广东省广州市普通高中高一数学下学期期中模拟试题10
广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
2
-
uuur DB
2
=
uPuDur 2
-1；
uuur
uuur uuur
所以当 PD 取最小值时， PA× PB 取得最小值；
uuur
uuur
PD = CD -1 = min
3 -1，
( ) 所以
uuur PA
×
uuur PB
=
uuur PD
21 = 3- 2
3.
故选：C 7．C
【分析】设
( ) ( ) uuur uuur uuur r r
对于 D： AC = AB + BC = 2a + b +
rr -a + 4b
r r uuur = a + 5b ， CD = 3
r a-
r b ，令
uuur AC
=
uuur lCD
可知
l
不
存在，所以
uuur AC
和
uuur CD
不共线，所以
A
、
C
1．B
参考答案：
【分析】利用两角和的余弦公式求解.
( ) 【详解】 cos105o= cos 45o+ 60o = cos 45ocos 60o- sin45osin 60o
=
2 2
´
1 2
-
2 2
´
3 2
=
24
6.
故选：B 2．D 【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出 z，根据复数的几何意义即可 得答案.
试卷第21 页，共33 页
确的是（ ）
A． z1 = z2
B．
z1 z2
Î
广东省广州市高一下学期数学期中考试试卷
广东省广州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·衡阳期中) sin390°=（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·万载模拟) 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A . 0B . 3C . 8D . 113. （2分） (2019高一下·电白期中) 下列各式中，值为的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·南康期中) 已知中，，则为（）A . 等腰三角形B . 的三角形C . 等腰三角形或的三角形D . 等腰直角三角形5. （2分） (2017高二上·张掖期末) 数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（）A . 2nB . 2n+1C . 2n﹣1D . 2n+16. （2分）(2016·柳州模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA= sinB，则△ABC面积的最大值为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高二上·寿光月考) 等比数列的前n项和，则的值为A . 1B . -1C . 17D . 188. （2分）在中，a，b，c分别是角A,B,C的对边，， b=2，且，则的BC边上的高等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·南平模拟) 数列{an}中，记数列的前n项和为Tn ，则T8的值为（）A . 57B . 77C . 100D . 12611. （2分） (2015高一下·忻州期中) 函数y=3sin（﹣2x﹣）的单调递增区间（）A . [kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z）B . [kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）C . [kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z）D . [kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）12. （2分） (2016高一下·成都期中) 已知△ABC的三边a，b，c满足：a3+b3=c3 ，则此三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·包头模拟) 设等差数列的前项和为，若，，，则 ________.14. （1分） (2019高一下·杭州期中) 有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30°，则坡底要延伸________m．15. （1分）已知f（cosx）=cos5x ，则f（sinx）=________．16. （1分） (2019高三上·郴州月考) 设等差数列满足，，，则数列的前n项和为________．三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分） (2019高一下·广德期中) 已知数列满足：，其中为数列的前项和.（Ⅰ）试求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式；18. （10分） (2018高一上·哈尔滨月考) 已知求的值.19. （5分）(2019·天津模拟) 在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为 .且 .（1）求及的值；（2）求的值.20. （5分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知等差数列中，， .（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和 .21. （5分） (2020高一下·哈尔滨期末) 中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，.（1）求的值；（2）若，，求△ 的面积.22. （5分）(2013·山东理) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S4=4S2 ， a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共35分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广东省广州市高一下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ．1132AB AD -1324AB AD -【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则， E BC F AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则 //,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m α【答案】B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ,m n； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m n //αβ,αβ或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而，故//m αα//l m l //β//l n //m n ，故B 正确；C ：若，则或相交，故C 错误； //,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误. //,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC 边的长度是A B ．C ．D【答案】B【详解】由图形可知．故选B ． 02,4,2,90AD BC AB ABC CD ===∠=∴==4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故. ()12112133V S S h =+=⨯+⨯=故选：D5．P 是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） ABC A 20PB PC PB PC PA --+-=ABC A A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出0AB AC ⋅=的形状.ABC A 【详解】由，可得，即，20PB PC PB PC PA --+-= 2CB PB PC PA =+-CB AB AC =+u u r u u u r u u u r ，AB AC AC AB -=+等式两边平方，化简得，， AB AC AC AB -=+ 0AB AC ⋅= AB AC ∴⊥ 因此，是直角三角形. ABC A 故选：B.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）A ．平面平面B ． BME //CAN AF CN //C ．平面D ．与相交//BM EFD BE AN 【答案】A【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知，且平面，平面，//AN BM BM ⊂BME //AN BME ，且平面，平面，所以平面平面，故正确.NC BE //BE ⊂BME //NC BME BME //CAN选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.AF CN选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.EFD BM选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.BE AN故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.7．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝1,2BD DC AE EC == ·OA OBA ．－B ．－C ．－D ．－45342312【答案】B【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．,OA OB,AB AC【详解】由题意画图如下因为,所以D 时BC 的中点，BD DC =所以,1122AD AB AC =+ 因为，12AE EC = 所以，13AE AC = 设，则,AO AD λ=1122AO AB AC λλ=+ 因为B,O,E 三点共线，所以存在实数 ，使得 μ()()1113AO AB AE AB AC μμμμ=+-=+-所以可得 解得 ()1=211=123λμλμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩1=21=4λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1144AO AB AC =+3144BO BA AO AB AC =+=-+所以11314444OA OB AO BO AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A A2222311=16816311222cos 6021681634AB AB AC AC --+=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-A 故选B【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的ABC A ,,A B C ,,a b c G ABC A ,56BG CG b c ⊥=cos A 取值是（ ） A ．B ．C ．D ．5975577511156175【答案】D【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到32AM a =，结合余弦定理整理得，从而求得. 22292cos a c b bc A =++22225cos 0c b bc A +-=61cos 75A =【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，G ABC A M BC ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r由已知得， ,,BC a AC b AB c === 因为，所以， BG CG ⊥1122GM BC a ==又因为点是的重心，所以，则，G ABC A 12GM GA =1322AM a a a =+=又因为，所以，则， ()2214AM AB AC =+ ()222912cos 44a cb bc A =++22292cos a c b bc A =++又由余弦定理得，所以，整理得2222cos a c b bc A =+-()222292cos 2cos c b bc A c b bc A +-=++，22225cos 0c b bc A +-=因为，令，则， 56b c =()60b k k =>5c k =所以， ()()()()222526565cos 0k k k k A ⨯+⨯-⨯⨯=则. 12261cos 15075A ==故选：D..二、多选题9．已知，则下列命题正确的有（ ）((),cos ,sin a b θθ==A ．若，则B ．的最大值为2a b ⊥π3θ=a b ⋅C ．存在，使D ．