安徽省合肥市瑶海区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc
2018-2019学年合肥市瑶海区九年级(上)期末检测
2018-2019学年合肥市瑶海区九年级(上)期末检测(时间120min;满分150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.反比例函数9y x=的图像在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.设2612w x x =-+-,则()A.0w ≥ B.0w ≤ C.0w > D.0w <3.如图,点,,A B C 在O 上,O 的半径为8,劣弧AB 的长为4π,则ACB ∠的大小是()A.25︒B.30︒C.40︒D.45︒第3题图第4题图第5题图第7题图4.如图,在O 上,作半径OA 的中垂线交O 于,B C 两点,半径6OA =,则图中阴影部分的面积为()A.12πB.40πC.2πD.6π5.如图,平行四边形ABCD 中,,:2:3,4EF AB DE EA EF == ,则CD 长是()A.163B.8C.10D.166.在Rt ABC 中,90,,,C A B C ∠=︒∠∠∠的对边分别是,,a b c ,则下列式子一定成立的是()A.sin a c B= B.cos a c B= C.sin b c A= D.tan a b B=7.如图,在ABC 中,AD BC ⊥于D ,下列条件:①90B DAC ∠+∠=︒;②B DAC ∠=∠;③::CD AD AC AB =;④2AB BD BC = 。
其中一定能够判断ABC 是直角三角形的有:()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,一次函数y x =-与二次函数为2y ax bx c =++的图像相交于点,M N ,则关于x 的一元二次方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确9.如图,DE 是ABC 的中位线,延长DE 至F ,使EF DE =,连接CF ,则:CEF BCED S S 四边形的值是()A.1:3B.2:3C.1:4D.2:5第8题图第9题图第10题图第11题图10.如图,在菱形ABCD 中,DE AB ⊥,4cos ,2,5A BE ==则tan DBE ∠的值是()A.13B.3C.5 D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.二次函数2y x bx c =-++的图像如图所示,则直线y bx c =+不经过的象限是.12.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒,然后沿AD 方向前行10m ,到达B 点,在B 处测得树顶C 的仰角为60︒(,,A B D 三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度是_________米.(结果保留根号)第12题图第13题图第14题图13.如图,在O 中,AB 是O 的直径,30ACE ∠=︒,则BDE ∠的度数为.14.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为2的正方形,顶点,A C 分别在,x y 轴的正半轴上。
{3套试卷汇总}2019年合肥市九年级上学期期末复习检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图4,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是A .7B .8C .9D .10【答案】B【解析】解:∵个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,∴它的一半是60°,它的邻补角也是60°,∴上面的小三角形是等边三角形,∴上面的(阴影部分)外轮廓线的两小段和为1,同理可知下面的(阴影部分)外轮廓线的两小段和为1,故这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是1.故选B .2.一个小正方体沿着斜面AC 前进了10 米,横截面如图所示,已知290AB BC ABC =∠=︒,,此时小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了( )A .5米B .25C .45D .103米 【答案】B 【分析】根据题意,用未知数设出斜面的铅直高度和水平宽度,再运用勾股定理列方程求解.【详解】解:Rt △ABC 中,AB=2BC ,设BC=x ,则AC=2x ,根据勾股定理可得,x 2+(2x )2=102,解得x=25x=5-,即小正方体上的点N 距离地面AB 的高度升高了25米,故选:B .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是熟练运用勾股定理的知识,此题比较简单.3.若两个相似三角形的周长之比为1∶4,则它们的面积之比为( )A .1∶2B .1∶4C .1∶8D .1∶16【答案】D【分析】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4∴它们的面积之比为1∶16故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质,本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握相似三角形的性质,即可完成. 4.如图,△ABO ∽△CDO ,若6BO =,3DO =,2CD =,则AB 的长是( )A .2B .3C .4D .5【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质,列出对应边的比,再根据已知条件即可快速作答.【详解】解:∵△ABO ∽△CDO∴OB AB OD CD= ∴632AB = 解得:AB=4 故答案为C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解题的关键是找对相似三角形的对应边,并列出比例进行求解. 5.(2015重庆市)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A ,B 两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数3y x=的图象经过A ,B 两点,则菱形ABCD 的面积为( )A .2B .4C .22D .42 【答案】D 【解析】试题解析:过点A 作x 轴的垂线,与CB 的延长线交于点E ,∵A ,B 两点在反比例函数y=3x的图象上且纵坐标分别为3,1, ∴A ,B 横坐标分别为1,3,∴AE=2,BE=2,∴AB=22, S 菱形ABCD =底×高=22×2=42,故选D .考点:1.菱形的性质;2.反比例函数图象上点的坐标特征.6.若0ab <,则函数y ax =与b y x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A . B . C . D .【答案】B【分析】根据0ab <及正比例函数与反比例函数图象的特点,可以从00a b ><,和00a b ,两方面分类讨论得出答案.【详解】∵0ab <,∴分两种情况:(1)当00a b ><,时,正比例函数y ax =数的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限,无此选项;(2)当00a b ,时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限,选项B 符合.故选:B .【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质,解题的关键是掌握它们的性质.7.若35a b =,则a b b -的值是( ) A .25 B .25- C .85 D .85- 【答案】B【分析】解法一:将a b b-变形为1-a b ,代入数据即可得出答案. 解法二:设3a k =,5b k =,带入式子约分即可得出答案.【详解】解法一:32=155--=-=-a b a b b b b 解法二:设3a k =,5b k =则352=55--=-a b k k b k 故选B.【点睛】本题考查比例的性质,将比例式变形,或者设比例参数是解题的关键.8.如图,在Rt ABC ∆中,CD 是斜边AB 上的高,则图中的相似三角形共有( )A .1对B .2对C .3对D .4对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.【详解】∵∠ACB =90°,CD ⊥AB∴△ABC ∽△ACD ,△ACD ∽△CBD ,△ABC ∽△CBD所以有三对相似三角形,故选:C .【点睛】考查相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似.9.如图,已知ΔABC 中,AE 交BC 于点D ,∠C=∠E ,AD :DE=2:3,AE=10,BD=5,则DC 的长是( )A.103B.245C.152D.154【答案】B【分析】根据∠C=∠E以及∠BDE=∠ADC,可以得到△BDE∽△ADC,由AD:DE=2:3,AE=10,可以求出AD和DE的值,再利用对应边成比例,即可求出DC的长.【详解】解:∵∠C=∠E,∠BDE=∠ADC∴△BDE∽△ADC∵AD:DE=2:3,AE=10∴AD=4,DE=6∴BD DE AD DC=∴564DC=,解得:DC=245故选B.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,熟练找出相似三角形以及列出对应边成比例的式子是解决本题的关键.10.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两个实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是( ) A.B.-C.4 D.-1【答案】A【解析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值,可求a、b的值,再代入求值即可.【详解】解:∵x1,x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根,∴x1+x2=﹣a=﹣2,x1•x2=﹣2b=1,解得a=2,b=,∴b a=()2=.故选A.11.方程(m﹣2)x2+mx﹣1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为()A.任何实数.B.m≠0C.m≠2D.m≠﹣2【答案】C【分析】根据二次项系数不为0列出不等式,解不等式得到答案.【详解】∵方程(m ﹣2)x 2+mx ﹣1=0是关于x 的一元二次方程,∴m ﹣2≠0,解得,m≠2,故选:C .【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题,掌握一元一次方程的性质以及应用是解题的关键.12.如图,点P 在△ABC 的边AC 上,下列条件中不能判断△ABP ∽△ACB 的是( )A .∠ABP =∠CB .∠APB =∠ABC C .AB 2=AP•ACD .CB 2=CP•CA【答案】D 【分析】观察图形可得, ABP ∆与ACB ∆已经有一组角∠A 重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠A 的两条边对应成比例. 注意答案中的C 、D 两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.【详解】解: A 项, ∠ABP =∠C ,可以判定;B 项, ∠APB =∠ABC ,可以判定;C 项, 2AB AP AC =•,AB AP AC AB=,可以判定; D 项, 2CB CP CA =•,CB CP CA CB=,不能判定. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.二、填空题(本题包括8个小题)13.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π-1【分析】延长DC ,CB 交⊙O 于M ,N ,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.【详解】解:延长DC ,CB 交⊙O 于M ,N , 则图中阴影部分的面积=14×(S 圆O −S 正方形ABCD )=14×(4π−4)=π−1, 故答案为π−1.【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算,正方形的性质,正确的识别图形是解题的关键.14.已知抛物线2y x bx c =++经过点()0,5A、()4,5B ,那么此抛物线的对称轴是___________. 【答案】直线2x =【分析】根据点A 、B 的纵坐标相等判断出A 、B 关于对称轴对称,然后列式计算即可得解.【详解】解:∵点()0,5A 、()4,5B 的纵坐标都是5相同,∴抛物线的对称轴为直线0422x +==. 故答案为:直线2x =.【点睛】此题考查二次函数的性质,观察出A 、B 是对称点是解题的关键.15.质检部门为了检测某品牌电器的质量,从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测,检测出次品5件,由此估计这一批产品中的次品件数是_____.【答案】500【分析】次品率100%=⨯次品数产品总数,根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解.【详解】解:51005%÷=, 100005%500⨯=(件)【点睛】本题主要考查了数据样本与频率问题,亦可根据比例求解.16.如图,正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1,点F 、G 分别在边BC 、CD 上,P 为AE 的中点,连接PG ,则PG 的长为_________.【答案】5【分析】延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H,则PH是△OAE的中位线,求得PH的长和HG的长,在Rt△PGH中利用勾股定理求解.【详解】解:延长GE交AB于点O,作PH⊥OE于点H.则PH∥AB.∵P是AE的中点,∴PH是△AOE的中位线,∴PH= 12OA=12×(3-1)=1.∵直角△AOE中,∠OAE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2,同理△PHE中,HE=PH=1.∴HG=HE+EG=1+1=2.∴在Rt△PHG中,PG= 2222125PH HG++=5【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理,正确作出辅助线构造直角三角形是关键.17.从五个数1,2,3,4,5中随机抽出1个数,则数3被抽中的概率为_________.【答案】1 5【解析】分析:直接利用概率公式求解即可求出答案.详解:从1,2,3,4,5中随机取出1个不同的数,共有5种不同方法,其中3被抽中的概率为15.故答案为1 5 .点睛:本题考查了概率公式的应用,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.18.若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的一个根,则6m 2﹣9m+2016的值为_____.【答案】2.【分析】把x =m 代入方程,求出2m 2﹣3m =2,再变形后代入,即可求出答案.【详解】解:∵m 是方程2x 2﹣3x ﹣2=0的一个根,∴代入得:2m 2﹣3m ﹣2=0,∴2m 2﹣3m =2,∴6m 2﹣9m+2026=3(2m 2﹣3m )+2026=3×2+2026=2,故答案为2.【点睛】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解,解此题的关键是能求出2m 2﹣3m =2.三、解答题(本题包括8个小题)19.解方程:(1)()11x x x +-=;(2)23440x x --=.【答案】(1)11x =,21x =-;(2)123x =-,22x =. 【分析】(1)先去括号,再利用直接开平方法解方程即可;(2)利用十字相乘法解方程即可.【详解】(1)()11x x x +-=,210x x x +--=,21x =,∴11x =,21x =-.(2)23440x x --=,(3x+2)(x-2)=0, ∴123x =-,22x =. 【点睛】本题考查解一元二次方程,解一元二次方程的常用方法有:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等,熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键.20.如图,双曲线11k y x=(x >0)与直线22y k x b =+交于点A (2,4)和B (a ,2),连接OA 和OB .(1)求双曲线和直线关系式;(2)观察图像直接写出:当1y >2y 时,x 的取值范围;(3)求△AOB 的面积.【答案】(1)18y x=,26y x =-+;(2)0<x <2 或x >4 ;(3)△AOB 的面积是1. 【分析】(1)利用待定系数法先求出反比例函数的解析式,继而求得点B 坐标,再结合A 、B 坐标利用待定系数法即可求出直线解析式;(2)根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案;(3)过点A 作y 轴的垂线,垂足为D ,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E ,两线交于点F ,然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案.【详解】(1)∵ 点A (2,4)在双曲线11k y x=上 1248k =⨯=∴ 18y x= ∵ 点B (a ,2)也在双曲线11k y x =, ∴82a=, ∴ a=4(经检验a=4是方程的解),∵ 点A (2,4)和点B(4,2)在直线22y k x b =+上 ,∴ 222442k b k b +=⎧⎨+=⎩ ,解得:216k b =-⎧⎨=⎩, ∴直线关系式为26y x =-+;(2)观察图象可得,当 1y >2y 时,x 的取值范围是:0<x <2 或x >4 ;(3)过点A 作y 轴的垂线,垂足为D ,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E ,两线交于点F ,则有OD=4,OE=4,∴四边形CDFE 是正方形,∴△AOB 的面积是:4×4-11142-42-22222⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合,涉及了待定系数法,利用函数图象求不等式的解集,求三角形的面积等,正确把握相关知识是解题的关键.21.如图1,是一种自卸货车.如图2是货箱的示意图,货箱是一个底边AB水平的矩形,AB=8米,BC=2米,前端档板高DE=0.5米,底边AB离地面的距离为1.3米.卸货时,货箱底边AB的仰角α=37°(如图3),求此时档板最高点E离地面的高度.(精确到0.1米,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)【答案】点E离地面的高度为8.1米【分析】延长DA交水平虚线于F,过E作EH⊥BF于H,根据题意,在Rt△ABF中,求出AF,从而得到EF,结合Rt△EFH,求出EH即可求得结果.【详解】解:如图3所示,延长DA交水平虚线于F,过E作EH⊥BF于H,∵∠BAF=90°,∠ABF=37°,∴Rt△ABF中,AF=tan37°×AB≈0.75×8=6(米),∴EF=AF+AD+DE=8.5,∵∠EHF=90°=∠BAF,∠BFA=∠EFH,∴∠E=37°,∴Rt△EFH中,EH=cos37°×EF≈0.80×8.5=6.8(米),又∵底边AB离地面的距离为1.3米,∴点E离地面的高度为6.8+1.3=8.1(米),故答案为:8.1米.【点睛】本题考查了直角三角形中锐角三角函数值的应用,同角的余角相等,仰角的定义,掌握锐角三角函数值的应用是解题的关键.22.抛物线2y x bx c =-++过点(0,-5)和(2,1).(1)求b,c 的值;(2)当x 为何值时,y 有最大值?【答案】(1)b, c 的值分别为5, -5;(2)当52x =时y 有最大值 【分析】(1)把点代入2y x bx c =-++求解即可得到b,c 的值;(2)代入二次函数一般式中顶点坐标的横坐标求解公式进行求解即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y x bx c =-++过点(0,-5)和(2,1), ∴5421c b c =-⎧⎨-++=⎩ ,解得 55b c =⎧⎨=-⎩, ∴b, c 的值分别为5, -5.(2)a= -1 ,b=5,∴当x=522b a -=时y 有最大值. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式,熟记二次函数的图象和性质是解题的关键.23.解方程:(1)2x (x ﹣1)=3(x ﹣1);(2)x 2﹣3x+1=1.【答案】(1)x 1=1,x 2=1.2;(2)135x +=或235x -= 【分析】(1)利用因式分解法求解可得;(2)利用公式法求解可得.【详解】解:(1)∵2x(x ﹣1)=3(x ﹣1),∴2x(x ﹣1)﹣3(x ﹣1)=1,则(x ﹣1)(2x ﹣3)=1,∴x ﹣1=1或2x ﹣3=1,解得x =1或x =1.2;故答案为x =1或x =1.2.(2)∵a =1,b =﹣3,c =1,∴△=(-3)2﹣4×1×1=2>1,则x ==,1x =或2x = 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握其常见的解法是解决本类题的关键.24.已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=(1)当m 取何值时,这个方程有两个不相等的实根?(2)若方程的两根都是正数,求m 的取值范围;(3)设12,x x 是这个方程的两个实根,且2212121-=+x x x x ,求m 的值.【答案】(1)2m <;(2)12m <<;(3)m 无解..【分析】(1)由根的判别式得出不等式,求出不等式的解集即可;(2)由根与系数的关系得出不等式,求出不等式的解集即可;(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2,x 1x 2=m-1,将2212121-=+x x x x 变形后代入,即可求出答案.【详解】解:(1)∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆,即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.(2)由一元二次方程根与系数的关系可得: 122x x +=,121⋅=-x x m ,∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>,即10m ->∴1m又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<(3)∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ,将122x x +=,121⋅=-x x m 代入可得: 2112+-=m ,解得4m =.而2m <,所以m=4不符合题意,故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数,根与系数的关系,熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.25.如图①,在矩形ABCD 中,BC =60cm .动点P 以6cm/s 的速度在矩形ABCD 的边上沿A →D 的方向匀速运动,动点Q 在矩形ABCD 的边上沿A →B →C 的方向匀速运动.P 、Q 两点同时出发,当点P 到达终点D 时,点Q 立即停止运动.设运动的时间为t(s),△PDQ 的面积为S(cm 2),S 与t 的函数图象如图②所示. (1)AB = cm ,点Q 的运动速度为 cm/s ;(2)在点P 、Q 出发的同时,点O 也从CD 的中点出发,以4cm/s 的速度沿CD 的垂直平分线向左匀速运动,以点O 为圆心的⊙O 始终与边AD 、BC 相切,当点P 到达终点D 时,运动同时停止.①当点O 在QD 上时,求t 的值;②当PQ 与⊙O 有公共点时,求t 的取值范围.【答案】(1)30,6;(2)①457;②15322-≤t ≤15322+. 【分析】(1)设点Q 的运动速度为a ,则由图②可看出,当运动时间为5s 时,△PDQ 有最大面积450,即此时点Q 到达点B 处,可列出关于a 的方程,即可求出点Q 的速度,进一步求出AB 的长;(2)①如图1,设AB ,CD 的中点分别为E ,F ,当点O 在QD 上时,用含t 的代数式分别表示出OF ,QC 的长,由OF =12QC 可求出t 的值;②设AB,CD的中点分别为E,F,⊙O与AD,BC的切点分别为N,G,过点Q作QH⊥AD于H,如图2﹣1,当⊙O第一次与PQ相切于点M时,证△QHP是等腰直角三角形,分别用含t的代数式表示CG,QM,PM,再表示出QP,由QP=QH可求出t的值;同理,如图2﹣2,当⊙O第二次与PQ相切于点M时,可求出t的值,即可写出t的取值范围.【详解】(1)设点Q的运动速度为a,则由图②可看出,当运动时间为5s时,△PDQ有最大面积450,即此时点Q到达点B处,∵AP=6t,∴S△PDQ=12(60﹣6×5)×5a=450,∴a=6,∴AB=5a=30,故答案为:30,6;(2)①如图1,设AB,CD的中点分别为E,F,当点O在QD上时,QC=AB+BC﹣6t=90﹣6t,OF=4t,∵OF∥QC且点F是DC的中点,∴OF=12 QC,即4t=12(90﹣6t),解得,t=457;②设AB,CD的中点分别为E,F,⊙O与AD,BC的切点分别为N,G,过点Q作QH⊥AD于H,如图2﹣1,当⊙O第一次与PQ相切于点M时,∵AH+AP=6t,AB+BQ=6t,且BQ=AH,∴HP=QH=AB=30,∴△QHP是等腰直角三角形,∵CG=DN=OF=4t,∴QM=QG=90﹣4t﹣6t=90﹣10t,PM=PN=60﹣4t﹣6t=60﹣10t,∴QP=QM+MP=150﹣20t,∵QP QH,∴150﹣20t=,∴t如图2﹣2,当⊙O第二次与PQ相切于点M时,∵AH+AP=6t,AB+BQ=6t,且BQ=AH,∴HP=QH=AB=30,∴△QHP是等腰直角三角形,∵CG=DN=OF=4t,∴QM=QG=4t﹣(90﹣6t)=10t﹣90,PM=PN=4t﹣(60﹣6t)=10t﹣60,∴QP=QM+MP=20t﹣150,∵QP=2QH,∴20t﹣150=302,∴t=15322+,综上所述,当PQ与⊙O有公共点时,t的取值范围为:1532-≤t≤1532+.【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题,掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键.26.已知,如图,斜坡PA 的坡度为1:2.4,斜坡AP 的水平长度为24米.在坡顶A 处的同一水平面上有一座5G 信号塔BC ,在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45,在坡项A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为60.求:()1坡顶A 到地面PQ 的距离;()2信号塔BC 的高度.(3 1.73≈,结果精确到0.1米)【答案】(1)10米;(2)33.1米.【分析】(1)首先作AD PQ ⊥于D ,延长BC 交PQ 于E ,然后根据斜坡的坡度和水平长度即可得出坡顶A 到地面PQ 的距离;(2)首先设BC x =米,在Rt ABC 中,解得AC ,然后在Rt BPE 中,利用45BPE ∠=︒构建方程,即可得出BC .【详解】()1作AD PQ ⊥于D ,延长BC 交PQ 于E ,则四边形ADEC 为矩形,AD CE ∴=,∵斜坡AP 的坡度为1:2.4,斜坡AP 的水平长度为24米,10AD ∴=,即坡项A 到地面PQ 的距离为10米;()2设BC x =米,在Rt ABC 中,BC tan BAC AC ∠=3=x AC, 解得33AC x =, 在Rt BPE 中,45BPE ∠=︒,PE BE ∴=,即324103x x +=+解得,2173x=+,2173217 1.7333.1BC∴=+≈+⨯≈(米)答:塔BC的高度约为33.1米.【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用,熟练掌握,即可解题.27.一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1、-2、-3、4,它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别,小芳从盒子中随机抽取一张卡片.(1)求小芳抽到负数的概率;(2)若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张,请你用树状图或列表法,求小明和小芳两人均抽到负数的概率.【答案】(1)12;(2)16【分析】(1)由一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1、-2、-3、4,它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别,小芳从盒子中随机抽取一张卡片,抽到负数的有2种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.(2)首先根据题意画出树状图或列表,然后由图表求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.【详解】(1)∵一个不透明的口袋中装有4张卡片,卡片上分别标有数字1、-2、-3、4,它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别,∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片,抽到负数的有2种情况,∴P(小芳抽到负数)=2142=(2)画树状图如下:∵共有12种机会均等的结果,其中两人均抽到负数的有2种,∴P(两人均抽到负数)=21126=九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象,在下列说法中:①0ac >;②方程20ax bx c ++=的根是11x =-,23x =;③0a b c ++>④当1x >时,y 随x 的增大而减小.不.正确的说法有( )A .①B .①②C .①③D .②④【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质(对称性、增减性)、以及与二次方程的关系逐个判断即可. 【详解】二次函数的图象的开口向下,与y 轴正半轴相交0,0a c ∴<>0ac ∴<,则①不正确二次函数的对称轴为1x =,与x 轴的一个交点为(3,0)∴与x 轴的另一个交点为(1,0)-∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=,则②正确二次函数的图象上,1x =所对应的点位于第一象限,即0y >0a b c ∴++>,则③正确由二次函数的图象可知,当1x >时,y 随x 的增大而减小,则④正确综上,不正确的说法只有①故选:A .【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质(对称性、增减性)、以及与二次方程的关系,掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键.2.如图,点A 在线段BD 上,在BD 的同侧作等腰Rt ABC ∆和等腰Rt ADE ∆,CD 与BE 、AE 分别交于点P 、M .对于下列结论:①BAE CAD ∆∆;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③【答案】A【解析】分析:(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明△PAM∽△EMD即可;(3)2CB2转化为AC2,证明△ACP∽△MCA,问题可证.详解:由已知:2AB,2AE∴AC AD AB AE=∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD∴MP ME MA MD=∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵2AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选A.点睛:本题考查了相似三角形的性质和判断.在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案.3.一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是( )A .至少有1个球是红球B .至少有1个球是白球C .至少有2个球是红球D .至少有2个球是白球 【答案】B【解析】A. 至少有1个球是红球是随机事件,选项错误;B. 至少有1个球是白球是必然事件,选项正确;C. 至少有2个球是红球是随机事件,选项错误;D. 至少有2个球是白球是随机事件,选项错误.故选B.4.如图,AB 是O 的直径,AC ,CD 是O 的两条弦,CD AB ⊥,连接OD ,若20CAB ∠=︒,则BOD ∠的度数是( )A .10°B .20°C .30°D .40°【答案】D 【分析】连接AD ,由AB 是⊙O 的直径及CD ⊥AB 可得出弧BC=弧BD ,进而可得出∠BAD=∠BAC ,利用圆周角定理可得出∠BOD 的度数.【详解】连接AD ,如图所示:∵AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB ,∴弧BC=弧BD ,∴∠BAD=∠BAC=20°.∴∠BOD=2∠BAD=40°,故选:D .【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理.此题难度不大,利用圆周角定理求出∠BOD 的度数是解题的关键.5.在实数|﹣3|,﹣2,0,π中,最小的数是()A.|﹣3| B.﹣2 C.0 D.π【答案】B【分析】直接利用利用绝对值的性质化简,进而比较大小得出答案.【详解】在实数|-3|,-1,0,π中,|-3|=3,则-1<0<|-3|<π,故最小的数是:-1.故选B.【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值,正确掌握实数比较大小的方法是解题关键.6.抛物线y=(x﹣2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3) B.(﹣2,3) C.(2,﹣3) D.(﹣2,﹣3)【答案】A【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解:y=(x﹣2)2+3是抛物线的顶点式方程,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3).故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标,顶点式y=(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h,难度不大.7.下列方程式属于一元二次方程的是()A.330x x+-=B.212 +=xx C.221x xy+=D.22x=【答案】D【解析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程,故不符合题意;B、是分式方程,故不符合题意;C、是二元二次方程,故不符合题意;D、是一元二次方程,符合题意.故选:D.【点睛】本题考查一元二次方程的定义,熟练掌握定义是关键.8.如图,OAB是等边三角形,且OA与x轴重合,点B是反比例函数83yx=-的图象上的点,则OAB的周长为()A.122B.102C.92D.82【答案】A【分析】设△OAB的边长为2a,根据等边三角形的性质,可得点B的坐标为(-a,3a),代入反比例函数解析式可得出a的值,继而得出△OAB的周长.【详解】解:如图,设△OAB的边长为2a,过B点作BM⊥x轴于点M.又∵△OAB是等边三角形,∴OM=12OA=a,3,∴点B的坐标为(-a3),∵点B是反比例函数83图象上的点,∴-33解得2(负值舍去),∴△OAB的周长为:2.故选:A.【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,设△OAB的边长为2a,用含a的代数式表示出点B的坐标是解题的关键.9.已知一个矩形的面积为24cm2,其长为ycm,宽为xcm,则y与x之间的函数关系的图象大致是A .B .C .D .【答案】D【详解】根据题意有:xy=24;且根据x ,y 实际意义x 、y 应大于0,其图象在第一象限.故选D . 10.已知点(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3)在反比例函数y=-5x 的图象上,当x 1<x 2<0<x 3时,y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1<y 3<y 2B .y 2<y 1<y 3C .y 3<y 1<y 2D .y 3<y 2<y 1 【答案】C【分析】根据反比例函数为y=-5x,可得函数图象在第二、四象限,在每个象限内,y 随着x 的增大而增大,进而得到y 1,y 2,y 3的大小关系. 【详解】解:∵反比例函数为y=-5x , ∴函数图象在第二、四象限,在每个象限内,y 随着x 的增大而增大,又∵x 1<x 2<0<x 3,∴y 1>0,y 2>0,y 3<0,且y 1<y 2,∴y 3<y 1<y 2,故选:C .【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.11.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,AE EF ⊥,则下列结论正确的有( ) ①30BAE ∠= ②2CE AB CF = ③13CF CD = ④ABE ∆∽AEF ∆A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】由题中条件可得△CEF∽△BAE,进而得出对应线段成比例,进而又可得出△ABE∽△AEF,即可得出题中结论.【详解】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD,∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠B=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+FEC=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△BAE∽△CEF,∴CE CF AB BE∵E是BC的中点,∴BE=CE∴CE2=AB•CF,∴②正确;∵BE=CE=12 BC,∴CF=12BE=14CD,故③错误;∵1 tan2BEBAEAB∠==∴∠BAE≠30°,故①错误;设CF=a,则BE=CE=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,∴5,5,AF=5a,∴2525255555AE a BEAF a EF a====∴AE BE AF EF=∴△ABE∽△AEF,故④正确.∴②与④正确.∴正确结论的个数有2个.故选:B .【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及正方形的性质.题目综合性较强,注意数形结合思想的应用. 12.将抛物线22y x =向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是( )A .2y 2(x 1)3=++B .22(1)3y x =--C .22(1)3y x =+-D .2y 2(x 1)3=-+ 【答案】D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点,根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式.【详解】解:由题意得原抛物线的顶点为(0,0),∴平移后抛物线的顶点为(1,3),∴得到的抛物线解析式为y=2(x-1)2+3,故选:D .【点睛】本题考查二次函数的几何变换,熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键.二、填空题(本题包括8个小题)13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,若CD=5cm ,则EF=_______cm .【答案】1【详解】∵△ABC 是直角三角形,CD 是斜边的中线,∴CD=12AB , ∴AB=2CD=2×1=10cm ,又∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF=12×10=1cm . 故答案为1.考点:三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线.14.如图,在⊙O 中,弦AB ,CD 相交于点P ,∠A =30°,∠APD =65°,则∠B =_____.【答案】35°【分析】先根据三角形外角性质求出∠C的度数,然后根据圆周角定理得到∠B的度数.【详解】解:∵∠APD=∠C+∠A,∴∠C=65°﹣30°=35°,∴∠B=∠C=35°.故答案为35°.【点睛】本题主要考查的是三角形的外角性质以及圆周角定理,这是一道综合性几何题,掌握三角形的外角性质以及圆周角定理是解题关键.15.一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个黑球,它们除颜色外,完全相同.从袋子中随机摸出一球,记下颜色并放回,重复该试验多次,发现得到白球的频率稳定在0.6,则可判断袋子中黑球的个数为______. 【答案】2【分析】由摸到白球的频率稳定在0.6附近得出口袋中得到白色球的概率,进而求出黑球个数即可.【详解】解:设黑球个数为:x个,∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右,∴口袋中得到白色球的概率为0.6,∴30.6 3x=+,解得:x=2,故黑球的个数为2个.故答案为2.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.16.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为1,抛物线y1=-12x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2,则阴影部分的面积S=_____________.。
