随机事件及其运算
随机事件及其运算
随机事件及其运算1. 随机现象概率论的研究对象是随机现象。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
只有一个结果的现象叫做确定性现象。
随机现象随处可见。
有的随机现象可以在相同条件下重复，如抛硬币，掷骰子，测量一物体的质量。
也有很多随机现象是不能重复的，比如经济现象（如失业，经济增长速度等）大多不能重复. 在相同条件下重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验.概率论主要研究能重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。
2. 样本空间数学理论的建立总是需要首先给出一些原始的无定义的概念（例如，“点”和“直线”是欧氏几何的公理化处理中无定义的概念）。
在概率论中，第一个“无定义”的原始概念是“样本点”，随机现象的基本结果称为样本点，用?表示样本点；而随机现象的一切样本点组成的集合称为样本空间，记为??{?}.在具体的随机现象或试验中, 有的凭“实际经验”可确定样本点和样本空间,有的需要“数学的理想化”去确定样本点和样本空间,样本点和样本空间的确定也与试验观察或记录的是什么有关.例1 考虑试验:掷一骰子,观察出现的点数.根据“实际经验”,该试验的基本结果有6个:1,2,3,4,5,6,从而其样本空间为??{1,2,3,4,5,6}.例2 考虑试验:观察一天內进入某商场的人数. 一天內进入某商场的人数是非负整数,但由于不知道最多的人数和最少的人数,我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??{0,1,2,3...}例3考虑试验:考察一个元件的寿命.为了数学上处理方便, 我们把该试验的样本空间“理想化”地定为??[0,??).例4 对于试验:将一硬币抛3次.若我们记录3次正反情况,则样本空间为??{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};若我们记录正面出现的次数,则样本空间为??{0,1,2,3}.- 1 -若样本空间中的元素个数是有限个或可列个,我们称此样本空间为离散样本空间.3. 随机事件有了样本空间后,我们可给出随机事件的概念.直观上说, 随机事件是随机现象中可能发生也可能不发生的事件.例如,在掷骰子试验中,“出现偶数点”是可能发生也可能不发生的,因此它是随机事件,而且当试验出现的基本结果是2或4或6时该事件就发生了,否则该事件就不发生.一个事件是否发生了应当能由试验出现的基本结果判定,因此一个事件可以由能使其发生的那些基本结果组成.换言之, 随机事件可以由一个或多个样本点组成的集合来表示.因此有下面概念.样本空间的子集称为随机事件,简称为事件,常用大写字母A,B,C,?表示.事件A发生当且仅当试验出现的基本结果属于A.若一事件是由单个样本点组成,则称该事件为基本事件;由2个或2个以上样本点组成的事件称为复合事件.由全体样本点组成的事件称为必然事件,必然事件就是样本空间?本身.显然, 必然事件是必定发生的事件.空集?作为样本空间?的子集也是事件,称此事件为不可能事件,不可能在任一次试验中都不会发生.以后在理论上讨论概率论问题时，我们总是假定样本空间已经给定，而随机事件就是该样本空间的子集。
随机事件的关系与运算
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:
概率论的基本概念
⑵.两件都是次品: ；
⑶.一件是正品、另一件是次品: ；
⑷.第二件是次品: 。
6、高射炮向敌机发射三枚炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为 (每发击中与否相互独立)，而敌机中一弹时坠落的概率为 ，中两弹时坠落的概率为 ，中三弹时坠落的概率为 。
⑴.求敌机被击落的概率；
⑵.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。
解:用 分别表示电话是打给 的， 分别表示 因公外出，则
⑴. ；
⑵. ；
⑶. ；
⑷. ；
⑸. 。
解:用 表示敌机中 弹， ，用 表示敌机被击落,则
， ，故
，
。
7、已知男子中有 是色盲患者，女子中有 是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地选一人，问此人是色盲患者的概率为多少若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。
解:用 表示所选人为男性， 表示所选人为色盲患者，则
， ， ，故
，
。
8、甲、乙、丙三人独立地去破译密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少
概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。
2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:
⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件 ，有 。
则称 为事件 的概率。事件的概率有如下性质:
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
1.1随机事件及其运算
在试验E中,人们除了关心所有的基本事件(样 本点)外,还可能关心满足某些特征的样本点是否 出现.比如“出现的点数是偶数”、“出现的点数 大于4”等事件是否会发生。
从集合的观点看， “出现的点数是偶数”这 一事件包含了样本空间中的三个样本点：2点、4 点、或6点；如果试验出现的结果是三个样本点中 的某一个，则该事件发生；反之如果该事件发生， 则试验的结果一定是这三个样本点中的某一个。
表示A与B同时发生所构成的事件.
