a n －1a n －2＝…＝a 3a 2＝a 2a 1＝2(n ≥2)． ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n ＝1时，a 1＝21＝2成立， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－7n －8. (1)数列中有多少项为负数？(2)数列{a n }是否有最小项？若有，求出其最小项． 解析：(1)令a n <0，即n 2－7n －8<0，得－1<n <8.又n ∈N *，所以n ＝1,2,3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项． (2)方法一：a n ＝n 2－7n －8是关于n 的二次函数，其对称轴方程为n ＝72＝3.5，所以当1≤n ≤3时，{a n }是递减数列；当n ≥4时，{a n }是递增数列，所以当n ＝3或4时，a n 最小，且最小项a 3＝a 4＝－20.方法二：设a n 为数列{a n }的最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，(n ≥2)即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－7n －8≤(n －1)2－7(n －1)－8，n 2－7n －8≤(n ＋1)2－7(n ＋1)－8，解得3≤n ≤4，故当n ＝3或n ＝4时，a 3＝a 4是数列中的最小项，且最小项a 3＝a 4＝－20.[能力提升](20分钟，40分)11．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n <12，2a n－1，12≤a n<1.若a 1＝35，则a 2018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：∵a 1＝35>12，∴a 2＝2a 1－1＝15<12，a 3＝2a 2＝25<12，a 4＝2a 3＝45>12，a 5＝2a 4－1＝35>12，∴a n ＋4＝a n ，∴a 2018＝a 4×504＋2＝a 2＝15.故选A.答案：A12．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋λn ，且{a n }满足a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，则实数λ的取值范围是________．解析：方法一：因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，显然，当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{a n }是单调递增数列．如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧1<－λ2<2a 1<a 2时，数列{a n }也是单调递增的，此时－3<λ<－2.故实数λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|－3<λ<－2}＝{λ|λ>－3}， 即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)． 方法二：直接根据定义来处理． ∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0，又a n ＝n 2＋λn ，∴(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn >0，∴2n ＋1＋λ>0，λ>－(2n ＋1)，又n ∈N *，∴λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求数列{a n }的通项公式．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1(n ≥2)， 则a n ＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21·32·43·…·n n －1＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2＝2＋ln 1也满足上式，所以a n ＝2＋ln n .故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2＋ln n .14．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 22－n .(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }有没有最小项？若有，求出这个最小项；若没有，请说明理由． 解析：(1)由题意，当n ＝1时，a 1＝122－1＝－12.因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 22－n ， ① 所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)22－(n －1)， ②①－②得na n ＝2n －12－1，即a n ＝1－32n .易知n ＝1时，a 1＝－12满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－32n (n ∈N *)．(2)由(1)知数列{a n }为递增数列， 所以数列{a n }有最小项，最小项为a 1＝－12.。
高中数学人教A版必修5精题精练：数列的通项公式与递推公式 含解析 精品
数列的通项公式与递推公式【知识梳理】如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【常考题型】题型一、数列的表示方法【例1】根据数列{a n}的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n≤5，且n ∈N*)．(1)a n＝(－1)n＋2；(2)a n＝n＋1 n.[解](1)数列{a n}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．(2)数列{a n}的前5项依次是2，32，43，54，65，图象如下图②所示．【类题通法】通项公式法、列表法与图象法表示数列优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．【对点训练】1．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：【例2】已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由公式a n＋1＝2a na n＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解]∵a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝2 3，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.【类题通法】根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【对点训练】2．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n＝a na n＋1构造一个新的数列{b n}，写出数列{b n}的前4项．解：(1)∵a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{a n}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.题型三、由递推公式归纳数列的通项公式【例3】 已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．[解] 可依次代入项数进行求值．a 1＝2，a 2＝21－2＝－2，a 3＝－21－(－2)＝－23，a 4＝－231－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－25， a 5＝－251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－27.即数列{a n }的前5项为2，－2，－23，－25，－27. 