高二数学复习学案：选修2-3,1.3二项式定理(含答案)
人教版高中数学选修2-3《1.3 二项式定理》
) C.30 D.35
1 6 【例 2】 (2017 课标Ⅰ高考) (1 2 )(1 x) 展开 x 2 式中 x 的系数为( C )
A.15 B.20 C.30 D.35
1 1 6 6 解： (1 2 )(1 x) (1 x) 2 (1 x) 6 x x
6
2
65 15 (1 x) 的展开式中的 x 的系数为 C 2 1 1 2 6 4 (1 x ) 的展开式中的 x 的系数为 C6 15 2 x
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
D
) C.74 D.-121
【例 1】 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的 3 展开式中,含 x 的项的系数是( D ) A.121 B.-74 C.74 D.-121
9
4
4 9
5 126 121
【典型示例】
类型一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
【例 1】 (2017 浙江湖州高三考试) 在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8 的展开式中, 含 x3 的项的系数是( A.121 B.-74
得 k 0, r 0 或 k 2, r 1
2 1 所以展开式中的常数项为 (2)3 C3 (2)C2 20
1 3 【例 3】 (2017 浙江高考冲刺卷) ( x 2) x
D 展开式中的常数项为( )
高二数学选修2-3：1.3.1二项式定理学案
1.3.1二项式定理学习目标：
1.初步掌握二项式定理.
2.提高学生对代数式的运算、变形能力.
3.深化对组合数的认识.
4.进一步培养学生观察、归纳的能力.
学习重点：二项式定理.
学习难点：二项式定理的应用
学习方法：尝试、变式、互动
一、课前预习
定理内容：
二项式系数
项的系数
二. 二项式定理的简单应用
例1求的二项展开式.
例2 求的二项展开式的第6项
例3 求的展开式的第4项的二项式系数和系数
例4.求(x-12y-2z)8 的展开式中x 6
yz 的系数
三 练习
1.写出
7
（p+q)的展开式
2．求
6
23)a b +（展开式的第3项
3．写出
展开式的通项
4．求 展开式中含9a 项的系数
5．求 展开式中的常数项
6.在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 2的系数为__________
n 2151)a a
+（81)x x
-（。
高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案
二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！ ＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。
高中数学选修2-3精品学案：习题课 二项式定理
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：______________；(2)性质：C k n＋1＝______＋______；(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的______取得最大值，即______最大；当n 是奇数时，中间的______相等，且同时取得最大值，即____________最大；(4)二项式系数之和：____________________________，所用方法是__________________．类型一二项式定理的灵活应用命题角度1两个二项式积的问题例1(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.反思与感悟两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一B ．二C ．三D ．四反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512015＋a 能被13整除，则a ＝________. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x .1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．102.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20D ．203．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7D ．84．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－65．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．(3)分别求解再相乘，求和即得．2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．[答案]精析知识梳理1．C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n C k n (k ＝0,1，…，n ) C k n a n －k b k 2．(1)C m n ＝C n －m n (2)C k －1n C k n (3)一项2C nn两项 1122CC n n nn -+=(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n赋值法 题型探究例1 (1)120 (2)－1[解析] (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.∴x 2的系数为C 25＋a C 15，则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.跟踪训练1 D [令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，故(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项即为(2x －1x )5的展开式中1x 与x 的系数之和．(2x －1x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k x 5－2k (－1)k ，令5－2k ＝1，得k ＝2， ∴展开式中x 的系数为C 25×25－2×(－1)2＝80， 令5－2k ＝－1，得k ＝3，∴展开式中1x 的系数为C 35×25－3×(－1)3＝－40， ∴(x ＋1x )(2x －1x )5的展开式中常数项为80－40＝40.]例26322[解析] 方法一 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25， ∴展开式的通项为11k T ＋＝15C k ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －(2)1k (k 1＝0,1,2，…，5)． 当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 15k －的展开式的通项公式为21k T '＋＝215C k k -⎝⎛⎭⎫x 2125k k －－⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝215C k k -⎝⎛⎭⎫12125k k －－·1252k k x －－(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝1. ∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝6322.方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5 ＝132x 5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.跟踪训练2 解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44，显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.例3 A [求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N *)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．] 跟踪训练3 1[解析] ∵512015＋a ＝(52－1)2015＋a ＝C 020********－C 12015522014＋C 22015522013－…＋C 20142015521－1＋a ，能被13整除，0≤a <13.故－1＋a 能被13整除，故a ＝1.例4 解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3， T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3432.(2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k ≤10.4.∵0≤k ≤n ，k ∈N *，∴k ＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项，即T 11＝(12)12·C 1012·410·x 10＝16896x 10. 跟踪训练4 解 依题意得2n －22n －1＝－112， 整理得(2n －16)(2n ＋14)＝0，解得n ＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C 48(2x )4(x lg x )4＝1120，化简得x 4(1＋lg x )＝1，所以x ＝1或4(1＋lg x )＝0， 故所求x 的值为1或110.当堂训练1．C 2.C 3.C 4.D 5.128。
高中数学(人教版)选修2-3学案：1.4.2二项式定理
1.4.2二项式定理
【学习目标】
进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活应用.
【自主学习】
1.在应用二项式定理解决问题的时候,要注意二项式定理中二项展开式中的哪些问题？
2．如何解决三项或三项以上的展开问题？
3.如何根据通项公式求常数项、有理项和系数最大的项？
【自主检测】1．6)x 2
x (+展开式中常数项是
2．7)21(+展开式中有理项的项数是
3．113)x
1x (-展开式中的中间两项为 【典型例题】
例1．已知()()n m x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中
含2x 项的系数最小值.
