高考理科第一轮复习练习(7.10圆锥曲线的综合问题)
高考理科第一轮复习课件(7.10圆锥曲线的综合问题)
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
由于Δ>0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8k 2 4k 2 12 x1 x 2 , x1 x 2 , 2 2 3 4k 3 4k AB
得x2+ky2-4y=0.
当k=0时，方程为x2=4y表示抛物线；
当k=1时，方程表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆；
当k>0且k≠1时，方程表示椭圆；
当k<0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.
(2)当k=0时，轨迹T的方程为x2=4y.
设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由题意设直线AB的方程为y=k1x+1, 联立x2=4y有：x2-4k1x-4=0，
3 4
②是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，
求出点M的坐标；若不存在，说明理由;
③若点M的横坐标为 2 ，直线l： kx 与抛物线C有两个不 y
同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
1 ≤k≤2 2
1 4
时，｜AB|2+|DE|2的最小值.
【思路点拨】(1)利用椭圆的两个顶点(a,0)与(0,b)一个在圆
(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变
量无关.
②引进变量法：其解题流程为
x 2 y2 【变式训练】已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的左焦点F1(-1， a b
0)，长轴长与短轴长的比是 2 3. ∶ (1)求椭圆的方程. (2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n, 求证： 1
圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习
题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题1.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．3.已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4.如图，椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，已知椭圆Γ：x 2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率e=√22，短轴右端点为A,M(1.0)为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．题型2：定值问题1.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为 32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.2.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.xOy ()220y px p =>l x M M ,A B ()11,A x y l ()20d p λλ=>13y d ==0AM AB λ+=AB3.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，点（2，√2）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．4.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，的离心率为，点A(1,√32)在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，求证：k1∙k2为定值．5.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x − y −√2=0截得的弦长为2。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
(完整版)高三理科一轮复习圆锥曲线专项练习总结
9.5椭圆 一、选择题1．(2013·浙江台州调研)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．162．(2013·滨州月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 23．(2013·温州质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外B ．必在圆x 2＋y 2＝1上C ．必在圆x 2＋y 2＝1内D ．与x 2＋y 2＝1的位置关系与e 有关4．(2013·沈阳二中质检)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，94B.⎝⎛⎭⎫23，1C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎝⎛⎭⎫0，12 5．(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 6．(2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 二、填空题7．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为__________．8．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是__________．9．(2013·韶关调研)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.三、解答题10．(2012·安徽)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．12．(2013·大连模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．9.6双曲线一、选择题 1．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.452．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 3．(2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．84．(2012·福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．55．(2012·浙江)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C.2D. 36．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．8．(2013·山东泰安调研)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x－4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．9．(2012·湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________.三、解答题10．(2013·安徽质检)已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点， D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．11．(2013·云南检测)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433.(1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．9.7抛物线 一、选择题1．(2012·安徽)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B.2 C.322D ．2 2 2．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 53． (2013·青岛调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x4．(2013·泸州诊断)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 5．(2013·广元考试)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x6．(2013·河南联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段F A 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( )A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4) 二、填空题7．(2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝__________.8．(2012·辽宁)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．9．(2013·湖北联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a2－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a 的值为__________．三、解答题10．(2013·宁德检查)已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，准线为l .(1)求经过点F 的与直线l 相切，且圆心在直线x ＋y －1＝0上的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求点M 横坐标的取值范围．11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．(2013·岳阳联考)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．(1)求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值.9.8直线与圆锥曲线1．(2013·郓城实验中学期末)已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0, 1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5) 2．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1交于不同两点A 、B ，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.81055．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A ．k 2－e 2＞1B ．k 2－e 2＜1C ．e 2－k 2＞1D ．e 2－k 2＜16．(2013·绍兴调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，k 1k 2≠0，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )A. 2B.52C.32D.32二、填空题7．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B .若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为__________．8．(2013·长沙一中期末)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点．设|F A |＞|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于__________．9．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：x 2－y 2＝1有且仅有一个公共点，则k ＝__________. 三、解答题10．(2013·安徽联考)已知i ，j 是x ，y 轴正方向的单位向量，设a ＝x i ＋(y －1)j ，b ＝x i ＋(y ＋1)j ，且满足|a |＋|b |＝2 2.(1)求点P (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设点F (0,1)，点A ，B ，C ，D 在曲线C 上，若AF →与FB →共线，CF →与FD →共线，且AF →·CF →＝0.求四边形ACBD 的面积的最小值和最大值．11．(2012·辽宁)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t22为定值．12．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于A，B和C，D.9.9曲线与方程一、选择题1．(2013·泸州诊断)方程x225－k＋y29－k＝1(k＜8)所表示的曲线是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．圆2．(2013·金华联考)若ab≠0，则方程(ax－y＋b)( bx2＋ay2－ab)＝0表示的曲线只可能是()A B C D .3．(2013·焦作模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(x ∈R )的交点个数一定是( ) A ．两个 B ．4个 C ．0个D ．与a 的值有关5．(2013·大连、沈阳联考)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1 (y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) 6．(2013·延边检测)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞ 二、填空题7．(2013·苏锡常镇调研)已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为_____．8．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 9．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足|P A ||PB |＝12，则P 点的轨迹方程是__________． 三、解答题10．(2013·济南调研)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．11．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M 、N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．12．(2013·陕西调研)设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8.(1)求点M (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP →＝OA →＋OB →，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为菱形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
3
第三页，共43页。
解决圆锥曲线综合问题的思路
1．对于圆锥曲线的综合问题，在对题目内涵 进行深刻挖掘的基础上，应用整体思想，构建 转化的“框架”，然后综合利用代数手段解 题．
例1 设F1、F2分别为椭圆C：
＝1(a＞b
＞0)的左、右两个焦点．若M、N是椭圆C上关
于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，
当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、 kPN时．
求证：kPM·kPN是及点P位置无关的定值． 6
第六页，共43页。
[分析] 设出M点的坐标，利用已知条件得到 N的坐标，将kPM·kPN的值计算出来为定值即 可．
2．圆锥曲线的定义是解决综合题的基础．定 义在本质上揭示了平面上的动点及定点(或定直 线)的距离满足某种特殊关系，用数形结合思想 去理解圆锥曲线中的参数(a，b，c，e，p等) 的几何意义以及这些参数之间的相互关系，进 而通过它们之间的关系组成题设条件的转化．
4
第四页，共43页。
3．综合题中常常离不开直线及圆锥曲线的位 置关系，因此要树立将直线及圆锥曲线方程联 立，应用判别式、根及系数的关系的意识．
y
F＝1＋－kky
0，xF＝(1＋ky0)2， k2
1－ky0－1＋ky0 ∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky0)2－(1－＋kky0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
11
2020年高考理科数学一轮复习大题篇----圆锥曲线综合
2020年高考理科数学一轮复习大题篇----圆锥曲线综合【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【例】设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |F A |， 即1c ＋1a ＝3c a a －c，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3. 由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k 4k 2＋3. 由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k . 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k . 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y ＝－1k x ＋9－4k 212k ， 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912k 2＋1. 在△MAO 中，由∠MOA ≤∠MAO ，得|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ， 化简，得x M ≥1，即20k 2＋912k 2＋1≥1， 解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． (1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2.因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴．(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝)3220044y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值． 【解】 (1)由题意，得a －c ＝33b ，则(a －c )2＝13b 2， 结合b 2＝a 2－c 2，得(a －c )2＝13(a 2－c 2)， 即2c 2－3ac ＋a 2＝0，亦即2e 2－3e ＋1＝0，结合0<e <1，解得e ＝12. 所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)得a ＝2c ，则b 2＝3c 2.将M ⎝⎛⎭⎫3，32代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1，解得c ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 易得直线OM 的方程为y ＝12x . 当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 由题意得Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. 因为y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 3＋4k 2， 所以线段AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2， 因为点N 在直线y ＝12x 上， 所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2， 解得k ＝－32. 所以Δ＝48(12－m 2)>0，解得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫－322|x 2－x 1| ＝132·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝132·m 2－4m 2－123＝39612－m 2. 又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13 ＝3612－m 2m 2≤36·12－m 2＋m 22＝ 3. 当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立，符合－23<m <23，且m ≠0.所以△OAB 面积的最大值为 3.【训练】已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，① 将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立，此时满足t 2∈⎝⎛⎭⎫0，32. 故△AOB 面积的最大值为22. 题型三 定点问题【解题指导】 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎨⎧ 1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. 而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设知k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0， 解得k ＝－m ＋12. 当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12(x －2)， 所以l 过定点(2，－1)．【训练】 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点．(1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2，设Q ⎝⎛⎭⎫n ，43，因为四边形ABPQ 为平行四边形， |PQ |＝2n ，|AB |＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3， 则⎝⎛⎭⎫a 32a 2＋169b 2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)①解 直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k 2)x 2＝4，解得x ＝±21＋2k 2， 可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点，可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠23， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE ⊥MN ，|OM |＝d ，即有23－m m ＝－1k，(*) 4＋4k 21＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪km ＋m －231＋k 2，(**)由(*)得m ＝2k 3k －1(k ≠1)，代入(**)式， 化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或47. ②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，可得－2＋x N ＝－8k 21＋2k 2，解得x N ＝2－4k 21＋2k 2， y N ＝k (x N ＋2)＝4k 1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)，以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →＝0，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．题型四 定值问题【解题指导】 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例】已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x2x 1x 2 ＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值． 【训练】已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163. 由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|·cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2.由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋1，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝56k 2＋32k >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －4x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k －(k －4)·4k k －22k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．题型五 证明问题【解题指导】 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．【例】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【训练】已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN .(1)求椭圆T 的方程；(2)求证：PM ⊥PN .(1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝63，即2a 2＝3c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 方法一 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN .②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设k PM ＝k ，PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －x 0，x 23＋y 2＝1， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3＝0，依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0，化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0， 又k PM ，k PN 为方程的两根，所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－4－x 203－x 20＝x 20－33－x 20＝－1. 所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .方法二 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)，切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)，⎩⎪⎨⎪⎧ y －2sin θ＝k x －2cos θ，x 23＋y 2＝1， 联立得(1＋3k 2)x 2＋12k (sin θ－k cos θ)x ＋12(sin θ－k cos θ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k 2(sin θ－k cos θ)2－4(1＋3k 2)[12(sin θ－k cos θ)2－3]＝0，化简得(3－4cos 2θ)k 2＋4sin 2θ·k ＋1－4sin 2θ＝0，k PM ·k PN ＝1－4sin 2θ3－4cos 2θ＝4－4sin 2θ－33－4cos 2θ＝－1. 所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .题型六 探索性问题【解题指导】 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．【例】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点， (1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．【解】 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ， C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ， C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋b a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．【训练】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点Q ⎝⎛⎭⎫1，－22，且离心率e ＝22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →.理由如下：方法一 由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (km ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则C ⎝⎛⎭⎫－m k ，0，D (0，m )． