2013年考研数二真题及详细解析
2013考研数二真题答案
2013考研数二真题答案本文为2013年考研数学二真题的答案解析。
首先，我们来看第一道选择题。
1. 题目内容：已知椭圆C的长轴与坐标轴的夹角是π/6，短轴所对的顶点为(3,0)，则椭圆的标准方程为（）。
解析：根据题目所给信息，我们可以知道椭圆的短轴所对的顶点为(3,0)，这个点在椭圆的短轴上。
由于题目已经告诉我们短轴的夹角为π/6，我们可以得出短轴的斜率为tan(π/6) = 1/√3。
因此，我们可以知道椭圆的短轴方程为y = x/√3。
由于这个点属于椭圆，所以我们可以得到椭圆的标准方程为(x^2)/a^2 + (y^2)/(a^2 - b^2) = 1。
代入已知条件，我们可以解得椭圆的标准方程为(x^2)/3 + (y^2)/2 = 1。
接下来，我们来看第二道选择题。
2. 题目内容：设f(x) = 2x + 1, g(x) = 3^x - 1，则满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围是（）。
解析：首先我们根据题目给出的函数表达式可以得到f(g(x)) = f(3^x - 1) = 2(3^x - 1) + 1 = 2*3^x - 1。
同样地，我们可以得到g(f(x)) = g(2x + 1) = 3^(2x + 1) - 1。
要使f(g(x)) = g(f(x))成立，我们需要解方程2*3^x - 1 = 3^(2x + 1) - 1。
化简后得到2*3^x = 3^(2x + 1)，继续化简可得x = 0或x = -1。
因此，满足f(g(x)) = g(f(x))的x的取值范围为{x ∈ R | x = 0 或 x = -1}。
最后，我们来看第三道选择题。
3. 题目内容：求曲线y = (lnx)/√x在点x = e处的切线方程。
解析：要求曲线在点x = e处的切线方程，我们需要求该点处的斜率和过该点的直线方程。
首先，我们求斜率。
曲线的导数为(dy/dx) = [(1/√x - ln x/2√x)]/x = (1 - ln x)/2x√x。
考研_2013考研数学二真题及参考答案
2021考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，那么当0x →时，()x α是〔 〕〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小 〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 等价的无穷小〔2〕设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，那么2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦〔 〕〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕2- 〔3〕设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕〔A 〕x π= 是函数()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π= 是函数()F x 的可去连续点〔C 〕()F x 在x π=处连续但不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导〔4〕设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<< 〔5〕设()yz f xy x=，其中函数f 可微，那么x z z y x y ∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2()f xy x- 〔6〕设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的局部，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 〔7〕设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，假设,B AB C =则可逆，则 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价〔8〕矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为〔A 〕a 0,b 2== 〔B 〕为任意常数b a ,0= 〔C 〕0,2==b a 〔D 〕为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，那么L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．〔14〕设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，假设ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年考研数学二真题及答案
2013年考研数学二真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 0lim ln x x x +→=＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定,那么dydx=＿＿＿＿＿＿. (3)．设1()(2(0)xF x dt x =>⎰,那么函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4)．=＿＿＿＿＿＿. (5)． 曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,那么()f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)． (1)．当x →时,变量211sin x x是( )．(A)． 无穷小 (B)． 无穷大(C)． 有界的,但不是无穷小 (D)． 有界的,但不是无穷大(2)． 设2|1|,1,()12, 1,x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩那么在点1x =处函数()f x( )．(A)． 不连续 (B)． 连续,但不可导 (C)． 可导,但导数不连续 (D)． 可导,且导数连续(3)． 2,01,()1, 12,x x f x x ⎧≤<= ⎨≤≤⎩ 设1()()x F x f t dt =⎰(02)x ≤≤,那么()F x 为 ( )．(A)．31,013,12x x x x ⎧≤<⎪ ⎨⎪≤≤⎩ (B)． 311,0133,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≤≤⎩ (C)． 