例2．已知41
()2n x x -的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项. 例3. 若n 是3的倍数，求证：13-n 是13的倍数.
【课堂检测】
1．若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a =（ ）
A ．32
B ．1
C ．-1
D ．-32
2．=++++n n n 2n 21n 0
n C 3C 3C 3C . 3. 203)5
15(+的展开式中的有理项是展开式的第 项. 4. 求()()811x x -+的展开式中5x 的系数.
【总结提升】
本节课我们主要探究了下面两个方面的问题：
1.已知二项式，求其展开式中的特定项或特定项的系数；
2.整除问题.。
高中数学选修2-3优质学案：1.3.1 二项式定理
1．3.1 二项式定理[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一二项式定理(a＋b)n＝______________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有__________项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做________________．知识点二二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第__________项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝________________.思考1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？思考2二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？题型一二项式定理的正用、逆用例1利用(a＋b)n的二项展开式解题．(1)求(a＋2b)4的展开式；(2)求(2x－32x2)5的展开式．反思与感悟运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．跟踪训练1(1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．题型二二项展开式通项的应用例2若(x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项．反思与感悟利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第k项、常数项、含某字母的r次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．跟踪训练2在(2x2)8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数．题型三二项式定理的应用例3(1)试求199510除以8的余数．(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．反思与感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练3已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除．对组合数及展开式中的常数项理解不透致误 例4 求(x ＋1x －1)5的展开式中的常数项．错解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x)5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)， 而(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1，…，5－r )． 欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5， 而0≤r ≤5,0≤k ≤5－r ，k ，r ∈N *，∴有三组解⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，k ＝0，∴所求常数项为C 15C 24(－1)，C 35C 12(－1)3和C 55C 00·(－1)5，即－30，－20和－1. 错因分析 错解中出现了C 00这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑(x ＋1x )5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对n ∈N *适用．当r ＝5时，5－r ＝0，此种特殊情况应特殊处理．还有概念的理解错误，一个展开式中只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项． 正解 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x ＋1x )5－r ·(－1)r (r ＝0,1,2，…，5)． 当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1. 当0≤r ＜5时，(x ＋1x )5－r 的展开式的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·(1x )k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k (k ＝0,1,2，…，5－r )．欲求常数项，令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5. ∵0≤r ＜5，且k ，r ∈N *，∴r 只能取1或3，相应的k 值分别为2或1，即⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1.∴常数项为C 15C 24(－1)1＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.点评 常数项其实也是二项式的特定项．求特定项或特定项的系数，可以先写出二项式的通项，根据通项的特点，求出相应的r 的值，再代入通项求特定项或其系数．1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n2．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A ．33B ．29C ．23D ．193．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．104．二项式(2x ＋1x 2)6的展开式中，常数项是________．5．若(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为15，则a ＝________.1.注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．提醒：完成作业 第一章 1.3.1[答案]精析知识梳理 知识点一C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (2)n ＋1(3)二项式系数 知识点二k ＋1 C k n an －k b k 思考1 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．思考2 不同．(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项为C k n a n －k b k ，而(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项为C k n bn －ka k .题型探究例1 解 (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 3(2b )＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－32x 2)＋C 25(2x )3·(－32x 2)2＋C 35(2x )2(－32x 2)3＋C 45(2x )(－32x2)4＋C 55(－32x 2)5＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10. 跟踪训练1 解 (1)方法一 (3x ＋1x )4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·(1x)2＋C 34(3x )·(1x )3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 (3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2[C 44(3x )4＋C 34(3x )3＋C 24(3x )2＋C 14·3x ＋1] ＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.例2 解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n·12， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(124x)k ＝C k 8·2－k·x 344k -，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.跟踪训练2 解 (1)T 5＝T 4＋1＝C 48(2x 2)8－4(－13x)4＝C 48·24·x 203，所以第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1120. (2)(2x 2－13x)8的通项是C r 8(2x 2)8－r(－13x)r ＝(－1)r C r 8·28－r·x7163r-.由题意，得16－73r ＝2，解得r ＝6，因此，x 2的系数是(－1)6C 68·28－6＝112. 例3 (1)解 199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1. (2)证明 32n ＋2－8n －9 ＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182①.①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 跟踪训练3 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n 1－2＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． 当堂检测1．C 2.B 3.D 4.240 5.12。
高中人教A数学选修2-3学案：1.3.1 二项式定理 含答案