的最大值为3θ||||||a b a b +=+a b - 【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB ，当同向时，则有，将转化,a b ||||||a b a b +=+a b - 为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A ：，0a b a b⊥⇒⋅=即，(()πcos ,sin cos 2sin 06a b θθθθ=θ⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎝⎭ 所以，故A 错误；()()πππ,Z πZ 66k k k k θθ+=∈⇒=-∈对于B ：由A 知，π2sin 6a b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ 所以当时，()()πππ2π,Z 2πZ 623k k k k θθ+=+∈⇒=+∈有最大值2，故B 正确；对于C ：当时，， π3θ=(1,2a b ⎛== ⎝，(1322a b ⎛⎛+=+=⎝⎝所以， ||3a b +==，1=所以，故C 正确；||||||a b a b +=+对于D：，(()()cos ,sin 1cos sin a b θθθθ-=-=- 所以())2221cos sin a b θθ-=-+，=()π52cos 54sin 6θθθ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭当，πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即时， ()()ππ2π2π,Z 2π,Z 623k k k k θθ+=-+∈⇒=-+∈取得最大值9，所以的最大值为3，故D 正确.2a b - a b - 故选：BCD.10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）120ABC∠=︒A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A ，设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则，112π2π1,2π2π333r R =⋅⋅=⋅⋅解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A 错误；1,13r R ==312-=h ==对于B ，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，1π9π18π(1)2π33⨯+⨯=所以圆台的表面积为，选项B 正确； 1834ππππ939S =++=对于C ，圆台的体积为 ，选项C 正确； 22111π[(11)333V =⋅+⋅+=对于D ，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D 正确， 18πππ1:9:2493=∶∶故选：BCD ．11．在中，a ，b ，c 分别为的对边，下列叙述正确的是（ ） ABC A ,,A B C ∠∠∠A ．若有两解 45,A a b =︒==ABC AB ．若，则为等腰三角形 cos cos a bB A=ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，则为锐角三角形 sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC A 【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若， 45,A a b =︒==sin sin a bA B=可得或，sin sin b AB a===60B =︒120B =︒此时有两解，A 正确； ABC A 若，则由正弦定理可得，所以, cos cos a b B A=sin sin cos cos A BB A =sin cos sin cos A A B B =即，所以有或， sin 2sin 2A B =22A B =22180A B +=︒即或，B 不正确； A B =90A B +=︒若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>π2B A >-因为在为减函数，所以，C 正确；cos y x =()0,ππcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭若，则由正弦定理可得， sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设，其中；2,3,4a k b k c k ===0k >则为最大边，， c 22222249161cos 022234a b c k k k C abk k+-+-===-<⨯⨯为钝角三角形，D 不正确.ABC A 故选：AC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P 是上的动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11B DA ．直线与是异面直线 DP 1BCB ．平面 //CP 1A BDC ．的最小值是21A P PB +D ．当P 与重合时，三棱锥1B 1P A BD -【答案】ABD【分析】选项A ，利用平面可说明直线与是异面直线；11BB C C DP 1BC 选项B ，先证明平面平面，再由平面，得平面；11//CB D 1A BD CP ⊂11CB D //CP 1A BD 选项C ，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出1A P PB +BM BMN A 的值；BM 选项D ，认识到当P 与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正1B 1P A BD -方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线DP 11BB C C 1B 1BC 11BB C C 线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A 正确；DP 1BC B 选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平1CB 1CD 11//A D BC 11A D BC =11A BCD 行四边形，有，又平面，平面，所以平面， 11//CD A B 1CD ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD 1//CD 1A BD 同理可证平面，1//CB 1A BD 又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面， 1CD 1CB 11CB D C 11//CB D 1A BD 又平面，所以平面，故选项B 正确；CP ⊂11CB D //CP 1A BDC 选项，延长到，使得，1BB 2B 1211B B B D =21B D 在上取点，使得，21B D M 11111D M A D ==则，有.111A D P MD P ≅A A 1MP PA =故.1A P PB MP PB BM +=+≥过点作，交于点，M 12MN B B ⊥12B B N在中，因为，所以，又， 121B B D A 1211B B B D =212B D =111D M =所以， MN =1B N =1BN =BM =所以，故选项C 错误；1A P PB +D 选项，当P 与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -又正方体的棱长为1，故其外接球半径D 正确. 1111ABCD A B C D -R ==故选：ABD.三、填空题13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与||2,||3,a b e == b a b e - a的夹角__________.b θ=【答案】 23π【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解. a b e - cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==- 【详解】因为向量在向量上的投影向量为,a b e - 所以, cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==-即, 1cos ,2a b =- 因为,[],0,πa b ∈ 所以, 2π,3a b= 故答案为:. 2π314．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，rR 12,2AB r AA r ==所以，可得，2R===R 所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为，232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为12V V =15．如图所示，为了测量A 、B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两岛屿的距离为__海里．【答案】【分析】先利用正弦定理求解AD 的长，再利用余弦定理求出AB ．【详解】由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，∠BDC =45°， 在三角形ACD 中，， 10sin 30sin 45AD =∴AD ＝在直角三角形BCD 中，BD ＝，在三角形ABD 中，AB=故答案为：16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则ABC A M AB 5,3,AB CM EF ==C 的取值范围是__________.⋅BE AF【答案】 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 74BE AF CE AB ⋅=⋅+ CE AB ⋅ ⋅BE AF 【详解】 ()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE ⋅=+⋅-=⋅+⋅--()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ ，且. 222511944MC AM =-=-= 21CE = 即 2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+ 设与的夹角为，则. CE AB []0,θπ∈77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= 因为，所以. []cos 1,1θ∈-BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为： 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知向量，，． a b ()1,1b =- ()()2a b a b -⊥+ (1)若，求实数的值； //4a b a b λλ++ （）（）λ(2)若设与的夹角为，求的大小．2a b + b θθ【答案】(1) 12λ=±(2)4πθ=【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组01a b ⋅=- a b 基底，再根据共线定理得出实数的值；λ（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入2a b + 夹角公式即可.【详解】（1）由可得：， ()()2a b a b -⊥+ ()()20a b a b -⋅+=即得，，2220a a b b +⋅-= ()1,1b =- 25a = 22b = 代入解得：，所以，是不共线的向量.1a b ⋅=- a b 由题可设：，因为，是不共线的向量， ()4a b a b λμλ++= a b所以且，解得． λμ=41λμ=12λ=±（2）由于， ()222143a b b a b b +⋅=⋅+=-+=，3a =+= 由与的夹角为：2a b + b θ()2c 2os a b b a b b θ+⋅===+⋅由于，所以．[]0,θπ∈4πθ=18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．S ABC -3SO=(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为(2)正三棱锥的体积为【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为，侧面积、底面积分别为， h '12,S S 过点O 作，与交于点E ，连接，则．OE AB ⊥AB SE ,SE AB SE h '⊥=由，即，可得. 122S S =21322a h '⋅⋅=⨯a'=由，则， SO OE ⊥222SO OE SE +=1133OE CE ===即．2223h ⎫''+=⎪⎪⎭．h '∴=6a =． 2226S ∴===1S =∴表面积12S S S =+==（2）正三棱锥的体积21113333ABC V S h S SO ==⋅=⨯=A 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.a b c ABC A A B C 22cos b c a C =+(1)求；A(2)若，求的周长. ABC A 3a =ABC A 【答案】(1)π3A =(2)8【分析】（1）由及正弦定理求解；22cos b c a C =+（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.bc 3a =b c +ABC A 【详解】（1）.由正弦定理可得： 22cos b c a C =+ ∴，2sin sin 2sin cos B C A C =+所以，()()2sin π2sin sin 2sin cos A C A C C A C --=+=+所以，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+， ∴sin 2cos sin C A C =为三角形内角，，解得，， C sin 0C ≠1cos 2A =(0,π)A ∈. π3A ∴=（2），， 11sin 22S bc A bc === 163bc ∴=由余弦定理得，，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，解得， 2169()33b c =+-⨯5b c +=的周长为.ABC A ∴8a b c ++=20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱P ABCD -ABCD PC ABE 交于点F ． PD(1)求证：平面；//PA BDE (2)求证：F 为的中点；PD 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；//GE PA （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定//AB CD //CD 理得到求解.