旋转轴为任意直线时旋转体体积的计算
r (o)绕x轴旋转一周的体积公式
一、引言在数学和物理学中，经常会涉及到绕某个轴旋转的问题。
在计算旋转体的体积时，我们需要根据旋转轴的不同选择合适的公式来进行计算。
本文将重点讨论绕x轴旋转一周的体积公式，以便读者更好地了解并应用这一知识。
二、绕x轴旋转一周的体积公式当一个曲线或者平面图形绕x轴旋转一周时，我们希望能够得到旋转体的体积。
下面我们将讨论几种常见的图形绕x轴旋转一周的体积公式。
1. 直线段绕x轴旋转一周的体积公式当一条直线段在x轴上方或者下方，并绕x轴旋转一周时，我们可以利用定积分来求解旋转体的体积。
假设直线段的方程为y=f(x)，x的取值范围为[a, b]，则绕x轴旋转一周的体积V可由以下公式计算得出：V = π∫[a, b](f(x))^2dx其中，π表示圆周率，∫[a, b]表示对x从a到b的定积分。
2. 非负函数绕x轴旋转一周的体积公式当一个由非负函数y=f(x)围成的曲边图形绕x轴旋转一周时，我们可以使用定积分来计算旋转体的体积。
设曲边图形的方程为y=f(x)，x的取值范围为[a, b]，则绕x轴旋转一周的体积V可以用以下公式计算得出：V = π∫[a, b](f(x))^2dx这个公式与直线段绕x轴旋转一周的体积公式相同，都是利用定积分来求解旋转体的体积。
3. 一般图形绕x轴旋转一周的体积公式对于一般的图形，我们可以将其分解为多个由直线段或者非负函数围成的曲边图形，然后分别计算每个部分绕x轴旋转一周的体积，最后将它们相加得到整个图形绕x轴旋转一周的体积。
若一个一般图形由n个部分组成，分别为S1, S2, ..., Sn，它们分别在x轴上方或者下方，并且n个部分不相交，则整个图形绕x轴旋转一周的体积V可以表示为：V = ΣVi = Σ[1, n]Vi其中Vi表示第i个部分绕x轴旋转一周的体积。
4. 应用举例举例说明直线段绕x轴旋转一周的体积公式。
假设直线段的方程为y=x，x的取值范围为[0, 1]，则绕x轴旋转一周的体积V可由以下公式计算得出：V = π∫[0, 1]x^2dx通过对上述定积分进行计算，可以得到V=π/3。
旋转体体积公式大全
旋转体体积公式大全大家好,小豆豆来为大家解答以上的问题。
旋转体体积公式大全，体积公式大全这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！1、不同形状的物体体积计算公式是不同的，下面是各种不同图形体积计算公式：正方体体积=a³ a为棱长。
2、2、长方体体积=长×宽×高。
3、3、圆柱体体积=πr²h 即底面积×高。
4、4、圆锥体体积=1/3πr²h 即1/3×底面积×高。
5、5、球体体积=4/3πr³。
6、扩展资料：体积的单位换算：1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸2、1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸3、1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码4、1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米5、1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=立方毫米6、1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=立方毫米7、1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）8、1 加仑(美) =0. 立方米 =0. 加仑（英）长方体的体积 =长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 常规公式(s是底面积h 是高)圆柱公式(r代表底圆半径h代表圆柱体的高)棱柱公式(底面积x高)长方体公式(a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)正方体公式用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为锥体体积常规公式(s是底面积h是高)圆锥体公式圆锥体体积=(s是底面积h是高)不同图形体积计算公式：长方体：（长方体体积=长×宽×高）/2、正方体：（正方体体积=棱长×棱长×棱长）2、圆柱（正圆）：【圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高】3、立体图形的体积都可归纳为：（底面积×高）4、圆锥（正圆）：【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3】5、角锥：【角锥体积=底面积×高/3】6、球体：【球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方)】7、棱台：注：v：体积；s1：上表面积；s2：下表面积；h：高。
绕某一直线旋转的旋转体体积的求法
一、概述在数学和物理学中，我们经常会遇到关于旋转体积的问题。
绕某一直线旋转的旋转体是一种常见的几何体，在工程设计、建筑学和动力学等领域都有重要的应用。
了解如何求解绕某一直线旋转的旋转体体积是非常重要的。
二、旋转体积的基本概念旋转体积指的是一个平面图形绕某一条直线旋转而成的立体。
常见的旋转体包括圆锥体、圆柱体和旋转抛物面等。