1.3二项式定理1.3.1二项式定理自主预习·探新知情景引入牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？新知导学二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝__C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)__称为二项式定理二项式系数各项系数__C r n__(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项C r n a n－r b r是展开式中的第__r＋1__项，可记作T r＋1＝C r n a n－r b r(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)备注在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝__1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n__(n∈N＋)预习自测1．(x －1x )5的展开式中含x 3项的二项式系数为( D )A ．－10B ．10C ．－5D ．5[解析] T r ＋1＝C r 5·x 5－r (－1x )r ＝(－1)r C r 5·x 5－2r ， 令5－2r ＝3，则r ＝1.∴x 3项的二项式系数为C 15＝5． 2．二项式(x 2＋2x)10的展开式中的常数项是( B ) A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项[解析] 通项T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·(2x)r ＝2r ·C r 10·x 20－5r 2 ，令20－5r 2＝0得r ＝8，∴常数项为第9项．3．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为__60__.(用数字作答)[解析] (1－2x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x r ，当r ＝2时，T 3＝C 26(－2)2x 2＝60x 2，所以x 2的系数为60．4．(浙江高考)设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝__－10__．[解析] T r ＋1＝C r 5x 5-r 2 (－1)r ·x －r 3 ，令5－r 2－r 3＝0得r ＝3，所以A ＝C 35(－1)3＝－10．互动探究·攻重难互动探究解疑求二项展开式中特定的项典例1 (2020·三明高二检测)已知(x －2x)n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：(1)n 的值；(2)展开式中含x 3的项． [解析] (1)因为T 3＝C 2n(x )n －2(－2x)2＝4C 2n x n -62 ，T 2＝C 1n (x )n －1(－2x ) ＝－2C 1n x n -32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162， 所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9． (2)设第r ＋1项含x 3项，则 T r ＋1＝C r 9(x )9－r (－2x)r ＝(－2)r C r 9x 9-3r2 ，所以9－3r2＝3，r ＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3．『规律总结』 运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．特别提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a －b )n 的形式． ┃┃跟踪练习1__■在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．[思路分析] 首先由第6项为常数求项数n ，再根据通项公式求x 2项的系数和有理项． [解析] T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x)r＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13 )r ＝(－12)r ·C r n ·x n -2r3 ．(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r 3＝0，∴n ＝10．(2)令10－2r3＝2，得r ＝2， ∴所求的系数为C 210(－12)2＝454． (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k ．∵0≤r ≤10，∴0≤5－32k ≤10，∴－103≤k ≤103，又∵k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2，∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5，C 810·(－12)8·x －2． 即454x 2，－638和45256x 2． 命题方向❷二项式定理的正用和逆用典例2 (1)计算：(2020·潍坊高二检测)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝__x 5－1__．(2)用二项式定理展开：(2x －32x 2)5． [解析] (1)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＋1－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1．(2)(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－32x 2)＋C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10． 『规律总结』 1.展开二项式可按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．┃┃跟踪练习2__■(1)用二项式定理展开：(3x ＋1x)4； (2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n ．[解析] (1)解法一：(3x ＋1x )4＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2·(1x )2＋C 34(3x )(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2．解法二：(3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x2(1＋3x )4 ＝1x 2[1＋C 14(3x )＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4) ＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2． (2)1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n ＝C 0n ＋21C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n＝(1＋2)n ＝3n ． 命题方向❸二项式系数与项的系数问题典例3 (1)求二项式(2x －1x)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(x －1x)9的展开式中x 3的系数．[思路分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．[解析] (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·(－1x)r ＝(－1)r C r 626－r ·x 3－32 r ∴T 6＝－12·x －92．∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12．(2)T r＋1＝C r9x9－r·(－1x)r＝(－1)r·C r9·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84．『规律总结』 1.二项式系数都是组合数C r n(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．┃┃跟踪练习3__■(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是__－120__．[解析]由多项式乘法的运算法则可知，(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是(1－2x)5展开式中x3项的系数的2倍与(1－2x)5展开式中x2项的系数的和．∵(1－2x)5展开式的通项为T r＋1＝(－2)r C r5x r，令r＝3得到x3项的系数为－8C35＝－80令r＝2得到x2项的系数为4C25＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是－80×2＋40＝－120，故答案为－120．学科核心素养用二项式定理处理整除性问题或求余数问题(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋3，即199510＝(8×249＋3)10，它的展开式中除末项310外，其余各项均含有8这个因数，故199510被8除的余数与310被8除的余数相同，而310＝95＝(8＋1)5，(8＋1)5的展开式中除最末一项1外，其余各项均含有8这个因数，故310被8除的余数为1，从而199510被8除的余数也为1．(2)用二项式定理处理整除问题，通常把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．(3)要注意余数的取值范围，a＝c·r＋b，b为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．典例4(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．[解析](1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．『规律总结』利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．┃┃跟踪练习4__■求0.9986的近似值，使误差小于0.001．[解析]把0.998变成1－0.002，然后应用二项式定理展开．因为0.9986＝(1－0.002)6＝1－C16×0.002＋C26×0.0022－C36×0.0023＋…＋C66×0.0026．第三项T3＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，以后各项更小，所以0.9986≈1－0.012＝0.998．易混易错警示二项式系数与项的系数问题典例5设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项．[错解]第二项的系数为C1n，第四项的系数为C3n，故C1nC3n＝12，解得n＝5或n＝－2，所以T r＋1＝Cr5x5－r(－2)r，由5－r＝2得r＝3，即展开式中第四项为含x2的项，所以C35x2(－2)3＝－202x2．[辨析]错误原因：将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆．防范措施：深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别与联系，准确应用．[正解] (x －2)n 展开式的第2项与第4项分别为C 1n x n －1(－2)＝－2nx n －1，C 3n x n －3(－2)3 ＝－22C 3n xn －3． 依题意得－2n －22C 3n＝12⇒n 2－3n －4＝0，解方程并舍去不合题意的负根，得n ＝4．(x －2)4展开式中第r ＋1项为C r 4x 4－r ·(－2)r .由4－r ＝2，得r ＝2，即(x －2)4展开式中x 2项为C 24x 2(－2)2＝12x 2．课堂达标·固基础1．若(2x －3x )n ＋3的展开式中共有15项，则自然数n 的值为( A )A ．11B ．12C ．13D ．14[解析] 因为(2x －3x )n＋3的展开式中共n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11，故选A ．2．