//CD EF 【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，//GE PA PA ⊄GE Ì所以平面；//PA BDE （2）因为底面为平行四边形，ABCD 所以，//AB CD又 平面ABCD ， 平面ABCD ，AB ⊂CD ⊄所以 平面ABEF ，又平面平面，//CD ABEF ⋂PDC EF =所以，//CD EF 又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.PD 21．如图，棱长为2的正方体中，P ，Q 分别是棱的中点．1111ABCD A B C D -1,DDAB(1)平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R(2)在线段上是否存在点M ，使得面，若存在，请求出M 点位置并证明；若不存1CC //BM PQC 在，请说明理由．【答案】(1) 13(2)存在，为线段上靠近点的四等分点M 1CC C【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从CQ DA E PE 1AA R 114AR AA =而得到结果；（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边PC N DC G ,NG NM MNQB 形，从而得到结果. 【详解】（1）延长和交于，连接，交于，CQ DA E PE 1AA R即平面与直线交于点，PQC 1AA R 因为为中点， ，所以为中点，Q AB AQ DC //A ED 于是， 1111111122244AR PD DD DD AA ==⨯==所以. 113AR A R =（2）存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，M 1CC C //BM PQC 取中点，中点，连接，则，且，PC N DC G ,NG NM //MN GC MN GC =所以，且，所以四边形为平行四边形，//MN BQ MN BQ =MNQB 所以，又因为平面，平面，BM NQ //BM ⊄PQC NQ ⊂PQC 所以面.//BM PQC 22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD (2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以； 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫=+=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以， 3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为. S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
广东省广州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题(含解析)
广东省广州市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设复数()i 12i z =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：()i i 12i 2z =+=-+，所以复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，位于第二象限.故选：B.2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3.如图，在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，AC 与DM 交于点O ，则OM =（）A.1163OM AB AD=- B.1233OM AB AD=-C.1122OM AB AD=- D.1143OM AB AD=- 【正确答案】A【分析】设AO xAC =，则()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ ，再根据,,O D M三点共线可求得x ，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.【详解】解：设AO xAC =，则()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ ，因为,,O D M 三点共线，所以21x x +=，解得13x =，则1133AO xAC AB AD==+ 所以1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-.故选：A.4.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为,AB AD 的中点,则异面直线1BC 与EF 所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.90【正确答案】C【分析】由题易得11//EF B D ,连接1CD ,即可得出11B CD 为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.【详解】如下图所示,连接111,,BD B D D C11//,//EF DB DB D B ,11//EF D B ∴则异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C∠1111D B B C D C == ,即11B CD 为等边三角形1160D B C ︒∴∠=.故选:C.5.已知()()(),0,0,1,3,1A m B C -，且,,A B C 三点共线，则m =（）A.32B.23C.32-D.23-【正确答案】A【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.【详解】由()()(),0,0,1,3,1A m B C -，得()(),1,3,2AB m BC =-=-,因为,,A B C 三点共线，所以//AB BC，即()()2130m -⨯--⨯=，解得32m =.所以32m =.故选：A.6.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,||||AO AB AC AO AB =+= ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.14BCB.4BCC.14BC-D.4BC -【正确答案】A【分析】根据题意，由向量加法的性质可得O 为BC 的中点，又由||||AO AB =，分析可得ABO 为正三角形，则有1||||2BA BC =，结合投影向量的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，若2AO AB AC =+，则O 为BC 的中点，故BC 边为圆O 的直径，又由||||AO AB =，则ABO 为正三角形，则有1||||2BA BC = ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量||cos 60||BC BA BC ⨯14BC = ,故选：A ．7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为表面积为（）A. B.(8π+ C. D.(10π+【正确答案】D【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.，设圆柱底面圆半径为r ，根据圆柱和球的对称性可得r ==所以圆柱的表面积2222(10S πππ=⨯+=+.故选：D8.如图，在Rt ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （a b c >>），分别以边AB ，AC ，BC 所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为1V ，2V ，3V ，则（）A.123aV bV cV ==B.213aV bV cV ==C.321aV bV cV ==D.132aV bV cV ==【正确答案】A【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的体积，即可得答案．【详解】解：当绕a 边旋转时，其体积22211(33bc b c V a a a ππ=⨯⨯⨯=；当绕b 边旋转时，体积2221133V c b bc ππ=⨯⨯=；当绕c 边旋转时，体积2231133V b c b c ππ=⨯⨯=．∴123aV bV cV ==．故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.对于任意向量a ，b ，c，下列命题正确的是（）A.若//a b r r ，//b c，则//a c B.若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c= C.若a b =，b c = ，则a c= D.若a b a b -=+ ，则0a b ⋅= 【正确答案】CD【分析】A.由0b = 判断；B.由a b b c ⋅=⋅r r r r，转化为()0b a c ⋅-= 判断；C.根据相等向量的概念判断；D.由a b a b -=+ 转化为22a b a b -=+ 运算判断.【详解】A.当0b = 时，满足//a b r r ，//b c ，但,a c不一定共线，故错误；B.因为a b b c ⋅=⋅r r r r，所以()0b a c ⋅-= ，所以()b ac ⊥- ，故错误；C.因为a b =，b c = ，所以a c = ，故正确；D.因为a b a b -=+ ，所以22a b a b -=+ ，即0a b ⋅= ，故正确；故选：CD10.设l ，m 是空间中不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//l m ，m α⊂，l α⊄，则//l αB .若l ⊂α，m β⊂，//αβ，则//l mC.若l ⊂α，m α⊂，l //β，//m β，则//αβD.若//αβ，l αγ= ，m βγ= ，则//l m 【正确答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理，可判定A 正确；根据两平行平面内的直线平行或异面，可判定B 不正确；根据面面平行的判定定理，可判定C 不正确；根据根据面面平行的性质，可判定D 正确.【详解】对于A 中，.若//l m ，m α⊂，l α⊄，根据线面平行的判定定理，可得//l α，所以A 正确；对于B 中，若l ⊂α，m β⊂，//αβ，则直线l 与m 平行或异面，所以B 不正确；对于C 中，若l ⊂α，m α⊂，l //β，//m β，只有当l 与m 相交时，才能得到//αβ，所以C 不正确；对于D 中，若//αβ，l αγ= ，m βγ= ，根据面面平行的性质，可得//l m ，所以D 正确.故选：AD.11.在ABC 中，若()()()::9:10:11a b a c b c +++=，下列结论中正确的有（）A.sin :sin :sin 4:5:6A B C =B.ABC 是钝角三角形C.ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若6c =，则ABC 外接圆的半径为877【正确答案】ACD【分析】先根据题意求出a ，b ，c ,结合正弦定理可得A ，D 的正误,结合余弦定理可得B ，C 的正误.【详解】由题意,设9,10,11a b x a c x b c x +=+=+=,解得4,5,6a x b x c x ===;所以sin :sin :sin 4:5:6A B C =,所以A 正确;由以上可知C 最大,()()()2224561cos 02458x x x C x x +-==>⨯⨯所以C 为锐角,所以B 错误;由以上可知A 最小,()()()2225643cos 2564x x x A x x+-==⨯⨯,291cos22cos 121168A A =-=⨯-=,即cos cos2C A =,因为C 为锐角,2A 为锐角,所以2C A =所以C 正确;因为1cos 8C =，所以sin 8C ==,设ABC 外接圆的半径为r ,则由正弦定理可得1672sin 7c r C ==所以877r =所以D 正确.故选:ACD .12.如图，四棱锥S ABCD -的底面为菱形，3,60AB SD DAB ==∠=︒，SD ⊥底面ABCD ，P 是SC 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）A.若//SA 平面PBD ，则//SA POB.B 到平面SAC 的距离为355C.当P 为SC 中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形D.当P 为SC 中点时，DP PB +有最小值【正确答案】ABC【分析】对于A ：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B ：利用等体积法求D 到平面SAC 的距离；对于C ：根据三角形中位线先证PM ∥AB ，则过P 、A 、B 的截面为ABPM ，再利用长度结合勾股定理证PM PB ⊥；对于D ：借助于侧面展开图分析判断．