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以Δ＝16k 2－8m 2＋8>0.(*)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 因为2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，所以MC →＝CD →＝DN →，所以C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合．所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2＝0－m k ，解得k ＝±22. 由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得|MN |＝3|CD |.所以1＋k 2|x 1－x 2|＝3⎝⎛⎭⎫m k 2＋m 2， 即|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－21＋2k 2＝3⎪⎪⎪⎪m k ， 解得m ＝±55.验证知(*)成立．所以存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，此时直线l 的方程为y ＝22x ±55或y ＝－22x ±55. 方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，C (m,0)，D (0，n )，由2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ，0＝x 1，y 1＋0，n ，20，n ＝x 2，y 2＋m ，0，解得M (2m ，－n )，N (－m,2n )．又M ，N 两点在椭圆上，所以⎩⎨⎧4m 22＋n 2＝1，m 22＋4n 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋n 2＝1，m 2＋8n 2＝2， 解得⎩⎨⎧m ＝±105，n ＝±55， 故所求直线l 的方程为52x －10y ＋25＝0或52x －10y －25＝0或52x ＋10y ＋25＝0或52x ＋10y －25＝0.专题突破训练1． 已知P ⎝⎛⎭⎫23，263是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F .(1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)设过F 且互相垂直的两动直线l 1，l 2，l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值． 解 (1)∵P ⎝⎛⎭⎫23，263是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上一点， ∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)，∴a 2－b 2＝1.又∵P ⎝⎛⎭⎫23，263在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上， ∴49a 2＋83b 2＝1，结合a 2－b 2＝1知b 2＝3(舍负)，a 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由题意可知直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．①当k ＝0时，|AB |＝4，直线l 2的方程为x ＝1，|CD |＝4，故S 四边形ACBD ＝12·|AB |·|CD |＝8. ②当k ≠0时，直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. 由弦长公式知|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝12k 2＋14k 2＋3. 同理可得|CD |＝4(k 2＋1)．∴S 四边形ACBD ＝12·|AB |·|CD | ＝12·12k 2＋14k 2＋3·4(k 2＋1) ＝24k 2＋124k 2＋3.令t ＝k 2＋1，t ∈(1，＋∞)，则S 四边形ACBD ＝24t 24t －1＝244t －1t 2＝24－⎝⎛⎭⎫1t －22＋4， 当t ∈(1，＋∞)时，1t∈(0,1)， －⎝⎛⎭⎫1t －22＋4<3，S 四边形ACBD >243＝8. 综上所述，四边形ACBD 面积的最小值为8.2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .(1)若当点A 的横坐标为3，且△ADF 为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点D (x 0,0)⎝⎛⎭⎫x 0≥12，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP ⊥BP ，求证：点P 的坐标为(－x 0,0)，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．解 (1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，|F A |＝3＋p 2， 则D (3＋p,0)，FD 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32＋3p 4，0，则32＋3p 4＝3，解得p ＝2， 故C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意可设直线AB 的方程为x ＝my ＋x 0(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋x 0， 消去x ，得y 2－4my －4x 0＝0，x 0≥12.所以Δ＝16m 2＋16x 0>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4x 0，设P 的坐标为(x P ,0)，则PE →＝(x 2－x P ，－y 2)，P A →＝(x 1－x P ，y 1)，由题意知PE →∥P A →，所以(x 2－x P )y 1＋y 2(x 1－x P )＝0，即x 2y 1＋y 2x 1＝y 22y 1＋y 21y 24＝y 1y 2y 1＋y 24＝(y 1＋y 2)x P ，显然y 1＋y 2＝4m ≠0，所以x P ＝y 1y 24＝－x 0， 即证P (－x 0,0)，由题意知△EPB 为等腰直角三角形，所以k AP ＝1，即y 1＋y 2x 1－x 2＝1，也即y 1＋y 214y 21－y 22＝1， 所以y 1－y 2＝4，所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16，即16m 2＋16x 0＝16，m 2＝1－x 0，x 0<1，又因为x 0≥12，所以12≤x 0<1， d ＝|－x 0－x 0|1＋m 2＝2x 01＋m 2＝2x 02－x 0， 令2－x 0＝t ∈⎝⎛⎦⎤1，62，x 0＝2－t 2， d ＝22－t 2t ＝4t－2t ， 易知f (t )＝4t －2t 在⎝⎛⎦⎤1，62上是减函数， 所以d ∈⎣⎡⎭⎫63，2. 所以d 的取值范围是⎣⎡⎭⎫63，2. 3．已知椭圆C 1：x 2m ＋4－y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，求椭圆C 1的离心率e 1的取值范围．解 ∵椭圆C 1：x 2m ＋4－y 2n＝1， ∴a 21＝m ＋4，b 21＝－n ，c 21＝m ＋4＋n ，e 21＝m ＋4＋n m ＋4＝1＋n m ＋4. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋4＋n ＝m －n ，则n ＝－2，∴e 21＝1－2m ＋4. 由m >0得m ＋4>4，1m ＋4<14，－2m ＋4>－24， ∴1－2m ＋4>12， 即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，点P 为椭圆C 上任一点，若直线P A 与PB 的斜率之积为－34，且椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆的方程；(2)若PB ，P A 交直线x ＝－1于M ，N 两点，过左焦点F 作以MN 为直径的圆的切线．问切线长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，由题意知A (－a,0)，B (a,0)，且x 20a 2＋y 20b2＝1. 则k P A ·k PB ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2 ＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2·x 20－a 2x 20－a 2＝－b 2a 2＝－34， 即3a 2＝4b 2.①又因为椭圆经过点⎝⎛⎭⎫1，32， 故1a 2＋94b2＝1.② 由①②可知，b 2＝3，a 2＝4，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)，设k P A ＝k (k ≠0)．由k ·k PB ＝－34，得k PB ＝－34k. 所以直线PB 的方程为y ＝－34k(x －2)，令x ＝－1，则y ＝94k，故M ⎝⎛⎭⎫－1，94k . 直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝－1，则y ＝k ，故N (－1，k )．如图，因为y M y N ＝94k ·k ＝94>0，故以MN 为直径的圆在x 轴同侧．设FT 为圆的一条切线，切点为T ，连接MT ，NT ，可知△FTN ∽△FMT ，故|FT ||FM |＝|FN ||FT |，则|FT |2＝|FN |·|FM |＝|k |·⎪⎪⎪⎪94k ＝94，故|FT |＝32. 故过左焦点F 作以MN 为直径的圆的切线长为定值32. 5.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点P (m,5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (4，t )，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点，并说明理由．解 (1)由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其准线方程为y ＝－p 2，P (m,5)到焦点的距离等于P 到其准线的距离， 所以5＋p 2＝6，即p ＝2. 所以抛物线方程为x 2＝4y .(2)由(1)可得点M (4,4)，设直线MD 的方程为y ＝k (x －4)＋4(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －4＋4，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋16k －16＝0，由题意得，Δ>0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x M ·x 1＝16k －16，所以x 1＝16k －164＝4k －4， y 1＝4k －424＝4(k －1)2，同理可得，x 2＝－4k －4，y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋12， 所以直线DE 的方程为y －4(k －1)2＝4k －12－4⎝⎛⎭⎫1k ＋124k －4＋4k＋4(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k ⎝⎛⎭⎫k －1k －2k ＋1k(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x －4k ＋4)． 化简得y ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2x ＋4k －4k ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x ＋4)＋8. 所以直线DE 过定点(－4,8)．6.已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0. 直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋2，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0， Δ＝16(k －1)2>0， 已知此方程一个根为1， ∴x 1×1＝k －22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝－k2－4－k ＋4－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2] ＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k ，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k －8k ＝－1，∴直线AB 的斜率为定值－1.7.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为22，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且|PQ |＝2 2. (1)求C 的方程；(2)若直线l 是圆x 2＋y 2＝8上的点(2,2)处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．解 (1)由已知，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为|PQ |＝22，不妨设点P (－c ，2)， 代入椭圆方程得，c 2a 2＋2b 2＝1，又因为e ＝c a ＝22，所以12＋2b 2＝1，b ＝c ，所以b 2＝4，a 2＝2b 2＝8， 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题设，得直线l 的方程为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －4＝0，设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 0≠x 1且x 0≠x 2， 由切线MA 的斜率存在，设其方程为y －y 1＝k (x －x 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k x －x 1，x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4k (y 1－kx 1)x ＋2(y 1－kx 1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k 2(y 1－kx 1)2－8(2k 2＋1)[(y 1－kx 1)2－4]＝0，化简得(y 1－kx 1)2＝8k 2＋4，即(x 21－8)k 2－2x 1y 1k ＋y 21－4＝0，因为方程只有一解，所以k ＝x 1y 1x 21－8＝x 1y 1－2y 21＝－x 12y 1， 所以切线MA 的方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，即x 1x ＋2y 1y ＝8，同理，切线MB 的方程为x 2x ＋2y 2y ＝8， 又因为两切线都经过点M (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋2y 1y 0＝8，x 2x 0＋2y 2y 0＝8，所以直线AB 的方程为x 0x ＋2y 0y ＝8， 又x 0＋y 0＝4，所以直线AB 的方程可化为x 0x ＋2(4－x 0)y ＝8， 即x 0(x －2y )＋8y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，8y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以直线AB 恒过定点(2,1)．8.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b－a－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA |＝|MB |.求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2为定值． (1)解 将⎝⎛⎭⎫1，32与⎝⎛⎭⎫62，304两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，32a 2＋3016b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由|MA |＝|MB |，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知点A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 是椭圆的一个短轴顶点，此时 1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝76. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 23＝1，解得x 21＝123＋4k 2，y 21＝12k 23＋4k 2， 所以|OA |2＝|OB |2＝x 21＋y 21＝121＋k 23＋4k 2，同理，|OM |2＝121＋k 24＋3k 2.所以1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝2×3＋4k 2121＋k 2＋24＋3k 2121＋k2＝76.综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2|OM |2＝76为定值． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4,0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M (x 1，y 1)与N (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围． 解 (1)设a 2－b 2＝c 2，则c a ＝32，设P (x ，y )，则12F PF S ＝c |y |，∵|y |≤b ，∴12F PF S≤bc ＝ 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设MN 方程为x ＝ny ＋m (n ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0， 得(n 2＋4)y 2＋2nmy ＋m 2－4＝0， 由题意知，Δ＝16(n 2－m 2＋4)>0， ∴y 1＋y 2＝－2nm n 2＋4，y 1y 2＝m 2－4n 2＋4，∵关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0， 即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， 即y 1ny 1＋m －4＋y 2ny 2＋m －4＝0，得2ny 1y 2＋m (y 1＋y 2)－4(y 1＋y 2)＝0， 即2n m 2－4n 2＋4－2nm 2n 2＋4＋8nm n 2＋4＝0.解得m ＝1.直线MN 方程为x ＝ny ＋1， ∴直线MN 过定点B (1,0)． 又|y 1－y 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2n n 2＋42－4·－3n 2＋4＝4n 2＋3n 2＋42＝41n 2＋4－1n 2＋42，令1n 2＋4＝t ，∴t ∈⎝⎛⎭⎫0，14， ∴|y 1－y 2|＝4－t 2＋t ∈(0，3)， 又S ＝12|AB ||y 1－y 2|＝32|y 1－y 2|∈⎝⎛⎭⎫0，332.11.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意直线都满足要求； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|P A |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝|P A ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2x 1－11＋k 21－x 2＝x 1－11－x 2， 解得x 0＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k x －1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，由题意知，Δ>0显然成立，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k 21＋4k 2－2＝4.综上可知存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立．12.已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线y ＝12x 上的圆E 与x 轴相切，且E ，F 关于点M (－1,0)对称． (1)求E 和Γ的标准方程；(2)过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：|CD |>2|AB |. (1)解 设Γ的标准方程为x 2＝2py (p >0)， 则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2. 已知E 在直线y ＝12x 上，故可设E (2a ，a )．因为E ，F 关于M (－1,0)对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋02＝－1，p2＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，p ＝2.所以Γ的标准方程为x 2＝4y .因为E 与x 轴相切，故半径r ＝|a |＝1， 所以E 的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率存在， 设l 的斜率为k ，那么其方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 则E (－2，－1)到l 的距离d ＝|k －1|k 2＋1， 因为l 与E 交于A ，B 两点， 所以d 2<r 2，即k －12k 2＋1<1，解得k >0，所以|AB |＝21－d 2＝22kk 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋1消去y 并整理得x 2－4kx －4k ＝0.Δ＝16k 2＋16k >0恒成立， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k ， 那么|CD |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4k 2＋1·k 2＋k .所以|CD |2|AB |2＝16k 2＋1k 2＋k8k k 2＋1＝2k 2＋12k 2＋kk ＝2k k 2＋12k ＋1k>2k k＝2. 所以|CD |2>2|AB |2， 即|CD |>2|AB |.13，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F 1，F 2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ：y ＝x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，2a ＝4,2a ＋2b ＝6， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y ＝－x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得5x 2－8tx ＋4t 2－4＝0， Δ＝64t 2－4×5×(4t 2－4)>0，解得t 2<5，设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8t5，x 1x 2＝4t 2－45，设CD 的中点为M (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝4t 5，y 0＝－x 0＋t ＝t5，∴M ⎝⎛⎭⎫4t 5，t 5，又点M 也在直线y ＝x ＋m 上， 则t 5＝4t 5＋m ，∴t ＝－5m3， ∵t 2<5，∴m 2<95.则|CD |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·45－t 25.同理|AB |＝2·45－m 25.∵|AB |＝2|CD |， ∴|AB |2＝2|CD |2， ∴2t 2－m 2＝5， ∴m 2＝4541<95，∴存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，此时m 的值为±320541.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点． (1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立． (1)解 设椭圆的焦距为2c ， 因为c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.①知右焦点F 的坐标为(2b,0)，据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .②由①②得4x 2－62bx ＋3b 2＝0.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)，由③及根与系数的关系得：x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－24b . 所以k ON ＝y 0x 0＝－13，即为所求． (2)证明 显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2. 又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.④由③有x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24. 所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b )＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.⑤又点A ，B 在椭圆C 上，故有x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2.⑥将⑤，⑥代入④可得，λ2＋μ2＝1.所以，对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1.所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ.也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．15.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx －4＝0， 其判别式Δ＝(8k )2＋16(4k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－44k 2＋1， 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4λ－8k 2＋－4λ－34k 2＋1＝－3λ＋14k 2＋1－λ－2. 所以当λ＝－13时，－3λ＋14k 2＋1－λ－2＝－53， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－53为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →－13PC →·PD → ＝－2＋13＝－53. 故存在常数λ＝－13，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－53.。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
∴－k24－kk28－1k＜21＞0 0 Δ＞0
，结合已知条件有 22＜k＜1，
R(k22－k21，k22－k 1)，kRQ＝k2＋kk2－1， 直线 RQ 的方程为 y＋2＝k2＋kk2－1x， ∴x0＝k2＋2kk2－1＝－(1k－212)2＋54，
∵M(－2,0)，N(2,0)， ∴P→M＝(－2－x，－y)，P→N＝(2－x，－y)． ∴P→H·P→H＝x2，P→M·P→N＝－(4－x2)＋y2. 由条件，得 y2－x2＝4(x≠0)， 所以，所求动点的轨迹方程为 y2－x2＝4(x≠0)．
(2)设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解决圆锥曲线综合问题的思路 1．对于圆锥曲线的综合问题，在对题目内涵进行深刻挖掘的基础上，应用整体思想，构建转化 的“框架”，然后综合利用代数手段解题． 2．圆锥曲线的定义是解决综合题的基础．定义在本质上揭示了平面上的动点与定点(或定直线)的 距离满足某种特殊关系，用数形结合思想去理解圆锥曲线中的参数(a，b，c，e，p等)的几何意义以与这些参数 之间的相互关系，进而通过它们之间的关系组成题设条件的转化．
且P→F＝λF→Q，若 1≤λ≤2，求实数 m 的范围．
解：(1)M→N·A→F＝0，O→N＝12(O→A＋O→F)， ∴MN 垂直平分 AF. 又A→M∥M→E，∴点 M 在 AE 上， ∴|A→M|＋|M→E|＝|A→E|＝m|E→F|＝2m， 又|M→A|＝|M→F|，
∴|M→E|＋|M→F|＝2m＞|E→F|， ∴点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 a＝m， 半焦距 c＝1， ∴b2＝a2－c2＝m2－1， ∴点 M 的轨迹 W 的方程是mx22＋m2y－2 1＝1(m＞1)．
高中数学 一轮复习 圆锥曲线的综合问题 含答案
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。
高三数学第一轮复习--圆锥曲线综合题
∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 1 m 1
消去y得：
(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) , 整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，
2m
3.A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点 P4， .一使辆∠卡O车PA高=32米,，则宽椭1圆.6离米心，率欲的通范过围抛是物_2线_2_＜形__e隧_＜_道_1_，. 拱口宽恰好
是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小
整数值是____1_3____.