31,0131,12x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩ (D)． 311,01331,12x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-≤≤⎩(4)． 设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为 ( )．(A)． 3 (B)． 2 (C)． 1 (D)． 0 (5)． 假设()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,那么()f x 在(,0)-∞内 ( )．(A)． ()0,()0f x f x '''<< (B)． ()0,()0f x f x '''<> (C)． ()0,()0f x f x '''>< (D)． ()0,()0f x f x '''>>三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)．(1)． 设2sin[()]y f x =,其中f 具有二阶导数,求22d ydx.(2)． 求lim )x x x →-∞.(3)． 求401cos 2xdx x π+⎰.(4)． 求3(1)xdx x +∞+⎰. (5)． 求微分方程2(1)(2cos )0x dy xy x dx -+-=满足初始条件01x y ==的特解.四、(此题总分值9分)．设二阶常系数线性微分方程xy y y e αβγ'''++=的一个特解为2(1)xx y e x e =++,试确定常数,,αβγ,并求该方程的通解.五、(此题总分值9分)．设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定,求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.六、(此题总分值9分)．作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h 为何值时,其体积V 最小,并求出该最小值.七、(此题总分值6分)．设0x >,常数a e >,证明()aa xa x a++<.八、(此题总分值6分)．设()f x '在[0,]a 上连续,且(0)0f =,证明：2()2aMa f x dx ≤⎰,其中0max |()|x a M f x ≤≤'=.答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)． (1)．【答案】：0(2)．【答案】：222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-(3)．【答案】：104x <≤ (4)．【答案】：1/22cos x C -+(5)．【答案】：222111(1)ln(1)222x x x ++-- (5)．【答案】：(C)．三、(此题共5小题,每题5分,总分值25分.)． (1)．{}222sin[()]cos[()]()2y f x f x f x x '''==⋅⋅,{}22cos[()]()2y f x f x x ''''=⋅⋅{}2222cos[()]()2cos[()]()2f x f x x f x f x x ''''⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦22cos[()]()(2)f x f x x ''+⋅⋅2222222sin[()][()](2)cos[()]()(2)f x f x x f x f x x '''=-⋅⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅.()()dy f u g x dx ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅. (2)．应先化简再求函数的极限,lim )limx x x x →-∞=100limlim11x x x →-∞==.因为0x <,所以100100limlim501111x x x→-∞===---. (3)．先进展恒等变形,再利用根本积分公式和分部积分法求解.2444000sec 1tan 1cos 222x x x dx dx xd x x πππ==+⎰⎰⎰[]4440001111sin tan tan (0)22242cos x x x xdx dx x ππππ=-=--⎰⎰ []4400111cos ln(cos )82cos 82d x x x ππππ-=-=+⎰111[ln(cos )ln(cos0)]ln 28248284ππππ=+-=+=-. (4)．用极限法求广义积分.2333000(1)1[(1)(1)](1)(1)(1)x x dx dx x x d x x x +∞+∞+∞--+-==+-++++⎰⎰⎰ 1220121(1)(1)lim 22(1)bb x x x x +∞--→+∞⎡⎤+⎡⎤=-+++=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦ 221111lim02(1)222b b b →+∞+=-+=+=+.(5)．所给方程是一阶线性非齐次微分方程,其标准形式是2222cos , 1011x x y y x x x '+=-≠--, 通解为 2222112cos []1xxdxdxx x x y ee dx C x ---⎰⎰=+-⎰ 2222(1)(1)112cos 1d x d x x x x e edx C x -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰ 221sin cos 11x C xdx C x x +⎡⎤=+=⎣⎦--⎰. 代入初始条件 01x y ==,得 2sin 0101C +=-,所以 1C =-.所求特解为 2sin 11x y x -=-.四、(此题总分值9分)．要确定常数,,αβγ,只需将特解代入原微分方程后,用比拟系数法即得.对于特解2(1)xx y e x e =++,有222(1)2(2)xx x x x y ee x e e x e '=+++=++,2222(2)4(2)4(3)x x x x x x x y e x e e e x e e x e '''⎡⎤=++=+++=++⎣⎦,代入方程x y y y e αβγ'''++=,得恒等式 2224(3)2(2)(1)xx x x x x xe x e e x e e x e e αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 化简得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++≡,比拟同类项系数,得4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解之得3,2,1αβγ=-==-.于是原方程为32x y y y e '''-+=-,所对应的齐次微分方程320y y y '''-+=的特征方 程为2320r r -+=,解之得 121,2r r ==. 