二项式(x 3－2x 2)5的展开式中的常数项为( B )A ．80B ．－80C ．40D ．－40[解析] 二项式(x 3－2x 2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r (－2x 2)r ＝(－1)r ·2r C r 5x 15－5r ，令15－5r ＝0，解得r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)3×23×C 35＝－80，故选B ．3．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( C )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5[解析] 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有C 适合．4．(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于__70__．[解析] ∵(1＋2)5＝1＋C 152＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝41＋292，∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝41＋29＝70． 5．求(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数．[解析] ∵(x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10，本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数．由T r ＋1＝C r 10x 10－r ·2r ，取r ＝2得x 8的系数为C 210×22＝180，又x 10的系数为C 010＝1，因此所求系数为180－1＝179．。
人教版高二数学选修2-3第一章第三节《二项式定理》教案学案含答案
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
数学人教A版选修2-3教案：1.3.3二项式定理习题课含解析
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点:利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．错误!错误!前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．（a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做（a＋b）n的______________,其中C错误!(r＝0，1,2,…,n）叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律）(1）对称性：____________________。
（2）性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．答案:1．（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r ＋…＋C n n b n(n∈N）、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1、C错误!、变量前的常数2．(1）C m，n＝Cn－mn （2)C r，n＋1＝C错误!＋C错误!（3）当n是偶数时,中间的一项取得最大值，即C错误!n最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C错误!n＝C错误!n最大（4）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＋…＋C错误!＝2n赋值法错误!类型一：二项展开式的有关概念例1试求:（1）(x3－2x2）5的展开式中x5的系数；（2）（2x2－错误!）6的展开式中的常数项；（3)在（3x＋错误!)100的展开式中,系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念,什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手,根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：（1）T r＋1＝C错误!（x3）5－r(－错误!）r＝(－2)r C错误!x15－5r，依题意15－5r＝5,解得r＝2。
二项式定理 学案——高二上学期数学人教A版选修2-3
二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质1．C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.2．C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T k ＋1＝C k n a n －k b k 中的a 和b 不能互换．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( B )A ．1B ．2C ．2 019D ．2 019×2 0203．(1＋x )n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.[答案]104. (1)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( D )A ．－3B ．－2C ．2D ．35.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)[答案]－1206．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( A )A ．5B ．－20C ．20D ．－5练习题： (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为()A ．±2B .12C ．－2D ．±127. (1)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120 (2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．[答案] (1)C (2)－3或18.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( B )A ．5B ．6C ．7D ．8练习题：9. (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．（2）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中的二项式系数和为32，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．[答案]255 (2)4010．(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( C )A ．10B ．20C ．30D ．60 11.求10)21(x +的展开式中(1)系数最大的项；(2)若5.2=x ,则第几项的值最大．（1）展开式中系数最大的项为第8项．7815360x T =．(2)．展开式中的第10项的值最大. 12．605.1精确到01.0的近似值是（ C ）A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.34 13.今天是星期一,再过513天是星期几?[答案]星期日14.今天是星期四，第20032003天后的第一天是 （ A ）A ．星期三B ．星期五C ．星期六D ．星期日 15.9291被100除所得的余数为______________.[答案]8116.已知82)2(x x -，则展开式中系数绝对值最大的项是第几项？ [答案]第6项和第7项。
高中数学选修2-3 同步练习 1.3 二项式定理(解析版)
第一章 计数原理1.3 二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1+x )7的展开式中x 2的系数是 A ．42 B ．35 C ．28 D ．21【答案】D【解析】(1+x )7的展开式的通项公式为T r+1=7C r x r , 令r =2,得x 2的系数为27C =21.故选D. 【技巧点拨】熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N ，是解决此类问题的关键.2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是A ．6x 4B ．﹣6x 4C ．12x 4D ．﹣12x 4【答案】D【解析】展开式的通项公式6162C rr rr T xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.选D ．【名师点睛】（1）求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r =C r －1n an －r ＋1b r －1；②求含x r 的项(或x p y q 的项)； ③求常数项； ④求有理项．（2）求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．若6axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含32x项的系数为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】B4．的展开式中,的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】的展开式的通项为,则的展开式中,的系数为5．在3nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为32,则的系数为A．50 B．70 C．90 D．120 【答案】C【解析】∵各项系数和与二项式系数和之比为32，∴4322nn=，得∴通项公式为135522 155C33Crrr r r rrT x x x---+⎛⎫==⎪⎝⎭，令3522r -=，的系数为【总结归纳】二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指0C n ，1C n ，…，C nn ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如()na bx +的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C rn ，而该项的系数是C rn rr n ab -.当然，某些特殊的二项展开式如(1)n x +，各项的系数与二项式系数是相等的．6．已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得最终结果.7．已知二项式4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则展开式的常数项为A ．1-B ．1C ．47-D ．49【答案】B【解析】44111212x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦234111114262422x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴二项式中的常数项产生在24111,62,2x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中，分别是()()2224111,622,C 2x x x x ⎛⎫⨯⋅-⋅⋅- ⎪⎝⎭, 它们的和为124241-+=，故选B ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题.