5.已知抛物线y =x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P 在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是______.
知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 x2 y2 =1的右支上.
45 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置， 利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得
kPA= 3, 所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角
应是北偏东30°.
则 2v0 sin
高三一轮复习圆锥曲线的综合问题共44页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高三一轮复习圆锥曲线的综 合问题
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
高三数学一轮复习试题：圆锥曲线综合问题_考前复习
高三数学一轮复习试题：圆锥曲线综合问题_考前复习
导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?今天查字典数学网小编末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。
7.已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上。
(1)求椭圆E的方程。
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC的面积最大时，求直线l 的方程。
永远清楚，数学学习的路上不只你一个人在努力!更多数学专题资讯，敬请关注查字典数学网。
末宝带你游数学：
高三数学一轮复习试题：曲线与方程
高考数学：圆锥曲线相关结论汇总
高三数学题：深度分析创新题
高三数学题：23道经典不等式证明题。
高中数学 一轮复习 圆锥曲线的综合问题 含答案
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015·浙江)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2， x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4， 即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________． 答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12. 且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)答案 B解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点， 则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a |>3，所以e ＝ 1＋b 2a 2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A. 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ， 得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)，所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1) ＝－1＋42－ 3(1－1m 2)，由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1. 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1. 因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1， 得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2). 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点， ∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直， 故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)2＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。
高三数学一轮复习 圆锥曲线的综合巩固与练习 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校稳固1．曲线C 的方程是y ＝x (1≤x ≤5)，那么以下四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B ．(15，15)C ．(1,5)D ．(4,4)解析：选D.∵1≤x ≤5，∴C、D 中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D 满足．2．抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，那么C 2的准线方程为( )A ．x ＝18B ．x ＝－18 C ．x ＝12 D ．x ＝－12解析：选A.因y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，关于y ＝－x 对称方程为x ＝18. 3．(原创题)设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*〞：x 1*x 2=( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2,假设x ≥0,那么动点P (x,x *a )的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一局部C ．双曲线的一局部D ．抛物线的一局部 解析：选D.∵x 1* x 2＝( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2，∴x *a =(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax .那么P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)， 即⎩⎨⎧x 1＝x ，y 1＝2ax ，消去x 得y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)． 故点P 的轨迹为抛物线的一局部．4．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．假设AB 的中点为(2,2)，那么直线l 的方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F (1,0)，故抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案：y ＝x5．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是________．解析：过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得：x 2－x －a －3＝0.因为直线与抛物线没有交点，那么方程无解． 即Δ＝1＋4(a ＋3)＜0， 解之得a ＜－134. 答案：(－∞，－134) 6．椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得b 2a 2＝1－e 2＝23； 由直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得22＝|b |.所以，b ＝2，a ＝3 所以椭圆的方程是x 23＋y 22＝1.(2)由条件，知|MF 2|＝|MP |，即动点M 到定点F 2(1,0)的距离等于它到直线l 1：x ＝－1的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是y 2＝4x .练习1．以下说法正确的选项是( )A ．△ABC 中，A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，那么AB 边上的高的方程是x ＝2 B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．平面上两定点A 、B ，动点P 满足|PA |－|PB |＝12|AB |，那么P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：选D.曲线与方程概念：(1)曲线上所有点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．选项A 符合(1)但不符合(2)．选项B 符合(2)但不符合(1)．选项C 符合(2)但不符合(1)．选项D 符合(1)、(2)．应选D.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，假设过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，那么直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C.设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.所以－1≤k ≤1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，那么|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455C.4 105D.8 105解析：选C.设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4 105. 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4) 解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，那么P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35， ∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．5．(2021年高考卷)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，那么双曲线的离心率为( )A.54B ．5 C.52D.5 解析：选D.不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝bax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－bax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(－b a )2－4＝0，所以b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋(ba)2＝5，应选D.6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，假设PM →＝λPM →，(其中λ为正常数)，那么点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：选B.设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 那么Q (x 0,0)，由PM →＝λPM →得⎩⎨⎧x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy .(λ>0)∴⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y .由于x 02＋y 02＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1. ∴M 的轨迹是椭圆．7．(2021年高考卷)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，假设线段AB 的长为8，那么p ＝________.解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p 2与y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2. 答案：28．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，那么双曲线的离心率等于________．答案：29．过抛物线y 2＝4x 的焦点，且倾斜角为34π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，那么△OPQ的面积等于________．解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么S ＝12|OF |·|y 1－y 2|.直线为x ＋y －1＝0，即x ＝1－y 代入y 2＝4x 得：y 2＝4(1－y )，即y 2＋4y －4＝0，∴y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16＋16＝42，∴S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×42＝2 2.答案：2210．直角坐标平面上一点Q (2,0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．解：设MN 切圆C 于N ，又圆的半径为|CN |＝1， 因为|CM |2＝|MN |2＋|CN |2＝|MN |2＋1，所以|MN |＝|CM |2－1.由|MN |＝|MQ |＋1，设M (x ，y )，那么x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1，两边平方得2x －3＝(x －2)2＋y 2，即3x 2－y 2－8x ＋5＝0(x ≥32)．11.(2021年高考卷)，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1， 解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4(32＋k )2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E ＝12. 即直线EF 的斜率为定值，其值为12. 12．直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的HY 方程；(2)圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1.试证明：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解：(1)由x ＋ky －3＝0得，(x －3)＋ky ＝0， 所以直线过定点(3,0)，即F 为(3,0)．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＋c ＝8a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，c ＝3.故所求椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以m 225＋n 216＝1. 从而圆心O 到直线l 的距离d＝1m2＋n2＝1m2＋16(1－125m2)＝1925m2＋16＜1.所以直线l与圆O恒相交．又直线l被圆O截得的弦长L＝2r2－d2＝2 1－1m2＋n2＝21－1925m2＋16，由于0≤m2≤25，所以16≤925m2＋16≤25，那么L∈[152，465]，即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[152，465]．。
高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练(供参考)
2015 高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、 4、6、 11直线与圆锥曲线的综合问题3、 8、9、 14圆与圆锥曲线的综合问题7、 10、 12、 13圆锥曲线与其余内容的综合1、 5一、选择题1.椭圆错误 ! 未找到引用源。
+错误 ! 未找到引用源。
=1(a>b>0) 的左极点为 A, 左、右焦点分别为F1,F 2,D 是它短轴上的一个端点 , 若 3 错误 ! 未找到引用源。
=错误 ! 未找到引用源。
+2 错误! 未找到引用源。
, 则该椭圆的离心率为 ( D )(A) 错误 ! 未找到引用源。
(B) 错误 ! 未找到引用源。
(C) 错误 ! 未找到引用源。
(D) 错误 !未找到引用源。
分析 : 设 D(0,b),则错误!未找到引用源。
=(-c,-b),错误 ! 未找到引用源。
=(-a,-b),错误!未找到引用源。
=(c,-b),由 3 错误 ! 未找到引用源。
=错误 ! 未找到引用源。
+2 错误 ! 未找到引用源。
得-3c=-a+2c,即 a=5c,∴e=错误 ! 未找到引用源。
=错误 ! 未找到引用源。
.应选 D.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线错误!未找到引用源。
-错误 ! 未找到引用源。
=1 的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合 , 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )(A) 错误 ! 未找到引用源。
(B)4 错误 ! 未找到引用源。
(C)3(D)52分析 : 抛物线 y =12x 的焦点是 (3,0),222∴双曲线的渐近线方程为y=±错误 ! 未找到引用源。
x,焦点 (3,0) 到 y=±错误 ! 未找到引用源。
x 的距离 d=错误 ! 未找到引用源。
=错误 ! 未找到引用源。
.应选 A.3. 椭圆 ax2+by2 =1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点 , 过原点与线段AB中点直线的斜率为错误!未找到引用源。
XX高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练范文整理
XX高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、4、6、11直线与圆锥曲线的综合问题3、8、9、14圆与圆锥曲线的综合问题7、10、12、13圆锥曲线与其他内容的综合1、5一、选择题椭圆+=1的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为解析:设D,则=,=,=,由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,∴e==.故选D.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于35解析:抛物线y2=12x的焦点是,c=3,b2=c2-a2=5.∴∴双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点到y=±x的距离d==.故选A.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为解析:设交点坐标为A,B,中点为,将y=1-x代入ax2+by2=1得x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,∴y1+y2=2-=,y0=,∴===.故选A.过椭圆+=1的焦点垂直于x轴的弦长为,则双曲线-=1的离心率e的值是解析:设椭圆的半焦距为c1,在椭圆中当x=c1时,+=1,y2=b21-=,∴y=±.∴=,即a2=4b2,设双曲线的半焦距为c2,=a2+b2=5b2,∴在双曲线中∴e===.故选B.点P在双曲线-=1上,F1、F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e>1,所以e=5.故选D.如图所示,在等腰梯形ABcD中,AB∥cD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈0,,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以c、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设AD=1,则AB=2,Dc=2-2cosθ,在△ABD中,由余弦定理得BD=,e1==,θ∈0,,所以随着角度θ的增大,e1减小;又e2===,∴e1e2==1,故选B.过双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为x±y=02x±y=0x±y=0x±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连结oT、PF′.∵FT为圆的切线,∴FT⊥oT,且|oT|=a,又∵T、o分别为FP、FF′的中点,∴oT∥PF′且|oT|=|PF′|,∴|PF′|=2a,且PF′⊥PF.又|PF|-|PF′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,即16a2+4a2=4c2,∴=5.=2,∴=-1=4,∴即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.二、填空题设P为直线y=x与双曲线-=1左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=解析:由消去y得x=±a.又PF1⊥x轴,∴a=c,∴e==.答案:已知抛物线c的方程为x2=y,过点A和点B的直线与抛物线c没有公共点,则实数t的取值范围是解析:当t=0时,直线AB与抛物线c有公共点,当t≠0,则过点A和点B的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2.答案:∪0.过双曲线c:-=1的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AoB=120°,则双曲线c的离心率为解析:如图,由题知oA⊥AF,oB⊥BF且∠AoB=120°,∴∠AoF=60°.又oA=a,oF=c,∴==cos60°=,∴=2.答案:21.点A是抛物线c1:y2=2px与双曲线c2:-=1的一条渐近线的交点,若点A到抛物线c1的准线的距离为p,则双曲线c2的离心率等于解析:设A,∵A在抛物线上,∴x0+=p,∴x0=,由=2px0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.答案:三、解答题已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆c:x2+y2-4x+2y=0的圆心c.求椭圆的方程;.的方程l求直线,相切c过椭圆的焦点且与圆l设直线解:圆c方程可化为2+2=6,圆心c,半径r=设椭圆的方程为+=1,则∴∴所求椭圆的方程是+=1.由得椭圆的左右焦点分别是F1,F2,|F2c|==0,y20,∴关于的方程2-+2-3=0有解.∴在x轴上存在点c,使得|cA|2+|cB|2=|AB|2成立.已知抛物线c的顶点为原点,其焦点F到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线c的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.求抛物线c的方程;当点P为直线l上的定点时,求直线AB的方程;当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.解:∵抛物线c的焦点F到直线l:x-y-2=0的距离为, ∴=,得c=1,∴F,即抛物线c的方程为x2=4y.设切点A,B,由x2=4y得y′=x,∴切线PA:y-y1=x1,有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线PA:y=x1x-y1,同理可得切线PB:y=x2x-y2.∵两切线均过定点P,∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,∴直线AB的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.设点P的坐标为,由x′-y′-2=0,得x′=y′+2,则|AF|?|BF|=?=?=?=?=y1y2++1.由得y2+y+y′2=0,有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2, ∴|AF|?|BF|=y′2+x′2-2y′+1 =y′2+2-2y′+1+2+,′=2y当y′=-,x′=时,即P,-时,|AF|?|BF|取得最小值.。