类似地,事件A1，A2，…，An同时发生所构 成的事件表示为
A1∩A2∩…∩An 或 A1A2…An
例如若A=“出现偶数点”；B=“点数大于4”
则AUB ={2,4,5,6}； A∩B ={6}.
5.事件的差 记作 A-B
Ω
由包含在A中而又不包含在
B中的样本点构成的事件. 表示A发生而B不发
第一章 随机事件及其概率
自然界和社会生活中出现的现象大致上可 以分为两类：
确定性现象：在一定条件下一定会发生的 现象。如太阳从东方升起；苹果从树上掉落到 地上等。
随机现象：在相同条件下可能发生的结果 呈现出偶然性的现象。比如，随机掷一枚硬币， 结果可能出现正面朝上或反面朝上。
随机现象虽然在一次或少数几次试验中出 现的结果表现出偶然性，但在大量的重复试验 中又表现出一定的规律性——统计规律性。比 如通过进行大量的掷硬币试验，人们发现正面 朝上和反面朝上的频率接近相等。
随机事件:试验E的样本空间Ω的子集称为试验 E的随机事件,简称事件. 一般用大些字母A、B、 C等表示.
例如,记A表示“出现的点数是偶数”,则 A={2点,4点,6点}，
这里A是Ω的子集。
基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
1.1随机事件及其运算
1.1.6 事件的运算(operation of events )
1.1.6.1 事件的和（并）(Union of events)
“事件A,B 中至少有一个发
生”，称为事件A与B的和（并
A
B
）.记作A∪B. 即 A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∪B
注 A∪B = {事件A发生或事件B发生}
意
＝{A 发生,且B不发生;或A不发生,且B
2. 结合律(Combination law)
(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，(AB)C＝A(BC)
3.分配律(Distributive law) (A ∪ B)C＝(AC) ∪(BC)，(AB) ∪ C＝(A ∪ C)(B ∪ C) 4. 对偶律 (Dual law)
A BA B
Ak Ak
在每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 (Impossible event )，记为.
1.1.4 随机变量(random variable)
直观定义 随试验结果的不同而变化的量称为随机变量.通
常用大写字母X,Y,Z,…表示. 例1:抛一粒骰子,记X为出现的点数，则X是一
个随机变量. （1）事件“出现3点”可用“X=3”表示. （2）事件“出现的点数不小于3”可用“X≥3”表示.
AB
A B.
例1: 抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出 现偶数点则”A. B .
例2:记T为电视机的寿命, 令 A={寿命超过10000小时}={T| T>10000}， B={寿命超过20000小时”}={T| T>20000}.
则BA.
1.1.5.2 相等关系
若事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导 致A发生，则称事件A与B相等. 记作A = B . 即 AB且BA A＝B .
