2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-4
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-3
1.(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案] C[解析]∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评]直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A. 5B. 6C．2 5 D．2 6[答案] C[解析]x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为()A．2 2 B．3C．2 3 D．6[答案] C[解析]l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝2，则弦长|MN|＝2r2－d2＝2 3.4．(文)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l 对称，则直线l的方程为()A．4x－4y＋1＝0 B．x－4＝0C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0[答案] D[解析]两圆方程相减得4x－4y＋1＝9，即x－y－2＝0，选D.[点评]直线l为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切[答案] C[解析]两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝5<3，所以两圆相交．5．直线x sinθ＋y cosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C ．相交D ．以上都有可能[答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0[答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →·OB→＝2，则实数a 的值等于________． [答案] ±6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算． 设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝R 2·cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB →|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝±6. 8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析]∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝32，∵A到l的距离52，∴所求圆B的直径2r2＝22，即r2＝ 2.设B(m，n)，则由BA⊥l得n－6m－6＝1，又∵B到l距离为2，∴|m＋n－2|2＝2，解出m＝2，n＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条[答案] C[解析]由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y －mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A. (－33，33)B. (－33，0)∪(0,33)C. [－33，33]D．( －∞，－33)∪(33，＋∞)[答案] B[解析]曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m|1＋m2<1得，－33<m<33，且m≠0，故选B.3．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5[答案] B[解析]设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为 5.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋2＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为()A.π2 B ．π C ．3π D ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y ＝22x ，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为r ＝32＋(t －1)2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围． [解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2， ∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB→的取值范围为[－2,0)． 7．已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等．∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则( )A ．m ∥n 且n 与圆O 相离B ．m ∥n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 [答案] A[解析] 由点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点得，a 2＋b 2<|r |，即a 2＋b 2<r 2，直线OP 的斜率为k 1＝ba ，故直线m 的斜率k m ＝－1k 1＝－ab ，其方程为ax ＋by ＝a 2＋b 2，又直线n ：ax ＋by ＝r 2，故m ∥n ；另一方面，圆心O 到直线n ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|－r 2|a 2＋b2>r2|r |＝|r |，故直线n 与圆O 相离．2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 6．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．7．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38B.516C.58D.316 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.8．(2011·苏州市调研)已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A ，B ，M 均在圆上，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为1.所以d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-4ppt
A
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第1章
第四节
高考数学总复习
2x ＋a是奇函数， 解析：∵f(x)＝lg 1＋x
∴f(－x)＋f(x)＝0 恒成立， 即
－2x 2x ＋a＋lg lg ＋a 1＋x 1－x
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2x 2x ＋a ＋a＝0. ＝lg 1＋x x－1
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第四节
高考数学总复习
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而 g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．
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答案：B
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第四节
高考数学总复习
已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围
x＋1x＋a 设函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝ x
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第1章
第四节
高考数学总复习
(3)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，那么 f(0) ＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为 {0}，但逆命题不成立．若 f(x)为偶函数，则恒有 f(x)＝ f(|x|)． (4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
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1 ＝ x，比较 2
分析：奇偶性讨论的就是 f(－x)与 f(x)的关系，如果 题目中涉及 x 与－x 的函数值之间的关系， 一般考虑用奇 偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从 f(－x)＝± f(x) 入手．
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第1章
第四节
高考数学总复习
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-3
无实数解⇔两圆外离或内含．
第8章
第三节
高考数学总复习
3．圆系方程※ 具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方 程叫圆系方程． (1)同心圆系：设圆 C 的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0，则与圆 C 同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋λ＝0. (2)相交圆系：过两个已知圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1 ＝0 和 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的圆系方程为：
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第8章
第三节
高考数学总复习
经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条； 经过圆外一点 P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用 点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求 两条切线方程可得，若仅有一解，则另一条必为 x＝x0.