高三数学第一轮复习测试及详细解答8圆锥曲线
高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为12(1,0),(3,0)F F ,则其离心率为 （ ） A ．34B ．23C ．12D ．142．若抛物线22y px =的焦点及椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 3．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离及点P 到右准线的距离 之比等于 （ ）A ．2B ．332 C ． 2 D ．44．及y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A ．24(1)(01)y x x =--<≤ B ．24(1)(01)y x x =-<≤ C ．24(1)(01)y x x =+<≤ D ． 22(1)(01)y x x =--<≤5．直线2y k =及曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 6．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中及该双曲线共焦点的是 （ ）A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+7．曲线221(6)106x y m m m+=<--及曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同 D ．准线相同8．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ） A ．14-B ．4-C ．4D ．149．设过点()y x P ,的直线分别及x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 及点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是 （ ）A ．()0,0123322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y xC ．()0,0132322>>=-y x y x D ．()0,0132322>>=+y x y x 10．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43B ．75C ．85D ．311．已知抛物线21x y =+上一定点(1,0)A -和两动点,P Q 当PA PQ ⊥是,点Q 的横坐标的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[3,1]- D ． (,3]-∞-[1,)+∞12．椭圆22143x y +=上有n 个不同的点:,,....,21n P P P ,椭圆的右焦点为F ,数列{||}n P F 是公差大于1100的等差数列,则n 的最大值为 （ ） A ．199B ．200C ．198D ．201二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．椭圆221123x y +=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆上.如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的______________倍.14．如图把椭圆2212516x y 的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=.15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________. 16．已知两点(5,0),(5,0)M N -,给出下列直线方程:①530x y -=;②53520x y --=;③40x y --=.则在直线上存在点P 满足||||6MP PN =+的所有直线方程是_______.(只填序号)三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？18．（本小题满分12分）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
高考理科数学一轮复习练习-圆锥曲线的综合问题
9.7 圆锥曲线的综合问题探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例 考向 关联考点 1.定值与定点问题 掌握与圆锥曲线有关的定值与定点问题2018课标Ⅰ,19,12分 定值问题 角平分线的性质, 斜率公式★★★2017课标Ⅰ,20,12分 定点问题 根与系数的关系、 斜率公式 2.最值与 范围问题 掌握与圆锥曲线有关的参数范围问题 2016课标Ⅱ,20,12分 范围问题 椭圆的几何性质★★★3.存在性问题了解并掌握与圆锥曲线有关的存在性问题2015课标Ⅱ,20,12分存在性问题根与系数的关系、 斜率公式★★☆ 分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重考查学生的数学运算、逻辑推理的核心素养,分值约为12分,难度偏大.破考点 练考向 【考点集训】考点一 定值与定点问题1.(2018重庆綦江模拟,9)已知圆C:x 2+y 2=1,点P 为直线x+2y-4=0上一动点,过点P 向圆C 引两条切线PA,PB,A,B 为切点,则直线AB 经过定点( ) A.(12,14) B.(14,12)C.(√34,0)D.(0,√34) 答案 B2.(2020届河南名校联盟9月月考,19)已知O 为坐标原点,过点M(1,0)的直线l 与抛物线C:y 2=2px(p>0)交于A,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点M 作直线l'⊥l,交抛物线C 于P 、Q 两点,记△OAB,△OPQ 的面积分别为S 1,S 2,证明:1S 12+1S 22为定值.解析 (1)易知直线l 的斜率不为0,故设直线l 的方程为x=my+1, 与抛物线C:y 2=2px(p>0)联立,消去x 得y 2-2pmy-2p=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=2pm,y 1y 2=-2p.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,得x 1x 2+y 1y 2=(my 1+1)(my 2+1)+y 1y 2 =(1+m 2)y 1y 2+m(y 1+y 2)+1 =(1+m 2)·(-2p)+2pm 2+1 =-2p+1=-3,解得p=2, ∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)证明:易知直线l,l'的斜率均存在且不为0.由(1)知,点M(1,0)是抛物线C 的焦点,所以|AB|=x 1+x 2+p=my 1+my 2+2+p=4m 2+4,又原点到直线l 的距离为√1+m 2,所以△OAB 的面积S 1=12×√1+m2×4(m 2+1)=22, 又直线l'过点M,且l'⊥l,所以△OPQ 的面积S 2=2√1+(-1m )2=2√1+m2m 2,所以1S 12+1S 22=14(1+m 2)+m 24(1+m 2)=14,即1S 12+1S 22为定值.考点二 最值与范围问题1.(2018河北百校联盟4月联考,16)已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,准线为l 1,直线l 2与抛物线C 相切于点P,记点P 到直线l 1的距离为d 1,点F 到直线l 2的距离为d 2,则d 2d 1+2的最大值为 .答案122.(2020届四川成都摸底考试,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-√3,0),F 2(√3,0),且经过点A (√3,12).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P,Q 两点,记点P 关于x 轴对称的点为P',若直线P'Q 与x 轴相交于点D,求△DPQ 面积的最大值.解析 本题主要考查椭圆的方程及定义、直线与椭圆的位置关系、直线方程、基本不等式,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)由椭圆的定义,可知2a=|AF 1|+|AF 2|=√(2√3)2+(12)2+12=4,解得a=2.又b 2=a 2-c 2=22-(√3)2=1,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意,设直线l 的方程为x=my+4(m ≠0),P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则P'(x 1,-y 1). 由{x =my +4,x 24+y 2=1消去x,可得(m 2+4)y 2+8my+12=0. ∵Δ=16(m 2-12)>0,∴m 2>12. ∴y 1+y 2=-8m m 2+4,y 1y 2=12m 2+4.∵k P'Q =y 2+y1x 2-x 1=y 2+y 1m(y2-y 1),∴直线P'Q 的方程为y+y 1=y 2+y 1m(y2-y 1)(x-x 1),令y=0,可得x=m(y 2-y 1)y 1y 1+y 2+my 1+4.∴x=2my 1y 2y 1+y 2+4=2m ·12m 2+4-8m m 2+4+4=24m -8m+4=1,∴D(1,0).∴S △DPQ =|S △BDP -S △BDQ |=12|BD|·|y 1-y 2|=32√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6√m 2-12m 2+4.令t=√m 2-12,t ∈(0,+∞), 则S △DPQ =6tt 2+16=6t+16t≤34,当且仅当t=4,即m=±2√7时等号成立, ∴△DPQ 面积的最大值为34.思路分析(1)首先由椭圆的定义求出a,然后由椭圆中a,b,c的关系求b,从而求得椭圆的方程;(2)设出直线l的方程与点P,Q的坐标,联立直线l与椭圆的方程,利用斜率公式求得直线P'Q的斜率,进而得直线P'Q的方程,由此求得点D的坐标,再利用面积公式求得S△DPQ的表达式,从而利用换元法与基本不等式求出其最大值.考点三 存在性问题(2019内蒙古通辽五中模拟,20)已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√63,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32. (1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点,问:是否存在这样的实数k,使得以CD 为直径的圆过E 点?若存在,请求出k 值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)直线AB 的方程为bx-ay-ab=0, 依题意可得{ca=√63,√a 2+b 2=√32,又c 2=a 2-b 2,解得a 2=3,b 2=1,∴椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)存在,k=76.理由:假设存在这样的实数k, 由{y =kx +2,x 2+3y 2-3=0,得(1+3k 2)x 2+12kx+9=0, ∴Δ=(12k)2-36(1+3k 2)>0.① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则{x 1+x 2=-12k1+3k 2,②x 1·x 2=91+3k2,③ y 1·y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4, 要使以CD 为直径的圆过点E(-1,0),只需CE ⊥DE, 即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k+1)(x 1+x 2)+5=0,④ 将②③代入④整理得k=76,经验证,k=76时,①成立.故存在k=76使得以CD 为直径的圆过点E.炼技法 提能力 【方法集训】方法 最值问题的求解方法1.(2019河南郑州一中4月模拟,10)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.17√23B.3C.3√38D.3√132答案 D2.(2019甘肃兰州铁一中模拟,15)已知F 是抛物线x 2=4y 的焦点,P 为抛物线上的动点,且点A 的坐标为(0,-1),则√2|PA|+|PF||PF|的最大值是 .答案 3【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 定值与定点问题(2017课标Ⅰ,20,12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;(2)证明:设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 解析 (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点. 又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1.故C 的方程为x 24+y 2=1. (2)证明:设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l:x=t,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A,B 的坐标分别为(t,√4-t 22),(t,-√4-t 22).则k 1+k 2=√4-t 2-22t-√4-t 2+22t=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m ≠1).将y=kx+m 代入x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0. 由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2,由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0, 即(2k+1)·4m 2-44k 2+1+(m-1)·-8km4k 2+1=0. 解得k=-m+12.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m,即y+1=-m+12(x-2),所以l 过定点(2,-1).思路分析 (1)利用椭圆的对称性易知点P 3,P 4在椭圆上,将点P 1(1,1)代入椭圆方程,经过比较可知点P 1(1,1)不在椭圆上,进而可列方程组求出椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,将直线l 与椭圆的方程联立并消元,利用根与系数的关系使问题得解,在解题中要注意直线斜率不存在的情况. 方法点拨 定点问题的常见解法:(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出满足方程且与参数无关的坐标,该坐标对应的点即为所求的定点. (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该定点符合题意.考点二 最值与范围问题(2016课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k 的取值范围. 解析 (1)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,E 的方程为x 24+y 23=1,A(-2,0).(1分)由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y=x+2.(2分) 将x=y-2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127.(4分)因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449.(5分)(2)由题意,t>3,k>0,A(-√t ,0).将直线AM 的方程y=k(x+√t ) 代入x 2t +y 23=1得(3+tk 2)x 2+2√t ·tk 2x+t 2k 2-3t=0.(7分)由x 1·(-√t )=t 2k 2-3t3+tk 2得x 1=√t(3-tk 2)3+tk 2, 故|AM|=|x 1+ √t |√1+k 2=6√t(1+k 2)3+tk 2.(8分)由题设,直线AN 的方程为y=-1k (x+√t ), 故同理可得|AN|=6k√t(1+k 2)3k +t .(9分)由2|AM|=|AN|得23+tk 2=k3k 2+t ,即(k 3-2)t=3k(2k-1). 当k=√23时上式不成立,因此t=3k(2k -1)k 3-2.(10分) t>3等价于k 3-2k 2+k -2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.(11分)由此得{k -2>0,k 3-2<0或{k -2<0,k 3-2>0,解得√23<k<2.因此k 的取值范围是(√23,2).(12分)疑难突破 第(1)问中求出直线AM 的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用2|AM|=|AN|得出t 与k 的关系式,由t>3,建立关于k 的不等式,从而得出k 的取值范围.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系以及方程思想的应用,考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.挖掘出题目中t>3这一隐含条件是把等式转化为不等式的关键.考点三 存在性问题(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m3,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解析 (1)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =yM x M=-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.思路分析 (1)设出直线l 的方程,与椭圆方程联立并消元,利用韦达定理求得AB 的中点M 的坐标,进而可得出结论;(2)要使四边形OAPB 为平行四边形,则线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M ,由此结合已知条件建立相应方程,进而通过解方程使问题得解.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 定值与定点问题(2019北京,18,14分)已知抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.解析 本题主要考查抛物线、直线和圆的基本概念,重点考查直线与抛物线的位置关系,考查学生对数形结合思想的应用以及逻辑推理能力,通过直线与抛物线的位置关系考查了数学运算的核心素养. (1)由抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2. 所以抛物线C 的方程为x 2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明:抛物线C 的焦点为F(0,-1). 设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0). 由{y =kx -1,x 2=-4y 得x 2+4kx-4=0. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1x 2=-4, 直线OM 的方程为y=y1x 1x.令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x2y 2.设点D(0,n),则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x1y 1,-1-n),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 2y2,-1-n), DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y2+(n+1)2=x 1x 2(-x 124)(-x 224)+(n+1)2=16x1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).考点二 最值与范围问题1.(2019北京,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.① B.② C.①② D.①②③答案 C2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,焦距为2. (1)求椭圆E 的方程;(2)如图,动直线l:y=k 1x-√32交椭圆E 于A,B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为k 2,且k 1k 2=√24.M 是线段OC 延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M 的半径为|MC|,OS,OT 是☉M 的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.解析 (1)由题意知e=c a =√22,2c=2,所以a=√2,b=1,因此椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x 22+y 2=1,y =k 1x -√32,消y 整理得(4k 12+2)x 2-4√3k 1x-1=0,由题意知Δ>0,且x 1+x 2=2√3k 12k 12+1,x 1x 2=-12(2k 12+1),所以|AB|=√1+k 12|x 1-x 2|=√2·√1+k 12√1+8k 121+2k 12.由题意可知圆M 的半径r=23|AB|=2√23·√1+k 12√1+8k 122k 12+1.由题设知k 1k 2=√24,所以k 2=√24k 1, 因此直线OC 的方程为y=√24k 1x. 联立{x 22+y 2=1,y =√24k 1x,得x 2=8k 121+4k 12,y 2=11+4k 12, 因此|OC|=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12.