3.1 随机事件及其运算
3. 1随机事件及其运算.教学要求本节要求学生掌握随机试验及随机事件的概念，能够熟练掌握事件之间的关系，并会运用事件运算的性质求解一些具体问题．知识点1．随机试验的概念2．随机事件的概念3．事件间的关系4．事件运算的性质3.1.1 随机试验的概念在客观世界中, 存在着两类不同的现象.1.确定性现象: 在一定的条件下, 必然要出现某一种结果的现象. 我们前面所学的微积分﹑线性代数等都是用来研究客观世界中的“确定性现象”的数量规律及其存在形式的．例如, 在标准大气压下, 水加热到100℃, 必然沸腾等都是确定性现象．2.随机性现象: 在一定的条件下, 可能结果不止一个而事先无法确定的现象，例如,抛一枚硬币, 其结果可能是正面向上, 也有可能反面向上, 每次抛掷之前无法确定其结果是什么；一袋中装有红﹑白两种颜色的球, 从袋中任取一球, 其颜色有可能是红色的, 也有可能是白色的, 在每次取球之前无法确定其颜色；这些都是随机性现象. 概率统计就是研究随机现象数学规律的一个数学分支.随机现象广泛地存在于客观世界的各个领域, 其内在规律一般可在相同条件下通过大量重复试验而获得.定义. 在概率统计中, 我们把对随机现象的一次观测称为一次随机试验, 简称为试验.概率论中所研究的试验具有如下特点:(1)可以在相同的条件下重复进行；(2)每次试验的结果具有多种可能性,并且事先能明确试验的所有可能结果；(3)每次试验之前不能确定该次试验将出现哪一种结果.一次试验结果的不确定性, 表现了随机现象的偶然性的一面, 而在大量重复试验的条件下, 显现出来的统计规律性, 表现了它的必然性一面, 这就是随机现象的二重性——偶然性和统计必然性之间的辨证关系. 随机现象的二重性充分说明, 随机现象是可以认识的. 研究随机现象是为了掌握随机现象的统计规律性.1813.1.2 随机事件的概念定义. 在随机试验中, 可能出现或可能不出现的结果称为随机事件, 简称为事件, 常用大写字母A、B、C等表示.定义. 在一定条件下, 必然发生的事件, 称为必然事件,记为Ω.定义. 在一定条件不, 必然不发生的事件, 称为不可能事件, 记为Φ.定义. 我们把随机试验的每一可能出现的直接结果即不可能再分解的事件称为基本事件, 记为ω.定义: 基本事件的全体所组成的集合称为基本事件组. 因此, 基本事件组作为一个事件, 它是必然事件, 仍记为 Ω.定义. 从几何意义看, 随机试验的每一个可能的结果叫做样本点, 样本点的全体称为样本空间, 故样本空间与基本事件组的关系是 1一 1对应关系, 记为：Ω={ω1,ω2,… ,ωn}样本空间(基本事件组)、基本事件、随机事件之间的关系见图:显然，事件就是样本空间的某种子集.例3.1.1抛一枚骰子的试验中E, 观察其出现点数.A1=“出现1点”, A2=“出现2点”, A3=“出现3点”, A4=“出现4点”, A5=“出现5点”, A6=“出现6点”都是基本事件；A7=“出现偶数点”, A8=“出现点数大于3点”等都是事件, 但不是基本事件；A9=“出现点数小于7”是必然事件,A10=“出现点数大于6”是不可能的事件, 在此试验中,Ω={ A1,,A2, A3,A4, A5, A6}.1821833.1.3事件间的关系事件既然是样本空间的某种子集, 所以事件的关系与运算应与集合的关系与运算完全对应.设随机试验E 的样本空间为Ω, 而A 、B 、A k ( k =1, 2, …)是E 的事件.(1)包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生, 则称事件B 包含事件A , 记为B ⊃ A 或A ⊂ B , 特别地规定: Φ⊂ A , 且A ⊂Ω.若A ⊂ B 且B ⊂ A ,则称事件A 与B 相等记为A = B .(2)事件的和(或并)事件A 与事件B 至少有一个发生所构成的事件称为事件A 与B 的和事件, 也称为事件的并, 记为A + B .一般地, 推广到n 个事件, 事件A 1,A 2,…,A n 中至少有一个发生所构成的事件称为A 1,A 2,…,A n 这n 个事件的和事件(或并), 记为:∑==+++ni in A A A A 121L.(3)事件的积(或交) 事件A 与事件B 同时发生所构成的事件称为事件A 与事件B 的积事件, 也称为事件的交, 记为AB .一般地, 推广到n 个事件, 事件A 1,A 2,…,A n 同时发生构成的事件称为A 1,A 2,…,A n 这n 个事件的积事件(或交),记为C L n i i n A A A A 121==.(4)事件的差184 若事件A 发生, 而事件B 不发生所构成的事件, 称为事件A 与事件B 的差, 记为A – B.(5)互不相容(互斥)事件 若事件A 与事件B 的积是不可能事件, 即A B =Φ, 则称A 与B 两事件互斥, 或称为互不相容事件。
事件的关系和运算
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
随机事件及其运算
不可能 随机
练习：指出下列事件中，哪些是不可能事
件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（5）
当 x 是实数时，x² ≥ 0 直线 y= k(x+1) 过定点(-1,0) 打开电视机，正在播广告
我市每年都会下雨
必然
必然 随机 必然
（6） (7)
(8)
练习：指出下列事件中，哪些是不可能事件？
哪些是必然事件？哪些是随机事件？
解 （1）√ （2）× （3）× （4）√
练习5：一射手连续向目标射击3发子弹，
Ai表示第i次射击打中目标（i＝1，2，3〕。 试用文字叙述下列事件：
1 2 3 4 5
A1 A2 ; A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A3 A2 ; A3 A2 ;
A、B 互斥
A B ，
A B
A
B
Ω
A、B 对立 且A B
Ω
A
B A
互 斥
对 立
下列说法是否正确？为什么？
1 2
若A B , 则A, B互为对立事件； 若ABC , 则A, B, C两两互不相容。
概率论基本事件等概念与 集合论中元素等的对应关系表： 概率论 集合论 记号
试用Bi 表示A
A
= “两件产品不都是合格品”.