也可写为－2－1，－21，－23，－25，－27. 即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数， 所以a n ＝－22n －3(n ∈N *)．【类题通法】根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式．【对点训练】3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．解：a 1＝1，a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95. 由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15， 故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 【练习反馈】1．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A ．1,2,3,4，… B ．1，2，2,22，… C.2，2，2，2，…D ．0，2，2,22，…解析：选B B 中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n ＝2a n －1.2．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是( ) A ．a n ＝12n ＋1(n ∈N *)B.a n ＝12n (n ∈N *) C ．a n ＋1＝12a n (n ∈N *)D ．a n ＋1＝2a n (n ∈N *)解析：选C 数列从第二项起，后一项是前一项的12，故递推公式为a n ＋1＝12a n (n ∈N *)．3．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1得a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53，a 5＝85. 答案：854．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n＝13(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．解析：由已知a 1>0，a n ＋1＝13a n (n ∈N *)， 得a n >0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝13a n －a n ＝－23a n <0， 所以{a n }是递减数列． 答案：递减5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．解：对于公式a n ＝n n 2＋1，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝12，a 2＝25，a 3＝310，a 4＝417，a 5＝526.而a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－nn 2＋1＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1).因为n ∈N *，所以1－n 2－n ＜0，所以a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故该数列为递减数列．。
2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列 2.5
2.5 等比数列的前n 项和课时过关·能力提升基础巩固1已知数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项和.若a 1=3,a 2a 4=144,则S 10的值是( ). A.511B.1 023C.1 533D.3 069解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 2a 4=a 21q 4=144.∵a 1=3,∴32q 4=144.∵q>0,∴q=2.∴S 10069.=a 1(1-q 10)1-q =3(1-210)1-2=3答案:D2等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 等于( ).A .1-x n 1-xB .1-x n -11-xC .{1-x n 1-x ,x ≠1n ,x =1D .{1-x n -11-x ,x ≠1n ,x =1解析:当x=0时,S n =1;当x=1时,S n =n ;当x ≠0,且x ≠1时,S n =1-x n1-x.又当x=0时,该式也满足,所以S n ={n ,x =1,1-x n1-x,x ≠1.答案:C3设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ).A.3B.4C.5D.6解析:由题意,得3S 3-3S 2=(a 4-2)-(a 3-2),则3a 3=a 4-a 3,即a 4=4a 3,故q =a 4a 3=4.答案:B4已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,则q 3等于( ).A.‒12B.1C.‒12或1D.‒1或12解析:∵S3,S9,S6成等差数列,∴S3+S6=2S9,∴q≠1,∴a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q,整理得2q9-q6-q3=0.又q≠0,∴2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍去)或q3=‒12,∴q3=‒12.答案:A5已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于 .解析:设数列{a n}的公比为q,由已知条件可得{a1+a1q3=9,a21q3=8,解得{a1=8,q=12或{a1=1,q=2,因为{a n}是递增的等比数列,所以{a1=1,q=2.所以{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,故S n=2n-1.答案:2n-16已知等比数列的前20项的和为30,前30项的和为70,则前10项的和为 . 解析:由题意知S20=30,S30=70.∵S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-S10)2=S10(70-30),解得S10=10.答案:107设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= . 解析:设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1=q n-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n}的首项为a1=1,公比为q=3,故a n =3n-1.答案:3n-18一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点了381盏灯,则底层所点灯的盏数是 .解析:由题意知,每层所点的灯的盏数成等比数列,且公比q=2,S 7=381.由S 7=381得S 7a 1=3.=a 1(1-q 7)1-q =a 1(1-27)1-2=381,解得故a 7=a 1q 6=3×26=192,即底层所点灯的盏数是192.答案:1929已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和.(1)设S 3=32,S 6=2116,求an ;(2)若S 4,S 10,S 7成等差数列,证明a 1,a 7,a 4也成等差数列.(1)解设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q.由已知得q ≠1,于是{a 1(1-q 3)1-q =32,a 1(1-q 6)1-q =2116,解a n =a 1q n-1=2·得{a 1=2,q =-12.故(-12)n -1.(2)证明∵S 4,S 10,S 7成等差数列,∴q ≠1,S 4+S 7=2S 10,∴a 1(1-q 4)1-q +a 1(1-q 7)1-q =2a 1(1-q 10)1-q ,整理得q 4+q 7=2q 10,∴1+q 3=2q 6,∴a 1+a 1q 3=2a 1q 6,∴a 1+a 4=2a 7,即a 1,a 7,a 4也成等差数列.10等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列.