第2章-矢量分析-习题

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第2章矢量分析

工程电磁场基础第2 章矢量分析主讲人：陈德智dzhchen@华中科技大学电气与电子工程学院2011年2月第2章矢量分析1 关于矢量的一些约定2 矢量代数3 坐标系4 标量场的梯度5 矢量面积分，通量与散度6 矢量线积分，环量与旋度7 亥姆霍兹定理⑤矢量的坐标分量表示：⑥法向单位矢量与切向单位矢量：e n ，e t法向分量：A n 切向分量：A t关于矢量的基本约定④坐标单位矢量：直角坐标系(x , y , z ) ：e x ,e y ,e z ；x x y y z zA A A =++A e e e2．矢量代数（1）点乘（标积）：θcos :AB u =⋅=B A •A ∥B 时取最大值。

0=⋅B A •A ⊥B ⇔，矢量A 与B 正交。

B B A =⋅A e n n A =⋅A e •矢量的投影（分量）：。

法向分量。

zz y y x x B A B A B A ++=⋅B A •直角坐标系中的计算公式：，×如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向•圆柱坐标系d d d d d d d z S z z ρφρφρρρφ=++e e e z ,,φρ坐标变量,,zρφe e e 坐标单位矢量z zρρ=+r e e 位置矢量d d d d z zρφρρφ=++l e e e 线元矢量zV d d d d φρρ=体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标系•在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的坐标系。

•原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。

但是根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述球对称问题等。

•直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。

4．标量场的梯度（1）标量场的图形表示——等值面（线）地形图与等高线()const f=r标量场的图示——绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最常用的分析方法之一，也是最基本的技能。

电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵

第一章矢量分析第一章题解1-1 已知三个矢量分别为z y e e e A x 32-+=；z y e e e B x 23++=；z e e C x -=2。

试求①|| |,| |,|C B A ；②单位矢量c b a e e e , ,；③B A ⋅；④B A ⨯；⑤C B A ⨯⨯)(及B C A ⨯⨯)(；⑥B C A ⋅⨯)(及C B A ⋅⨯)(。

解 ① ()14321222222=-++=++=z y x A A A A14213222222=++=++=z y x B B B B ()5102222222=-++=++=z y x C C C C② ()z y e e e A A A e x a 3214114-+===()z y e e e B B B e x b 2314114++===()z e e C C C e x c -===2515 ③ 1623-=-+=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A④ z y zyz yx z y xz y B B B A A A e e e e e e e e e B A x x x5117213321--=-==⨯ ⑤ ()z y z y e e e e e e C B A x x22311125117+-=---=⨯⨯因z y zyz y x z y xC C C A A A e e e e e e e e e C A x x x x x452102321---=--==⨯则()z y z y e e e e e e B C A x x 1386213452+--=---=⨯⨯⑥ ()()()152131532=⨯+⨯-+⨯-=⋅⨯B C A()()()1915027=-⨯-++⨯=⋅⨯C B A 。

1-2 已知0=z 平面内的位置矢量A 与X 轴的夹角为，位置矢量B 与X 轴的夹角为，试证βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明由于两矢量位于0=z 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为ααsin cos A A y e e A x += ββsin cos B B y e e B x +=已知()βα-=⋅cos B A B A ，求得()BA B A B A βαβαβαsin sin cos cos cos +=-即βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1-3 已知空间三角形的顶点坐标为)2 ,1 ,0(1-P ，)3 ,1 ,4(2-P 及)5 ,2 ,6(3P 。

电磁场与电磁波复习题(简答题)

电磁场与电磁波复习题第一部分矢量分析1、请解释电场与静电场的概念。

静止电荷产生的场表现为对于带电体有力的作用，这种场称为电场。

不随时间变化的电场称为静电场。

2、请解释磁场与恒定磁场的概念。

运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导体有力的作用，这种物质称为磁场。

不随时间变化的磁场称为恒定磁场。

3、请解释时变电磁场与电磁波的概念。

如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场及磁场也是随时变化的，时变的电场与时变的磁场可以相互转化，两者不可分割，它们构成统一的时变电磁场。

时变电场与时变磁场之间的相互转化作用，在空间形成了电磁波。

4、请解释自由空间的概念。

电磁场与电磁波既然是一种物质，它的存在和传播无需依赖于任何媒质。

在没有物质存在的真空环境中，电磁场与电磁波的存在和传播会感到更加“自由”。

因此对于电磁场与电磁波来说，真空环境通常被称为“自由空间”。

5、举例说明电磁场与波的应用。

静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电场对于带电粒子具有力的作用。

电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。

当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为媒介传输信息的。

6、请解释常矢与变矢的概念。

若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。

而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。

7、什么叫矢性函数？设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间G［a,b］内的每一个数值t,A 都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。