九年级上册合肥数学期末试卷测试卷(含答案解析)
九年级上册合肥数学期末试卷测试卷(含答案解析)一、选择题1.抛物线223y x x =++与y 轴的交点为( )A .(0,2)B .(2,0)C .(0,3)D .(3,0)2.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,DE ∥BC ,若AD =1,BD =2,则DE BC的值为( )A .12B .13C .14D .193.函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点,则常数m 的值是( ) A .1 B .2 C .0,1 D .1,2 4.若直线l 与半径为5的O 相离,则圆心O 与直线l 的距离d 为( )A .5d <B .5d >C .5d =D .5d ≤5.如图,以AB 为直径的⊙O 上有一点C ,且∠BOC =50°,则∠A 的度数为( )A .65°B .50°C .30°D .25°6.在平面直角坐标系中,点A(0,2)、B(a ,a +2)、C(b ,0)(a >0,b >0),若AB=2且∠ACB 最大时,b 的值为( ) A .226+B .226-+C .242+D .2427.方程x 2﹣3x =0的根是( ) A .x =0B .x =3C .10x =,23x =-D .10x =,23x =8.一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =,则k 的值为( ) A .1B .2C .3D .49.不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概率是( )A .13B .14C .15D .1610.在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2,做成4支签,放在一个盒子中,搅匀后从中任意抽出1支签(不放回),再从余下的3支签中任意抽出1支签,则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为()A.14B.13C.12D.2311.cos60︒的值等于()A.12B.22C.32D.3312.如图,AB,AM,BN 分别是⊙O 的切线,切点分别为 P,M,N.若 MN∥AB,∠A=60°,AB=6,则⊙O 的半径是()A.32B.3 C.323D.3二、填空题13.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3),___ 确定一个圆.(填“能”或“不能”)14.已知tan(α+15°)=33,则锐角α的度数为______°.15.将二次函数y=2x2的图像沿x轴向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,所得函数图像的函数关系式为______________.16.如图,已知正六边形内接于O,若正六边形的边长为2,则图中涂色部分的面积为______.17.如图,一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘一次,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为____.18.如图,在Rt△ABC中,BC AC⊥,CD是AB边上的高,已知AB=25,BC=15,则BD=__________.19.如图,用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ,那么这张扇形纸板的弧长是________cm .20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如表, x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c =0的一个解的范围是_____.21.如图,曲线AB 是顶点为B ,与y 轴交于点A 的抛物线y =﹣x 2+4x +2的一部分,曲线BC 是双曲线ky x的一部分,由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程,形成一组波浪线,点P (2018,m )与Q (2025,n )均在该波浪线上,则mn =_____.22.如图,1ABB △,12AB B ,△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形,点 B ,B 1,B 2,B 3 在同一条 直线上,连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ,交 A 1B 1 于点 Q ,则 PB 1∶QB 1 的值为___.23.设二次函数y =x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ,B ,其顶点坐标为C ,则△ABC 的面积为_____.24.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ,圆心角为120°的扇形,则该圆锥的底面半径为__________cm .三、解答题25.如图,Rt △FHG 中,∠H=90°,FH ∥x 轴,=0.6GHFH,则称Rt △FHG 为准黄金直角三角形(G 在F 的右上方).已知二次函数21y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点,与y轴交于点E (0,3-),顶点为C (1,4-),点D 为二次函数22(1)0.64(0)y a x m m m =--+->图像的顶点.(1)求二次函数y 1的函数关系式;(2)若准黄金直角三角形的顶点F 与点A 重合、G 落在二次函数y 1的图像上,求点G 的坐标及△FHG 的面积;(3)设一次函数y=mx+m 与函数y 1、y 2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P 、Q. 且P 、Q 两点分别与准黄金直角三角形的顶点F 、G 重合,求m 的值并判断以C 、D 、Q 、P 为顶点的四边形形状,请说明理由.26.如图1,矩形OABC 的顶点A 的坐标为(4,0),O 为坐标原点,点B 在第一象限,连接AC , tan ∠ACO=2,D 是BC 的中点, (1)求点D 的坐标;(2)如图2,M 是线段OC 上的点,OM=23OC ,点P 是线段OM 上的一个动点,经过P 、D 、B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ,连接DE 交AB 于点F.①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折,若点B 恰好落在AC 上,求此时点P 的坐标; ②以线段DF 为边,在DF 所在直线的右上方作等边△DFG ,当动点P 从点O 运动到点M 时,点G 也随之运动,请直接写出点G 运动的路径的长.27.(1)(学习心得)于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.例如:如图1,在ABC 中,,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点,且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A为圆心,AB 为半径作辅助A ,则C 、D 必在A 上,BAC ∠是A 的圆心角,而BDC ∠是圆周角,从而可容易得到BDC ∠=________.(2)(问题解决)如图2,在四边形ABCD 中,90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.(3)(问题拓展)如图3,,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点,满足AE DF =.连接交于点,连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2,则线段DH 长度的最小值是_______.28.已知,如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ,经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .(1)求抛物线的解析式和直线AB 的解析式.(2)在抛物线上,A M 两点之间的部分(不包含,A M 两点),是否存在点D ,使得2DAC DCM S S ∆∆=?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.29.如图,在ABC ∆中,90B ∠=︒,5cm AB =,7cm BC =,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动,同时,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ,移动停止).(1)如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,那么几秒后,PQ 的长度等于10cm ?(2)在(1)中,PQB ∆的面积能否等于27cm ?请说明理由. 30.已知关于x 的一元二次方程()222140x m x m +++-=.(1)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根?(2)设方程两根分别为1x 、2x ,且21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线,求m 的值.31.如图甲,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4cm ,BC=3cm .如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm/s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题: (1)设△APQ 的面积为S ,当t 为何值时,S 取得最大值,S 的最大值是多少; (2)如图乙,连接PC ,将△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP′C ,当四边形PQP′C 为菱形时,求t 的值;(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形.32.如图示,AB 是O 的直径,点F 是半圆上的一动点(F 不与A ,B 重合),弦AD 平分BAF ∠,过点D 作DE AF ⊥交射线AF 于点AF .(1)求证:DE 与O 相切:(2)若8AE =,10AB =,求DE 长;(3)若10AB =,AF 长记为x ,EF 长记为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并求出AF EF ⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C【解析】【分析】令x=0,则y=3,抛物线与y轴的交点为(0,3).【详解】解:令x=0,则y=3,∴抛物线与y轴的交点为(0,3),故选:C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,会求函数与坐标轴的交点是解题的关键.2.B解析:B【解析】试题分析:∵DE∥BC,∴AD DEAB BC=,∵13ADAB=,∴31DEBC=.故选B.考点:平行线分线段成比例.3.C解析:C【解析】【分析】分两种情况讨论,当m=0和m≠0,函数分别为一次函数和二次函数,由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,列式求解即可.【详解】解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.根据题意得:b2-4ac=4-4m=0,解得:m=1.∴m=0或m=1故选:C.【点睛】本题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点,抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定.本题中函数可能是二次函数,也可能是一次函数,需要分类讨论,这是本题的容易失分之处.4.B解析:B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径,据此解答即可.解:∵直线l 与半径为5的O 相离,∴圆心O 与直线l 的距离d 满足:5d >.故选:B. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于应知应会题型,若圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,当d >r 时,直线与圆相离;当d =r 时,直线与圆相切;当d <r 时,直线与圆相交.5.D解析:D 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可. 【详解】解:由圆周角定理得,1252A BOC ∠=∠=︒,故选:D . 【点睛】本题考查的是圆周角定理,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.6.B解析:B 【解析】 【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时,ACB ∠有最大值,此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同,并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上,根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可. 【详解】解:∵AB=A(0,2)、B(a ,a +2)= 解得a =4或a =-4(因为a >0,舍去) ∴B(4,6),设直线AB 的解析式为y=kx+2, 将B(4,6)代入可得k =1,所以y=x+2,利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时,ACB ∠有最大值. 如下图,G 为AB 中点,()2,4G ,设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+, 将()2,4G 代入可得6m =,所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+,由FC FB =,可知()()()2226466b b b -+=-+-+-,解得262b =(已舍去负值).故选:B. 【点睛】本题考查圆的综合题,一次函数的应用和已知两点坐标,用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.7.D解析:D 【解析】 【分析】先将方程左边提公因式x ,解方程即可得答案. 【详解】 x 2﹣3x =0, x (x ﹣3)=0, x 1=0,x 2=3, 故选:D . 【点睛】本题考查解一元二次方程,解一元二次方程的常用方法有:配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等,熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.8.B【解析】【分析】将x=2代入方程即可求得k的值,从而得到正确选项.【详解】解:∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2,∴22-3×2+k=0,解得,k=2,故选:B.【点睛】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立.9.A解析:A【解析】【分析】根据红球的个数以及球的总个数,直接利用概率公式求解即可.【详解】因为共有6个球,红球有2个,所以,取出红球的概率为2163 P==,故选A.【点睛】本题考查了简单的概率计算,正确把握概率的计算公式是解题的关键.10.C解析:C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数,最后根据概率公式计算即可.【详解】根据题意画图如下:共有12种等情况数,其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种,则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612=12;【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题,解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数,11.A解析:A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可.【详解】解:cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 12.D解析:D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形,再由切线的性质可推出∠ABN=60°,从而判定△APO ≌△BPO ,可得AP=BP=3,在直角△APO 中,利用三角函数可解出半径的值.【详解】解:连接OP ,OM ,OA ,OB ,ON∵AB ,AM ,BN 分别和⊙O 相切,∴∠AMO=90°,∠APO=90°,∵MN ∥AB ,∠A =60°,∴∠AMN=120°,∠OAB=30°,∴∠OMN=∠ONM=30°,∵∠BNO=90°,∴∠ABN=60°,∴∠ABO=30°,在△APO 和△BPO 中,OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△APO ≌△BPO (AAS ),∴AP=12AB=3,∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=33,∴OP=3,即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,关键是说明点P是AB中点,难度不大.二、填空题13.不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线,于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆.【详解】解:∵B(0,-3)、C(2,-3),∴BC∥x轴,而点A(1,-3)与C、解析:不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线,于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆.【详解】解:∵B(0,-3)、C(2,-3),∴BC∥x轴,而点A(1,-3)与C、B共线,∴点A、B、C共线,∴三个点A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能确定一个圆.故答案为:不能.【点睛】本题考查了确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆.14.15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)=∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,解析:15【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案.【详解】解:tan(α+15°)∴α+15°=30°,∴α=15°故答案是15【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键.15.y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解:根据“上加下减,左加右减”的原则可知,二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位,再向下平移解析:y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解:根据“上加下减,左加右减”的原则可知,二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.16.【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO,得出涂色部分即为扇形AOB的面积,根据扇形面积公式求解.【详解】解:连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析:2 3π【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO,得出涂色部分即为扇形AOB的面积,根据扇形面积公式求解.【详解】解:连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°,OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为:26022 3603ππ⨯=.故答案为:23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质,根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.17.【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是=,故答案为.【解析:2 3【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是360120360=23,故答案为2 3 .【点睛】本题考查了几何概率:求概率时,已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是利用长度比,面积比,体积比等.18.9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC,根据相似三角形对应边成比例得比例式,代入数值求解即可.【详解】解:∵,,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,解析:9【解析】【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD ∽△BAC ,根据相似三角形对应边成比例得比例式,代入数值求解即可.【详解】解:∵BC AC ⊥,CD AB ⊥,∴∠ACB=∠CDB=90°,∵∠B=∠B,∴△BCD ∽△BAC, ∴BC BD AB BC = , ∴152515BD =, ∴BD=9.故答案为:9.【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长,证明两三角形相似注意题中隐含条件,如公共角,对顶角等,利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.19.【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径,然后可得底面周长,问题得解.【详解】解:∵扇形的半径为10cm ,做成的圆锥形帽子的高为8cm ,∴圆锥的底面半径为cm ,∴底面周长为2π×6=12解析:12π【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径,然后可得底面周长,问题得解.【详解】解:∵扇形的半径为10cm ,做成的圆锥形帽子的高为8cm ,6=cm ,∴底面周长为2π×6=12πcm ,即这张扇形纸板的弧长是12πcm ,故答案为:12π.【点睛】本题考查圆锥的计算,用到的知识点为:圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长.20.18<x<6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y=0时,相应的自变量的取值范围即可.【详解】由表格数据可得,当x=6.18时,y=﹣0.01,当x=6.19解析:18<x<6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况,得出当y=0时,相应的自变量的取值范围即可.【详解】由表格数据可得,当x=6.18时,y=﹣0.01,当x=6.19时,y=0.02,∴当y=0时,相应的自变量x的取值范围为6.18<x<6.19,故答案为:6.18<x<6.19.【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根,解题的关键是找到y由正变为负时,自变量的取值即可.21.24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点,∴点B的坐标为(2,6),2018÷6=336…2,故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同,∴点P的坐标为(2018,6),解析:24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点,∴点B的坐标为(2,6),2018÷6=336…2,故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同,∴点P的坐标为(2018,6),∴m=6;点B (2,6)在k y x =的图象上, ∴k =6; 即12y x=, 2025÷6=337…3,故点Q 离x 轴的距离与当x =3时,函数12y x =的函数值相等,又 x =3时,1243y ==, ∴点Q 的坐标为(2025,4),即n =4,∴mn =6424.⨯=故答案为24.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质.本题是一道找规律问题.找到点P 、Q 在A ﹣B ﹣C 段上的对应点是解题的关键.22.【解析】【分析】根据题意说明PB1∥A2 B3,A1B1∥A2B2,从而说明△BB1P∽△BA2 B3,△BB1Q∽△BB2A2,再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系,根据 解析:23【解析】【分析】根据题意说明PB 1∥A 2 B 3,A 1B 1∥A 2B 2,从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3,△BB 1Q ∽△BB 2A 2,再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系,根据A 2B 3=A 2B 2,得到PB 1和QB 1的比值.【详解】解:∵△ABB 1,△A 1B 1B 2,△A 2B 2B 3是全等的等边三角形,∴∠BB 1P=∠B 3,∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3,∴PB 1∥A 2B 3,A 1B 1∥A 2B 2,∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3,△BB 1Q ∽△BB 2A 2, ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ,1221=2QB A B , ∵2322=A B A B , ∴PB 1∶QB 1=13A 2B 3∶12A 2 B 2=2:3.故答案为:2 3 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,平行线的判定,正确的识别图形是解题的关键.23.8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标,然后根据坐标求出AB、CD的长,再根据三角形面积公式计算即可.【详解】解:∵y=x2﹣2x﹣3,设y=0,∴0=x2﹣2x﹣3,解得:x1=3,解析:8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标,然后根据坐标求出AB、CD的长,再根据三角形面积公式计算即可.【详解】解:∵y=x2﹣2x﹣3,设y=0,∴0=x2﹣2x﹣3,解得:x1=3,x2=﹣1,即A点的坐标是(﹣1,0),B点的坐标是(3,0),∵y=x2﹣2x﹣3,=(x﹣1)2﹣4,∴顶点C的坐标是(1,﹣4),∴△ABC的面积=12×4×4=8,故答案为8.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的三种形式的应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较典型,难度适中.24.1【解析】【分析】(1)根据,求出扇形弧长,即圆锥底面周长;(2)根据,即,求圆锥底面半径. 【详解】该圆锥的底面半径= 故答案为:1. 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形,解题关键是理解扇解析:1 【解析】 【分析】 (1)根据180n Rl π=,求出扇形弧长,即圆锥底面周长; (2)根据2C r π=,即2Cr π=,求圆锥底面半径. 【详解】 该圆锥的底面半径=()1203=11802cm ππ⋅⋅故答案为:1. 【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形,解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长.三、解答题25.(1)y=(x-1)2-4;(2)点G 坐标为(3.6,2.76),S △FHG =6.348;(3)m=0.6,四边形CDPQ 为平行四边形,理由见解析. 【解析】 【分析】(1)利用顶点式求解即可,(2)将G 点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求出面积,(3)作出图象,延长QH ,交x 轴于点R ,由平行线的性质得证明△AQR ∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m 中,即可证明四边形CDPQ 为平行四边形. 【详解】(1)设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y 轴交于点E (0,3-),顶点为C (1,4-),∴y=a(x-1)2-4,代入E (0,3-),解得a=1,2(1)4y x =--(223y x x =--)(2)设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式, 得,2(1)40.6(1)a a --=+, 解得a 1=3.6,a 2=-1(舍去), 所以点G 坐标为(3.6,2.76). S △FHG =6.348(3)y=mx+m=m(x+1),当x=-1时,y=0,所以直线y=mx+m延长QH,交x轴于点R,由平行线的性质得,QR⊥x轴.因为FH∥x轴,所以∠QPH=∠QAR,因为∠PHQ=∠ARQ=90°,所以△AQR∽△PQH,所以QR QHAR PH= =0.6,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中,mn+m=0.6(n+1),m(n+1)=0.6(n+1),因为n+1≠0,所以m=0.6..因为y2=(x-1-m)2+0.6m-4,所以点D由点C向右平移m个单位,再向上平移0.6m个单位所得,过D作y轴的平行线,交x轴与K,再作CT⊥KD,交KD延长线与T,所以KD QRSK AR==0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR,所以∠KSD=∠QAR,所以AQ∥CS,即CD∥PQ.因为AQ∥CS,由抛物线平移的性质可得,CT=PH,DT=QH,所以PQ=CD,所以四边形CDPQ为平行四边形.【点睛】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解(1)的关键,求出G 点坐标是求解(2)的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解(3)的关键.26.(1)D (2,2);(2)①P (0,0);②13【解析】 【分析】(1)根据三角函数求出OC 的长度,再根据中点的性质求出CD 的长度,即可求出D 点的坐标;(2)①证明在该种情况下DE 为△ABC 的中位线,由此可得F 为AB 的中点,结合三角形全等即可求得E 点坐标,结合二次函数的性质可设二次函数表达式(此表达式为交点式的变形,利用了二次函数的平移的特点),将E 点代入即可求得二次函数的表达式,根据表达式的特征可知P 点坐标;②可得G 点的运动轨迹为'GG ,证明△DFF'≌△FGG',可得GG'=FF',求得P 点运动到M 点时的解析式即可求出F'的坐标,结合①可求得FF'即GG'的长度. 【详解】解:(1)∵四边形OABC 为矩形, ∴BC=OA=4,∠AOC=90°, ∵在Rt △ACO 中,tan ∠ACO=OAOC=2, ∴OC=2, 又∵D 为CB 中点, ∴CD=2, ∴D (2,2); (2)①如下图所示,若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=∠=, ∵D 为BC 的中点, ∴CD=BD, ∴'CD B D =,∴1''2BCA DB C BDB ∠=∠=∠, ∴BCA BDF ∠=∠,∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线, ∴AF=BF,∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠ABC=∠BAE=90° 在△BDF 和△AEF 中,∵ABC BAE BF AF BFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BDF ≌△AEF , ∴AE=BD=2, ∴E(6,0), 设(2)(4)2y a x x ,将E (6,0)带入,8a+2=0∴a=14-,则二次函数解析式为21342y x x =-+,此时P (0,0);②如图,当动点P 从点O 运动到点M 时,点F 运动到点F',点G 也随之运动到G'.连接GG'.当点P 向点M 运动时,抛物线开口变大,F 点向上线性移动,所以G 也是线性移动.