B1 B2 B1 B2
B1 B2 B1 B2 B1 B2 .
练习1.设 A, B, C 为三个随机事件，用A,
B, C 的运算关系表示下列各事件. (1) {A 发生，B 与 C 都不发生}=
AB C .
(2) { A ,B , C 都发生}=
（9）
（10）
明天的太阳从西方升起来
概率统计第1章
条件： m n ,
7/28/2017
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
常见模型(3) ——彩票问题幸运35选7:P21
购买：从01，……，35 中选7个号码. 开奖：7个基本号码，1个特殊号码.
并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意：对立→互不相容，反之不然 应用举例：P7
事件运算的图示
AB
AB
AB
事件的运算性质
德莫根公式
A B A B;
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1：设Ω为一个样本空间，Ｆ为Ω的某些 子集组成的一个事件域，如果对任意一个事件A Ｆ，定义在Ｆ上的一个实质函数P(A)满足
非负性公理：若 AＦ，则P(A)0;
正则性公理： P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
1.1.6 事件的运算
P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).
解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1 所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3
随机事件
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件. 的随机事件, 简称事件. 中某个样本点出现时， 当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 发生． 事件Ａ发生．
特别地： 特别地： 基本事件
由一个样本点组成的单点集
实例 “出现1点”, “出现 点”, … , “出现 点”. 出现 点 出现2点 出现6点 出现 出现 随机试验中必然发生的事件． 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 点数不大于 就是必然事件 随机试验中不可能发生的事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件 点数大于6” 就是不可能事件. 实例 上述试验中 “点数大于 就是不可能事件
A I ∅ = ∅.
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥 互斥) 互斥 不出现, 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 B 不出现,即 与 不能同时出现 不能同时出现， 出现也必然导致 A不出现 即A与B不能同时出现， 不出现 互不相容或互斥, 则称事件 A与B互不相容或互斥 即 与 互不相容或互斥
事件B 事件B的和事件 .
A和B至少有一个发生 ⇔ AU B发生
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU B A S
或 A1 A2 A3 A4 ;
( 3) A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 ;
(4) A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4 U A1 A2 A3 A4
概率与统计中的随机事件与事件的运算
概率与统计中的随机事件与事件的运算在概率与统计学中，随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
事件的运算则是对多个事件进行组合、操作的过程。
本文将探讨概率与统计中的随机事件及其运算。
一、随机事件的定义与特性在随机试验中，发生的结果称为样本点。
而样本空间是指所有可能结果的集合。
随机事件是指样本空间的一个子集，表示某些特定的结果或结果组合。
随机事件具有以下特性：1. 互斥性：如果两个事件不可能同时发生，则称这两个事件是互斥的。
互斥事件的交集为空集。
2. 完备性：在一个随机试验中，必定会发生某个事件，因此，所有事件的事件和为样本空间。
3. 对立性：对立事件是指两个事件互斥且完备。
例如，抛硬币的结果只能是正面或反面，两者互斥且完备。
二、随机事件的运算1. 事件的并：事件A和事件B的并（A∪B）包含了事件A和事件B发生的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到偶数的事件，则A∪B为掷骰子得到任意数的事件。
2. 事件的交：事件A和事件B的交（A∩B）包含了既属于事件A 又属于事件B的所有情况。
例如，A为抽出红球的事件，B为抽出大球的事件，则A∩B为抽出既是红球又是大球的事件。
3. 事件的差：事件A和事件B的差（A-B）包含了属于事件A但不属于事件B的所有情况。
例如，A为掷骰子得到奇数的事件，B为掷骰子得到3的事件，则A-B为掷骰子得到1或5的事件。
4. 事件的补：事件A的补（A'）包含了属于样本空间但不属于事件A的所有情况。
例如，A为掷骰子得到偶数的事件，则A'为掷骰子得到奇数的事件。
三、事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
根据概率公理，事件的概率满足以下条件：1. 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 12. 完备性：P(样本空间) = 13. 加法法则：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)4. 减法法则：对于事件A和B，P(A-B) = P(A) - P(A∩B)四、示例分析假设有一批产品，经过质量检测，A表示产品合格的事件，B表示产品不合格的事件。