(1)求{a n }的公比q ;(2)已知a 1-a 3=3,求S n .解(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q+a 1q 2).因为a 1≠0,所以2q 2+q=0.又q ≠0,所以q=‒12.(2)由已知可得a 1-a a 1=4.1(-12)2=3,解得从而S n =4[1-(-12)n]1-(-12)=83[1-(-12)n ].能力提升1在等比数列{a n }(n ∈N *)中,若a 1=1,a 4=18,则该数列的前10项和为( ).A.2‒128B .2‒129C.2‒1210D .2‒1211解析:设公比为q ,q 则{a 1=1,a 1q 3=18,解得=12,则该数列的前10项和为S 10=a 1(1-q 10)1-q =1-12101-12=2‒129.答案:B2设数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( ).A .152B .314C .334D .172解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则{a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q =7,解得{a 1=4,q =12,所以S 5=4×(1-125)1-12=314.答案:B3若数列{a n }是等比数列,且对任意n ∈N *,a 1+a 2+…+a n =2n -1,则a 21+a 22+a 23+…+a 2n 等于( ).A.(2n -1)2B .13(2n ‒1)2C.4n -1D .13(4n ‒1)解析:由S n =2n -1得a 1=S 1=1,a 2=S 2-S 1=22-2=2.故公比为q=2,可知数,公比为q 2=4.列{a 2n }是等比数列所以a 21+a 22+a 23+…+a 2n =1-4n 1-4=13(4n ‒1)答案:D ★4等比数列{a n }的首项为1,公比为q ,前n 项和为S ,由原数列各项的倒数组成一个新数列{1a n },则{1a n}的前n 项和是( ).A .1S B .1q n S C .S q n -1D .q n S 解析:因为a 1=1,公比为q ,若q ≠1,则其前n 项和为S=1-q n1-q .而在数,公比列{1a n }中为1q,首项为1a 1,设其前n 项和为S',则S'=1a 1[1-(1q )n ]1-1q =1-q n a 1q n -1(1-q )=S q n -1.当q=1时,S=S'=n ,也符合S'C .=S q n -1.故选答案:C5等比数列{a n }的前n 项和为S n ,S 2=3,S 6=63,则S 4=.解析:由题意可知S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,则(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),∴(S 4-3)2=3(63-S 4),解得S 4=15或S 4=-12.又S 4=S 2+S 2·q 2=3+3q 2>0,∴S 4=15.答案:156某公司今年获得利润500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年利润比上一年增加30%,则7年后该公司实现的总利润为 万元.解析:设第n 年的利润为a n 万元,则a n+1=a n +a n ×30%=1.3a n ,则a n +1a n =1.3.所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司实现的总利润为S 7=a 1(1-q 7)1-q =500×(1-1.37)1-1.3).=50003(1.37‒1)(万元答案:50003(1.37‒1)7在数列{a n }中,a 1∈N *).=13,前n 项和Sn 满足Sn +1‒Sn =(13)n +1(n (1)求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ;(2)若S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列,求实数t 的值.解(1)由S n+1-S na n+1∈N *).=(13)n +1,得=(13)n +1(n 又a 1a n ∈N *).=13,所以=(13)n (n 从而S n ∈N *).=12[1-(13)n ](n (2)由(1)知,S 1=13,S 2=49,S 3=1327,从而由S 1,t (S 1+S 2),3(S 2+S 3)成等差数列可t=2.得13+3×(49+1327)=2×(13+49)t ,解得★8已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=4,S 5=35.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)若数列{b n }满足b n =e an ,求数列{bn }的前n 项和Tn .解(1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则{a 1+d =4,5a 1+5×(5-1)2d =35,解得{a 1=1,d =3,故S n =na 1+n (n -1)d 2=n (3n -1)2.(2)由(1),得a n =3n-2,∴b n =e 3n-2,且b 1=e .当n ≥2),时,b n b n -1=e 3n -2e 3(n -1)-2=e 3(定值∴数列{b n }是首项为e,公比为e 3的等比数列.∴T n =e (1-e 3n )1-e 3=e 3n +1-ee 3-1.。
高二数学人教A必修5练习及解析：2-1-2 数列的通项公式与递推公式
高二数学人教A 必修5第2章数列 课时训练 数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列a n <0,且2a n+1=a n ,则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:∵a n <0,∴a n+1-a n =12a n -a n =-12a n >0.∴数列{a n }是递增数列.2.在数列{a n }中,若a n =-n 2+12n-7,则此数列的最大项的值为 . 答案:29解析:a n =-(n-6)2+29,所以当n=6时,a n 最大,解得a 6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a 1=1,a n+1=a n3a n +1,则给出的数列{a n }的第7项是( )A.116B.117C.119D.125答案:C解析:由数列的首项和递推公式可以求出a 2=14,a 3=17,…,观察得到通项公式a n =13n -2,所以a 7=119. 4.在数列{a n }中,a 1=-2,a n+1=1+a n1-a n,则a 2 012=( )A.-2B.-13C.-12D.3答案:D解析:∵a 1=-2,a n+1=1+a n1-a n, ∴a 2=-13,a 3=12,a 4=3,a 5=-2. ∴该数列是周期数列,周期T=4.又2 012=503×4,∴a 2 012=a 4=3.5.已知数列{a n },a 1=1,a 2=2,a n =a n-1+a n-2(n ≥3),则a 5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,∴a5=a4+a3=8.6.已知数列{a n}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=a n,n∈N*,则a2 013=;a2 014=.答案:10解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.7.数列{a n}满足a n+1=11-a n,a8=2,则a1=.答案:12解析:a8=11-a7=2,∴a7=12.又a7=11-a6,∴a6=-1.又a6=11-a5,∴a5=2.以此下去,可推出a1=12.三、由递推关系求通项公式8.