∵OM=23OC=43 ∴4(0,)3M ,当P 点运动到M 点时,设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y a x x ,将4(0,)3M 代入得14823a ,解得1112a ,所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ,整理得21141223y x x =-++. 当y=0时,211401223x x -++=,解得x=8(已舍去负值),所以此时(8,0)E ,设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ,将D (2,2),E (8,0)代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以1833y x =-+, 当x=4时,43y =,所以4'3AF =,由①得112AF AB ==, 所以1''3FF AF AF =-=, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形,∴∠GDF =∠G'DF'=60°,DG =DF ,DG'=DF', ∴∠GDF ﹣∠GDF'=∠G'DF'﹣∠GDF', 即∠G'DG =∠F'DF , 在△DFF'与△FGG'中,''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DFF'≌△FGG'(SAS ), ∴GG'=FF', 即G 运动路径的长为13. 【点睛】本题考查二次函数综合,解直角三角形,全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,一次函数的应用,折叠问题.(1)中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键;(2)①熟练掌握折叠前后对应边相等,对应角相等是解题关键;②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF',是解题关键. 27.(1)45;(2)25°;(31 【解析】 【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解. (2)由A 、B 、C 、D 共圆,得出∠BDC =∠BAC ,(3)根据正方形的性质可得AB =AD =CD ,∠BAD =∠CDA ,∠ADG =∠CDG ,然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2,利用“SAS ”证明△ADG 和△CDG 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3,从而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB =90°,取AB 的中点O ,连接OH 、OD ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =12AB =1,利用勾股定理列式求出OD ,然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时,DH 的长度最小. 【详解】(1)如图1,∵AB =AC ,AD =AC ,∴以点A 为圆心,点B 、C 、D 必在⊙A 上, ∵∠BAC 是⊙A 的圆心角,而∠BDC 是圆周角,∴∠BDC =12∠BAC =45°, 故答案是:45;(2)如图2,取BD 的中点O ,连接AO 、CO .∵∠BAD =∠BCD =90°, ∴点A 、B 、C 、D 共圆, ∴∠BDC =∠BAC , ∵∠BDC =25°, ∴∠BAC =25°;(3)在正方形ABCD 中,AB =AD =CD ,∠BAD =∠CDA ,∠ADG =∠CDG , 在△ABE 和△DCF 中,AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===, ∴△ABE ≌△DCF (SAS ), ∴∠1=∠2, 在△ADG 和△CDG 中,AD CDADG CDGDG DG⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=180°−90°=90°,取AB的中点O,连接OH、OD,则OH=AO=12AB=1,在Rt△AOD中,OD2222125AO AD++=根据三角形的三边关系,OH+DH>OD,∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,最小值=OD−OH5.【点睛】本题主要考查了圆的综合题,需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识,难度偏大,解题时,注意辅助线的作法.28.(1)抛物线的表达式为:228y x x=-++,直线AB的表达式为:21y x=-;(2)存在,理由见解析;点P(6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)-.【解析】【分析】(1)二次函数表达式为:y=a(x-1)2+9,即可求解;(2)S△DAC=2S△DCM,则()()()()()21112821139112 222DAC C AS DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯,,即可求解;(3)分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)二次函数表达式为:()219y a x =-+, 将点A 的坐标代入上式并解得:1a =-, 故抛物线的表达式为:228y x x =-++…①, 则点()3,5B ,将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线AB 的表达式为:21y x =-; (2)存在,理由:二次函数对称轴为:1x =,则点()1,1C , 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设点()2,28D x x x -++,点(),21H x x -,∵2DAC DCM S S ∆∆=, 则()()()()()21112821139112222DACC A SDH x x x x x x =-=-++-++=--⨯, 解得:1x =-或5(舍去5), 故点()1,5D -;(3)设点(),0Q m 、点(),P s t ,228t s s =-++, ①当AM 是平行四边形的一条边时,点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ,同理,点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --,即为点P , 即:4m s -=,6t -=,而228t s s =-++, 解得:6s =或﹣4, 故点()6,16P -或()4,16--; ②当AM 是平行四边形的对角线时,由中点公式得:2m s +=-,2t =,而228t s s =-++, 解得:17s =±故点()12P 或()12;综上,点()6,16P -或()4,16--或()12或()12. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.29.(1)3秒后,PQ 的长度等于(2)PQB ∆的面积不能等于27cm . 【解析】 【分析】(1)由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2,求出即可;(2)由(1)得,当△PQB 的面积等于7cm 2,然后利用根的判别式判断方程根的情况即可; 【详解】解:(1)设x 秒后,PQ =5BP x =-,2BQ x =, ∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+=解得:13x =,21x =-(舍去) ∴3秒后,PQ 的长度等于;(2)设t 秒后,5PB t =-,2QB t =, 又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=,()15272t t ⨯-⨯=, ∴2570t t -+=,25417252830∆=-⨯⨯=-=-<,∴方程没有实数根,∴PQB ∆的面积不能等于27cm . 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”,得出等量关系是解决问题的关键. 30.(1)174m >-;(2)4m =- 【解析】 【分析】(1)由根的判别式2=40b ac ∆->即可求解;(2)根据菱形对角线互相垂直且平分,由勾股定理得222125x x +=,又由一元二次方程根与系数的关系1212, b c x x x x a a+=-=,所以有()2221212122x x x x x x +-=+,据此列出关于m 的方程求解. 【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根, ∴()()22=2144=417m m m ∆+--+>0解得:174m >- ∴当174m >-时,方程有两个不相等的实数根; (2)由题意得: 2221212212521?4x x x x m x x m ⎧+=⎪+=--⎨⎪=-⎩ ∴()()()222222121212=2212424925x x x x x x m m m m ++-=----=++=解得:2m =或4m =-∵21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线 ∴122 1 0x x m +=-->,即12m <- ∴4m =- 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、结合菱形的性质考查勾股定理和韦达定理,熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键. 31.(1)当t 为52秒时,S 最大值为185;(2)2013; (3)52或2513或4013.【解析】 【分析】(1)过点P 作PH ⊥AC 于H ,由△APH ∽△ABC ,得出=PH APBC AB,从而求出AB ,再根据535PH t -,得出PH=3﹣35t ,则△AQP 的面积为:12AQ•PH =12t (3﹣35t ),最后进行整理即可得出答案;(2)连接PP′交QC 于E ,当四边形PQP′C 为菱形时,得出△APE ∽△ABC ,=AE APAC AB,求出AE=﹣45t+4,再根据QE=AE ﹣AQ ,QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+2,再求t 即可; (3)由(1)知,PD=﹣35t+3,与(2)同理得:QD=﹣95t+4,从而求出。
安徽省合肥市瑶海区2019-2020学年第一学期期末考试九年级数学 (解析版)
2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期末数学试卷一、选择题1.二次函数y=(x﹣2)2+3的图象的顶点坐标是()A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(﹣2,﹣3)D.(2,﹣3)2.如果x:y=1:2,那么下列各式中不成立的是()A.B.C.D.3.若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是()A.m>﹣2B.m<﹣2C.m>2D.m<24.将y=﹣(x+4)2+1的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得函数最大值为()A.y=﹣2B.y=2C.y=﹣3D.y=35.下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是()A.B.C.D.6.如图,在▱ABCD中,AB:BC=4:3,AE平分∠DAB交CD于点E,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A.3:4B.9:16C.4:3D.16:97.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠D=110°,则∠AOC的度数为()A.130°B.135°C.140°D.145°8.如图,在△ABC中,AB=18,BC=15,cos B=,DE∥AB,EF⊥AB,若=,则BE长为()A.7.5B.9C.10D.59.如图,反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象经过△ABC的顶点A,C,AB=AC,且BC⊥y轴,点A、C的横坐标分别为1、3,若∠BAC=120°,则k的值为()A.1B.C.D.210.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,E为BC的中点,F为DE上一动点,P为AF 中点,连接PC,则PC的最小值是()A.4B.8C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.反比例函数y=﹣的图象经过点P(a+1,4),则a=.12.某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米,此时他在垂直方向的距离上升了2米,则这个坡面的坡度为.13.如图,正方形ABCD中,P为AD上一点,BP⊥PE交BC的延长线于点E,若AB=6,AP=4,则CE的长为.14.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m,0).若2<m<5,则a的取值范围是.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+(﹣)﹣2+.16.如图所示,正方形网格中,ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).(1)把ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED.(1)求证:ED=DC;(2)若CD=6,EC=4,求AB的长.18.观察下列各式:﹣1×=﹣1+,﹣=﹣,﹣=﹣(1)猜想:﹣×=(写成和的形式)(2)你发现的规律是:﹣×=;(n为正整数)(3)用规律计算:(﹣1×)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣×)+(﹣×).五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在一笔直的海岸线上有A,B两观景台,A在B的正东方向,BP=5(单位:km),有一艘小船停在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.(1)求A、B两观景台之间的距离;(2)小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察,求观景台B到射线AP的最短距离.(结果保留根号)20.如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(n,﹣1),B(,﹣4)两点.(1)求反比例函数的解析式;(2)求一次函数的解析式;(3)若点C坐标为(0,2),求△ABC的面积.六、(本题满分12分)21.已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AD的中点,连接CE并延长交边AB于点F,AC=13,BC=8,cos∠ACB=.(1)求tan∠DCE的值;(2)求的值.七、(本题满分12分)22.公司经销的一种产品,按要求必须在15天内完成销售任务.已知该产品的销售价为62元/件,推销员小李第x天的销售数量为y件,y与x满足如下关系:y=(1)小李第几天销售的产品数量为70件?(2)设第x天销售的产品成本为m元/件,m与x的函数图象如图,小李第x天销售的利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?八、(本题满分14分)23.如图1,在△ABC中,AB=BC=20,cos A=,点D为AC边上的动点(点D不与点A,C重合),以D为顶点作∠BDF=∠A,射线DE交BC边于点E,过点B作BF⊥BD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:△ABD∽△CDE;(2)当DE∥AB时(如图2),求AD的长;(3)点D在AC边上运动的过程中,若DF=CF,则CD=.参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小題4分,共40分)1.二次函数y=(x﹣2)2+3的图象的顶点坐标是()A.(2,3)B.(﹣2,3)C.(﹣2,﹣3)D.(2,﹣3)【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标.解:∵抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,3).故选:A.2.如果x:y=1:2,那么下列各式中不成立的是()A.B.C.D.【分析】根据比例式的性质得出x,y的关系,分别代入四个选项即可得出答案,也可用特殊值法求出.解:∵x:y=1:2,∴=,A.==,故本选项正确;B,=1﹣=1﹣=,故本选项正确;C,===,故本选项正确;D,当x=2,y=4时,==,故此选项错误,故选:D.3.若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是()A.m>﹣2B.m<﹣2C.m>2D.m<2【分析】根据反比例函数的性质,可得m+2<0,从而得出m的取值范围.解:∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,∴m+2<0,解得m<﹣2.故选:B.4.将y=﹣(x+4)2+1的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得函数最大值为()A.y=﹣2B.y=2C.y=﹣3D.y=3【分析】根据函数图象向右平移减,向下平移减,可得答案.【解答】解;将y=﹣(x+4)2+1的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数表达式是y=﹣(x+4﹣2)2+1﹣3,即y=﹣(x+2)2﹣2.所以其顶点坐标是(﹣2,﹣2).由于该函数图象开口方向向下,所以,所得函数的最大值是﹣2.故选:A.5.下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是()A.B.C.D.【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理,三边对应成比例,做题即可.解:设单位正方形的边长为1,给出的三角形三边长分别为,2,.A、三角形三边2,,3,与给出的三角形的各边不成比例,故A选项错误;B、三角形三边2,4,2,与给出的三角形的各边成正比例,故B选项正确;C、三角形三边2,3,,与给出的三角形的各边不成比例,故C选项错误;D、三角形三边,4,,与给出的三角形的各边不成比例,故D选项错误.故选:B.6.如图,在▱ABCD中,AB:BC=4:3,AE平分∠DAB交CD于点E,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A.3:4B.9:16C.4:3D.16:9【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠DEA=∠EAB,∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠DEA,∴AE=DE,∵AB:BC=4:3,∴DE:AB=3:4,∵△DEF∽△BAF,∵DE:EC=3:1,∴DE+DC=DE:AB=3:4,∴=()2=.故选:B.7.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠D=110°,则∠AOC的度数为()A.130°B.135°C.140°D.145°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数,再利用圆周角定理解答即可.解:∵∠D=110°,∴∠B=180°﹣110°=70°,∴∠AOC=2∠B=140°,故选:C.8.如图,在△ABC中,AB=18,BC=15,cos B=,DE∥AB,EF⊥AB,若=,则BE长为()A.7.5B.9C.10D.5【分析】设DE=x,则AF=2x,BF=18﹣2x,利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题.解:设DE=x,则AF=2x,BF=18﹣2x,∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∵cos B==,∴BE=(18﹣2x),∵DE∥AB,∴=,∴=,∴x=6,∴BE=(18﹣12)=10,故选:C.9.如图,反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象经过△ABC的顶点A,C,AB=AC,且BC⊥y轴,点A、C的横坐标分别为1、3,若∠BAC=120°,则k的值为()A.1B.C.D.2【分析】根据等腰三角形的性质以及∠BAC=120°得到三角形ACD的两边之间的关系,再结合反比例函数解析式得到关于k的方程,解出k即可得出答案.解:过点A作AD⊥BC,∵点A、点C的横坐标分别为1,3,且A,C均在反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象上,∴A(1,k),C(3,),∵AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,∴∠ACD=30°,∠ADC=90°,∴DC=AD,即2=(k﹣),解得k=.故选:C.10.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,E为BC的中点,F为DE上一动点,P为AF 中点,连接PC,则PC的最小值是()A.4B.8C.2D.4【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时,PC取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2,故CP的最小值为CP1的长,由勾股定理求解即可.解:如图:当点F与点D重合时,点P在P1处,AP1=DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=AP2,∴P1P2∥DE且P1P2=DE当点F在ED上除点D、E的位置处时,有AP=FP由中位线定理可知:P1P∥DF且P1P=DF∴点P的运动轨迹是线段P1P2,∴当CP⊥P1P2时,PC取得最小值∵矩形ABCD中,AB=4,AD=8,E为BC的中点,∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形,DP1=2∴∠BAE=∠DAE=∠DP1C=45°,∠AED=90°∴∠AP2P1=90°∴∠AP1P2=45°∴∠P2P1C=90°,即CP1⊥P1P2,∴CP的最小值为CP1的长在等腰直角CDP1中,DP1=CD=4,∴CP1=4∴PB的最小值是4.故选:D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.反比例函数y=﹣的图象经过点P(a+1,4),则a=﹣3.【分析】此题可以直接将P(a+1,4)代入y=﹣即可求得a的值.解:将点P(a+1,4)代入y=﹣,解得a=﹣3.故答案为:﹣3.12.某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米,此时他在垂直方向的距离上升了2米,则这个坡面的坡度为.【分析】直接利用勾股定理得出AC的长,再利用坡角的定义得出答案.解:由题意可得:AB=6m,BC=2m,则在直角△ACB中,AC===4(m),故这个坡面的坡度为:==.故答案为:.13.如图,正方形ABCD中,P为AD上一点,BP⊥PE交BC的延长线于点E,若AB=6,AP=4,则CE的长为7.【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF,结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP,利用相似三角形的性质可求出DF的长,进而可得出CF的长,由∠PFD=∠EFC,∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC,再利用相似三角形的性质可求出CE的长.解:∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠D=∠ECF=90°,AB=AD=CD=6,∴DP=AD﹣AP=2.∵BP⊥PE,∴∠BPE=90°,∴∠APB+∠DPF=90°.∵∠APB+∠ABP=90°,∴∠ABP=∠DPF.又∵∠A=∠D,∴△APB∽△DFP,∴=,即=,∴DF=,∴CF=.∵∠PFD=∠EFC,∠D=∠ECF,∴△PFD∽△EFC,∴=,即=,∴CE=7.故答案为:7.14.已知关于x的二次函数y=ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m,0).若2<m<5,则a的取值范围是﹣5<a<﹣2或<a<.【分析】由解析式y=ax2+(a2﹣1)x﹣a=(ax﹣1)(x+a),可求抛物线与x轴的交点为(﹣a,0),(,0),结合已知当a>0时,2<<5,当a<0时,2<﹣a<5,分别求出a的范围即可.解:y=ax2+(a2﹣1)x﹣a=(ax﹣1)(x+a),当y=0时,x=﹣a或x=,∴抛物线与x轴的交点为(﹣a,0),(,0),∵与x轴的一个交点坐标为(m,0)且2<m<5,当a>0时,2<<5,∴<a;当a<0时,2<﹣a<5,﹣5<a<﹣2;故答案为<a或﹣5<a<﹣2.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:|2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+(﹣)﹣2+.【分析】涉及绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算等考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.解:原式=|2﹣|﹣1+4+,=2﹣﹣1+4+,=5.16.如图所示,正方形网格中,ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).(1)把ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2.【分析】(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,相当于把△ABC先向右平移3个单位,再向上平移3个单位,利用此平移规律画出B、C的对应点即可;(2)利用旋转的定义和网格的特点画图.解:(1)如图,△A1B1C1为所作;(2)如图,△A1B2C2为所作.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED.(1)求证:ED=DC;(2)若CD=6,EC=4,求AB的长.【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得出∠DEC=∠A,根据等腰三角形的性质得出∠A=∠C,求出∠DEC=∠C,根据等腰三角形的判定得出即可;(2)连接BD,根据圆周角定理求出∠ADB=90°,根据等腰三角形的性质求出AC长,再求出△DEC∽△BAC,得出比例式,即可求出答案.【解答】(1)证明:∵A、B、E、D四点共圆,∴∠DEC=∠A,∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴∠DEC=∠C,∴ED=DC;(2)解:连接BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∵AB=BC,CD=6,∴AD=DC=6,∴AC=12,∵∠A=∠DEC,∠C=∠C,∴△DEC∽△BAC,∴=,∴=,解得:BC=6,∵AB=BC,∴AB=6.18.观察下列各式:﹣1×=﹣1+,﹣=﹣,﹣=﹣(1)猜想:﹣×=﹣+(写成和的形式)(2)你发现的规律是:﹣×=﹣+;(n为正整数)(3)用规律计算:(﹣1×)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣×)+(﹣×).【分析】由所给的已知发现乘积的等于和,即可求解.解:(1)由所给的已知发现乘积的等于和,∴﹣×=﹣+,故答案为﹣+;(2)﹣×=﹣+,故答案为﹣+;(3)(﹣1×)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣×)+(﹣×)=﹣1+﹣﹣﹣…﹣+=﹣1+=﹣.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,在一笔直的海岸线上有A,B两观景台,A在B的正东方向,BP=5(单位:km),有一艘小船停在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.(1)求A、B两观景台之间的距离;(2)小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察,求观景台B到射线AP的最短距离.(结果保留根号)【分析】(1)过点P作PD⊥AB于点D,先解Rt△PBD,得到BD和PD的长,再解Rt△PAD,得到AD和AP的长,然后根据BD+AD=AB,即可求解;(2)过点B作BF⊥AC于点F,解直角三角形即可得到结论.解:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠PBD=90°﹣45°=45°,∴BD=PD=BP=5km.在Rt△PAD中,∠ADP=90°,∠PAD=90°﹣60°=30°,∴AD=PD=5km,PA=12.∴AB=BD+AD=(5+5)km;答:A、B两观景台之间的距离为=(5+5)km;(2)如图,过点B作BF⊥AC于点F,则∠BAP=30°,∵AB=(5+5),∴BF=AB=(+)km.答:观测站B到射线AP的最短距离为(+)km.20.如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(n,﹣1),B(,﹣4)两点.(1)求反比例函数的解析式;(2)求一次函数的解析式;(3)若点C坐标为(0,2),求△ABC的面积.【分析】(1)将B代入反比例函数y=(x>0)利用待定系数法即可求得;(2)求得A的坐标,然后利用待定系数法即可求得直线的解析式;(3)设一次函数解析式y=2x﹣5图象交y轴为点D,由S△ABC=S△ACD﹣S△BCD,可求S.△ABC解:(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(n,﹣1),B(,﹣4)两点.∴m=×(﹣4)=﹣2,∴反比例函数的解析式y=﹣;(2)把A(n,﹣1)代入y=﹣得﹣1=﹣,∴n=2,∴A(2,﹣1),∵次函数y=kx+b的图象经过A(2,﹣1),B(,﹣4),∴,解得:∴一次函数解析式y=2x﹣5;(3)设一次函数解析式y=2x﹣5图象交y轴为点D∴D(0,﹣5)∵C(0,2),∵S△ABC=S△ACD﹣S△BCD∴S△ABC==.六、(本题满分12分)21.已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AD的中点,连接CE并延长交边AB于点F,AC=13,BC=8,cos∠ACB=.(1)求tan∠DCE的值;(2)求的值.【分析】(1)由三角函数定义求出CD=5,由勾股定理得出AD=12,求出ED=AD =6,由三角函数定义即可得出答案;(2)过D作DG∥CF交AB于点G,求出BD=BC﹣CD=3,由平行线分线段成比例定理得出==,==1,得出AF=FG,设BG=3x,则AF=FG=5x,BF=FG+BG=8x,即可得出答案.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,在Rt△ADC中,AC=13,cos∠ACB==,∴CD=5,由勾股定理得:AD==12,∵E是AD的中点,∴ED=AD=6,∴tan∠DCE==;(2)过D作DG∥CF交AB于点G,如图所示:∵BC=8,CD=5,∴BD=BC﹣CD=3,∵DG∥CF,∴==,==1,∴AF=FG,设BG=3x,则AF=FG=5x,BF=FG+BG=8x∴=.七、(本题满分12分)22.公司经销的一种产品,按要求必须在15天内完成销售任务.已知该产品的销售价为62元/件,推销员小李第x天的销售数量为y件,y与x满足如下关系:y=(1)小李第几天销售的产品数量为70件?(2)设第x天销售的产品成本为m元/件,m与x的函数图象如图,小李第x天销售的利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出第几天时利润最大,最大利润是多少?【分析】(1)根据已知所给y与x的关系式即可求解;(2)根据函数图象先求出m关于x的一次函数解析式,再根据销售利润=单件利润×销售量即可得w与x的函数关系式,进而求解.解:(1)若8x=70,得x=>5,不符合题意;则5x+10=70,解得x=12.答:小李第12天销售的产品数量为70件.(2)由函数图象可知:当0≤x≤5,m=40,当5<x≤15时,设m=kx+b,将(5,40)(15,60)代入,得,解得,∴m=2x+30.①当0≤x≤5时,w=(62﹣40)•8x=176x,∵w随x的增大而增大,∴当x=5时,w最大为880;②当5<x≤15时,w=(62﹣2x﹣30)(5x+10)=﹣10x2+140x+320,∴当x=7时,w最大为810.∵880>810,∴当x=5时,w取得最大值为880元.答:第5天时利润最大,最大利润为880元.八、(本题满分14分)23.如图1,在△ABC中,AB=BC=20,cos A=,点D为AC边上的动点(点D不与点A,C重合),以D为顶点作∠BDF=∠A,射线DE交BC边于点E,过点B作BF⊥BD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:△ABD∽△CDE;(2)当DE∥AB时(如图2),求AD的长;(3)点D在AC边上运动的过程中,若DF=CF,则CD=14.【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.(2)解直角三角形求出BC,由△ABD∽△ACB,推出=,可得AD=.(3)点D在AC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.作FH⊥AC于H,BM⊥AC于M,BN⊥FH于N.则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°,由△BFN∽△BDM,可得==tan∠BDF=tan A=,推出AN=AM=×12=9,推出CH=CM﹣MH=CM﹣AN=16﹣9=7,再利用等腰三角形的性质,求出CD即可解决问题.【解答】(1)证明:如图1中,∵BA=BC,∴∠A=∠ACB,∵∠BDE+∠CDE=∠A+∠ABD,∠BDE=∠A,∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△CDE.(2)解:如图2中,作BM⊥AC于M.在Rt△ABM中,则AM=AB•cos A=20×=16,由勾股定理,得到AB2=AM2+BM2,∴202=162+BM2,∴BM=12,∵AB=BC,BM⊥AC,∴AC=2AM=32,∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠ACB,∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△ACB,∴=,∴AD==.(3)点D在AC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.理由:作FH⊥AC于H,AM⊥AC于M,BN⊥FH于N.则∠NHM=∠BMH=∠BNH =90°,∴四边形BMHN为矩形,∴∠MBN=90°,MH=BN,∵AB=BC,BM⊥AC,∵AB=20,AM=CM=16,AC=32,BM=12,∵BN⊥FH,BM⊥AC,∴∠BNF=90°=∠BMD,∵∠DBF=90°=∠MBN,∴∠NBF=∠MBD,∴△BFN∽△BDM,∴==tan∠BDF=tan A=,∴BN=BM=×12=9,∴CH=CM﹣MH=CM﹣BN=16﹣9=7,当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形,∵FH⊥DC,∴CD=2CH=14.故答案为14.。
九年级上册合肥数学期末试卷测试卷(含答案解析)
11.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,下列结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若B(﹣5,y1)、C(﹣1,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2.其中正确结论是()
A.②④B.①③④C.①④D.②③
12.已知抛物线与二次函数 的图像相同,开口方向相同,且顶点坐标为 ,它对应的函数表达式为()
A. B.
C. D.
二、填空题
13.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解,则此三角形的周长是_____.
14.小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm,母线长为7cm,那么它的侧面展开图的面积是_____cm2.
18.如图,在 中, , , ,则 的长为________.
19.二次函数 的图象如图所示,若点 , 是图象上的两点,则 ____ (填“>”、“<”、“=”).
20.已知正方形ABCD边长为4,点P为其所在平面内一点,PD= ,∠BPD=90°,则点A到BP的距离等于_____.
21.如图,一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成,向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上),击中黑色区域的概率是_____.
28.如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线y= x2相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点D,于y轴相交于点C,设∆OCD的面积为S,且kS+8=0.
(1)求b的值.
(2)求证:点(y1,y2)在反比例函数y= 的图像上.