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第8章
第三节
高考数学总复习
(3)从圆外一点 P(x1，y1)引到圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 的切线，则点 P 到切点的切线长 d＝ x2＋y2＋Dx1＋Ey1＋F. 1 1 3．直线被圆截得的弦长： (1)几何方法：运用弦心距 d、半径 r 及弦的一半构成 直角三角形，计算弦长|AB|＝2· r2－d2. (2)代数方法：运用韦达定理求弦长 |AB|＝ [xA＋xB2－4xA·B]1＋k2. x
答案：D
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第8章
第三节
高考数学总复习
第8章 第三节
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高考y＋7＋5 2＝0. ②若 a＝0，则切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0， |－4k＋3| 4 由 ＝5 得 k＝－ ，即 4x＋3y＝0. 2 3 k ＋1 综上所述，所求切线方程为 x＋y＋7± 2＝0 及 4x 5 ＋3y＝0.
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-8
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分析：由 f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单 调性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．
第1章
第八节
高考数学总复习
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，由 f(x)的单调性及条件
k＋b＝1 知， 2k＋b＝2 k＝1 ∴ b＝0 k＋b＝2 或 2k＋b＝1
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 a>0
Δ>0 a<0
Δ＝0 a>0 a<0 {x|x∈ a>0
Δ<0 a<0
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二次不等式解集 ax ＋bx＋c<0
2
{x|x<x {x|x1< x<x2}
1
R且 ∅ x≠－ b } 2a ∅ R
或
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x>x2}
第1章
第八节
高考数学总复习
四、实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实 根的符号与系数之间的关系 1．方程有两个不相等的正实数根⇔ Δ＝b2－4ac>0， x ＋x ＝－b>0， 2 1 a c x1·2＝ >0； x a
图 象
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第1章
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 y> 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c
Δ>0 a>0 x<x1 或 x>x2 x1<x <x2 a<0
Δ＝0 a>0 x≠ a<0 x的
Δ<0 a>0 a<0 x的
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b 值不 x∈R 值不 － 2a 存在 存在 x≠ x的
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第8章
第一节
高考数学总复习
7．两直线的位置关系 对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
k1＝k2 且 b1≠b2 l1∥l2⇔________________
l1⊥l2⇔k1·2＝____. k －1 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)．
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第8章 平面解析几何
高考数学总复习
3． 圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概 念、性质)，通过大题考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求圆锥曲线的方程等． (1)圆锥曲线定义的应用；(2)圆锥曲线的标准方程； (3)圆锥曲线的几何性质，求离心率，求双曲线的渐近线； (4)直线与圆锥曲线相交弦长及位置关系判断；(5)焦点三 角形；(6)求参数的值或取值范围；(7)讨论最值．
x ＋x y1＋y2 2 1 P . ， 2 2
第8章 第一节
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高考数学总复习
3．直线的倾斜角与斜率
向上 (1)x 轴正向与直线______的方向所成的角叫做直线
的倾斜角， x 轴平行或重合的直线倾斜角为零度角． 与 因 此，倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180°.
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第8章 平面解析几何
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4．在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征．与 平面向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何 等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力．如结合 三角函数考查夹角、距离，结合二次函数考查最值，结 合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置 关系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查 直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热点，有时也与简 易逻辑知识结合命题．
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,物理,8-4
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A．质谱仪是分析同位素的重要工具 B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外
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C．能通过狭缝 P 的带电粒子的速率等于 E/B D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P，粒子的荷质 比越小
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磁强计：测量磁感应强度 B 的仪器．磁强计中有一块 导体，接有 a、b、c、d 四个电极，导体置于匀强磁场中， 如上图所示．a、b 间通有电流 I，c、d 间出现电势差 U. nqlU 由上面的讨论可得 B＝ ，则 B∝U.只要将磁强计在已 I 知的磁场中定好刻度，即可通过测量 U 来确定 B.