所以微分方程32x y y y e '''-+=-的通解为2*222121212(1)x x x x x x x x x y c e c e y c e c e e x e c e c e xe =++=++++=++.五、(此题总分值9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法.222x y x +≤等价于22(1)1x y -+≤.解法一：考虑对y 的积分,那么边界限为2111x y =--与2(01)x y y =≤≤,如右图所示.当y y dy →+时, 2212(2)(2)dV x dy x dy ππ=---222(211)(2)y y dy π⎡⎤=-+---⎣⎦2221(1)y y dy π⎡⎤=---⎣⎦. 所以 122021(1)V y y dy π⎡⎤=---⎣⎦⎰.对于1201y dy -⎰,令sin y t =,那么cos dy tdt =,所以2122220001111cos (1cos 2)sin 22224y dy tdt t dt t t ππππ⎡⎤-==+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰；对于 131122000(1)1(1)(1)(1)33y y dy y d y ⎡⎤--=---=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, 所以 12201121(1)243V y y dy πππ⎛⎫⎡⎤=---=- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.解法二：取x 为积分变量,那么边界限为212y x x =-与2(01)y x x =≤≤,如右图所示.当x x dx →+时,1222(2)()2(2)(2),dV x y y dx x x x x dx ππ=--=---所以1202(2)(2)V x x x x dx π=---⎰.令1x t -=,那么1,x t dx dt =+=,所以 120(2)(2)x x x x dx ---⎰21(1)2(1)(1)(1)t t t t dt -⎡⎤=-+-+-+⎣⎦⎰02221111t t t t dt -⎡⎤=---+-⎣⎦⎰. 再令sin t θ=,那么cos dt d θθ=,所以 00222212111(cos sin cos sin 1)cos t t t t dt d πθθθθθθ--⎡⎤---+-=-+-⎣⎦⎰⎰2222222cossin cos sin cos cos d d d d ππππθθθθθθθθθθ----=-+-⎰⎰⎰⎰00002222221(1cos 2)cos cos sin sin cos 2d d d d ππππθθθθθθθθ----=+++-⎰⎰⎰⎰[]00330222211cos sin sin 2sin 2233ππππθθθθθ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111143343ππ=++-=-. 所以 120112(2)(2)2()43V x x x x dx πππ=---=-⎰.六、(此题总分值9分)．这是一个将立体几何问题转化为函数求最值的问题. 设圆锥底半径为R ,如图,,,BC R AC h OD r ===.ADOCB由,BC ODAD AC AD==有R R h =⇒=于是圆锥体积22211(2)332h V R h r r h h rππ==<<+∞-.对上式两端对h 求导,并令0V '=,得2222212(2)1(4)03(2)3(2)h h h r h h h r V r r h r h r ππ---'===--, 得唯一驻点4h r =,且24,04,0r h r V r h V '<<<⎧⎨'<<+∞>⎩, 所以4h r =为极小值点也是最小值点,最小体积38(4)3V r r π=.七、(此题总分值9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当0x >,常数a e >时,原不等式两边取自然对数可化为ln()()ln a a x a x a +<+ 或ln()ln a x aa x a+<+.证法一：令()()ln ln()f x a x a a a x =+-+,那么()ln af x a a x'=-+.由,0,a e x >>知ln 1,1,aa a x><+故 ()0(0)f x x '>>. 从而()f x 为严格单调递增函数,且()()ln ln()(0)ln ln 0,(0)f x a x a a a x f a a a a x =+-+>=-=>即 ()ln ln()0a x a a a x +-+>, 所以 ()aa xa x a ++<.证法二：令ln ()x f x x =,那么21ln ()xf x x-'=. 当x a e >>时,有21ln ()0xf x x -'=<, 所以函数在x a e >>为严格单调递减函数,即()()f x a f a +<,所以有ln()ln a x aa x a+<+,即 ()a a x a x a ++<.八、(此题总分值9分)． 证法一：用微分中值定理.对任意给定的[0,]x a ∈,由拉格朗日中值定理,得()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'=+<<由(0)0f =,知()()f x f x ξ'=.因为0max |()|x aM f x ≤≤'=,所以|()||()|f x f x Mx ξ'=≤,将两边从0a →做x 的定积分,有2|()|2aaMa f x dx M xdx ≤=⎰⎰.由定积分的根本性质可知 20|()||()|2aaMa f x dx f x dx ≤≤⎰⎰.证法二：用牛顿-莱布尼茨公式.对任意给定的[0,]x a ∈,以及(0)0f =,可知()()(0)()xf t dt f x f f x '=-=⎰,从而 0|()||()|xf x f t dt Mx '≤≤⎰,以下同证法一.证法三：分部积分法.00()()()[()()]()()aaaaf x dx f x d x a f x x a a x f x dx '=-=-+-⎰⎰⎰[()()(0)(0)]()()()()a af a a a f a a x f x dx a x f x dx ''=---+-=-⎰⎰.所以()()()()()()aaa af x dx a x f x dx a x f x dx M a x dx ''=-≤-≤-⎰⎰⎰⎰2201122aM ax x Ma ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦.。
2013考研 数学二 真题
