高中数学 2.3.2 抛物线的几何性质课件 新人教B版选修1-1
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
最新人教版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学1.范围：抛物线y 2=2px(p ＞0)上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 方法点拨 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率.2.对称性：抛物线y 2=2px(p ＞0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3.顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y 2=2px(p ＞0)的顶点是坐标原点.4.离心率：抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示.由抛物线的定义可知，e=1.误区警示 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.5.抛物线的焦半径：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径.抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|x 0+2p |=2p +x 0； 抛物线y 2=-2px(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|x 0-2p |=2p -x 0； 抛物线x 2=2py(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|y 0+2p |=2p +y 0； 抛物线x 2=-2py(p ＞0)的焦半径公式为|PF|=|y 0-2p |=2p -y 0. 6.直线与抛物线的相关关系（1）位置关系：直线与抛物线可以相交，这时直线与抛物线有两个公共点；直线与抛物线也可以相离，这时直线与抛物线没有公共点；直线与抛物线还可以相切，这时直线与抛物线只有一个公共点.知识拓展 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于y 2=2px(p ＞0)，当直线为y=y 0，即k=0，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点；当k≠0，设l:y=kx+b ，将l:y=kx+b 代入y 2=2px(p ＞0)，消去y ，得到关于x 的二次方程ax 2+bx+c=0.若Δ＞0，直线与抛物线相交；Δ=0，直线与抛物线相切；Δ＜0，直线与抛物线相离.（2）相交弦长：弦长公式为d=21||k a +∆，其中a 和Δ分别是ax 2+bx+c=0（*）中二次项系数和判别式，k 为直线l:y=kx+b 的斜率.当代入消元消掉的是y 时，得到ay 2+by+c=0，此时弦长公式相应的变为：d=211||ka +∆. （3）焦点弦：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦为焦点弦.设两交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 抛物线y 2=2px(p ＞0)，|AB|=p+(x 1+x 2)；抛物线y 2=-2px(p ＞0)，|AB|=p-(x 1+x 2).当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线x 2=2py(p ＞0)，|AB|=p+(y 1+y 2)；抛物线x 2=-2py(p ＞0)，|AB|=p-(y 1+y 2).（4）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦为通径.显然通径d=2p.7.抛物线的法线：过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线.经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角.知识拓展 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用.例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的.反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的.问题·探究问题 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应讨论抛物线的哪些几何性质？结合图象请你思考y 2=2px 与x 2=2py(p>0)的范围一样吗？探究：在前面我们学习椭圆和双曲线时都讨论了他们的范围、对称性、顶点、离心率等性质，此外双曲线还有渐进线.因此对于抛物线的性质我们也可以从这几个角度入手考虑.经过研究可以发现抛物线没有渐进线，因此我们只需要考虑它的范围、对称性、顶点、离心率等性质即可.画出y 2=2px 与x 2=2py(p>0)的图象后，我们从图象上可以看出这两个函数的范围是不一样的.典题·热题例1已知抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，并且经过点M(32,3-)，请问这样的抛物线有几条？并求出其方程.思路分析：本题考查抛物线性质及标准方程的求法.根据题目意思：抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，此时符合条件的抛物线有4条，再由条件这条抛物线经过定点，因此其范围被缩小到2条.解：因为抛物线关于坐标轴对称，顶点为坐标原点，所以应分两种情况：焦点在x 轴上，可设其方程为y 2=2px(p≠0)；焦点在y 轴上，可设其方程为x 2=2my(m≠0).又抛物线经过点M(32,3-)，∴(32-)2=2p(3)或(3)2=2m(32-)；∴p=32，m=43-.即所求方程为y 2=34x 或x 2=23-y. 故这样的抛物线共两条，一条开口向右，一条开口向下.其方程分别为y 2=34x 或x 2=23-y. 方法点拨 在求解抛物线方程时，若不知抛物线开口方向时，可设参数p≠0；而不知对称轴为何轴时，研究方程应分两种情形.例2已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2222by a x -=1的一个焦点，且这条准线与双曲线的两个焦点连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点(x 6,23)，求抛物线和双曲线的方程. 思路分析：本题主要考查利用抛物线的性质求抛物线的标准方程以及抛物线与双曲线的综合应用.本题中抛物线的准线过双曲线的焦点即是两者之间的一个重要联系点.解：设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)，根据点(x 6,23)在抛物线上可得(6)2=2p·23，解之得p=2；故所求抛物线方程为y 2=4x ，抛物线准线方程为x=-1.又双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴c=1，即a 2+b 2=1. 故双曲线方程为22221a y a x --=1. 又点(6,23)在双曲线上，∴221649a a --=1, 解得a 2=41，同时b 2=43. 因此所求双曲线的方程为434122y x -=1. 方法归纳 用待定系数法解决问题是常用的求轨迹方程的方法；当已知双曲线的c 或e 时，设方程时，建议用一个字母(如a)表示.例3给定抛物线y 2=2x ，设A(a ，0)(a>0)，P 是抛物线上的一点，且|PA|=d ，试求d 的最小值. 