高中数学艺术生百日冲刺专题训练之基本不等式与绝对值不等式基本不等式与绝对值不等式
艺术生高考数学专题讲义：考点24 基本不等式及其应用
称为
a，b
的几何平均数
.
因此基本不等式可叙述为两个非
负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中
项．
3．基本不等式的几个常见变形
(1) a + b ≥ 2 ab (a，b > 0)．
(2)
x+
1 x
≥ 2(x > 0)，ab
+
a b
≥ 2(a，b 同号 )．
．
【题型练2-4】若 0 < x <
3 2
，则 y = x(3 - 2x) 的最大值是
．
【题型练2-5】已知
f (x)
=
x+
1 x
- 2(x
<
0)，则
f (x)
有
．
【题型练2-6】若 2x + 2y = 1，则 x + y 的取值范围是
．
【题型练2-7】已知 a > 0，b > 0，ln(a + b) = 0，则 ab 的最大值为
(3) 把 “1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4) 利用基本不等式求解最值．
【题型练3-1】已知
x > 0，y
>0
且x+y=
1，则
8 x
+
2 y
的最小值为
．
【题型练3-2】已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，则 y =
1 a
+
4 b
的最小值是
．
艺体生文化课百日突围
考点二十四 基本不等式及其应用
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高三艺体生高考数学教学计划及百日复习规划
高三艺体生重难点及百日复习规划必修一（3次）：1、集合和定义域、值域。
重难点在集合的唯一性，要注意题目最后要通过检验验证唯一性，还有集合的交并补运算。
定义域值域难点主要是需要求自然定义域的四种主要形式、抽象定义域的求法和复合函数定义域求法，值域的求解方法也是重点，包括分离常数法、不等式法、二次函数法、换元法等。
2、函数的三性质（单调性、周期性、奇偶性）。
重难点在单调性的求法，周期的算法并且用周期缩小f（n）并求解，奇偶性的判断的一般方法、应用等。
3、指数函数和对数函数。
重难点在图像的掌握，在a取得不同值时图像的变换、图像过定点、图像的平移和带绝对值符号的图像的画法。
此外，对数函数的运算定律也是必须要掌握的，特别是运算规律和数列、不等式的结合类题目，也是每年高考的重点，主要方法在于用心把握换底公式和与数列的结合。
必修四（4次）：1、任意角三角函数和三角函数图象。
重点掌握诱导公式、运用诱导公式时要注意的整体性，以及同角三角函数的两个重要公式的应用。
在图像方面，把握好振幅、周期、初相对于图像的控制，图像平移时要注意x的系数必须为1才行。
2、两角和与差的正余弦、2倍角公式。
关键在公式的熟练运用上，并且结合图像确定特殊角所对应的值，还有如何运用两角和与差的正余弦公式化简，升幂公式、降幂公式也要熟练应用。
辅助角公式也是其中的重点。
3、向量线性运算和坐标表示：向量作为高中阶段较易拿分的部分，一定要打好基础，做到多拿分拿满分，基础知识是这部分重点，高考中至少出一道填空题。
4、向量数量积和向量的应用：高考中向量部分如考大题必出在此部分，向量的应用易出应用题或与实际生活联系较大的题目。
必修五（5次）：1、解三角形。
重点是正弦定理的边角互换，对应边和角的数值代换，知三求其余;余弦定理的公式的变化比较多，要通过多做题熟练运用并且在实际应用题中能够抽取出数学公式，解出应用题。
2、解三角形的应用。
3、数列。
重点是熟练运用等差和等比数列的公式，公式不难记，但是数列的解题方法比较多，比如错位相消法、构造新数列法等，题目比较灵活，所以需要学生多去做这方面的练习题，多去接触这方面的新题型，争取用较短的时间解决这个难题。
14.1基本不等式与绝对值不等式
3 3 解：(1)∵f(x)＝1－2x－x＝1－(2x＋x)≤1－2 －2 6. 3 6 当 2x＝x，即 x＝ 时等号成立． 2 6 ∴f(x)的最大值为 1－2 6，此时 x＝ . 2
3 2x· x＝ 1
(2)∵0<x<2，∴0<3x<6，∴8－3x>2. 1 ∴f(x)＝ x8－3x＝ · 3x8－3x 3 3 3 3x＋8－3x ＝ · 3x8－3x≤ · 3 3 2 3 8 4 3 4 ＝ × ＝ .(当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝ 时等号成 3 2 3 3 立)． 4 4 3 ∴当 x＝ 时，函数 f(x)＝ x8－3x的最大值为 . 3 3
第1节 基本不等式与绝对值不等式
(对应学生用书第193页)
1．基本不等式
(1)如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时， 等号成立)． a＋ b (2)如果 a，b>0，那么 ≥ ab(当且仅当 a＝b 时，等 2 号成立)． (3)可以将两个字母的重要不等式推广： 2 2 a ＋ b a ＋ b 2 ≤ ab≤ ≤ (a>0，b>0，各不等式等号 1 1 2 2 ＋ a b 成立的条件是 a＝b)．
a＋ b 质疑探究：利用基本不等式 ≥ ab求最值的条件是 2 什么？ 提示： (1) 各项或各因式均为正； (2) 和或积为定值； (3) 各项或各因式能取“等号”，即一正、二定、三相等．
2．三个正数的算术——几何平均不等式 a＋ b＋ c 3 (1)如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc，当且仅当 a 3 ＝b＝c 时，等号成立． (2)如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． (3)对于 n 个正数 a1，a2，„，an，则它们的算术平均不 a1＋a2＋„＋an n 小于它们的几何平均，即 ≥ a1a2„an，当且 n 仅当 a1＝a2＝„＝an 时，等号成立． 3．绝对值不等式 (1)定理 1：如果 a，b 是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当 且仅当 ab≥0 时，等号成立． (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b －c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
高考绝对值不等式和基本本不等式