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α−=，其中()2x πα<，则当时，0x →()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数由方程()y f x =cos()ln 1xy y x +−=确定，则2lim ()1n f n→∞⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦（ ） （A ） （B ）1 （C ） （D ）21−2−（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，，则（ ）0()()x F x f t dt =∫（A ）x π= 是函数的跳跃间断点 （B ）()F x x π= 是函数的可去间断点()F x （C ）在()F x x π=处连续但不可导 （D ）在()F x x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα−+⎧<<⎪−⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞∫收敛，则（ ）（A ）2α<− （B ）2α> （C ）20α−<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ） （B ）2(yf xy ′))2(yf xy ′− （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x− （6）设是圆域k D {}22(,)|1D x y x y =+≤在第象限的部分，记，则（ ）k ()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =−=∫∫（A ） （B ） （C ） （D ） 10I >20I >30I >40I >（7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为1111a a b a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2000b 0000⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）a 0 ,b 2==（B ） 为任意常数b a ,0=（C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+−= ． (10) 设函数()xf x −=∫，则()y f x =的反函数1()x f y −=在处的导数0y =0y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos 3()66r ππθθ=−≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于的点处的法线方程为 1t =．(13)已知321x x y e xe =−，22x x y e xe =−，23x y xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y =′=的解为y = ．（14）设是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，为的代数余子式，若ij A (a )=ij A ij a ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时，1c 0x →os cos 2cos3x x x −⋅⋅与为等价无穷小，求与的值。
李永乐2013考研数学：十年真题解析(数二)
资料来源：中国教育在线 /
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本书汇集2003年一2012年全国硕士研究生入学统考数学试题，而且对所有试题均给出了详细解答，并尽量做到一题多解。
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为了方便考生和各辅导班进行测试，我们将试题部分和试题解析分别装订。
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （ ）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0
2013考研数学二真题
2013考研数学二真题2013年考研数学二真题是考研数学考试中的一道经典题目。
这道题目涉及到了概率统计和线性代数等多个数学领域的知识，考察了考生对于这些知识的理解和应用能力。
本文将对这道题目进行详细解析，并介绍一些解题的思路和方法。
首先，让我们来看一下这道题目的具体内容。
题目要求我们求解一个二次型的最大值，并给出最大值对应的向量。
对于这类题目，我们首先需要确定二次型的标准形式，即将二次型化为对角矩阵的形式。
在这道题目中，我们可以通过合同变换将二次型化为对角矩阵的形式。
具体的步骤如下：首先，我们需要求解二次型的矩阵表示。
根据题目给出的信息，我们可以得到二次型的矩阵表示为：A = 1/2 * [1 2; 2 4]接下来，我们需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过计算矩阵A的特征多项式，我们可以得到矩阵A的特征值为λ1 = 0和λ2 = 5/2。
然后，我们可以通过求解矩阵A与特征值λ1和λ2对应的特征向量方程，得到特征向量v1 = [1 -1]和v2 = [2 1]。
接下来，我们需要进行合同变换，将二次型化为对角矩阵的形式。
合同变换的步骤如下：首先，我们需要求解合同变换矩阵P。
根据特征向量的定义，我们可以得到矩阵P的列向量为特征向量v1和v2。
即P = [1 -1; 2 1]。
然后，我们可以通过合同变换的公式，将二次型进行合同变换。
合同变换的公式为：Q = P^T * A * P。
将矩阵A和矩阵P代入公式中，我们可以得到合同变换后的对角矩阵Q为：Q = [0 0; 0 5/2]最后，我们可以得到二次型的最大值为Q的最大特征值，即最大特征值为5/2。
同时，最大特征值对应的特征向量即为二次型的最大值对应的向量，即v2 = [2 1]。
通过以上的步骤，我们成功地求解了这道题目。
这道题目考察了考生对于二次型的理解和应用能力，同时也考察了考生对于概率统计和线性代数等数学知识的掌握程度。
解题的关键在于熟练掌握合同变换的方法和特征值特征向量的求解方法。
2013年考研数学二真题及答案解析
方法二：
Q 第二象限中 y > 0 ， x < 0 ，始终 y > x
即 y−x>0
∴ I 2 >0 ∴ 选（B）.
（ ）
(7) 设 A， B， C 均为 n 阶矩阵， 若 AB = C ， 且 B 可逆， 则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量等价 【答案】(B) 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ，故
2 n
) （A）
（D）-2
【解析】因为 x = 0时，y = 1 即 f (0) = 1 .