29.随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
安徽省合肥市2019-2020学年九年级(上)期末数学模拟试卷(含答案)
安徽省合肥市2019—2020年度第一学期期末考试模拟试题九年级数学(时间90分钟,满分120分)班级 姓名 学号 分数________一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1. sin 60︒的值等于( )A .12B .2C .2D2. 下列函数解析式中,一定为二次函数的是( ) A .31y x =- B .2y ax bx c =++ C .2221y t t =-+D .21y x x=+3. 将抛物线21y x =+先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是( ) A .2(2)2y x =++ B .2(2)2y x =+- C .2(2)2y x =-+D .2(2)2y x =--4. 在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,4BC =,3AC =,则sin B =( ) A .35B .45C .34D .435. 对于反比例函数2y x=,下列说法不正确的是( ) A .点()2,1--在它的图象上 B .它的图象在第一、三象限C .y 随x 的增大而减小D .当0x <时,y 随x 的增大而减小6.6. 如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边DC 上,:3:1DE EC =,连接AE 交BD 于点F ,则DEF ∆的面积与BAF ∆的面积之比为( )A .3:4B .9:16C .9:1D .3:17. 如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分,且过点()3,0A ,二次函数图象的对称轴是直线1x =,下列结论正确的是( )A .24b ac <B .0ac >C .20a b -=D .0a b c -+=8. 在平面直角坐标中,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,点A ,B ,E 在x 轴上,若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为( )A .()3,2B .()3,1C .()2,2D .()4,29. 在平面直角坐标系xOy 中,将一块含有45︒角的直角三角板如图放置,直角顶点C 的坐标为()1,0,顶点A 的坐标为()0,2,顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x 轴正方向平移,当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C 的对应点C '的坐标为( )A .()3,0B .()2,0C .3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D .5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 如图,边长为2的正ABC ∆的边BC 在直线l 上,两条距离为1的平行直线a 和b 垂直于直线l ,a 和b 同时向右移动(a 的起始位置在B 点),速度均为每秒1个单位,运动时间为t (秒),直到b 到达C 点停止,在a 和b 向右移动的过程中,记ABC ∆夹在a 和b 间的部分的面积为S ,则S 关于t 的函数图象大致为( )A .B .题号 12345678910答案二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点,MP NP >,且()MP 51cm =-,则MN 等于____________cm .12. 如图所示,河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤高5m BC =,则坡面AB 的长度是__________m .13. 已知()0,3A ,()2,3B 是抛物线2y x bx c =-++上两点,该抛物线的顶点坐标是 .14. 矩形ABCD 中,6AB =,8BC =.点 P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足PBE DBC ∆∆∽.若APD ∆是等腰三角形,则PE 的长为____________.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.计算:2(1)2sin 45(2018)2π--︒+-+- 16.若578a b c==且329a b c -+=,求243a b c +-的值(a ,b ,c 均不为0) 四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.已知二次函数的图象以()1,4A -为顶点,且过点()2,5B - (1)求该函数的关系式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;18.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出111A B C ∆和222A B C ∆:(1) 将ABC ∆先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到111A B C ∆; (2) 以图中的点O 为位似中心,将111A B C ∆作位似变换且放大到原来的两倍,得到222A B C ∆.五 、(本大题共2小题 ,每小题10分,满分20分 )19.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A ,B 两地被大山阻隔,由A 地到B 地需要绕行C 地,若打通穿山隧道,建成A ,B 两地的直达高铁,可以缩短从A 地到B 地的路程.已知:30CAB ∠=︒,45CBA ∠=︒,640AC =公里,求隧道打通后与打通前相比,从A 地到B 地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:3 1.7≈,2 1.4≈)20.如图,在ABC ∆中,8AB =,4BC =,6CA =,CD AB ∥,BD 是ABC ∠的平分线,BD 交AC 于点E ,求AE 的长.六、(本题满分12分) 21.如图,已知反比例函数(0)k y x x =>的图象与一次函数142y x =-+的图象交于A 和()6,B n两点.(1)求k 和n 的值;(2)若点(),C x y 也在反比例函数(0)ky x x=>的图象上,求当26x ≤≤时,函数值y 的取值范围.七、(本题满分12分 )22.某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式26y x =-+.(1)求这种产品第一年的利润1W (万元)与售价x (元/件)满足的函数关系式; (2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少?(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元. 八、23.如图1所示,在ABC ∆中,点O 是AC 上一点,过点O 的直线与AB ,BC 的延长线分别相交于点M ,N .图1(1)若点O 是AC 的中点,13AM BM =,求CNBN的值; 温馨提示:过点A 作MN 的平行线交BN 的延长线于点G . (2)若点O 是AC 上任意一点(不与A ,C 重合),求证:1AM BN COMB NC OA⋅⋅=; (3)如图2所示,点P 是ABC ∆内任意一点,射线AP ,BP ,CP 分别交BC ,AC ,AB 于点D ,E ,F ,若13AF BF =,12BD CD =,求AECE的值.图2参考答案一、选择题题号 12345678910答案CCBACBDADB二、填空题11.2 12.10 13.()1,4 14.1.2或3三、15. 解:原式2=16. 解:24310282414a b c +-=+-=四、17. (1)()214y x =-++(2)该函数的图像与坐标轴的交点是()10,,()30-,,()03, 18.五、19. 解:过点C 作CD AB ⊥于点D ,在Rt ADC ∆和Rt BCD ∆中,30CAB ∠=︒,45CBA ∠=︒,640AC =,320CD ∴=,3203AD =320BD CD ∴==,3202BC =64032021088AC BC ∴+=+≈,3203320864AB AD BD ∴=+=≈,1088864224∴=﹣(公里)答:隧道打通后与打通前相比,从A 地到B 地的路程将约缩短224公里. 20.解:BD 为ABC ∠的平分线,ABD CBD ∴∠=∠,AB CD ∥,D ABD ∴∠=∠,D CBD ∴∠=∠,BC CD ∴=,4BC =,4CD ∴=,AB CD ∥,ABE CDE ∴∆∆∽,AB AE CD CE ∴=,84AECE∴=,2AE CE ∴=,6AC AE CE ==+,4AE ∴=.六、解:(1)当6x =时,16412n =⨯+=﹣,∴点B 的坐标为()6,1.∵反比例函数k y x=过点()6,1B ,616k ∴=⨯=. (2)60k =>,∴当0x >时,y 随x 值增大而减小,∴当26x ≤≤时,13y ≤≤.七、(本题满分12分)解:(1)()()162680W x x =--+-232236x x =-+-. (2)由题意:22032236x x =-+-.解得:16x =,答:该产品第一年的售价是16元. (3)由题意:1416x ≤≤,()()252620W x x =--+-231150x x =-+-, 1416x ≤≤,14x ∴=或16时,2W 有最小值,最小值88=(万元),答:该公司第二年的利润2W 至少为88万元.八、解:(1)过点A 作AG MN ∥交BN 延长线于点G ,G BNM ∴∠=∠,又B B ∠=∠,ABG MBN ∴∆∆∽,BG AB BN MB ∴=,11BG AB BN MB ∴-=-,BG BN AB MBBN MB--∴=,即NG AMBN MB=, 同理,在ACG ∆和OCN ∆中,NG AO CN CO =,CO CNAO NG ∴=,O 为AC 中点,AO CO ∴=,NG CN ∴=,13CN NG AM BN BN BM ===∴. (2)由(1)知,NG AM BN MB =、CO CN AO NG =,1AM BN CO NG BN CNMB NC OA BN NC NG ∴⋅⋅=⋅⋅=;(3)在ABD ∆中,点P 是AD 上的一点,过点P 的直线与AC 、BD 的延长线相交于点C ,由(2)得1AF BC DP BF CD PA⋅⋅=,在ACD ∆中,点P 是AD 上一点,过点P 是AD 上一点,过点P 的直线与AC 、AD 的延长线分别相交于点E 、B ,由(2)得1AE CB DP EC BD PA ⋅⋅=,AF BC DP AE CB DPBF CD PA EC BD PA∴⋅⋅=⋅⋅, AE AF BC BD EC BF CD CB =⋅⋅∴111326AF BD FB CD =⋅=⨯=.。
[试卷合集5套]合肥市2019年九年级上学期期末统考数学试题
估计任意抛掷一只纸杯,杯口朝上的概率约为0.1.
故答案为:0.1.
【点睛】
本题考查利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率,然后用频率估计概率即可解决问题.
16.在实数范围内定义一种运算“※”,其规则为a※b=a2﹣b,根据这个规则,方程(x+2)※9=0的解为_____.
即与x轴的交点坐标是(2+ ,0)和(2﹣ ,0),都在x轴的正半轴上,
a=1>0,抛物线的图象的开口向上,与y轴的交点坐标是(0,2),
即抛物线的图象过第一、二、四象限,不过第三象限,
故选:C.
【点睛】
本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标,即求和x轴交点坐标就要令y=0、求与y轴的交点坐标就要令x=0,求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标
14.若 , 均为锐角,且满足 ,则 __________ .
【答案】15
【分析】利用绝对值和二次根式的非负性求得 的值,然后确定两个角的度数,从而求解.
【详解】解:由题意可知:
∴
∴∠α=60°,∠β=45°
∴∠α-∠β=15°
故答案为:15
【点睛】
本题考查绝对值及二次根式的非负性和特殊角的三角函数值,正确计算是本题的解题关键.
故选B.
点睛:由频数=数据总数×频率计算即可.
5.如图,在 中, , 为 上一点, ,点 从点 出发,沿 方向以 的速度匀速运动,同时点 由点 出发,沿 方向以 的速度匀速运动,设运动时间为 ,连接 交 于点 ,若 ,则 的值为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H,则DF=10-2-t=8-t,证明△DFG∽△HCG,可求出CH,再证明△ADE∽△CHE,由比例线段可求出t的值.
合肥市九年级上册期末数学试题(word版,含解析)
合肥市九年级上册期末数学试题(word 版,含解析)一、选择题1.有一组数据5,3,5,6,7,这组数据的众数为( ) A .3B .6C .5D .72.若x=2y ,则xy的值为( ) A .2B .1C .12D .133.抛物线y =2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( ) A .(0,﹣1)B .(﹣2,﹣1)C .(2,﹣1)D .(0,1)4.若25x y =,则x y y+的值为( ) A .25B .72 C .57D .755.已知圆锥的底面半径为5cm ,母线长为13cm ,则这个圆锥的全面积是( )A .265cm πB .290cm πC .2130cm πD .2155cm π6.已知点O 是△ABC 的外心,作正方形OCDE ,下列说法:①点O 是△AEB 的外心;②点O 是△ADC 的外心;③点O 是△BCE 的外心;④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是( ) A .②④B .①③C .②③④D .①③④7.将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A .23(2)3y x =++B .23(2)3y x =-+C .23(2)3y x =+-D .23(2)3y x =-- 8.已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ,若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A .在⊙O 的内部B .在⊙O 的外部C .在⊙O 上D .在⊙O 上或⊙O 内部9.已知⊙O 的半径为4,点P 到圆心O 的距离为4.5,则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A .P 在圆内B .P 在圆上C .P 在圆外D .无法确定10.如图,点A 、B 、C 均在⊙O 上,若∠AOC =80°,则∠ABC 的大小是( )A .30°B .35°C .40°D .50°11.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC 的顶点都在格点上,将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°,则顶点A 所经过的路径长为( )A .10πB .10C .10π D .π12.已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -12= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2,(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为( ) A .a < x 1< b <x 2B .a < x 1< x 2 < bC .x 1< a < x 2 < bD .x 1< a < b < x 213.如图,在圆内接四边形ABCD 中,∠A :∠C =1:2,则∠A 的度数等于( )A .30°B .45°C .60°D .80° 14.用配方法解方程2890x x ++=,变形后的结果正确的是( ) A .()249x +=- B .()247x +=-C .()2425x +=D .()247x +=15.如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且∠D =40°,则∠PCA 等于( )A .50°B .60°C .65°D .75°二、填空题16.将抛物线y =-5x 2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到新的抛物线的表达式是________.17.如图,在△ABC 中,AB =3,AC =4,BC =6,D 是BC 上一点,CD =2,过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分,使其所分成的三角形与△ABC 相似,若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ,则DP =________.18.关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x +1=0是一元二次方程,则m 满足的条件是_____. 19.在△ABC 中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,则△ABC 外接圆半径为________;20.如图,在平面直角坐标系中,直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 正半轴上,且OC =O B .点P 为线段AB (不含端点)上一动点,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ,连接CQ ,则线段CQ 的最小值为___________.21.某厂一月份的总产量为500吨,通过技术更新,产量逐月提高,三月份的总产量达到720吨.若平均每月增长率是,则可列方程为__.22.将正整数按照图示方式排列,请写出“2020”在第_____行左起第_____个数.23.如图,在边长为4的菱形ABCD 中,∠A=60°,M 是AD 边的中点,点N 是AB 边上一动点,将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ,连接A′C ,则线段A′C 长度的最小值是______.24.从2,0,π,3.14,6这五个数中随机抽取一个数,抽到有理数的概率是____. 25.如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠A =100°,则∠BOC 为_____.26.数据1、2、3、2、4的众数是______.27.如图,在边长为 6 的等边△ABC 中,D 为 AC 上一点,AD=2,P 为 BD 上一点,连接 CP ,以 CP 为 边,在 PC 的右侧作等边△CPQ ,连接 AQ 交 BD 延长线于 E ,当△CPQ 面积最小时,QE=____________.28.像23x +=x 这样的方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x +3=x 2,解得x 1=3,x 2=﹣1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,当x 1=3时,9=3满足题意;当x 2=﹣1时,1=﹣1不符合题意;所以原方程的解是x =3.运用以上经验,则方程x +5x +=1的解为_____.29.如图,在△ABC 和△APQ 中,∠PAB =∠QAC ,若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ,则这个条件可以是________.30.如图,在ABC ∆中,3AB =,4AC =,6BC =,D 是BC 上一点,2CD =,过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分,使其所分成的三角形与ABC ∆相似,若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ,则DP =__________.三、解答题31.如图,AB BC =,以BC 为直径作O ,AC 交O 于点E ,过点E 作EG AB ⊥于点F ,交CB 的延长线于点G .(1)求证:EG 是O 的切线;(2)若23GF =,4GB =,求O 的半径.32.已知二次函数y =-x 2+bx +c (b ,c 为常数)的图象经过点(2,3),(3,0). (1)则b =,c =;(2)该二次函数图象与y 轴的交点坐标为,顶点坐标为; (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象; (4)根据图象,当-3<x <2时,y 的取值范围是.33.解方程: (1)(x +1)2﹣9=0 (2)x 2﹣4x ﹣45=034.如图,在平面直角坐标系中,ABC ∆的顶点坐标分别为A (6,4),B (4,0),C (2,0).(1)在y 轴左侧,以O 为位似中心,画出111A B C ∆,使它与ABC ∆的相似比为1:2; (2)根据(1)的作图,111tan A B C ∠= .35.已知二次函数y =ax 2+bx ﹣16的图象经过点(﹣2,﹣40)和点(6,8). (1)求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标; (2)当y >0时,直接写出自变量x 的取值范围.四、压轴题36.如图①,A (﹣5,0),OA =OC ,点B 、C 关于原点对称,点B (a ,a +1)(a >0). (1)求B 、C 坐标; (2)求证:BA ⊥AC ;(3)如图②,将点C 绕原点O 顺时针旋转α度(0°<α<180°),得到点D ,连接DC ,问:∠BDC 的角平分线DE ,是否过一定点?若是,请求出该点的坐标;若不是,请说明理由.37.问题提出(1)如图①,在ABC 中,2,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.问题探究(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.问题解决(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.38.如图1:在Rt △ABC 中,AB =AC ,D 为BC 边上一点(不与点B ,C 重合),试探索AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论.小明同学的思路是这样的:将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE ,连接EC ,DE .继续推理就可以使问题得到解决.(1)请根据小明的思路,试探索线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;(2)如图2,在Rt △ABC 中,AB =AC ,D 为△ABC 外的一点,且∠ADC =45°,线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系又是如何的,请证明你的结论;(3)如图3,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 是⊙O 上的点,且∠ADC =45°. ①若AD =6,BD =8,求弦CD 的长为 ;②若AD+BD =14,求2AD BD CD 2⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭的最大值,并求出此时⊙O 的半径.39.如图,抛物线y =﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧),与y 轴交于点C ,⊙P 是△ABC 的外接圆.(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴; (2)求⊙P 的半径;(3)点D 在抛物线的对称轴上,且∠BDC >90°,求点D 纵坐标的取值范围;(4)E 是线段CO 上的一个动点,将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ,求线段OF 的最小值.40.如图,扇形OMN的半径为1,圆心角为90°,点B是上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)当点B移动到使AB:OA=:3时,求的长;(2)当点B移动到使四边形EPGQ为矩形时,求AM的长.(3)连接PQ,试说明3PQ2+OA2是定值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【解析】【分析】根据众数的概念求解.【详解】这组数据中5出现的次数最多,出现了2次,则众数为5.故选:C.【点睛】本题考查了众数的概念:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.2.A解析:A【解析】【分析】将x=2y代入xy中化简后即可得到答案.【详解】将x=2y 代入x y得: 22x yy y ==, 故选:A. 【点睛】此题考查代数式代入求值,正确计算即可.3.C解析:C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法,直接写出顶点坐标即可. 【详解】解:∵顶点式y =a (x ﹣h )2+k ,顶点坐标是(h ,k ), ∴y =2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2,﹣1). 故选:C . 【点睛】本题考查了二次函数顶点式,解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.4.D解析:D 【解析】 【分析】由已知可得x 与y 的关系,然后代入所求式子计算即可. 【详解】 解:∵25x y =, ∴25x y =, ∴2755y yx y y y ++==.故选:D. 【点睛】本题考查了比例的性质,属于基础题型,熟练掌握比例的性质是解题关键.5.B解析:B 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面积公式:S rl π=求出圆锥的侧面积,再加上底面积即得答案. 【详解】解:圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=,所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选:B. 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算,属于基础题型,熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.6.A解析:A 【解析】 【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB ,根据正方形的性质得出OA=OC <OD ,求出OA=OB=OC=OE≠OD ,再逐个判断即可. 【详解】解:如图,连接OB 、OD 、OA ,∵O 为锐角三角形ABC 的外心, ∴OA =OC =OB , ∵四边形OCDE 为正方形, ∴OA =OC <OD , ∴OA =OB =OC =OE ≠OD ,∴OA =OC ≠OD ,即O 不是△ADC 的外心, OA =OE =OB ,即O 是△AEB 的外心, OB =OC =OE ,即O 是△BCE 的外心, OB =OA ≠OD ,即O 不是△ABD 的外心, 故选:A . 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.7.A解析:A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可. 【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位,再向左平移2个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++,故答案选A .8.D解析:D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0,求出d 的范围,进而得出d 与r 的数量关系,即可判断点P 和⊙O 的关系..【详解】解:∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根,∴根的判别式△=(-2) 2 -4×d ≥0,解得d ≤1,∵⊙O 的半径为r=1,∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上.故选:D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径,即当d>r 时,点在圆外,当d=r 时,点在圆上,当d<r 时,点在圆内.9.C解析:C【解析】【分析】点到圆心的距离大于半径,得到点在圆外.【详解】∵点P 到圆心O 的距离为4.5,⊙O 的半径为4,∴点P 在圆外.故选:C.【点睛】此题考查点与圆的位置关系,通过比较点到圆心的距离d 的距离与半径r 的大小确定点与圆的位置关系.10.C解析:C【解析】【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.【详解】∵∠AOC =80°,∴12ABC AOC4.故选:C.【点睛】此题考查圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 11.C解析:C【解析】【分析】【详解】如图所示:在Rt△ACD中,AD=3,DC=1,根据勾股定理得:2210AD CD+=又将△ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为601010π⨯=.故选C.12.D解析:D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】如图,设函数y=(x−a)(x−b),当y=0时,x=a或x=b,当y=12时,由题意可知:(x−a)(x−b)−12=0(a<b)的两个根为x1、x2,由于抛物线开口向上,由抛物线的图象可知:x1<a<b<x2故选:D.【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系,本题属于中等题型.13.C解析:C【解析】【分析】设∠A、∠C分别为x、2x,然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论.【详解】解:设∠A、∠C分别为x、2x,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴x+2x=180°,解得,x=60°,即∠A=60°,故选:C.【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质,掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键.14.D解析:D【解析】【分析】先将常数项移到右侧,然后两边同时加上一次项系数一半的平方,配方后进行判断即可.【详解】2890++=,x x289+=-,x x222++=-+,8494x xx+=,所以()247故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.15.C解析:C【解析】【分析】根据切线的性质,由PD切⊙O于点C得到∠OCD=90°,再利互余计算出∠DOC=50°,由∠A=∠ACO,∠COD=∠A+∠ACO,所以1252A COD∠=∠=︒,然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数.【详解】解:∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=40°,∴∠DOC=90°﹣40°=50°,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠COD=∠A+∠ACO,∴1252A COD∠=∠=︒,∴∠PCA=∠A+∠D=25°+40°=65°.故选C.【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识;熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键.二、填空题16.y=-5(x+2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度,再解析:y=-5(x+2)2-3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减,向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标,再利用顶点式解析式写出即可.【详解】解:∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,∴新抛物线顶点坐标为(-2,-3),∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5(x+2)2-3.故答案为:y=-5(x+2)2-3.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,掌握平移的规律:左加右减,上加下减是关键.17.1,,【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时,当DP∥AC时,当∠CDP=∠A时,当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形,进而得出结果.【详解】BC=6,CD=2,∴BD=4,①如图解析:1,83,32【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时,当DP∥AC时,当∠CDP=∠A时,当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形,进而得出结果.【详解】BC=6,CD=2,∴BD=4,①如图,当DP∥AB时,△PDC∽△ABC,∴PD CDAB BC=,∴236DP=,∴DP=1;②如图,当DP∥AC时,△PBD∽△ABC.∴PD BDAC BC=,∴446DP=,∴DP=83;③如图,当∠CDP=∠A时,∠DPC∽△ABC,∴DP DCAB AC=,∴234DP=,∴DP=32;④如图,当∠BPD=∠BAC时,过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上,,不合题意。