在求解旋转体积时，我们通常需要根据给定的图形和旋转轴来确定积分的区间，并使用定积分的方法来求解。
三、圆柱体体积的求法圆柱体是一种常见的旋转体，其体积的求法非常简单。
设半径为r的圆绕与半径平行且与圆心距为h的直线旋转，即可得到一个圆柱体。
根据圆柱体的定义，其体积可以表示为V=πr²h。
我们可以直接使用该公式来求解圆柱体的体积。
四、圆锥体体积的求法与圆柱体类似，圆锥体的体积求解也可以通过积分的方法来进行。
设半径为r的圆绕与顶点到底面的距离为h的直线旋转，即可得到一个圆锥体。
根据圆锥体的定义，其体积可以表示为V=1/3πr²h。
我们可以通过积分来求解圆锥体的体积，即∫πr²dy，其中y的区间为0到h。
五、旋转曲面体积的求法对于其他类型的旋转体，如旋转抛物面或旋转曲线体，其体积的求法也是类似的。
我们需要先确定旋转轴以及图形的方程，然后使用定积分的方法来求解体积。
由于旋转曲面的形状多样化，其体积的求解可能会更加复杂，需要根据具体情况来确定积分的区间和方程。
六、典型问题求解1. 求半径为r的圆的绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：根据圆绕x轴旋转所得的旋转体为圆柱体，其体积为V=πr²h，其中h为圆心到x轴的距离。
可以通过积分∫πr²dy来求解。
2. 求y=x²在x轴和直线x=2所围成的区域绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：首先需要确定积分的区间为x=0到x=2，然后根据给定的函数y=x²来求解面积。
然后再通过积分的方法来求解旋转体的体积。
参数方程旋转体体积公式
参数方程旋转体体积公式参数方程的旋转体体积：x＝x(θ)y＝y(θ)-π≤θ≤π。
y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。
例如求旋转体体积时的表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ'(t)*dtt(φ(t))=t—旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体；旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。
等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。
以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx体积，几何学专业术语。
当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。
体积的国际单位制是立方米。
一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。
x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 ---- 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y'²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
旋转体体积公式
在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记忆。
本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。
一.基本概念1.质量空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。
我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。
由于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。
我们可以用长度来表示线的质量，用面积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。
这就像，一堆小米的粒数是有限但不可数的。
尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两就行了。
关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的质量之和（质量公理）。
2.位量和重心构成空间图形的点，都有各自的位置。
在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。
我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和，称为该图形的位量；把构成空间图形的所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的位置。
显然，位量=重心*总点数。
用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成.W=Z*P（1）关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公理）。
3.旋转基图旋转面和旋转体可统称为旋转形体。
用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，我们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。
旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的面。
二.平面图形的位量和重心要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心的方法：1.形状规则图形的重心是它的几何中心。
如圆，正多边形，中心对称图形等。
2.轴对称图形的重心在它的对称轴上3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总和。
常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形：（抱歉，因发帖数量不够，无法上传示意图）（1）直线段直线段的重心是它的中点（2）圆弧线如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积，即W=h*R。
旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导
旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导【摘要】根据已有的已知截面面积的几何体体积积分公式，通过坐标变换，推导沿倾斜轴旋转的旋转体体积的一般积分公式，继而推导作为其特殊形式的平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，列举公式的应用.【关键词】坐标变换；旋转体体积；一般积分公式一般高等数学、数学分析教材中，只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，但是，根据几何体体积的积分公式可以推证，平面曲线y=f(x)上介于m,n两点间的曲线段绕同平面直线l：ax+by+c=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为：v=π[](a2+b2)3[]2b a ax+bf(x)+c］2|af′(x)-b|dx.(a)其中a,b分别为m,n两点所对应的x值.依此公式，不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算，同时，坐标轴作为坐标平面直线l的特殊形式，由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，自然也可作为公式(a)的特殊形式而得到.公式(a)的推导有多种方法，通过坐标变换推导，不失为其中方法之一.一、公式的坐标变换法推导在直线l：ax+by+c=0的任意一条垂线与曲线y=f(x)一个交点的假定条件下，若b≠0，直线l与y轴的交点为0,-c[]b，设直线l在坐标系xoy上的倾斜角为θ，则tanθ=-a[]b，且作为更一般的例子，由y=f(x)，x=a，x=b及y=0所围成区域绕y轴旋转所得旋转体体积公式，也可由(c)推出.［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［m］.北京：高等教育出版社，2002.［2］复旦大学数学系.数学分析（第三版）［m］.北京：高等教育出版社，2007.［3］陈抚良,张振兰,黄浩然.解析几何［m］.北京：科学出版社，2005.［4］龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释［m］.西安：西安交通大学出版社，2000.［5］李德新.求旋转体体积的一个公式［j］.高等数学研究，2005(3).。
基于微元法旋转体体积的计算
Ｊ ｎ ａ．
２ ０ ０１
文章 编号 ：１０ — ８ １（ ０ ０）０ — ０ ２ ０ ０７ ９３ ２ １ １０２— ３
基 于微元 法旋转体体积 的计算
王培吉 ，王 尚户 ，王嘉谋
（ 内蒙古科技大学 数理与生物工程学院，内蒙古 包头 ０４ １ １００）
摘要 ：运 用定积分 中的元 素 法 ，给 出按 旋转轴 的不 同方 向以及 与平 面 图形 的不 同位 置求旋 转体体
第 ｌ 期
王培吉 ， ： 等 基于微元法旋转体体积的计算
丌－），） 厂） ｒ（ Ｃｄ ＝兀－ ：ｃ ２－ｆ） ， 以 ｌ ＝ （ ｃ（『 （ 一 兀 －） （ 一ｂｃ，） 兀ｘｃ（ ｘ 所 ＝＿ ！ ｂ ！（一 ｃ ） ） Ｘ ） （ ）（＋ （ ） ｆ ｄ ｖ ＋
２ （ －ｃｆ ． 兀 ｘ ） （）
变量 所得体 积化 为 同一公 式 ．
１ 旋转轴 为直线 ： ｃ（ 以 ｃ 易） ｃ 或 ≥
首先讨 论 ａ的情形 ． 方 法 １ 取 为积分 变量 ，
；
图 平面图 形Ｄ与 转 ｃ 旋 轴 ＝
对 应 的变化 区间为 ， ｌ ｂ ，体积元素 ｄ ＝ ７ 一 ） ｘ厂 ，得 ２ （ ｃ‘ ‘∽ Ｄ ｄ
［ （ －）｝ ， 得 ＝ 兀 —一，一 －）ｙ ｃ ２ 易 ｄ 便 ２ 』 ［ ｆ（） （ ｃｄ＝ 一ｃ ］ ｙ （ ） ｂ ｃ ）。
ｆ一７ — ） ｆｘ一 （一 ） ｆ２一 ） （ ） ７ 一 ） （ 一 ） （ （ 丌 ｃ （（ ６一 以 ：【 ｃ ｆ２ 易一 【 ｃ ｄ ） ６ ｃ ） （ 。 ｃ ６
７ 一ｃ 一（ （ ） ） 【 ） ， ｙ 一ｃ
－
＝兀 ）（ ） （ 一ｃ ， 一
平面图形绕任意直线旋转而成的立体的体积
龙源期刊网
平面图形绕任意直线旋转而成的立体的体积作者：袁红秋
来源：《新课程·教师》2014年第07期
摘要：介绍了由平面图形绕任意直线旋转而成的立体的体积的求法.