解题时，首先将4112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为4112x x⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果. 8．＝,则等于A ．32B ．-32C ．-33D ．-31【答案】D 【解析】因为＝,当时,当时,① 当时,②①-②，得=①+②，得=所以=故选D ．9．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．462-B ．462C ．792D ．792-【答案】D【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-， 令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()55121C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；（2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 10．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为A ．第4项B ．第5项C ．第4项和第5项D ．第7项【答案】C 【解析】令，可得，令，得，由题意得，代入得，所以，又因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项，故选C.11．的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】由题意，展开式中项的系数为3C 32n r rrn-⋅⋅，系数为有理数，则n ﹣r 是3的倍数，r 是2的倍数， n =9，r =6，不符合； n =10，r =4,10，不符合； n =11，r =2，8，不符合； n =12，r =0,6,12，符合题意， 故选D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．12．如果13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是 ______ . 【答案】-189【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题： （1）C kn kk n ab -是第k ＋1项，而不是第k 项．（2）通项公式中a ，b 的位置不能颠倒．（3）通项公式中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.13．设5250125)21(x a a x a x a x -=++++,则125a a a +++=_________.【答案】2【解析】令x ＝1可得()501252111a a a a ++++=⨯-=,令x ＝0可得()5011a =-=-, 所以125a a a +++＝2.【名师点睛】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x =0可得常数项，令x =1可得所有项系数之和，令x =－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差． 14．233除以9的余数是_________.【答案】8【解析】233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199－···＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋···＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.【名师点睛】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. 15．(N *)展开式中不含的项的系数和为 ________ .【答案】1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在二项式(2x −3y )9的展开式中,求：（1）二项式系数之和； （2）各项系数之和；（3）各项系数绝对值之和.【解析】设(2x −3y )9=a 0x 9+a 1x 8y+a 2x 7y 2+···+a 9y 9. （1）二项式系数之和为09C +19C +29C +···+99C =29. （2）各项系数之和为a 0+a 1+a 2+···+a 9, 令x =1,y =1,得a 0+a 1+a 2+···+a 9=(2−3)9=−1. （3）|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9, 令x =1,y =−1,得|a 0|+|a 1|+|a 2|+···+|a 9|=a 0−a 1+a 2−···−a 9=59, 则各项系数绝对值之和为59.17．已知在2112nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第项为常数项. 求：（1）的值； （2）展开式中的系数.【解析】（1）在212nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，第9项为常数项， 而第9项为,故有2n −20=0，解得n =10.（2）由（1）可得展开式的通项公式为()()52010202102211010C 2112C r rrrr r rr r r T xxx-----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅⋅.令20−=5,求得r =6,故展开式中x 5的系数为61041105C 28⋅=. 18．利用二项式定理证明2n +2·3n +5n －4(n *∈N )能被25整除.【解析】因为2n +2·3n =4×(1＋5)n ，所以2n +2·3n ＋5n －4，所以n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除， n =1时，2n +2·3n ＋5n －4=25.所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 19．已知a >0,b >0,m ≠0,n ≠0,若二项式(ax m +bx n )12的展开式中系数最大的项恰好是常数项,且2m+n =0,求ab的取值范围.【解析】T r+1=12C r (ax m )12−r ·(bx n )r =a 12−r b r 12C rx m (12−r )+nr . 令m (12−r )+nr =0, 又2m+n =0,所以m (12−r )−2mr =0, 又m ≠0,得r =4.所以展开式中的常数项为第5项,且为系数最大的项,则48439312124845751212C C C C a b a ba b a b⎧>⎨>⎩. 又a >0,b >0,所以9485b a a b ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,所以8954a b <<，即a b 的取值范围是89()54,. 20．（1）已知的第九项,第十项,第十一项的二项式系数依次成等差数列,求;（2）若()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 的展开式中常数项为,求212ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的有理项.【解析】（1）由题意:成等差数列,则.化简得.（2）()()621x a x a x ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭R 展开式中的常数项为+=,得，则4221122ax x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而4212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为=.故展开式中的有理项有83213531,,216T x T x T x -===。
高二数学精品教案：1.3 3 二项式定理及应用(选修2-3)
教案 二项式定理及应用 教学目标：1.掌握二项式定理和性质以及推导过程。
2.利用二项式定理求二项展开式中的项的系数及相关问题。
3.使学生能把握数学问题中的整体与局部的关系，掌握分析与综合，特殊和一般的数学思想。
教学重点；二项展开式中项的系数的计算。
教学过程：一、复习引入：1.n b a )(+的展开式，项数，通项；2.二项式系数的四个性质。
二、例题1. 二项式定理及二项式系数性质的简单应用：例1 （1）1821- 除以9的余数是_____________________(2)432)1()1(4)1(6)1(41-+-+-+-+x x x x =_______________A.4)1(-xB.4xC.4)1(+xD.4)2(-x(3)已知7292.......42121=++++n n n n n C C C则=+++n n n n C C C ........21____________________（4）n a a )(+如果展开式中奇数项的系数和为512，则这个展开式的第8项是（ ）A.a a C 579 B.a a C 6310 C.6810a C D.a aC 7411 (5)若5050105032.....)1(.......)1()1(x a x a a x x x +++=++++++则2a 等于（）A.502B.492C.351CD.350C 小结1.(1)注意二项式定理的正逆运用； (2)注意二项式系数的四个性质的运用。
2. 二项展开式中项的系数计算： 例2 （1）523)12(x x -展开式中常数项等于_____________. （2）在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 （3）已知,........)21(7722107x a x a x a a x ++++=-求：721....a a a +++小结2. (1)局部问题抓通项；(2)整体系数赋值法。
高中数学新课标人教A版选修2-3学案1.3第4课时二项式定理的应用