绝对值不等式和基本本不等式一、五种绝对值不等式题型（1）c b ax >+ ； c b ax <+ （2）)()(x g x f > ；)()(x g x f <（3）|()f x |<|()g x | （4）零点分段法： f d cx b ax >+++二、绝对值得几何意义：（1）a x -表示数轴上动点x 到定点a 的距离（2）b x a x -+-表示数轴上点x 到点a 和到点b 的距离之和（3）b x a x ---表示数轴上点x 到点a 与到点b 的距离之差三、绝对值的性质：1、b a b a b a +≤±≤-2、b a b a +≤±典型例题：例1、解下列不等式：（1）4|23|7x <-≤； （2）|2x －2x －6|<3x（3）|21||2|4x x ++->变式练习：（1）2|55|1x x -+<．（2）234x x -≤1（3）｜x-2｜+｜x+3｜>5.例2、（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；（2）若关于x 的不等式a x x ≥+--+14的解集是空集，则a ∈ ；（3）若关于x的不等式2x+ax恒成立，求a的取值范围；1>-+变式练习：（1）对任意实数x，|1||3|x x a--+<恒成立，则a的取值范围是．（2）若关于x的不等式|4||3|-++<的解集不是空集，则a∈；x x a（3）若关于x的不等式4ax恒成立，求a的取值范围；-+x-1-≥例3、已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1(1)证明 |c|≤1；(2)证明当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；变式：设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)p A B 为2121(,)||||.p A B x x y y =-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,p A C p C B p A B +≥基本不等式1、基本不等式： 2a b+≥ab （0,0>>b a ）2、基本不等式成立的条件：一正，二定，三相等。
专题17 常用逻辑用语(基础篇)-2019年高考数学艺体生备考百日冲刺资料
专题十七常用逻辑用语命题及其关系【背一背基础知识】一．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二．四种命题及其关系1．四种命题即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题.2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：（1）判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．（2）否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．2.典型例题例1【2018年文北京卷】能说明“若a﹥b ，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足，所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）充分条件和必要条件【背一背基础知识】１．一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件.可分为四类：（1）充分不必要条件，即p⇒q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q⇒p；(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p.２．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号.p⇔q表示p⇒q且q⇒p. 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判断的命题可转化为其等价命题来判断.【讲一讲释疑解惑】1.必备技能充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若，则p是q的充分而不必要条件；若，则p是q的必要而不充分条件；若，则p是q的充要条件；若，则p是q的既不充分也不必要条件.3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.4. 全称命题与特称命题真假的判断方法汇总”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 6．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．7．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．8．要判断“⌝p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与⌝p 的真假相反． 9．常见词语的否定形式有：2.典型例题例1【2018届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末】命题“”的否定是______________________. 【答案】【解析】因为命题“,p x ∃”的否定是“,p x ∀⌝” 所以命题“”的否定是例2若“”是真命题，则实数m 的最小值为 .【答案】1【解析】若“”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1， 所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1. 所以答案应填:1.【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60分）1．【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A 选项.2．【2018年理北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，因为a ，b 均为单位向量，所以a ⊥b ，即“”是“a ⊥b ”的充分必要条件.选C.3．【2018届辽宁省丹东市高三上学期期末】命题“”的否定为（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】命题“”的否定为：，故选A.4．【2018届宁夏育才中学高三上学期期末】“2x <”是“102x <-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】分式不等式102x <-等价于20x -<，则其解集为{}|2x x <， 据此可知“2x <”是“102x <-”的充要条件. 本题选择C 选项.5．【2018届北京市东城区高三第一学期期末】直线:1l y kx =+与圆相交于,A B 两点，则“1k =”“ AB =( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件, 【答案】A【解析】直线:1l y kx =+与圆相交于,A B 两点， ∴圆心到直线的距离d =则AB =，当1k =时，，即充分性成立，若AB =，即21k =，解得1k =或1k =-，即必要性不成立，故“1k =”是“AB =”的充分不必要条件，故选A.6. 已知命题p ：关于x 的函数在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是 ( )A ．