3.4 向量空间

-1
0 -1 1 0 1 1 1 1 2 = -1 -3 -2 1 0 1 2 4 4
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（2） 在基1 , 2 , 3下的坐标为（1,2,-3）
T
则 在基 1 , 2 , 3下的坐标为
, m 线性表示.
因 1 ,
, m 可由 1 ,
, s 线性表示
故x可由 1 ,
, s 线性表示，所以x L2 .
这就是说，若x L1，则x L2，因此L1 L2 .
类似地可证 : 若x L2 , 则x L1，因此L2 L1 .
因为L1 L2，L2 L1，所以L1 L2 .
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注：1.
向量空间 向量空间的基
向量组 向量组的极大线性无关组 向量组的秩
向量空间的维数
2. 只含有零向量的向量空间没有基，维数为0 3. 向量的维数是指向量中所含分量的个数
向量空间的维数是指基所含向量的个数
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定理1：若向量空间 V 的维数为 r ，则 V 中任意 r 个线性 无关的向量都是的V基 注： 1. n 维向量的全体 Rn构成向量空间，它的一组基 可取n维单位坐标向量组，维数为n
y1 x1 y 2 C 1 x 2 y x r r
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1 2 1 例4：设R 3的两组基1 0 ， 2 1 ， 3 1 -1 1 1
7 - 2 y1 1 1 1 y2 C 2 = - 2 3 y 3 3 2
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L = {l α + m β | l , m ∈ R }
称为由向量 α, β 所生成的向量空间． 一般地，把集合
L = {l1α1 + l2α2 + …+ lmαm | l1, l2, ..., lm ∈R }
称为由向量α1 , α2 , ..., αm 所生成的向量空间．
例2：设向量组α1 , α2 , ..., αm和 β1 , β2 , ..., βs 等价，记
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(对数乘封闭)
如：下列哪些向量组构成向量空间？
1. n 维向量的全体Rn
2.集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 3.集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 4.齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 5.非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b }
T T
1
=(3, 4, 5) 在3维单位坐标向量组下的
T
坐标是什么？
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(3, 4, 5)T
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注：同一个向量在不同基下的坐标是不同的 定义5：设α1 , α2 , ..., αr和β1, β2, …, βr是向量空间 V 的
两组基 ， 并且(β1, β2, …, βr)=(α1 , α2 , ..., αr)Cr，
则称C是从基α1 , α2 , ..., αr到β1, β2, …, βr的过渡
矩阵 注：过渡矩阵可逆
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定理3：设从基α1 , α2 , ..., αr到β1, β2, …, βr的过渡矩阵 是C，若向量α在基α1 , α2 , ..., αr下的坐标为
(x1, x2, …, xr)T ,则α在基β1, β2, …, βr下的坐标为
6.n维零向量 集合 Rn，V1，S1 ，零向量是向量空间
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集合 V2，S2 不是向量空间．
注：向量 空间必含 零向量
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例1：设 α, β 为两个已知的 n 维向量，集合
L = { l α + m β | l, m ∈ R }
是一个向量空间吗？
解：设 x1, x2 ∈L， k∈R，因为
l1 l2 , r ) l r
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称( l1, l2, ..., lr)T为向量 α 在基 α1 , α2 , ..., αr下的坐标
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0 1 1 例3：设1 1 ， 2 0 ， 3 1 . 1 1 0 3 （1）证明1 , 2 , 3是R 的基 （2）求 =(3, 4, 5)T 在这组基下的坐标 0 1 1 证：（1）由于 1 2 3 = 1 0 1 =2 0 1 1 0 则 1 , 2 , 3线性无关
又R 3是3维向量空间，故1 , 2 , 3是R 3的基
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l1 3 0 1 1 l1 （2）由 (1 , 2 , 3 ) l2 得： 4 1 0 1 l2 5 1 1 0 l l 3 3
2.由向量组A：α1, α2, …, αr生成的向量空间V与向
量组A等价，且A的极大线性无关组就是V的一组 基，A的秩就是V的维数
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定理2：若向量组 α1, α2, …, αr 是向量空间V 的一组基， 记L = { l1a1 + l2a2 + …+ lrar | l1, l2, ..., lr∈R }， 则 V =L
0 -1 1 和 1 1 ， 2 1 ， 3 2 1 0 1
（1）求从1 , 2 , 3到 1 , 2 , 3的过渡矩阵C （2）求 = 1 2 2 3 3 在 1 , 2 , 3下的坐标
l1 0 1 1 3 3 则 l2 1 0 1 4 = 2 l 1 1 0 5 1 3
故 =(3, 4, 5) 在基1 , 2 , 3下的坐标是(3, 2,1)
L1 = {l1α1 + l2α2 + …+ lmαm | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1β1 + m2β2 + …+ ms βs | m1, m2, ..., ms∈R }， 试证 L1 = L2 ．
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注：等价的向量组所生成的向量空间相等
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二、基与维数 定义3：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量 α1, α2, …, αr，满足
① α1, α2, …, αr线性无关；
② V 中任意一个向量都能由 α1, α2, …, αr线性
表示；
那么称向量组 α1, α2, …, αr是向量空间 V 的一个基 r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间
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解：（1）由( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )C 得
0 -1 1 1 2 1 1 1 2 = 0 1 1 C 1 0 1 -1 1 1
1 2 1 则 C = 0 1 1 -1 1 1
注：任一向量空间都可以看作是由它的基所生成的
向量空间
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三、基变换与坐标变换 定义4：设α1 , α2 , ..., αr是向量空间 V 的一组基 ， V 中任意一个向量 α 可唯一地表示为 α = l1 α 1 + l2 α 2 + …+ lr α r
(1 , 2 ,

x1 + x2 = (l1α + m1β) + (l2α + m2β) = (l1 + l2) α + (m1 + m2) β∈ L k x1 = k (l1α + m1β) = (kl1) α + (km1) β ∈ L 所以，L 是一个向量空间．
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定义2：把集合
内容提要

向量组的线性表示 向量组的线性相关性 向量组的秩与极大线性无关组 向量空间 标准正交向量组
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§4
一、定义
向量空间
定义1：设 V 是由 n 维向量组成的非空集合，如果 集合 V 对于向量的加法和数乘两种运算封闭，
即：
若 α∈V， β∈V，则 α+ β ∈ V (对加法封闭) 若 α∈V， l ∈R，则 l α∈ V 那么就称集合 V 为向量空间