【详解】∵//SA 平面PBD ，SA ⊂平面SAC ，平面PBD 平面SAC PO =∴//SA PO ，A 正确；设B 到平面SAC 的距离为h ，则有SA SC AC ===∵B SAC S ABC V V --=，即1111333332322h ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则5h =，B 正确；当P 为SC 中点时，如图1，取SD 的中点M ，连接,,PM AM MB 则PM ∥CD ，PM 12CD =∵AB ∥CD ，则PM ∥AB∴过P 、A 、B 的截面为ABPM ，则33,22PB BM PM ===∴222BM PM PB =+，则PM PB ⊥，即ABPM 为直角梯形，C 正确；借助于侧面展开图，如图2，连接DB 交SC 于点P ，此时DP PB +为最小值若P 为SC 中点时，∵SD CD =，则DP SC ⊥∴BC SB =，这与题意相矛盾，D 错误；故选：ABC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数2022i i z =-+，其中i 为虚数单位，则z =___________．【分析】根据i 的多次方的周期性，可知()505202242i i i 1=⋅=-，进而根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为2i 1=-，3i i =-，41i =，所以()505202242i i i 1=⋅=-，所以1i z =+，则z ==，14.已知向量a 、b 满足3a = ，4b = ，a 、b的夹角为60︒，则a b -= ______.【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量a 、b 满足3a = ，4b = ，a 、b的夹角为60︒，则a b -===15.已知平行四边形ABCD 中，A 、B 、C 的坐标分别为()2,1-、()1,3-、()3,4，则点D 的坐标为______.【正确答案】()2,2【分析】本题可根据AB DC =得出结果.【详解】设(),D x y ，则()1,2AB = ，()3,4DC x y =--，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC =，则3142x y -=⎧⎨-=⎩，解得2x =，2y =，()2,2D故答案为.()2,216.已知正方体1111ABCD A B C D -表面积为S ，体积为V ，从该正方体中切割出一个四面体11C A BD -，其表面积1S ，体积为1V ，则1S S =________，1V V=________.【正确答案】①.3②.13【分析】根据正方体的特征，利用锥体的表面积和体积计算公式即可求解.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，由正方体的性质可知，四面体11C A BD -每个面均是边长为的正三角形，所以22134)4S =⨯⨯=，因为26S a =，所以21223363S S a ==，111111111A ABD C A B B C BCD D A C D V V V V V V ----=----31111111132323232a a a a a a a a a a a a a =-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯313a =，则3131133a V V a ==，故33；13.四、解答题（本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数11i z a =+（其中a R ∈且a<0，i 为应数单位），且21z 为纯虚数.（1）求实数a 的值；（2）若1221iz z =++，求复数2z 的模2z .【正确答案】（1）1a =-（2【分析】（1）先求得22112i z a a =-+，再根据21z 是纯虚数建立方程即可求出；（2）根据复数除法运算法则求出2z ，即可求出2z .【小问1详解】由已知得：22112i z a a =-+，且21z 是纯虚数21020a a ⎧-=∴⎨≠⎩，∵a<0，∴1a =-.【小问2详解】由（1）得：11i z =-，∴()()()2121i 1i 2222i 1i 1i 1i 1i z z --=+=+=+=-+++-∴22i z =-=.18.在平而直角坐标系xOy 中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i 和j ，2OA i j =+ ，24O i B j =- .（1）求向量OA 与OB 夹角的余弦值；（2）若点P 是线段AB 的中点，且向量OP 与OA kOB + 垂直，求实数k 的值.【正确答案】（1）35-（2）114【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；（2）由向量OP 与OA kOB + 的数量积为0可求得k ．【小问1详解】由已知得()1,2OA = ，()2,4OB =-uu u r ，所以：12246OA OB ⋅=⨯-⨯=-uu r uu u r，OA == ，OB ==u u u r ，所以所求余弦值为35OA OB OA OB⋅=-u u r u u u r u u r u u u r ．【小问2详解】因为()12,24OA kOB k k +=+-uur uu u r ，3,12OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，而向量OP 与向量有OA kOB + 垂直，所以()0OA kOB OP +⋅= ，所以()()3122402k k +--=．所以114k =19.如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过,AC BC ，11B C ，11AC 的中点E ，F ，G ，H .（1）直接写出直线FG 与直线1A H 、直线FG 与平面11ABB A 的位置关系（不要求证明）；（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由.（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.【正确答案】（1）直线FG 与直线1A H 异面；直线FG 与平面11ABB A 平行；（2）不正确，理由见详解；（3）18【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.【小问1详解】因为水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11AC 的中点E ，F ，G ，H ，所以111111//,//,,,22HG A B EF AB HG A B EF AB ==又11//,A B AB 且11,A B AB =因此//HG EF ，且HG EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形，则平面//EFGH 平面11ABB A ，因为FG ⊂平面EFGH ，所以//FG 平面EFGH ，由四边形EFGH 是平行四边形可得，//FG EH ，而1A H EH H = ，所以直线FG 与直线1A H 不可能平行，而面EFGH 平面111A B C HG =，所以直线FG 与直线1A H 不可能是相交直线，所以直线FG 与直线1A H 是异面直线；直线FG 与平面11ABB A 平行.【小问2详解】不正确；因为棱台各侧棱交于一点，易知1AEA H 无交点，所以该几何体不是棱台；【小问3详解】设此三棱锥的高为h ，底面面积为S ，容器中水的形状为棱柱，体积为3864S S ⨯=所以有163S h S ⋅⋅=，解得18h =，即三棱锥的高为18.20.在ABC 中，22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-.（1）求A ；（2）若点D 在BC 边上，BD CD ==AD =，求ABC 的面积.【正确答案】（1）π3（2）【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A ；（2）判断出D 在BC 中点，结合向量()12AD AB AC =+ ，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方程，再结合余弦定理的方程，即可求出bc ，从而求出面积.【小问1详解】22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-由正弦定理得：22()a b c c b -=-，222a b c bc =+-，结合余弦定理得：1cos 2A =，且在三角形中，0πA <<，π3A ∴=.【小问2详解】BD CD ==所以a =,D 是BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+= ，即()2172AB AC ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22π2cos 283c b bc ++=，且22212a b c bc =+-=,两式相减得：216,8bc bc ==,所以，1πsin 23ABC S bc ==21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，6AB =，6ABC π∠=，5PA =，点E 、F 分别为棱PD 、AB 的中点．（1）证明：AE //平面PCF ；（2）求三棱锥E PCF -的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）152【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得//AE 面PCF .（2）通过等体积变换的方法求得三棱锥E PCF -的体积.【小问1详解】取PC 的中点G ，连接EG ，FG ，因为E 、F 、G 分别为PD 、AB 、PC 的中点，故//EG CD ，且12EG CD =，//AF CD 且12AF CD =，故//EG AF 且EG AF =，所以四边形AEGF 为平行四边形，AE //FG ∴，又AE ⊂/ 面PCF ，FG ⊂面PCF ，AE //∴面PCF ．【小问2详解】由（1）可知，AE //∴面PCF ，且F 为AB 的中点，底面ABCD 为菱形，6AB =，π6ABC ∠=，13E PCF A PCF P ACF ACF V V V S PA ---===⋅⋅△1111566sin 532262π⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎪⎝⎭.22.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5nmile ，与小岛D 相距为.BAD ∠为钝角，且3sin 5A =.（1）求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记BDC ∠为α，CBD ∠为β，求sin(2)αβ+的值.【正确答案】（1）2nmile ，18平方n mile （2）2525【分析】（1）由同角的平方关系，求出cos A ，在ABD △中结合余弦定理即可求出结果；（2）在BCD △中结合正弦定理求得sin α，然后根据同角的平方关系求出cos α，再由平面几何图形以及诱导公式求出sin()αβ+和cos()αβ+，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为3sin 5A =，且角A 为钝角，所以4cos 5A ==-.在ABD △中，由余弦定理得，2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=，所以2224525()5AD AD +-⋅⋅-=，即28200AD AD +-=，解得2AD =或10AD =-（舍），所以小岛A 与小岛D 之间的距离为2nmile .∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴角A 与角C 互补，∴3sin 5C =，()4cos cos 180cos 5C A A =︒-=-=，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=，∴(22245255CD CD +-⋅⋅=，∴28200CD CD --=.解得2CD =-（舍）或10CD =.∴ABC BCD ABCD S S S =+△△四边形11sin sin 22AB AD A CB CD C =⋅⋅+⋅⋅131352510315182525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile .（2）在BCD △中，由正弦定理，sin sin BC BD C α=，即5353sin 5α=，解得5sin ,5α=又因为DB BC >，所以C α<，且C 为锐角，所以α为锐角，所以cos 5α=，又因为3sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-== ，4cos()cos(180)cos 5C C αβ+=-=-=- ，所以sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()αβααβααβααβ+=++=+++。
