2009年广东高考数学理科卷第19题研究
2009年广东省高考数学试卷(理科)含详解-推荐下载
Ａ．①和②
Ｂ．②和③
Ｃ．.③和④
6．一质点受到平面上的三个力 F1, F2 , F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 F1, F2 成 600 角，
且 F1, F2 的大小分别为２和４，则 F3 的大小为
Ａ．６
Ｂ．２
Ｃ． 2 5
7．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、
A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面
C．在 t0 时刻，两车的位置相同
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 a1, a2 ,, an ，则图 3 所
示的程序框图输出的 s
．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
．
12．已知离散型随机变量 X 的分布列如右表．若 EX 0 ， DX 1 ，则
a
，b
．
（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线
B． t1 时刻后，甲车在乙车后面
D． t0 时刻后，乙车在甲车前面
，s 表示的样本的数字特征是
l1
:
x 1 2t,
参考公式：锥体的体积公式V 1 sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 3
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
１．巳知全集U R ，集合 M {x 2 x 1 2} 和 N {x x 2k 1, k 1, 2,}的关系的韦恩
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1.10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A.∅B.()3,4 C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3.已知ABC ∆中，12cot5A =-，则cos A = A.1213 B.513 C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B.5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
2009年高考试题——广东卷(数学理)扫描版
绝密★启用前试卷类型：B 2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分,，考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴•在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题冃指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液°不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔玻涂选做题的题号对应的信息点，再作答° 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回°参考公式：锥体的体积公式V =寺se其中S是镣体的底面积,人是锥体的高•一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，满分4（）分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集V = R,集合M <2| 和艸二\x\x =2^-1,A = 1,2,…｝的关系的韦恩（Venn）图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元索共有A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个2.设< 是复数，a（z）表示满足列=1的最小正整数n,则对虚数单位：，«（*） =A. 8B. 6C. 4D. 23.若函数y = f（x）是函数y = a\a > 0,且a H 1）的反函数，其图像经过点（舟,a）,则心）=A. log2x B・log护 D. x24.已知等比数列｛叫I满足a w > 0,n = 1,2,…,且佝•如-s = 2"（〃N 3），则当n > 1时,1叫2如 + + …+=22 D. 5 -l)2二、填空题:本大题共7小题,琴生作答6小题,毎小题5分，满分30分.（-）必做题（9 ~ 12题）9. 随机抽取某产品“件，测得其长度分别为5卫2 ,…，J 则图3所示的程序框图输岀的$ = ________ ,$表示的样本的数字特征是 _______________ .（注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“―”或“：="）10. 若平面向S.a.b 满足|a +, = l t a+b 平行于兀轴，b = （2,・1）,则 a = _________ . 已知椭圆G 的中心在坐标原点，长仙在*轴上， 离心率为专•，且G上一点到G 的两个焦点的飯 结束］ 2 图3离之和为12,则椭圆G 的方程为. ________________ . 5. 给定下列四个命题：① 若•个平面内的两条宜线与另一个平面都平行,那么这两个平血相互平行；② 若一个平面经过另个平面的垂线，那么这两个平面相互垂宜；③ 垂直尸同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直,那么一个平瓯内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂宜. 具中,为真命题的是A.①和② 出②和③ C.③和④ D.②和④6. —质点受到平而上的三个力巴,码,码（单位:牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F.,F 2 成60°角，冃许,F 2的大小分别为2和4,则P 3的大小为A. 6B. 2C. 2/5 •D. 2/7 7- 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项匸作，其余 三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36 种B. 12 种 C ・ 18 种 • D. 48 种8- 已知甲、乙两车由同-起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速 度曲线分别为卩甲和"乙（如图2所示）.那么对于图中给定的％和妇，卜'列判断中一定【E 确的是A.在柿时刻，甲年在乙车前面v(l) B. “时刻后，甲车在乙车后面 ■$=0, i-1 否▼C.在®时刻，两车的位置相冋\ r D・5时刻后■乙车在甲车前面kill图212. 已知离散型随机变量X 的分布列如右表•若EX = 0,（-）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两題）13. （坐标系与参数方程选做题）若直线= 1 为参数）与直线1/ = 2 + 竝・ ly = I - 2$.（$为参数）垂宜，则％ = _________ .14. （不等式选讲选做题）不等式 > 1的实数解为 _______ .15. （几何证明选讲选做题）如图4,点A 』，C 是圆0上的点，且AB = 49 AACB =45。