已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+1(n≥2),则通项公式为()A.a n=1B.a n=2n-1C.a n=nD.a n=n+1答案:C解析:由a n=a n-1+1知a n-a n-1=1,∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为a n=n.9.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2n-1C.a n=(12)n-1D.a n=1+(12)n答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得a n=2n-1.方法二:∵a n+1+1=2(a n+1),∴a n+1+1a n+1=2,用累乘法可得a n+1=2n.∴a n=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列{a n},a1=1,以后各项由a n=a n-1+1n(n-1)(n≥2)给出.(1)写出数列{a n}的前5项;(2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)a 1=1;a 2=a 1+12×1=32;a 3=a 2+13×2=53;a 4=a 3+14×3=74;a 5=a 4+15×4=95.(2)由已知得a n -a n-1=1n (n -1)=1n -1−1n , ∴a 2-a 1=1-12,a 3-a 2=12−13,a 4-a 3=13−14,……,a n -a n-1=1n -1−1n .左右分别累加得a n -a 1=1-1n, 所以a n =a 1+1-1n=2-1n.(建议用时:30分钟)1.已知数列{a n },a 1=1,a n -a n-1=n-1(n ≥2).则a 6等于( )A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a 6=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+(a 6-a 5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知数列{a n }中,a 1=2,a n =-1a n -1(n ≥2),则a 2 015等于( )A.-12B.12C.2D.-2答案:C 解析:∵a n+2=-1a n+1=a n ,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a 2 015=a 1=2.3.数列{a n }中,a 1=1,对所有的n ≥2,都有a 1a 2a 3…a n =n 2,则a 3+a 5等于( ) A.259B.2516C.6116D.3115答案:C解析:由已知得{a 1a 2a 3=32a 1a 2=22⇒a 3=94,{a 1a 2a 3a 4a 5=25a 1a 2a 3a 4=16⇒a 5=2516,∴a 3+a 5=6116. 4.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1−(23)n -1,则数列{a n }( )A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项 答案:C解析:数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1−(23)n -1,令t=(23)n -1(0<t ≤1), 则a n =t2-t=(t -12)2−14(0<t ≤1).故数列{a n }有最大项和最小项,选C .5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n 个图有化学键( )A.6n 个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n 个图的化学键个数应为a n =5n+1.6.数列{a n }满足a n+1={2a n ,0≤a n <12,2a n -1,12≤a n <1.若a 1=67,则a 9等于 . 答案:37解析:a 1=67∈[12,1),∴a 2=2a 1-1=57,∴a 3=2a 2-1=37∈[0,12),∴a 4=2a 3=67,同理a 5=57,a 6=37,a 7=67,a 8=57,a 9=37.7.数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n 2-a n-1·a n+1=(-1)n-1(n ≥2),那么a 4= .答案:33解析:令n=2得a 22-a 1·a 3=-1,∴a 3=10.令n=3代入,得a 32-a 2a 4=(-1)2,∴a 4=33.8.设函数f (x )定义如下表,数列{x n }满足x 0=5,且对任意的自然数均有x n+1=f (x n ),则x 2014=.答案:1解析:x 1=f (x 0)=f (5)=2,x 2=f (x 1)=f (2)=1, x 3=f (x 2)=f (1)=4, x 4=f (x 3)=f (4)=5=x 0,从而数列{x n }是周期为4的数列,于是x 2 014=x 4×503+2=x 2=1. 9.已知递增数列{a n }的通项公式是a n =n 2+λn ,求实数λ的取值范围. 解:∵数列{a n }是递增数列,∴a n+1>a n 对n ∈N *恒成立.∵a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn=2n+1+λ, ∴2n+1+λ>0对n ∈N *恒成立,即λ>-2n-1对n ∈N *恒成立, 又当n ∈N *时-2n-1≤-3,∴λ>-3. 10.设数列{a n },a 1=0,a n+1=1+a n3-a n,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a 1=0,a 2=1+a 13-a 1=13,a 3=1+a 23-a 2=1+133-13=12,a 4=1+a 33-a 3=1+123-12=35.直接观察可以发现a 3=12可写成a 3=24, 这样可知a n =n -1n+1(n ∈N *,n ≥2). 当n=1时,1-11+1=0=a 1,所以a n =n -1n+1.一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】 由a 2－a 1＝3－1＝2， a 3－a 2＝6－3＝3，a 4－a 3＝10－6＝4， a 5－a 4＝15－10＝5，归纳猜想得a n －a n －1＝n (n ≥2)， 所以a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0【解析】 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋2 B ．a n ＝3n －2 C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1【解析】因为a1＝2，a n－a n－3＝0，＋1＝3，所以a n－a n－1a n－1－a n－2＝3，a n－2－a n－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有a n－a1＝(n－1)×3，所以a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.【答案】 C5．已知在数列{a n}中，a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2 016＝()A．3 B．－3C．6 D．－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{a n}是周期为6的数列，∴a2 016＝a6＝－3.【答案】 B二、填空题6．数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 016－a2 015＝ .【解析】由已知a2 016－a2 015－2 015＝0，∴a2 016－a2 015＝2 015.【答案】 2 0157．数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是．【解析】 因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3， a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255. 【答案】 2558．