由题意可知sin∠SOT 2=rr+|OC|=11+|OC|r,而|OC|r=√1+8k 121+4k 122√23·√1+k 1√1+8k 11+2k 12=3√24·12√1+4k 1√1+k 1,令t=1+2k 12,则t>1,1t ∈(0,1),因此|OC|r=32·√2t 2+t -1=32·√2+t -t 2=32·√-(t -2)2+4≥1,当且仅当1t =12,即t=2时等号成立,此时k 1=±√22, 所以sin ∠SOT 2≤12,因此∠SOT 2≤π6,所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述,∠SOT 的最大值为π3,取得最大值时直线l 的斜率k 1=±√22.思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l 与椭圆方程,利用弦长公式求出|AB|,联立直线OC 与椭圆方程求|OC|,进而建立sin∠SOT 2与k 1之间的函数关系,利用二次函数的性质求解.疑难突破把角的问题转化为三角函数问题,即由sin∠SOT2=11+|OC|r=f(k1)求解是解题的突破口.解题反思最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin∠SOT2与k1之间的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的完美解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.考点三 存在性问题(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,过点P(0,1)的动直线l 与椭圆相交于A,B两点.当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2√2. (1)求椭圆E 的方程;(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q,使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)由已知得,点(√2,1)在椭圆E 上. 因此,{ 2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =√22,解得a=2,b=√2.所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C,D 两点. 如果存在定点Q 满足条件, 则有|QC||QD|=|PC||PD|=1, 即|QC|=|QD|.所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0). 当直线l 与x 轴垂直时, 设直线l 与椭圆相交于M,N 两点, 则M,N 的坐标分别为(0,√2),(0,-√2). 由|QM||QN|=|PM||PN|,有0√2||y +√2|=√2-√2+1, 解得y0=1或y 0=2.所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点坐标只可能为(0,2).下面证明:当Q 的坐标为(0,2)时,对任意直线l,均有|QA||QB|=|PA||PB|. 当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). 联立{x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0. 其判别式Δ=(4k)2+8(2k 2+1)>0,所以,x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x2x 1x2=2k. 易知,点B 关于y 轴对称的点B'的坐标为(-x 2,y 2). 又k QA =y 1-2x 1=kx 1-1x 1=k-1x 1,k QB'=y 2-2-x2=kx 2-1-x 2=-k+1x 2=k-1x 1,所以k QA =k QB',即Q,A,B'三点共线. 所以|QA||QB|=|QA||QB'|=|x 1||x 2|=|PA||PB|.故存在与P 不同的定点Q(0,2), 使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.C 组 教师专用题组考点一 定值与定点问题1.(2018北京,19,14分)已知抛物线C:y 2=2px 经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A,B,且直线PA 交y 轴于M,直线PB 交y 轴于N. (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值. 解析 (1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x,由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0). 由{y 2=4x,y =kx +1得k 2x 2+(2k-4)x+1=0. 依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2). 从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由(1)知x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k 2.直线PA 的方程为y-2=y 1-2x 1-1(x-1). 令x=0,得点M 的纵坐标为y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2.同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2.由QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得λ=1-y M ,μ=1-y N . 所以1λ+1μ=11-y M+11-y N=x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k 2+2k -4k 21k 2=2.所以1λ+1μ为定值.方法总结 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式有关的等式,化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形即可求得;(3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.2.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M,直线PB 与x 轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值. 解析 (1)由题意得{ c a =√32,12ab =1,a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x 0,y 0),则x 02+4y 02=4.当x 0≠0时,直线PA 的方程为y=y 0x 0-2(x-2).令x=0,得y M =-2y 0x-2,从而|BM|=|1-y M |=|1+2y 0x0-2|.直线PB 的方程为y=y 0-1x 0x+1.令y=0,得x N =-x 0y 0-1,从而|AN|=|2-x N |=|2+x 0y 0-1|.所以|AN|·|BM|=|2+x0y 0-1|·|1+2y 0x0-2|=|x 02+4y 02+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2|=|4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2|=4.当x 0=0时,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|·|BM|=4. 综上,|AN|·|BM|为定值.一题多解 (2)点P 在曲线(x 2)2+(y 1)2=1上,不妨设P(2cos θ,sin θ),当θ≠kπ且θ≠kπ+π2(k ∈Z )时,直线AP 的方程为y-0=sinθ2(cosθ-1)(x-2),令x=0,得y M =sinθ1-cosθ; 直线BP 的方程为y-1=sinθ-12cosθ(x-0),令y=0,得x N =2cosθ1-sinθ. ∴|AN|·|BM|=2|1-cosθ1-sinθ|·|1-sinθ1-cosθ||=2×2=4(定值).=2|2(1-sinθ)(1-cosθ)(1-sinθ)(1-cosθ)当θ=kπ或θ=kπ+π(k∈Z)时,M、N是定点,易得|AN|·|BM|=4.综上,|AN|·|BM|=4.2考点二 最值与范围问题1.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C:y 2=4x 上存在不同的两点A,B 满足PA,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.解析 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.(1)设P(x 0,y 0),A (14y 12,y 1),B (14y 22,y 2).因为PA,PB 的中点在抛物线上, 所以y 1,y 2为方程(y+y 02)2=4·14y 2+x 02,即y 2-2y 0y+8x 0-y 02=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴. (2)由(1)可知{y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 02,所以|PM|=18(y 12+y 22)-x 0=34y 02-3x 0,|y 1-y 2|=2√2(y 02-4x 0).因此,△PAB 的面积S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=3√24(y 02-4x 0)32.因为x 02+y 024=1(x 0<0),所以y 02-4x 0=-4x 02-4x 0+4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是[6√2,15√104].疑难突破 解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x 、y 轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值.2.(2015浙江,19,15分)已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A,B 关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).解析 (1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y=-1m x+b.由{x 22+y 2=1,y =-1m x +b消去y,得(12+1m 2)x 2-2bmx+b 2-1=0. 因为直线y=-1mx+b 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+4m 2>0,①将AB 的中点M (2mbm 2+2,m 2bm 2+2)代入直线方程y=mx+12,解得 b=-m 2+22m 2.②由①②得m<-√63或m>√63. (2)令t=1m∈(-√62,0)∪(0,√62), 则|AB|=√t 2+1·√-2t 4+2t 2+32t 2+12,且O 到直线AB 的距离为d=t 2+12√t 2+1.设△AOB 的面积为S(t),所以S(t)=12|AB|·d=12√-2(t 2-12)2+2≤√22. 当且仅当t 2=12时,等号成立.故△AOB 面积的最大值为√22.3.(2015天津,19,14分)已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为√33,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=b 24截得的线段的长为c,|FM|=4√33. (1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于√2,求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围. 解析 (1)由已知有c 2a2=13,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=3c 2,b 2=2c 2.设直线FM 的斜率为k(k>0),则直线FM 的方程为y=k(x+c).由已知,有(√k 2+1)2+(c 2)2=(b 2)2,解得k=√33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c2+y 22c2=1,直线FM 的方程为y=√33(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x 2+2cx-5c 2=0,解得x=-53c 或x=c.因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为(c,2√33c). 由|FM|=√(c +c)2+(2√33c -0)2=4√33,解得c=1,所以椭圆的方程为x 23+y 22=1.(3)设点P 的坐标为(x,y),直线FP 的斜率为t,得t=yx+1,即y=t(x+1)(x ≠-1),与椭圆方程联立得{y =t(x +1),x 23+y 22=1,消去y,整理得2x 2+3t 2(x+1)2=6.又由已知,得t=√6-2x 23(x+1)2>√2,解得-32<x<-1或-1<x<0.设直线OP 的斜率为m,得m=y x,即y=mx(x ≠0),与椭圆方程联立,整理可得m 2=2x2-23.①当x ∈(-32,-1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=√2x 2-23,得m ∈(√23,2√33). ②当x ∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-√2x2-23,得m ∈(-∞,-2√33). 综上,直线OP 的斜率的取值范围是(-∞,-2√33)∪(√23,2√33). 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力.4.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心,以3为半径的圆与以F 2为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q. (i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值.解析 (1)证明:由题意知2a=4,则a=2. 又c a =√32,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (i)设P(x 0,y 0),|OQ||OP|=λ,由题意知Q(-λx 0,-λy 0). 因为x 024+y 02=1,又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1, 所以λ=2,即|OQ||OP|=2.(ii)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0,由Δ>0,可得m 2<4+16k 2.①由韦达定理有x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2. 所以|x 1-x 2|=4√16k 2+4-m 21+4k 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2| =2√16k 2+4-m 2|m|1+4k 2=2√(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2√(4-m 21+4k 2)m 21+4k 2. 设m 21+4k 2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.②由①②可知0<t ≤1,因此S=2√(4-t)t =2√-t 2+4t ,故S ≤2√3, 当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2√3.由(i)知,△ABQ 面积为3S, 所以△ABQ 面积的最大值为6√3.考点三 存在性问题(2015北京,19,14分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P(0,1)和点A(m,n)(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M.(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)由题意得{b =1,ca=√22,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设M(x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n<1. 直线PA 的方程为y-1=n -1m x, 所以x M =m1-n ,即M (m1-n ,0).(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B(m,-n). 设N(x N ,0),则x N =m1+n .“存在点Q(0,y Q )使得∠OQM=∠ONQ ”等价于“存在点Q(0,y Q )使得|OM||OQ|=|OQ||ON|”,即y Q 满足y Q 2=|x M ||x N |.因为x M =m 1-n ,x N =m1+n ,m 22+n 2=1,所以y Q 2=|x M ||x N |=m 21-n 2=2.所以y Q =√2或y Q =-√2.故在y 轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ. 点Q 的坐标为(0,√2)或(0,-√2).【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019江西南昌重点中学调研考试,11)设点M 为抛物线C:y 2=4x 的准线上一点(不同于准线与x 轴的交点),过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A,B 两点,设MA,MF,MB 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1+k 3k 2的值为( ) A.2B.2√2C.4D.4√2答案 A2.(2020届山西太原五中第二次诊断,12)已知A(0,3),若点P 是抛物线x 2=8y 上任意一点,点Q 是圆x 2+(y-2)2=1上任意一点,则|PA|2|PQ|的最小值为( )A.4√3-4B.2√2-1C.2√3-2D.4√2+1答案 A3.(2018河南中原名校4月联考,11)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A,B,以线段AB 为直径的圆E 上存在点P,Q,使得以PQ 为直径的圆过点D(-2,t),则实数t 的取值范围为( )A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[-1,3]C.(-∞,2-√7]∪[2+√7,+∞)D.[2-√7,2+√7]答案 D4.(2020届山东夏季高考模拟,6)已知点A为曲线y=x+4x(x>0)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是()A.3B.4C.3√2D.4√2答案A二、填空题(共5分)5.(2019四川成都第二次适应性考试,16)已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,抛物线C在A,B两点处的切线分别是l1,l2,且l1,l2相交于点P,则|PF|+32|AB|的最小值是.答案 6三、解答题(共60分)6.(2020届河南安阳9月月考,20)如图,过点P(1,0)作两条直线x=1和l,分别交抛物线y2=4x于A,B和C,D(其中A,C位于x轴上方,l的斜率大于0),直线AC,BD交于点Q.(1)求证:点Q在定直线上;(2)若λ=S△PQCS△PBD,求λ的最小值.解析本题考查直线与抛物线的位置关系,三角形面积比,基本不等式求最值,体现了逻辑推理,数学运算的核心素养.(1)证明:设C(c 24,c),D(d24,d),l:x=ty+1,将x=ty+1代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,所以cd=-4.又A(1,2),B(1,-2),所以l AC:4x-(c+2)y+2c=0, l BD:4x-(d-2)y-2d=0,联立消y 得x=cd -c+d c -d+4=-1,故点Q 在定直线x=-1上. (2)由题意可得S △PQCS△PQA=c 24+12,S △PBD S△PQB=1-d 242.因为S △PQA =S △PQB , 所以λ=S △PQC S △PBD =c 2+44-d 2=c 2(c 2+4)4(c 2-4),令c 2-4=t,则t>0, 代入得λ=(t+4)(t+8)4t=t 4+8t+3≥2√2+3,当且仅当c 2=4+4√2时取得等号, 所以λ的最小值为2√2+3. 思路分析 (1)设C (c 24,c),D (d 24,d),l:x=ty+1,直线与抛物线方程联立可得y 2-4ty-4=0,所以cd=-4,由直线AC,BD 交于点Q,将两直线方程联立求解可得x=cd -c+dc -d+4=-1,从而证明点Q 在定直线上. (2)由题意可得S △PQCS △PQA=c 24+12,S △PBD S△PQB=1-d 242.根据S △PQA =S △PQB ,用c 表示出λ,利用换元法、基本不等式可求λ的最小值.7.(2018安徽蚌埠二中4月月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,直线2x+y-6√3=0与直线MN 垂直,垂足为B 点,且点N 是线段MB 的中点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 交于E,F 两点,点G 在椭圆C 上,且四边形OEGF 为平行四边形,求证:四边形OEGF 的面积S 为定值.解析 (1)由题意知,M(-a,0),N(0,b),直线MN 的斜率k=b a =12,∴a=2b. ∵点N 是线段MB 的中点, ∴B(a,2b),∵点B 在直线2x+y-6√3=0上, ∴2a+2b=6√3,又a=2b, ∴b=√3,a=2√3,∴椭圆C 的方程为x 212+y 23=1.(2)证明:设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),G(x 0,y 0),将y=kx+m 代入x 212+y 23=1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0,则x 1+x 2=-8km 1+4k,x 1·x 2=4m 2-121+4k,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2m1+4k ,∵四边形OEGF 为平行四边形, ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2),得G (-8km 1+4k2,2m1+4k 2),将G 点坐标代入椭圆C 的方程得m 2=34(1+4k 2),又易得点O 到直线EF 的距离d=√1+k 2,|EF|=√1+k 2|x 1-x 2|,∴平行四边形OEGF 的面积S=d ·|EF|=|m||x 1-x 2|=|m|·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4·|m|√3-m 2+12k 21+4k 2=4·|m|√3m 21+4k 2=4√3·m 21+4k 2=3√3.故平行四边形OEGF 的面积S 为定值3√3.8.