{3套试卷汇总}2019年合肥市九年级上学期期末学业质量监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图,矩形ABCD 的对角线交于点O .若BC n =,BAC α∠=∠,则下列结论错误的是( )A .sin nAC α=B .tan nCD α=C .2sin nOA α=D .cos nBD α=【答案】D【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD ,AO=CO ,BO=DO ,再解直角三角形求出即可. 【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD ,AO=CO ,BO=DO , A 、在Rt △ABC 中,sin BCACα= ∴sin nAC α=,此选项不符合题意 由三角形内角和定理得:∠BAC=∠BDC=∠α, B 、在Rt △BDC 中,tan BCDCα=, ∴tan nCD α=,故本选项不符合题意; C 、在Rt △ABC 中,sin nAC α=,即AO=12AC 2sin n α=,故本选项不符合题意; D 、∴在Rt △DCB 中,cos DCBDα= ∴cos DCBD α=,故本选项符合题意; 故选:D . 【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形,能熟记矩形的性质是解此题的关键. 2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .4πB .3πC .2π+4D .3π+4【答案】D【解析】试题解析:观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱,半圆柱的直径为2,表面积有四个面组成:两个半圆,一个侧面,还有一个正方形. 故其表面积为: 212π1π12223π42⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+, 故选D.3.抛物线2y ax x =+的对称轴是( ) A .1x a=B .1x a=-C .12x a=D .12x a=-【答案】D【解析】根据二次函数的对称轴公式2bx a =-计算即可,其中a 为二次项系数,b 为一次项系数. 【详解】由二次函数的对称轴公式得:122b x a a=-=- 故选:D . 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式,熟记公式是解题关键. 4.一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1,x 2,则1211x x +=( ) A .12B .1 CD【答案】B【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=-1,x 1•x 2=-1,然后把1211x x +进行通分,再利用整体代入的方法进行计算.【详解】根据题意得x 1+x 2=-1,x 1•x 2=-1,所以1211x x +=121211x x x x +-=-=1, 故选B . 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=ca. 5.某班抽取6名同学参加体能测试,成绩如下:1,95,1,80,80,1.下列表述错误的是( ) A .众数是1 B .平均数是1C .中位数是80D .极差是15【答案】C【分析】本题考查统计的有关知识.找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.利用平均数和极差的定义可分别求出.【详解】解:这组数据中1出现了3次,出现的次数最多,所以这组数据的众数位1;由平均数公式求得这组数据的平均数位1,极差为95-80=15;将这组数据按从大到校的顺序排列,第3,4个数是1,故中位数为1. 所以选项C 错误. 故选C . 【点睛】本题考查了统计学中的平均数,众数,中位数与极差的定义.解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选.6.如图,Rt ABC △中,90ACB ∠=,30CAB ∠=,2BC =,O H ,分别为边AB AC ,的中点,将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置,则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( )A .77π338- B .47π338+ C .πD .4π33+ 【答案】C【分析】连接BH ,BH 1,先证明△OBH ≌△O 1BH 1,再根据勾股定理算出BH ,再利用扇形面积公式求解即可.【详解】∵O 、H 分别为边AB ,AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置, ∴△OBH ≌△O 1BH 1,利用勾股定理可求得437+=所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==.故选C . 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、扇形面积的计算,利用全等对面积进行等量转换方便计算是关键.7.四边形ABCD 内接于⊙O ,点I 是ABC ∆的内心,124AIC ∠=,点E 在AD 的延长线上,则CDE ∠的度数为( )A .56°B .62°C .68°D .48°【答案】C【分析】由点I 是ABC 的内心知2BAC IAC =∠∠ ,2ACB ICA =∠∠,从而求得()1802180B AIC =︒-⨯︒-∠∠ ,再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案.【详解】∵点I 是ABC 的内心 ∴2BAC IAC =∠∠ ,2ACB ICA =∠∠ ∵124AIC =︒∠∴B ()180BAC ACB =︒-+∠∠()1802180AIC =︒-⨯︒-∠ 68=︒∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴68CDE B ==︒∠∠ 故答案为:C . 【点睛】本题考查了三角形的内心,圆内接四边形的性质,掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键.8.如图,在矩形ABCD 中,BC=2,AE ⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD 的面积是 ( )A.23B.3C.3D.3【答案】D【分析】根据已知条件,先求Rt△AED的面积,再证明△ECD的面积与它相等.【详解】如图:过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°,∠AED=30°,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=12ED⋅AE,S△ECD=12ED⋅CF.∴S△AED=S△CDE∵AE=12AD=1,DE=223AD AE=-=,∴△ECD3故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识,解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.92x+x的取值范围是()A.x>﹣2 B.x≥﹣2 C.x<﹣2 D.x≤﹣2【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x+≥,再解不等式即可.【详解】解:由题意得:20x+≥,解得:2x≥-,故选:B . 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数. 10.已知二次函数23y ax bx =++自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表:则在实数范围内能使得50y +>成立的x 取值范围是( ) A .2x >- B .2x <-C .24x -<<D .2x >-或4x <【答案】C【分析】根据y=0时的两个x 的值可得该二次函数的对称轴,根据二次函数的对称性可得x=4时,y=5,根据二次函数的增减性即可得图象的开口方向,进而可得答案. 【详解】∵50y +>, ∴5y >-,∵x=-1时,y=0,x=3时,y=0, ∴该二次函数的对称轴为直线x=132-+=1, ∵1-3=-2,1+3=4,∴当2x =-时的函数值与当4x =时的函数值相等, ∵2x =-时,5y =-, ∴4x =时,5y =-,∵x>1时,y 随x 的增大而减小,x<1时,y 随x 的增大而增大, ∴该二次函数的开口向下,∴当24x -<<时,5y >-,即50y +>, 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数的性质,正确提取表中信息并熟练掌握二次函数的性质是解题关键.11.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ,6cm ,9cm ,另一个三角形的最长边长为4.5cm ,则它的最短边长是( ) A .1.5cm B .2.5cmC .3cmD .4cm【答案】B【分析】根据题意可得出两个三角形相似,利用最长边数值可求出相似比,再用三角形的最短边乘以相似比即可.【详解】解:由题意可得出:两个三角形的相似比为:4.5192=, 所以另一个三角形最短边长为:15 2.52⨯=. 故选:B . 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的相似比,根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键. 12.若点P (﹣m ,﹣3)在第四象限,则m 满足( ) A .m >3 B .0<m≤3C .m <0D .m <0或m >3【答案】C【分析】根据第四象限内点的特点,横坐标是正数,列出不等式求解即可. 【详解】解:根据第四象限的点的横坐标是正数,可得﹣m >1,解得m <1. 故选:C . 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号,关键是掌握四个象限内点的坐标符号. 二、填空题(本题包括8个小题)13.若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下,则a _____0(填“=”或“>”或“<”). 【答案】<【解析】由二次函数2y ax bx =+图象的开口向下,可得0a <. 【详解】解:∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下, ∴0a <. 故答案是:<. 【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当0a >时,抛物线向上开口;当0a <时,抛物线向下开口;a 还可以决定开口大小,a 越大开口就越小. 14.半径为6 cm 的圆内接正四边形的边长是____cm .. 【答案】62 【详解】解:如图:圆的半径是6cm ,那么内接正方形的边长为:AB=CB ,因为:AB 2+CB 2=AC 2, 所以:AB 2+CB 2=122 即AB 2+CB 2=144 解得AB=62cm. 故答案为:62.15.若12,x x 是方程2210x x --=的两个根,则12122x x x x ++的值为________ 【答案】1【分析】先由根与系数的关系得出12122,1x x x x +==-,然后代入即可求解. 【详解】∵12,x x 是方程2210x x --=的两个根12122,1x x x x ∴+==-∴原式=22(1)220+⨯-=-= 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 16.如图,AB 为O 的弦,O 的半径为5,OC AB ⊥于点D ,交O 于点C ,且1CD =,则弦AB的长是_____.【答案】1【分析】连接AO ,得到直角三角形,再求出OD 的长,就可以利用勾股定理求解. 【详解】连接AO ,∵半径是5,1CD =, ∴514OD =-=, 根据勾股定理,2222543AD AO OD =--=,∴326AB =⨯=, 因此弦AB 的长是1. 【点睛】解答此题不仅要用到垂径定理,还要作出辅助线AO ,这是解题的关键.17.在直角坐标平面内有一点A(3,4),点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴夹角为α,那么角α的余弦值是_____. 【答案】35【解析】根据勾股定理求出OA 的长度,根据余弦等于邻边比斜边求解即可. 【详解】∵点A 坐标为(3,4), ∴OA=2234+=5,∴cosα=35, 故答案为35【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念,在直角三角形中,在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边,熟练掌握三角函数的概念是解题关键.18.如图,⊙O 与矩形ABCD 的边AB 、CD 分别相交于点E 、F 、G 、H ,若AE+CH=6,则BG+DF 为_________.【答案】6【分析】作EM ⊥BC ,HN ⊥AD ,易证得EG FH =,继而证得Rt EMG Rt HNF ≅,利用等量代换即可求得答案.【详解】过E 作EM ⊥BC 于M ,过H 作HN ⊥AD 于N ,如图, ∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD ∥BC , ∴EG FH =, ∴EG FH =,∵四边形ABCD 为矩形,且EM ⊥BC ,HN ⊥AD , ∴四边形ABME 、EMHN 、NHCD 均为矩形, ∴ME NH =,AE=BM ,EN=MH ,ND=HC , 在Rt EMG 和RtHNF 中ME NHEG FH=⎧⎨=⎩, ∴Rt EMG Rt HNF ≅(HL ) , ∴MG NF =,∴6BG FD BM MG FD BM NF FD BM ND AE CH +=++=++=+=+=, 故答案为:6【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识,灵活运用等量代换是解题的关键. 三、解答题(本题包括8个小题)19.当前,“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段,凡贫困家庭均要“建档立卡”.某初级中学七年级共有四个班,已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数按一、二、三、四班分别记为A 1,A 2,A 3,A 4,现对A 1,A 2,A 3,A 4统计后,制成如图所示的统计图.(1)求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数;(2)将条形统计图补充完整,并求出A 1所在扇形的圆心角的度数;(3)现从A 1,A 2中各选出一人进行座谈,若A 1中有一名女生,A 2中有两名女生,请用树状图表示所有可能情况,并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率.【答案】(1)15人;(2)补图见解析.(3)12. 【分析】(1)根据三班有6人,占的百分比是40%,用6除以所占的百分比即可得总人数;(2)用总人数减去一、三、四班的人数得到二班的人数即可补全条形图,用一班所占的比例乘以360°即可得A 1所在扇形的圆心角的度数;(3)根据题意画出树状图,得出所有可能,进而求恰好选出一名男生和一名女生的概率. 【详解】解:(1)七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数:6÷40%=15人;(2)A2的人数为15﹣2﹣6﹣4=3(人)补全图形,如图所示,A1所在圆心角度数为:215×360°=48°;(3)画出树状图如下:共6种等可能结果,符合题意的有3种∴选出一名男生一名女生的概率为:P=31 62 .【点睛】本题考查了条形图与扇形统计图,概率等知识,准确识图,从图中发现有用的信息,正确根据已知画出树状图得出所有可能是解题关键.20.求的值.【答案】4【解析】先设t=x2+y2,则方程即可变形为t(t-1)-12=0,解方程即可求得t即x2+y2的值.【详解】设t=x2+y2,所以原式可变形为为t(t-1)-12=0,t2-t-12=0,(t-4)(t+3)=0,所以t=-3或t=4;因为x2+y2≥0,所以x2+y2=4.【点睛】此题考查换元法解一元二次方程,解题关键在于设t=x2+y2.21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=10cm,P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC3的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由.(2)已知⊙O为Rt△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.【答案】(1)相切,证明见解析;(2)t为53s 53s【分析】(1)直线AB与⊙P关系,要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系,作PH⊥AB于H点,PH为圆心P到AB的距离,在Rt△PHB中,由勾股定理PH,当t=2.5s时,求出PQ的长,比较PH、PQ 大小即可,(2)OP为两圆的连心线,圆P与圆O内切r O-r P=OP, 圆O与圆P内切,r P-r O=OP即可.【详解】(1)直线AB与⊙P相切.理由:作PH⊥AB于H点,∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=10,∴AB=2AC=20,BC=103∵P为BC的中点∴BP=53∴PH=1253,当t=2.5s时,533=22,∴53∴直线AB与⊙P相切,(2)连结OP,∵O为AB的中点,P为BC的中点,∴OP=12AC=5,∵⊙O为Rt△ABC的外接圆,∴AB为⊙O的直径,∴⊙O的半径OB=10 ,∵⊙P与⊙O相切,∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 3或3,∴ t=53或t= 53, 故当t 为53s 或53s 时,⊙P 与⊙O 相切.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,圆与圆相切时求运动时间t 问题,关键点到直线的距离与半径是否相等,会求点到直线的距离,会用t 表示半径与点到直线的距离,抓住两圆相切分清情况,由圆心在圆O 内,没有外切,只有内切,要会分类讨论,掌握圆P 与圆O 内切r O -r P =OP, 圆O 与圆P 内切,r P -r O =OP . 22.某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图,该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒,沿斜坡向上走20m 到达B 处,(即20AB m =)测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =,请你计算建筑物MN 的高度(即MN 的长,结果保留根号).【答案】建筑物MN 的高度为()14326m .【分析】过点B 作BC MN ⊥,根据坡度的定义求出AB ,BD,AD ,再利用三角函数的定义列出方程求解.【详解】解:过点B 作BC MN ⊥,垂足为C .过点B 作BD AN ⊥,垂足为D .∵MN AN ⊥,∴90BCN CND BDN ∠=∠=∠=︒,∴四边形BCND 是矩形,∴BC DN =,BD CN =,90ADB ∠=︒.∵3:4i =,∴34BD AD =, ∴设3BD k =,4AD k =,∴520AB k ==,∴4x =,∴12BD m =,16AD m =.根据题意,30MBC ∠=︒,45MAN ∠=︒,在Rt BCM ∆中,设CM x m =, ∵3tan 303CM BC ︒==, ∴3BC x m =,∴3DN x m =,∴()316AN DN AD x m =-=-, 在Rt AMN ∆中,∵45MAN ∠=︒,()316MN AN x m ==-. 又∵()12MN MC CN x m =+=+,∴31612x x -=+,解得14314x =+,∴()14326MN m =+.答:建筑物MN 的高度为()14326m +.【点睛】此题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟知三角函数的定义.23.有A 、B 两组卡片共1张,A 组的三张分别写有数字2,4,6,B 组的两张分别写有3,1.它们除了数字外没有任何区别,(1)随机从A 组抽取一张,求抽到数字为2的概率;(2)随机地分别从A 组、B 组各抽取一张,请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若选出的两数之积为3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?【答案】(1)P (抽到数字为2)=13;(2)不公平,理由见解析. 【解析】试题分析:(1)根据概率的定义列式即可;(2)画出树状图,然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率,从而得解.试题解析: (1)P= 13; (2)由题意画出树状图如下:一共有6种情况,甲获胜的情况有4种,P=42 63 =,乙获胜的情况有2种,P=21 63 =,所以,这样的游戏规则对甲乙双方不公平.考点:游戏公平性;列表法与树状图法.24.一个盒子中装有两个红球,一个白球和一个蓝球,这些球除颜色外都相同,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率(说明:红色和蓝色能配成紫色)【答案】14.【分析】利用画树状图法得到总的可能和可能发生的结果数,即可求出概率. 【详解】解:画树状图为:共有16种等可能的结果数,其中红色和蓝色的结果数4,所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率=41 164=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A 或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.25.如图,在⊙O中,AB AC=,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠COA.【答案】详见解析.【解析】试题分析:根据弧相等,则对应的弦相等从而证明AB=AC,则△ABC易证是等边三角形,然后根据同圆中弦相等,则对应的圆心角相等即可证得.试题解析:证明:∵=AB AC,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形(相等的弧所对的弦相等)∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形,AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA(相等的弦所对的圆心角相等)26.如图,已知一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,且与反比例函数kyx=(k为常数,k≠0)的图象在第二象限内交于点C,作CD⊥x轴于D,若OA=OD=34OB=1.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)观察图象直接写出不等式0<ax+b≤kx的解集;(1)在y轴上是否存在点P,使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出P点的坐标;如果不存在,请简要说明理由【答案】(1)24yx=-;(2)-1≤x<0;(1)存在满足条件的点P,其坐标为(0,-1)或(0,9)或(0,12)【分析】(1)根据平行线分线段成比例性质可得3162OB OACD AD===,求出A(1,0),B(0,4),C(-1,8),再用待定系数法求解;(2)由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围:0<-43x+4≤-24x ;(1)△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形,有BC=BP 或BC=PC 两种情况.【详解】解:(1)∵CD ⊥OA ,∴DC ∥OB , ∴3162OB OA CD AD ===, ∴CD=2OB=8,∵OA=OD=34OB=1, ∴A (1,0),B (0,4),C (-1,8),把A 、B 两点的坐标分别代入y=ax+b 可得304a b b +=⎧⎨=⎩,解得434a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴一次函数解析式为443y x =-+, ∵反比例函数y=k x 的图象经过点C , ∴k=-24,∴反比例函数的解析式为y=-24x(2)由题意可知所求不等式的解集即为直线AC 在x 轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围,即线段BC (包含C 点,不包含B 点)所对应的自变量x 的取值范围,∵C (-1,8),∴0<-43x+4≤-24x的解集为-1≤x <0 (1)∵B (0,4),C (-1,8),∴BC=5,∵△PBC 是以BC 为一腰的等腰三角形,∴有BC=BP 或BC=PC 两种情况,①当BC=BP 时,即BP=5,∴OP=BP+OB=4+5=9,或OP=BP-OB=5-4=1,∴P 点坐标为(0,9)或(0,-1);②当BC=PC 时,则点C 在线段BP 的垂直平分线上,∴线段BP 的中点坐标为(0,8),∴P点坐标为(0,12);综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(0,-1)或(0,9)或(0,12)【点睛】考核知识点:相似三角形,反比例函数.数形结合分类讨论是关键.27.如图,△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于E,D是BC中点,连接AD与BE交于点F,求证:△AFE∽△BCE.【答案】证明详见解析.【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质,由AB=AC,D是BC中点得到AD⊥BC,易得∠ADC=∠BEC=90°,再证明∠FAD=∠CBE,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论.试题解析:证明:∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠FAE+∠AFE=90°,∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠CBE+∠BFD=90°,∵∠AFE=∠BFD,∴∠FAD=∠CBE,∴△AFE∽△BCE.考点:相似三角形的判定.九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.在矩形ABCD 中,B 的角平分线BE 与AD 交于点E ,BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ,若7AB =,34DF FC =,则BC 的长为( )A .721-B .432+C .225+D .423+【答案】D 【分析】先延长EF 和BC ,交于点G ,再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形,并求得其斜边BE 的长,然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形,最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系,并根据BG =BC +CG 进行计算即可.【详解】延长EF 和BC ,交于点G ,∵3DF =4FC ,∴34CF DF =, ∵矩形ABCD 中,∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ,∴∠ABE =∠AEB =45°,∴AB =AE =7,∴直角三角形ABE 中,BE 227772+=又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ,∴∠BEG =∠DEF ,∵AD ∥BC ,∴∠G =∠DEF ,∴∠BEG =∠G ,∴BG =BE =72∵∠G =∠DEF ,∠EFD =∠GFC ,∴△EFD ∽△GFC ,∴34 CG CFDE DF==,设CG=3x,DE=4x,则AD=7+4x=BC,∵BG=BC+CG,∴7+4x+3x=72,解得x=2−1,∴BC=7+4x=7+42−4=3+42,故选:D.【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形,解决问题的关键是掌握矩形的性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对边相等.解题时注意:有两个角对应相等的两个三角形相似.2.等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm,那么底角的余弦等于().A.513B.1213C.1013D.512【答案】A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD,垂足是D点,构造直角三角形.根据等腰三角形的性质,运用三角函数的定义,则可以求得底角的余弦cosB的值.【详解】解:如图,作AD⊥BC于D点.则CD=5cm,AB=AC=13cm.∴底角的余弦=513.故选A.【点睛】本题考查的是解直角三角形,解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质:等腰三角形顶角平分线、底边上的高,底边上的中线重合.3.抛物线y=(x+2)2﹣2的顶点坐标是()A.(2,﹣2)B.(2,2)C.(﹣2,2)D.(﹣2,﹣2)【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标.【详解】∵抛物线为y=(x+2)2﹣2,∴顶点坐标为(﹣2,﹣2).故选D.【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法,掌握二次函数的顶点式y=a(x﹣h)2+k是解题的关键.4.如图2,四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A.BA=BC B.AC、BD互相平分C.AC=BD D.AB∥CD【答案】B【详解】解:对角线互相垂直平分的四边形为菱形.已知对角线AC、BD互相垂直,则需添加条件:AC、BD互相平分故选:B5.如图,等边三角形ABC的边长为5,D、E分别是边AB、AC上的点,将△ADE沿DE折叠,点A恰好落在BC边上的点F处,若BF=2,则BD的长是()A.2 B.3 C.218D.247【答案】C【分析】根据折叠得出∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,设BD=x,AD=DF=5﹣x,求出∠DFB=∠FEC,证△DBF∽△FCE,进而利用相似三角形的性质解答即可.【详解】解:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=5,∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上,∴△ADE≌△FDE,∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,设BD=x,AD=DF=5﹣x,CE=y,AE=5﹣y,∵BF=2,BC=5,∴CF=3,∵∠C=60°,∠DFE=60°,∴∠EFC+∠FEC=120°,∠DFB+∠EFC=120°,∴∠DFB=∠FEC,∵∠C=∠B,∴△DBF∽△FCE,∴BD BF DFFC CE EF==,即2535x xy y-==-,解得:x=218,即BD=218,故选:C.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.6.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=25°,则∠BOD等于()A.70°B.65°C.50°D.45°【答案】C【分析】先根据垂径定理可得BC BD=,然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数.【详解】解:∵弦CD⊥AB,∴BC BD=,∴∠BOD=2∠CAB=2×25°=50°.故选:C.【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理,熟悉掌握定义,灵活应用是解本题的关键7.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球,其中8个黑球,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球实验,之后把它放回袋中,搅匀后,再继续摸出一球,记下其颜色,以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表:摸球试验次数100 1000 5000 10000 50000 100000根据列表,可以估计出m 的值是( )A .8B .16C .24D .32【答案】C【分析】利用大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可.【详解】解:∵通过大量重复试验后发现,摸到黑球的频率稳定于3332911000003≈, 由题意得:813=m , 解得:m=24,故选:C .【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率,关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系.8.若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1=0有实数根,则实数k 的取值范围是( )A .k >﹣1B .k <1且k≠0C .k≥﹣1且k≠0D .k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式(240b ac =-≥△ )即可求出答案.【详解】由题意可知:440k +≥△=∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ,故选:C .【点睛】本题考查了根的判别式的应用,因为存在实数根,所以根的判别式成立,以此求出实数k 的取值范围. 9.下列图形中,是相似形的是( )A .所有平行四边形B .所有矩形C .所有菱形D .所有正方形 【答案】D【分析】根据对应角相等,对应边成比例的两个多边形相似,依次分析各项即可判断.【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形,而所有的正方形都是相似多边形,故选D.【点睛】本题是判定多边形相似的基础应用题,难度一般,学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 10.如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子,按照时间的先后顺序排列正确的是( )A .(3)(4)(1)(2)B .(4)(3)(1)(2)C .(4)(3)(2)(1)D .(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析:根据平行投影的特点和规律可知,(3),(4)是上午,(1),(2)是下午,根据影子的长度可知先后为(4)(3)(2)(1).故选C .考点:平行投影.11.下列各组图形中,两个图形不一定是相似形的是( )A .两个等边三角形B .有一个角是100︒的两个等腰三角形C .两个矩形D .两个正方形 【答案】C【分析】根据相似图形的定义,以及等边三角形,等腰三角形,矩形,正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A 、两个等边三角形,对应边的比相等,角都是60°,相等,所以一定相似,故A 正确; B 、有一个角是100°的两个等腰三角形,100°的角只能是顶角,夹顶角的两边成比例,所以一定相似,故B 正确;C 、两个矩形,四个角都是直角,但四条边不一定对应成比例,不一定相似,故C 错误;D 、两个正方形,对应边的比相等,角都是90°,相等,所以一定相似,故D 正确.故选:C .【点睛】本题考查了相似图形的判断,严格按照定义,对应边成比例,对应角相等进行判断即可,另外,熟悉等腰三角形,等边三角形,正方形的性质对解题也很关键.12.已知一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ,则一元二次方程x 2-5=0中b 的值为( ) A .1B .0C .-5D .5【答案】B【分析】对照一元二次方程的一般形式,根据没有项的系数为0求解即可.【详解】∵一元二次方程的一般式为20(a 0)++=≠ax bx c ,对于一元二次方程x 2-5=0中没有一次项,故b 的值为0,故选:B .【点睛】此题主要考查对一元二次方程的一般形式的认识,掌握住各项系数是解题的关键.二、填空题(本题包括8个小题)13.半径为2的圆中,60°的圆心角所对的弧的弧长为_____. 【答案】2π3 【解析】根据弧长公式可得:602180π⨯⨯=23π, 故答案为23π. 14.一元二次方程()()320x x --=的根是_____.【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0,然后解两个一次方程即可.【详解】解:30x -=或20x -=,所以123,2==x x .故答案为123,2==x x .【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.15.如图,在矩形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ,CE BD ⊥,垂足为点, 5E CE =,且2EO DE =,则AD 的长为___________.【答案】56【分析】由矩形的性质可得OC =OD ,于是设DE =x ,则OE =2x ,OD =OC =3x ,然后在Rt △OCE 中,根据勾股定理即可得到关于x 的方程,解方程即可求出x 的值,进而可得CD 的长,易证△ADC ∽△CED ,然后利用相似三角形的性质即可求出结果.。