数列{a n }满足：a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式为 ．【解析】 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32a n －3， 得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝32a n －1－3(n ≥2)， 两式作差得3a n －1＝a n (n ≥2)，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝6·3n －1＝2·3n (n ≥2)． ∵a 1＝6也适合上式， ∴a n ＝2·3n (n ∈N *)(n ∈N *)． 【答案】 a n ＝2·3n (n ∈N *) 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】 将a n ＋1＝3a na n ＋3两边同时取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋33a n ，则1a n ＋1＝1a n＋13，即1a n ＋1－1a n＝13，∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13，把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n－1a 1＝n －13.∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N *)． 10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项. 【导学号：05920065】【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n－1，(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1.解得⎩⎨⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.[能力提升]1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21【解析】 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3. ∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3) ＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 【答案】 C2．(2015·吉林高二期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 014＋a 2 015等于( )A ．4 B.32 C.76D ．116【解析】 a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝73－1＝43；a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43－1＝13；a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56；a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23；a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23－1＝13；…∴从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 014＋a 2 015＝a 4＋a 5＝32.故选B. 【答案】 B3．(2015·龙山高二检测)我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数时，a n2，n 为偶数时(n ∈N *)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项．【解析】 由题意可知，a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【答案】 6404．已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，求数列的通项公式．【解】 法一 由a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n (n ≥2)， 则a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， …a 3－a 2＝12－13，a 2－a 1＝1－12.将上式相加得a n －a 1＝1－1n (n ≥2)，又a 1＝1，∴a n ＝2－1n .a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n (n ∈N *)．法二 由已知得a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)， 则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋1n －3－1n －2＋…＋1－12＋1＝2－1n (n ≥2)． a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n (n ∈N *).。
2018人教A版高中数学必修五第二章2.2第1课时等差数列的概念和通项公式练习.docx
[ 作 ][A基巩固]1．等差数列 a－ 2d， a， a＋ 2d，⋯的通公式是 ()A ． a n＝ a＋ (n－ 1)dB ． a n＝a＋ (n－ 3)dC． a n＝ a＋2(n－ 2)d D ．a n＝ a＋ 2nd解析：数列的首a－ 2d，公差2d，∴ a n＝ (a－ 2d) ＋(n－1) ·2d＝ a＋ 2(n－ 2)d.答案： C2．已知数列 3,9,15，⋯， 3(2n－ 1)，⋯，那么 81 是它的第几 ()A ． 12B ． 13C． 14 D ．15解析：由已知数列可知，此数列是以 3 首， 6公差的等差数列，∴a n＝ 3＋ (n－ 1)× 6＝3(2n－ 1)＝ 6n－3，由 6n－ 3＝ 81，得 n＝ 14.答案： C3．在等差数列{ a n} 中， a2＝－ 5， a6＝ a4＋ 6， a1等于 ()A ．－ 9B ．－ 8C．－ 7 D ．－ 4a1＋ d＝－ 5，解析：法一：由意，得解得 a1＝－ 8.a1＋ 5d＝ a1＋ 3d＋ 6，法二：由 a n＝a m＋ (n－m)d(m， n∈ N* )，得d＝ a n－ a m，n－m∴d＝ a6－a4＝ 6 ＝3. 6－ 4 6－4∴a1＝ a2－ d＝－ 8.答案： B4．在数列 { a n} 中， a1＝ 1， a n＋1＝ a n＋ 1， a2 017等于 ()A ． 2 009B ． 2 010C． 2 018 D ．2 017解析：由于 a n＋1－ a n＝ 1，数列 { a n} 是等差数列，且公差d＝ 1， a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝ n，故a2 017＝ 2 017.答案： D5．若等差数列 { a n} 中，已知 a1＝1， a2＋ a5＝ 4， a n＝ 35， n＝ () 3A ． 50B ． 51 C． 52 D ．531解析：依题意， a2＋ a5＝ a1＋d＋ a1＋ 4d＝ 4，将 a1＝1代入，得 d＝2. 33所以 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝1＋ (n－ 1)×2＝2n－1，3333令 a n＝ 35，解得 n＝ 53.答案： D6． lg( 3－ 2)与 lg( 3＋ 2)的等差中项是 ________．解析：等差中项 A＝lg 3－2＋lg3＋ 2 ＝ lg 1 ＝0.22答案： 07．等差数列的第 3 项是 7，第 11 项是－ 1，则它的第7 项是 ________．解析：设首项为a1，公差为 d，由a3＝ 7， a11＝－ 1 得， a1＋ 2d＝ 7， a1＋ 10d＝－ 1，所以 a1＝ 9， d＝－ 1，则 a7＝ 3.答案： 38．已知 48， a， b， c，－ 12 是等差数列的连续 5 项，则 a，b， c 的值依次是 ________．