特别聚焦_2009年广东高考数学_理科卷_
面区域（含边界）为D． 设点P（s，t）是
L上的任一点， 且点P与点A和点B均
不重合．
（Ⅰ）若 点 Q 是 线 段 AB的 中 点 ，试
求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若 曲 线G：x2－2ax+y2－4y+a2+
51 =0与D有公共点，试求a的最小值． 25
失分原因：不习惯用数形结合思
维来考虑问题，难于审明题意，不能
（Ⅰ）忽 略 表 格 中 的 “鬼 头 ”，一 边 看文字表述和表 格 ，一 边 看 对 应 的 频 率分布直方图，可知6个小长方形的 面积和 为1，调 用 参 考 数 据 ，不 难 得x 的值为 119 ．
18250 （Ⅱ）顺 着 思 路 ，可 求 得 空 气 质 量 分别为良和轻微污染的天数分别为 119天、100天． （Ⅲ）求 出 一 年 之 中 的 任 何 一 天 空气质量为良或轻微污染的概率后， 分 别 计 算 一 周 中 至 少 有 0天 、1天 、2天 的空气质量为良或轻微污染的概率， 可发现它属于二项分布型的概率模 型，用间接法求得结果为 76653 ．
频率 组距
x 2 365 7 1825
3
1825 8
9125 0
API 50 100 150 200 250 300
图1
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）计 算 一 年 中 空 气 质 量 分 别
为良和轻微污染的天数；
（Ⅲ）求 该 城 市 某 一 周 至 少 有 2 天
的空气质量为良或轻微污染的概率． （结果用分数表示． 已知57=78125，27= 128 ， 3 + 2 + 7 + 3 +
概率与统计第7题2010年广州亚运会组委会要从小张小赵小李小罗小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译导游礼仪司机四项不同工作若其中小张和小赵只能从事前两项工作其余三人均能从事这四项工作则不同的选派方案共有a
2009年广东高考数学理科卷第19题研究
方程 组， ３万 名考生 联立 了方程 近 组但计算错误， ２２万名考生没有 约 ． 求 出中点 Ｑ的坐标或计 算错误 ． 说 明部分考生缺乏最基本 的数形结合 思 想方法 、最基本的运算 能力和一
５ ．函数 概 念 理 解 不 完 整 ． １２ １６
份样 卷正确求 出 了点 的轨 迹方 程 ，却只有 ２ １ ５ 份注意到了函数的 定义域． 在这 ２ １ ５ 份样卷中 ． 仅有 ５ ３ 份给 出了正确答案 ，有 １２份错误 ４
地认 为定 义 域 就 是 一 ＜ ＜ ． １ｘ ２
检测考生的具体形象思维 、想 象思
分 数 段
Ｏ
１
２
问题 解 决 能 力 ， 现 了 数 学 新 课 程 体 的理 念 与要 求 ． 第 （）问求 线 段 Ｐ 的 中 点 １ ９
均 分 显 然 不 能 令 人 满 意 ， 又 在 情 但 理 之 中 ． 卷 统 计 结 果 显 示 ：～ 样 ０ ２分 数 段 约 占 ４ ． ％， 题 平 均 分 如 此 ７６ 该 ４
数 段 ， 分 数 段 人 数 及 百 分 比例 如 各
下 表
４ 数 形 结 合 意 识 不 强 ． 有 画 ． 没
图或不结合图形进行分析， 为当 ａ 认 取最小值 时， Ｇ与 区域 Ｄ 的下 边 圆
函数 与方程等数学思想方法 ，旨在
考 查 考 生 理 解 直 观 与 严 谨 的关 系 ，
６ 曲 线 与 方 程 的 关 系认 识 不 ．
2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合中的元素共有（A）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个解：，故选A。
也可用摩根律：（2）已知=2+i,则复数z=（B ）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解：故选B。
(3) 不等式＜1的解集为（D ）（A）｛x (B)（C）(D)解：验x=-1即可。
(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A）（B）2 （C）（D）解：设切点，则切线的斜率为 .由题意有又解得: .(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D（6）设、、是单位向量，且• ＝0，则的最小值为( D )（A）（B）（C）(D)解: 是单位向量故选D.（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A）（B）（C）(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)解: 函数的图像关于点中心对称由此易得 .故选A(9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点，则,又.故答案选B（10）已知二面角为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4解:如图分别作，连，又当且仅当，即重合时取最小值。
2009-2014广东高考理科数学考点分析
几何证明、圆 周角定理
相似三角形的 性质
16
向量垂直、 同角 三角函数的基 本关系式、 和差角公式
三角函数的 周期、诱导公 式、同角关系 式、两角和的 余弦
特殊角三角 函数，二倍角 的正弦，余 弦，两角和的 余弦
特殊角三角函 数值，两角和 与差的正弦， 同 超几何分布列 及其数学期望、 数据处理 几何体的体积、 证明直线与平 面垂直、 求异面 直线所成的角
19
直线、抛物线、 动圆综合题： 中 点坐标公式、 用 代入法求轨迹 方程；动圆（圆 心在直线上） 与 抛物线的位置 关系， 点到直线 的距离
已知 Sn ，求
知 Sn 与 an 1
知 Sn 与 an 1 求 具体的前三项， 用数学归纳法 求 an （方法有 些特别）
已知数列 求 an ： 构造数 an ； 的递推关系， 列 成 等 差 数 求通项公式； 列；用放缩法 用构造、放缩 证明不等式 法证明不等 式；运算求解 能力与推理 论证能力
文氏图的含义、 数集的交集 集合的交集
6
向量加法的三 角形法则、 余弦 定理 计数原理： 特殊 位置、 特殊元素 优先考虑
几何体的三 视图、体积