有关随机事件关系和运算的例析
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念，是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中，我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算，以求得更为准确的结果。
下面，我们将通过一些例子，来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时，我们可以表示为 AB。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是2。
显然，事件B包含在事件A中，即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时，我们可以表示为A=B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点完全相同，即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时，我们可以表示为A∩B=。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是奇数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点没有交集，即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时，我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数大于3。
显然，事件A和事件B的发生与否互不影响，即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时，我们可以表示为 A∪B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是3。
显然，事件A和事件B中至少有一个发生，即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时，我们可以表示为 A∩B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是4。
显然，事件A和事件B同时发生，即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时，我们可以表示为 A'。
§1.2随机事件及其运算
D包含了所有样本点，即全部试验结果， 包含了所有样本点，即全部试验结果， 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 在任何一次试验中都必然发生，称为必然事 常用Ω 件，常用Ω表示； Ｅ不包含任何的样本点，也即不包含任何 不包含任何的样本点， 试验结果 在每次试验中都一定不发生， 试验结果，在每次试验中都一定不发生，称为 不可能事件， 表示． 不可能事件，常用 Æ 表示．
10
2、相等关系
A＝B ⇔ A⊂B且B⊂A. ＝ ⊂ 且 ⊂
它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 它表示在任何一次试验中，Ａ，Ｂ两个事件同 ，Ａ，Ｂ 时发生或同时不发生． 时发生或同时不发生． 3、互不相容 若事件A与B在任何一次试验中都不能同时 若事件A 发生，则称A 互不相容，否则称A 相容． 发生，则称A与B互不相容，否则称A与B相容． 在例1.1中，A={掷出奇数点}，B={掷出的 在例1.1中 A={掷出奇数点} B={掷出的 1.1 掷出奇数点 点数不小于3 也不超过5} C={掷出的点数能 5}， 点数不小于3，也不超过5}，C={掷出的点数能 整除} E={掷出的点数超过8}， 掷出的点数超过8} 被4整除}，E={掷出的点数超过8}，A与C、A与E 都互不相容， 相容． 都互不相容，而A与B相容．
i =1 n
表示事件
至少有一个发生 发生” “A1 , A2 ,L , An 至少有一个发生”．
163、Βιβλιοθήκη 运算和对立运算 设A，B是两个集合，A − B 的准确含义是 是两个集合，
ω ∈ A − B ⇔ ω ∈ A且ω ∉ B ,
如果把这个蕴涵关系式翻译成概率论的语 表示A发生且B不发生． 言，那么事件 A − B 表示A发生且B不发生．称 的差． 事件 A − B 为 A与B的差． 表示“前者发生且后者不发生” “− ”表示“前者发生且后者不发生”．
随机事件及其运算
Ω 1={正面，反面}
E2：投掷一枚硬币两次，观察其出现正面还是反面的试验.
Ω 2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
E3：测量一根粉笔长度的试验. Ω 3={x|0≤x≤a}, E4：观察一只羊在羊圈中的位臵的试验. Ω 4={(x,y)|0≤x≤a , 0≤y≤b}
第 一章 随机事件及其概率
基本事件: 只包含一个试验结果的事件,用ω 来表示.
随机事件与基本事件之间的关系：
例,掷一枚骰子试验 出现的点数ωi= “出现i点” (i=1,…,6) A＝“出现奇数点” 都是基本事件
是随机事件，但不是基本事件
由ω1, ω3, ω5组合成的，记A={ω1,ω3,ω5},当且仅当这三 个基本事件之一发生时事件A才发生.
A1 A2 A1 A3 A2 A3
考虑逆事件：A1 A2 A1 A3 A2 A3
第 一章 随机事件及其概率 例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手 第i次射击时击中目标.试用文字叙述下列事件 ： （1）A1 A2 A3 ;（2） A2 （4）A1 A2 A3 ；（3） A1 A2 A3 ；
（8）三次中至少两次击中.
