中考数学 第7章 空间与图形 73 图形的相似与位似复习课件
中考数学复习《相似与位似》课件
和
⑤了解两个三角形相似的判定定理：两角分别 相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相
位
等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个
似
三角形相似．
相似这部分的考察分值大约在3~10分之间，考
查方式（1）基础知识的考查以选择题或填空题
为主要形式；（2）与其他知识的整合考查，比
如与四边形，圆，二次函数，解直角三角形,对
中考复习---图形
的相似与位似
分类
考点说明
①了解比例的性质、线段的比、成比例线段， 通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多
图
边③形理和解相“似两比条．直线被一组平行线所截，所得的对
形
应线段成比例”
的
④了解相似三角形的性质定理：相似三角形对
相 似
应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的 平方．
CE的延长线与BDA的延长线交于点F，则
S△AFE：S四边形ABCE为(
)
7提∴AA示．E：∥3：B∵C在4，平A行DB=．四B4边C：，形3A∴B△CCDF．A中7E：，∽△9 FBDC．，9：
图 2312
∵AE：ED=3：1，∴ ，∴
，
∴S△AFE：S四边形ABCE=9：7．
5.(2015•贵阳) 如图23-13，在方格纸中，
使AM=3MC，作M1N5∥2AB交BC于N，量得
M提N示=：38根m据,则△ACB的MN长m∽为△CAB.，
，
AB=4MN=152m.
10.如图23-9是小玲设计用手电来测量某古 城墙高度的示意图。在点P处放一水平的平 面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚 好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD， CD⊥BD，且测8 得AB=1.4米，BP=2.1米， PD=12米.那么该古城墙CD的高度是 米. 提示：由光学知识反射角等于入射角不难分析得出 ∠APB=∠CPD，
人教版初中九年级下册数学课件 《位似》相似名师示范课件
要把四边形ABCD缩小到原来的，12该怎么办呢？
1、在四边形外任取一点O 2、作射线OA、OB、OC、OD
A
B A’
B’
3、在OA、OB、OC、OD上
分别取A’、B’、C’、D’，使得 O
C’ D’
C
OA' OB' OC' OD' 1
D
OA OB OC OD 2
4、顺次连接A’、B’、C’、D’，所 得四边形为所求
演示
练习拓展
1.如图, △OAB和△OCD是位似图形,AB与CD平行吗? 为什么?
2.如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的两倍.
A O
C B
课堂小结
回味无穷
▪ 位似图形的概念： ▪ 如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点
所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图 形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的 相似比又称为位似比.
两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交 于一点,对应边互相平行像这样的两个图形叫做 位似图形(homotheticfigures),这个点叫做位似 中心.这时的相似比又称为位似比.
如何找位似图形的位似中心？
A’
A
B
B’
O
C
C’
观察与思考
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是位似图形. 观察这五个图，指出它们位似中心位置有何不同。
▪ 掌握位似图形的定义，位似与相似的区别 与联系，以及位似图形的画法。
▪ 通过经历对位似图形的认识、操作、归纳 等过程，激发学生探究问题的兴趣，得到 解决问题的成功的喜悦，培养同学们之间 的合作交流意识。
自读课本引入新知
包头市2015中考复习第7章 第3节 图形的相似及位似
第3节 图形的相似及位似比例线段及其性质1．比例线段的定义．2．比例的性质基本性质：a b ＝cd⇔ad ＝bc.等比性质：若a b ＝c d ＝…＝mn ，且b ＋d ＋…＋n ≠0，则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.3．黄金分割：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC ＞BC)，如果AC AB ＝BC AC，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做AB 的黄金分割点．AC 与AB 的比叫做黄金比，AC AB ＝5－12≈0.618.相似多边形1．对应角________，对应边的比________的两个多边形叫做相似多边形． 2．性质：(1)对应角相等，对应边成比例；(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．相似三角形1．定义：对应角______，对应边的比______的两个三角形叫做相似三角形，______的比叫做相似比．2．三条平行线截两条直线，所得的________的比相等．3．判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形________；(2)两边对应______且夹角______的两个三角形相似； (3)两角对应相等的两个三角形相似； (4)三边对应成比例的两个三角形相似．4．性质：(1)对应角相等，对应边______；(2)对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于______； (3)周长之比等于______，面积之比等于________________________________________________________________________．位似图形1．两个图形是________图形，且每组对应点的连线都经过________点，这两个图形叫做位似图形，________叫做位似中心．2．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为________，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k.比例的基本性质【例1】若a 2a －b ＝23，则ba ＝__12__．由a b ＝cd―→ad ＝bc . 相似三角形【例2】如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对由∠CPD ＝∠A ＝∠B ―→两角对应相等―→相似三角形，注意：∠AGP ＝∠BPF .相似多边形【例3】(2013·枣庄)如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE向上折叠，使点B 落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝2__.设AD ＝x ，由对应边的比相等―→列比例式―→求解．位似图形 【例4】(2013·孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D )A ．(－2，1)B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)由在直角坐标系中位似变换的性质―→确定对应点的坐标．判定两个三角形相似时，注意不能只从表面图形去分析，而要从判定方法、对应边、对应角去考察．【例5】已知图①，图②中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图②中AB ，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( A )A ．都相似B ．都不相似C ．只有①相似D ．只有②相似 真题热身1．(2012·凉山州)已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( D )A.23B.32C.94D.492．(2014·南京)若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶13．(2014·毕节)如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( A ) A.154 B.125 C.203 D.174 4．(2013·青岛)如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A ，B 的对应点分别为A′，B ′，且A′，B ′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为( D )A ．