(2020届山西太原五中第二次诊断,19)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,P 是椭圆C 上的一个动点,且△PF 1F 2面积的最大值为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)设斜率存在的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|?若存在,求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)由题意得{ca=12,12×2c ×b =√3,a 2=b 2+c 2,∴a=2,b=√3,c=1. 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线PQ 的方程为y=k(x-1),当k ≠0时,将y=k(x-1)代入x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),线段PQ 的中点为N(x 0,y 0), 则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2,y 0=y 1+y 22=k(x 0-1)=-3k3+4k 2,即N (4k 23+4k 2,-3k3+4k 2).∵|TP|=|TQ|,∴直线TN 为线段PQ 的垂直平分线,∴TN⊥PQ,即k TN ·k PQ =-1. ∴-3k4k 2+3-t 4k 24k 2+3·k=-1⇒t=k 4k 2+3=14k+3k.当k>0时,∵4k+3k ≥4√3,∴t∈(0,√312]. 当k<0时,∵4k+3k ≤-4√3,∴t∈[-√312,0). 当k=0时,t=0符合题意. 综上,t 的取值范围为[-√312,√312].9.(2019黑龙江大庆三模,21)已知点F(1,0),动点M 到直线l:x=4的距离为d,且|MF|d=12,设动点M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程;(2)过点F 作互相垂直的两条直线,分别交曲线E 于点A,B 和C,D,求四边形ABCD 面积的最小值. 解析 (1)设M(x,y),∵|MF|=12d, ∴√(x -1)2+y 2=12|x-4|.整理得曲线E 的方程为x 24+y 23=1.(2)解法一:当直线AB 的斜率为0时,|AB|=2a=4,|CD|=2b 2a=3,∴四边形ACBD 的面积S=12|AB|×|CD|=6.当直线AB 的斜率不为0时,设直线AB 的方程为x=ty+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 联立{x =ty +1,3x 2+4y 2=12,消去x 得(3t 2+4)y 2+6ty-9=0,由题意可知Δ>0恒成立, ∴y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4.∴|AB|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2] =√(1+t 2)[(-6t 3t 2+4)2+363t 2+4]=12(t 2+1)3t 2+4.同理可求得|CD|=12(t 2+1)3+4t 2.∴四边形ACBD 的面积S=12|AB|×|CD|=72(t 2+1)2(3t 2+4)(3+4t 2)=6(1-112t 2+12t2+25)≥6(12√12t ×12t2+25)=28849,当且仅当12t 2=12t 2,即t=±1时取等号.∵28849<6,∴四边形ACBD 面积的最小值为28849. 解法二:当直线AB 的斜率不存在时,|AB|=2b 2a=3,|CD|=2a=4,∴四边形ACBD 的面积S=12|AB|×|CD|=6.当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为y=k(x-1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).联立{y =k(x -1),3x 2+4y 2=12,消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.由题意可知Δ>0恒成立, ∴x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,∴|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =√(1+k 2)[(8k 23+4k )2-4·4k 2-123+4k ]=12(1+k 2)3+4k .∵直线AB,CD 互相垂直,∴用-1k替换上式中的k 可求得|CD|=12(k 2+1)3k +4.∴四边形ACBD 的面积S=12|AB|×|CD|=72(k 2+1)2(3k 2+4)(3+4k 2)=6(1-112k 2+12k2+25)≥6(12√12k 2×k 2+25=28849,当且仅当12k 2=12k 2,即k=±1时取等号.∵28849<6,∴四边形ACBD 面积的最小值为28849.10.(2020届山西大同高三学情调研,21)椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率e=√63.(1)设E 是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF 1|+|EF 2|取最小值时椭圆的方程;(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k 的直线l 与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N 在线段AB 的垂直平分线上?若存在,求出直线l 在y 轴上截距的范围;若不存在,请说明理由.解析 本题主要考查了椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)∵e=√63,∴b 2a =13,∴椭圆的方程可化为x 23b2+y 2b2=1,将x 23b2+y 2b2=1与y=x+2联立,消去y 并化简得4x 2+12x+12-3b 2=0,由Δ=144-16×(12-3b 2)≥0,解得b 2≥1,即b ≥1,∴|EF 1|+|EF 2|=2a=2√3b ≥2√3,当且仅当b=1时,|EF 1|+|EF 2|取最小值2√3, ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线l 在y 轴上的截距为t,则直线l 的方程为y=kx+t,代入x 23+y 2=1,消去y 并整理得(1+3k 2)x 2+6ktx+3t 2-3=0,∵直线l 与椭圆交于不同的两点,∴Δ1=(6kt)2-12(t 2-1)(1+3k 2)>0,即t 2<1+3k 2. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为Q, 则x 1+x 2=-6kt1+3k 2,x 1x 2=3t 2-31+3k 2,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t=2t1+3k 2,∴AB 的中点Q 的坐标为(-3kt 1+3k2,t 1+3k 2),当k ≠0时,k QN =t1+3k 2-1-3kt 1+3k 2=-1k ,化简得1+3k 2=-2t,代入t 2<1+3k 2,得-2<t<0,又-2t=1+3k 2>1,∴t<-12,故-2<t<-12. 当k=0时,-1<t<1.综上,k ≠0时,直线l 在y 轴上截距的范围为(-2,-12); k=0时,直线l 在y 轴上截距的范围为(-1,1).。
高考数学一轮复习练习-圆锥曲线的综合问题
§9.6 圆锥曲线的综合问题基础篇固本夯基【基础集训】考点一 曲线与方程1.设k>1,则关于x,y 的方程(1-k)x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是( ) A.长轴在x 轴上的椭圆 B.长轴在y 轴上的椭圆 C.实轴在x 轴上的双曲线 D.实轴在y 轴上的双曲线 答案 D2.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M 作x 轴的垂线,垂足为N,若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当λ<0时,动点M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 答案 C3.设三个数√(x -√2)2+y 2,√3,√(x +√2)2+y 2成等差数列,记(x,y)对应点的曲线是C.求曲线C 的方程. 解析 依题意得√(x -√2)2+y 2+√(x +√2)2+y 2=2√3,所以点P(x,y)到点M(√2,0)与点N(-√2,0)的距离之和为2√3,注意到|MN|=2√2<2√3,所以点P 的轨迹是以M,N 为焦点的椭圆,所对应的椭圆中{a =√3,c =√2,故b=1,故曲线C 的方程为x 23+y 2=1.4.已知圆M:(x+1)2+y 2=1,圆N:(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C.求C 的方程. 解析 由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R. 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+r 2=4>|MN|.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M 、N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y 23=1(x ≠-2).考点二 定点与定值问题5.已知抛物线y 2=4x 上的两点A,B,O 为坐标原点,且OA ⊥OB,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2的值是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 答案 D6.已知直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P,l 与双曲线的两条渐近线交于M,N 两点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关 答案 A7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 解析 本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点.又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,C不经过点P 1,所以点P 2在C 上.因此{1b2=1,1a 2+34b2=1,解得{a 2=4,b 2=1.故C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.如果l 与x 轴垂直,设l:x=t,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A,B 的坐标分别为(t,√4-t 22),(t,-√4-t 22).则k 1+k 2=√4-t 2-22t-√4-t 2+22t=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m ≠1).将y=kx+m 代入x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0. 由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2 =2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2,由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)·4m 2-44k 2+1+(m-1)·-8km4k 2+1=0.解得k=-m+12. 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m, 即y+1=-m+12(x-2), 所以l 过定点(2,-1).方法总结 求解轨迹方程的步骤:①建系、设点→②列式(列出动点所满足的几何等量关系式)→③坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)→④化简(注意化简前后的等价性)→⑤检验(去伪存真).考点三 最值与范围问题8.若a>1,则双曲线x 2a2-y 2=1的离心率的取值范围是( ) A.(√2,+∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2) 答案 C9.已知双曲线x 23-y 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为双曲线右支上一点,点Q 的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF 1|的最小值为 . 答案 5+2√310.已知F 是双曲线C:x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A(0,6√6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案 12√6考点四 存在性问题11.(2019辽宁抚顺模拟,21)已知定点C(-1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A,B 两点. (1)若线段AB 中点的横坐标是-12,求直线AB 的方程;(2)在x 轴上是否存在点M,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)依题意,直线AB 的斜率存在, 设直线AB 的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入椭圆方程x 2+3y 2=5,消去y 整理得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2-5=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则{Δ=36k 4-4(3k 2+1)(3k 2-5)>0,①x 1+x 2=-6k 23k 2+1.②由线段AB中点的横坐标是-12,得x 1+x 22=-3k 23k 2+1=-12,解得k=±√33,适合①,所以直线AB 的方程为x-√3y+1=0或x+√3y+1=0. (2)假设在x 轴上存在点M(m,0),使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数. ①当直线AB 与x 轴不垂直时, 由(1)知x 1+x 2=-6k 23k 2+1,x 1x 2=3k 2-53k 2+1,③所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-m)(x 2-m)+y 1y 2 =(x 1-m)(x 2-m)+k 2(x 1+1)(x 2+1) =(k 2+1)x 1x 2+(k 2-m)(x 1+x 2)+k 2+m 2.将③代入,整理得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6m -1)k2-53k 2+1+m 2=(2m -13)(3k 2+1)-2m -1433k 2+1+m 2=m 2+2m-13-6m+143(3k 2+1).注意到MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是与k 无关的常数,从而有6m+14=0,m=-73,此时MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =49.②当直线AB 与x 轴垂直时,点A,B 的坐标分别为(-1,2√33),(-1,-2√33), 当m=-73时,亦有MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =49.综上,在x 轴上存在定点M (-73,0),使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数.综合篇知能转换【综合集训】考法一 有关轨迹方程问题的求法1.(2019安徽五校联盟第二次质检,4)√x 2+(y -3)2-√x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为( ) A.x 24-y 25=1(x ≤-2) B.x 24-y 25=1(x ≥2) C.y 24-x 25=1(y ≤-2) D.y 24-x 25=1(y ≥2) 答案 C2.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点,若直线AM 与BN 相交于点P,则点P 的轨迹方程是( ) A.x=±a(y≠0) B.y 2=2b(|x|-a)(y ≠0) C.x 2+y 2=a 2+b 2(y ≠0) D.x 2a 2-y 2b2=1(y ≠0) 答案 D3.(2019广东六校第一次联考(节选))已知圆C:(x+1)2+y 2=36与定点M(1,0),动圆I 过M 点且与圆C 相切.求动圆圆心I 的轨迹E 的方程.解析 设圆I 的半径为r,由题意可知,点I 满足 |IC|=6-r,|IM|=r, 所以|IC|+|IM|=6,由椭圆的定义知点I 的轨迹为以C,M 为焦点的椭圆,且a=3,c=1, 所以b=2√2,故轨迹E 的方程为x 29+y 28=1.考法二 圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法4.(2019重庆巴蜀中学模拟,21)如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x=2左侧的动点P 作PH ⊥l 于点H,∠HPF 的平分线交x 轴于点M,且PH=√2MF,记动点P 的轨迹为曲线Q. (1)求曲线Q 的方程.(2)过点F 作直线m 交曲线Q 于A,B 两点,点C 在l 上,且BC ∥x 轴,试问:直线AC 是否恒过定点?请说明理由.解析 (1)设P(x,y),∵PH⊥l,∴PH∥OM, 故∠HPM=∠PMF,又PM 平分∠HPF,∴∠FPM=∠HPM, ∴∠FPM=∠PMF,∴|MF|=|PF|,∴|PF||PH|=|MF||PH|=√22.即√(x -1)2+y 2|x -2|=√22,即曲线Q 的方程为x 22+y 2=1.(2)过定点.理由:由题意知:直线m 的斜率不为0,可设直线m 的方程为x=ty+1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 联立{x =ty +1,x 2+2y 2=2,化为(t 2+2)y 2+2ty-1=0,Δ>0成立. ∴y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,x 1=ty 1+1.∴直线AC 的斜率k=y 1-y 2x 1-2,方程为y-y 2=y 1-y 2x 1-2(x-2).即y=y 1-y 2x 1-2[x -2+y 2(x 1-2)y 1-y 2].又y 2(x 1-2)y 1-y 2=y 2(ty 1-1)-2tt 2+2-2y 2=y 2+tt 2+22(t t 2+2+y 2)=12. ∴y=y 1-y 2x 1-2(x -2+12),即y=y 1-y 2x 1-2(x -32).∴直线AC 恒过定点(32,0),经验证,当斜率不存在时直线AC 也经过点(32,0),符合题意.考法三 圆锥曲线中的最值(范围)问题的求解方法5.(2018清华大学中学生标准学术能力诊断测试(11月))设P 是椭圆x 2169+y 225=1上一点,M,N 分别是两圆:(x+12)2+y 2=1和(x-12)2+y 2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.18,24 B.16,22 C.24,28 D.20,26 答案 C6.(2019陕西宝鸡中学二模,11)已知抛物线x 2=16y 的焦点为F,双曲线x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 是双曲线右支上一点,则|PF|+|PF 1|的最小值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11 答案 C7.(2018宁夏银川4月检测)已知动点P 到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为√22,设动点P 的轨迹为曲线E,过点F 作垂直于x轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点,直线l:y=mx+n 与曲线E 交于C,D 两点,与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上,且不与A,B 重合).(1)求曲线E 的方程;(2)当直线l 与圆x 2+y 2=1相切时,四边形ACBD 的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l 的方程;若没有,请说明理由.解析 (1)设点P(x,y),由题意,可得√(x -1)2+y 2|x -2|=√22,得x 22+y 2=1.∴曲线E 的方程是x 22+y 2=1.(2)设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由条件可得|AB|=√2. 当m=0时,显然不合题意.当m ≠0时,∵直线l 与圆x 2+y 2=1相切,∴2=1,得n 2=m 2+1.联立{y =mx +n,x 22+y 2=1,消去y 得(m 2+12)x 2+2mnx+n 2-1=0, 则Δ=4m 2n 2-4(m 2+12)(n 2-1)=2m 2>0,x 1+x 2=-4mn 2m 2+1,x 1x 2=2(n 2-1)2m 2+1, S 四边形ACBD =12|AB|·|x 1-x 2|=2|m|2m 2+1=22|m|+1|m|≤√22,当且仅当2|m|=1|m|,即m=±√22时等号成立,此时n=±√62.经检验可知,直线y=√22x-√62和直线y=-√22x+√62都符合题意.考法四 存在性问题8.(2019内蒙古通辽五中模拟,20)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点,问:是否存在这样的实数k,使得以CD 为直径的圆过E 点?若存在,请求出k 值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)直线AB 的方程为bx-ay-ab=0, 依题意可得{ c a =√63,√a 2+b √32,又c 2=a 2-b 2,解得a 2=3,b 2=1,∴椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)存在,k=76.理由:假设存在这样的实数k, 由{y =kx +2,x 2+3y 2-3=0,得(1+3k 2)x 2+12kx+9=0, ∴Δ=(12k)2-36(1+3k 2)>0.① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则{x 1+x 2=-12k 1+3k 2,②x 1·x 2=91+3k 2,③y 1·y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4, 要使以CD 为直径的圆过点E(-1,0),只需CE ⊥DE, 即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k+1)(x 1+x 2)+5=0,④ 将②③代入④整理得k=76,经验证,k=76时,①成立.故存在k=76使得以CD 为直径的圆过点E.【五年高考】考点一 曲线与方程1.(2019课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为-12.记M 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C 于P,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E,连接QE 并延长交C 于点G. (i)证明:△PQG 是直角三角形; (ii)求△PQG 面积的最大值.