关键词：微元法；平面图形；立体体积
定积分的应用很广，本文仅介绍它在求由平面图形绕任意直线旋转而成的立体的体积方面的一些应用.我们利用元素法，具体步骤如下：
这里dS=dS（x）通常称为所求量S的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.
一、平面图形绕x轴或y轴旋转所成立体的体积
此种方法一般的微积分教材里面都有介绍.
设一旋转体是由曲线与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（图5-19）.现用微元法求它的体积.如图1
比用圆台体积公式简单得多。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2002-07.
[2]李心灿.高等数学应用205例.高等教育出版社，1997-08.
编辑郭晓云。
旋转轴为任意直线时旋转体体积的计算
旋转轴为任意直线时旋转体体积的计算
椭圆体的体积v＝(4/3)πabc 椭圆是平面内到定点f1、f2的距离之和等于常数（大于|f1f2|）的动点p的轨迹，f1、f2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：
|pf1|+|pf2|=2a（2a\ue|f1f2|）。
a与b,c分别代表x轴、y轴、z轴的一半。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆围绕它的长轴或短轴旋转一周所围成的几何体。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆上的任何一点到椭圆的两个焦点距离只和相等。
椭圆的面积就是πab。
椭圆可以看做圆在某方向上的弯曲，它的参数方程就是：
x=acosθ ，y=bsinθ
椭圆围绕它的长轴或短轴旋转一周所围成的几何体，椭圆体近似公式：
① s=πb/(a)(17a+3b)^2
② s=4πb(sin45°(a-b)+b)
如果不建议很高的精度，①②两公式基本满足用户。
如果需要更高精度，则用下列公式即可，（此公式包含了割圆术公式）
s=πb/(a)(16.9a+3.1b)2((a-b)/a)6/arctg((a-b)/a)6
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
旋转图形的性质
旋转图形在建筑设计中的应用：旋转的建筑结构可以创造出更加独特和创新的建筑造型，使建筑更加具有个性和艺术性。
旋转图形在服装设计中的应用：旋转的图案和设计可以创造出更加时尚和个性化的服装款式，使服装更加具有时尚感和设计感。
Part Five
旋转图形的发展趋势和未来展望
旋转图形的发展历程和现状
旋转图形在未来的发展趋势和展望
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旋转图形对未来科技的影响和推动
增强现实技术：旋转图形在AR领域的应用，如3D模型展示和交互界面设计。
虚拟现实技术：旋转图形为VR提供更加逼真的场景和体验，促进沉浸式内容的创新。
游戏开发：旋转图形将为游戏将影响建筑设计的未来趋势，为城市规划和建筑设计带来新的美学和功能性。
旋转图形具有旋转对称性，即图形绕着旋转中心旋转一定角度后与原图重合。
旋转图形在几何学、图论、计算机图形学等领域有广泛应用。
旋转图形可以通过旋转矩阵或极坐标等数学方法进行描述和性质研究。
旋转图形的特性
旋转方向：旋转图形可以顺时针或逆时针旋转
旋转图形是围绕一个固定点旋转形成的图形
旋转角度：旋转图形可以围绕固定点旋转任意角度
旋转轴：旋转图形可以围绕任意直线或曲线轴旋转
旋转图形的分类
中心对称图形：旋转180度后与原图形重合
旋转对称图形：旋转一定角度后与原图形重合
非旋转对称图形：无旋转对称性
轴对称图形：旋转180度后与原图形重合
Part Two
旋转图形的几何性质
旋转图形的对称性
旋转图形具有旋转对称性，即图形绕着某点旋转一定的角度后仍与原图重合。
THANKS
汇报人：XX
旋转对称中心是旋转图形旋转过程中所围绕的点，也是图形旋转后与原图重合的点。
旋转体体积的探讨
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旋转体体积的探讨
作者：张平
来源：《新教育时代·教师版》2018年第18期
摘要：本文探讨了运用元素法求任意旋转轴下的旋转体体积，还研究了极坐标系下绕极
轴旋转的旋转体体积，推导了相应的旋转体积公式，并给出了一题多解的计算思路。
关键词：旋转体体积元素法任意旋转轴极轴
引言
许多微积分[1]～[5]教材只给出了绕轴或绕轴旋转的旋转体体积，这具有局限性。
本文研究了绕任意直线和绕极轴旋转的旋转体体积，推导出对应的旋转体积公式。
一、直角坐标系下的旋转体体积
定理1：光滑曲线段绕直线旋转一周所得的旋转体体积为：
参考文献
[1]贾晓峰，孙洪波，贾云涛.微积分与数学模型（第三版）[M].高等教育出版社，2015.9.