广东省广州市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一 数学注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.2. 考生务必将自己的姓名、考号、考试科目等按要求填涂在答题卡上.3. 第I 卷的答案必须答在选择题答题卡上；第II 卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.4. 考试结束时，将选择题答题卡和第II 卷答卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走.第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1. 复数的虚部是（ ） ()()1i 2i z =+-A. 1B. iC. 3D. 3i【答案】A【解析】【分析】应用复数乘法化简复数，即可知虚部.【详解】，故其虚部为1.()()1i 2i 3i z =+-=+故选：A2. 已知水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC 是一个A. 等边三角形B. 直角三角形C. 三边中只有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形【答案】A【解析】【详解】原△ABC 中，BO=OC=1，BC=2.AO BC,且AO=2 在直角△ABO 和△ACO 中AB=⊥.AC=2.故△ABC 等边三角形2==3. 已知一个圆锥的母线长为20cm ，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为（ ）A.B. C. 20cm D. 10cm【答案】D【解析】【分析】画出图形，利用余弦值求出圆锥的高.【详解】如图，由题意得：，BC =20cm ，60ACB ∠=︒则cm. cos 6010AC BC =⋅︒=故选：D4. 如图，在中，C 为BD 的中点，，则（ ） ABD △2AE EB = CE =A. B. 1132AD AB -- 1123AD AB -- C. D. 1136AD AB -- 1126AD AB -- 【答案】D【解析】 【分析】利用向量加，减，数乘运算，结合图形，即可求解.【详解】. 12112112322326CE CB BE DB BA DA AB AB AD AB =+=+=+-=-- 故选：D5. 在中，，，则的值为（ ） ABC A a =3B π=3b =cA. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可解得的值.c c【详解】由余弦定理可得，即，222292cos 33b a c ac c π==+-=+-260c -=，解得.0c >Q c =故选：B.6. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为4163π（ ）A. B. C. D.322【答案】C【解析】【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径【详解】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为， 4163π所以圆柱的高为， 16232π43π=⨯则圆柱的体积为， 2232433V ππ=⨯⨯=设球的半径为，则， R 32324,33R R ππ==故选：C7. 已知复数，则（ ） 1i 1i z +=-2023z =A.B. C. D.2023220232-i -i 【答案】C【解析】【分析】化简得到，再计算得到答案. i z =20232023i z =【详解】，. ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+202320233i i i z ===-故选：C8. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是A B C 75︒30°AD ，则此时峡谷的宽度是（ ）)151BCA . 60 B. C. 30 D. )601)301【答案】A【解析】【分析】利用锐角三角函数，得到，，即CD =BD =BC CD BD =-可得到答案. 【详解】由已知得，得到 30,75ACB ABD ∠=∠=，， CD =15(3=+1)BD ==-60BC CD BD ∴=-=故选：A二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 下列结论正确的是（ ）．A. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 1e 2e 12e e + 12e e -C. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为 a b 1a b -= a b 12b r D. 已知，i 为虚数单位，若复数为纯虚数，则 a ∈R ()211i z a a =-++1a =±【答案】BC【解析】【分析】结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A ，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A 错误；对于B ，∵，为一组基底，∴，不共线，1e 2e 1e 2e ∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B 正确； 12e e + 2e e - 12e e + 12e e -对于C 选项，，两边平方得，， 1a b -= 2221a a b b -⋅+= 12a b ⋅= 所以在方向上的投影向量为，C 选项正确； a b 12a b b b b b ⋅⨯= 对于D 选项，复数为纯虚数， ()211i z a a =-++则，解得，D 选项错误，故选BC ．21010a a ⎧-=⎨+≠⎩1a =10. 已知复数z 的共轭复数为，若，则（ ）z i 1i z =+A. z 的实部是1B. z 的虚部是C.D. i -1i z =+2z =【答案】AC【解析】【分析】依题意根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可得到其共轭复数与模，即可判断；z【详解】解：因为，所以，所以，i 1i z =+()21i i 1i 1i i i z ++===-1i z =+z ==的实部为，虚部为； z 11-故选：AC11. 已知中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 下列命题正确的有（ ）ABC A A . 若，则A B >sin sin A B >B. 若，，则外接圆半径为10 π6A =5a =ABC A C. 若，则为等腰三角形2cos a b C =ABC AD .若，，，则1b =2c =2π3A =ABC S =A 【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A 正确，利用正弦定理可知B,C 的正误，利用三角形面积公式可知D 正确.【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即A B >a b >2sin sin a b R A B==2sin 2sin R A R B >，A 正确；sin sin A B >由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B 不正确； 2sin a R A=210R =ABC A 因为，所以，即，2cos a b C =sin 2sin cos A B C =()sin 2sin cos B C B C +=整理可得，即，sin cos cos sin 0B C B C -=()sin 0B C -=因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C 正确；,B C B C =ABC A因为，，，所以，D 正确. 1b =2c =2π3A =11sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=A 故选：ACD.12. 在圆锥中，C 是母线上靠近点S 的三等分点，，底面圆的半径为r ，圆锥的侧面积SO SA SA l =SO 为，则下列说法正确的是（ ）12πA. 当时，过顶点S 和两母线的截面三角形的最大面积为=3rB. 当时，从点A 到点C 绕圆锥侧面一周的最小长度为6l =C. 当时，圆锥的外接球表面积为6l =SO 812πD. 当内可以任意转动 6l =SO 【答案】BCD【解析】【分析】依题意可得，对于A ，利用余弦定理求出，即可判断为钝角，从而求12rl =cos ASB ∠ASB ∠出截面面积最大值，对于B 、C 、D ，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B ，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C ，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D ；【详解】解：依题意可知，所以． 12rl ππ=12rl =对于A 选项，，所以， 3,4r l ==2224461cos 02448ASB +-∠==-<⨯⨯所以为钝角，ASB ∠所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，A 选项错误． S 12448⨯⨯=对于BCD 选项，当时，，圆锥的高为．6l ==2r h ==以下分析BCD 选项：侧面展开图的弧长为，所以圆心角． 24r ππ=4263ASC ππ∠==所以，B 选项正确．AC ==设圆锥的外接球的球心为，半径为，SO 1O 1r所以，解得， ()222112+=r r 1r =所以外接球的表面积为，C 选项正确． 218142r ππ=的正四面体如下图所示， 1111A B C D -， =⨯=的正四面体的外接球半径为． 1111A B C D -2r =设内切圆的半径为，则，解得， SAB △3r ()311446622r ⨯⨯=++3r =所以的正四面体在圆锥内可以任意转动，D 选项正确． 32r r =SO 故选：BCD 第II 卷（选择题，共90分）三、 填空题（共4小题） 13. 已知复数（其中为虚数单位），则复数___________. 13i 3i z -=+i z =【答案】1【解析】【分析】化简得到，再计算模长得到答案. i z=-【详解】，则. ()()()()13i 3i 13i 10i i 3i 3i 3i 10z ----====-++-i 1z =-=故答案为：.114. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，，ABC A 3a =b =c =ABC A 的最大内角的余弦值为________.【答案】 18【解析】【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.A ∠【详解】角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，，是最大角，3a =b =c =A ∠则， 2221cos 28b c a A bc +-===故答案为：. 18【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.15. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，a b 35=+ OA a b 47=+ OB a b =+OC a mb A B，三点共线，则实数__________．C m =【答案】1【解析】【分析】由三点共线可令且，结合已知有λμ=+ OB OA OC 1λμ+=47(35)()a b a b a mb λμ+=+++，即可求m 值. 【详解】由，，三点共线，可令且，A B C λμ=+ OB OA OC 1λμ+=∴，47(35)()a b a b a mb λμ+=+++ 综上，，可得. 34571m λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩32121m λμ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故答案为：116. 如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面h 保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．h【答案】【解析】【分析】根据前后体积一致，列出计算式即可求解.【详解】, 221π3π3V h R h =⋅⋅=⋅⋅⋅水解得.227,R=R =故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.17. 已知复数，其中i 为虚数单位.()()22223i,z m m m m m =+-+--∈R （1）若复数z 为纯虚数，求m 的值；（2）若，求m 的值.3i 1612i z z z ⋅+=+【答案】（1）或1m =2m =-（2）2【解析】【分析】（1）根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.（2）设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.()i ,R z x y x y =+∈【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或. z 2220230m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩1m =2m =-【小问2详解】设，则，将其代入，()i ,R z x y x y =+∈22z z x y ⋅=+3i 1612i z z z ⋅+=+则，整理得:，()223i i 1612i x y x y =++++223i 1612i 3x y y x -++=+且，解得:，或，312x ∴=22316x y y +=-4x =0y =3y =或，222423=0m m m m ⎧+-=∴⎨--⎩2224233m m m m ⎧+-=⎨--=⎩解得:2m =18. 已知向量与的夹角，且． a b 2π3θ=3,2== a b （1）求a b + （2）在上的投影向量；b a （3）求向量与夹角的余弦值．a ab + 【答案】（1 （2）13a -（3 【解析】【分析】（1）先求出，可求得;222||2a b a b a b +=++⋅ ||a b + （2）根据投影向量的计算公式计算即可；（3）利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】， 13232a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以；22229467a b a b a b +=++⋅=+-= a b += 【小问2详解】在上的投影向量为∶； b a 2π11cos 2()3233a ab a a ⋅⋅=⨯-⨯=- 【小问3详解】 ，2()936a a b a ab ⋅+=+⋅=-= 则， ()cos ,||||a a b a a b a a b⋅++===⋅+ 即向量与． a ab + 19. 