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霍尔效应
考点自清 如下图所示， 高为 h、 宽为 d 的导体置于匀强磁场 B 中，当电流通过导体时，在导体板的上表面 A 和下表面 A′之间产生电势差， 这种现象称为霍尔效应， 此电压称 为霍尔电压．设霍尔导体中自由电荷(载流子)是自由电 子，图中电流方向向右，则电子受洛伦兹力向上 ，在上 表面 A 积聚电子
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[解析] (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动， Bqv 由 mv2 BqR 1 2 1 BqR 2 ＝ 得，v＝ ，又 E＝ mv ＝ m( ) R m 2 2 m 2mE 所以 B＝ ，方向垂直于纸面向里 Rq (2)带电粒子每经过一个周期被电场加速二次，能量增 E 加 2qU，则：E＝2qUn，n＝ 2qU
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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),第4章 教师备课平台
第4章
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又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° . 根据勾股定理有， AB＝ AD ＋BD ＝
2 2
2 1 ＋ CD＝1000 42， 3 2
1．2AB≈7425.6，故实际所需电线长度约为 7425.6m.
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1 当 cosx<0 时， 可得－4mcosx≤2cos x＋ 对一切实数 x 都成 2
2
立，
1 ∴4m≤－2cosx－2cosxmin，
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1 1 而－2cosx－ ≥2，当且仅当 cosx＝－ 时取等号， 2cosx 2 1 故 4m≤2，即 m≤ . 2 综上，m
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第4章三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第4章教师备课平台 Nhomakorabea 高考数学总复习
三角函数综合应用，主要是指三角函数与函数、平面几何、 平面向量等知识的综合应用及三角函数在解决实际问题中的应 用．三角函数与其他数学知识都有着密切的联系，为此，对三 角函数的综合运用问题，应该在复习中给予足够的重视．
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[解析] (1)由 m∥n 得，f(x)· 1－cosx· 3sinx＋cosx)＝0， (
π 3 1 1 则 f(x)＝ 3sinxcosx＋cos x＝ sin2x＋ cos2x＋ ＝sin2x＋6 2 2 2
2
1 ＋ ， 2 2π ∴T＝ ＝π. 2
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第八章 第八节
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x y 已知直线 l： ＋ ＝1，M 是直线 l 上的一个动点， 4 3 过点 M 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，点 P 是线段 AB 的靠近点 A 的一个三等分点，则点 P 的轨 迹方程为________．
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5．常见的轨迹 (1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结 两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的 平分线． (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定 点为圆心，以定长为半径的圆．
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方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是(
)
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分析： B＝0⇔A＝0 或 B＝0， A· 但要保证其有意义． 本 题中限制条件为根号下的被开方数 x＋y＋1≥0.
x2＋y2－4＝0 解析：由题可得 x＋y－1≥0
化简得 ax1＋by1－a2－b2＝0. ∴所求点 P 的轨迹方程为 2ax＋2by－a2－b2＝0.
第八章 第八节
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解法 3：(参数法)(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜 1 率为 k1，依题意 k1≠0，∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－ . k1 l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)， 1 l2 的方程为 y－b＝－ (x－a)， k1 b 在①中令 y＝0，得 M 点的横坐标 x0＝a－ ， k1 ① ②
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,政治,阶段性测试题四
阶段性测试题四(必修一第四单元) 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分，考试时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，每小题2分，共50分)1．(2012·北京东城模拟)我国政府肩负着宏观调控的重任，为保障国民经济平稳运行经常会打出“组合拳”。
下列政策、措施最有可能成为“组合拳”的是()A．增加税收扩大国债发行规模提高存贷款利率B．紧缩性财政政策降低税率提高存贷款利率C．减小国债发行规模降低存贷款利率增加经济建设支出D．积极的财政政策增加货币发行量降低存贷款利率[答案] D[解析]本题主要考查考生对国家宏观调控政策的理解和运用。
解题时要注意“组合拳”这一关键信息，A中“增加税收”与“提高存贷款利率”可以配合使用，但此时应减小国债发行规模；B中“紧缩性财政政策”与“提高存贷款利率”可以配合使用，但此时应提高税率；C中“降低存贷款利率”与“增加经济建设支出”可以配合使用，但此时应扩大国债发行规模；只有D的组合效果才具有一致性，故选D。
2．(2012·大庆模拟)民以食为天，食品安全关乎千家万户。
观察下面漫画，保障食品安全()①应该遵循市场准入规则②要坚持诚实守信的市场交易原则③要充分发挥市场在资源配置中的基础性作用④要杜绝市场的自发性A．①②B．②③C．②④D．①④[答案] A[解析]本题主要考查市场经济的有关知识。
市场调节存在着固有的弱点和缺陷，④中“杜绝市场的自发性”的说法错误，排除④，③不是有效做法，故排除。
3．(2012·宜昌调研)2011年10月，有关“地沟油”回流餐桌的报道被媒体反复报道，引起政府部门高度重视，公民对此也非常关注。
在全社会要彻底解决“地沟油”这类问题的根本性措施应该是()A．增强消费者的监督意识B．建立健全社会信用体系C．加强政府宏观调控职能D．提高企业的社会责任感[答案] B[解析]本题考查课本基础知识，建立健全社会信用体系，是完善社会主义市场经济体制的客观要求，是建立现代市场体系的必要条件，也是规范市场经济秩序的治本之策。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学7-4
1.(2010·广东中山模拟)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 2．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋k ＋2＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[解析] 上述证明过程中，在由n ＝k 变化到n ＝k ＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.3．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 因为凸n 边形的边数最少为3，故验证的第一个值n 0＝3.5．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( )A ．S k ＋12(k ＋1)B ．S k ＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2[解析] S k ＋1＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 6．