2 Q lim n f ( ) − 1 = lim 2⋅ n →∞ n n →∞
又Q cos( xy ) + ln y − x = 1
2 f ( ) − f (0) n = 2 f '(0) = 2 y ' x = 0 2 −0 n
（6）设 Dk 是圆域 D = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 I k =
{
}
∫∫ ( y − x)dxdy ,
Dk
(k = 1, 2,3, 4) 则
(A)
（ (B) I 2 > 0 (C) I 3 > 0 (D) I 4 > 0
）
I1 > 0
【答案】 （B） 【解析】方法一：
∫
e
1
（5）设 z =
2013考研数学二真题及参考答案
2021考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，那么当0x →时，()x α是〔 〕〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小 〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 等价的无穷小〔2〕设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，那么2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦〔 〕〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕1- 〔D 〕2- 〔3〕设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕〔A 〕x π= 是函数()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π= 是函数()F x 的可去连续点〔C 〕()F x 在x π=处连续但不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导〔4〕设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<< 〔5〕设()y z f xy x =，其中函数f 可微，那么x z z y x y∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2()f xy x- 〔6〕设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的局部，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 〔7〕设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，假设,B AB C =则可逆，则 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价〔8〕矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为〔A 〕a 0,b 2== 〔B 〕为任意常数b a ,0= 〔C 〕0,2==b a 〔D 〕为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，那么L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．〔14〕设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，假设ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013考研数学(二)解析
2013考研数学（二）解析刘超2013年考研数二试题，与往年相比更加重视基础。
没有什么偏题和怪题，但题目的计算量和灵活性和去年相比稍有增加，从整体来说，今年考试基本的题型占到了75%，中等难度的题占15%，偏难的题基本上占试题的10%左右。
纵观整张数二试卷，特别是客观题，试题考查的知识面较广，涵盖了大纲要求的很多考点，比如：函数的极限求解；无穷小的性质；间断点的类型；积分中值定理；二阶常系数微分方程的求解，这些均是高等数学的重要考点，在今年的试题中都考到了。
海文考研在教学中曾多次强调：考试大纲所规定的考点在考试中均有可能出现，不存在绝对的重点与非重点。
这主要是由考研数学对考生系统掌握各科考点的能力要求所决定的，希望考生在复习考研数学时把重心调整到扎实基础，提高综合能力上来。
另一方面，今年的考题更注重细节。
例如，试卷的第七题，考查了向量组的等价问题。
在线性代数中有两个等价的概念，一个是矩阵的等价，一个是向量组的等价，很多考生在学习的过程中认为矩阵和向量组的形式是一样，所以这两个等价也一样，没有区分。
所以在面对这道考题时就难以在A、B两个选项中选择。
而海文考研在教学中曾经重点强调过：矩阵等价是指：A与B为同型矩阵，存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B，且r(A)=r(B)。
它的充要条件是：A与B同型，且r(A)=r(B)。
而向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。
一般情况下：两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价；两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！但有的时候矩阵等价其行向量组或列向量组等价。
比如今年的考题：存在可逆矩阵B，使AB=C，可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为B为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AB=C两边右乘B -1，有A=CB -1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。
此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。
针对以上特点，海文考研的老师建议：在时间允许的前提下，考生在复习考研数学时要把重心调整到扎实基础，提高综合能力上来。
2013数二考研真题答案
2013数二考研真题答案2013数二考研真题答案数学二是考研数学科目中的一项重要内容，对于考生来说，掌握往年真题的答案是备考的关键之一。
本文将为大家提供2013年数学二考研真题的答案，并通过对题目的解析，帮助考生更好地理解和掌握考点。
第一道题目是一道概率论的题目，要求计算一个随机变量的期望值。
解题思路如下：首先，我们需要明确题目给出的随机变量的概率分布。
根据题目中的条件，可以得出这个随机变量的概率分布为：P(X=0) = 0.1P(X=1) = 0.2P(X=2) = 0.3P(X=3) = 0.4接下来，我们可以利用期望的定义来计算这个随机变量的期望值。
期望的定义是随机变量取值与其概率的乘积的总和。
所以，我们可以将每个取值与其概率的乘积相加，即可得到期望值。
计算过程如下：E(X) = 0 * 0.1 + 1 * 0.2 + 2 * 0.3 + 3 * 0.4= 0 + 0.2 + 0.6 + 1.2= 2所以，这个随机变量的期望值为2。
第二道题目是一道线性代数的题目，要求计算一个矩阵的特征值和特征向量。
解题思路如下：首先，我们需要明确题目给出的矩阵。
根据题目中的条件，可以得出这个矩阵为：A = [1 2][3 4]接下来，我们可以利用特征值和特征向量的定义来计算这个矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量的定义是：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为常数，则λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
计算过程如下：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。
特征值的求解可以通过求解矩阵的特征多项式得到。