解析：∵ 2b＝ 48＋ (－ 12)，∴ b＝ 18，又 2a＝ 48＋ b＝ 48＋18，∴a＝ 33，同理可得 c＝3.答案： 33,18,39．在等差数列 { a n} 中，已知 a1＝ 112， a2＝ 116，这个数列在450 到 600 之间共有多少项？解析：由题意，得 d＝ a2－ a1＝ 116－ 112＝ 4，所以 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝ 112＋ 4(n－ 1)＝ 4n＋108.令 450≤ a n≤ 600，解得 85.5≤n≤ 123.又因为 n 为正整数，所以共有 38 项．10．一个各项都是正数的无穷等差数列{ a n} ， a1和 a3是方程 x2－ 8x＋ 7＝0 的两个根，求它的通项公式．解析：由题意，知 a1＋ a3＝ 8， a1a3＝ 7，又{ a n} 为正项等差数列，∴ a1＝ 1， a3＝ 7，设公差为 d，∵ a3＝ a1＋ 2d，∴ 7＝ 1＋2d，故 d＝ 3， a n＝3n－ 2.[B组能力提升 ]1．在数列 { a n} 中， a1＝ 2,2a n＋1＝ 2a n＋ 1，则 a101的值是 ()2A ． 52B ． 51C ． 50D ．49解析： ∵ 2a n ＋ 1＝ 2a n ＋ 1，∴2(a n ＋ 1－ a n )＝ 1.即 a n ＋ 1－ a n ＝ 12.1∴{ a n } 是以 为公差的等差数列．a 101＝ a 1＋ (101－ 1)×d ＝ 2＋ 50＝52.答案： A2．在等差数列中， a m ＝ n ，a n ＝m(m ≠ n)，则 a m ＋ n 为 ()A ． m － nB ． 0C ． m 2D ．n 2解析：法一 ：设首项为 a 1，公差为 d ，则 a 1＋ m － 1 d ＝ n ，a 1＝ m ＋ n － 1， 解得a 1＋ n － 1 d ＝ m ，d ＝－ 1.∴ a m ＋n ＝ a 1＋ (m ＋n － 1)d ＝ m ＋ n － 1－ (m ＋ n － 1)＝ 0.故选 B.法二 ：因结论唯一，故只需取一个满足条件的特殊数列：2,1,0，便可知结论，故选 B.答案： B3．已知 1， x ， y,10 构成等差数列，则 x ， y 的值分别为 ________．解析： 由已知， x 是 1 和 y 的等差中项，即 2x ＝ 1＋ y ，①y 是 x 和 10 的等差中项，即2y ＝x ＋ 10②由①，②可解得 x ＝ 4， y ＝ 7.答案： 4,714．等差数列的首项为 25，且从第 10 项开始为比 1 大的项，则公差 d 的取值范围是 ________．a 10>1， 解析 ：由题意得a 9 ≤ 1，1 ＋9d>1，25∴251＋ 8d ≤ 1，83∴ 75<d ≤ 25.83答案 ： 75<d ≤ 2535．已知减等差数列 { a n } 的前三和 18，前三的乘 66.求数列的通公式，并判断－34 是数列的？a1＋ a2＋ a3＝ 18，解析：法一：等差数列 { a n} 的前三分a1，a2， a3.依意得a1·a2·a3＝ 66，3a1＋ 3d＝18，∴a1·a1＋ d ·a1＋ 2d ＝ 66.a1＝ 11，a1＝ 1，解得或d＝－ 5，d＝ 5.∵数列 { a n} 是减等差数列，∴d<0.故取 a1＝ 11， d＝－ 5，∴a n＝ 11＋ (n－ 1) ·(－ 5)＝－ 5n＋ 16，即等差数列 { a n} 的通公式a n＝－ 5n＋ 16.令a n＝－ 34，即－ 5n＋ 16＝－ 34，得 n＝ 10.∴－ 34 是数列 { a n} 的，且第10 ．法二：等差数列 { a n} 的前三依次：a－ d， a， a＋ d，a－ d ＋ a＋ a＋d ＝18，a－ d ·a·a＋d ＝ 66，a＝6，解得d＝±5.又∵ { a n} 是减等差数列，即d<0，∴取 a＝ 6， d＝－ 5.∴{ a n} 的首 a1＝ 11，公差 d＝－ 5.∴通公式a n＝ 11＋ (n－ 1) ·(－5)，即a n＝－ 5n＋16.令a n＝－ 34，解得 n＝ 10.即－ 34 是数列 { a n} 的，且第10 ．6．已知无等差数列 { a n} ，首 a1＝ 3，公差 d＝－ 5，依次取出数被 4 除余 3 的成数列 { b n} ．(1)求 b1和 b2；(2)求 { b n} 的通公式；(3){ b n} 中的第 110 是 { a n} 的第几？解析： (1)∵ a1＝ 3， d＝－ 5，∴a n＝ 3＋ (n－ 1)× (－ 5)＝ 8－ 5n(n∈ N* )．数列 { a n} 中数被 4 除余 3 的是 { a n} 的第 3 ，第 7 ，第 11 ，⋯，所以其首 b1＝4a3＝－ 7， b2＝ a7＝－ 27.(2)设 { a n} 中的第 m 项是 { b n} 的第 n 项，即b n＝ a m，则 m＝ 3＋ 4(n－ 1)＝ 4n－ 1，∴b n＝ a m＝a4 n－1＝ 8－ 5(4n－1) ＝13－20n. ∵b n－ b n－1＝－ 20(n≥ 2， n∈ N * )，∴{ b n} 是等差数列，其通项公式为b n＝13－ 20n，n∈ N* .(3)设它是 { a n} 中的第 m 项，由 (2) 知 m＝4n－ 1，又 n＝ 110，则 m＝ 439.故{ b n} 中的第 110 项是 { a n} 的第 439 项．5。
18学年高中数学习题课求数列的通项公式课件新人教A版必修5
= 2������ − 1(������≥2).
将上述各式相乘得
������2 ������3 ������4 ������������ · · · …· ������1 ������2 ������3 ������������-1
= 2· 22· 23· …· 2n-1, =
������(������- 1) 2 2 .
1 3
5 4
1 4
1 5
1 5
.
反思当已知数列的前几项,归纳数列的通项公式时,要仔细观察、 分析寻找规律,还要注意2n,2n±1,2n,2n±1,3n,3n±1等的应用,如果 所给项是分数,先把它们统一为相同的形式,然后分子、分母分别 寻找规律.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公 式.
内部文件，请勿外传
题型一
题型二
题型三
【变式训练 3】 (1)已知数列{an},a1=2,an=
解 (1)由 an=
������ ������ -1 1
������������-1 (������≥2),求 an; 1+������������-1
(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式an.
故数列的通项公式为 an=(-1)
n+1
1 ·������ . 2 -1
题型一
题型二
题型三
(3)各项可看作 1=1+0, = + 1, = + 0, = + 1, = + 0,
7 6
= + 1, …. 故数列的通项公式为 an=
第二章 数列求通项 专题练习-高中数学人教A版必修5
课题：数列求通项(一)基础练习1.已知数列{}n a 中,112,3,n n a a a -==+则n a = .2.已知数列{}n a 中,111,3,n n a a a -==⋅则n a = .3.已知数列{}n a 中,32,n n S =+则n a = .4.已知数列{}n a 中,111,2 1 (2),.n n n a a a n n a -==+≥－求通项（叠加法）解 易知,121-=--n a a n n ∵,312=-a a ,523=-a a ,734=-a a……,121-=--n a a n n各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=（注）一般地，对于型如1()n n a a f n +=+类的通项公式，只要(1)(2)()f f f n +++能进行求和，则宜采用此方法求解。
5：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
（叠乘法）解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得（注）一般地，对于型如1n a +=f (n)·n a 类的通项公式， 当(1)(2)()f f f n ⋅⋅的值可以求得时，宜采用此方法。
6、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。