思路分析：本题考查抛物线几何性质的综合应用.抛物线上某点到定点的距离我们可以根据距离公式设出来，然后根据题给条件求最值.解：设P(x 0，y 0)(x 0≥0)，则y 02=2x 0，∴d=|PA|=12)]1([2)()(20202020-+-+=+-=+-a a x x a x y a x∵a>0，x 0≥0，∴当0＜a ＜1时，1-a>0，此时当x 0=0时，d min =12)1(2-+-a a =a. 当a≥1时，1-a≤0，此时当x 0=a-1时，d min =12-a. 误区警示 虽然d 的目标函数f(x 0)是根号下关于x 0的二次函数，但由于x 0和a 都有限制条件，必须分类讨论求最小值，否则会出错.例4过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l ，设l 交抛物线于A 、B 两点，(1)求|AB|；(2)求|AB|的最小值.思路分析：本题考查抛物线的焦点弦及通径问题.经过抛物线的焦点的直线方程我们可以设出来，然后联立该方程与抛物线的方程得到一个方程组，即可解得其关系.解：(1)当θ=90°时，直线AB 的方程为x=2p .由⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22p x px y得A(2p ，-p)、B(2p ，p).∴|AB|=2p. 当θ≠90°时，直线AB 的方程为y=(x-2p )tanθ.由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,tan )2(2px y p x y θ 得tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+42p ·tan 2θ=0. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1+x 2=θθ22tan tan 2p p +， ∴|AB|=x 1+2p +x 2+2p =p+θθ22tan tan 2p p +=θ2sin 2p . (2)由(1)知，当θ=90°时，|AB|最小值为2p.深化升华 求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径，利用焦半径公式结合韦达定理来求，过焦点的最短弦(与对称轴垂直)是抛物线的通径.。
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.3-2.3.1抛物线及其标准方程-课件
【答案】 (1)x2＝12y
(2)D
1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等 于它到准线的距离， 因此， 抛物线定义的功能是可以把点点距转化 为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．
∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 设其方程为 y2＝－2px(p＞0)， 将点 M(－6,6)代入，可得 36＝－2p×(－6)， ∴p＝3. ∴抛物线的方程为 y2＝－6x；
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p＞ 0)， 将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6， ∴p＝3， ∴抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
【解析】 (1)由抛物线的定义，点 A 到焦点的距离等于它到 p 准线的距离，而 A 到准线的距离为 4＋ ＝4＋1＝5.(2)由题意，动 2 圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线 x＋1＝0 的距离大 1，故动圆 圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2 为准线的抛物线，其方程为 y2＝8x.
【答案】 (1)D (2)A
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
2.3 抛物线 2．3.1 抛物线及其标准方程
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 掌握抛物线的定义， 掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应 的焦点、准线． 2．过程与方法 掌握对抛物线标准方程的推导， 进一步理解求曲线方程的方法 ——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概 括的能力．
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-1椭圆及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
∵a＝4，c＝ 15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1. 16 x2 y2 综上所述，所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1 或 ＋ 16 16 x2＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例3]
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 (1)将方程整理得， 2 ＋ 2 ＝1； k
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2 >2 依题意 k ，解得 0<k<1. k>0 x2 y2 (2)将方程化为：2m＋ ＝1， 1－m 2m>0 依题意1－m>0 2m>1－m 1 ，解得3<m<1.
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1 A(0,2)，B2，
3.
0 4 m＋n＝1 ∴ 1 ＋3＝1 4m n
m＝1 ，解得 n＝4
，
y2 即所求椭圆方程为 x2＋ ＝1. 4
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所 x2 y2 求椭圆方程为m＋ ＝1(m>0)， m＋5 4 9 又椭圆经过点(2，－3)，则有 ＋ ＝1， m m＋5 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)， x2 y2 即所求椭圆的方程为10＋15＝1. [说明] 1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一
即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝ 10. ∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16. 由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A，B，C三点不
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
p 则 3＋ ＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x， 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 6， 2 ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是 x＝2.