(m2，n ) B ．(m ，n )C ．(m ，n 2)D ．(m 2，n2),第4题图) ,第5题图)5．(2014·长沙)如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝23，△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为__18__．6．(2014·岳阳)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60 cm .如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)在矩形ABCD 中，由对称性可得∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ＝90°，∴△BEF ∽△CDF (2)由(1)知△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－CFCF，解得CF ＝169，即CF 的长度是169 cm第3节 图形的相似及位似基础过关一、精心选一选1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D ) A ．1∶25 B ．1∶5 C ．1∶2.5 D ．1∶ 52．(2014·玉林)△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )A ．3B ．6C ．9D ．123．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A )A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对4．(2014·武汉)如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( A )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 36．(2013·上海)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶57．(2014·南通)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( D )A ．1B ．2C ．122－6D ．62－68．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB ＝90°，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∠ABC 的平分线分别交AD ，AC 于点E ，F ，则BFEF的值是( C ) A .2－1 B ．2＋ 2 C .2＋1 D . 2 二、细心填一填9．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP ∽△AED__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为__9__m .11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，则GH 的长为__65__．,第11题图),第12题图)12．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是3． 13．如图，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示PA 为一边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽为PB 的矩形的面积，则S 1__＝__S 2.(填“＞”“＜”或“＝”),第13题图) ,第14题图)14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△A B′O′是△ABO 关于A 的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(53，－4)__．15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 的中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝__1.05__里．三、用心做一做16．(2013·南宁)如图，△ABC 三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)． (1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2的值．解：(1)图略 (2)图略，S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1417．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与其影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高度CD 的长．(精确到0.1 m )解：设CD 长为x m ，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ，∴EC ＝CD ＝x ，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，∴路灯高CD 约为6.1 m18．(2013·广东)如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3, 则S 1__＝__S 2＋ S 3；(用“>”“<”或“＝”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ；选△BCF ∽△CDE ，证明：在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°且点C 在边EF 上，∴∠BCF ＋∠DCE ＝90°，在矩形BDEF 中，∠F ＝∠E ＝90°，∴在Rt △BCF 中，∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBF ＝∠DCE ，∴△BCF ∽△CDE19．(2013·莆田)定义：如图①，点C 在线段AB 上，若满足AC 2＝BC·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．如图②，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D. (1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； (2)求出线段AD 的长．解：(1)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝36°，∠BDC ＝72°，∴AD ＝BD ，BC ＝BD ，∴△ABC ∽△BDC ，∴BDAB＝CD BC 即AD AC ＝CD AD，∴AD 2＝AC·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点 (2)∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD ＝5－12AC ＝5－1220．(2013·泰安)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB·AD ；(2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．解：(1)由△ABC ∽△ACD 得AC 2＝AB·AD (2)∵E 点为Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴EC ＝12AB ＝AE ，∴∠ECA ＝∠EAC ，可得∠DAC ＝∠ECA ，∴CE ∥AD (3)由CE ∥AD 得△ECF ∽△DAF ，∴EC AD ＝CF AF ，EC ＝12AB ＝3，∴CF AF ＝34，即AC －AF AF ＝34，∴AC AF ＝7421．(2014·自贡)阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点(2)如图，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE ＝∠ECM ＝∠AEM.由折叠可知△ECM ≌△DCM ，∴∠ECM ＝∠DCM ，CE ＝CD ，∴∠BCE ＝13∠BCD ＝30°，BE ＝12CE ＝12AB.