8、请解释静态场和动态场的概念。

如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。

换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。

电磁场理论复习考试题（含答案）

电磁场理论复习考试题（含答案）第1~2章矢量分析宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则M （1，1，1）处 A = ，=??A 0 。

2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。

3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度及散度。

4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E 、B 、H 、J 所满足的方程（结构方程）：。

5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为和。

6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。

（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。

（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。

（d ）E 、B 皆与A 平行。

答案：B7. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H ==答案：C8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E eE y -=，其中0E 、ω、β为常数。

则222x y z e e e ++AA ??EJ H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S-=?? tJ ?ρ-=??空间位移电流密度d J（A/m 2）为：（a ）)cos(?0βz ωt E ey - （b ）)cos(?0βz ωt ωE e y -（c ）)cos(?00βz ωt E ωey -ε （d ）)cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：C 9. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ?0dxeE x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。

第二章矢量分析

则有:
g
式中
ex ey e z grad x y z
( , , ) x y z
梯度(gradient)
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度
体积元
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 长度元：dl = exdx + eydy + ezdz • 面积元：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 体积元：dV = dxdydz
单位矢量
e
e
ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。
因此，其面积分后，环量为
l A dli ( A) dSi
i
l A dl ( A ) dS
S
Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场
中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
divA lim
v 0
1 v
A dS
S

矢量分析习题解答

∇i F =
1 ∂ 1 ∂Fφ ∂Fz + ( ρ Fρ ) + ρ ∂ρ ρ ∂ρ ∂z = 2 + 0 +1 =3
1 0 0
∫
V
(∇i F )dV = ∫
∫ ∫ 3d ρρ dφ dz
0
π
1
3 = π 2 =
∫
s
F idS
z
π
0
∫
1
0 1
zd ρρ dφ
z =1
+∫
π
0
∫ − zd ρρ dφ z = 0
01Leabharlann +∫ +∫
π
0
∫
0
ρdz ρ dφ
ρ =1
+∫
1 1
0 0
∫ d ρ dz φ = π
1 1
0 0
∫ −d ρ dz φ = 0
1 = π + 0+π 2 3 = π 2
(2)由于是封闭面，而且函数可微，故可用散度定理，将封闭面积分转换为体积分
0
1
z
π
0
∫ ( ρ eρ + eφ + ze )idz ρ dφ eρ
0
1
z
（半圆柱面） ρ =1
1 1
0 0
∫ ( ρ eρ + eφ + ze )id ρ dzeφ φ = π（x小于0平面）
z
+∫ =∫
1 1
0 0
（x大于0平面） ∫ ( ρ eρ + eφ + ze )id ρ dz (−eφ ) φ = 0
4、求矢量场 F = ρeρ + eφ + zez 穿过ρ≤1，0≤ φ ≤π，0 ≤z ≤1 所确定区域的封闭面的通量。

大学物理第二章习题解答和分析1

习题二2-1．两质量分别为m 和M (M m)≠的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体m 上，使两物体一起向右运动，如题图2－1所示，求两物体间的相互作用力若水平力F 作用在M 上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：以m 、M 整体为研究对象，有：()F m M a =+…① 以m 为研究对象，如图2-1（a ），有Mm F F ma +=…② 由①、②，有相互作用力大小Mm MFF m M=+]若F 作用在M 上，以m 为研究对象，如图2-1（b ）有Mm F ma =…………③ 由①、③，有相互作用力大小Mm mFF m M=+，发生变化。

2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M 1和M 2 ，在M 2上再放一质量为m 的小物体，如图所示，若M 1=M 2=4m ，求m 和M 2之间的相互作用力，若M 1=5m ，M 2=3m ，则m 与M 2之间的作用力是否发生变化/分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：取向上为正，如图2-2，分别以M 1、M 2和m 为研究对象，有： 111T M g M a -=222() ()M m g T M m a -++=-+2 M mmg ma F-=-又：T 1=T 2，则： 2M mF=1122M mgM M m++当M 1=M 2= 4m ， 289M m mg F =当M 1=5m, M 2=3m,2109M m mgF =，发生变化。

