高数 第三章 导数的应用第三章 导数的应用

⒈ 极大值≠最大值，极小值≠最小值 ⒉ 极大值≯极小值 ⒊ 函数在极值点两边的增减情况一定不同。
左增右减则分界点为极大值点， 左减右增则分界点为极小值点。 ⒋ 函数图象在极值点处的切线平行于Ｘ轴， 即f'(x0)＝0
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[定理4.5]
如果点x0是函数f(x)的极值点，且f’(x0)存在， 则f'(x0)＝0。
第三章 导数的应用
一、一阶导数的应用 4.1 中值定理 [定理4.1] (罗尔中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且在两端点的函数值相等，
即f(a)＝f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a,b)， 使得f'(ξ)＝0
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罗尔定理的几何意义
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[单调区间的求法] ⒈求出f’(x)＝0的点x0及函数的间断点。 ⒉分析x0两边f’(x)的符号，若异号则x0为区间端
点，由此可求出单调区间。
例4.4 求函数f(x)＝x2-2x+2的单调区间 解：Ｄ＝(－∞,＋∞)，f(x)无间断点。
f'(x)＝2x-2，令f'(x)＝0，解得x＝1。 当x＜1时，f'(x)＜0，故f(x)在(－∞,1)上单减； 当x＞1时，f'(x)＞0，故f(x)在(1,＋∞)上单增。
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[推论1] 若函数f(x)在(a,b)内有f'(x)＝0，则f(x)在(a,b)
内为一常数。 证明：x1,x2∈(a,b)，在[x1,x2]上应用拉格朗日中值
定理有f(x2)－f(x1)＝f'(ξ)(x2－x1)，ξ∈(a,b) ∵f'(ξ)＝0，∴ f(x2)－f(x1)＝0，f(x2)＝f(x1) [推论2]
3
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函数图象如右:
y＝x-x3
[提示]
注意一种情况：
若f’(x)在x＝x0处为0，
但当x＜x0时f’(x)与
x＞x0时f’(x)同号，
y＝x3
则x0不是单调区间的端点。
如f(X)＝x3，x＝0就不
是单调区间的端点，f(X)
在(－∞,＋∞)上单增。
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[求函数极值点及极值的步骤] ⒈ 确定函数的定义域，求出导数f'(x)， ⒉ 解f'(x)＝0，求得定义域内的所有驻点， ⒊ 找出f(x)连续但不可导的所有的点， ⒋ 列表讨论f’(x)在各区间及各点的情况，以及
f(x)在各区间的增减情况， ⒌ 求出各极值点的函数值。
∵f'(x)＞0，∴f'(ξ)＞0 ∵x2－x1＞0，则 f(x2)－f(x1) ＞0， 即 f(x2)＞f(x1) 这就证明了f(x)在区间(a,b)内是单调递增的； 当f'(x)＜0时，f'(ξ)＜0， 则 f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x2)＜f(x1) 这就证明了f(x)在区间(a,b)内是单调递减的。
解：函数y＝x2－4x是初等函数， 所以在区间[1,3]上连续，在区间(1,3)内可导， f(1)＝－3，f(3)＝－3，f(1)＝f(3)， 满足罗尔定理的条件。 f'(x)＝2x－4，令2x－4＝0，解得x＝2
x∈(1,3)，∴x＝2这一点就是所求的ξ
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[定理4.2] (拉格朗日中值定理)
设函数f(x)在区间(a,b)内可导， 如果x∈(a,b)时 f’(x)＞0，则f(x)在(a,b)内单 调递增； 如果x∈(a,b)时 f’(x)＜0，则f(x)在(a,b)内单 调递减。
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证明： x1,x2∈(a,b)，不妨设x1＜x2， 根据拉格朗日中值定理有 f(x2)－f(x1)＝f'(ξ)(x2－x1)，ξ∈(a,b)
[习题选讲] P.188 4. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，且f(b)＞f(a)。试证：在(a,b)内存在一点c， 使f'(c)＞0 证明： ∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导 ∴根据拉格朗日中值定理，必存在ξ∈(a,b)满足