在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE BC ＝tan 30°＝33，∴AB BC ＝233挑战技能22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x ，那么x 的值( B )A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个23．(2014·泰州)如图，A ，B ，C ，D 依次为一条直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A ，D ，E 三点，且∠AOD ＝120°.设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为__y ＝4x(x ＞0)__．24．(2014·咸宁)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP .(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，由SAS 可证△ABM ≌△BCP ，∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP ，∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°，∴AM ⊥BP ，∵将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN ，∴MN ∥BP ，∴BP ＝MN ，∴四边形BMNP 是平行四边形 (2)BM ＝MC.理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ ，又∵∠ABM ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ ，∴AB MC ＝AM MQ ，∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM ，∴AB BM ＝AM MQ ，∴AB MC ＝AB BM，∴BM ＝MC26．(2014·黄石)AD 是△ABC 的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设AM ＝xAB ，AN ＝yAC(x ，y ≠0)．(1)如图①，当△ABC 为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN ∽△DMA ；(2)如图②，证明：1x ＋1y＝2.解：(1)在△AMD 中，∠MAD ＝30°，∠ADM ＝60°，∴∠AMD ＝90°，在△AMN 中，∠AMN ＝90°，∠MAN ＝60°，∴△AMN ∽△DMA(2)作CF ∥AB 交MN 于点F ，则△CFN ∽△AMN ，∴NC NA ＝CF AM ，又可证△CFD ≌△BMD ，∴BM ＝CF ，∴AN －AC AN ＝BM AM ＝AB －AM AM ，∴yAC －AC yAC ＝AB －xAB xAB ，∴x ＋y ＝2xy ，∴1x1y＝227．(2014·武汉)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；(2)连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．解：(1)①当△BPQ ∽△BAC 时，∵BP BA ＝BQ BC，BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴5t 10＝8－4t 8∴t ＝1；②当△BPQ ∽△BCA 时，∵BP BC ＝BQ BA ，∴5t 8＝8－4t 10，∴t ＝3241，∴t ＝1或3241时，△BPQ 与△ABC 相似 (2)过P 作PM ⊥BC 于点M ，设AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA ＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM 且∠ACQ ＝∠PMC ＝90°，∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP ，∴68－4t ＝4t 3t ，解得t ＝78。
图形的相似与位似复习课件
A 8 B 10 C 12 D 16
2.下列命题正确的是（
D
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。 B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相 似比为1. D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
P
.
B
= AP AB
点B把线段AC分成两部分,如果 PB AP 那么称线段AC被点B 黄金分割, 点P为线段AB 的 黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称 为 黄金比.
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
1．若 a:3=b:7, 则(a+3b):2b=
；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比 例，则d= ；
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比. 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比
1．任取一点O； 2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…； 3．分别在射线OA、OB、OC、 …上取点A’、 B’、C’、 … ，使：
中考数学专题复习之 图形的相似与位似 课件
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3．[2020 山东潍坊，7,3 分]如图，点 E 是▱ABCD 的边 AD 上的一点，且DAEE＝12，连接 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F，若 DE＝3，DF＝4，则▱ABCD 的周长为( )
A．21 C．34
B．28 D．42
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解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CF，AB＝CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴DAEE＝FADB＝12， ∵DE＝3，DF＝4， ∴AE＝6，AB＝8， ∴AD＝AE＋DE＝6＋3＝9， ∴▱ABCD 的周长为(8＋9)×2＝34. 故选 C.
中考数学专题复习
图形的相似与位似
1．[2020 山西，5,3 分]泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出 了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推 算出金字塔的高度．这种测量原理，就是我们所学的( )
A．图形的平移 C．图形的轴对称
B．图形的旋转 D．图形的相似
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8．[2017 四川泸州，11,4 分]如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE⊥BD， 垂足为 F，则 tan∠BDE 的值是( )
2 A. 4
1 C.3
1 B.4
2 D. 3
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解析：由 AD∥BC，可得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的性质，可得AEDB＝AEFF＝DBFF，
∴△AEF∽△DCF，∴CEFF＝DAEC. 在△BCD 中，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，如图，
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7．[2017 山东枣庄，6,3 分]如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
中考数学考点系统复习 第七章 作图与图形变换 第三节 图形的平移、旋转、对称与位似
图④
图⑤
图⑥
(4)如图⑤，若将△ABD 绕点 A 逆时针旋转至 AB 与 AC 重合，点 D 的对应 点为 E，点 P 为 AC 的中点，连接 PE，则 PE 的最小值为 3 . (5)如图⑥，当点 D 是 BC 边上的中点时，将线段 AD 绕点 A 旋转 60°得到 AD′，连接 CD′，则 CD′＝22 7或或2 2.