特征多项式的定义是：det(A-λI) = 0，其中I为单位矩阵，det为行列式。
所以，我们可以得到特征多项式为：det(A-λI) = det([1-λ 2][3 4-λ])= (1-λ)(4-λ) - 2*3= λ^2 - 5λ + 4 - 6= λ^2 - 5λ - 2接下来，我们需要求解特征多项式的根，即特征值。
2013年考研数二真题及详细解 析
（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（8）矩阵与相似的充分必要条件为
（1） 由于方程组（1）有解，故有，即从而有 ，故有 从而有 （23）（本题满分11分） 设二次型，记。 （I）证明二次型对应的矩阵为； （II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二 次型。 【解析】(1)
（2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵 A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为
（21）（本题满分11分） 设曲线的方程为， （1）求的弧长； （2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。 【解析】（1）由弧长的计算公式得的弧长为 （2）由形心的计算公式可得，的形心的横坐标为 （22）（本题满分11分） 设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。 【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：
分必要条件为的特征值为。
又，从而。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指
定位置上.
(9)
．
【答案】
【解析】原式=，
因此答案为.
(10) 设函数，则的反函数在处的导数
．
【答案】
【解析】
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为
．
【答案】
【解析】所围图形的面积是
因为： 所以
2013考研数二真题详解
2013考研数二真题详解2013考研数二真题详解2013年的考研数学二真题是考生们备考过程中必须要重点关注的一道题目。
本文将对该题进行详细解析，帮助考生更好地理解和掌握解题方法。
首先，我们来看一下这道题目的具体内容："设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0，证明在 (a, b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ) + f'(ξ) = 0。
"这是一道关于连续与可导函数的题目，要求证明在给定的区间内存在一个点，使得函数值和导数值的和为零。
我们可以按照以下步骤进行解题。
首先，我们需要明确题目中给出的条件和要求。
题目中给出了函数 f(x) 在区间[a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。
我们的目标是要证明在 (a, b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ) + f'(ξ) = 0。
其次，我们可以尝试运用中值定理来解决这道题目。
根据中值定理，如果函数f(x) 在区间 [a, b] 上连续且在 (a, b) 内可导，那么必然存在一个点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
我们已知 f(a) = f(b) = 0，那么根据中值定理，存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0/ (b - a) = 0。
这意味着在 (a, b) 内必然存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0。
接下来，我们需要找到一个点ξ，使得f(ξ) + f'(ξ) = 0。
我们可以将这个等式转化为f(ξ) = -f'(ξ)。
由于我们已经知道在 (a, b) 内存在一个点ξ，使得f'(ξ) = 0，那么我们只需要证明在这个点ξ 上，f(ξ) = 0。
为了证明f(ξ) = 0，我们可以尝试运用零点定理。
零点定理指出，如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f(a) 和 f(b) 异号，那么必然存在一个点ξ，使得f(ξ) =0。
2013年考研数二真题及答案解析(完整版)
2013年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B）（8）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价2（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
（16）（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。
（17）（本题满分10分）设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2Dx dxdy ⎰⎰。
（18）（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=。
（19）（本题满分11分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1ln 1n nx x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.（21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤，（1）求L 的弧长；（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。
（22）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。
（23）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122y y +。
42013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=， 因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ） 【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰， 由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。
（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【解析】111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩因为11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰，当1x e <<时，11221111111111()lim lim[](1)(1)2(1)2(1)eee f x dx dx dx x x e ααααεεεαεα----→+→+===-------⎰⎰⎰， 要使2111lim[]2(1)αεαε-→+--存在，需满足2α-<0；当x e ≥时，111ln 111lim()ln ln ln ee d x dx x x x αααλαλα+∞+∞++→∞==-+⎰⎰， 要使11lim()ln αλαλ→∞-存在，需满足α>0；所以02α<<。
（5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【解析】已知()yz f xy x=，所以22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂， 所以11[()()](()())2()x z z f xy yf xy f xy yf xy yf xy y x y x x∂∂'''+=-+++=∂∂。