[2]韩云瑞，扈志明.微积分教程[M].清华大学出版社，1999.9.
[3]同济大学数学系.高等数学（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.7
[4]GerogeBThomas.Thomas’Calculus.（11thEdition）.PearsonEducation，2004.
[5]JamesStewart.Calculus（8thEdition）.McMasterUniversityandUniversityofToronto，2015.。
计算旋转体体积的一般积分公式
万方数据
第５卷第４期
姬小龙；计算旋转体体积的一般积分公式
１３
而曲线（ｃ）：｛；三；：：为光滑曲线，故窑在豳，６］上连续，积分可得
地）５历南Ｊ。Ｉ＾ｙⅧ’一Ｂｘ％’ｌ出，８≤‘≤６
忡忙丝絮舻·扣ⅡＩＩＰＰ个烈＝ 结论３。的简证：Ｖ：ｔ∈■，６］，ｚ给出使ｔ＋△∈■，６］，则有
石Ｆ南［Ａｚ（ｆ）＋Ｂｙ（ｔ）＋ｃ］２ｌＡｙ’（｝）一Ｂｘ’ｏ）Ｉｄｔ
对于直线段ｎ≤￡≤ｂ上的任意ｔ，有唯一确定的实数（平面图形Ⅳ’Ｐ ７ＰＭ绕直线ｆ旋转所成旋
转体的体积）与之对应，这样定义的函数称之为益线绕直线旋转确定的旋转体的体积函数，记作：ｙ
＝Ｖ（ｆ）ｍ≤ｔ≤ｂ．
·收稿日期：２００２ ｎ１ ２９．
万方数据
１２
高等数学研究
２００２年１２月
１主要结论 下面给出弧长函数、投影长函数和旋转体的体积函数在参数表示意义下的表达式，最后得出旋 转体体积计算的一般积分公式．
｛
．．∞≤ｆ≤６ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或ｒ—ｒ（ｆ）（ｄ≤ｔ≤６）
ＩＹ—Ｙ“）
设曲线（ｃ）｛上一ｚ：‘？（口≤ｆ≤Ｊ）为平面简单光滑血线段，ｚ：Ａｚ＋Ｂ，＋ｃ一０为曲线（ｃ）所
【Ｙ—Ｙｔ￡Ｊ
在平面上的直线，且假定直线１的任意一条垂线与曲线（ｃ）至多有一个交点，下同，如图所示．
对直线段ｎ≤ｆ≤ｂ的任一点ｆ，都 有曲线（ｃ）上的点尸与之对应，过Ｐ作 直线ｆ的垂线，Ｐ『为垂足，这样Ｐ，又与 ，相对应，反之，对直线ｚ上的线段 Ｍ’Ⅳ’上的任一点尸７，过Ｐ’作直线ｆ的 垂线交曲线（Ｃ）于Ｐ，Ｐ与Ｐ『相对应． 而曲线段（Ｃ）是直线段ｎ≤ｔ≤ｂ到平
｛。ｌ 三。Ｏ＋ＳｔＹ＝ １ 牟 ｓｉｎｔ（三４、≤ｆ＜警４ ）
剪成两个半圆：
极坐标系下旋转体体积公式的推广
÷ 舢ｓ ＋ ｎ ０ ） Ｅ ｌ － （ 舢ｓ ＋ ｎ ］ ．
同 理 可 得
９ ８
大 学 数 学
第３ ０卷
、 ／ ， ２ （ ）＝ ＝ ＝
（ ａ ） （ ｍｃ ｏ ｓ ａ ＋ｎ ｓ ｉ ｎ 口 ） Ｅ １ 一（ ｍｃ ｏ ｓ ａ ＋ｎ ｓ ｉ ｎ ａ ） ］ ．
线ｚ ： ｌ ｜ 一 １ ｌ 一÷ ｐ ， 其中（ ， ， ） 为 的 单位 方向 向 量， 若Ｔ 的 任意 两部 分绕ｌ 旋转 都不重 合， 则Ｔ 绕
ｚ 旋转 所 得旋 转体 的体 积为
ｎ ｒ