人 教 B 版 数 学
(选修1-1)
[说明] 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最 短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，
连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点
在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移， 转变为(1)的情形即可.
人 教 B 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
向上．设所求抛物线为 y2＝－2p1x(p1>0)或 x2＝2p2y(p2>0)， 2 9 把点(－3,2)代入，得 p1＝ ，p2＝ .∴所求抛物线方程为 y2 3 4 4 9 2 ＝－ x 或 x ＝ y. 3 2
[说明] 判断抛物线的开口方向，用待定系数法求 之．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析]
如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)， 人 教
B 版 数 学
准线方程x＝－1.
(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1
研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦 点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始 终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称， 离心率不变总为 1.
已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上， 直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等 于 4，求此抛物线的标准方程．
●教学流程
演示结束
1.掌握抛物线的几何性质及抛物 课标 线性质的应用．(重点) 解读 2．掌握直线与抛物线的位置关 系．(难点)
抛物线的几何性质
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物 线 y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
【提示】 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)．
图 2－3－3
(1)求抛物线的方程； (2)过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求直线 MN 的方程． 【思路探究】 (1)根据题意你能求出 p 的值吗？ (2)M 点的坐标是多少？直线 MN 的斜率呢？
p 【自主解答】 (1)抛物线 y ＝2px(p＞0)的准线为 x＝－2，
2
p 于是 4＋ ＝5，p＝2，∴抛物线的方程为 y2＝4x. 2 (2)由题意知 A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)， 4 ∴kFA＝ . 3 3 又 MN⊥FA，∴kMN＝－ ， 4 4 则直线 FA 的方程为 y＝ (x－1)， 3 3 直线 MN 的方程为 y－2＝－ x，即 3x＋4y－8＝0. 4
学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可 能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的 实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比 ——探索——应用”的探究式学习方法， 增加学生参与的机会， 使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维 的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想 法、观察分析法、练习巩固法． 这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．
【数学】2.3 《抛物线》课件(新人教B版选修1-1)
本节主要内容包括：
1、抛物线的概念；
2、抛物线的标准方程、图像；
3、抛物线的性质；
4、抛物线的基本元素.
作业 作 业
读书部分： 书面部分：
抛物线的定义：在平面内作与一个定点 和一条定直线的距离相等的点的轨迹
l
┑
抛物线
F
抛物线的焦点 抛物线的准线
方 程
图 像
y
l O F x l O x F x l l F x
范 围 对称性 顶 点
x≥0 y∈R 关于 x轴 对称 原点 (0,0) 关于 y轴 对称
y2
y2
= 2px （p＞0）
= -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0）
y
F
x≤0 y∈R x∈R y≥0
x∈R y≤0yO源自x2= -2py （p＞0）
y
O
抛物线的基本元素
基本点：顶点，焦点 基本线：准线，对称轴 基本量：P
y
o
x
图 形
y
l O F x l O
焦 点
准 线
方 程
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
p x 2
p x 2 p y 2
y2 = 2px
（p＞0） y2 = -2px
（p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0）
抛物线的应用
抛物线的几何性质在技术上有广泛的应用，探照 灯、汽车前大灯的反射镜和太阳灶反射面的轴截 面就是抛物线的一部分。
y
O
F
x
抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水下降1米后，水面宽多少？
【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2章末
纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．x＝1 C．x＝2 [答案] B B．x＝－1 D．x＝－2
(
)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆
x1＋x2 锥曲线部分题型，可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点( ， 2
y2＝2px 1 y1＋y2 y1＋y2 1 2 ∴ 2 ＝2， 2 )， y2＝2px2
1 |PF2|－|PF1|＝2.当点 P 的纵坐标是2时， P 到坐标原点的 点 距离是 6 A. 2 C. 3 3 B.2 D．2 ( )
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c＝
2 2
1 2，a＝1，b＝1，∴双曲线的方程为 x －y ＝1，把 y＝ 代 2 1 5 2 入双曲线方程，得 x ＝1＋4＝4. 5 1 6 6 ∴|OP| ＝x ＋y ＝ ＋ ＝ ，∴|OP|＝ . 4 4 4 2
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[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而 且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加 以解决．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
PQ 是∠F1PF2 的外角平分线，F1Q⊥PQ 与 F2P
的延长线交于点 A.如图所示．则△APF1 是等腰三角形， ∴|PF1|＝|AP|， 从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a. 1 ∵O 是 F1F2 的中点，Q 是 AF1 的中点，∴|OQ|＝2|AF2| ＝a.∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．故选 A.