f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a) ∵f(b)－f(a)＞0，b－a＞0 ∴f'(ξ)＞0，则ξ即为所求点c。
使f'(x)＝0的点称为函数的驻点。 可导函数的极值点一定是驻点。但驻点并不一 定是函数的极值点。 例如， 函数y＝x3 ,f’(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点，
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[函数极值的判断方法]
设f(x)在点x0的邻域内连续并且可导(但在x0可以 不可导) ⑴如果在左邻域内f'(x)＞0，在右邻域内f'(x)＜0， 则x0是f(x)的极大值点； ⑵如果在左邻域内f'(x)＜0，在右邻域内f'(x)＞0， 则x0是f(x)的极小值点； ⑶如果在左、右邻域内f’(x)同号，则x0不是f(x)的 极值点。
ba
拉格朗日中值定理的意义是:
x=ξ
闭区间上的连续曲线y＝f(x)，
如果除两端点外每一点都可以作一条切线，那么至少
存在一点(ξ,f(ξ))，过这点的切线平行于弦AB
不难看出，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f(a)＝f(b)时的特殊情况。
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例4.2 求函数y＝x3在(-1,2)内满足拉格朗日中值定 理 f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a) 的ξ的值。
f'(x)＝1-3x2，令f'(x)＝0，解得x＝ 3 。
当x∈(－∞, 3 )时，f’(x)＜0，故f(x)在(－3 ∞,
3
f3(3x))上在单( 减3；, 当3 x)上∈单(增33；, 当33x∈)时(，3f’,＋(x∞)＞)时0，，故
33
3
f’(x)＜0，故f(x)在( 3 ,＋∞)上单减；
ba 根据罗尔中值定理，必存在一点ξ，
使φ'(ξ)＝f'(ξ)－
f
(b) b
f a
＝(a) 0，即f'(ξ)＝
f (b) f (a) ba
拉格朗日中值定理通常又写成 f(b)－f(a)＝f'(ξ)(b－a)。
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拉格朗日中值定理的几何意义
B
f (b) f (a) 表示弦AB的斜率， A
例4.6 证明：当x＞0时，ln(1＋x)＞ x 1 x2
证：构造函数f(x)＝ln(1＋x)-( x 1 x2) 2
2
Ｄ＝(－1,＋∞)，则f'(x)＝
1
x2
1 x
当 x＞0 时 f'(x)＞0
1 x
1 x
故f(x)在(0,＋∞)上单调增加，即 f(x)＞f(0)。
∵f(0)＝0，
∴当x＞0时，f(x)＞0，即ln(1＋x)＞ x 1 x2 2
记作y极大＝f(x0) (或y极小＝f(x0))， 称点x0为f(x)的一个极大值点(或极小值点)。 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小 值点统称为极值点。
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[说明]
函数的极值是一个局部的概念，它只表明f(x0) 与附近点的函数值的比较情况，而不是在整个区间 内的取值情况。因此
在[a,b]上的最大值； ⒉ x∈[a,b]都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)
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例4.5 确定下列函数的增减范围
⑴ 2 y＝ (x≠0) ⑵ y＝x－x3
x
解：⑴Ｄ＝{x|x≠0}，f(x)有间断点x＝0，
f'(x)＝
2 x2
＜0
(x≠0)，
故f(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上均为单调递减的。
⑵Ｄ＝(－∞,＋∞)，f(x)无间断点。
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4.2 函数的极大值和极小值 [定义]
如果函数y＝f(x)在点x0及其附近有定义，并且 x0不是定义区间的端点，若对x0附近所有的x(x≠x0) 都有 f(x)＜f(x0) (或 f(x)＞f(x0))，
则称函数在x0处取得极大值 (或极小值)， 称f(x0)是函数f(x)的一个极大值 (或极小值)，
1
1 2
(x2－x1)
∵|arctgx2－arctgx1|＝|
1
1 2
||(x2－x1)|，
并且| 1 |≤1
1 2
∴|arctgx1－arctgx2|≤|x1－x2|
当x1＞x2时同理可证。