线面，面面垂 直，平行的性 质（符号语言 表示） 双曲线的几 何性质求标 准方程
分层抽样
7
三视图的分 析及还原几 何体的体积
线线垂直与 平行的应用
8
定积分的物理 意义 算法与框图
直线、圆的参 数方程，直线 与圆的交点 坐标
圆的参数方 程，求圆的切 线，直线的普 通方程化极 坐标方程 圆中利用相 似求线段长
曲线的极坐标 方程化普通方 程，求交点的 直角坐标
15
几何证明、 圆周 角定理
2009年普通高校招生统一考试广东b卷(理数)
5
（１）求数列{xn}与{yn} 的通项公式；
（２）证明： x1 x3 x5 L x2n1
1 xn 1 xn
2 sin xn yn
数学（理科）试题Ｂ 第４页（共４页）
5
x （１）若曲线 y f (x) 上的点 P 到点 Q(0, 2) 的距离的最小值为 2 ，求 m 的值；
（２） k(k R) 如何取值时，函数 y f (x) kx 存在零点，并求出零点．
21．（本小题满分１４分）
已知曲线 Cn : x2 2nx y2 0(n 1, 2,K ) ．从点 P(1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn 0)
，表示的样本的数字特征是 =”）
．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：
5
１０．若平面向量 a,b 满足 a b 1， a b 平行于 x 轴， b (2, 1) ，则 a
．
11．巳知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 ，且 G 上一点到 G 的两 2
个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为
中，为真命题的是
Ａ．①和②
Ｂ．②和③
Ｃ．.③和④
Ｄ．②和④
6．一质点受到平面上的三个力 F1, F2 , F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 F1, F2
成 600 角，且 F1, F2 的大小分别为２和４，则 F3 的大小为
Ａ．６
Ｂ．２
Ｃ． 2 5
Ｄ． 2 7
7．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分
57 78125, 27 128, 3 2 7 3 8 123 ,365 73 5 ） 1825 365 1825 1825 9125 9125
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ＝=．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++Cn n a0b n，各项的通项公式为：Tr+1=C nr a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πＲ2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)考试大纲的说明(广东卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲的说明（广东卷）Ⅰ.命题指导思想坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。
Ⅱ.考试内容与要求一、考核目标与要求1. 知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。
各部分知识的整体要求以及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
（１）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它。
（２）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道之所见的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
（３）掌握：要求能对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测，想象，比较，判别，初步应用等。
2. 能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能以及应用意识和创新意识。
（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地解释揭示问题的本质。
2009年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2009年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个2．（5分）设z是复数，a（z）表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8 B．6 C．4 D．23．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．log2x B．C．D．x24．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣15．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．（5分）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A．6 B．2 C．2 D．27．（5分）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种8．（5分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10．（5分）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=．11．（5分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G 上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．12．（5分）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=，b=．X﹣1012P a b c13．（5分）若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=．14．不等式的实数解为．15．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．17．（12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0～5051～100101～150151～200201～2050251～300＞300级别ⅠⅡⅢⅢⅣⅣⅤ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．