安徽省合肥市瑶海区2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷一.选择题(共10小题)1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是()A.=B.=C.=D.=2.抛物线y=﹣2(x﹣3)2﹣4的顶点坐标()A.(﹣3,4)B.(﹣3,﹣4)C.(3,﹣4)D.(3,4)3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于()A.B.C.D.4.如图,已知点C在弧AB上,∠AOB=110°,则∠ACB的度数为()A.55°B.110°C.120°D.125°5.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为()A.90°﹣αB.αC.180°﹣αD.2α6.如图,⊙O是△ABC的内切圆,若∠A=70°,则∠BOC=()A.125°B.115°C.100°D.130°7.如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是()A.5 B.6 C.7 D.88.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c,则下列说法中错误的是()A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移,则a,b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移,则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移,则a、b、c的值全变9.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A.1 B.C. 1 D.10.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论中正确的是()A.a﹣b+c>0 B.2a+b+c<0C.x(ax+b)>a+b D.a<﹣1二.填空题(共4小题)11.已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是.12.如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是(结果保留π).13.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的面积等于4,则⊙O的面积等于.14.如图,点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点,∠ACB=∠DCE=90°,连接AD、BE,过点C作CF⊥AD于点F,延长FC交BE于点G.若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则的值为.三.解答题(共9小题)15.计算:sin30°+cos30°•tan60°.16.已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点(1,﹣5).(1)求c的值;(2)求函数图象与x轴的交点坐标.17.已知:△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣2),B(﹣5,﹣4),C(﹣1,﹣5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2,并写出点B2的坐标.18.如图,在△ABC中,BC=12,tan A=,∠B=30°;求AC和AB的长.19.如图,AB是⊙O的直径,AC、BC是⊙O的弦,∠ACB的平分线交⊙O于D,连接AD、BD,已知AB=6,BC=2.(1)求AC、AD、BD的长;(2)求四边形ACBD的面积.20.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示)(I)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式,并写出自变量x的取值范围;(Ⅱ)该公司要想每天获得最大的利润,应把销售单价定为多少?最大利润值为多少?21.如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC、CN于D、M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若⊙O的半径为5,AC=4,求OD长;(3)在(2)的基础上求MC长.22.如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.23.如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,(2)的基础上,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是()A.=B.=C.=D.=【分析】把各个选项依据比例的基本性质,两内项之积等于两外项之积,已知的比例式可以转化为等积式2x=3y,即可判断.【解答】解:A、变成等积式是:xy=6,故错误;B、变成等积式是:3x=2y,故错误;C、变成等积式是:2x=3y,故正确;D、变成等积式是:3x=2y,故错误.故选:C.2.抛物线y=﹣2(x﹣3)2﹣4的顶点坐标()A.(﹣3,4)B.(﹣3,﹣4)C.(3,﹣4)D.(3,4)【分析】根据顶点式直接可得顶点坐标.【解答】解:∵y=﹣2(x﹣3)2﹣4是抛物线的顶点式,∴顶点坐标为(3,﹣4).∴则答案为C故选:C.3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于()A.B.C.D.【分析】先根据勾股定理求得BC=6,再由正弦函数的定义求解可得.【解答】解:在Rt△ABC中,∵AB=10、AC=8,∴BC===6,∴sin A===,故选:A.4.如图,已知点C在弧AB上,∠AOB=110°,则∠ACB的度数为()A.55°B.110°C.120°D.125°【分析】在优弧上取一点D,连接AD、BD,根据圆周角定理求出∠D,根据圆内接四边形的性质得出∠ADB+∠ACB=180°,代入求出即可.【解答】解:如图,在优弧上取一点D,连接AD、BD,∵∠AOB=110°,∴∠ADB=AOB=55°,∵A、D、B、C四点共圆,∴∠ACB+∠ADB=180°,∴∠ACB=180°﹣55°=125°,故选:D.5.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为()A.90°﹣αB.αC.180°﹣αD.2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°,可以求得∠CAD的度数,本题得以解决.【解答】解:由题意可得,∠CBD=α,∠ACB=∠EDB,∵∠EDB+∠ADB=180°,∴∠ADB+∠ACB=180°,∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°,∠CBD=α,∴∠CAD=180°﹣α,故选:C.6.如图,⊙O是△ABC的内切圆,若∠A=70°,则∠BOC=()A.125°B.115°C.100°D.130°【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB=(180°﹣∠A),然后利用三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A,再把∠A=70°代入计算即可.【解答】解:∵⊙O是△ABC的内切圆,∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A),∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A=180°+×70°=125°.故选:A.7.如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出OD,根据三角形中位线定理计算即可.【解答】解:∵半径OC垂直于弦AB,∴AD=DB=AB=,在Rt△AOD中,OA2=(OC﹣CD)2+AD2,即OA2=(OA﹣1)2+()2,解得,OA=4∴OD=OC﹣CD=3,∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6,故选:B.8.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c,则下列说法中错误的是()A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移,则a,b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移,则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移,则a、b、c的值全变【分析】利用二次函数的性质对A进行判断;利用抛物线的性质和抛物线的平移规律对B、C、D进行判断.【解答】解:A、a确定抛物线的开口方向与大小,所以A选项的说法正确;B、若将抛物线C沿y轴平移,则抛物线的对称轴不变,开口大小、开口方向不变,所以a,b的值不变,所以B选项的说法正确;C、若将抛物线C沿x轴平移,抛物线的开口大小、开口方向不变,即a的值不变,所以C选项的说法正确;D、若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移,则a不变,b、c的值改变,所以D选项的说法不正确.故选:D.9.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A.1 B.C. 1 D.【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=AB﹣AD即可求出的值,此题得解.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴()2=.∵S△ADE=S四边形BCED,∴=,∴===﹣1.故选:C.10.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,则下列结论中正确的是()A.a﹣b+c>0 B.2a+b+c<0C.x(ax+b)>a+b D.a<﹣1【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,利用对称轴方程得到b=﹣2a,则2a+b+c=c>0,利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣1,0)右侧,则当x=﹣1时,y<0,根据二次函数的性质得到x=1时,二次函数有最大值,则ax2+bx+c≤a+b+c,由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x 轴下方且横坐标小于3,利用函数图象得x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c <﹣3+c,然后把b=﹣2a代入解a的不等式.【解答】解:∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a,∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c>0,所以B错误;∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣1,0)右侧,∴当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以A错误;∵x=1时,二次函数有最大值,∴ax2+bx+c≤a+b+c,∴ax2+bx≤a+b,所以C错误;∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,∴x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c<﹣3+c,而b=﹣2a,∴9a﹣6a<﹣3,解得a<﹣1,所以D正确.故选:D.二.填空题(共4小题)11.已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是k<1 .【分析】由于反比例函数y=的图象有一支在第二象限,可得k﹣1<0,求出k的取值范围即可.【解答】解:∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限,∴k﹣1<0,解得k<1.故答案为:k<1.12.如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是3﹣π(结果保留π).【分析】过D点作DF⊥AB于点F.可求▱ABCD和△BCE的高,观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积,计算即可求解.【解答】解:过D点作DF⊥AB于点F.∵AD=2,AB=4,∠A=30°,∴DF=AD•sin30°=1,EB=AB﹣AE=2,∴阴影部分的面积:4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π.故答案为:3﹣π.13.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,若正方形的面积等于4,则⊙O的面积等于2π.【分析】根据正方形的面积公式求得半径,然后根据圆的面积公式求解.【解答】解:正方形的边长AB=2,则半径是2×=,则面积是()2π=2π.故答案是:2π.14.如图,点C为Rt△ACB与Rt△DCE的公共点,∠ACB=∠DCE=90°,连接AD、BE,过点C作CF⊥AD于点F,延长FC交BE于点G.若AC=BC=25,CE=15,DC=20,则的值为.【分析】过E作EH⊥GF于H,过B作BP⊥GF于P,依据△EHG∽△BPG,可得=,再根据△DCF∽△CEH,△ACF∽△CBP,即可得到EH=CF,BP=CF,进而得出=.【解答】解:如图,过E作EH⊥GF于H,过B作BP⊥GF于P,则∠EHG=∠BPG=90°,又∵∠EGH=∠BGP,∴△EHG∽△BPG,∴=,∵CF⊥AD,∴∠DFC=∠AFC=90°,∴∠DFC=∠CHE,∠AFC=∠CPB,又∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠CDF=∠ECH,∠FAC=∠PCB,∴△DCF∽△CEH,△ACF∽△CBP,∴==,==1,∴EH=CF,BP=CF,∴=,∴=,故答案为:.三.解答题(共9小题)15.计算:sin30°+cos30°•tan60°.【分析】分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.【解答】解:原式=+×=+=2.16.已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点(1,﹣5).(1)求c的值;(2)求函数图象与x轴的交点坐标.【分析】①二次函数解析式只有一个待定系数c,把点(1,﹣5)代入解析式即可求c;②已知二次函数解析式求函数图象与x轴的交点坐标,令y=0,解一元二次方程,可得交点的横坐标.【解答】解:(1)∵点(1,﹣5)在y=x2+2x+c的图象上,∴﹣5=1+2+c,∴c=﹣8.答:c的值为﹣8.(2)由(1)得函数的解析式为y=x2+2x﹣8,令y=0,则x2+2x﹣8=0,解方程得:x1=﹣4,x2=2.故函数与轴的交点坐标为(﹣4,0),(2,0).17.已知:△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣2),B(﹣5,﹣4),C(﹣1,﹣5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2,并写出点B2的坐标.【分析】(1)利用关于y轴对称点的性质得出对应点得出即可;(2)利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求:(2)如图所示:△A2B2C2即为所求;B2(10,8)18.如图,在△ABC中,BC=12,tan A=,∠B=30°;求AC和AB的长.【分析】如图作CH⊥AB于H.在Rt△BHC求出CH、BH,在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题;【解答】解:如图作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中,∵BC=12,∠B=30°,∴CH=BC=6,BH==6,在Rt△ACH中,tan A==,∴AH=8,∴AC==10,∴AB=AH+BH=8+6.19.如图,AB是⊙O的直径,AC、BC是⊙O的弦,∠ACB的平分线交⊙O于D,连接AD、BD,已知AB=6,BC=2.(1)求AC、AD、BD的长;(2)求四边形ACBD的面积.【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=∠ACD=90°,根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACD=90°,由勾股定理得,AC==4,∵∠ACB的平分线交⊙O于D,∴=,∴AD=BD=×AB=3;(2)四边形ACBD的面积=×AD×BD+×BC×AC=9+4.20.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示)(I)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式,并写出自变量x的取值范围;(Ⅱ)该公司要想每天获得最大的利润,应把销售单价定为多少?最大利润值为多少?【分析】(Ⅰ)根据题意解方程组即可得到结论;(Ⅱ)根据二次函数的性质即可得到结论.【解答】解:(Ⅰ)由函数的图象得:,解得:,∴所以y=﹣x+100(50≤x≤80);(Ⅱ)设每天获得的利润为W元,由(Ⅰ)得:W=(x﹣50)y=(x﹣50)(﹣x+100)=﹣x2+150x﹣5000=﹣(x﹣75)2+625,∵﹣1<0,∴当x=75时,W最大=625即该公司要想第天获得最大利润,应把销售单价为75元/件,最大利润为625元.21.如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,CN为⊙O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC、CN于D、M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若⊙O的半径为5,AC=4,求OD长;(3)在(2)的基础上求MC长.【分析】(1)连接OC,利用切线的性质证明即可;(2)根据相似三角形的判定和性质(3)由勾股定理解答即可.【解答】(1)证明:连接OC,如图所示:∵CN为⊙O的切线,∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC;(2)解:由题意可知AB=5×2=10,AC=4,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==2,∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴=,即=,可得:OD=2.5,(3)解:设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+2.5)2=x2+52,解得:x=,即MC=.22.如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【分析】(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.【解答】解:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA 的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,).23.如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,(2)的基础上,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.【分析】(1)证明∠A=∠DMA,用等角对等边即可证明结论;(2)由D、E分别是AB、BC的中点,可知DE∥AC,于是∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,又∠A=∠AFE,∠AFE=∠C+∠FEC,根据等式性质得∠FEC=∠GDE,根据有两对对应角相等的两三角形相似可证;(3)通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF,可得BG•BE=EH•EC,又BE=EC,所以EH=BG=1.【解答】(1)证明:如图1所示,∵DM∥EF,∴∠AMD=∠AFE,∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A,∴DM=DA;(2)证明:如图2所示,∵D、E分别是AB、BC的中点,∴DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠DEG=∠C,∵∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE,∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC,∵∠BDG=∠C,∴∠GDE=∠FEC,∴△DEG∽△ECF;(3)解:如图3所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,∴△BDG∽△BED,∴,∴BD2=BG•BE,∵∠AFE=∠A,∠CFH=∠B,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH,又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH∽△ECF,∴,∴EF2=EH•EC,∵DE∥AC,DM∥EF,∴四边形DEFM是平行四边形,∴EF=DM=DA=BD,∴BG•BE=EH•EC,∵BE=EC,∴EH=BG=1.。
合肥市2019年九年级上学期期末数学试题(II)卷-1
合肥市2019年九年级上学期期末数学试题(II)卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是()A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里2 . 点P(﹣4,1)在曲线y=上,则下列点一定在该曲线上的是()A.(2,2)B.(﹣4,﹣1)C.(1,﹣4)D.(1,4)3 . 如图,已知正方形ABCD的边长为1,若将边BC绕点B旋转90°后,得到正方形BC′D′C,连接AC、AD′,设∠BAC=α, ∠C′AD′=β,那么sinα+sinβ等于()A.B.C.D.4 . 如图,延长正方形ABCD的AB边至点E,使BE=AC,则∠BED=()A.20°B.30°C.22.5°D.32.5°5 . 如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,已知DF=4,则AC的长为()A.B.C.D.6 . 在和中,若,,,,则这两个三角形()A.是相似三角形,但不是全等三角形B.是全等三角形,但不是相似三角形C.是相似三角形,也是全等三角形D.既不是相似三角形,也不是全等三角形7 . 生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润和月份之间函数关系式为,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月B.2月、3月、12月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月8 . 如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,为了测量A、B之间的距离,小天想了一个办法:在地上取一点C,使它可以直接到达A﹑B两点,连接AC、BC,在AC上取一点M,使AM=3MC,作MN∥AB交BC于点N,测得MN=38m,则A、B两点间的距离为()A.76m B.95m C.114m D.152m9 . 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是()A.abc>0B.b2﹣4ac<0C.9a+3b+c>0D.c+8a<010 . 如果,那么代数式的值为()A.B.C.2D.-211 . 已知在半径为的圆中,圆心角的余弦值为,则角所对的弦长等于().A.B.C.D.12 . 将二次函数的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,下列关于平移后所得抛物线的说法,正确的是()A.开口向下B.经过点C.与轴只有一个交点D.对称轴是直线二、填空题13 . 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,将△ABC折叠,使点B落在AC边上的点D处,EF为折痕,若BE=3,则sin∠CFD的值为__.14 . 已知反比例函数,若,且,则的取值范围是_____.15 . 抛物线 y=﹣4(x+1)²+1 的开口方向向______,对称轴是______,顶点的坐标是_____.16 . 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为_____.17 . 如图,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,点D在BC边上,作DE⊥AB于A.DF⊥AC于F,若DE=5cm,△ABC的面积为122cm2,则DF的长为___________.18 . 如图,在平面直角坐标系中,边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数位于第一象限的图象上,则k的值为.三、解答题19 . 为加强中小学生体育运动,某市第十七届中小学生田径运动会在市体育场举行,体育场主席台侧面如图所示,若顶棚顶端D与看台底端A的连线和地面垂直,测得顶棚CD的长为12米,∠BAC=30°,∠ACD=45°,求看台AC的长.(结果保留一位小数,参考数据:≈1.41,≈1.73)20 . 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上,过点D和BC 的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根,请解答下列问题:(1)求点D的坐标;(2)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点H,则k= ;(3)点Q在直线BD上,在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.21 . 计算下列各式(1)tan30°×sin45°+tan60°×cos60°(2)sin230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°.22 . 如图,四边形ABCD是平行四边形,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若AB=2AD,∠F=30°,求∠FAB23 . 已知:如图,点,,线段与轴平行,且,抛物线(1)当时,求该抛物线与轴的交点坐标;(2)当时,求的最大值(用含的代数式表示);(3)当抛物线经过点时,的解析式为__________,顶点坐标为__________,点__________(填“是”或“否”)在上.若线段以每秒2个单位长的速度向下平移,设平移的时间为(秒).①若与线段总有公共点,求的取值范围;②若同时以每秒3个单位长的速度向下平移,在轴及其右侧的图象与直线总有两个公共点,直接写出的取值范围.24 . 如图,在Rt中,∠ACB﹦90°(1)求证.∽(2)若,,求的长.25 . 如图1,已知抛物线L1:y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,在L1上任取一点P,过点P作直线l⊥x轴,垂足为D,将L1沿直线l翻折得到抛物线L2,交x轴于点M,N(点M 在点N的左侧).(1)当L1与L2重合时,求点P的坐标;(2)当点P与点B重合时,求此时L2的解析式;并直接写出L1与L2中,y均随x的增大而减小时的x的取值范围;(3)连接PM,PB,设点P(m,n),当n= m时,求△PMB的面积.26 . 如图1,四边形ABCD中,对角线AC平分∠DCB,且AD=AB,CD<CB(1)求证:∠B+∠D=180°;(2)如图2,在AC上取一点E,使得BE∥CD,且BE=CE,点F在线段BC上,连接AF,且AB=AF,求证:AE =CF;(3)如图3,在(2)的条件下,若BE与AF交于点G,BF:AB=2:7,求tan∠BGF的值.。
合肥市2019年九年级上学期期末数学试题(II)卷-3