23a ≤B. 120a << C ．1223a <≤ D. 112a << 【答案】C7. 下列命题中是假命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由任意角的三角函数可知，，所以是真命题；由指数函数的性质，是真命题；由lg10=知，是真命题；事实上，由，是假命题.故选B.8. 命题“，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．，使得2n x < B ．，使得2n x < C ．，使得2n x < D ．，使得2n x <【答案】D 【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．9．【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】设数列{}n a 的通项公式为则“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当2k >时，则数列{}n a 为单调递增数列若数列{}n a 为单调递增数列，则即可，所以“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件 故选A .10．若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“”的（ ）．A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】，得a b =，所以是充要条件，故选C.11．【2018届重庆市高三上学期期末】命题:P “若1x >，则21x >”，则命题P 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B【解析】命题:P “若1x >，则21x >”是真命题，则其逆否命题为真命题；其逆命题：“若21x >，则1x >”是假命题，则其否命题也是假命题；综上可得：四个命题中真命题的个数为2. 本题选择B 选项.12．已知,αβ表示两个不同的平面， m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由题意可得若“αβ⊥”，不一定有“m β⊥”， 反之，若“m β⊥”，由面面垂直的判断定理可得“αβ⊥”， 即“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 本题选择C 选项.（二）填空题（4*5=20分）13.【2018届江西省K12联盟高三教育质量检测】已知命题P ：“”，则P ⌝：__________．【答案】【解析】∵“”∴P ⌝：故答案为：14.命题p ：“若a≥b，则a ＋b>2 015且a>－b”的逆否命题是________________________________________________________________________． 【答案】若a ＋b≤2 015或a≤－b ，则a<b 【解析】逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以“若a≥b，则a ＋b>2 015且a>－b”的逆否命题是：“若a ＋b≤2 015或a≤－b ，则a<b”. 答案为：若a ＋b≤2 015或a≤－b ，则a<b.15.【2018届江苏省镇江市高三上学期期末】已知,x y R ∈，则“1a =”是直线与直线平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个） 【答案】充要 【解析】若直线与直线平行，则有且，因此1a =即1a =是直线与直线平行的充要条件故答案为充要16. 给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③。
专题13 不等式知识储备 高考数学(文科)艺术生百日冲刺复习
基本不等式及其应用
1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
3.基本不等式的几个常见变形
(1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．
(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
5.利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24
； (2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .。
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
近年-高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.2基本不等式高效演练新人教A版选修4-
2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式高效演练新人教A版选修4-5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式高效演练新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1.2 基本不等式A级基础巩固一、选择题1．已知a,b∈R，且ab≠0,则下列结论恒成立的是( ）A．a＋b≥2错误!B。
错误!＋错误!≥2C。
错误!≥2 D．a2＋b2＞2ab解析：当a，b都是负数时，A不成立；当a，b一正一负时,B不成立；当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是（）A。
错误!＋错误! B.错误!C．tan θ＋错误!D．2x＋2－x解析：因为2x＞0，2－x＞0，所以2x＋2－x≥2错误!＝2.当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．答案:D3．已知错误!＋错误!＝1(x＞0,y＞0），则xy的最小值是（) A．15 B．6C．60 D．1解析：因为5x＋错误!≥2错误!(当且仅当x＝10，y＝6时,取等号)，所以2错误!≤1，所以xy≥60,故xy的最小值为60.答案：C4．若直线错误!＋错误!＝1（a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( ）A ．2B ．3C ．4D ．5解析:因为直线错误!＋错误!＝1过点(1，1)，所以错误!＋错误!＝1。
《艺术生新高考数学百日冲刺》考点24 基本不等式及其应用20200901
②ba＋ab≥2
③sin x＋sin1 x≥Biblioteka (x≠kπ，k∈Z)答案 ④
④ x＋ 1x≥2(x>0)
解析 对于选项①，当 x<0 时显然不成立； 对于选项②，当ba <0 时显然不成立； 对选项③，当 sin x<0 时显然不成立； 只有选项④正确.