1.3 二项式定理 第四课时 二项式定理一、课前准备 1．课时目标(1) 能利用二项式处理整除问题； (2) 能求二项式展开式系数的最大值；(3) 能构造求解一些复杂的二项展开式的系数和差问题. 2．基础预探1.当()na b +的n 为偶数时，中间的一项二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值.2.各二项式系数和：012_______nn n n n C C C C ++++=，024_______n n n n C C C C ++++=偶，135______.n n n n C C C C ++++=奇二、学习引领1. 整除问题解决整除问题可以借助于二项式定理来解决：把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.如要证明9n能被64整除，可以将9分解成8+1，从而与64建立联系. 2. 求二项式展开式系数最大值求()na bx +展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +，设第ｒ＋1项系数最大，应有112r r r r A A A A +++≥≥⎧⎨⎩，从而解出ｒ的值即可.三、典例导析 题型一 整除问题例1 用二项式定理证明：当*n N ∈时，98322--+n n 能被64整除.思路导析：首先将223n +化为19n +，然后将9拆为8+1，此时便可用二项式展开后分析与64的关系. 证明：98)18(9899831122--+=--=--+++n n n n n n⋅=28（1132********-++-+-++⋅+⋅+n n n n n n C C C ）.而113212111888-++-+-++⋅+⋅+n n n n n n C C C *N ∈所以98322--+n n 能被64整除.方法规律：整除问题一般通过分解底数然后利用二项式定理展开分析展开式与被整除数的关系.变式训练：若122n nnn n C x C x C x +++能被7整除，则,x n 的值可能为（ ）A ．4,3x n ==B ．4,4x n ==C ．5,4x n ==D ．6,5x n == 题型二 二项式系数的最大值例2若n展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中所有x 的有理项.（2）展开式中系数最大的项思路导析：根据前三项的系数关系，建立关于n 的方程即可求得n 的值；利用二项式展开式便可求得有理项；设第r 项为最大项，通过建立不等式组即可求得r 的值确定最大项. 解：由已知条件知：021211222n n n C C C +⋅=⋅，解得：8n =； （1）38441882rrr rr r r T C C x ---+==，令()3484r N r +-∈≤， 则只有当0,4,8r =时，对应的项才为含x 的有理项， 有理项分别为：42159351,,8256T x T x T x ===； （2）记第r 项系数为r t ，设第k 项系数最大，则有：11,k k k k t t t t +-≥⎧⎨≥⎩，又1182r r r t C --+=⋅，所以118811228822,22k k k kk k k k C C C C --+---+--+⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，即21912110k k k k ≥-≥--⎧⎨⎩，解得34k ≤≤，所以系数最大项为第三项5237T x =和第四项7447T x =方法规律：求最大项有两种方法：一种是直接分析法，首先利用二项式系数在中间两项或者一项取得最大值，再结合式子中项的取值正负分析；第二种是直接建立类似题中的不等式组确定此项.变式训练： 在()72y x +的展开式中,求系数最大的项.题型三 赋值法综合应用例3 如果()⋅⋅⋅+++=-2210821x a x a a x 88x a +,求8210a a a a +⋅⋅⋅+++的值.思路导析：要得到各项系数的绝对值的和，关键是把原来的负项变为正项，而原来的正项保持不变.分析本题特点，只需将x 赋值为1即可.解:设展开式的通项为()rr r r x C T 812-=+,{}8,,3,2,1,0⋅⋅⋅∈r 所以r 为偶数时,系数为正,r 为负数时,系数为正,故有8210a a a a +⋅⋅⋅+++843210a a a a a a +⋅⋅⋅++-+-=令展开式中的1-=x 时即可得到()821+843210a a a a a a +⋅⋅⋅++-+-=83=.方法规律:本题与要考虑展开式中各项的系数,还要考虑绝对值的作用,即各项系数的符号问题,考查了特殊化的思想方法.这种方法在解决选择题中也有很重要的应用.变式训练：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0241()(a a a a +++ 35)a a + 的值等于 . 四、随堂练习1. 已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．72.设二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+13展开式第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是( )A.第9项B.第8项C.第9项和第10项D.第8项和第9项 3. 化简()()()+-+-+-23416141x x x ()114+-x ,得( )A.4x B.()41-x C.()41+x D.5x4.已知nx ⎪⎭⎫⎝⎛+221的展开式中前三项的二项式系数和等于79,则展开式中系数最大的项为________.5. 如果()N n x x n∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中各项系数的和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项应是_______.6.今天是星期一,今天是第一天,那么第108天是星期几? 五、课后作业1. 如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．102. (1n展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是（ ）A 6B 6xC 26xD 36x3. 对于二项式()20131x -,有下列4个命题:①展开式中1000101310012013T C x =-;②展开式中非常数项的系数和为1;③展开式中系数最大的项是第1002项和1013项; ④当2000=x 时,()20131x -除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是_________.4.已知4433221022)1(x a x a x a x a a x x ++++=+-，则＝_____；5.已知()521x +展开式中第2项大于它的相邻两项,求x 的范围.6.如果012111632311n n n n n C C C C n n ++++=++，求21(1)n x+的展开式中系数最大的项. 参考答案1.3 二项式定理 第四课时 二项式定理2．基础预探 1. 12n nC+ 112n nC++2. 2n 2n1 2n1三、典例导析 例1 变式训练 答案：C解析：122(1)1n n n n n n C x C x C x x +++=+-,当5,4x n ==时,4(1)1613537n x +-=-=⨯能被7整除, 故选C. 例2 变式训练解:设1+r 项系数最大,则有:⎪⎩⎪⎨⎧>>++--117711772222r r r r r r r r C C C C 又70≤≤r 且*∈N r 5=∴r所以系数最大的项为:525525766722y x y x C T ==. 例3 变式训练答案：256-解析：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,令1x =，得0123450a a a a a a +++++=， 令1x =-得01234532a a a a a a -+-+-=， 所以024135()16a a a a a a ++=-++= ， 则())(531420a a a a a a ++++=－256.四、随堂练习 1.答案：C解析：令x=1，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6. 2.答案：A解析:因展开式的第5项为43445--=n n x C T ,所以有0434=--n ,解得16=n .所以展开式中系数最大的项是第9项. 3. 答案：A解析:原式()[]411+-=x =4x .4.答案：6462x解析:因为前三项的二项式系数为79210=++n n nC C C ,解得12=n . 所以可得系数最大的项是中间项.5. 答案：x 6解析:由题意可得3228<<n , 所以4=n . 故系数最大的项是第3项为x x x C 622224=-.6.解:()1010178+=177********10+⨯⋅⋅+⨯+=C C ()N M M ∈+=17 所以第108天相当于第1天,故为星期一.五、课后作业 1. 答案：B 解析：由于()21323rn rr r nT Cx x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n rn r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意令250n r -=，得()50,1,2,,12n r r n ==-，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ 2. 答案：B解析：因为01n n n 8+++32n C C C <<，即8232n <<，所以n=4所以展开式中共有5项，系数最大的项为22346T C x == 3.答案：①④.解析：令x=1可知，此二项式的所有项系数和为0，令x=0可知，其常数项为1，故非常数项和为1，故②错；本式展开共有2014项，故中间两项1012和1013项的二项式系数最大，但1013为负，不是系数最大项，故③错误.4.已知4433221022)1(x a x a x a x a a x x ++++=+-，则＝_____；答案：1解析：令1x =得012341a a a a a ++++=.5.已知()521x +展开式中第2项大于它的相邻两项,求x 的范围.解:由已知可得()⎪⎩⎪⎨⎧⋅>⋅>⋅22515152212x C x C x C ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<>410101x x ,41101<<∴x . 6.如果012111632311n n n n n C C C C n n ++++=++，求21(1)n x+的展开式中系数最大的项. 解析：由012111632311nn n n n C C C C n n ++++=++， 可得0121111(1)(1)(1)(1)6323n nn n n n n n C n C n C n C C n-+++++++++=，所以12311111163n n n n n n n C C C C C +++++++++++=，即12163n +-=，所以n=5，所以展开式中系数最大的项为5561051252()T C x x==.。
2013-2014学年高二数学人教A版选修2-3学案 1.3 二项式定理
1。
3 二项式定理1。
3。
1 二项式定理问题导学一、二项式定理的直接应用活动与探究1求错误!4的展开式．迁移与应用1．(x－1）5＋5（x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1）＝__________．2．(2013安徽合肥模拟）求错误!4的展开式．熟记二项式（a＋b）n的展开式,是解决此类问题的关键,我们在解较复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当变形,简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项、项的系数活动与探究21．若错误!6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．2．在错误!6的二项展开式中,x2的系数为（)A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!迁移与应用1．(2012天津高考，理5)在错误!5的二项展开式中，x的系数为（)．A．10 B．－10 C．40 D．－402．求二项式错误!10的展开式中的常数项．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项T k＋1＝C错误!a n－k b k 的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围（k＝0,1,2,…，n）．(1）第m项:此时k＋1＝m,直接代入通项;(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．三、二项式定理的应用(整除问题）活动与探究3试判断7777－1能否被19整除．迁移与应用1．9192除以100的余数是__________．2．证明:32n＋2－8n－9是64的倍数．用二项式定理解决a n＋b整除（或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r（1≤r＜m)的形式，利用二项展开式求解．答案:课前·预习导学【预习导引】1．