如图，已知点A ，B ，M ，N 在同一平面内，且，，，2AM =AB =4BN =30BAM∠=︒.120ABN ∠=︒（1）求MN 的长；（2）求△AMN 的面积.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）连接，根据余弦定理得到，确定，利用勾股定理计算得到答案. MB 2BM =90MBN ∠=︒（2）分别计算，，.6ABN S =△4BNM S =△ABM S =△【小问1详解】如图所示：连接， MB则，， 2222cos30412224BM AB AM AB AM =+-⋅︒=+-⨯⨯=2BM =则，则， 30ABM BAM ∠=∠=︒1203090MBN ∠=︒-︒=︒.MN ===【小问2详解】， 11sin1204622ABN S AB BN =⋅︒=⨯=△， 1124422BNM S BM BN =⋅=⨯⨯=△， 111sin 302222ABM S AB AM =⋅︒=⨯⨯=△故642AMN ABN ABM BMN S S S S =--=-=△△△△20. 如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东30°B 处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以小时的速度沿着正东方向直线追去，1//小时后，巡逻艇到达C 处，走私船到达D 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击/（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】（1.（2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒【解析】【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得ABC A BC =45ABC ︒∠=BCD △.CD （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由BCD △60BCD ︒∠=90BDC ︒∠=135CDE ︒∠=CDE A 正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.30∠= DCE 【小问1详解】由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D 处，巡逻艇在C 处，此时，313,1BD AC =⨯===由题意知903060BAC ︒︒︒∠=-=在中，ABC A AB AC ==由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠221122=+-+⋅=所以BC =在中， 由正弦定理得 ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠=所以（舍去） sin 45,ABC ABC ︒∠=∴∠=135 所在180604575ACB ︒︒︒︒∠=--=又180********CBD ︒︒︒︒︒∠=---=在中， BCD △30,3,CBD BD BC ︒∠===由余弦定理得2222cos30CD BC BD BC BD ︒=+-⋅⋅(22323cos330︒=+-⋅=⨯CD ∴=.【小问2详解】当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，t CE E则,3,3CE DE t CD ===在中，由正弦定理得： BCD △sin sin sin CD BD BC CBD BCD BDC==∠∠∠3sin BCD ==∠所以， sin 60BCD BCD ︒∠=∴∠=90,135BDC CDE ︒︒∠=∠=在中，由正弦定理得： CDE A sin sin CE DE CDE DCE=∠∠则，故 （舍） 1sin 2DCE ∠==30∠= DCE 150ACE ACB BCD DCE ∠=∠+∠+∠7560309075︒︒︒=+++ ＝故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.75︒21. 已知(1,0),(2,1)a b == （1）当k 为何值时，与共线？ ka b - 2a b +（2）若，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．23,AB a b BC a mb =+=+ 【答案】（1） 12k =-（2） 32m =【解析】【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果.（2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果.AB BC 【小问1详解】 因为(1,0),(2,1)a b == 所以，，(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=-- 2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+= 因为与共线， ka b - 2a b +所以，解得. 2152k --=12k =-【小问2详解】因为(1,0),(2,1)a b == 所以， 232(1,0)3(2,1)(8,3)AB a b =+=+=，(1,0)(2,1)(12,)BC a mb m m m =+=+=+ 因为A ，B ，C 三点共线， 所以与共线，即，解得. AB BC 1283m m +=32m =22. 如图，在中，D ，E 在BC 上，，，．ABC A 2BD =1DE EC ==BAD CAE ∠=∠（1）求的值； sin sin ACB ABC∠∠（2）求面积的取值范围． ABC A 【答案】（1）；sin sin ACB ABC ∠∠=（2）.(0,【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得，，进而可得21AB AD AC AE ⋅=⋅32AB AE AC AD ⋅=⋅AB AC=然后利用正弦定理即得；（2）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性AC x =质结合条件即得.【小问1详解】 因为，，， 2BD =1DE EC ==BAD CAE ∠=∠所以， 1sin 2211sin 2ABDAEC AB AD BAD S AB AD S AC AE AC AE EAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅A A ， 1sin 3212sin 2ABEADC AB AE BAE S AB AE S AC AD AC AD DAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅A A故，即223AB AC =AB AC =则在中，根据正弦定理可得，； ABC A sin sin ACB AB ABC AC∠∠==【小问2详解】 设，则，由解得，ACx==AB 4,4,xx ⎧>⎪-<1)1)x -<<+在中， ABC A 222cos 2AB BC AC ABC AB BC ∠+-==⋅则， 422223264sin 1cos 48x x ABC ABC x ∠∠-+-=-=， ()2224221619213264sin 244ABC x x x S AB BC ABC ∠--+-+-⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭A 由，得，1)1)x -<<+21616x -<<+则，2048ABC S <≤A 故面积的取值范围为． ABC A (0,。
普通高中高一下学期期中模块考试数学模拟试题Word版含答案
普通高中高一下学期期中模块考试数学模拟试卷一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设a , b ∈R , 若a －|b |＞0, 则下面不等式中正确的是（ ） A. b －a ＞0 B. a 3+b 3＜0 C. b +a ＜0 D. a 2－b 2＞02. tan 2012°∈（ ）A. (0,33) B. (33,1) C. (－1, －33) D. (－33, 0) 3. 在等差数列{a n }中, 若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100, 则3a 9－a 13的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 504. 若a =2, b =33, A =30°, 则此△ABC 解的情况是（ ） A. 一解 B. 两解 C. 至少一解 D. 无解5. 互不相等的正数a , b , c , d 成等比数列, 则（ ）A.bc ＞2d a + B. bc ＜2d a + C. 2da bc += D. 无法判断 6. 设f (x )=25cos 2x －21sin 2x +33sinx cosx , 则f (x )的最小正周期为 （ ）A. 2πB. 4πC. πD.2π7. 已知数列{a n }是首项为1的等比数列, S n 是{a n }的前n 项和, 且9s 3=s 6, 则数列{na 1}的前5项和为（ ）A.3285 B.1631 C.815 D.285 8. 已知非零向量a , b , c 满足a +b +c =0, 向量a 与b 夹角为120°, 且|b |=2|a |, 则向量a 与c 的夹角为（ ） A. 60°B. 150°C. 120°D. 90°9. 设a ·b ·c ＞0, 二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是（ ）A B C D10. 已知f (x )=x －1, g (x )=－x 2+(3m +1)x －2m (m +1), 满足下面两个条件: ①对任意实数x , 有f (x )＜0或g (x )＜0;②存在x ∈(－∞, －2), 满足f (x )·g (x )＜0. 则实数m 的取值范围为 （ ） A. (－∞, －1) B. (1, +∞) C. (－1, 1) D. (－2, 0)二、填空题：本大题共5小题, 每题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11. 平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0602y x y x x 的点(x , y )形成的区域D 的面积为 .12.若三个数5,5m +-m =13. 设a , b , c 是向量, 在下列命题中, 正确的是 .①a ·b =b ·c , 则a =c ; ②(a ·b )·c =a ·(b ·c ); ③|a ·b |=|a |·|b | ④|a +b |2=(a +b )2; ⑤若a ∥b , b ∥c , 则a ∥c ; ⑥若a ⊥b , b ⊥c , 则a ⊥c . 14. 已知y =asinx +b (a ＜0)的最大值是3, 最小值是－1, 则a = , b = .15. 已知数列{a n }中, a 1=1, 且na n +1=(n +2)a n , (n ∈N *), 则a 2= , a n = .三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （12分）解下列不等式:(1) 3x 2+5x －2≤0(2)323--x x ≥1 (3) x 3－3x +2＞017.（12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a , b , c , 设向量m =(a , b ), n =(sinB , sinA ),p =(b －2, a －2).(1) 若m ∥n , 判断△ABC 的形状, 并说明理由; (2) 若m ⊥p , 边长c =2, ∠C =3π, 求△ABC 的面积.18.（12分）如图四边形ABCD中，2,4,AB BC CD === 且60,150B C ∠=︒∠=︒，求边AD 的长.19. （12分）已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-.⑴求()f x 的最小正周期； ⑵当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合.20.（13分）若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和, 则S 1, S 2, S 4成等比数列.(1) 求数列S 1, S 2, S 4的公比;(2) 若S 2＝4, 求{a n }的通项公式;(3) 在(2)条件下, 若b n =a n －14, 求{|b n |}的前n 项和T n .21. （14分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成。
广东省广州市第六中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先(shǒuxiān)确定关键点P，A，C在各个面上(miàn shànɡ)的投影，再把它们连接起来，即得到在各个面上的投影．
【详解】从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；
从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
对于(duìyú)C，y= ≥2，当且仅当x2+2＝1取等号，此时(cǐ shí)x无解，等号不能取到，故取不到2；
对于D, ,当x>0时， ，当x=1时取到2，当x<0时， ，当x=-1时取到-2，故不成立；
故选：A．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
6.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 ,假若点 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线 的中点 处的食物，那么它爬行的最短路程是（）