解析 本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系,两条直线的位置关系,弦长问题,三角形的面积以及基本不等式的应用等相关知识;通过对三角形形状的判断以及面积最值的求解考查学生的知识迁移能力、运算求解能力及函数思想方法的应用;体现了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设得y x+2·y x -2=-12,化简得x 24+y 22=1(|x|≠2),所以C 为中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ 的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0). 由{y =kx,x 24+y 22=1得x=±√1+2k .记u=√1+2k ,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG 的斜率为k2,方程为y=k 2(x-u).由{y =k 2(x -u),x 24+y 22=1得(2+k 2)x 2-2uk 2x+k 2u 2-8=0.①设G(x G ,y G ),则-u 和x G 是方程①的解,故x G =u(3k 2+2)2+k 2,由此得y G =uk 32+k 2.从而直线PG的斜率为uk 32+k2-uk u(3k 2+2)2+k2-u =-1k .所以PQ ⊥PG,即△PQG 是直角三角形. (ii)由(i)得|PQ|=2u √1+k 2,|PG|=2uk √k 2+12+k 2,所以△PQG 的面积S=12|PQ||PG|=8k(1+k 2)(1+2k 2)(2+k 2)=8(1k +k )1+2(1k+k )2. 设t=k+1k,则由k>0得t ≥2,当且仅当k=1时取等号. 因为S=8t1+2t 2在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S 取得最大值,最大值为169.因此,△PQG 面积的最大值为169.思路分析 (1)利用直线AM 与BM 的斜率之积为-12求得曲线C 的轨迹方程,从而得出曲线C 的轨迹.(2)(i)设出直线PQ 的方程,联立椭圆方程,求得点P 、Q 的坐标,由Q 、E 的坐标得出直线QG 的方程,联立椭圆方程,得出点G 的坐标,进而表示出直线PG 的斜率,从而得出结论.(ii)利用弦长公式求出|PQ|与|PG|的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k 的函数,进而利用函数思想求其最大值.解题关键 ①利用方程思想得出点P 、Q 的坐标,进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键;②正确利用基本不等式及函数单调性是求解△PQG 面积最值的关键.2.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C:x 22+y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N,点P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=-3上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(x 0,0),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y 0). 由NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得x 0=x,y 0=√22y. 因为M(x 0,y 0)在C 上,所以x 22+y 22=1. 因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,t),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m,-n),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m-tn,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,n),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-m,t-n). 由OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1得-3m-m 2+tn-n 2=1, 又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0.所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.思路分析 (1)设出P 、M 的坐标,利用NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得到P 、M 坐标间的关系,由点M 在C 上求解.(2)利用向量的坐标运算得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,进而证明直线l 过曲线C 的左焦点F. 方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法. 3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 解析 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,则ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b2). 记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)由于F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则 k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba=-b=k 2. 所以AR ∥FQ.(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2. 由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2, 所以x 1=0(舍去),或x 1=1.(8分) 设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2a+b =yx -1(x ≠1). 而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)疑难突破 第(1)问求解关键是把AR ∥FQ 的证明转化为k AR =k FQ 的证明;第(2)问需找到AB 中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.4.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动··N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线l 1:x-2y=0和l 2:x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1 图2解析 (1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x 0,y 0),M(x,y),依题意,MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以(t-x,-y)=2(x 0-t,y 0),且{(x 0-t)2+y 02=1,x 02+y 02=1.即{t -x =2x 0-2t,y =-2y 0,且t(t-2x 0)=0. 由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0, 于是t=2x 0,故x 0=x4,y 0=-y 2,代入x 02+y 02=1,可得x 216+y 24=1,即曲线C 的方程为x 216+y 24=1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4或x=-4,都有S △OPQ =12×4×4=8. (ii)当直线l 的斜率存在时,设直线l:y=kx+m (k ≠±12), 由{y =kx +m,x 2+4y 2=16,消去y,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点, 所以Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16)=0,即m 2=16k 2+4.①又由{y =kx +m,x -2y =0,可得P (2m 1-2k ,m1-2k );同理可得Q (-2m 1+2k ,m1+2k). 由原点O 到直线PQ 的距离为d=|m|√1+k 和|PQ|=√1+k 2·|x P -x Q |,可得S △OPQ =12|PQ|·d=12|m||x P -x Q | =12·|m|·|2m 1-2k+2m 1+2k |=|2m 21-4k 2|.②将①代入②得,S △OPQ =|2m 21-4k2|=8|4k 2+1||4k 2-1|.当k2>14时,S △OPQ =8·4k 2+14k 2-1=8(1+24k 2-1)>8; 当0≤k 2<14时,S △OPQ =8·4k 2+11-4k2=8(-1+21-4k2).因0≤k 2<14,则0<1-4k 2≤1,21-4k2≥2,所以S △OPQ =8(-1+21-4k 2)≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8. 评析 本题考查求轨迹方程的方法,及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识.考点二 定点与定值问题5.(2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D 为直线y=-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B. (1)证明:直线AB 过定点;(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.解析 本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.(1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t=x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0.设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.由{y =tx +12,y =x 22可得x 2-2tx-1=0.于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1-x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1).设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=√2.因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12).由于EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行,所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2. 因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.解题关键 (1)设出A 、B 坐标,求导、列等式是解题的突破口.(2)由(1)得出AB 的方程,用坐标表示出EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求AB 方程中的参数是关键.6.(2018北京,19,14分)已知抛物线C:y 2=2px 经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A,B,且直线PA 交y 轴于M,直线PB 交y 轴于N. (1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值. 解析 (1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2),所以2p=4,即p=2. 故抛物线C 的方程为y 2=4x,由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0). 由{y 2=4x,y =kx +1得k 2x 2+(2k-4)x+1=0. 依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2). 从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由(1)知x 1+x 2=-2k -4k2,x 1x 2=1k 2.直线PA 的方程为y-2=y 1-2x 1-1(x-1).令x=0,得点M 的纵坐标为y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2. 同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2. 由QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得λ=1-y M ,μ=1-y N . 所以1λ+1μ=11-y M +11-y N =x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k2+2k -4k 21k2=2. 所以1λ+1μ为定值.方法总结 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式有关的等式,化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.考点三 最值与范围问题7.(2019北京,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是( )A.①B.②C.①②D.①②③ 答案 C8.(2015四川,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案 D9.(2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:x 2t +y 23=1的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k 的取值范围. 解析 (1)设M(x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,E 的方程为x 24+y 23=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y=x+2. 将x=y-2代入x 24+y 23=1得7y 2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y 1=127. 因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449. (2)由题意,t>3,k>0,A(-√t ,0).将直线AM 的方程y=k(x+√t ) 代入x 2t +y 23=1得(3+tk 2)x 2+2√t ·tk 2x+t 2k 2-3t=0. 由x 1·(-√t )=t 2k 2-3t 3+tk 2得x 1=√t(3-tk 2)3+tk 2,故|AM|=|x 1+ √t |√1+k 2=6√t(1+k 2)3+tk 2.由题设,直线AN 的方程为y=-1k (x+√t ),故同理可得|AN|=6k √t(1+k 2)3k 2+t . 由2|AM|=|AN|得23+tk2=k3k 2+t,即(k 3-2)t=3k(2k-1).当k=√23时上式不成立,因此t=3k(2k -1)k 3-2.t>3等价于k 3-2k 2+k -2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0.由此得{k -2>0,k 3-2<0或{k -2<0,k 3-2>0,解得√23<k<2. 因此k 的取值范围是(√23,2).解题关键 第(1)问中求出直线AM 的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用2|AM|=|AN|得出t 与k 的关系式,由t>3,建立关于k 的不等式,从而得出k 的取值范围.10.(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q,且Q 在点F 的右侧.记△AFG,△CQG 的面积分别为S 1,S 2. (1)求p 的值及抛物线的准线方程; (2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标.解析 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法. (1)由题意得p 2=1,即p=2. 所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),重心G(x G ,y G ).令y A =2t,t ≠0,则x A =t 2.由于直线AB 过F,故直线AB 方程为x=t 2-12ty+1,代入y 2=4x,得y 2-2(t 2-1)t y-4=0,故2ty B =-4,即y B =-2t ,所以B (1t 2,-2t ).又由于x G =13(x A +x B +x C ),y G =13(y A +y B +y C )及重心G 在x 轴上,故2t-2t+y C =0,得C ((1t-t)2,2(1t-t)),G (2t 4-2t 2+23t 2,0). 所以,直线AC 方程为y-2t=2t(x-t 2),得Q(t 2-1,0). 由于Q 在焦点F 的右侧,故t 2>2.从而S 1S 2=12|FG|·|y A |12|QG|·|y C |=|2t 4-2t 2+23t 2-1|·|2t||t 2-1-2t 4-2t 2+23t 2|·|2t -2t |=2t 4-t 2t 4-1=2-t 2-2t 4-1.令m=t 2-2,则m>0,S 1S 2=2-m m 2+4m+3=2-1m+3m +4≥2-2√m ·3m +4=1+√32.当m=√3时,S1S 2取得最小值1+√32,此时G(2,0).思路分析 (1)根据抛物线定义知p 2=1,得到准线方程x=-1.(2)要求S 1S 2的最小值,需要将S 1S 2用基本量表示出来,从点的关系出发,设A(x A ,y A ),合理选择参数t 表示A(t 2,2t),t ≠0,由直线AB 过F 得到AB 方程,求出B 点坐标,再由△ABC 的重心G 在x 轴上,求出C 点和G 点坐标,进而求出Q 点坐标,然后就可以表示出S 1S 2,进而求出其最小值.11.(2018浙江,21,15分)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C:y 2=4x 上存在不同的两点A,B 满足PA,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.解析 本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.(1)证明:设P(x 0,y 0),A (14y 12,y 1),B (14y 22,y 2).因为PA,PB 的中点在抛物线上, 所以y 1,y 2为方程(y+y 02)2=4·14y 2+x 02即y 2-2y 0y+8x 0-y 02=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴. (2)由(1)可知{y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 02,所以|PM|=18(y 12+y 22)-x 0=34y 02-3x 0, |y 1-y 2|=2√2(y 02-4x 0).因此,S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=3√24(y 02-4x 0)32. 因为x 02+y 024=1(x 0<0),所以y 02-4x 0=-4x 02-4x 0+4∈[4,5].因此,△PAB 面积的取值范围是[6√2,15√104]. 疑难突破 解析几何中“取值范围”与“最值”问题在解析几何中,求某个量(直线斜率,直线在x 、y 轴上的截距,弦长,三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率,动点的横、纵坐标等)的函数,并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域),将问题转化为求函数的值域或最值.12.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,焦距为2.(1)求椭圆E 的方程;(2)如图,动直线l:y=k 1x-√32交椭圆E 于A,B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为k 2,且k 1k 2=√24.M 是线段OC 延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M 的半径为|MC|,OS,OT 是☉M 的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力. (1)由题意知e=c a =√22,2c=2,所以a=√2,b=1, 因此椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x 22+y 2=1,y =k 1x -√32,消y 整理得(4k 12+2)x 2-4√3k 1x-1=0,由题意知Δ>0,且x 1+x 2=2√3k 12k 12+1,x 1x 2=-12(2k 12+1),所以|AB|=√1+k 12|x 1-x 2|=√2√1+k 12√1+8k 121+2k 12.由题意可知圆M 的半径r=23|AB|=2√23·√1+k 12√1+8k 122k 12+1. 由题设知k 1k 2=√24,所以k 2=√24k 1, 因此直线OC 的方程为y=√24k 1x. 联立{x 22+y 2=1,y =√24k 1x,得x 2=8k 121+4k 12,y 2=11+4k 12, 因此|OC|=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12.由题意可知sin∠SOT 2=r r+|OC|=11+|OC|r, 而|OC|r=√1+8k 121+4k 22√23·12121+2k 12=3√24·1+2k 121+4k 11+k 1,令t=1+2k 12,则t>1,1t∈(0,1),因此|OC|r =32·t 2=32·1√2+1t -1t2=32·1√-(1t -12)+94≥1,当且仅当1t =12,即t=2时等号成立,此时k 1=±√22,所以sin ∠SOT 2≤12, 因此∠SOT 2≤π6,所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述:∠SOT 的最大值为π3,取得最大值时直线l 的斜率k 1=±√22.思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l 与椭圆方程,利用距离公式求出|AB|,联立直线OC 与椭圆方程求|OC|,进而建立sin∠SOT2与k 1之间的函数关系,利用二次函数的性质求解.疑难突破 把角的问题转化为三角函数问题,即由sin∠SOT 2=11+|OC|r=f(k 1)求解是解题的突破口. 