(2)n＋1 (3）C错误!2．C错误!a n－k b k预习交流(1)提示：①项数：n＋1项；②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0,同时b的指数由0递增到n；③通项公式T r＋1＝C错误!a n－r b r指的是第r＋1项,不是第r项;④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念,C r，n叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C错误!＝3，而该项的系数为C错误!·22＝12．(2)提示：B（3)提示：21 －84 －448x5课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．解法一：错误!4＝C 错误!（3错误!)4错误!0＋C 错误!（3错误!)3·错误!＋C 错误!(3x ）2错误!2＋C 错误!（3错误!）错误!3＋C 错误!（3错误!)0错误!4＝81x 2＋108x ＋54＋错误!＋错误!．解法二:错误!4＝错误!＝错误!（81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋错误!＋错误!．迁移与应用 1．x 5－1 解析：原式＝C 错误!（x －1)5＋C 错误!(x －1）4＋C 错误!（x －1）3＋C 错误!(x －1)2＋C 错误!(x －1）＋C 错误!－1＝[（x －1)＋1］5－1＝x 5－1．2．解法一:错误!4＝C 错误!（错误!)4－C 错误!（错误!)3·错误!＋C 错误!（错误!）2·错误!2－C 错误!错误!错误!3＋C 错误!错误!4＝x 2－2x ＋错误!－错误!＋错误!．解法二：错误!4＝错误!4＝错误!(2x －1)4＝错误!(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1）＝x 2－2x ＋错误!－错误!＋错误!．活动与探究2 1．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．4 解析：由二项式定理可知663166C C (rr r r r r r T x x --+⎛== ⎝⎭， 令6－3r ＝0，得r ＝2,∴T 3＝C 2，6（－错误!)2＝60．。
高中数学《二项式定理》学案2 新人教A版选修2-3
二项式定理一、知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.二、基础训练1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于A.29B.49C.39D.12.（2020年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.483.（2020年全国Ⅰ，5）（2x 3－x1）7的展开式中常数项是A.14B.－14C.42D.－424.（2020年湖北，文14）已知（x 23+x31-）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 三、例题分析例1. 如果在（x +421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例2. 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；（2）求（x +x 4－4）4的展开式中的常数项； （3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =xx x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.例3. 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q <1时，求lim∞→n nnA 2.例4 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.四、同步练习 g3.1093 二项式定理1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.（2020年福建，文9）已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 104.(05山东)如果323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-5.(05重庆卷)8. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5，则n 等于( )(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。
数学选修2-3讲义：第1章1.31.3.1 二项式定理含答案
1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)C r n a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第r＋1项C r n a n－r b r和(b＋a)n的展开式的第r＋1项C r n b n－r a r 是不同的，其中的a ，b 是不能随便交换的．(3)× 因为C r n an －r b r是(a ＋b )n 展开式中的第r ＋1项． (4)√ 因为(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数都是C r n . 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√二项式定理的正用、逆用【例1】 (1)用二项式定理展开⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25；(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)r C r n (x ＋1)n －r＋…＋(－1)n C n n .【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋…＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2·(－1)2＋…＋C r n (x ＋1)n －r(－1)r ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C n n .【解】 (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3 ·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】 (1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r 6(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r，∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x 9－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r ， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84.1．二项式系数都是组合数C r n (r ＝0,1,2，…，n )，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.2．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，∴n ＝8. ∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，∴5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ＝0,1,2，…，8)． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项？【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x 4－r ·1x r ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x 分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x ·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .【例3】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 【精彩点拨】写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零→(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考查x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项 【解】 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3(－3)r x－r 3＝C r n (－3)rxn －2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k 项，T r ＝C r －1n a n －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果，∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r(－a )r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，即当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)41．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410C ．－9C 610D ．9C 410【解析】 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6.【答案】 D2．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( ) A ．－28 B ．－7 C ．7D ．28【解析】 T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r·x 8－43r ，当8－43r ＝0，即r ＝6时，T 7＝(－1)6·C 68·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7.【答案】 C3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．24【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.【答案】 A4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 35．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409. 通项T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23r ·C r 5x 15－5r，令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。
人教A版选修2-3教案：1.3.1二项式定理(含反思)