第 一章 随机事件及其概率
小
一、概念 1.随机试验；
结
2.随机事件；
两个特殊事件：必然事件，不可能事件. 3.样本空间. 二、事件之间的关系及运算 注意互不相容事件与互逆事件、二者的关系
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一 2 ；3.
P19
8.完备事件组
若事件 A1,…,An为两两互不相容事件， 且A1∪…∪An= Ω,则称A1,…,An 构成一个完备事件组（或称事件的划分）. 当n为2时，完备事件组为互逆事件. 例 设Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4},C={6},则 （1）A,B,C构成完备事件组. （2）AB=Φ，即A,B互不相容，但不是互逆. 因为A∪B={1,2,3,4,5}, 但A∪B≠Ω.
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
随机事件及其运算
随机事件及其运算
例7
解
（1）A1 A2 A3 ：只击中第一枪 ； （2）A1 A2 A3 ：至少击中一枪 ； （3）A1A2 A3 ：三枪都击中； （4）A1A2 A1A3 A2 A3 ：至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果，我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如，有 1000张彩票，其中有2张一等奖，现有1000人各取一张，则每个人得到一等奖的机会有多大？ 又如， 100件产品中有90件合格品，10件次品，从中任取2件，则恰好有1件次品的机会有多大？ 对于这类 随机事件，我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示，记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内}，事件B={点落在大圆内}，如图9-1所示.显然， 若所投掷的点落在小圆内，则该点必落在大圆内，也就是说，若事件A 发生， 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生，必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B . 若 A B且B A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中，若基本事件总数为n ，事件A包含的基本事件数为m ，则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
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第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。
随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。
1．教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。
本章的教学要求是：（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。
２．本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。
二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。
1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。
自然界里有两类不同性质的现象。
有一类现象，在一定条件下必然发生：如自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。
另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。
概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。
特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。
1.1.1 随机现象１．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；（２）掷一颗骰子，出现的点数；（３）一天内进入某超市的顾客数；（４）某种型号电视机的寿命；（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。
随机现象到处可见。
２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。
３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。
对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。
我们就是通过随机试验来研究随机现象的。
1.1.2 样本空间１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为}{ω=Ω其中，ω表示基本结果，称为样本点。
（１）执一枚硬币的样本空间为：},{211ωω=Ω；两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成， 1ω=（正，正），2ω=（正，反），3ω=（反，正），4ω=（反，反），则A=“至少出现一个正面”={123,,ωωω}；B=“最多出现一个正面”={234,,ωωω}；C=“恰好出现一个正面”={23,ωω}；D=“出现两面相同”={14,ωω}。
（２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：}6,5,4,3,2,1{},,,,,{6543212==Ωωωωωωω；两颗呢？这时基本结果可以用一个数对（x,y ）表示，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是Ω1={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6},共有36个结果。
则事件A 1=“点数之和等于2”={（1，1）}，B 1=“点数之和等于5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}C 1=“点数之和超过9”={（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（6,6）}D 1=“点数之和不小于4也不超过6”={（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）}。
（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：},10,,500,,5,4,3,2,1,0{},,,,{532103ΛΛΛΛ==Ωωωωω；为什么这样处理？（４）某种型号电视机的寿命样本空间为：}0,{4≥=Ωt t ；（５）测量误差的样本空间为：},{5+∞<<-∞=Ωx x 。
