对一道数学高考题的探究

对一道数学高考题的探究
一、原题再现
(2009年高考湖北卷数学理科第20题)过抛物线
22(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a (0)a >的直
线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 分别向直线
:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .
(Ⅰ)当2
p
a =时，求证：11AM AN ⊥.
二、证题分析 当2
p a =
时，点A 即为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，直线:l x a =-为抛物线2
2(0)y px p =>的准线.设211(,)2y M y p 、2
22(
,)2y N y p
，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -.要证明11AM AN ⊥，只需证明110AM AN ⋅=
，即证明12(,)(,)0p y p y -⋅-=，故只需证
明2120y y p +=，或者证明112
M AN π
∠=
.
三、题根追溯
1.(人教版第二册上第119页习题7)过抛物线22(0)y px p =>的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为1y 、2y ，求证：212y y p =-.
2.(新课标选修2-1第70页例5)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.
该题虽然没有要求证明212y y p =-，但是要证明直线DB 平行于抛物线的对称轴，也就是证明D 、B 两点的纵坐标相同.因为D 、O 、A 三点共线，于是可用A 点的纵坐标表示D 点的纵坐标，从而得出A 、B 纵坐标的关系.
四、一题八证
(证法一)设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -
、12(,)2
p
N y -，于是有11(,)AM p y =- ，12(,)AN p y =-
.
显然直线ＭＮ的斜率不为０，于是可设直线ＭＮ的方程为2
p
x ty =+
. 由222p x ty y px ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，得2220y pty p --=. 因为1y 、2y 是方程2
2
20y pty p --=的两个根，由韦达定理可得2
12y y p =-，所以
有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法二)设211(,)2y M y p 、2
22(,)2y M y p
.
因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN .所以221221()()02222
y y p p
y y p p ---=，整理
得2
12y y p =-.从而有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法三)由抛物线的定义可得11MN MA AN MM NN =+=+.
设211(,)2y M y p 、2
22(,)2y M y p
，则11(,)2p M y -、12(,)2p N y -.
将MN MA AN =+
222122y y p p p
++.整理
得
2212()0
y y p +=，于是有
2
12y y p =-.从而有
2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法四)设A 点内分MN 的比为λ，于是有22
1212
221201y y p p p y y
λλλλ
⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩.消去λ得2
12y y p =-.
从而有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法五)由新课标选修2-1第70页例5可知1M 、M 的纵坐标相同.由N 、O 、1M 三点共
线
，
得
2
12
p y y =-
，即
2
12y y p =-.从而有
2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法六)设抛物线的参数方程为2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩(t 为参数)，于是可设211(2,2)M pt pt ，
222(2,2)N pt pt .因为M 、N 为两个不同的点，所以12t t ≠.
由M 、A 、N 三点共线，可知//AM AN ，于是有22
1212()(4)0t t p t t p -+=.整理得
221240p t t p +=，即121
4
t t =-
.所以22121212224y y pt pt p t t p =⋅==-.从而有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法七)以抛物线的焦点为极点，则其极坐标方程为1cos p
ρθ
=
-，于是可知
(,)M ρθ、(,)N ρπθ+.所以212sin (sin )1cos 1cos p p
y y p θθθθ
=
⋅-=--+.从而有
2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=
，即11AM AN ⊥.
(证法八)由抛物线的定义可得1MM MA =，1NN NA =，于是有
11MM A MAM ∠=∠，11NN A NAN ∠=∠.
因
为
11
//MM NN ，所以
11M MA N NA π
∠+∠=，即
11(2)()MAM NAN πππ-∠+-∠=.于是得112
MAM NAN π
∠+∠=
.所以
112
M AN π
∠=
，即11AM AN ⊥.
五、证后反思
根据上述题目的证明过程，我们可以得出如下结论：
若过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与此抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为1A 、1B ，则11A F B F ⊥(等价于A 、B 两点的纵坐标之积为2
p -).
根据上述结论，我们猜想：椭圆和双曲线是否也具有上述类似的性质呢？现以椭圆为例，说明上述性质是抛物线特有的性质.
若过椭圆2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点F 的直线与该椭圆相交于A 、B 两点，过A 、B
两点分别向椭圆的焦点F 的相应准线引垂线，垂足分别为1A 、1B .
因为直线AB 的斜率不能为0，所以可设直线的方程为x ty c =+.
由22221
x ty c x y a
b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222224()20b t a y b cty b ++-=. ① 若设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有211(,)a A y
c ，2
12(,)a B y c
.
若11FA FB ⊥，则有4111220b FA FB y y c ⋅=+= .整理得4
122b y y c =-.由方程①得
412222b y y b t a =-+，于是有442222
b b b t a c
-=-+，解得2
1t =-.故不存在这样的直线，使得11FA FB ⊥.
若F 为椭圆的左焦点，我们同样可以证明直线不存在.另外，双曲线也不具有上述类似
的性质.所以，上述性质是抛物线特有的性质.
小结 本文通过对一道高考题的初步探究，通过“题根追溯”“一题八证”和“证后反思”，我们发现很多高考题都是“源于课本，高于课本”.在高考复习和平时学习过程中，同学们必须重视课本，既要重视习题，又要重视内容.同时，同学们要从多个角度思考问题，要重视数学思想和方法，解题后要善于总结，这样就可以放弃题海、减轻负担，从而取得理想的成绩.。