（构造法）解：∵121+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a令1+=n n a b 则数列}{n b 是公比为2的等比数列∴11-=n n q b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+- ∴12-=n n a7、已知正数数列{}n a 中,21,n n S a =+求首项1a ,通项n a .（两式法） 解：因为241n n S a =+（），所以2+1+141n n S a =+（） 两式相减得：12n n a a +-= 又1121,a a =+故1a ＝1 所以{}n a 是以1为首项， 2为公差的等差数列. ∴21n a n =-8、已知数列{}n a 中,1111,3(2),n n n a a a n --==+≥求通项.n a 解：运用累加法可得：1(31)2n n a =- 9、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，（倒数法） 求数列的通项公式。
人教A版高中数学必修五数列复习——通项公式
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
(4)
a1 1,
an1
n n
1
an (n
1)
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
(4)
a1 1,
an1
n n
1
an (n
c
1 1 b an1 an c
即转化为 { 1 } 是等差数列求解．
an
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式．
例2. 写出下面各数列的一个通项公式．
(3) a1 1, an an1 2n (n 2)
数列的通项公式的求法
题型二： 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2. 写出下面各数列的一个通项公式． (3) a1 1, an an1 2n (n 2)
数列复习 ——通项公式
基本概念
数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项an与n之间的 关系可以用一个公式来表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式的求法
题型一： 已知数列的前几项，求数列的通项公式．
例1. 根据数列的前几项，写出下列数列 的一个通项公式：
(1) 4 , 1 , 4 , 2 , ;
2. 已知递推公式，求特殊数列的通项公式 的方法：转化为等差、等比数列求通项； 累加法；迭乘法．
课后作业
《习案》作业二十.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
人教A版高中数学必修五《数列通项公式的求法》专题汇编
数列通项公式的求法数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。
求数列的通项公式问题是目前高考中的热点，可以这样毫不夸张地说，只要是涉及数列问题的考试，就一定有求数列通项公式的问题。
从各种考试的情况来看，数列通项公式问题主要包括：①已知数列的前几项，求数列的一个通项公式；②求基本数列（等差数列或等比数列）的通项公式；③已知数列的首项，数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系式，求数列的通项公式；④已知数列的首项和数列的递推公式，求数列的通项公式四种不同的类型。
那么在求解数列的通项公式问题时，如何根据不同类型的特征去展开思路，准确、快捷地解答问题呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、数列1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ）A n a =2nB n a =2n +1C n a =2n -1D n a =12n +【解析】【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】Q 1=2-1，3=4-1=22-1，7=8-1=32-1，15=16-1=42-1，31=32-1=52-1，--------， ∴ n a =2n -1 ，⇒C 正确，∴选C 。
2、数列12，-34，58，-716，------的一个通项公式是（ ） A n a = 121(1)2n n n +-- B n a = 21(1)2n n n -- C n a = 121(1)2n n n +-- D n a = 21(1)2n n n -- 【解析】【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。
【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通项公式。
【详细解答】Q12=111+-（）⨯2112⨯-，-34=211+-（）⨯22212⨯-，58=311+-（）⨯32312⨯-， -716=411+-（）⨯42412⨯-，--------，∴ n a =121(1)2n n n +-- ，⇒C 正确，∴选C 。
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解析：设|2n 1 a n |的前n 项和为T n ,：数列｛a n ｝满足a 1+ 2a 2 + 22a 3 +…+ 2n 1二 T n =乡二 2n 1a n = T n—T n -1= -1•-a n = 2—1 = 1，经验证，n = 1时也成立, 1故a n =尹故选C. 答案：C厂 1 4. 已知数列｛a n ｝满足a 1= 1,且a n = ^a n -1 +3n a n = H—n * a n a n —1 £丿(n 》2 且 n € N )?不=+ 1 0 ©1. 设数列｛a n ｝中，a i = 2, a n = 3nC . a n = 3n — 1 答案：C 2.数列｛a n ｝中，若a 1= 1, A . 2n +1— 3 C . 2n + 3 解析：a n +1 + 3= 2(a n + 3), 3)X 2n —1，即 a n = 2n +1— 3.答案：A 3. C . ［课时作业］［A 组基础巩固］a n +1 = a n + 3,则数列｛a n ｝的通项公式为（ ） B . a n = 3n + 1D . a n = 3n — 1 a n +1 = 2a n + 3（n 》1），则该数列的通项 a n = B . 2n —3D . 2n —1 — 3•••此数列是以 a i + 3为首项，2为公比的等比数列,2n — 1 n*设数列｛a n ｝满足a 1+ 2a 2 + 2a 3+…+ 2 a n = q(n € N )，则通项公式是(1 a n = 2n __B . a n = 2*—1.( )a n + 3= (1 +1a n =歹1D . a n = 2*+1C . a n = n + 2a n = (n + 2)3nn * a n = ^(n €N ),> 2,且n € N ），则数列｛a n ｝的通项公式_n + 2a n = 3n解析： a n = 3a n -1+ 11 na n所以 b n = 3 + (n — 1) x 1 = n + 2,答案：B5. __________________________________________________________________ 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且a n = 20 - 3,则｛a n ｝的通项公式是 __________________________ . 解析：由 a n = 2S n — 3 得 a n -1= 2S n -i — 3（n 》2），两式相减得 a n - a n -i = 2a n （n 》2）, a n 八、〜…a n =-a n -1 (n 》2) ,= - 1(n 》2). a n -1故｛a n ｝是公比为一1的等比数列，令 n = 1 得 a 1 = 2a 1 — 3,「. a 1 = 3，故 a n = 3 (— 1)n I . 答案：a n = 3 (- 1)n -16. ___________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1= a *+ 2n - 1(n € N )，则 a n = ___________________________ •解析：T a 1 = 1, a n +1= a n + 2n — 1(n € N ) ,.