(2011·厦门月考)用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，左端为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；n ＝k ＋1时，左端为[(k ＋1)＋1]·[(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(k ＋k ＋1)·(k ＋k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)，故左端增加了2(2k ＋1)．7．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可以猜想：当n ≥2时，有__________________．[答案] 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) [解析] 观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n －1n. 8．如果不等式2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立，则n 0的最小值为________．[答案] 5[解析]当n＝1时，2>2不成立，当n＝2时，4>5不成立．当n＝3时，8>10不成立当n＝4时，16>17不成立当n＝5时，32>26成立当n＝6时，64>37成立，由此猜测n0应取5.1.观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案] D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.2．(2010·天津滨海新区五校)若f(x)＝f1(x)＝x1＋x，f n(x)＝f n－1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝( )A ．nB.9n ＋1C.n n ＋1D ．1[答案] A [解析] 易知f (1)＝12，f (2)＝23，f (3)＝34，…，f (n )＝n n ＋1；由f n (x )＝f n －1(f (x ))得，f 2(x )＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x 1＋3x ，…，f n (x )＝x 1＋nx，从而f 1(1)＝12，f 2(1)＝13，f 3(1)＝14，…，f n (1)＝1n ＋1，， 所以f (n )＋f n (1)＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝n .3.如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1、A 1A 2，A 2A 3是分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心，AA 3为半径画圆弧……这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度l n 为( )A ．(3n 2＋n )πB ．(3n 2－n ＋1)πC.(3n 2＋n )π2D.(3n 2－n ＋1)π2[答案] A [解析] 由条件知CA 1︵，A 1A 2︵，A 2A 3︵，…，A n －1A n ︵对应的中心角都是2π3，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π3(1＋2＋3)，第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n 圈长度为2π3[(3n －2)＋(3n －1)＋3n ]，故L n ＝2π3(1＋2＋3＋…＋3n )＝2π3·3n (1＋3n )2＝(3n 2＋n )π. 4．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.5．(2010·南京调研)已知：(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. [解析] (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C 2n ·2n －2 b n ＝a 22n －3＝2C 2n ＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 6．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论． [解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11， 那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n. 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确．①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N)时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k －1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n . 解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1，得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k＋11－a k ， ∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 7．(2011·湖南理，22)已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .[解析] (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此h (x )至少有两个零点．解法1：h ′(x )＝3x 2－1－ 12 x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x － 12 ，则φ′(x )＝6x ＋14x － 32 .当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法2：由h (x )＝x (x 2－1－x－ 12 )，记φ(x )＝x 2－1－x － 12 ，则φ′(x )＝2x ＋12x － 32 .当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0.①当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0，由此猜测：a n <x 0，下面用数学归纳法证明．a ．当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．b ．假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0.因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．②当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0，即a 3≥a ＋a ，从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a ，下面用数学归纳法证明．a ．当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．b ．假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立．故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .1．在数列{a n } 中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是____________．[答案] a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)2．(2011·广东湛师附中模拟)设n ∈N *，n >1，求证：1＋12＋13＋ (1)>n . [解析] (1)当n ＝2时，不等式左边＝1＋12>2＝右边． (2)假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)>k ，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>k ＋1k ＋1＝k (k ＋1)＋1k ＋1 >k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知对任何n ∈N *，n >1， 1＋12＋13＋…＋1n >n 均成立． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上． (1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n 2x中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n .令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2； 令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4； 令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)， 故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100＝68＋24×80＝1988，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010.[点评]由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k＋1或S k与S k＋1间的关系，使命题得证．。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-2