19．（14分）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．20．（14分）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g （x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．21．（14分）已知曲线C n：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线C n引斜率为k n（k n＞0）的切线l n，切点为P n（x n，y n）．（1）求数列{x n}与{y n}的通项公式；（2）证明：．2009年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•广东）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个【分析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，进而可得M与N 的元素特征，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．2．（5分）（2009•广东）设z是复数，a（z）表示z n=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】复数z n=1，要使i n=1，显然n是4的倍数，则a（i）=4．【解答】解：a（i）=i n=1，则最小正整数n为4．故选C．3．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=（）A．log2x B．C．D．x2【分析】欲求原函数y=a x的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵y=a x⇒x=log a y，∴f（x）=log a x，∴a==⇒f（x）=log x．故选B．4．（5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=1，2，…，且a5•a2n﹣5=22n （n≥3），则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=（）A．（n﹣1）2B．n2C．（n+1）2D．n2﹣1【分析】先根据a5•a2n﹣5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．【解答】解：∵a5•a2n﹣5=22n=a n2，a n＞0，∴a n=2n（n≥3），∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2（a1a3…a2n﹣1）=log221+3+…+（2n﹣1）=log2=n2．故选：B．5．（5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．6．（5分）（2009•广东）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A．6 B．2 C．2 D．2【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，∴，故选D7．（5分）（2009•广东）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12，共有选法12+24=36种，故选A．8．（5分）（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面【分析】利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．【解答】解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程=v乙dt=c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路dt=c+d+b；程=v乙从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A 正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故答案为A二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2009•广东）随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k（k∈R），则如图所示的程序框图输出的S=，s表示的样本的数字特征是平均数．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）【分析】由程序框图中的运算过程可以看出，当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，s的值代表的是前i个数的平均值，故可得s的表达式．【解答】解：依据流程线的方向进行运算知当i=1时，s=a1，i=2时，s=，i=3时，…，归纳知，此程序框图中的算法是求解n 个数的平均值，故程序结束时，s=；其数字特征是平均数故两个空就依次填；平均数．10．（5分）（2009•广东）若平面向量，满足，平行于x轴，，则=（﹣1，1）或（﹣3，1）．【分析】与x平行的单位向量有（1，0）和（﹣1，0），根据向量加法的坐标运算公式，构造方程组，解方程组即可求解．【解答】解：∵，平行于x轴，∴或（﹣1，0），则，或故答案为：（﹣1，1）或（﹣3，1）11．（5分）（2009•广东）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．【解答】解：由题设知，2a=12，∴a=6，b=3，∴所求椭圆方程为．答案：．12．（5分）（2009•广东）已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=，b=．X﹣1012P a b c【分析】根据题目条件中给出的分布列，可以知道a、b、c和之间的关系，根据期望为0和方差是1，又可以得到两组关系，这样得到方程组，解方程组得到要求的值．【解答】解：由题知，﹣a+c+=0，，∴，故答案为：；．13．（5分）（2009•广东）若直线（t为参数）与直线（s为参数）垂直，则k=﹣1．【分析】将直线（t为参数）与直线化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解．【解答】解：∵直线（t为参数）∴y=2+×k=﹣x+2+，直线（s为参数）∴2x+y=1，∵两直线垂直，∴，得k=﹣1．故答案为﹣1．14．（2009•广东）不等式的实数解为x且x≠﹣2．【分析】可直接转化为，两边平方去绝对值解决，注意|x+2|≠0【解答】解：且x≠﹣2故答案为：15．