解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.
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艺术生新高考数学百日冲刺
考点 24 基本不等式及其应用
知识梳理
1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b( a≥0，b≥0)，当且仅当 a＝b 时取等号． 其中a＋2 b称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙 述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等 差中项不小于它们的等比中项． 3.基本不等式的几个常见变形 (1) a＋b≥2 ab (a，b＞0)． (2) x＋1x≥2(x＞0)，ba＋ab≥2(a，b 同号)．
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艺术生新高考数学百日冲刺
当堂练习
1．若 0<x<32，则 y＝x(3－2x)的最大值是________． 2．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值是________． 3. 已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有________． 4．已知函数 f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝______. 5．若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是________．
(2021年整理)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题(推荐完整)
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高中数学基本不等式的巧用1．基本不等式：错误!≤错误!（1）基本不等式成立的条件：a ＞0,b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1）a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R );（2）错误!＋错误!≥2(a ，b 同号）；(3）ab ≤错误!2(a ,b ∈R ）; （4)a 2＋b 22≥错误!2（a ,b ∈R ）．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0,y ＞0，则(1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2错误!。
基本不等式与绝对值不等式 (2)
教学过程一、新课导入前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究算术平均数与几何平均数之间的关系及一些含有绝对值的不等式的证明问题.二、复习预习1.基本不等式的定理及推论.2.如何运用基本不等式解决问题.3.绝对值不等式的定理及推论.4.如何运用绝对值不等式证明问题.三、知识讲解考点1 基本不等式1．基本不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 3.公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.4．若baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 7.关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数.推广：na a a n+++ 21≥n n a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数考点2 绝对值不等式的定理及推论1.定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-. 注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-.2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”. 推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ . 推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-.四、例题精析考点1 基本不等式例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222.【规范解答】 ∵ab b a 222>+222b c bc +>ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222.【总结与反思】此题在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例2 已知a,b,c,d都是正数，求证：abcd(≥++．)(ab4bdaccd)【规范解答】∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥> 0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++.【总结与反思】用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.例3 已知a , b , c ∈R ,求证：1︒ 9)111)((≥++++cb ac b a 2︒ 29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3︒ 23≥+++++b a c a c b c b a .【规范解答】证明：1︒ 法一：33abc c b a ≥++,313111abc c b a ≥++, 两式相乘即得9)111)((≥++++c b a c b a . 法二：左边)()()(3c b b c c a a c ba abc c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++= ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.2︒ ∵3))()((23222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++3))()((13111a c cb b a ac c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a .3︒ 由上题：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴29111≥++++++++a c bc b ab a c即 23≥+++++b a ca c bc b a.【总结与反思】基本不等式的灵活运用.例4 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).【规范解答】设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝a a +-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝ab k ，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值∴y ＝264322302+-+-=+-=a a k a a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k ≥18264)2(234k a a k =+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18故当a ＝6米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.