》m（a ）MmF Fm（b ）MmF2-3.质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。

若气球仍能匀加速向上，求气球的加速度减少了多少分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

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当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通
量源与负通量源的代数和为 0，或闭合面内无通量源。
1.8 什么是散度定理？它的意义是什么？答：矢量分析中的一个重要定理：
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称为散度（高斯）定理。意义：矢量场 F 的散度▽·F 在体积 V 上的体积分等于矢量场 F 在限定该体积的闭合面 S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或 0 分别表示什么意义？答：矢量场 F 穿出闭合曲面 S 的通量为：
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有汇集矢量线的源，称为负通量源。
1.5 在圆柱坐标系中，矢量为什么？
其中 a、b、c 为常数，则 A 是常矢量吗？
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答：A 是常矢量。
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1.6 在球坐标系中，矢量什么？
答：A 是常矢量。
其中 a 为常数，则 A 能是常矢量吗？为
∴A 为常矢量。
12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
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（2） A－B＝ex
ey 6 ez 4 ,

A－B
12 62 42
53

《新编基础物理学》第二章习题解答和分析

习题二2-1．两质量分别为m 和M (M m)≠的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F 作用在物体m 上，使两物体一起向右运动，如题图2－1所示，求两物体间的相互作用力? 若水平力F 作用在M 上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：以m 、M 整体为研究对象，有：()F m M a =+…①以m 为研究对象，如图2-1（a ），有M m F F ma +=…② 由①、②，有相互作用力大小M m M F F m M =+若F 作用在M 上，以m 为研究对象，如图2-1（b ）有M m F m a =…………③ 由①、③，有相互作用力大小M m m F F m M=+，发生变化。

2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M 1和M 2 ，在M 2上再放一质量为m 的小物体，如图所示，若M 1=M 2=4m ，求m 和M 2之间的相互作用力，若M 1=5m ，M 2=3m ，则m 与M 2之间的作用力是否发生变化？分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

解：取向上为正，如图2-2，分别以M 1、M 2和m 为研究对象，有： 111T M g M a -=222() ()M m g T M m a -++=-+2 M mmg ma F-=-又：T 1=T 2，则： 2M mF =1122M m g M M m++当M 1=M 2= 4m ， 289M mm g F =当M 1=5m, M 2=3m, 2109M mm g F=，发生变化。

m（a ）MFm（b ）M F2-3.质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。

若气球仍能匀加速向上，求气球的加速度减少了多少？分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。

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2023年电磁场与电磁波第2版（陈抗生著）课后
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本书以“麦克斯韦”作为主线，从一般到具体(由静到动、由无界到有界、由无源到有源)，系统地阐述了电磁场与电磁波的基本理论和分析方法，重点突出电磁场的传输特性。

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本书可作为高等院校通信与电子信息类及相关专业本科生的教材，也可供从事电磁场理论、微波技术、天线领域的工程技术人员学习和参考。

电磁场与电磁波第2版（陈抗生著）：内容简介
第0章绪论
第1章矢量分析与场论
第2章基本电磁场
第3章静态场
第4章时变场的基本问题
第5章均匀平面电磁波的传播
第6章平面电磁波的反射与折射
第7章导行电磁波
第8章电磁波的辐射
部分习题参考答案
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大学_矢量分析与场论第三版(谢树艺著)课后习题答案下载

矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案下载本书各章包括：矢量分析，场论，哈密顿算子V，梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式。

此外，考虑到某些学科领域的需要，作为本书的附录，增讲了若干正交曲线坐标系。

《矢量分析与场论(第3版)》可作为一般工科院校本课程的教材使用。

矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：图书信息第一章矢量分析第一节矢性函数1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性第二节矢性函数的导数与微分1.矢性函数的导数2.导矢的几何意义3.矢性函数的微分4.矢性函数的导数公式5.导矢的物理意义6.拉格朗日中值定理第三节矢性函数的积分1.矢性函数的不定积分2.矢性函数的定积分习题1第二章场论第一节场1.场的概念2.数量场的等值面3.矢量场的矢量线4.平行平面场习题2第二节数量场的方向导数和梯度1.方向导数2.梯度习题3第三节矢量场的通量及散度1.通量2.散度3.平面矢量场的通量与散度习题4第四节矢量场的环量及旋度1.环量2.旋度习题5第五节几种重要的.矢量场1.有势场2.管形场3.调和场习题6第三章哈密顿算子▽习题7第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式第一节曲线坐标的概念第二节正交曲线坐标系中的弧微分1.坐标曲线的弧微分2.一般曲线的弧微分3.在正交曲线坐标系中矢量e1，e2，e3与矢量i，j，k之间的关系第三节在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式1.梯度的表示式2.散度的表示式3.调和量的表示式4.旋度的表示式5.梯度、散度、旋度与调和量在柱面坐标系和球面坐标系中的表示式6.正交曲线坐标系中矢量场A的广义雅可比矩阵第四节正交曲线坐标系中的势函数和矢势量1.势函数2.全微分求积3.保守场中的曲线积分4.矢势量习题8附录若干正交曲线坐标系1.椭圆柱面坐标系2.抛物柱面坐标系3.双极坐标系4.长球面坐标系5.扁球面坐标系6.旋转抛物面坐标系7.圆环面坐标系8.双球面坐标系9.椭球面坐标系10.锥面坐标系11.抛物面坐标系习题9部分习题参考答案矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：内容简介出版社: 高等教育出版社; 第4版 (5月1日)平装: 170页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7040348489, 9787040348484条形码: 9787040348484商品尺寸: 19.6 x 13.6 x 0.8 cm商品重量: 159 g品牌: 高等教育出版社ASIN: B0084XU730矢量分析与场论第三版（谢树艺著）：目录点击此处下载矢量分析与场论第三版（谢树艺著）课后习题答案。