解：(1)如图所示，△GMH 即为所求． (2)如图所示，△MNH 即为所求． (3)45.
重难点 1：与图形的对称有关的计算
如图，在正方形纸片 ABCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，
点 B 落在线段 AE 上的点 G 处，折痕为 AF，若 AD＝4 cm，则 CF 的长为 6－6－2 2 5 cm.
(2)如图③，点 D 为 BC 的中点，将△ACD 绕点 D 逆时针旋转一定角度 α(0<α<90°)得到△ECD.若 CE∥BD，则旋转角度 α＝6060°°；
(3)如图④，连接 AD，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转至△ACE 的位置，连接 DE，则旋转角度为 6060°°； ①若∠CAD＝45°，则∠CAE 的度数为 1 15°5°； ②若 CD＝3，则 CE 的长度为 1 1；
(3)如图③，作出△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°的图形△A3B3C3； 解：△A3B3C3 如图所示．
(4)如图④，以点 A 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A4B4C4； 解：△A4B4C4 如图所示．
(5)如图⑤，作出以 AB 为对角线的正方形 AEBF，点 E，F 也为格点，正方 形 AEBF 的面积为 10；
解：(1)线段 A1B1如图所示． (2)线段 A2B1 如图所示． (3)20.
2023中考数学复习：图形的相似与位似
∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( D )
A.(7,2)
1
B.(7,5)
2
3
4
C.(5,6)
5
6
7
8
9
D.(6,5)
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
9.(2022·贵州贵阳)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,
AC ∶ AB=1 ∶ 2,则△ADC与△ACB的周长比是( B )
16
17
18
基础全练
挑战高分
中考创新练
∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴ = .∵DH∥AB,∴△EDH∽△EFB.
∴ = = .∴ = .∴ = ;
[问题拓展]解:如图2,取BC的中点H,连接DH.
∵D是AC的中点,∴DH∥AB,DH= AB.
(2)求 的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
挑战高分
基础全练
中考创新练
(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠D=∠A,∵∠CFD=∠BFA,∴△ABF∽△DCF;
②∵OB=CO,∴∠OCB=∠ABC=45°,∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°,
∵CD∥AB,∴∠OCD=180°-∠COB=90°,∴CD是☉O的切线;
∵AE=3,EF=2AF=4,∴ME=4,BM=2,BE=3,
中考数学一轮复习加分宝 图形的相似与位似-课件
A．轴对称变换
【答案】D
）
B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
3．如图，△ 和△ 是以点为位似中心的位似图形，若
: = 2: 3，则△ 与△ 的周长比是（
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2
【答案】C
）
4．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（
【答案】4: 9
14．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ 放大为原
′
′
′
′
来的 2 倍得到△ ，若点 A 的坐标为 2，3 ，则 的坐标为
_____．
【答案】 4，6 或 −4， − 6
15．有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为 100 平
方厘米，图纸上某条边的长度为 5 厘米.经测量，这条边的实际长
■考点 1 图形的相似►
（1）相似图形：我们把形状相同的图形称为相似形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注
意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一
种特殊情况．
■考点 2 相似多边形的定义和性质►
(1)画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点 O 为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与
△ABC 的相似比为2: 1，并写出点 B2 的坐标．
解：
（1）如图，Δ1 1 1 为所作．
（2）如图，Δ2 2 2 为所作，点 B2 的坐标为（-4，-6）
．
A． = 2 2
【答案】B
B． = 2 C． = 2
D．∠ = 60°
第20讲 图形的相似与位似(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
如图所示，过点作 ∥ 交于点，
∵ ∥ ∴
∵ ∥ ，∴
=
=
6
3
8
4
= = 设 = 4，则 = 3
9
= = 3∴ = 3 = 12
3
∵ = + + = 3 + 4 + 12 = 19 = 6 3
么d的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．1
考点一 比例线段的概念与性质
题型02 图上距离与实际距离
【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1: 8000的地图上，延陵西路的
长度约为25cm，该路段的实际长度约为（
A．3200m
B．3000m
）
C．2400m
D．2000m
故选：A．
考点一 比例线段的概念与性质
题型10 平行线分线段成比例（X型）
【例10】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）如图， ∥ ∥ ，直线1 、2 与这三条平行线分别
交于点A、、和点、、．若 = 4.5， = 3， = 2，则的长度是（
A． =
C．
=
5−1
2
B． =
D．
=
5−1
2
）
考点一 比例线段的概念与性质
题型07 黄金分割的实际应用
【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足 =
5−1
，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知
2
矩形是黄金矩形，对角线，相交于且 = 2，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（
人教版九年级下册数学《位似》相似说课教学复习课件
学习目标
3.培养学生分类讨论问题的能力. 2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形 的方法将一个图形放大或缩小. 1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相 似的联系和区别，掌握位似图形的性质.