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第8章
第二节
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解析：设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－ 1)2＋32 解得：a＝2 半径 r＝ 2－5 ＋1 ＝ 10
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故圆的方程为(x－2) ＋y ＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
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点与圆的位置关系
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④圆与直线 l 相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应特别注 意圆与直线 l 相切于点 P 的含义． ⑤圆 C 截直线 l 得弦 AB， 则半弦 ＋弦心距 ＝半径
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.版Βιβλιοθήκη 第8章第二节高考数学总复习
(2011· 辽宁文，13)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两 点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为________．
第8章 第二节
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误区警示 1．解决有关轨迹问题时，要注意所求得轨迹方程表 示的曲线上的点是否都是满足题设要求的轨迹上的点． 2．与圆有关的最值问题，要特别注意是整个圆周上 的点，还是一段圆弧上的点． 3．确定圆的方程必须有三个独立条件，解题时要注 意通过分析找足条件，列出相应的方程．
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解析： 设圆上任一点为 Q(x0， 0)， 的中点为 M(x， y PQ x＝4＋x0 2 y)，则 －2＋y0 y＝ 2
x ＝2x－4 0 ，解得 y0＝2y＋2
，因为点 Q 在
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圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2＋y2＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2 0 0 ＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
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[例 4] (2012· 河南郑州)如图，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形， 其中 BA⊥AD， CD⊥AD， CD＝AD＝2AB， PA⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．
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(1)求证：BE∥平面 PAD； (2)若 BE⊥平面 PCD， ①求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； ②求二面角 E—BD—C 的余弦值． [分析] 建立适当的空间直角坐标系，利用向量来证明求 解．
[例 6] 请仔细阅读“正三角形内任意一点到三边距离之 和为定值”的证法． 如图甲所示，∵S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝S△ABC， 1 1 1 ∴ AB· PD＋ AC· PF＋ BC· PE 2 2 2 1 ＝ BC· AK， 2
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∵AB＝BC＝AC， 1 1 ∴ BC· (PD＋PF＋PE)＝ BC· AK， 2 2 ∴PD＋PF＋PE＝AK(定值)， ∴正三角形内任意一点到三边距离之和为定值．
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类比证明“棱长相等的四面体内任意一点到四个面的距离 之和为定值”．
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[证明] 如图乙所示，在四面体 A－BCD 中，P 为四面体 内的任意一点，它到四个面的距离分别为 PE、PF、PG、PH， 连接 PA、PB、PC、PD， 则 VA－BCD＝VP－ABC＋VP－BCD＋VP－CDA＋VP－DAB. 设四面体 A－BCD 的每个面的面积为 S，高 h，
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答案：(－3,0)或(3,0)
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高考数学总复习
椭圆与其它知识的综合
x2 y2 x2 [例 5] 曲线 ＋ ＝1 (m<6)与曲线 ＋ 10－m 6－m 5－n y2 ＝1 (5<n<9)的( 9－n A．焦距相等 C．焦点相同 ) B．离心率相等 D．有两顶点相同
F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |x|≤b，|y|≤a
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A
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关于 x 轴、y 轴和原点对称 (± a,0)，(0，± b) (0，± a)，(± b,0)
长轴长 2a，短轴长 2b c e＝ a (0<e<1)
第8章
第四节
高考数学总复习
误区警示 1．椭圆的定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨 迹是线段或不存在的情况． x y 2．椭圆 2＋ 2＝1(a>0，b>0)中，|x|≤a，|y|≤b 的范 a b 围在求有关最值时不要漏掉．
答案：8
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(理)(2011· 新课标全国高考)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心 率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的 2
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周长为 16，那么 C 的方程为________．
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1 答案： 2
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椭圆中的最值问题
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-5
1.(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m －x 22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为( )A.2 B ．2 C. 6 D ．2 2[答案] A[解析] 由条件知m ＋2＝4，∴m ＝2， ∴离心率e ＝22＝ 2.2．(2011·烟台调研)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D.x 2－y22＝1[答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝(2＋3)2＋1－(2－3)2＋1 ＝8＋43－8－43＝22， ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．(文)(2011·青岛一检)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] ∵F 1、F 2为双曲线的左右焦点，∴F 1(－10，0)，F 2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝210，故选B.(理)(2011·湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.4．