•. a n = (a n - a n -1) + (a n -1 — a n -2)+…+ (a 2 — a“ + a 11 n — 1 12n — 3 + 1 j2 =(2n -3) + (2n - 5) + …+ 1 + 1 = + 1 =n 2- 2n + 2.答案：n 2- 2n + 27. ________________________________________________________________ 在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n = 3a n -1+ 2(n 》2, n € N )，则通项 a n = _______________________ .解析：由 a n = 3a n -1+ 2，得 a n + 1 = 3(a n -1+ 1)(n 》2). T a 1= 2,. a 1+ 1 = 3工 0,•••数列｛ a n+ 1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，• a n + 1 = 3 3n —1 = 3n ，即卩a .= 3n - 1.答案：3n - 1& 已知数列｛ a n ｝满足 a 1= 2, (n + 1总=(n - 1)a n -1(n 》2, n € N )，则 j = ___________ ,数列｛a *｝a 1 的通项公式为 _________ .解析：当 n 》2 时，由(n + 1)a n = (n - 1)a n -1 得-=-_-a n -1 n + 1 故 01=驚=2=6.4O=n n + 14*n= (n€N)即b n =则数列｛b n ｝为首项b i = ¥= 3a i = 3,公差为31的等差数列,所以 a n =_ a2 a 3 a 4 a n=a 1 a 2 a 3a n -1 a n a n -2 a n -1a 1 = 4x — n -2 n - 1 X —x 2 = 1x 2x 2=—4—又 a1= 2 n + 1 n n + 1 n n + 1 '满足上式，故n € N )9.已知数列｛a n ｝满足：S n = 1 -a n （n € N ），其中 S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，求｛a n ｝的通项公 式.a n解析：T S n = 1 — a n ,① --S n + 1= 1 — a * + 1,② ②一①得 a n +1 =— a n +1 + a n ,1 *二 a n +1= 2a n , (n € N ) 又 n = 1 时，a 1 = 1 — a 1, 1…a 1 = 2*1 1 n — 1 Z 1 n *…a n = 2(2) = (2)(n € N ).1时'a 1= 1X 1+ 1―T T(n € N *).n n + 1答案：A210.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 3,nn +1a n , 求a n . 解析：由题意知a 芒0,因为a n +1 = n +1a n ，所以z=a n生 _ n — 1 n — 2 12__2_ a 1 n n — 12 3 3n ，[B 组能力提升]1 21 .已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 2， a 1+ a 2+ …+ a n = n a n ，贝V a n 为(故冇=五咨 a n —1 a n —2a n =C . a n =nn + 1解析：T a 1 + a 2+ …+ a n = n 2a n ，①••• a 1 + a 2 + …+ a *-1= (n — 1)2a n -1(n 》2, n € N ),② ①一②得 a n = n 2a n — (n — 1)2a n -1. 即a n = a n —1n — 1* =n+严2, n € N )..a 2 a 3 04 • •3、，4 兀=1 x J x 暮4…心x 曰a n —1n + 1即如=2a 1 n n + 1，又 1 a 1=2, 1 n n + 1，n解析：T a n +1 — a n = r 』n + 1 —n ,•-(a 2— a 1)+ (a 3 — a ?)+ …+ (a n — a n -1)= ( 2— 1) + C 3— 2)+ - + (d — n — 1)，即 (n >2)，将n = 1代入也成立，• a n = .n ・ 答案：」4.设数列｛a n ｝满足 a 1+ 2a 2 + 3a 3+ …+ na n = n(n + 1)(n + 2)(n € N ),则通项 a n = 解析：数列｛na n ｝的前n 项和为a 1 + 2a 2 + 3a 3+…+ na n = n(n + 1)(n + 2).① 其前n 为 a 1 + 2a ?+3a 3+ …+ (n — 1)a n — 1= (n — 1)n(n + 1).②①一②，得 na n = n(n + 1)[(n + 2) — (n — 1)] = 3n(n + 1)，即 a n = 3n + 3. 当n = 1时也满足上式.故a n = 3n + 3.答案：3n + 3 5.已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1 , a n + 1= 2a n + 1 (1)证明数列｛a n +1｝是等比数列； ⑵求数列｛a n ｝的通项公式.解析：(1)证明：法一：因为a n +1= 2a n + 1, 所以 a n +1 +1 = 2(a n + 1). 由a 1 = 1,知a 1 +1丰0,从而a n + 1丰0. 所以=2(n € N *).a n 十12.已知｛a n ｝是首项为1的正项数列，且(n + 1)a 2+1 - na (+ a n a n +1 = 0,则｛a“的通项公式为 a nn n —1(n +1)解析：T (n + 1)a 2 +1 — na 2 + a n a n +1 = 0.• • (a n + 1+a n) • n + 1)a n + 1 — na n ] = 0.T a n >0, • a n +1 + a n >0.a n +1 n n a n = n +1,即 a n +1= n + 1a n .n — 1 n — 1 n — 2• a n = a n —1 = • - a n —2=••n — 3a 1= $n 》2).当n = 1时,1 、、 1a 1 =-也成立，• a n =- n n答案：A3.对于数列 ｛ a n ｝，满足 a 1 = 1 , a n +1 = a n +，则 a n =.n +1+、na n = n1项和所以数列｛a n + 1｝是等比数列.法—：由a i = 1，知a i + 1工0，从而a n + 1工0. 2a n + 1 + 1 _ 2(a n + 1)a n + 1 a n + 1 ｛a n + 1｝是等比数列.(2)由(1)可知 a n + 1= 2X 2n1= 2n ,「. a n = 2n - 1.6.数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1, S n +1 = 4a *+ 2(n € N ). (1)设b n = a n + 1 — 2a n ,求证：｛b n ｝是等比数列； ⑵设C n = 先，求证：｛C n ｝是等比数列. 3n — 1 证明：⑴由 S n + 1 = 4a n + 2 得 S i = 4a n - 1 + 2, a n + 1 = 5+ 1—S n= (4a n + 2)—(4a n -1+2)= 4a n—4a n-1( n 》2),即 a n +1 — 2a n = 2(a n — 2a n -1),••• b n = 2b n — 1(n >2, n € N )，又 b 1 = a ?— 2a 1 = 3, 二｛b n ｝是以3为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)知 a n + 1—2a n= b n = 3 2 ，于是有1n — 2a n — 2 a n — 1= 3 2 ,2n —2a 2 — 2n -1a 1= 3 2n -2 将以上n -1个等式叠加得 a n — 2n —1a 1= (n — 1) 3 2n —2,• a n = 3(n — 1)2n 2+ 2n 1a 1= (3n — 1) 2n 2(n A 2, n € N ),又n = 1时也满足此式，•• c n = ―—— = 2n 2,3n — 1 •-｛C n ｝是等比数列，公比是 2...a n +1+ 1 _ a n + 1 _ * 2(n €21a n—1 — 22a n —2= 3 2n — 222a n -2—23a n - 3= 32n — 2。