Ｖ＝ ７ ｒ Ｉ ｒ 。 （ ） ・ Ｊ ｃ ｏ ｓ Ｏ —Ｉ Ｔ ／ ・ ｓ ｉ ｎ Ｏ Ｉ ∞．
［ 摘 要 ］ 利 用 微 积 分 的有 关 知 识 ， 对 极 坐 标 系下 旋 转 体 的体 积公 式 进 行 了推 广 ， 推 导 并 证 明 了 极 坐标 系 下曲边扇形绕任意空间直线 （ 过极 点） 旋转 所得旋 转体 的体积 计算 公式 ， 证 明了有关 性质 ， 并 借 助 实 例 进 行
Ｖ一 。 ［ ｃ ｏ ｓ ￣一 ｃ ｏ ｓ （ ａ＋△口 ） ］． （ １ ）
证
显然 ， 球底 圆锥 壳体 积为
—
Ｊ Ｉ 『 ｄ
ｒｄ ｓ ｉ ｎ
一
÷ 。ｃ ｏ ｓ —ｃ ｏ ｓ （ ａ ＋△口 ） ］ ．
结论 ２ 当球 底 圆锥壳 的厚 度角 △ａ一 ０时 ， 其 体积
注１ 为使 证 明过程 简 洁 ， 不 妨先 做 以下假 设 ：
（ ｉ ）７ １ ＂ ） ． Ｃ Ｏ ｓ Ｏ ＋ｎ ｓ ｉ ｎ Ｏ ＞ ０（０ ｊ 与 ｓ成锐 角 ） （ ｉ ｉ ）随 ０的增 加 ， 曲线上 点 的运 动方 向与 Ｓ的夹角 为 锐 角（ 证 明 中保证 懈 ＋
三角形旋转体体积
三角形旋转体体积三角形旋转体是指以一个三角形为截面，绕着某条轴线进行旋转而得到的立体图形。
在几何学中，我们经常遇到计算旋转体体积的问题，本文将介绍如何计算三角形旋转体的体积，以及一些与之相关的概念和性质。
我们来看一下三角形旋转体的定义和特点。
三角形旋转体是由一个三角形绕着某条轴线旋转而成的立体图形，其底面是一个三角形，顶面则是由三角形旋转而来的圆。
三角形旋转体的高度等于轴线与底面的距离，而旋转体的体积则是底面面积乘以高度乘以π（圆周率）。
要计算三角形旋转体的体积，我们首先需要确定底面的面积。
三角形的面积可以通过海伦公式或其他方法来计算，具体计算方法可以参考相关几何学的知识。
得到底面面积后，我们再确定旋转体的高度和轴线的位置，即可计算出旋转体的体积。
在计算三角形旋转体体积时，我们还需要注意一些特殊情况。
当三角形的底边与轴线平行时，旋转体的底面是一个圆，此时可以直接使用圆的体积公式计算。
当三角形的旋转轴与底面的某条边垂直时，旋转体的体积可以通过将底面面积乘以高度再除以3来计算。
除了计算三角形旋转体的体积，我们还可以研究一些与之相关的性质和定理。
例如，当三角形绕着一个经过顶点的直线旋转时，旋转体的体积与轴线的位置有关，当轴线位于三角形的重心时，旋转体的体积最大。
此外，当三角形的底边与轴线垂直时，旋转体的体积与三角形的形状无关，只与底边的长度和高度有关。
三角形旋转体是几何学中一个重要的概念，它不仅有着实际应用价值，还具有一些有趣的性质和定理。
通过研究三角形旋转体的体积和相关性质，我们可以更好地理解几何学中的一些概念和定理，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
三角形旋转体是由一个三角形绕着某条轴线旋转而成的立体图形，其体积可以通过计算底面面积乘以高度乘以π来求得。