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
2
当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
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k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
2
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.3-2.3.2抛物线的几何性质-课件
【问题导思】 1．直线与抛物线有哪几种位置关系？
【提示】 三种：相离、相切、相交．
2． 若直线与抛物线只有一个交点， 直线与抛物线一定相切吗？
【提示】 不一定， 当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与 抛物线相交时，也只有一个交点．
直线与抛物线的位置关系与公共点 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数
【自主解答】
y＝kx＋1 由 2 y ＝4x，
得
k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 1 当 k＝0 时，方程变为－4x＋1＝0，x＝ ，此时 y＝1. 4 1 ∴直线 l 与 C 只有一个公共点( ，1)， 4 此时直线 l 平行于 x 轴． 当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程： Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k.
【解】 由题意，抛物线方程为 y ＝2px(p≠0)，焦点 p 直线 l：x＝ ， 2 ∴A、B
p p 两点坐标为2，p，2，－p ，
2
p F2，0 ，
∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB 的面积为 4，
1 p ∴ · 2|p|＝4，∴p＝± 2 2. · 2 2
2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系： 直线与抛物线相切时， 只有一个公共点， 但是不能把直线与抛物线 有且只有一个公共点统称为相切， 这是因为平行于抛物线的对称轴 的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．
抛物线的几何性质
【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线 y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
【提示】 范围 x≥0，关于 x 轴对称，顶点坐标(0,0)．
标准 方程 图形 顶点 对称轴
2020人教版高二数学选修1-1(B版)电子课本课件【全册】
2.2.1 双
曲线及其标准方程
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
1.3.2 命题的四种形式
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线级其标准方程
本章小结
第三章 导数及其应用
3.数的导数
3.2.3 导数的四则运算法则
3.3.2 利用导数研究函数的极值
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题与量词 命题
1.1.1
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1.1.2 量词
什么是数
理逻辑
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第二章 圆锥曲线与方程
2020人教版高二数学选修1－1(B版) 电子课本课件【全册】
2.1 椭圆
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1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
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1.2.2 “非”（否定）
2020人教版高二数学选修1－1(B 版)电子课本课件【全册】目录
0002页 0065页 0120页 0162页 0248页 0341页 0432页 0472页 0517页 0556页 0594页 0633页 0646页 0684页 0728页 0794页
第一章 常用逻辑用语
1.1.2 量词
【数学】2.3.2《抛物线的几何性质》课件(新人教B版选修1-1)
(−
)=
(
)的抛物线有几条求出它们的标 ?
例 斜 为 的 线l 经 抛 线 = x 率 直 过 物 y 的 点 ,且 焦 F 与抛 物线 交 A, B两 ,求 相 于 点 线 段AB的 . 长
析 由 物 分 抛 线的 程 以 到它 焦 方 可 得 的 点 标 直 l 斜 为 坐 ,又 线的 率 ,所 可 求 直 以 以 出 ,可以求出 线l 的 程与抛物线的方程联立 方 ;
F B
x
是 | F B 于 得 AB|=| AF | + | B |=| B `|= x + x + . 由 可 ,只 求 A, B的 此 见 要 点 横坐 标之 x + x , 和 就 可以 出 AB| . 求 |
解 由 意 知 p= , 题 可 ,
p
y
= ,
焦 F( , ),准 l : x = − .如 点 线
(或由韦达定理得x + x
=
)
所 ,线 AB的 是 . 以 段 长
例 过 物 焦 F的 线 抛 线 点 直 交 物 于 , B两 , 通 点 抛 线 A 点 过 A 和抛物 顶 的 线 抛 线 点 直 交 物 线 准线于 D,求证: 直 的 点 线 D 平 于 物 的 称. B 行 抛 线 对 轴
l
y
A
o
D
F B
x
图 . −
p () 坐标为 y = − . y ( 由( )、 )得, DB // x轴, 故DB 平行于抛物线的对称轴.