探究新知
知识点 1 位似的定义 下列图形中有相似多边形吗？如果有，那 么这种相似有什么特征？
探究新知
巩固练习
如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 （ D ）
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
E
D
A
D. AE : AD是相似比
B
C
探究新知
知识点 2 位似图形的性质
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则
OA OA'
OB AB OB' A' B'
巩固练习 解：（1）画出原点O，x轴、y轴．B（2，1）．
（2）画出图形△A′B′C′． （3）S = 1 4 8=16.
将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形， 指出三个顶点的坐标所发生的变化． （1）沿y轴正向平移3个单位长度； （2）关于x轴对称； （3）以C为位似中心，将△ABC按相似比2放大； （4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
截止现在，你总
共学了哪些图形
变换？它们有何
异同点？
A3
B1 y
B3
O，且
OE EA
4 3
，则
FG BC
4 ___7____．
课堂检测 基础巩固题
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( B )
A
B
C
D
课堂检测
中考数学一轮复习 第七章 图形变化 第三节 图形的相似与位似课件
2021/12/8
第八页，共三十二页。
2．相似三角形的相判等定定理 (1)两角分别___(_x_iā_n_gd的ěng两) 个(liǎnɡ ɡè)三角形相似； (2)两边 成___比__例__(b且ǐlì夹) 角 ____相_的等两个三角形相似； (3)三边 __成__比__例_的两个三角形相似．
2021/12/8
第二十八页，共三十二页。
讲：
确定位似图形的位置
解答此类问题(wèntí)时，先确定点的坐标及相似比，再分别把
横、纵坐标与相似比相乘即可．注意原图形与位似图形
是同侧还是异侧，来确定所乘的相似比的正负，这是最
易出错的地方．
练：链接变式训练7
2021/12/8
第二十九页，共三十二页。
6．如图，在平面(píngmiàn)直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG
第三节 图形 的相似与 (túxíng) 位似
2021/12/8
第一页，共三十二页。
知识点一 比例线段及其性质(xìngzhì) 1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度 分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB∶CD＝m∶n.
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第二页，共三十二页。
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，1 点A， B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标3 为
(
)
A
A．(3，2)
2021/12/8
B．(3，1)
C．(2，2)
第三十页，共三十二页。
D．(4，2)
7．(2017·烟台)如图，在直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)系中，每个小方格的 边
(2)相似多边形的周长比等于 _______，面积比等于______
中考数学 教材知识梳理 第7单元 图形的变化 第30课时 图形的相似与位似
AC AB
BC , AC
那么点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄
金比．
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(二) 中考考点梳理
考点3 相似三角形的判定及性质(必考)
1. 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角 形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相 似比．
2. 性质：(1)相似三角形的对应角__相__等___； (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分 线)_成__比__例__； (3)相似三角形的周长比等于__相__似__比__，面积比等于 __相_似__比__的__平__方__．
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(三) 中考题型突破
题组二 位似图形
1. (2016烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且 相似比为 1 ， 点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的 3 边长为6，则C点坐标为( A ) A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
(三) 中考题型突破
方法点拨
两个图形位似：若在位似中心同一侧，则位似 图形上对应点的横、纵坐标的比都为k；若不在位 似中心同一侧，则位似图形上对应点的横、纵坐标 的比都为－k.
第一部分 教材知识梳理
温馨提示： 请完成《练测考》P191习题．(三) 中考题型突破解：(1)∵DH∥AB，
∴∠BHD＝∠ABC＝90°，
又∵∠ACB＝∠DCH，
∴△ABC∽△DHC，∴ A C B C . DC HC
∵AC＝3CD，BC＝3，
∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.
在Rt△BHD中，cos∠HBD＝
B B
H D
.