在计算三角形旋转体的体积时，我们需要考虑底面的形状和轴线的位置，以及一些特殊情况。
通过研究三角形旋转体的体积和相关性质，我们可以深入理解几何学中的一些概念和定理，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
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中图分类号 ： ０ １ ７ ２ ． ２ ； Ｇ ６ ４ ２ ． ０
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ７— ０ ８ ３ ４ （ ２ ０ １ ５ ） Ｏ ４— ０ ０ ６ ２— ０ ３
关 于 旋转体 体 积 的计 算 问题 ， 一般 高等 数学 等教 材 只讨 论 了平 面 图形 绕 坐标 轴 旋转 所 得 旋转 体 体 积 的
为 了数值计 算 和应 用上 的便 利 ， 本文 利用 微元法 的基 本 思 想 Ｉ ５ 推 导 出平 面 曲线 绕 任意 一 条 直线 旋 转
所 产生 的旋转 体 体积 的计算 公 式 ， 该 公式 计算 简洁 ， 容 易推 广和 应用． １ 直角 坐标 方程 旋转 体 的体积 计算 定理 １ 设 平 面曲线 Ｙ＝ ） 在 区间［ ｏ ， ｂ ］ 上有 连续 的导 数 ， 则 由曲线 Ｙ ＝ ） 及直线 Ｙ＝ｋ ｘ＋ｂ （ ｋ ≠０ ） ，
第 ４期
微 兀 为
孙成金 ， 等： 旋转轴为任意直线时旋转体体积的计算
６ ３
ｄ Ｖ ＝ ， ａ ＂ ￣ ｄ ２
所以。
志 一 （ ｋ ｘ ＋ ｂ ・ Ｉ １ ＋ 川 ．
Ｊ 。 。 （ ． （ ｘ ） 一 （ Ｊ ｉ Ｉ ＋ ６ ） ） ‘ Ｉ ｌ ＋ ， （ ） Ｉ ｄ ・ （ ２ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ９— ２ ８
｛
√１＋后
， 则小曲 边梯形绕Ｙ ： ＋ ６ 旋转所生成旋转体的体积
基金项 目： 河 南 省 高 等学 校 重 点科 研 项 目（ １ ５ Ａ １ １ ０ ０ ２ ８ ） ； 河 南 省 教 育厅 科 学 技术 研 究 重 点 项 目（ １ ３ Ａ ２ １ ０ ４ ８ ５ ） 作者简介 ： 孙成金 （ １ ９ ７ ８ 一） ， 男， 山东临沂人 ， 河南农业 大学信息与管理科学学院讲师．
在 区间 ［ ｏ ， ｂ ］ 上 任取一 小 区 间［ ， ＋ ］ ， 设相 应 于 小 区间 ［ ， ＋ ］ 的 曲线 段在 直 线 上 的投 影 长 为 ｄ ｆ ， 当 充 分小 时 ， 切 线 ＭＴ上 对应 于 右 端点 ＋ 的 点 Ｎ（ ＋ ， ｆ （ ）十 ， （ ） ） 到 垂线 ＭＭ 的距 离 即 为
ｙ ～ 亡 ＋ ｂ － ， Ｙ 一 ＋ ｂ ｚ （ ６ ・ ＜ ｂ ｚ ） 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 直 线Ｙ ＋ ｂ 旋 转 所 生 成 旋 转 体 的 体 积 计 算 公