（5分）（2009•广东）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于8π．【分析】要求圆O的面积，关键是求圆的半径R，求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，===2R，求出圆的半径后，代入圆的面积公式即可求解．【解答】解：法一：连接OA、OB，则∠AOB=90°，∵AB=4，OA=OB，∴R=，=；则S圆法二：，则S=圆三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2009•广东）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．【分析】（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．（2）先利用φ和θ的范围确定θ﹣φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ﹣φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]根据两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，∴（2）∵0＜φ＜，，∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．17．（12分）（2009•广东）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0～5051～100101～150151～200201～2050251～300＞300级别ⅠⅡⅢⅢⅣⅣⅤ状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0，50]，（50，100]，（100，150]，（150，200]，（200，250]，（250，300]进行分组，得到频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．（结果用分数表示．已知57=78125，27=128，，365=73×5）【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立等量关系，解之即可；（2）空气质量分别为良和轻微污染，在频率直方图中在第二组和第三组，求出这两组的频率分别再乘以365即可求出所求；（3）先求出该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率，然后根据对立事件的概率和为1求出气质量不为良且不为轻微污染的概率，根据概率公式即可求出一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率．【解答】解：（1）由图可知x=1﹣×50，解得；（2）一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为：，；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为．18．（14分）（2009•广东）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E 是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线FG1⊥平面FEE1；（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．【分析】（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界即为四边形DE 1FG1，面积为，由题意可证EE1为该棱锥的高，代入体积公式可求；（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴；要证直线FG1⊥平面FEE1⇔FG1⊥FE，FG1⊥FE1⇔，利用空间向量的数量积可证；（3）异面直线E1G1与EA所成角⇔所成的角，利用公式可求；【解答】解：（1）依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影E1、G1，则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，连接EE1、EG1、ED、DE1，则所求为四棱锥E﹣DE1FG1的体积，其底面DE1FG1面积为=，（3分）又EE1⊥面DE1FG1，EE1=1，∴．（6分）（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E1（0，2，1）、G1（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），则，，，∴，，即FG1⊥FE，FG1⊥FE1，又FE1∩FE=F，∴FG1⊥平面FEE1．（10分）（3），，则，设异面直线E1G1与EA所成角为θ，则．（14分）19．（14分）（2009•广东）已知曲线C：y=x2与直线l：x﹣y+2=0交于两点A（x A，y A）和B（x B，y B），且x A＜x B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（2）若曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与D有公共点，试求a的最小值．【分析】（1）欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），即要求x，y间的关系式，先利用x，y列出点P（s，t）的坐标结合点P在曲线C上即得；（2）处理圆与D有无公共点的问题，须分两种情形讨论：当时和当a ＜0时．对于后一种情形，只须只需考虑圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离即可，从而求得求a的最小值．【解答】解：（1）联立y=x2与y=x+2得x A=﹣1，x B=2，则AB中点，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），则，即，又点P在曲线C上，∴化简可得，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则，即，∴中点M的轨迹方程为（）．（2）曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0，即圆E：，其圆心坐标为E（a，2），半径由图可知，当时，曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点；当a＜0时，要使曲线G：x2﹣2ax+y2﹣4y+a2+=0与点D有公共点，只需圆心E到直线l：x﹣y+2=0的距离，得，则a的最小值为．20．（14分）（2009•广东）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x 平行，且y=g（x）在x=﹣1处取得极小值m﹣1（m≠0）．