合肥市 2019 年九年级上学期期末数学试题(II)卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题1 . 如图,△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 31°后得到的图形,若点 D 恰好落在 AB 上,且∠AOC 的度数为 100°,则∠DOB 的度数是( )A.34°B.36°C.38°D.40°2 . 如图,圆内接四边形 ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成,AD 是⊙O 的直径,则∠BEC 的度数为( )A.15°B.30°C.45°D.60°3 . 如图为一座抛物线型的拱桥,AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度,O 为拱桥顶部,水面 AB 宽为 10 米,AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米,水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时,水面宽为( )米.A.5B.2C.4D.84 . 如图,是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的侧面积是( )第1页共7页A.10πB.15πC.20πD.30π5 . “致中和,天地位焉,万物育焉.”中国古人把和谐平衡的精神之美,演变成了一种对称美.从古至今, 人们将对称元素赋予建筑、器物、绘画、饰品等事物上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列我国建筑简图中, 不是轴对称图形的是( )A.明十三陵B.布达拉宫C.天坛D.金銮殿6 . 某棉纺厂 1 月份的产值是 40 万元,3 月份上升到 50 万元,这两个月的平均增长率是多少?若设平均每月 增长率为 x,则列出的方程是( )A.40(1+x)=50 C.40(1+x)×2=50B.40(1+x)+40(1+x)2=50 D.40(1+x)2=50二、填空题7 . 有七张正面分别标有数字 , , ,0,l,2,3 的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为 ,则使关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根,且以 为自变量的二次函数 象不经过点(1,O)的概率是________.的图8 . 如图,的外接圆 O 的半径为 3,,则劣弧 的长是______ 结果保留9 . 边长为 10、10、12 的三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则 R+r=_____. 10 . 若 (x -1)3 = x -1,则 _____________________第2页共7页11 . 坐标平面上,若移动二次函数 的距离为 1 个单位,则移动方式可为( )A 向上移动 1 个单位B 向下移动 1 个单位C 向上移动 2 个单位D 向下移动 2 个单位的图象,使其与 x 轴交于两点,且此两点12 . 如图,△ABO 中,AB⊥OB,OB= ,AB=1,把△ABO 绕点 O 旋转 150°后得到△A1B1O,则点 A1 坐标为________. 13 . 如图,AB 是⊙O 的弦,C 是 AB 的中点,连接 OC 并延长交⊙O 于点 D.若 CD=1,AB=4,则⊙O 的半径是_____________.14 . 如图,在正六边形三、解答题中,连接 , ,则 ________ .15 . 如图,把△ABC 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,得到△A′B′C′,点 A(-1,2), B(-3,1),C(0,-1)的对应点分别是 A′,B′,C′.(1)在图中画出△A′B′C′;(2)分别写出点 A′,B′,C′的坐标;(3)求△A′B′C′的面积.第3页共7页16 . 今年某市水果大丰收, 两个水果基地分别收获同种水果 件、 件,现需把这些水果全部运往 甲、乙两销售点,从 基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件 元和 元,从 基地运往甲、乙两销售点的 费用分别为每件 元和 元,现甲销售点需要水果 件,乙销售点需要水果 件.设从 基地运往甲销售点水果 件,总运费为 元,请用含的 代数式表示 ,并写出 的取值范围;若总运费不超过 求出最低运费.元,且 基地运往甲销售点的水果不低于 件,试确定运费最低的运输方案,并17 . 某商店经销一种产品,其标价比进价每件多 元,且商店用 元购进这种商品的数量和这种商品 元 的销售额所售出的件数相同.求这种商品的进价及标价;经过--段时间的销售,商店发现,以标价出售这种商品,每天可售出 件,每涨价 元,则少卖出 件, 要使这种商品每天的销售额最大,求该商品每件应涨价多少元.18 . 关于 的方程: 均为实数),方程①的解为非正数.①和关于 的一元二次方程:(1)求 的取值范围.②( 、 、(2)如果方程②的解为负整数,,且 为整数,求整数 的值.(3)当方程②有两个实数根 、 ,满足 是否成立?请说明理由.,且 为正整数,试判断第4页共7页19 . 一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是△ABC,已知 AB=AC=5cm,BC=6cm,求圆锥的体积和 侧面积.20 . 如图,AB 是圆 O 的直径,BC 是弦,OD⊥BC 于 E,交弧 BC 于 D,若 BC=8,ED=2 (1)求圆 O 的半径.(2)求 AC 的长. 21 . 解下列方程:(1);(2).22 . 如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC+∠ADC=120°,将一透明三角板 60°角的顶点落在点 A 上,并绕着点 A 旋 转,三角板的两边分别交 BC、CD 于点 E、F.(1)如图 1,求∠BAD 的度数;(2)如图 2,求证:BE+DF=AB;(3)如图 3,在(2)的条件下,取 AB 中点 G,作等边△EGH,连接 AH,延长 GH 刚好与平行四边形 ABCD 交于点 D , 若 AH⊥AB , △EGH 的 面 积 为. 求 DH 的长. 23 . 如图,矩形 ABCD 中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 θ(0°<θ<90°)得到矩形 A1BC1D1,点 A1 在边 CD 上.第5页共7页(1)若 m=2,n=1,求在旋转过程中,点 D 到点 D1 所经过路径的长度; (2)将矩形 A1BC1D1 继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2,点 D2 在 BC 的延长线上,设边 A2B 与 CD交于点 E,若 = ﹣1,求 的值. 24 . 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动,活动后,就活动的 个主题进行了抽样调查(每位同学只选最关注的一个),根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,解答下列 问题:(1)这次调查的学生共有多少名; (2)请将条形统计图补充完整,并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数; (3)如果要在这 个主题中任选两个进行调查,根据(2)中调查结果,用树状图或列表法,求恰好选到学生 关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 A、B、C、D、E). 25 . 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 26 . 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,F A. (1)求证:四边形 ABFC 是菱形;第6页共7页(2)若 AD=6,BE=2 ,求四边形 ABFC 的面积.第7页共7页。
合肥瑶海区2019年初三上年末数学试卷含解析解析
合肥瑶海区2019年初三上年末数学试卷含解析解析【一】选择题〔本大题共10小题,每题4分,总分值40分〕以下每题都给出了A,B,C,D四个选项,其中只有一个是正确旳,请把正确【答案】旳代号填在表中、1、抛物线y=ax2+bx﹣3通过点〔1,1〕,那么代数式a+b旳值为〔〕A、2B、3C、4D、62、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3、以下选项中,正确旳选项是〔〕A、sinA=B、cosA=C、tanA=D、cotA=3、假设ab=cd,且abcd≠0,那么以下式子正确旳选项是〔〕A、a:c=b:dB、d:c=b:aC、a:b=c:dD、a:d=c:b4、关于反比例函数,以下说法中不正确旳选项是〔〕A、点〔﹣2,﹣1〕在它旳图象上B、它旳图象在第【一】三象限C、y随x旳增大而减小D、当x<0时,y随x旳增大而减小5、如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC旳中点,那么以下结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③、其中正确旳有〔〕A、3个B、2个C、1个D、0个6、AB为⊙O旳直径,点C、D在⊙O上、假设∠ABD=42°,那么∠BCD旳度数是〔〕A、122°B、132°C、128°D、138°7、点C在线段AB上,且点C是线段AB旳黄金分割点〔AC>BC〕,那么以下结论正确旳选项是〔〕A、AB2=AC•BCB、BC2=AC•BCC、AC=BCD、BC=AB8、如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC旳中点,DE⊥AB于点E,那么tan∠BDE旳值等于〔〕A、B、C、D、9、如图,点P是Rt△ABC旳斜边BC上任意一点,假设过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得旳小三角形与△ABC相似,那么D点旳位置最多有〔〕A、2处B、3处C、4处D、5处10、如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF旳顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD旳长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分旳面积为y,那么以下图象中能表示y与x之间旳函数关系旳是〔〕A、B、C、D、【二】填空题〔本大题共4小题,每题5分,总分值20分〕11、计算:sin60°•cos30°﹣tan45°=、12、如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60°,那么∠ABC旳度数是、13、有甲、乙两张纸条,甲纸条旳宽度是乙纸条宽旳2倍,如图,将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD、那么AB与BC旳数量关系为、14、如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP旳延长线分别交AD 于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H、给出以下结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH•PB;④=、其中正确旳选项是、〔写出所有正确结论旳序号〕【三】〔本大题共2小题,每题8分,总分值16分〕15、〔8分〕抛物线y=﹣2x2+8x﹣6、〔1〕用配方法求顶点坐标,对称轴;〔2〕x取何值时,y随x旳增大而减小?16、〔8分〕如图,AB是⊙O旳直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC、假设∠A=22.5°,CD=8cm,求⊙O旳半径、【四】〔本大题共2小题,每题8分,总分值16分〕17、〔8分〕如图,△ABC旳顶点坐标分别为A〔1,3〕、B〔4,2〕、C〔2,1〕、〔1〕作出与△ABC关于x轴对称旳△A1B1C1,并写出点A1旳坐标;〔2〕以原点O为位似中心,在原点旳另一侧画出△A2B2C2,使=,并写出点A2旳坐标、18、〔8分〕如下图,我市某中学课外活动小组旳同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段旳宽度、小宇同学在A处观测对岸C点,测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远旳B处测得∠CBD=30°,请你依照这些数据算出河宽、〔精确到0.01米,参考数据≈1.414,≈1.732〕【五】〔本大题共2小题,每题10分,总分值20分〕19、〔10分〕如图,D是AC上一点,BE∥AC,AE分别交BD、BC于点F、G、假设∠1=∠2,线段BF、FG、FE之间有如何样旳关系?请说明理由、20、〔10分〕杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其躯体〔看成一点〕旳路线是抛物线y=x2+3x+1旳一部分,如下图、〔1〕求演员弹跳离地面旳最大高度;〔2〕人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A旳水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由、六、〔此题总分值12分〕21、〔12分〕如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC旳各边,所形成旳三个小三角形△1、△2、△3〔图中阴影部分〕旳面积分别是1、4、25、那么△ABC旳面积是、七、〔此题总分值12分〕22、〔12分〕某商场购进一批单价为16元旳日用品,销售一段时刻后,为了获得更多旳利润,商店决定提高价格、经调查发觉,假设按每件20元旳价格销售时,每月能卖出360件,在此基础上,假设涨价5元,那么每月销售量将减少150件,假设每月销售量y〔件〕与价格x〔元/件〕满足关系式y=kx+B、〔1〕求k,b旳值;〔2〕问日用品单价应定为多少元?该商场每月获得利润最大,最大利润是多少?八、〔此题总分值14分〕23、〔14分〕如图,在□ABCD,E为边BC旳中点,F为线段AE上一点,联结BF并延长交边AD于点G,过点G作AE旳平行线,交射线DC于点H、设==x、〔1〕当x=1时,求AG:AB旳值;〔2〕设=y,求y关于x旳函数关系式;〔3〕当DH=3HC时,求x旳值、2016-2017学年安徽省合肥市瑶海区九年级〔上〕期末数学试卷参考【答案】与试题【解析】【一】选择题〔本大题共10小题,每题4分,总分值40分〕以下每题都给出了A,B,C,D四个选项,其中只有一个是正确旳,请把正确【答案】旳代号填在表中、1、抛物线y=ax2+bx﹣3通过点〔1,1〕,那么代数式a+b旳值为〔〕A、2B、3C、4D、6【考点】二次函数图象上点旳坐标特征、【分析】把点〔1,1〕代入函数【解析】式即可求出a+b旳值、【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx﹣3〔a≠0〕旳图象通过点〔1,1〕,∴a+b﹣3=1,∴a+b=4,应选:C、【点评】此题考查了二次函数图象上点旳坐标特征,整体思想旳利用是解题旳关键、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3、以下选项中,正确旳选项是〔〕A、sinA=B、cosA=C、tanA=D、cotA=【考点】锐角三角函数旳定义、【分析】首先在直角△ABC中利用勾股定理求得BC旳长,然后利用三角函数旳定义进行推断、【解答】解:在直角△ABC中BC===4、A、sinA==,选项错误;B、cosA==,选项正确;C、tanA==,选项错误;D、cotA==,选项错误、应选B、【点评】此题考查锐角三角函数旳定义及运用:在直角三角形中,锐角旳正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边、3、假设ab=cd,且abcd≠0,那么以下式子正确旳选项是〔〕A、a:c=b:dB、d:c=b:aC、a:b=c:dD、a:d=c:b【考点】比例旳性质、【分析】依照比例旳性质,可得【答案】、【解答】解:A、a:c=b:d,得ad=bc,故A错误;B、d:c=b:a,得bc=ad,故B错误;C、a:b=c:d,得ac=bd,故C错误;D、a:d=c:b,得ab=cd,故D正确;应选:D、【点评】此题考查了比例旳性质,比例旳性质是:两外项旳乘积等于两内项旳乘积、4、关于反比例函数,以下说法中不正确旳选项是〔〕A、点〔﹣2,﹣1〕在它旳图象上B、它旳图象在第【一】三象限C、y随x旳增大而减小D、当x<0时,y随x旳增大而减小【考点】反比例函数旳性质、【分析】依照反比例函数旳性质用排除法解答,当系数k>0时,函数图象在第【一】三象限,当x>0或x<0时,y随x旳增大而减小,据此能够得到【答案】、【解答】解:A、把点〔﹣2,﹣1〕代入反比例函数y=得﹣1=﹣1,本选项正确;B、∵k=2>0,∴图象在第【一】三象限,本选项正确;C、当x>0时,y随x旳增大而减小,本选项不正确;D、当x<0时,y随x旳增大而减小,本选项正确、应选C、【点评】此题考查了反比例函数y=〔k≠0〕旳性质:①当k>0时,图象分别位于第【一】三象限;当k<0时,图象分别位于第【二】四象限、②当k>0时,在同一个象限内,y随x旳增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x 旳增大而增大、5、如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC旳中点,那么以下结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③、其中正确旳有〔〕A、3个B、2个C、1个D、0个【考点】三角形中位线定理;相似三角形旳判定与性质、【分析】假设D、E是AB、AC旳中点,那么DE是△ABC旳中位线,可依照三角形中位线定理得出旳等量条件进行推断、【解答】解:∵D、E是AB、AC旳中点,∴DE是△ABC旳中位线;∴DE∥BC,BC=2DE;〔故①正确〕∴△ADE∽△ABC;〔故②正确〕∴,即;〔故③正确〕因此此题旳三个结论都正确,应选A、【点评】此题要紧考查了三角形中位线定理以及相似三角形旳判定和性质、6、AB为⊙O旳直径,点C、D在⊙O上、假设∠ABD=42°,那么∠BCD旳度数是〔〕A、122°B、132°C、128°D、138°【考点】圆周角定理、【分析】连接AD,依照圆周角定理可得∠ADB=90°,然后可得∠DAB=48°,再依照圆内接四边形对角互补可得【答案】、【解答】解:连接AD,∵AB为⊙O旳直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=42°,∴∠DAB=48°,∴∠BCD=180°﹣48°=132°,应选:B、【点评】此题要紧考查了圆周角定理和圆内接四边形旳性质,关键是掌握半圆〔或直径〕所对旳圆周角是直角、7、点C在线段AB上,且点C是线段AB旳黄金分割点〔AC>BC〕,那么以下结论正确旳选项是〔〕A、AB2=AC•BCB、BC2=AC•BCC、AC=BCD、BC=AB【考点】黄金分割、【分析】依照黄金分割旳定义得出=,从而推断各选项、【解答】解:∵点C是线段AB旳黄金分割点且AC>BC,∴=,即AC2=BC•AB,故A、B错误;∴AC=AB,故C错误;BC=AB,故D正确;应选:D、【点评】此题要紧考查黄金分割,掌握黄金分割旳定义和性质是解题旳关键、8、如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC旳中点,DE⊥AB于点E,那么tan∠BDE旳值等于〔〕A、B、C、D、【考点】解直角三角形;等腰三角形旳性质;勾股定理、【分析】连接AD,由△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,利用等腰三角形三线合一旳性质,可证得AD⊥BC,再利用勾股定理,求得AD旳长,那么在直角△ABD中依照三角函数旳定义求出tan∠BAD,然后依照同角旳余角相等得出∠BDE=∠BAD,因此tan∠BDE=tan∠BAD、【解答】解:连接AD,∵△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D为BC中点,∴AD⊥BC,BD=BC=5,∴AD==12,∴tan∠BAD==、∵AD⊥BC,DE⊥AB,∴∠BDE+∠ADE=90°,∠BAD+∠ADE=90°,∴∠BDE=∠BAD,∴tan∠BDE=tan∠BAD=、应选C、【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形旳性质、勾股定理、锐角三角函数旳定义以及余角旳性质、此题难度适中,解题旳关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想旳应用、9、如图,点P是Rt△ABC旳斜边BC上任意一点,假设过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得旳小三角形与△ABC相似,那么D点旳位置最多有〔〕A、2处B、3处C、4处D、5处【考点】相似三角形旳判定、【分析】过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得旳三角形与原三角形有一个公共角,只需作一个直角即可、【解答】解:∵截得旳小三角形与△ABC相似,∴过P作AC旳垂线,作AB旳垂线,作BC旳垂线,所截得旳三角形满足题意,那么D点旳位置最多有3处、应选B、【点评】此题考查了相似三角形旳判定,熟练掌握相似三角形旳判定方法是解此题旳关键、10、如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF旳顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD旳长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分旳面积为y,那么以下图象中能表示y与x之间旳函数关系旳是〔〕A、B、C、D、【考点】动点问题旳函数图象;等腰三角形旳性质、【分析】分类讨论:当0<x≤1时,依照正方形旳面积公式得到y=x2;当1<x ≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠旳面积等于正方形旳面积减去等腰直角三角形MNE旳面积得到y=x2﹣2〔x﹣1〕2,配方得到y=﹣〔x﹣2〕2+2,然后依照二次函数旳性质对各选项进行推断、【解答】解:当0<x≤1时,y=x2,当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,CD=x,那么AD=2﹣x,∵Rt△ABC中,AC=BC=2,∴△ADM为等腰直角三角形,∴DM=2﹣x,∴EM=x﹣〔2﹣x〕=2x﹣2,=〔2x﹣2〕2=2〔x﹣1〕2,∴S△ENM∴y=x2﹣2〔x﹣1〕2=﹣x2+4x﹣2=﹣〔x﹣2〕2+2,∴y=,应选:A、【点评】此题考查了动点问题旳函数图象:通过看图猎取信息,不仅能够解决生活中旳实际问题,还能够提高分析问题、解决问题旳能力、用图象解决问题时,要理清图象旳含义即会识图、也考查了等腰直角三角形旳性质、【二】填空题〔本大题共4小题,每题5分,总分值20分〕11、计算:sin60°•cos30°﹣tan45°=、【考点】专门角旳三角函数值、【分析】先把sin60°=,tan45°=1,cos30°=代入原式,再依照实数旳运算法那么进行计算、【解答】解:sin60°•cos30°﹣tan45°,=•﹣1,=﹣、故【答案】为:﹣、【点评】此题考查旳是专门角旳三角函数值,熟记各专门角旳三角函数值是解答此题旳关键、12、如图,点A、B、C在⊙O上,∠AOC=60°,那么∠ABC旳度数是150°、【考点】圆周角定理、【分析】首先在优弧上取点D,连接AD,CD,由圆周角定理,即可求得∠ADC 旳度数,又由圆旳内接四边形旳性质,即可求得【答案】、【解答】解:在优弧上取点D,连接AD,CD,∵∠AOC=60°,∴∠ADC=∠AOC=30°,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣30°=150°、故【答案】为:150°、【点评】此题考查了圆周角定理与圆旳内接四边形旳性质、此题比较简单,注意掌握辅助线旳作法、13、有甲、乙两张纸条,甲纸条旳宽度是乙纸条宽旳2倍,如图,将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD、那么AB与BC旳数量关系为AB=2BC、【考点】相似三角形旳判定与性质、【分析】分别过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F,再依照甲纸条旳宽度是乙纸条宽旳2倍可得出AE=2AF,再由平行四边形旳性质得出∠ABC=∠ADC,进而可推断出△ABE∽△ADF,其相似比为2:1、【解答】解:过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F,∵甲纸条旳宽度是乙纸条宽旳2倍,∴AE=2AF,∵纸条旳两边互相平行,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,AD=BC,∵∠AEB=∠AFD=90°,∴△ABE∽△ADF,∴==,即=、故【答案】为:AB=2BC、【点评】此题考查旳是相似三角形旳判定与性质,依照题意作出辅助线,构造出相似三角形是解答此题旳关键、14、如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP旳延长线分别交AD 于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H、给出以下结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH•PB;④=、其中正确旳选项是①③④、〔写出所有正确结论旳序号〕【考点】相似三角形旳判定与性质;全等三角形旳判定与性质;正方形旳性质、【分析】依照等边三角形旳性质和正方形旳性质,得到∠ABE=∠DCF,∠A=∠ADC,AB=CD,证得△ABE≌△DCF,故①正确;由于∠FDP=∠PBD,∠DFP=∠BPC=60°,推出△DFP∽△BPH,得到===故②错误;由于∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,推出△DPH∽△CPD,得到=,PB=CD,等量代换得到PD2=PH•PB,故③正确;依照三角形面积计算公式,结合图形得到△BPD旳面积=△BCP旳面积+△CDP面积﹣△BCD旳面积,得到=故④正确、【解答】解:∵△BPC是等边三角形,∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,在正方形ABCD中,∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°,在△ABE与△CDF中,,∴△ABE≌△DCF,故①正确;∵PC=CD,∠PCD=30°,∴∠PDC=75°,∴∠FDP=15°,∵∠DBA=45°,∴∠PBD=15°,∴∠FDP=∠PBD,∵∠DFP=∠BPC=60°,∴△DFP∽△BPH,∴===,故②错误;∵∠PDH=∠PCD=30°, ∵∠DPH=∠DPC , ∴△DPH ∽△CDP ,∴=,∴PD 2=PH •CD , ∵PB=CD ,∴PD 2=PH •PB ,故③正确;如图,过P 作PM ⊥CD ,PN ⊥BC ,设正方形ABCD 旳边长是4,△BPC 为正三角形, ∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4, ∴∠PCD=30°∴PN=PB •sin60°=4×=2,PM=PC •sin30°=2,S △BPD =S 四边形PBCD﹣S △BCD =S △PBC +S △PDC ﹣S △BCD =×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4,∴=、故【答案】为:①③④、【点评】此题考查旳正方形旳性质以及等积变换,解答此题旳关键是作出辅助线,利用锐角三角函数旳定义求出PE 及PF 旳长,再依照三角形旳面积公式得出结论、【三】〔本大题共2小题,每题8分,总分值16分〕15、抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6、〔1〕用配方法求顶点坐标,对称轴; 〔2〕x 取何值时,y 随x 旳增大而减小?【考点】二次函数旳三种形式;二次函数旳性质、【分析】〔1〕利用配方法将抛物线【解析】式边形为y=﹣2〔x ﹣2〕2+2,由此即可得出抛物线旳顶点坐标以及抛物线旳对称轴;〔2〕由a=﹣2<0利用二次函数旳性质即可得出:当x ≥2时,y 随x 旳增大而减小,此题得解、【解答】解:〔1〕∵y=﹣2x 2+8x ﹣6=﹣2〔x 2﹣4x 〕﹣6=﹣2〔x 2﹣4x+4〕+8﹣6=﹣2〔x ﹣2〕2+2,∴该抛物线旳顶点坐标为〔2,2〕,对称轴为直线x=2、〔2〕∵a=﹣2<0,∴当x≥2时,y随x旳增大而减小、【点评】此题考查了二次函数旳三种形式以及二次函数旳性质,利用配方法将二次函数【解析】式旳一般式换算成顶点式是解题旳关键、16、如图,AB是⊙O旳直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC、假设∠A=22.5°,CD=8cm,求⊙O旳半径、【考点】垂径定理;勾股定理、【分析】连接OC,由圆周角定理得出∠COE=45°,依照垂径定理可得CE=DE=4cm,证出△COE为等腰直角三角形,利用专门角旳三角函数可得【答案】、【解答】解:连接OC,如下图:∵AB是⊙O旳直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=CD=4cm,∵∠A=22.5°,∴∠COE=2∠A=45°,∴△COE为等腰直角三角形,∴OC=CE=4cm,即⊙O旳半径为4cm、【点评】此题要紧考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数旳应用;关键是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对旳圆周角相等,都等于这条弧所对旳圆心角旳一半、【四】〔本大题共2小题,每题8分,总分值16分〕17、如图,△ABC旳顶点坐标分别为A〔1,3〕、B〔4,2〕、C〔2,1〕、〔1〕作出与△ABC关于x轴对称旳△A1B1C1,并写出点A1旳坐标;〔2〕以原点O为位似中心,在原点旳另一侧画出△A2B2C2,使=,并写出点A2旳坐标、【考点】作图-位似变换;作图-轴对称变换、【分析】〔1〕利用关于x轴对称旳点旳坐标特征,写出A1、B1、C1旳坐标,然后描点即可得到△A1B1C1;〔2〕把A、B、C旳横纵坐标后乘以﹣2得到出A2、B2、C2旳坐标,然后描点即可得到△A2B2C2、【解答】解:〔1〕如图,△A1B1C1为所作,A1〔1,﹣3〕;〔2〕如图,△A2B2C2为所作,A2〔﹣2,﹣6〕、【点评】此题考查了位似变换:假如两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点旳连线相交于一点,对应边互相平行,那么如此旳两个图形叫做位似图形,那个点叫做位似中心、18、如下图,我市某中学课外活动小组旳同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段旳宽度、小宇同学在A处观测对岸C点,测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远旳B处测得∠CBD=30°,请你依照这些数据算出河宽、〔精确到0.01米,参考数据≈1.414,≈1.732〕【考点】解直角三角形旳应用、【分析】设河宽为未知数,那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB,然后依照BE﹣AE=50就能求得河宽、【解答】解:过C作CE⊥AB于E,设CE=x米,在Rt△AEC中:∠CAE=45°,AE=CE=x在Rt△BCE中:∠CBE=30°,BE=CE=x,∴x=x+50解之得:x=25+25≈68.30、答:河宽为68.30米、【点评】此题要紧考查了三角函数旳概念和应用,解题关键是把实际问题转化为数学问题,抽象到三角形中,利用三角函数进行解答、【五】〔本大题共2小题,每题10分,总分值20分〕19、〔10分〕〔2016秋•瑶海区期末〕如图,D是AC上一点,BE∥AC,AE分别交BD、BC于点F、G、假设∠1=∠2,线段BF、FG、FE之间有如何样旳关系?请说明理由、【考点】相似三角形旳判定与性质、【分析】依照BE∥AC,可得∠1=∠E,然后有∠1=∠2,可得∠2=∠E,又由∠GFB=∠BFE,可得出△BFG∽△EFB,最后可得出BF2=FG•FE、【解答】解:BF2=FG•FE、理由:∵BE∥AC,∴∠1=∠E,∵∠1=∠2,∴∠2=∠E,又∵∠GFB=∠BFE,∴△BFG∽△EFB,∴=,即BF2=FG•FE、【点评】此题考查了相似三角形旳判定与性质,解答此题旳关键是依照BE∥AC,得出∠1=∠E,进而判定△BFG∽△EFB、20、〔10分〕〔2017•安徽〕杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其躯体〔看成一点〕旳路线是抛物线y=x2+3x+1旳一部分,如下图、〔1〕求演员弹跳离地面旳最大高度;〔2〕人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A旳水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由、【考点】二次函数旳应用、【分析】〔1〕将二次函数化简为y=﹣〔x﹣〕2+,即可解出y最大旳值、〔2〕当x=4时代入二次函数可得点B旳坐标在抛物线上、【解答】解:〔1〕将二次函数y=x2+3x+1化成y=〔x〕2,,当x=时,y有最大值,y最大值=,〔5分〕因此,演员弹跳离地面旳最大高度是4.75米、〔6分〕〔2〕能成功表演、理由是:当x=4时,y=×42+3×4+1=3.4、即点B〔4,3.4〕在抛物线y=x2+3x+1上,因此,能表演成功、〔12分〕、【点评】此题考查点旳坐标旳求法及二次函数旳实际应用、此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题、六、〔此题总分值12分〕21、〔12分〕〔2016秋•瑶海区期末〕如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC旳各边,所形成旳三个小三角形△1、△2、△3〔图中阴影部分〕旳面积分别是1、4、25、那么△ABC旳面积是64、【考点】相似三角形旳判定与性质、【分析】首先过M作BC旳平行线交AB、AC于D、E,过M作AC平行线交AB、BC于F、H,过M作AB平行线交AC、BC于I、G,推断出△1∽△2∽△3,再依照相似三角形旳性质,推断出它们旳边长比为1:2:5;然后推断出BC、DM旳关系,依照相似三角形旳面积旳比等于它们旳相似比旳平方,推断出S△ABC 、S△FDM旳关系,求出△ABC旳面积是多少即可、【解答】解:如图,,过M作BC旳平行线交AB、AC于D、E,过M作AC平行线交AB、BC于F、H,过M作AB平行线交AC、BC于I、G,依照题意得,△1∽△2∽△3,∵△1:△2=1:4,△1:△3=1:25,∴它们旳边长比为1:2:5,又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形,∴DM=BG,EM=CH,设DM为x,那么BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x,∴BC:DM=8:1,∴S△ABC :S△FDM=64:1,∴S△ABC=1×64=64、故【答案】为:64、【点评】此题要紧考查了三角形相似旳判定和性质旳应用,要熟练掌握,解答此题旳关键是要明确:①三边法:三组对应边旳比相等旳两个三角形相似;②两边及其夹角法:两组对应边旳比相等且夹角对应相等旳两个三角形相似;③两角法:有两组角对应相等旳两个三角形相似、七、〔此题总分值12分〕22、〔12分〕〔2016秋•瑶海区期末〕某商场购进一批单价为16元旳日用品,销售一段时刻后,为了获得更多旳利润,商店决定提高价格、经调查发觉,假设按每件20元旳价格销售时,每月能卖出360件,在此基础上,假设涨价5元,那么每月销售量将减少150件,假设每月销售量y〔件〕与价格x〔元/件〕满足关系式y=kx+B、〔1〕求k,b旳值;〔2〕问日用品单价应定为多少元?该商场每月获得利润最大,最大利润是多少?【考点】二次函数旳应用、【分析】〔1〕待定系数法求解可得;〔2〕依照“总利润=单件利润×销售量”列出函数【解析】式,由二次函数旳性质可得最值情况、【解答】解:〔1〕由题意可知:,解得:;〔2〕由〔1〕可知:y与x旳函数关系应该是y=﹣30x+960设商场每月获得旳利润为W,由题意可得W=〔x﹣16〕〔﹣30x+960〕=﹣30x2+1440x﹣15360、∵﹣30<0,=1920∴当x=﹣=24时,利润最大,W最大值答:当单价定为24元时,获得旳利润最大,最大旳利润为1920元、【点评】此题要紧考查二次函数旳应用能力,理解题意找到题目蕴含旳相等关系并列出函数【解析】式是解题旳关键、八、〔此题总分值14分〕23、〔14分〕〔2016秋•瑶海区期末〕如图,在□ABCD,E为边BC旳中点,F 为线段AE上一点,联结BF并延长交边AD于点G,过点G作AE旳平行线,交射线DC于点H、设==x、〔1〕当x=1时,求AG:AB旳值;〔2〕设=y,求y关于x旳函数关系式;〔3〕当DH=3HC时,求x旳值、【考点】相似形综合题、【分析】〔1〕依照平行四边形旳性质得:AD∥BC,由平行线分线段成比例定理得:,由x=1得:==1,依照中点E得:AG=AB,从而得出AG:AB 旳值;〔2〕假设AB=1,那么AD=x,由〔1〕得:BE=,AG=,DG=x﹣,证明△GDH ∽△EBA,依照面积比等于相似比旳平方列式可求得y关于x旳函数关系式;〔3〕因为H是射线DC上一点,因此分两种情况:①如图2,当点H在边DC上时,依照DH=3HC,得,再利用△GDH∽△EBA,列比例式可求得x旳值;②如图3,当H在DC旳延长线上时,同理可求得x旳值、【解答】解:〔1〕如图1,在□ABCD中,AD=BC,AD∥BC,∴,∵x=1,即=1,∴==1,∴AD=AB,AG=BE,∵E为BC旳中点,∴BE=BC ,∴AG=BE=BC=AB ,即AG :AB=;〔2〕如图1,∵==x ,∴不妨设AB=1,那么AD=x ,BE=, ∵AD ∥BC ,∴,∴AG=,DG=AD ﹣AG=x ﹣, ∵GH ∥AE ,∴∠DGH=∠DAE ,∵AD ∥BC ,∴∠DAE=∠AEB ,∴∠DGH=∠AEB ,在□ABCD 中,∠D=∠ABE , ∴△GDH ∽△EBA ,∴=〔〕2,∴y=,∴y=;〔3〕①如图2,当点H 在边DC 上时, ∵DH=3HC ,∴,∴,∵△GDH ∽△EBA ,∴=,∴=,解得:x=;②如图3,当H在DC旳延长线上时,∵DH=3HC,∴=,∴=,∵△GDH∽△EBA,∴,∴=,解得:x=2,综上所述,可知x旳值为或2、。