(文)(2010·新课标全国文)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52[答案] D[解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b a x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2可得，c 2－a 2a 2＝14，化为e 2＝54，故e ＝52，故选D.(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C. 3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形，∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 5．(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±32xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x[答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c ＝4，由e ＝ca ＝2⇒a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝23，∵双曲线的焦点在x 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .故选D.6．如图，F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 1、A 2是双曲线的两个顶点，P 是双曲线上不同于A 1、A 2的点，则分别以A 1A 2、F 1P 为直径的两个圆( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能[答案] B[解析] 取PF 1的中点M ，连接OM ，PF 2， ∴|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，12|PF 1|－12|PF 2|＝±a ，即12|PF 1|－|OM |＝±a ，∴|OM |＝12|PF 1|±a ＝R ±a ，∴两圆相切．7．(文)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[答案] 3215[解析] 如图，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，F (5,0)，∴直线BF ：y ＝43(x －5)，解⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1y ＝43(x －5)得y ＝－3215， 又|AF |＝5－3＝2，∴S △AFB ＝12×2×3215＝3215.(理)(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a|PF 2|＝a，∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c，∴e＝ca≤2，∴1<e≤2.8．(2011·浙江杭州月考)双曲线x2－y2b2＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案] 5[解析]双曲线x2－y2b2＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx＋y＝0的距离：|bc|b2＋1＝b＝2，又a＝1.∴c2＝a2＋b2＝5，c＝ 5.∴双曲线的离心率e＝ca＝ 5.1.(文)(2010·天津理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1 B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1 D.x227－y29＝1[答案] B[解析]由题易知ba＝ 3 ①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则有a2＋b2＝36 ②由①②知：a＝3，b＝33，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1，故选B.(理)(2011·天津文，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴F (2,0)， 又a ＋p2＝a ＋2＝4，∴a ＝2，双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，且过点(－2，－1)， ∴a －2b ＝0，∴b ＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，2c ＝2 5.故选B.2．(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B.2或 3C.3或D.233或62 [答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba ＝3，此时e ＝2.3．(文)(2011·山东临沂一模)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c .又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，所以a ＝35c .代入c 2＝a 2＋b 2得ba ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0.(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m 2＝1 B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4) D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 [答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m4，c＝m2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m 216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m 4)4．(2010·福建理)若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] ∵a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP→＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74.又∵x ≥3(右支上任意一点) ∴OP →·FP→≥3＋2 3.故选B. 5．(2010·江西文)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝__________.[答案] 2[解析] 右焦点F (6,0)，A 点在双曲线上，有x 204－y 2032＝1⇒y 20＝8x 20－32，|AF |＝(x 0－6)2＋y 20＝(x 0－6)2＋8x 20－32＝9x 20－12x 0＋4＝2x 0⇒5x 20－12x 0＋4＝0⇒x 0＝2或x 0＝25，又由双曲线的几何性质，x 0≥2，∴x 0＝2为所求．6．(文)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA→＝512PB →，求a 的值． [解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a <2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)． ∵PA→＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0，∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960，∵a >0，∴a ＝1713.(理)(2011·江西理，20)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．[解析] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1由题意又有y 0x 0－a · y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝ca ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24，设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2 ①又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2， ②又A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c)(x 2－c)＝－4x 1x 2＋5c(x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.7．(文)(2010·江苏苏州)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m<n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k>04－k>0，即k<4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线．