矢量分析作业第二章

1. 求数量场 u = x2 z3 + 2 y2 z 在点 M (2, 0, −1) 处沿 l = 2xi − xy2 j + 3z4k 方向的方向导
数。
解：在点 M (2, 0, −1) 处，方向 l 的模长为 l = (2 ⋅ 2)2 + (3)2 = 5 ，其方向余弦为
≠ 0)
由于
z
≤ 1，即 z2 ≤ x2 + y2 (2 + y2 ≠ 0) ，因此，原数量场为公共顶点在原点、且关
x2 + y2
于 xOy 平面对称的两个圆锥面及其内部（不含原点），而等值面方程表示一族顶点在原点的
圆锥面（不含原点）。
2. 求数量场 u = x2 + y2 经过点 M (1,1, 2) 的等值面方程。 z
⎪⎩ 6z − 6 = 0 解之得： x = −2, y = 1, z = 1，即在点 M (−2,1,1) 处，梯度为 0.
7. 通过梯度求曲面 x2 y + 2xz = 4 上一点 M (1, −2, 3) 处的法线方程。
解：曲面 x2 y + 2xz = 4 上一点 M (1, −2, 3) 处的法矢就是曲面在该点的梯度
，其中
C1
，
C2
为任意常数。
5. 求矢量场 A = x2i + y2 j + (x + y)zk 通过点 M (2,1,1) 的矢量线方程
解：矢量线应满足方程 dx = dy = dz ，即有 x2 y2 (x + y)z
方程 dx = dy ，解得 x2 y2
1 x
+
1 y
=
C1

矢量分析

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如电压U 、电荷量Q 、电流I 、面积S 等。

矢量：具有大小和方向特征的量。

如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。

例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。

例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

标量场矢量场矢量描述矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。

场的"场图"表示研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。

对标量场，用等值面图表示。

空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。

显然，等值面的方程式为＝常数值对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。

力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即, 称为力线的微分方程式。

式中为力线切向的一段矢量。

在直角坐标内，力线的微分方程式可写成按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。

P点处的矢量力线图矢量代数平行四边形法则求和差作图法遵循平行四边形法则分量法.求点积（标量积、内积）公式：特点：应用：电通量的计算求矢积（矢量积、外积）公式：特点：应用：磁感应强度的计算|首页|目录|向前|向后|资源|搜索|帮助|矢量分析> 矢量的环流、旋度矢量的环流、矢量的环流定义：矢量沿某一有向闭合曲线的线积分为沿的环流，即。

物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。

矢量分析课件习题练习

v v v v A = er sin θ cos ϕ + eθ cos θ cos ϕ − eϕ sin ϕ
v er v 1 ∂ ∇× A = 2 r sin θ ∂r Ar v er 1 ∂ = 2 r sin θ ∂r sin θ cos ϕ
v reθ ∂ ∂θ rAθ
v r sin θeϕ ∂ ∂ϕ r sin θAϕ v v reθ r sin θeϕ ∂ ∂ =0 ∂θ ∂ϕ r cos θ cos ϕ − r sin θ sin ϕ
有: x = 4 cos( 2π / 3) = −2, y = 4 sin( 2π / 3) = 2 3 , z = 3 故该点的直角坐标为 (−2,2 3 ,3) (2)由圆柱坐标系中的点与球面坐标系中的点的关系
r= ρ +z
2
2
ρ θ = tan −1 ( )
zϕ =ϕ有: r来自=4 2 + 32 = 5, θ = tan −1 ( 4 / 3) = 53.1o , ϕ = 2π / 3 = 120 o
习题练习
故该点的球坐标为 (5,53.1o ,120 o )
补
M( ρ , ϕ , z)
z
M( r , θ , ϕ )
z
ρ
M
v ez
v eϕ v eρ
y
ρ
v er
θ
M v r e θ
v eϕ
ϕ
y
o
x
ϕ
x
r = ρ 2 + z2
ρ θ = tan −1 ( )
z
ϕ =ϕ
tan θ =
ρ
习题练习 z
v v v 例2 现有三个矢量 A、B、C 为 v v v v A = er sin θ cos ϕ + eθ cos θ cos ϕ − eϕ sin ϕ v v 2 v 2 v B = eρ z sin ϕ + eϕ z cos ϕ + ez 2 ρz sin ϕ v v 2 v 2 v C = i (3 y − 2 x) + j x + k 2 z 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示? (1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由