【详解】∵ ，
∴a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ＝﹣3，
a5＝ ＝2，…即an+4＝an，∴数列{an}是以4为周期的数列，
A. 6B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将圆锥侧面展开，根据平面上两点之间线段最短，可求得答案.
【详解】圆锥的底面半径为 ,故底面周长为4πcm,圆锥的主视图是等边三角形,可知圆锥的母线长为4，设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 ，解得 ，故 ,蚂蚁沿表面爬行到 处的最短路程为 ,
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用正弦定理求解。
详解： ，由正弦定理可知 解得 。
点睛：三角形中两个角、一边利用正弦定理求解。
(高一下数学期中14份合集)广东省广州市高一第二学期半期考精选试卷含答案
高一下学期(第二学期)数学期中考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知{}{}2|250,|430A x x B x x x =->=-+≤，则A B =I A. 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦2.()sin300cos390tan 135++-=o o o1-13. 已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，那么574a a -=A. 20B. 30C. 40D.50 4.已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE,则BE EA ⋅=u u u r u u u rA. 2-B. 1-C. 1D. 25.已知函数()ln 26f x x x =+-的零点位于区间()1,,m m m Z -∈上，则1327log m m +=A.1B. 2C. 3D. 46.给定的三个条件：60,4,2A b a ===o ，则这样的三角形解的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D.无数个7.下列有关于()()21ln 11f x x x=+--的性质的描述，正确的是 A. 奇函数，在R 上单调递增B. 奇函数，在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减C. 偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增D. 偶函数，在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减8.已知数列{}n a 满足地推关系：111,12n n n a a a a +==+，则2017a = A. 12016 B.12017 C.12018 D.120199.已知函数()xf x y e =是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则下列说法正确的是 A. ()()12ef f < B. ()()312e f f -< C. ()()211e f f -< D.()()21ef f -<- 10.()()()sin 0f x x ωϕω=+<向右平移12π个单位长度后图象与()cos2g x x =的图象重合，则ϕ= A. 512π B. 3π C. ()5212k k Z ππ+∈ D. ()23k k Z ππ+∈11.,,a b c 是非直角三角系ABC 中角A,B,C 的对边，且222sin sin sin sin sin sin 2A B C ab A B C +-=，则ABC ∆的面积为 A. 12B. 1C. 2D. 4 12.已知函数()f x 是奇函数，且对任意x R ∈满足()()2f x f x -=，当01x <≤时，()ln 2f x x =+，则函数()y f x =在(]2,4-上的零点的个数是A. 7B. 8C. 9D. 10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知任意幂函数经过定点(),A m n ，则函数()()log a f x x m n =-+经过定点 .14. 已知12,e e u r u u r 为单位向量且夹角为3π，设122,a e e b e =+=r u r u u r r u u r ，则a r 在b r 方向上的投影为 .15.函数()21,21,2ax x x f x x x ⎧+->=⎨-+≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为 .16.计算cos 24cos144cos 264++=o o o 为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知集合(){}4|,,|lg 12.2ex A y y x R B x y x ⎧⎫-⎪⎪==∈==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭（1）求出集合,A B ；（2）求()U C B A I .18.（本题满分12分）化简计算：（1）已知tan 2θ=，求值：()22sin cos cos 221sin ππθθπθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+； （2）))()2ln ln lg 21lg 2lg52sin30.x x ++++⋅-o19.（本题满分12分）公元前三世纪，被誉为“几何之父”的著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出“余弦定理”，古往今来有许多的证明方法.请在ABC ∆中，请写出余弦定理的其中一个公式，并且利用向量知识加以证明.20.（本题满分12分）已知2131sin ,cos ,cos ,22m x n x x x R ⎛⎛⎫==-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r ，且函数().f x m n =⋅u r r ()y f x =的图象的一个对称中心到它的对称轴的最近距离为4π （1）求()f x 的对称轴方程；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()40,sin ,35f A B a ===，求b 的值.21.（本题满分12分）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”，规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，若,AB a DAB θ=∠=，种草的面积为1S ，种花的面积为2S ，比值12S S 称为“规划和谐度”.（1）试用,a θ表示12,S S ；（2）若a 为定值，BC 足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值为多少？22.（本题满分12分）已知函数()()sin 3f x x x π=≥-，将()f x 的零点由小到大排列，得到一个数列{}().n a n N *∈（1）直接写出{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S ；（3）设4n n a b π=+，证明：11212312320171111 2.b b b b b b b b b b ++++<L L .高一下学期(第二学期)数学期中考试试题一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分。
2022-2023学年广东省广州市高一下册期中联考数学模拟试题(含解析)
为长度的线段可以构成三角
形时，均有以 g(a) ， g(b) ， g(c) 为长度的线段也能构成三角形，求实数 n 的最大值.
答案解析
1．C
【分析】化简复数方程，根据复数相等的结论列方程求 a,b ，由此可求 a b .
【详解】由 a i 3 2bi 可得 a i 1 i3 2bi 3 2b 2b 3i ，
故 π 是 f x 的最小正周期是 2 的充分不必要条件，
故选：A. 3．A 【分析】求出底面的周长后可求曲侧面三棱柱的侧面积. 【详解】曲侧面三棱柱的底面的周长为 3 10 10 ，
3 曲侧面三棱柱的侧面积为10 10 100 ， 故选：A. 4．B 【分析】对于 A 项，可能直线 m ；对于 B 项用线面平行的性质定理可得；对于 C 项 m 不
1 i
3 2b a
a 7
则
2b
3
1
，所以
b
2
，故
a
b
5
．
故选：C.
2．A
【分析】结合充分与必要条件的定义和正弦型函数的周期公式即可求解
【详解】由
f
x
sin x
π 12
的最小正周期为
2
可得 T
2π
2 ，即
π
，
所以由“ π ”可推出“ f x 的最小正周期为 2”
由“ f x 的最小正周期为 2”不一定能推出“ π ”
选择的方案的序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．②③④
6．设平面向量
a
(1,
0),
b
(1,
3) ，若
a,c
b,c
，则平面向量 c 可能是（
广东省广州市天河中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
广东省广州市天河中学2022-2023学年高一下学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．a =0.012
B ．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52
C ．这100名学生成绩的中位数为65
D ．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表） 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱1BB ，11B C ，1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
AC ⊥平面1D MN B ．点P 与点D 到平面1D MN 的距离相等
C ．平面1
D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为等腰梯形
D ．平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分割成的上、下两部分的体积之比为7:17
三、填空题
四、解答题
4,6的学生中按比例分配抽
(1)从一周课外阅读时间为[)
取6人，则男生，女生各抽出多少人?