设．（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）﹣kx存在零点，并求出零点．【分析】（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．（2）先根据（1）的内容得到函数y=f（x）﹣kx的解析式，即（1﹣k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）依题可设g（x）=a（x+1）2+m﹣1（a≠0），则g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；又g'（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2∴a=1∴g（x）=（x+1）2+m﹣1=x2+2x+m，，设P（x o，y o），则=当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值当m＞0时，解得当m＜0时，解得（2）由（x≠0），得（1﹣k）x2+2x+m=0（*）当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当k≠1时，方程（*）有二解⇔△=4﹣4m（1﹣k）＞0，若m＞0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；若m＜0，，函数y=f（x）﹣kx有两个零点，即；当k≠1时，方程（*）有一解⇔△=4﹣4m（1﹣k）=0，，函数y=f（x）﹣kx有一零点综上，当k=1时，函数y=f（x）﹣kx有一零点；当（m＞0），或（m＜0）时，函数y=f（x）﹣kx有两个零点；当时，函数y=f（x）﹣kx有一零点．21．（14分）（2009•广东）已知曲线C n：x2﹣2nx+y2=0（n=1，2，…）．从点P（﹣1，0）向曲线C n引斜率为k n（k n＞0）的切线l n，切点为P n（x n，y n）．（1）求数列{x n}与{y n}的通项公式；（2）证明：．【分析】（1）设直线l n：y=k n（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0得（1+k n2）x2+（2k n2﹣2n）x+k n2=0，则△=（2k n2﹣2n）2﹣4（1+k n2）k n2=0，由此可知，（2）由题设条件知，令函数，则=0，得，再由函数f（x）在上单调递减可知．【解答】解：（1）设直线l n：y=k n（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0得（1+k n2）x2+（2k n2﹣2n）x+k n2=0，则△=（2k n2﹣2n）2﹣4（1+k n2）k n2=0，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令f′（x）=0，得，给定区间，则有f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，即在恒成立，又，则有，即．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
2009年高考数学(广东.理)含详解
，
x = 1 − 2t , (t为参数) y = 2 + kt.
直线 l2 :
x = s, s为 y = 1 − 2 s.
x +1 x+2
≥ 1 的实数解为
．
15 ．(几何证明选讲选做题 ．
的点，姓且
AB = 4, ∠ACB = 450 ，则圆 O 的面积等于
a, b 满 足 a + b = 1 ， a + b
．
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m
行于 x 轴，
b = (2, −1) ，则 a =
11． 知椭圆 G 的中心在坐标原点， 长轴在 x 轴 ， 离心率为 且G 程为
3 ， 2
一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方 ．
12． 知离散型随机 X的 列如右表．若 EX = 0 ， DX = 1 ，则 a = b= ． 选做题 13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题 13． 坐标系 参数方程选做题 若直线 l1 : 参数 垂直，则 k = 14． 等式选讲选做题 ． 等式
组，得到频率 直方 如 5姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓姓 1 求直方 中 x 的值 姓姓 以 计算一 屮空气质 别为良和轻微污染的天数 姓 3 求该城 某一周至少有以天的空气质 为良或轻微污染的概率.姓 (结果用 数表示． 知姓 行
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m
17． 本小题满 令以 姓 根据空气质 指数 A布I 为整数 的
，可将空气质
级如 表:姓
对某城
一
365 天
的空气质
进 行 监 测 ， 获 得 的 A布I 数 据 按 照 区 间
2009年高考数学广东卷理科19题探析
2009年高考数学广东卷理科19题探析
庞新军
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】2009年高考数学广东卷理科19题是一道平面解析几何题，它考查的内容注重基础，强化主干知识，综合了多种数学思想，不仅符合考试大纲中“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求，还注重在知识网络的交汇处设计试题，多角度、多层次地检测考生潜能和素质．
【总页数】2页(P25-26)
【作者】庞新军
【作者单位】广州市第一中学 510163
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.这也是一种精彩——由一道课本例题获得2009年全国高考数学福建卷（理科）第19题的最优解） [J], 张月媚
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3.2006年高考数学广东卷19题蕴含的数学思想赏析 [J], 吴松根
4.2005年高考数学（广东卷）第（19）题典型解题错误评析 [J], 林姬祎
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2009年广东高考数学理科卷第19题研究
题目:(满分14分)已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交
于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB.记曲线C在点A和点B
之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.