式 为
＝ ＿ ｆ １ ＿ ！ ｆ （ ， （ ） 一 （ ＋ ６ ） ） ・ ｌ ｌ ＋ ｆ ， （ ） ． ＋ｋ ） Ｊ ｎ
孙 成金 ，张建 军 ，李 战 国
（ 河 南农 业 大 学 信 息 与管 理 科 学 学 院 ， 河南 郑州４ ５ ０ ０ ４ ６ ）
摘要 ： 利 用 微 元 法 的 基 本 思想 ， 给 出 了直 角坐 标 方 程 、 参数 方 程 形 式 下 的 平 面 曲 线 绕 一般 直 线 旋 转 所 得 旋 转 体 体 积 的 计算 公 式 ． 最后 ， 利 用 矢 量 法 可推 到 二 维 、 三 维 旋 转体 体 积 的 计 算 ．
Ｖｏ １ ， ２ ４ Ｎｏ ． ４ Ｄｅ ｅ． ２ ０ｌ ５
２ ０１ ５年 １ ２月
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７— ０ ８ ３ ４ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ４ ． ０ １ ７
旋 转轴 为任 意直 线 时旋 转 体 体 积 的计 算
计 算公 式 ， 其结 论是 ： 设在 区间 ［ ｎ ， ｂ ］ 上 的连续 函数 ９ ｆ ， ） ≥Ｏ ， 则 由 曲线 Ｙ＝ Ｉ 厂 （ ） ， 直线 ＝ｏ ， ＝ｂ 及 轴 所 围
成的曲边梯形绕 轴旋转， 所得旋转体的体积公式是 ＝Ｉ
（ ） ｄ ｘ ‘ ．
在数 学计 算本 身 以及对 实 际问题 应用 中具 有一 定 意义 的平 面 曲线 绕任 意一条 直线 旋转 所生 成旋 转体 的 体积 又如 何计 算 呢？一 个直 观思 路是 ： 先通 过平 移 和旋 转 坐标 轴 ， 求 出 曲线在 新 坐标 系下 的 方程 ， 将 问题转 化成新 曲线绕 新坐 标轴 旋转 所得 旋转 体 的体积 计算． 其 实不 然 ， 这 种思 路 的 工作 量非 常大 ， 有 时甚 至使 一个 简单 的 曲线 函数 Ｙ： － 厂 （ ） 变得 非常 复杂 ， 很难 进行 数值 计 算．
过点 Ｍ作直线 Ｌ ： ｙ ： ｋ ｘ ＋ ｂ 的垂线为 Ｍ Ｍ ： ｙ＝一 ÷（ Ｘ— ） ＋ ） ， 即
Ｘ＋ ｌ ， 一（ ＋ｋ ｆ （ ） ）＝ ０ ．
（ １ ）
证 明 设 Ｍ（ ， Ｙ ） 为 曲线 Ｙ＝ ） 上 的任 意一 点 ， 曲线 在点 Ｍ 处 的切线 为 ＭＴ ： Ｙ＝ ）＋ 厂 （ ） （ — ） ．
第２ ４卷
第 ４期
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｅ ｎ ａ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ｄ Ｚ ， 则
ｄ ｌ ＝ — ＝ １ ； ｝ （ ＋ ｄ ） ＋ （ ） ＋ （ ） ｄ ） 一（ ＋ 目 ＾ （ ） ） Ｉ ＝ — ＝ １ ｌ １ ＋ （ ） Ｉ ｄ ｘ ．
√１ ＋ｋ ／ １ ＋ｋ
而点 Ｍ到直线 Ｌ 的距离为 ｄ ：