(2)解法一：由⎩⎨⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y 24－k ＝1化简得，(13－2k)x 2＋2(9－k)x ＋(9－k)(k －3)＝0∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1， 联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y 25－a 2＝1消去y 得，(5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k)＋(k －4)＝5，∴c＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F(－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF|≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－n d 21＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.(理)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a 2 ①由M(1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1即b 2＝3a 2 ② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝ca＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A(a,0)，F(2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0，故不妨设x1≤－a，x2≥a，|BF|＝(x1－2a)2＋y21＝(x1－2a)2＋3x21－3a2＝a－2x1，|FD|＝(x2－2a)2＋y22＝(x2－2a)2＋3x22－3a2＝2x2－a，|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1，或a＝－9 5.故|BD|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1·x2＝6连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A 处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．1．(2010·深圳市调研)若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点()A．在x轴上B．在y轴上C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上[答案] A[解析]由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为：x2－y2＝λ，将(m，n)代入x2－y2＝λ得：m2－n2＝λ>0，从而该双曲线的焦点在x轴上．2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 的值是( )A.54B.52 C.32 D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a.∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a 2＋14a 2a 2＝54， ∴e ＝52，故选B.3．(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1x 22a 2－y 22b2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.4.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有：D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧．( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR|. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR|＝2a ＝|RF 2|， 又|OP|＝12|RF 2|，∴|OP|＝a.6．(2010·广东四校)设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为( )A.14B ．1 C. 2 D ．2 2[答案] C[解析] ∵P 是曲线C 1与C 2的交点，∴联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x 23－y 2＝1解之得，|y|＝22，∴S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝ 2.故选C. 7．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案] a[解析] 令内切圆与F 1F 2的切点为G ，与PF 1的切点为H ，与PF 2的切点为K ，则(|PH|＋|HF 1|)－(|PK|＋|KF 2|)＝|F 1G|－|GF 2|＝2a ，又|F 1G|＋|GF 2|＝2c ，则|F 1G|＝a ＋c ，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-5
A
版
第八章
第五节
高考数学总复习
x2 y2 解析：由渐近线方程可设双曲线的标准方程为 － 3 4 ＝λ，把点(6,6)代入得 λ＝3. x y 所求方程为 － ＝1，故选 C. 9 12
2 2
人 教
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答案：C
第八章
第五节
高考数学总复习
(理)已知抛物线和双曲线都经过点 M(1,2)，它们在 x 轴上有共同的一个焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则 双曲线的标准方程是________．
人 教
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第八章
第五节
高考数学总复习
(文)(2011· 安徽合肥市质检)渐近线是 2x－ 3y＝0 和 2x＋ 3y＝0，且过点(6,6)的双曲线的标准方程是 ( ) x2 y2 A. － ＝1 3 4 x2 y2 C. － ＝1 9 12 y2 x2 B. － ＝1 4 3 y2 x2 D. － ＝1 16 12
F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2 |y|≥a，x∈R
人 教
关于 x 轴、y 轴和原点对称 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
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版
实轴长 2a，虚轴长 2b c e＝ (e>1) a x y b ± ＝0(或 y＝± x) a b a x y a ± ＝0(或 y＝± x) b a b
人 教
A
版
第八章
第五节
高考数学总复习
x2 y2 b 4． 双曲线 2－ 2＝1(a>0， b>0)的渐近线方程为 y＝± a b a y2 x2 a x，而双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± a b b b x(即 x＝± y)应注意其区别与联系． a 5．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 一个交点．
走向高考贾凤山高中总复习第3篇
《
思
想
方 法
围是
点
拨
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范
走 向
高
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高
考
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课
复
堂
习
·A
典 例
人
讲
教
练
版
数
课
学
堂
巩 固
解析：依题意得，c<b，即c2<b2，∴c2<a2－c2,2c2<a2，
训
练 故离心率
课 后 强
答案：C
化
作
业
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要 第三篇 第2章
点 自 主 归 纳
《
走
思
数 学
堂
巩 固
设方程为
＝1(m>0，n>0)，可以避免讨论和繁琐的
训
练 计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，这种形式在
课 后
解题中更简便．
强
化
作
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要 第三篇 第2章
点
自
主
归
纳
《
走
思
向
想
高
方 法
一、函数与方程的思想、待定系数法
考 》
点 拨
高
在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将
习 人
讲 练
即(x＋5)(x－5)＋y2＝0. 以下同解法1.