【总结与反思】均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立.例5 求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ，∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时， 633min 3242123221262==⋅=y .【规范解答】 以上两种解法均有错误解一错在取不到“=”，即不存在x 使得xx x 2122==； 解二错在x 62 正确的解法是：33322236232932323232323232==⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y当且仅当x x 2322=即263=x 时min =y 【总结与反思】基本不等式成立条件：一正、二定、三相等.例6 若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值.【规范解答】])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x∴0)1(>--x ，0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x ， 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x . 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例7 设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值.【规范解答】∵0>x∴212y x =+又2321)2()221(2222=++=++y x y x ， ∴423)2321(212=⋅≤+y x 即 423)1(max 2=+y x 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.例8 已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值.【规范解答】y x +yxbx ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)( 2)(2b a yxbx ay b a +=⋅++≥ 当且仅当y xb x ay =即bay x =时2min )()(b a y x +=+. 【总结与反思】构造定值运用基本不等式求解.考点1 绝对值不等式的定理及推论例9 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||add c c b b a +++≥4.【规范解答】 ∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ada c cb b a ∴,||2||2||||2||||cac b b a c b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||aca d d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+ac c a a cc a acc a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++acc a a c c a ad d c c b b a . 【总结与反思】此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法.例10 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abba ++＜1．【规范解答】|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立， 所以 |1|abba ++＜1. 【总结与反思】此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性.例11 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<-．【规范解答】证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-=|||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，21)(b b f OB +==||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-.【总结与反思】证明不等式也可构造三角形处理，运用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边.例12 求证:(1) |x+1|+|x-1|≥2；(2) |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6；(3) 2|x+2|+|x+1|≥1(当且仅当x=-2时,“=”号成立).【规范解答】(1)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2(2)|x +1|+|x -1|≥|(x +1)-(x -1)|=2当且仅当(x +1)(x -1)≤0,即-1≤x ≤1时“=”成立; 又|x +2|+|x -2|≥|(x +2)-(x -2)|=4,当且仅当(x +2)(x -2)≤0,即-2≤x ≤2时“=”号成立∴|x +2|+|x +1|+|x -1|+|x -2|≥6,当且仅当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-2211x x 即-1≤x ≤1时“=”号成立(3)|x +2|+|x +1|≥|(x +2)-(x +1)|=1,当且仅当(x +2)(x +1)≤0,即-2≤x ≤-1时“=”号成立; 又|x +2|≥0,当且仅当x =-2时，“=”号成立, ∴2|x +2|+|x +1|≥1, 当x =-2时，“=”号成立【总结与反思】注意定理||||||||||b a b a b a +≤+≤-.及推论||||||||||b a b a b a +≤-≤-的运用.1例13 设f (x) = x2＋px＋q, 求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一个不小于.2【规范解答】（反证法）假设原命题不成立，则|f (1)|＜21,|f (2)|＜21,|f (3)|＜21, ∴|f (1)|+2 |f (2)|+|f (3)|＜2 ①由f (1)=1+p +q ,f (2)=4+2p +q ,f (3)=9+3p +q.得f (1)+f (3)－2f (2)=2∴|f (1)|+2 |f (2)|+|f (3)|≥|f (1)+f (3)－2f (2)|=2这与①矛盾，故假设不成立，求证为真.【总结与反思】此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明.课程小结1.本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（2ba+），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba+≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数的基本工具，又是求函数最值的重要工具.2.用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式可以顺利解决函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.3.通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性.4.灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明.。
艺术生高考数学讲义 5.基本不等式
基本不等式一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。