π。
广东省广州市玉岩中学2023~2024学年高一下学期期中考试数学试卷
广东省广州市玉岩中学2023~2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(2,3)a =-r ，(,2)b λ=r ，若//a b r r ，则λ=（ ）A ．43-B ．1-C ．43D ．32．设复数z 满足2i z z -=-，z =z 所对应的点位于第四象限，则z =（ ） A ．12i - B ．1i - C ．1i -- D ．2i -3．如图，在ABC V 中，4,AB DB P =u u u r u u u r 为CD 的中点，则BP =u u u r （ ）A ．1142AB AC -+u u u r u u u r B ．1143AB AC -+u u u r u u u r C ．5182AB AC -+u u u r u u u r D ．5183AB AC -+u u u r u u u r4．已知非零向量a r ，b r 满足2a b =r r ，向量a r 在向量b r ，则a r 与b r 夹角的余弦值为（ ）A B C 2 D ．235．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan()4πθ-的值为 A ．7- B ．17- C ．7 D ．7-或17- 6．在ABC V 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．4a =，5b =，6c =B ．a =2b =，45A =oC ．10a =，45A =o ，70B =oD ．3a =，2b =，60A =o7．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为则该物件的高为（ ）A B ．1 C D ．38．如图所示，在ABC V 中，O 为BC 中点，过O 点的直线分别交,AB AC 于不同的两点,E F ，设AB AE λ=u u u r u u u r ，AC AF μ=u u u r u u u r ，则λμ+的值为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．不确定二、多选题9．已知()(),1,2,a t b t ==r r ，则下列说法正确的是（ ）A ．||a r 的最小值为1B ．若a b ⊥r r ，则0=tC ．若1t =，与a r 垂直的单位向量只能为⎝⎭D ．若向量a r 与向量b r 的夹角为钝角，则t 的取值范围为(),0∞-10．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，AB BC =1cos 3ABC ∠=，P 是线段1A B 上的一动点，则1AP PC +取值可能为（ ）A B C ．1D ．211．函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．()f x 的图象关于直线5π8x =对称 C ．()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦三、填空题12．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm ．13．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q += .14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-，则sin 2A = ；若2a =，则ABC V 面积的最大值为 ．四、解答题15．已知单位向量21,e e u r u u r 的夹角为1221π,2,233a e eb e e =+=-u r u u r u u r u r r r . (1)求a b ⋅r r ；(2)求a r ；(3)求a r 与b r 的夹角.16．已知向量)(),cos ,cos ,cos a x x b x x ==r r ，函数()12f x a b =⋅-r r . (1)求()f x 的单调递增区间；(2)若3π,,0252f αα⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin α. 17．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，G 、M 分别是棱1C C 、BC 的中点．(1)求四边形1AMGD 的周长；(2)求多面体1CMG DAD -的体积．18．在①sin sin 2A B b c B +=，②cos cos cos c a b C A B +=+，)cos sin c A b a C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________.(1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =u u u u r 为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r 的伴随函数.(1)设函数()2ππsin cos 32g x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM u u u u r ；(2)记向量(ON =u u u r 的伴随函数为()f x ，求当()65f x =且ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值； (3)已知将（2）中的函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再把整个图象向右平移π3个单位长度得到()h x 的图象，若存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()2412h x a h x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，求a 的取值范围.。
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下学期高一数学期中模拟试题10一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的）.1.已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x |x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2}2.某厂共有64名员工，准备选择4人参加技术评估，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知6号，22号，54号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是（）A．36 B．38 C．46 D．503.直线l经过(2,3)(2,1)M N-,则直线l的倾斜角为（）A.0B. 30C. 60D. 904. 在如下图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A. 23与26B. 31与30C. 31与26D.26与305. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A.12πB. 10πC. 113π D.133π12 42035 6301 141 2（第4题）图（第5题）图6. 如下图是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图，已知方程的解所在区间用[,]a b 表示，则判断框内应该填的条件是（ ） A ．()()0f a f m <？ B ．()()0f a f m >？ C ．()()0f a f b <？D ．()()0f a f b >？7. 执行下面的程序框图，如果输入30,72==n m ，则输出的n 是（ ）A. 12B. 6C. 3D. 08. 下列命题中不正确的．．．．是（其中,l m 表示直线，,,αβγ表示平面）( )A.,,l m l m αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥B.,,l m l m αβαβ⊥⊂⊂⇒⊥C.,//αγβγαβ⊥⇒⊥D. //,,l m l m αβαβ⊥⊂⇒⊥9.若圆224x y +=与圆2220x y ay ++-=的公共弦的长度为23，则常数a 的值为（ ）A. 2B. 2C. -2D. 4 10.过点P(1，2)可以向圆222420x y x y k ++-+-=引两条切线，则k 的范围是 A.7k < B. 07k << C. 37k << D. 3k >11. 若直线x a ＋y b＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( )．A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1 C. 1a 2＋1b 2≤1 D. 1a 2＋1b2≥112．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l平行，则l 1与l 间的距离是( )．A. 25B. 85C. 125D. 285二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置） 13.函数0.5=(4-3)y log x 的定义域是 .14.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知抽取高一年级学生75人，抽取高二年级学生60人，则高中部共有学生的人数为 .15. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如右．根据图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是 .16.曲线2232y x x =++-与直线(1)5y k x =-+有两个不同交点时，实数k 的取值范（第15题）图围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.(本小题满分10分)设直线l 的方程为(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y-2m +6=0, 根据下列条件求m 的值 . （Ⅰ）直线l 的斜率等于1； （Ⅱ）直线l 经过定点P (-1,-1).18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝222,>00,0,,<0x x x x x mx x ⎧-+⎪=⎨⎪+⎩是奇函数. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分) 已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为 （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求过点(3,6)并与圆C 相切的切线方程.20. (本小题满分12分)如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D 是线段AB 上的动点。
（Ⅰ）求AB 所在直线的一般式方程；（Ⅱ）当D 在线段AB 上运动时，求线段CD 的中点M 的轨迹方程．21. (本小题满分12分)如图ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA //平面BDE ； （Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若2PO AB ==,求BE 与底面ABCD 所成角的正切值.22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上、半径为2的圆C 位于y轴右侧，且与直线20x +=相切.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．参考答案13.3(,1]414. 3700 15. 40 16. 353[,(,]22- 17.（本题满分10分）解：（1）由于直线l 存在斜率，所以2m 2+m -1≠0解得1m ≠-且12m ≠…………………………2分 当斜率为1时，根据直线方程得到2223121m m m m ---=+-………………3分 解得1m =-或43m =…………………… …4分 所以综上当直线l 的斜率为1的时候43m =……………… 5分（2）由于直线l 经过定点P(-1,-1)，则P 点满足直线方程，带入直线方程 化简得23100m m --+=……………………………………7分 解得2m =-或35m =所以当直线过定点P 时，m 的值为2m =-或35m =………………10分 18.（本题满分12分）（理科）解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .………………3分 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，…………………5分 所以m ＝2.……………………………………6分 （如果用特殊值法，如f （-1）=-f （1）也可以给分） （2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知f(x)的单调增区间是[-1,1]…………8分题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDCAAB B ACDC2>1,21,a a --⎧⎨-⎩≤………………………………………10分 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].…………………12分19.（本题满分12分）（1）有题意可知圆心C 的坐标为(a,2)半径为2…………………1分 因为圆心距、半径及半弦长构成直角三角形所以d ==3分则有圆心(a,2)到直线:30l x y -+==1a =或3a =-…………………5分因为0a >所以a 的值为1.……………………… 6分（2）由（1）可知圆心坐标为(1,2)半径为2.当切线方程斜率不存在时，显然由图可知3x =满足题意………………………………………………8分 当切线斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则该切线方程可以设为6(3)y k x -=-………9分 因为圆心到该直线的距离等于半径2=解的34k =………………………11分 综上，该圆的切线方程为3x =或34150x y -+=…………12分20.（本题满分12分）AB 30//==3 2103()3 4(2) M 6B 43 7ABC -∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∴⋅⋅⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅OC (1)AB OC AB 所在直线的斜率k k 分AB 所在直线的方程是y-0=x-3即x-y-9=0分方法一：设线段CA、CB的中点分别是点E、F，由题意可知，点的轨迹是的中位线EF.分 由平行四边形的性质得点的坐标是(，），分 由中点E 28 F 9 3(),10⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1+33+03坐标公式可得点的坐标是(,),即(,)，分2221+43+35同理点的坐标是(,),即(,3), 分2223线段EF的方程是y-x-2 分221（本题满分12分）(1) 连接AC、OE，AC BD=O，在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA // EO，………………………………………………2分（3）又∵EO ⊂平面EBD ，PA ⊄平面EBD，∴PA //BDE．………………………………………………4分（6）（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．…………………… 5分（8）又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC．………………………………………6分（9）又BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．………………………………8分（12）（3）取OC的中点F，连接EF在△POC中，E、F分别是PC、OC∴EF//PO,∴EF⊥底面ABCD……9分则BF是EB在底面ABCD上的射影∴∠EBF为EB与底面所成的角………………………………10分由已知，AB=2∴EF=12PO=BO OF==2=∴tan 5EF EBF BF ∠==………………………………………12分(或者根据△PBC 是正三角形求得EB =)22.（本小题12分） 解:（1）设圆心是()0,0x ，它到直线20x +=的距离是2d ==………………………………2分解得02x =或06x =-又∵圆位于y 轴的右侧，∴00x >………………………………………………3分∴所求圆C 的方程是()2224x y -+=……………………………………………4分（2）点(,)M m n 在圆C 上∴()2224m n -+=，()2224240n m m m =--=->且04m ≤≤………………………………………5分又直线与圆相交∴原点到直线:1l mx ny +=的距离小于半径11h ==<解得14m >………………………………………………6分而AB == ……………………………………………………7分∴12OABS AB h ∆=⋅==9分 111164m ≤< ∴当1142m =，即12m =时取得最大值12， ……………………………………10分此时点M 的坐标是1(2与1(,2，面积的最大值是12.………………12分。