教 版
数
课
学
堂
巩
固
训
练
课 后 强 化 作 业
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1.(2011·东莞模拟)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 [答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.2．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m >01n >01m <1n，∴m >n >0，故互为充要条件．3．(文)(2011·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为()A ．－21B ．21C ．－ 1925或21D.1925或21 [答案] C[解析] 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.(理)(2011·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A.22 B.12 C.32D ．以上都不是 [答案] A[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e ＝ca ＝cos45°＝22，故选A.4．(2011·河北石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( )A.165 B ．3 C.163 D.253 [答案] A[解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.5．(2010·南昌市模拟)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( )A.513B.1213C.35D.45 [答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.6．(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．28 [答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝25，代入椭圆方程得y 2＝24225，即|y |＝245，所以S △PF 1F 2＝12×10×245＝24，故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝14 (1)由△PF 1F 2为直角三角形及c ＝49－24＝5得|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF 1|·|PF 2|＝48，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2 [答案] D[解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4， PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，故选D.7．(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6， 又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.8．(文)已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2|y |≤3是一个矩形区域，如图所示， 依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.1.(文)已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12 [答案] D[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.(理)(2010·浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] B[解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.2．(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2 [答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.故选C.3．(2011·浙江文，9)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3， ∴|OP |＝a3.则点P 坐标为(5a 15，25a 15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1. ①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝112b 2＝12.故选C.4．(文)设F 是椭圆x 225＋y 216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为()A.20082011B.1005201C.1004201D.53667 [答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201.(理)(2011·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2.则下列结论不正确的是( )A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．a 1c 2<a 2c 1D ．a 1c 2>a 2c 1[答案] D[解析] 依题意得，a 1>a 2，c 1>c 2，a 1＋c 1>a 2＋c 2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a 1－c 1＝a 2－c 2；由a 1>a 2，得1a 1<1a 2，又a 1－c 1＝a 2－c 2，因此a 1－c 1a 1<a 2－c 2a 2，即有c 2a 2<c 1a 1，a 1c 2<a 2c 1.因此，不正确的结论是D ，选D.5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以ba ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.6．(文)(2010·新课标全国文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．[解析] (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2. 解得b ＝22. (理)(2010·山东省实验中学)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP→＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得， (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2－k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， ∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2x 1x 2＝－2x 22， ∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0得49<m 2<4，此时Δ>0 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 7．(文)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2: 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2a b ＝2 3c ＝2，解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP→＝(x －m ，y )， 所以|MP→|2＝(x －m )2＋y 2 ＝(x －m )2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216.＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP→|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，ca ＝63，解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m由⎩⎨⎧y ＝x ＋m .x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m4， y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2，所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.1．(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．2．(2010·金华十校)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的椭圆左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15 [答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2010·胶州三中)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成3 1两段，则此椭圆的离心率为( )A.12B.13C.22D.33 [答案] C[解析] 椭圆中c 2＝a 2－b 2，∴焦距2c ＝2a 2－b 2，抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由题意知|F 1F |＝3|FF 2|，∴|F 1F 2|＝4|FF 2|， ∴c ＝2|FF 2|，即c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2，∴c ＝b ，∴c 2＝a 2－c 2，∴e ＝22. 5．(2011·银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是52，等比中项是6，且a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32B.133C.53D.13 [答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5a ·b ＝6，又因为a >b ，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2，所以椭圆的半焦距为c ＝5，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝53，故选C.6．(2011·天水一中期末)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.32[答案] A[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝3c，由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴3c＋c＝2a，∴e＝ca＝3－1.7．(2010·南充市)已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sin A＋sin Csin B＝________.[答案]5 4[解析]易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，sin A＋sin Csin B＝|BA|＋|BC||AC|＝54.。