电磁场基础钟顺时习题答案

第1章矢量分析1.1 / 1.1-1 矢径z z y y x xr ˆˆˆ++=与各坐标轴正向的夹角分别为α,β,γ。

请用坐标(x,y,z )来表示α,β,γ ,并证明1cos cos cos 222=++γβα[解] γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆˆˆ222z y xzy x z z y y x xr r r++=++++== 222222222c o s ,c o s ,c o s zy x z zy x y zy x x ++=++=++=∴γβα1cos cos cos 222=++γβα, 得证.1.2 / 1.1-2设xy 平面上二矢径a r 、b r 与x 轴的夹角分别为α、β，请利用b a r r ⋅证明βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (+=-。

[解] 设 ααs i n ˆc o s ˆa a a r y r xr += ββsin ˆcos ˆb b b r y r xr += 则 βαβαs i n s i n c o s c o s b a b a b a r r r r r r +=⋅ 因 a r 、b r 夹角为βα-,如图所示,有 )cos(βα-=⋅b a b a r r r r比较上二式得 βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (+=-, 得证.1.3 / 1.1-3 z y xA ˆ9ˆˆ--=，3ˆ4ˆ2ˆz y xB +-=，求：(a)B A -; (b) B A ⋅; (c) B A ⨯ [解] (a) B A -=4ˆ5ˆˆ)31(ˆ)49(ˆ)21(ˆz y x z y x---=+---- (b) B A ⋅=3533623ˆˆ4ˆ9ˆ2ˆˆ=-+=⋅-⋅+⋅z z y y x x(c) 342191ˆˆˆ---=⨯z y xB A14ˆ5ˆ31ˆ)184(ˆ)32(ˆ)427(ˆz y x z y x+--=+-+--+--= 1.4 / 1.1-4 用两种方法求1.1-3题矢量A 和B 的夹角α。

矢量分析与场论习题

矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。

矢量分析与场论课后习题及答案..

矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。

4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。

解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d 2d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。

物理矢量练习题

物理矢量练习题一、简答题1. 什么是物理矢量？物理矢量是在物理学中用来描述物理量的有大小和方向的量。

矢量可以表示位移、速度、加速度、力等物理量。

2. 什么是标量？标量是只有大小没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。

3. 如何表示矢量？矢量可以使用箭头符号在物理图中表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

4. 矢量之间有什么运算？矢量之间有加法和减法运算。

矢量相加时，将各个矢量的起点和终点相连，最终的结果是由起点到终点的矢量。

5. 矢量如何分解？矢量可以通过分解成两个或多个分量，表示为它们的合成或分解。

分解成两个分量时，可以使用垂直分解和平行分解的方法。

二、计算题1. 一个行人以速度5 m/s向东行走100 m，然后以速度3 m/s向北行走80 m。

求该行人的位移和总路程。

解：首先，我们将行人的位移分解成东西方向和南北方向的分量。

东方向分量的位移：100 m南方向分量的位移：80 m位移的大小：sqrt(100^2 + 80^2) ≈ 128.062 m位移的方向：arctan(80/100) ≈ 38.66°所以行人的位移是128.062 m，方向为东北方。

总路程：100 m + 80 m = 180 m2. 一个力F1 = 10 N向东，另一个力F2 = 8 N向北，求合力的大小和方向。

解：首先，我们将这两个力分解成东西方向和南北方向的分量。

F1的东方向分量：10 NF1的南方向分量：0 NF2的东方向分量：0 NF2的南方向分量：8 N合力的东方向分量：10 N + 0 N = 10 N合力的南方向分量：0 N + 8 N = 8 N合力的大小：sqrt(10^2 + 8^2) ≈ 12.806 N合力的方向：arctan(8/10) ≈ 38.66°所以合力的大小约为12.806 N，方向为东北方。

三、应用题1. 一个小汽车以速度20 m/s向东行驶10 s，然后以速度15 m/s向北行驶5 s，最后以速度10 m/s向西行驶8 s。

第2章-矢量分析-习题