(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值.
一、总体分析
数学探究性问题是新课程实施后较受重视的一类问题,
其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵活多样,是高考命题
的热点.2009年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考查考生理解直观与严谨
的关系,检测考生的具体形象思维、想象思维与逻辑思维水平;考查考生的推理论证能力、运算求解能力和问题探究能力;
考查考生的创新意识和问题解决能力,体现了数学新课程的
理念与要求.
第(1)问求线段PQ的中点M 的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备已知与未知相互转化的数学思想,就能顺利作答.点P是已知的,点Q是可求的,点M是未知的,且3个点互相关联,用未知点M来表示已知点P,再通过点P的轨迹方程,即可得点M的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求a的最小值,立意新颖灵活,考查学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨能力,对数学问题的探究与质疑、反思能力.
从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆G过点A时, a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是本题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭.
二、得分情况统计
随机选取约33.6万份样卷进行统计,该题满分14分,第(1)(2)问各7分.考生平均得分3.23分,标准差3.18,将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及百分比例如下表: 作为倒数第三大题,这样的平均分显然不能令人满意,但又在情理之中.样卷统计结果显示:0～2分数段约占47.64%,该题平均分如此之低就不足为奇了.
实际上,考生只需把直线l与抛物线C的方程联立成方程组,即得1分;正确求出点A或点B的坐标,得2分;正确求出中点Q的坐标,得3分.全省约33.7万名理科考生中,约10.8万名考生没有联立成方程组,近3万名考生联立了方程组但计算错误,约2.2万名考生没有求出中点Q的坐标或计算错误.说明部分考生缺乏最基本的数形结合思想方法、最基本的运算能力和一些最基本的公式法则,也说明双基教学中尚存在某些欠缺.
三、典型错误统计
随机抽取4786份样卷进行分析,存在以下7种典型错误情形.
1. 心理素质差.918份0分卷中,共有853份空白卷,约占全部样卷的17.82%.
2. 运算能力差.192份样卷在计算点Q坐标时,出现错误,约占全部样卷的4.01%.
3. 逻辑思维能力差.受线性规划思想影响,考生依赖思维定势,错误地认为a取最小值时,圆G过点A.
4. 数形结合意识不强.没有画图或不结合图形进行分析,认为当a 取最小值时,圆G与区域D的下边界相切,从而把圆G与抛物线C的方程联立,出现错误.
5. 函数概念理解不完整.1162份样卷正确求出了点M的轨迹方程,却只有251份注意到了函数的定义域.在这251份样卷中,仅有53份给出了正确答案,有142份错误地认为定义域就是-1xT2,即+2>,解得a∈(-2,4).
参考解法1或解法2,可求得a=±.因为±∈(-2,4),故满足条件的a的最小值为-.
解法4 利用正弦定理.
如图2,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,易知点R的坐标为(0,2).依题意,只需考虑aRN=,故在线段AB上可取点N,使RN==GN,再取GR=a=,则∠GNR=90°,从而sin能取到最大值1,此时a的最小值为-.
(2)若点N与点R重合,则点G 的坐标是(-,2).综合(1)与(2)知, 满足条件的a的最小值为-.
解法5 利用导数求函数极值.
曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=.设线段AB上的动点N(u,u+2),u∈[-1,2],则GN2=(a-u)2+(2-u-2)2= ,即a=u±.
如图2,要使a取得最小值,圆G应在y轴左边且应与线段AB相交,此时a0,f ′(u)单调递增.于是a=f(u)在u0∈[-1,2]处取得极小值,而f(u0)=u0-=-,所以满足条件的a的最小值为-.
五、问题拓展
好的数学高考题如同一瓶好酒,越品越香醇. 从发展学生思维的灵活性和提高学生的数学探究能力而言,本题具有很好的研究和教学价值. 现提出以下两个问题供读者研究、品味.
问题1:若圆G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,且其他条件不变,试求a的最大值.
问题2:若圆G′:(x-a)2+(y-2)2=r2与D有唯一公共点B,且其他条件不变,试求a的最大值和最小值.
责任编辑罗峰。