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[定理4.3] (柯西中值定理) 如果函数f(x)和g(x)都在闭区间[a,b]上连续，在
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间
(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使
f'(ξ)＝ f (b) f (a)
ba
证明：
作辅助函数φ(x)＝f(x)－ f (b) f (a) x，
ba
则φ(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
且f(a)＝f(b)＝ bf (a) af (b) ，
开区间(a,b)内可导，并且g’(≠0，那么至少存在
g(b) g(a) g'( ) 一点ξ∈(a,b)，使得 f (b) f (a) f '( )
拉格朗日中值定理是柯西中值定理中g(x)＝x的特
殊情况。
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4.2 函数的增减性
一元函数的一阶导数的应用主要是判断函数的单 调性 [定理4.4]
这样的ξ 例如：在区间[－1,＋1]上
函数y＝1 不满足条件⑴，在x＝0处间断
x
函数y＝|x|不满足条件⑵，在x＝0处不可导
函数y＝ x 不满足条件⑶，两端点的函数值不相 等
所以，它们在指定的区间内都不存在这样的点ξ
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例4.1 验证函数y＝x2－4x在区间[1,3]上是否满足罗 尔定理的条件?如果满足，求ξ
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[讲解例题]
1
例4.7 求y＝ 3 x3－4x＋4的极值
解：y’＝x2－4，令y’＝0，得驻点x＝±2
当x＜－2时，y’＝x2－4＞0
当－2＜x＜2时，y’＝x2－4＜0
当x＞2时，y’＝x2－4＞0
因此当x＝－2时，函数y有极大值，
y极大＝1 (―2)3―4(―2)＋4＝28
x=ξ
定理内容 f(x)在闭区间[a,b]上 连续 在开区间(a,b)内可导
在两端点的函数值相等
a
b
几何意义
f(x)在[a,b]上是一条 连续曲线
曲线(除端点外)每点都 可作切线
曲线两端点的纵坐标相等
f'(ξ)＝0
该点的切线平行于X轴
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罗尔定理的三个条件
⑴ f(x)在[a,b]上连续 ⑵ f(x)在(a,b)内可导 ⑶ f(a)＝f(b) 只要不满足其中的任何一个条件，可能就不存在
解：∵f'(x)＝3x2，f(2)＝8，f(－1)＝－1 ∴f(2)－f(－1)＝3ξ2[2－(－1)] 即9＝9ξ2，ξ＝±1，舍去ξ＝－1，则ξ＝1
例4.3 当0≤a＜b，证明：eb－ea＞b－a 证明：
令f(x)＝ex， 则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件， 故存在ξ∈(a,b)使eb－ea＝eξ(b－a) ∵a≥0，ξ∈(a,b)∴ξ＞0，eξ＞1 则 eb－ea＞b－a
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5. 利用拉格朗日中值定理证明下列不等式
⑵ |arctgx1－arctgx2|≤|x1－x2| 证明：
令f(x)＝arctgx，不妨设x1＜x2，
则f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件
∵f'(x)＝ 1 ，
1 x2
∴arctgx2－arctgx1＝
当x＝2时3 ，函数y有极小值，y3极小＝－4
x (－∞,－2) －2 (－2,2)
2 3(2,＋∞)
f’(x) ＋
0
－
0
＋
f (x)
极大28
3
极小－4
3
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4.4 函数的最大值和最小值 函数的最大值和最小值是一个整体的概念，它是
表明函数f(x)在某一闭区间[a,b]内的取值情况的。 ⒈ x∈[a,b]都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)
若两个函数f(x)和g(x)在(a,b)内有f'(x)＝g'(x)， 则在(a,b)内f(x)－g(x)为一常数C。 证明：设φ(x)＝f(x)－g(x)
∵φ'(x)＝[f(x)－g(x)]'＝f'(x)－g'(x)＝0 根据推论1，∴φ(x)＝f(x)－g(x)＝C
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