§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课课时安排：3课时内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴；⑵⑶的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，，，，，展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，∴．二、讲解新课：二项式定理：⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，，…，，…，，⑵展开式各项的系数：每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，……，恰有个取的情况有种，的系数是，……，有都取的情况有种，的系数是，∴，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数，⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项．⑸二项式定理中，设，则三、讲解范例：例1．展开．解一：．解二：．例2．展开．解：．例3．求的展开式中的倒数第项解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，．例4．求（1），（2）的展开式中的第项．解：（1），（2）．点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同例5．（1）求的展开式常数项；（2）求的展开式的中间两项解：∵，∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，，例6．（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数解：的展开式的第四项是，∴的展开式的第四项的系数是．（2）∵的展开式的通项是，∴，，∴的系数，的二项式系数．例7．求的展开式中的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一），显然，上式中只有第四项中含的项，∴展开式中含的项的系数是（法二）：∴展开式中含的项的系数是．例8．已知的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解解：展开式中含的项为∴，即，展开式中含的项的系数为，∵，∴，∴，∴当时，取最小值，但，∴时，即项的系数最小，最小值为，此时．例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：，即，∴舍去）∴①若是常数项，则，即，∵，这不可能，∴展开式中没有常数项；②若是有理项，当且仅当为整数，∴，∴，即展开式中有三项有理项，分别是：，，例10．求的近似值，使误差小于．解：，展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴，一般地当较小时四、课堂练习：1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）；（2）.6.化简：（1）；（2）7．展开式中的第项为，求．8．求展开式的中间项答案：1.2.3.4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数5.（1）；（2）.6.（1）；（2）7.展开式中的第项为8.展开式的中间项为五、小结：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业：P36 习题1.3A组1. 2. 3.4七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b)ｎ =这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学（理科）复习：专题十：二项式定理考点梳理：1、二项式定理（教材2-330P ）（1）二项式定理：公式()n a b += 叫做二项式定理。
（2）二项展开式的通项：1k T += 为展开式的第1k +项 2、二项式系数与项的系数（1）二项式系数：二项展开式中各项的系数{}(0,1,,)k n C k n ∈⋅⋅⋅叫做二项式系数；（2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
与二项式系数是两个不同的概念。
（3）二项式系数的性质（教材2-333P ）①对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mn nmnCC-=；②增减性：当12n k +<时，二项式系数kn C 的值逐渐增大，当12n k +>时, 二项式系数kn C 的值逐渐减小。
③最大值：当n 为偶数时，中间一项（12n第＋项）的二项式系数2nn C 取得最大值。
当n 为奇数时，中间两项（-1+11122n n 第＋项和＋项）的二项式系数相等，且同时取得最大值为1122n n nnC C-+或。
（4）各二项式系数的和（教材2-334P ）()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即01rn n nC C C +++nn C ++2n =。
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即135nnnC C C ++⋅⋅⋅=024nnnC C C ++⋅⋅⋅=12n - 。
题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式；例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式； 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项 1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数 例4． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ；（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5． 72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6．3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；2． 求中间项 例7．求（103)1xx -的展开式的中间项；3． 求有理项 例8．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；4． 求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；例13．若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ； 例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．求证：15151-能被7整除。
定时训练：1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为（ ）A ．610C 27- B ．410C 27C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于 （ ）A ．4 B ．9 C ．10 D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134．5310被8除的余数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （ ）A ．1 B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是（ ）A ．21B ．1C ．2D ．3高二数学（理科）复习：专题十：二项式定理答案例1解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
例2．分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
例3． 解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
例4．解：r rrr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r rx C 3189)21(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- 例5．解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
例6． 解：36323)1(])1([)21(xx x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xx C -，即20-， 本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。
例7． 解：,)1()(310101r rrr xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为535510)1()(xx C -即：65252x -。
当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n nbaC；当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是222n n n nb a C。
例8：解：341010310101)1()1()(r rrrrrr xxr T C C--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。
故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
例9． 解：rr rr x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C例10． 解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r C T ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥⨯--⨯--≥--)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-∴KK K K 1922211解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =。
例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -。
例12．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ； 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++ =44)32.()32(+-+ =1)1(4=-例13．解： 2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，令1=x ，有1...)21(20042102004=++++=-a a a a 令0=x ，有1)01(02004==-a故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14． 解：r r r r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+ 001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=CT ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。