? 你还有其他证明方法吗
A`
O
A
图 . − ,设 ( x , y ), B( x , y ), A
B`
【数学】2.2.2《双曲线的几何性质》课件(新人教B版选修1-1)
y
B2
图 过 y 的 如 ,经 A, A 作轴 平 O F A A F x a 过 x 行 x=± ,经 B, B 作 线 B , 条 轴 平 线 =±b 四 直 的 行 y 线 成 个 形 . − ). 围 一 矩 (图 图 . − 矩 的 条 角所 的 形 两 对 线在 x y 几 画 实 可 看 直 的 程 ± = .由 何 板 验 以 线 方 是 a b x y , 曲 到双 线 − = 的 支 处 伸 ,与 两 各 向 延 时 这 a b
. .
曲 的 单 何 质 双 线 简 几 性
比 圆 何 质 研 方 ,我 根 类 椭 几 性 的究 法 们 据 曲 的 准 程 双 线 标 方 x y − = (a> ,b> a b 研 它 几 性. 究 的 何 质
)
()
思 类 椭 几 性 的究 认 考 比 圆 何 质 研,你 ,你 为 研 双 线 应 究 曲 x y − = (a> ,b> ) 的 些 质 哪 性 ? a b 如 研 这 性? 何 究 a 所表示的区域内.
称 对 性
x y 类 研 椭 比 究 圆 + = a b (a>b> ) 对 性 方 , 称 的 法 易 到 曲 关 x 轴 容 得 ,双 线 于 、 y轴 原 都 对 的 和 点 是 称 .这 , 标 是 曲 的 时坐 轴 双 线 对 轴 点 双 线 对 称 ,原 是 曲 的 称
F1
y
B2
b O a
N Q M
A1 B1
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
高二数学选修1、2-3-2抛物线的简单几何性质
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第二章
圆锥曲线与方程
[点评]
解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物
线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线 焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时， 此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径， 教 则此弦不可能过焦点．
由|FA|＝2得x1＋1＝2，x1＝1 所以A(1,2)，同理B(4，－4)，所以直线AB的方程为2x ＋y－4＝0.设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0，y0)，
第二章
第二章
圆锥曲线与方程
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线
的标准方程．②求抛物线上的一点到其他元素的距离的最 值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可 分析最值对应的数学元素的意义．
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
2
(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x，y)，
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第二章
圆锥曲线与方程
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第二章
圆锥曲线与方程
1．范围
因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛
，这说明 ．
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物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线 在y轴的 右 侧；当x的值增大时，|y|也 增大 抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 越开阔 2．对称性
叫做抛物线的 e＝ . 1
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离心率 ，用e表示，按照抛物线的定义，
2.3.2抛物线的几何性质课件人教B版高中数学选修1-1
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。
4、开口方向
抛物线y2 =2px（p>0）的开
口方向向右。
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
y
2
4x
消y得：x2 6x 1 0 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
A
No
l
法1：解得：x1 3 2 2，x2 3 2 2Image
y1 2 2 2，y2 2 2 2 B
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 8
（三）：课堂小结
• 1：知识小结 • 2：方法小结 • 3：布置作业：
书面作业：课本第64页第1,2,3，4题；
08.12.1
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p ,0) 2
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
人教B版选修1-1高中数学2.3.2《抛物线的几何性质》ppt课件(二)
研一研·题型解法、解题更高效
试一试 研一研 练一练
方法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 方程为 y＝kx－p2 (k≠0)．
本 专 题
由y＝kx－p2
得 ky2－2py－p2k＝0.
栏 目
y2＝2px，
开 关
由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，∴y2＝－y1p2.
研一研·题型解法、解题更高效
试一试 研一研 练一练
因为点 F 的坐标是p2，0， 所以直线 AF 的方程为 y＝y202－pyp02x－p2，
本 专 题 栏 目 开
其中 y02≠p2.
⑤
联立①⑤，可得点 B 的纵坐标为 y＝－py02.⑥
由④⑥可知，DB∥x 轴．
关 当 y02＝p2 时，结论显然成立．
试一试 研一研 练一练
2.3.2 抛物线的几何性质(二)
【学习要求】
本 专
1.提升对抛物线定义、标准方程的理解，掌握抛物线的几何特性.
题 栏
2.学会解决直线与抛物线相交问题的综合问题．
目
开
关
试一试·双基题目、基础更牢固
试一试 研一研 练一练
1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在 x 轴上，其上一点
关 能使这条抛物线方程为 y2＝10x 的条件是________(要求填
研一研·题型解法、解题更高效
证明 方法一 设直线 AB 的方程为 y＝kx－p2，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，C－p2，y2.
联立方程组，得y＝kx－p2，
本 专
y2＝2px，
题 栏 目
消去 x，得 y2－2kpy－p2＝0，