２．离散样本空间和连续样本空间。
样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类——连续样本空间。
1.1.3 随机事件1．定义 随机现象的某些样本点组成的集合。
随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C …来表示事件。
A=“出现奇数点”，A={1,3,5}等。
事件具有以下特征：（1）任一事件A 是相应样本空间Ω的一个子集。
（2）事件A 发生当且仅当A 中某一结果发生，或者说，当ω1（∈A ）发生，则说世事件A 发生，当ω2（∈A ） 发生，则说A 不发生。
（3）事件A 的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。
2．维恩图 事件的集合表示。
基本事件复合事件必然事件不可能事件3．例掷一颗骰子的样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。
事件A=“出现1点”，它由Ω的单个样本点“1”组成。
事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。
事件C=“出现的点数大于6”，Ω中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不可能事件∅。
事件D=“出现的点数不超过7”，Ω中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件Ω。
样本空间与集合的关系，对应关系1.1.4 随机变量1．定义用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母ξηζL等表示。
很多随机事件都可以用X Y Z L等表示，也有的用希腊字母,,,,,,随机变量来表达。
2．例（1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；（3）检查10件产品，其中不合格产品数X是一个随机变量，表示（4）电视机的寿命T是一个随机变量。
此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。
取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；剩下的——非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。
随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。
1.1.5 事件之间的关系为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。
事件之间的关系有：一、包含关系（1）事件的包含设在同一个试验里有两个事件A，B，若事件A中任一基本结果必在B中，则称A包含于事件B或B包含A，记为A⊂B,B⊃A。
此时若A发生则必导致B发生。
如A=“出现4点”，B=“出现偶数点”显然对于任意一个事件A有Ω⊃A⊃Φ二、相等关系事件的相等设在同一个试验里有两个事件A 与B，，若AB且BA，则称事件A与B是相等的,记为A=B。
这时A与B必然包含相同的基本事件。
A = B⇔A⊂B而且B⊂A.如掷两颗色子，观察它们出现的点数（x,y），设A=“x+y=奇数”，B=“x与y的奇偶性不同”，则A=B.三、互不相容关系(3)事件的互不相容（互斥）设在同一个试验里，若两个事件A与B没有相同的基本结果，则称事件A与B互不相容，这时事件A与B不可能同时发生。
如A=“出现点数为偶数”，B=“出现3点或5点”，则A与B互不相容。
同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件A1,A2,…,An，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n个事件是互不相容的。
各种关系的维恩图表示。
1.1.6 事件运算1．事件运算：一、事件A与B的并（和），记为：A BU“由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“事件A与B中至少有一个发生”“A或B”举例且：A B A⊃U，A B B⊃U；当A B⊃时，?A B=UA AΦ=U,AΩ=ΩU；12nA A AU UL U表示12,,,nA A AL中至少有一个发生。
1niiA=U称为有限并，1iiA+∞=U称为可列并二、事件A与B的交，记为：A BI或AB“由事件A与B中公共样本点组成的新事件”“事件A与B中同时发生”“A且B”举例且：A B A⊂I，A B B⊂I；当A B⊃时，?A B=IAΦ=ΦI,A AΩ=I；12nA A AI I L I表示12,,,nA A AL全部发生。
若A与B互不相容（互斥），则A B=ΦI；反之，亦然。
1n i i A =I 称为有限交，1i i A +∞=I 称为可列交。
三、事件A 与B 的差，记为：A B -“由事件A 中但不在B 中的样本点组成的新事件”“ 事件A 发生而B 中不发生”“ A 非B ”举例：如A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A －B=｛５｝，而B －A ＝｛２｝。
一般情况下A B A AB -=-这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。
将A B U 表示为互不相容事件的和：()()A B A AB B A B AB =-=-U U U 等。
若X 为随机变量，则有：{}{}{}X a X a X a ==≤-<{}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤四、对立事件设A 为试验里的事件，则由不在A 中的一切结果组成的事件称为A 的对立事件，记为A ,A 就是“A 不发生”。
如 A=“出现偶数点”，则A =“出现奇数点”。
对立事件是相互的，A =A,Φ=Ω，Ω=Φ。
举例：对立与互不相容的区别与联系，比较举例：设A ，B ，C 是某个试验中的三个事件，则（1）事件“A 与B 发生，C 不发生”可以表示为ABC 。
（2）事件“A ，B ，C 中至少有一个发生”可以表示为A B C U U(3)事件“A ，B ，C 中至少有两个发生” 可以表示为AB BC AC U U（4）事件“A ，B ，C 中恰好有两个发生” 可以表示为ABC ABC ABC U U .(5) 事件“A ，B ，C 中有不多于一个事件发生”可以表示为ABC ABC ABC ABC U U U（6）事件“A ，B ，C 中至少有一个发生的对立事件”是A B C A B C =U U 。
2．事件的运算性质：（1）交换律：A B B A =U U ，A B B A =I I ；（2）结合律：()()A B C A B C =U U U U ，()()A B C A B C =I I I I ；（3）分配律：()()()A B C A C B C =U I I U I ，()()()A B C A C B C =I U U I U ；（4）对偶律（德莫根公式）：,A B A B A B A B ==U I I U 。