3.若,a b R +∈2a b +≥二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b +≥a b =时取等号 变式：222()22a b a b ab ++≥≥例题解析简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab b a ≥+2”成立的 条件。
【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。
判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。
【例3】如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ）A d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一B d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一C d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一D d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab 1≥22 B (a+b)( a 1+b 1)≥4 C 22≥a+b D b a ab +2≥ab【巩固训练】1、若x> -1则x 取什么值时x+11+x 的值最小？最小值是多少？2、若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,x y xy x y ++_____________。
不等式的最值问题【例5】若1y x 22=+，则xy 的取值范围【例6】已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值 。
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练习十五 基本不等式与绝对值不等式
一．选择题
1. 若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）．
A ．a b c <+
B ．a c b >-
C ．||||||a b c >-
D ．||||||a b c <+ 2. 正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）．
A ．ad bc =
B ．ad bc <
C ．ad bc >
D ．ad 与bc 大小不定 3. 已知|23|2x -≤的解集与2
{|0}x x ax b ++≤的解集相同，则（ ）． A ．53,4a b ==- B ．53,4a b =-= C ．53,4a b == D ．17
4
a b += 4. 已知2()3
(1)32x
x f x k =-+⋅+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是（ ）．
A ．(,1)-∞-
B ．(1)-∞
C ．(1)-
D ．(1)- 5. 若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ B ）
A ．18
B 。
6
C 。
2
3 D 。
243
6. 已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有
A. 最小值
21和最大值1 B. 最小值43
和最大值1 C. 最小值21和最大值43
D. 最小值1
7. 设M=)11
)(11)(11(---c b a ,且a+b+c=1，(a 、b 、c ∈R +)，则M 的取值范围是（ ）
A ．[0,81]
B ．[8
1
,1] C ．[1,8] D ．[8,+∞）
8. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间
以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲乙两人谁先到达指定地点 （ ） (A) 甲 (B) 乙 (C) 甲乙同时到达 (D)无法判断 二．填空题
9. 不等式2
|
|1x x
+<的解集为 ． 10. 函数212
()3(0)f x x x x
=+>的最小值为_____________．
11．函数1
1
)(2
2+++=x x x x f 的值域为 ． 12．设.1
1120,0的最小值，求
且y
x y x y x +=+>> ．
13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积
之和最小，正方形的周长应为 。
三．解答题
14．设a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，求证：|ax ＋by |≤3。
15. 已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3= a 2－b 2 求证：1< a +b <3
4．
16．求y x x =++22
54
的最小值。
17. 若a b >>00，，且a b 2
2
2
1+=，求a b 12+的最大值．
18.
解不等式7340x x +--+>
19. 如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，求参数a 的取值范围。
练习十五 基本不等式与绝对值不等式
1－8题 DCBB BBDA
9。
{|1}x x <- 10. 9 11. 13,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 12。
223+ 13.
4
4
+π
14. 证明：∵（a 2＋b 2）（x 2＋y 2）= a 2 x 2 ＋b 2 y 2＋a 2 y 2＋b 2 x 2≥ (ax ＋by )2，∴|ax ＋by |≤3。
15．证明：2222233
)(b a b a b ab a b a b a
+⇒+=++⇒-=-
122>+⇒+=++>b a b a b ab a
002)
(4)2(3)(4)(33
4
2222222>-⇐>+-⇐++<++⇐+<+⇐<
+b a b ab a b ab a b ab a b a b a b a 16. 解法一：)1(41
4
44
522222t t x x x x x y +=++
++=++=
令)2(42≥+=t x t
，则)2(012≥=+-t yt t 令)2(1)(2≥+-=t yt t t f ，1)0(=f
显然012
=+-yt t 只有一个大于或等于2的根， 0)2(≤∴f
即
25
0124)2(≥⇒≤+-=y y f ，即4
522++=
x x y 的最小值是
2
5。
解法二：)1
(4
1
4
44
522222t t x x x x x y
+=++
++=++=
令)2(42≥+=t x t
利用图象迭加，可得其图象（如下图） 2≥t 当2≥t 时，t
t y 1
+
=递增， 2
5212m in =+
=∴y 。
17. 12
002
2
=+>>b a b a ，，
4
2
3)221
1(2222122122
12)1(122
2
2222
2
2
2
2
=
+
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣⎡++≤+⋅=+⋅
=+=+∴b a b a b a b a b a 当⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧>>=++=
0012212
22
2b a b a b a ，2223==⇒b a ，时，2
1b a +的最大值为
4
2
3 18.
解：原不等式化为73410x x +-->
当4
3
x >
时，原不等式为7(34)10x x +-->
得52x <+
，即4532x <<+；
当4
73
x -≤≤
时，原不等式为7(34)10x x ++-+>
得124x >--，
即14
243
x -
-<≤； 当7x <-
时，原不等式为7(34)10x x +--+>
得6x >-
，与7x <-矛盾；
所以解为15242
x -
-<<+ 19. 解：34(3)(4)1x x x x -+-≥---= min (34)1x x ∴-+-=
当1a ≤时，34x x a -+-<解集显然为φ， 所以1a >。