解题反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解,利用距离公式建立sin∠SOT2与k 1之间的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法是求解的前提.本题的解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合.考点四 存在性问题13.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由. 解析 (1)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9. 于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9kx. 设点P 的横坐标为x P . 由{y =-9kx,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3, 因此x M =k(k -3)m3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是±km3k +9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.思路分析 (1)设出直线l 的方程,与椭圆方程联立并消元,利用韦达定理求得AB 的中点M 的坐标,进而可得出结论;(2)要使四边形OAPB 为平行四边形,则线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M ,由此结合已知条件建立相应方程,进而通过解方程使问题得解.教师专用题组考点一 曲线与方程1.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0),离心率为√53.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 解析 (1)由题意知c=√5,e=c a =√53, ∴a=3,b 2=a 2-c 2=4,故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1. (2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P(±3,±2).②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k,且k ≠0,则l 2的斜率为-1k,l 1的方程为y-y 0=k(x-x 0),与x 29+y 24=1联立, 整理得(9k 2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0)2-36=0,∵直线l 1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y 0-kx 0)2k 2-(9k 2+4)·[(y 0-kx 0)2-4]=0,∴(x 02-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-4=0,∴k 是方程(x 02-9)x 2-2x 0y 0x+y 02-4=0的一个根,同理,-1k是方程(x 02-9)x 2-2x 0y 0x+y 02-4=0的另一个根,∴k·(-1k)=y 02-4x 02-9,整理得x 02+y 02=13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13(x ≠±3). 检验P(±3,±2)满足上式. 综上,点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.2.(2013四川,20,13分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),且椭圆C 经过点P (43,13). (1)求椭圆C 的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q 的轨迹方程.解析 (1)由椭圆定义知,2a=|PF 1|+|PF 2|=√(43+1)2+(13)2+√(43-1)2+(13)2=2√2,所以a=√2. 又由已知得,c=1,所以椭圆C 的离心率e=c a =12=√22. (2)由(1)知,椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设点Q 的坐标为(x,y).(i)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q 的坐标为(0,2-3√55). (ii)当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=kx+2.因为M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1+2),(x 2,kx 2+2),则|AM|2=(1+k 2)x 12,|AN|2=(1+k 2)x 22.又|AQ|2=x 2+(y-2)2=(1+k 2)x 2.由2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,得2(1+k 2)x 2=1(1+k 2)x 12+1(1+k 2)x 22, 即2x 2=1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22.① 将y=kx+2代入x 22+y 2=1中,得 (2k 2+1)x 2+8kx+6=0.②由Δ=(8k)2-4×(2k 2+1)×6>0,得k 2>32.由②可知,x 1+x 2=-8k2k 2+1,x 1x 2=62k 2+1,代入①中并化简,得 x 2=1810k 2-3.③因为点Q 在直线y=kx+2上,所以k=y -2x,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x 2=18.由③及k 2>32,可知0<x 2<32,即x ∈(-√62,0)∪(0,√62).又(0,2-3√55)满足10(y-2)2-3x 2=18,故x ∈(-√62,√62).由题意知,Q(x,y)在椭圆C 内, 所以-1≤y ≤1,由10(y-2)2=18+3x 2得(y-2)2∈[95,94),且-1≤y ≤1,则y ∈(12,2-3√55]. 所以点Q 的轨迹方程为10(y-2)2-3x 2=18,其中x ∈(-√62,√62),y ∈(12,2-3√55]. 评析 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.考点二 定点与定值问题3.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E 1:y 2=2p 1x(p 1>0)和E 2:y 2=2p 2x(p 2>0),过原点O 的两条直线l 1和l 2,l 1与E 1,E 2分别交于A 1,A 2两点,l 2与E 1,E 2分别交于B 1,B 2两点. (1)证明:A 1B 1∥A 2B 2;(2)过O 作直线l(异于l 1,l 2)与E 1,E 2分别交于C 1,C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2,求S 1S 2的值.解析 (1)证明:设直线l 1,l 2的方程分别为y=k 1x,y=k 2x(k 1,k 2≠0),则 由{y =k 1x,y 2=2p 1x,得A 1(2p 1k 12,2p 1k 1), 由{y =k 1x,y 2=2p 2x,得A 2(2p 2k 12,2p 2k 1). 同理可得B 1(2p 1k 22,2p 1k 2),B 2(2p 2k 22,2p 2k 2).所以A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2p 1k 22-2p 1k 12,2p 1k 2-2p 1k 1)=2p 1(1k 22-1k 12,1k 2-1k 1),A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2p 2k 22-2p 2k 12,2p 2k 2-2p 2k 1)=2p 2(1k 22-1k 12,1k 2-1k 1),故A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =p 1p 2A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2,同理可得B 1C 1∥B 2C 2,C 1A 1∥C 2A 2. 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2=(|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2.又由(1)中的A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =p 1p 2A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=p 1p 2.故S 1S 2=p 12p 22. 4.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程;(2)若直线l 1∥l,且l 1和C 有且只有一个公共点E, (i)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知F (p 2,0). 设D(t,0)(t>0),则FD 的中点为(p+2t4,0). 因为|FA|=|FD|,则由抛物线的定义知3+p 2=|t -p 2|, 解得t=3+p 或t=-3(舍去). 由p+2t4=3,解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0),设A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D(x D ,0)(x D >0),因为|FA|=|FD|,则|x D -1|=x 0+1, 由x D >0得x D =x 0+2,故D(x 0+2,0). 故直线AB 的斜率k AB =-y02.因为直线l 1和直线AB 平行, 所以可设直线l 1的方程为y=-y02x+b,代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8b y 0=0,由Δ=64y 02+32by 0=0,得b=-2y 0.设E(x E ,y E ),则y E =-4y 0,x E =4y 02,当y 02≠4时,k AE =y E -y 0x E -x 0=-4y 0+y 04y 02-y 024=4y 0y 02-4, 可得直线AE 的方程为y-y 0=4y 0y 02-4(x-x 0),由y 02=4x 0,整理可得y=4y 0y 02-4(x-1),直线AE 恒过点F(1,0),当y 02=4时,直线AE 的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE 过定点F(1,0). (ii)由(i)知直线AE 过焦点F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+(1x 0+1)=x 0+1x 0+2.设直线AE 的方程为x=my+1, 因为点A(x 0,y 0)在直线AE 上, 故m=x 0-1y 0, 设B(x 1,y 1),直线AB 的方程为y-y 0=-y02(x-x 0),由y 0≠0, 可得x=-2y 0y+2+x 0,代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8-4x 0=0.所以y 0+y 1=-8y 0,可求得y 1=-y 0-8y 0,x 1=4x 0+x 0+4, 所以点B 到直线AE 的距离为d=|4x 0+x 0+4+m (y 0+8y 0)-1|2=4(x 0+1)√x =4(√x 01√x ).则△ABE 的面积S=12×4(√x 0x)(x 0+1x 0+2)≥16,当且仅当1x 0=x 0, 即x 0=1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.评析 本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考查了考生的逻辑思维能力和运算求解能力.本题的易错点是定点的确定.5.(2013山东,22,13分)椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为√32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. 解析 (1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1,得y=±b 2a, 由题意知2b 2a=1,即a=2b 2.又e=c a =√32,所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1(-√3,0),F 2(√3,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为 l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0=0, l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0=0. 由题意知0√3y 0y 0+(x 0+√3)=0√3y 0y 0+(x 0-√3) .由于点P 在椭圆上,所以x 024+y 02=1.所以|m+√3|√(√32x 0+2)=|m -√3|√(√32x 0-2) .因为-√3<m<√3,-2<x 0<2, 所以m+√3√32x 0+2=√3-m2-√32x 0.所以m=34x 0.因此-32<m<32. 解法二:设P(x 0,y 0). 当0≤x 0<2时,①当x 0=√3时,直线PF 2的斜率不存在, 易知P (√3,12)或P (√3,-12).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时提升作业(六十)
一、选择题
1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )
(A)-2 (B)-{ QUOTE |(C)-4 (D)-
2.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)2
3.(2013·赣州模拟)若不论k为何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则b的取值范围是( )
(A)(-,) (B)[-,]
(C)(-2,2) (D)[-2,2]
4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
5.(2013·合肥模拟)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为
( ) (A)+2 (B)+1
(C)-2 (D)-1
6.(能力挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是
( )
(A)(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞)
二、填空题
7.(2013·南京模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值范围为.
8.(2013·宝鸡模拟)设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为.
9.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为.
三、解答题
10.(2013·西安模拟)设椭圆C的两焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),且经过点P(1,),M为椭圆上的动点,以M为圆心,MF2为半径作☉M.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若☉M与y轴有两个交点,求点M横坐标的取值范围.
(3)是否存在定☉N,使☉M与☉N总相切?若存在,求☉N的方程;若不存在,说明理由.
11.(2013·合肥模拟)已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)一个顶点,椭圆C的离心率为,另有一圆O,圆心在坐标原点,半径为.
(1)求椭圆C和圆O的方程.
(2)已知M(x0,y0)是圆O上任意一点,过M点作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,求证:l1⊥l2.
12.(能力挑战题)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.
(1)求椭圆C1的方程.
(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.
答案解析
1.【解析】选 D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.
【方法技巧】求与动直线相关值的求解技巧
解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.
2.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,
∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.
∴a≥.∴长轴的最小值为2.
3.【解析】选B.因为直线y=k(x-2)+b恒过(2,b)点,又当x=2时,y2=x2-1=3,∴y=〒.数形结合知,当点(2,b)在双曲线内部或在双曲线上时,符合要求,所以b∈[-,].
4.【解析】选C,设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),
∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3
=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],
∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.
5.【思路点拨】画出图像,通过图像可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值. 【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,
∴d1=|PF|-1,
d1+d2=d2+|PF|-1,显然当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.
∴(d1+d2)min=-1.
6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,
且r1>r2.e2====;
e1====.
∵三角形两边之和大于第三边,∴2c+2c>10,即c>,∴e1·e2==>,因此选B.
7.【解析】由题意知:B(c,),
∴k===1-e.
又<k<,∴<1-e<,解得<e<.
答案:(,)
8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.
【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·
2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),
∴=≤(当且仅当a=b时取等号).
答案:
9.【解析】设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,
由=2px1,=2px0,得k PA==,
同理k PB=,
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),
那么=-2.
答案:-2
10.【解析】(1)∵2a=|PF1|+|PF2|=+=4,
∴a=2.
∴b2=a2-c2=22-12=3.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x0,y0),则☉M的半径r=,圆心M到y轴的距离d=|x0|,
⇒3+8x0-16<0
⇒-4<x0<.
又∵-2≤x0≤2,∴-2≤x0<.
故点M横坐标的取值范围为[-2,).
(3)存在☉N:(x+1)2+y2=16与☉M总相切,☉N的圆心为椭圆的左焦点F1.
由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=4,
∴|MF1|=4-|MF2|,∴两圆相内切.
11.【解析】(1)由x2=4y可得,抛物线焦点坐标为(0,1),由已知得b=1,又e=,∴=,a2=b2+c2,得a2=4,∴=. ∴椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=5.
(2)若点M的坐标为(2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1),则过这四点分别作满足条件的直线l1,l2,若一条直线斜率为0,则另一条斜率不存在,则l1⊥l2;若直线l1,l2斜率都存在,则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k(x-x0),
由
得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4,
即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)·x+4(y0-kx0)2-4=0,
则Δ=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0,
化简得(4-)k2+2x0y0k+1-=0.
又+=5,
∴(4-)k2+2x0y0k+-4=0.
设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足(4-)k2+2x0y0k+-4=0, ∴k1·k2==-1,∴l1⊥l2.
12.【思路点拨】(1)根据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.
(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.
【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),
∴点F2的坐标为(1,0).
∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),
抛物线C2的准线方程为x=-1.
设点P的坐标为(x1,y1),
由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,
∵|PF2|=,
∴x1+1=,解得x1=.
由=4x1=,且y1>0,得y1=.
∴点P的坐标为(,).
在椭圆C1:+=1(a>b>0)中,c=1.
2a=|PF1|+|PF2|=+=4,
∴a=2,b==,
∴椭圆C1的方程为+=1.
(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,
∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,
∴|MN|=2=4,∴r=,
∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),
∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,
∴=4x0(x0≥0),∴x0=.
把x0=代入(*)消去x0整理得:
(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)
方程(**)对任意实数y0恒成立,
∴解得
∵点(2,0)在椭圆C1:+=1上,
∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点(2,0).。