合肥市瑶海区2019届九年级上期末数学试卷含解析
合肥市瑶海区2019 届九年级上期末数学试卷含答案分析一、选择题(本大题共10 小题,每题 4 分,满分 40 分)以下每题都给出了A,B,C,D 四个选项,此中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在表中..抛物线2+bx﹣ 3 经过点( 1,1),则代数式 a+b 的值为()1y=axA.2 B.3 C.4D.62.在 Rt△ABC中,∠ C=90°,AB=5,AC=3.以下选项中,正确的选项是()A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=3.若 ab=cd,且 abcd≠0,则以下式子正确的选项是()A.a:c=b: d B.d:c=b:aC.a:b=c:d D.a:d=c:b4.对于反比率函数,以下说法中不正确的选项是()A.点(﹣ 2,﹣ 1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.y 随 x 的增大而减小D.当 x< 0 时, y 随 x 的增大而减小5.如图,△ABC 中,点D、 E 分别是AB、 AC 的中点,则以下结论:①BC=2DE;②△ ADE∽△ ABC;③.此中正确的有()A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个6.AB 为⊙ O 的直径,点C、D 在⊙ O 上.若∠ ABD=42°,则∠ BCD 的度数是()A.122°B.132°C.128°D.138°7.已知点 C 在线段 AB 上,且点 C 是线段 AB 的黄金切割点( AC>BC),则下列结论正确的选项是()A.AB2=AC?BC B.BC2=AC?BC C.AC=BC D.BC=AB 8.如图,在△ ABC 中, AB=AC=13,BC=10,点 D 为 BC 的中点, DE⊥AB 于点E,则 tan∠BDE的值等于()A.B.C.D.9.如图,已知点 P 是 Rt△ABC的斜边 BC 上随意一点,若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D,截得的小三角形与△ ABC相像,那么 D 点的地点最多有()A.2 处B.3 处C.4 处D.5 处10.如图, Rt△ABC中, AC=BC=2,正方形 CDEF的极点 D、F 分别在 AC、 BC边上,设 CD的长度为 x,△ ABC与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y,则以下图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分)11.计算: sin60 ° ?cos30﹣tan45° °=.12.如图,点 A、 B、 C 在⊙ O 上,∠ AOC=60°,则∠ ABC的度数是.13.有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍,如图,将这两张纸条交错重叠地放在一同,重合部分为四边形ABCD.则AB 与 BC 的数目关系为.14.如图,在正方形ABCD中,△ BPC 是等边三角形, BP、 CP 的延伸线分别交AD 于点 E、F,连结 BD、DP, BD 与 CF订交于点 H.给出以下结论:①△ ABE≌△ DCF;②= ;③ DP2;④=.=PH?PB此中正确的选项是.(写出全部正确结论的序号)三、(本大题共 2 小题,每题 8 分,满分 16 分)15.( 8 分)抛物线 y=﹣ 2x2+8x﹣ 6.(1)用配方法求极点坐标,对称轴;(2) x 取何值时, y 随 x 的增大而减小?16.( 8 分)已知如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 CD⊥ AB,垂足为 E,连结AC.若∠ A=22.5 °,CD=8cm,求⊙ O 的半径.四、(本大题共 2 小题,每题 8 分,满分 16 分)17.( 8 分)如图,△ ABC 的极点坐标分别为A(1,3)、 B(4,2)、 C( 2,1).( 1)作出与△ ABC对于 x 轴对称的△ A 1B1C1,并写出点 A1的坐标;( 2)以原点O 为位似中心,在原点的另一侧画出△A2B2C2,使=,并写出点 A2的坐标.18.( 8 分)如下图,我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在 A 处观察对岸 C 点,测得∠ CAD=45°,小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得∠ CBD=30°,请你依据这些数据算出河宽.(精准到 0.01 米,参照数据≈,≈)五、(本大题共 2 小题,每题 10 分,满分 20 分)19.( 10 分)如图, D 是 AC 上一点, BE∥AC,AE 分别交 BD、BC 于点 F、G.若∠ 1=∠ 2,线段 BF、FG、FE之间有如何的关系?请说明原因.20.( 10 分)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处,其身体(当作一点)的路线是抛物线y=x2+3x+1 的一部分,如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高 BC=3.4 米,在一次表演中,人梯到起跳点 A 的水平距离是 4米,问此次表演能否成功?请说明原因.六、(本题满分12 分)21.( 12 分)如图,点M 是△ ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ ABC 的各边,所形成的三个小三角形△ 1 、△2、△3(图中暗影部分)的面积分别是1、4、25.则△ ABC的面积是.七、(本题满分12 分)22.( 12 分)某商场购进一批单价为16 元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多的收益,商铺决定提升价钱.经检查发现,若按每件20 元的价钱销售时,每个月能卖出 360 件,在此基础上,若涨价 5 元,则每个月销售量将减少 150 件,若每个月销售量 y(件)与价钱 x(元 / 件)知足关系式 y=kx+b.(1)求 k,b 的值;(2)问日用品单价应定为多少元?该商场每个月获取收益最大,最大收益是多少?八、(本题满分14 分)23.( 14 分)如图,在□ ABCD,E 为边 BC 的中点, F 为线段 AE 上一点,联络 BF 并延伸交边 AD 于点 G,过点 G 作 AE 的平行线,交射线 DC 于点 H.设==x.(1)当 x=1 时,求 AG: AB 的值;(2)设=y,求 y 对于 x 的函数关系式;(3)当 DH=3HC时,求 x 的值.-学年九年级(上)期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题(本大题共10 小题,每题 4 分,满分 40 分)以下每题都给出了A,B,C,D 四个选项,此中只有一个是正确的,请把正确答案的代号填在表中.2bx﹣ 3 经过点( 1,1),则代数式 a b 的值为()1.抛物线 y=ax ++ A.2 B.3 C.4 D.6【考点】二次函数图象上点的坐标特点.【剖析】把点(1,1)代入函数分析式即可求出 a b 的值.+【解答】解:∵二次函数y=ax2 bx﹣3(a≠0)的图象经过点( 1,1),+∴a+b﹣3=1,∴a+b=4,应选: C.【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点,整体思想的利用是解题的重点.2.在 Rt△ABC中,∠ C=90°,AB=5,AC=3.以下选项中,正确的选项是()A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=【考点】锐角三角函数的定义.【剖析】第一在直角△ ABC中利用勾股定理求得 BC 的长,而后利用三角函数的定义进行判断.【解答】解:在直角△ ABC中 BC===4.A、sinA==,选项错误;B、cosA==,选项正确;C、tanA= =,选项错误;D、cotA= =,选项错误.应选 B.【评论】本题考察锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.3.若 ab=cd,且 abcd≠0,则以下式子正确的选项是()A.a:c=b: d B.d:c=b:aC.a:b=c:d D.a:d=c:b【考点】比率的性质.【剖析】依据比率的性质,可得答案.【解答】解: A、a:c=b:d,得 ad=bc,故 A 错误;B、d:c=b: a,得 bc=ad,故 B 错误;C、a:b=c:d,得 ac=bd,故 C 错误;D、a:d=c: b,得 ab=cd,故 D 正确;应选: D.【评论】本题考察了比率的性质,比率的性质是:两外项的乘积等于两内项的乘积.4.对于反比率函数,以下说法中不正确的选项是()A.点(﹣ 2,﹣ 1)在它的图象上B.它的图象在第一、三象限C.y 随 x 的增大而减小D.当 x< 0 时, y 随 x 的增大而减小【考点】反比率函数的性质.【剖析】依据反比率函数的性质用清除法解答,当系数k>0 时,函数图象在第一、三象限,当x> 0 或 x<0 时, y 随 x 的增大而减小,据此能够获取答案.【解答】解: A、把点(﹣ 2,﹣ 1)代入反比率函数y=得﹣1=﹣1,本选项正确;B、∵ k=2>0,∴图象在第一、三象限,本选项正确;C、当 x> 0 时, y 随 x 的增大而减小,本选项不正确;D、当 x<0 时, y 随 x 的增大而减小,本选项正确.应选 C.【评论】本题考察了反比率函数y=(k≠ 0)的性质:①当k> 0 时,图象分别位于第一、三象限;当k<0 时,图象分别位于第二、四象限.②当k>0 时,在同一个象限内, y 随 x 的增大而减小;当 k<0 时,在同一个象限, y 随 x 的增大而增大.5.如图,△ABC 中,点D、 E 分别是AB、 AC 的中点,则以下结论:①BC=2DE;②△ ADE∽△ ABC;③.此中正确的有()A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个【考点】三角形中位线定理;相像三角形的判断与性质.【剖析】若 D、E 是 AB、AC 的中点,则DE 是△ ABC的中位线,可依据三角形中位线定理得出的等量条件进行判断.【解答】解:∵ D、 E 是 AB、AC的中点,∴DE是△ ABC的中位线;∴DE∥BC,BC=2DE;(故①正确)∴△ ADE∽△ ABC;(故②正确)∴,即;(故③正确)所以本题的三个结论都正确,应选A.【评论】本题主要考察了三角形中位线定理以及相像三角形的判断和性质.6.AB 为⊙ O 的直径,点C、D 在⊙ O 上.若∠ ABD=42°,则∠ BCD 的度数是()A.122°B.132°C.128°D.138°【考点】圆周角定理.【剖析】连结 AD,依据圆周角定理可得∠ADB=90°,而后可得∠ DAB=48°,再依据圆内接四边形对角互补可得答案.【解答】解:连结 AD,∵AB为⊙O 的直径,∴∠ ADB=90°,∵∠ ABD=42°,∴∠ DAB=48°,∴∠ BCD=180°﹣ 48°=132°,应选: B.【评论】本题主要考察了圆周角定理和圆内接四边形的性质,重点是掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角.7.已知点 C 在线段 AB 上,且点 C 是线段 AB 的黄金切割点( AC>BC),则下列结论正确的选项是()A.AB2=AC?BC B.BC2=AC?BC C.AC=BC D.BC=AB 【考点】黄金切割.【剖析】依据黄金切割的定义得出=,从而判断各选项.【解答】解:∵点 C 是线段 AB 的黄金切割点且AC>BC,∴=,即AC2=BC?AB,故A、B错误;∴ AC=AB,故 C 错误;BC=AB,故 D 正确;应选: D.【评论】本题主要考察黄金切割,掌握黄金切割的定义和性质是解题的重点.8.如图,在△ ABC 中, AB=AC=13,BC=10,点 D 为 BC 的中点, DE⊥AB 于点E,则 tan∠BDE的值等于()A.B.C.D.【考点】解直角三角形;等腰三角形的性质;勾股定理.【剖析】连结 AD,由△ ABC 中, AB=AC=13,BC=10,D 为 BC 中点,利用等腰三角形三线合一的性质,可证得AD⊥BC,再利用勾股定理,求得AD 的长,那么在直角△ ABD 中依据三角函数的定义求出 tan∠BAD,而后依据同角的余角相等得出∠ BDE=∠ BAD,于是 tan∠BDE=tan∠BAD.【解答】解:连结 AD,∵△ ABC中, AB=AC=13,BC=10, D 为 BC中点,∴AD⊥BC,BD= BC=5,∴ AD==12,∴tan∠ BAD= = .∵AD⊥BC,DE⊥AB,∴∠ BDE+∠ADE=90°,∠ BAD+∠ ADE=90°,∴∠ BDE=∠BAD,∴tan∠ BDE=tan∠ BAD= .应选 C.【评论】本题考察认识直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质.本题难度适中,解题的重点是正确作出协助线,注意数形联合思想的应用.9.如图,已知点 P 是 Rt△ABC的斜边 BC 上随意一点,若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D,截得的小三角形与△ ABC相像,那么 D 点的地点最多有()A.2 处B.3 处C.4 处D.5 处【考点】相像三角形的判断.【剖析】过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 订交于点 D,截得的三角形与原三角形有一个公共角,只要作一个直角即可.【解答】解:∵截得的小三角形与△ABC相像,∴过 P 作 AC 的垂线,作 AB 的垂线,作 BC 的垂线,所截得的三角形知足题意,则D 点的地点最多有 3处.应选 B.【评论】本题考察了相像三角形的判断,娴熟掌握相像三角形的判断方法是解本题的重点.10.如图, Rt△ABC中, AC=BC=2,正方形 CDEF的极点 D、F 分别在 AC、 BC边上,设 CD的长度为 x,△ ABC与正方形 CDEF重叠部分的面积为 y,则以下图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是()A.B.C.D.【考点】动点问题的函数图象;等腰三角形的性质.【剖析】分类议论:当0<x≤ 1 时,依据正方形的面积公式获取y=x2;当 1<x ≤2 时, ED交 AB 于 M, EF交 AB 于 N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积获取 y=x2﹣2(x﹣1)2,配方获取 y=﹣( x﹣ 2)2+2,而后依据二次函数的性质对各选项进行判断.【解答】解:当 0< x≤ 1 时, y=x2,当1<x≤ 2 时, ED 交 AB 于 M , EF交 AB 于 N,如图,CD=x,则 AD=2﹣x,∵Rt△ABC中, AC=BC=2,∴△ADM 为等腰直角三角形,∴ DM=2﹣x,∴ EM=x﹣( 2﹣x)=2x﹣2,∴ S△ENM= ( 2x﹣2)2=2(x﹣1)2,∴ y=x2﹣2(x﹣1)2=﹣x2+4x﹣ 2=﹣( x﹣2)2+2,∴ y=,应选: A.【评论】本题考察了动点问题的函数图象:经过看图获守信息,不单能够解决生活中的实质问题,还能够提升剖析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.也考察了等腰直角三角形的性质.二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分)11.计算: sin60 ° ?cos30﹣tan45° °=.【考点】特别角的三角函数值.【剖析】先把 sin60 °=,tan45°=1,cos30°=代入原式,再依据实数的运算法例进行计算.【解答】解: sin60 °?cos30﹣°tan45 °,=? ﹣ 1,=﹣.故答案为:﹣.【评论】本题考察的是特别角的三角函数值,熟记各特别角的三角函数值是解答本题的重点.12 A B C在⊙O上,∠AOC=60°ABC150°..如图,点、、,则∠的度数是【考点】圆周角定理.【剖析】第一在优弧上取点D,连结 AD,CD,由圆周角定理,即可求得∠ADC的度数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得答案.【解答】解:在优弧上取点D,连结AD,CD,∵∠ AOC=60°,∴∠ ADC= ∠AOC=30°,∵∠ ABC+∠ADC=180°,∴∠ ABC=180°﹣∠ ADC=180°﹣30°=150°.故答案为: 150°.【评论】本题考察了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.本题比较简单,注意掌握协助线的作法.13.有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍,如图,将这两张纸条交错重叠地放在一同,重合部分为四边形ABCD AB与BC的数目关系为.则AB=2BC .【考点】相像三角形的判断与性质.【剖析】分别过 A 作 AE⊥ BC 于 E、作 AF⊥ CD 于 F,再依据甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍可得出 AE=2AF,再由平行四边形的性质得出∠ ABC=∠ADC,从而可判断出△ ABE∽△ ADF,其相像比为 2:1.【解答】解:过 A 作 AE⊥BC于 E、作 AF⊥CD 于 F,∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍,∴AE=2AF,∵纸条的两边相互平行,∴四边形 ABCD是平行四边形,∴∠ ABC=∠ADC, AD=BC,∵∠ AEB=∠AFD=90°,∴△ ABE∽△ ADF,∴= = ,即 = .故答案为: AB=2BC.【评论】本题考察的是相像三角形的判断与性质,依据题意作出协助线,结构出相像三角形是解答本题的重点.14.如图,在正方形ABCD中,△ BPC 是等边三角形, BP、 CP 的延伸线分别交AD 于点 E、F,连结 BD、DP, BD 与 CF订交于点 H.给出以下结论:①△ ABE≌△ DCF;②= ;③ DP2;④=.=PH?PB此中正确的选项是①③④.(写出全部正确结论的序号)【考点】相像三角形的判断与性质;全等三角形的判断与性质;正方形的性质.【剖析】依据等边三角形的性质和正方形的性质,获取∠ABE=∠ DCF,∠ A=∠ADC, AB=CD,证得△ ABE≌△ DCF,故①正确;因为∠FDP=∠ PBD,∠ DFP=∠BPC=60°,推出△ DFP∽△ BPH,获取= = =故②错误;因为∠PDH=∠PCD=30°,∠ DPH=∠ DPC,推出△ DPH∽△ CPD,获取=,PB=CD,等量代换获取 PD2,故③正确;依据三角形面积计算公式,联合图形获取△=PH?PBBPD 的面积 =△BCP的面积 +△ CDP 面积﹣△ BCD的面积,获取=故④正确.【解答】解:∵△ BPC是等边三角形,∴ BP=PC=BC,∠ PBC=∠ PCB=∠ BPC=60°,在正方形 ABCD中,∵ AB=BC=CD,∠ A=∠ ADC=∠BCD=90°∴∠ ABE=∠DCF=30°,在△ ABE与△ CDF中,,∴△ ABE≌△ DCF,故①正确;∵PC=CD,∠ PCD=30°,∴∠ PDC=75°,∴∠ FDP=15°,∵∠ DBA=45°,∴∠ PBD=15°,∴∠ FDP=∠PBD,∵∠ DFP=∠BPC=60°,∴△ DFP∽△ BPH,∴= = = ,故②错误;∵∠ PDH=∠PCD=30°,∵∠ DPH=∠DPC,∴△ DPH∽△ CDP,∴= ,∴PD2=PH?CD,∵PB=CD,∴PD2=PH?PB,故③正确;如图,过 P 作 PM⊥ CD,PN⊥BC,设正方形 ABCD的边长是 4,△ BPC为正三角形,∴∠ PBC=∠PCB=60°, PB=PC=BC=CD=4,∴∠ PCD=30°∴PN=PB?sin60 °=4× =2 ,PM=PC?sin30°=2,△ BPD四边形 PBCD﹣S△ BCD △ PBC+S△ PDC﹣S△ BCD×4×2 +×2×﹣×4×S =S=S=44=4 +4﹣ 8=4﹣4,∴=.故答案为:①③④.【评论】本题考察的正方形的性质以及等积变换,解答本题的重点是作出协助线,利用锐角三角函数的定义求出 PE 及 PF 的长,再依据三角形的面积公式得出结论.三、(本大题共 2 小题,每题 8 分,满分 16 分)2(1)用配方法求极点坐标,对称轴;(2) x 取何值时, y 随 x 的增大而减小?【考点】二次函数的三种形式;二次函数的性质.【剖析】(1)利用配方法将抛物线分析式边形为 y=﹣2( x﹣2)2 +2,由此即可得出抛物线的极点坐标以及抛物线的对称轴;( 2)由 a=﹣2<0 利用二次函数的性质即可得出:当x≥2 时, y 随 x 的增大而减小,本题得解.【解答】解:( 1)∵ y=﹣ 2x2+8x﹣ 6=﹣ 2( x2﹣ 4x)﹣ 6=﹣ 2( x2﹣ 4x+4) +8﹣6=﹣2(x﹣ 2)2+2,∴该抛物线的极点坐标为(2,2),对称轴为直线x=2.(2)∵ a=﹣2< 0,∴当 x≥2 时, y 随 x 的增大而减小.【评论】本题考察了二次函数的三种形式以及二次函数的性质,利用配方法将二次函数分析式的一般式换算成极点式是解题的重点.16.已知如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 CD⊥ AB,垂足为 E,连结 AC.若∠A=22.5 °, CD=8cm,求⊙ O 的半径.【考点】垂径定理;勾股定理.【剖析】连接 OC,由圆周角定理得出∠ COE=45°,依据垂径定理可得CE=DE=4cm,证出△COE 为等腰直角三角形,利用特别角的三角函数可得答案.【解答】解:连结 OC,如下图:∵AB是⊙ O 的直径,弦 CD⊥AB,∴ CE=DE= CD=4cm,∵∠°,∴∠ COE=2∠ A=45°,∴△ COE为等腰直角三角形,∴ OC= CE=4cm,即⊙ O 的半径为 4 cm.【评论】本题主要考察了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用;重点是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.四、(本大题共 2 小题,每题 8 分,满分 16 分)17.如图,△ ABC的极点坐标分别为A( 1, 3)、 B(4, 2)、 C(2,1).( 1)作出与△ ABC对于 x 轴对称的△ A 1B1C1,并写出点 A1的坐标;( 2)以原点O 为位似中心,在原点的另一侧画出△A2B2C2,使=,并写出点 A2的坐标.【考点】作图 -位似变换;作图 -轴对称变换.【剖析】(1)利用对于 x 轴对称的点的坐标特点,写出 A1、B1、C1的坐标,而后描点即可获取△ A 1B1C1;(2)把 A、B、C 的横纵坐标后乘以﹣ 2 获取出 A2、B2、 C2的坐标,而后描点即可获取△ A 2B2C2.【解答】解:( 1)如图,△ A 1B1C1为所作, A1( 1,﹣ 3);( 2)如图,△ A2B2C2为所作, A2(﹣ 2,﹣ 6).【评论】本题考察了位似变换:假如两个图形不单是相像图形,并且对应极点的连线订交于一点,对应边相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.18.如下图,我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在 A 处观察对岸 C 点,测得∠ CAD=45°,小英同学在距 A 处50 米远的B 处测得∠CBD=30°,请你依据这些数据算出河宽.(精准到0.01 米,参照数据≈,≈)【考点】解直角三角形的应用.【剖析】设河宽为未知数,那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB,而后根据 BE﹣ AE=50就能求得河宽.【解答】解:过 C 作 CE⊥AB 于 E,设 CE=x米,在 Rt△AEC中:∠ CAE=45°, AE=CE=x在 Rt△BCE中:∠ CBE=30°,BE= CE=x,∴x=x 50解之得: x=2525≈.++答:河宽为 68.30 米.【评论】本题主要考察了三角函数的观点和应用,解题重点是把实质问题转变为数学识题,抽象到三角形中,利用三角函数进行解答.五、(本大题共 2 小题,每题 10 分,满分 20 分)19.( 10 分)(秋 ?期末)如图, D 是 AC 上一点, BE∥ AC,AE 分别交 BD、BC于点 F、G.若∠ 1=∠ 2,线段 BF、FG、FE之间有如何的关系?请说明原因.【考点】相像三角形的判断与性质.【剖析】依据 BE∥ AC,可得∠ 1=∠E,而后有∠ 1=∠2,可得∠ 2=∠ E,又由∠ GFB=∠BFE,可得出△ BFG∽△ EFB,最后可得出 BF2=FG?FE.【解答】解: BF2=FG?FE.原因:∵ BE∥AC,∴∠ 1=∠ E,∵∠ 1=∠ 2,∴∠ 2=∠ E,又∵∠ GFB=∠BFE,∴△ BFG∽△ EFB,∴= ,即BF2=FG?FE.【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质,解答本题的重点是依据BE∥AC,得出∠ 1=∠ E,从而判断△ BFG∽△ EFB.20.( 10 分)( ?安徽)杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处,其身体(当作一点)的路线是抛物线y=x2+3x+1 的一部分,如下图.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高 BC=3.4 米,在一次表演中,人梯到起跳点 A 的水平距离是 4米,问此次表演能否成功?请说明原因.【考点】二次函数的应用.【剖析】(1)将二次函数化简为 y=﹣( x﹣)2+,即可解出 y 最大的值.( 2)当 x=4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上.1y=x2 3x 1化成y=(x)2,,【解答】解:()将二次函数+ +当 x= 时, y 有最大值, y 最大值 =,( 5 分)所以,演员弹跳离地面的最大高度是 4.75 米.( 6 分)( 2)能成功表演.原因是:当x=4 时, y=× 42+3× .即点 B(4,)在抛物线 y=x2+3x+1 上,所以,能表演成功.( 12 分).【评论】本题考察点的坐标的求法及二次函数的实质应用.本题为数学建模题,借助二次函数解决实质问题.六、(本题满分12 分)21.( 12 分)(秋 ?期末)如图,点 M 是△ ABC内一点,过点 M 分别作直线平行于△ ABC 的各边,所形成的三个小三角形△1、△ 2、△ 3 (图中暗影部分)的面积分别是 1、4、25.则△ ABC的面积是64.【考点】相像三角形的判断与性质.【剖析】第一过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、E,过 M 作 AC 平行线交AB、BC 于 F、 H,过 M 作 AB 平行线交 AC、 BC 于 I、G,判断出△1∽△2∽△3,再依据相像三角形的性质,判断出它们的边长比为1: 2: 5;而后判断出BC、 DM 的关系,依据相像三角形的面积的比等于它们的相像比的平方,判断出 S△ABC、S△FDM的关系,求出△ ABC的面积是多少即可.【解答】解:如图,,过 M 作 BC 的平行线交 AB、AC 于 D、 E,过 M 作 AC 平行线交 AB、BC 于 F、H,过 M 作 AB 平行线交 AC、BC于 I、G,依据题意得,△ 1∽△ 2∽△ 3,∵△ 1:△ 2=1:4,△ 1:△ 3=1:25,∴它们的边长比为1:2:5,又∵四边形 BDMG 与四边形 CEMH为平行四边形,∴DM=BG,EM=CH,设 DM 为 x,则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x,∴ BC:DM=8:1,∴S△ABC: S△FDM=64: 1,∴S△ABC=1×64=64.故答案为: 64.【评论】本题主要考察了三角形相像的判断和性质的应用,要娴熟掌握,解答本题的重点是要明确:①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相像;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相像;③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相像.七、(本题满分12 分)22.( 12 分)(秋 ?期末)某商场购进一批单价为16 元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多的收益,商铺决定提升价钱.经检查发现,若按每件20 元的价钱销售时,每个月能卖出 360 件,在此基础上,若涨价 5 元,则每个月销售量将减少 150 件,若每个月销售量 y(件)与价钱 x(元 / 件)知足关系式 y=kx+b.(1)求 k,b 的值;(2)问日用品单价应定为多少元?该商场每个月获取收益最大,最大收益是多少?【考点】二次函数的应用.【剖析】(1)待定系数法求解可得;(2)依据“总收益 =单件收益×销售量”列出函数分析式,由二次函数的性质可得最值状况.【解答】解:( 1)由题意可知:,解得:;( 2)由( 1)可知: y 与 x 的函数关系应当是 y=﹣30x+960设商场每个月获取的收益为 W,由题意可得W=(x﹣16)(﹣ 30x+960)=﹣30x2+1440x﹣15360.∵﹣ 30< 0,∴当 x=﹣=24 时,收益最大, W 最大值 =1920答:当单价定为24 元时,获取的收益最大,最大的收益为1920 元.【评论】本题主要考察二次函数的应用能力,理解题意找到题目包含的相等关系并列出函数分析式是解题的重点.八、(本题满分14 分)23.( 14 分)(秋 ?期末)如图,在□ ABCD,E 为边 BC 的中点, F 为线段 AE 上一点,联络 BF 并延伸交边 AD 于点 G,过点 G 作 AE 的平行线,交射线 DC 于点H.设==x.(1)当 x=1 时,求 AG: AB 的值;(2)设=y,求 y 对于 x 的函数关系式;(3)当 DH=3HC时,求 x 的值.【考点】相像形综合题.【剖析】(1)依据平行四边形的性质得:AD∥BC,由平行线分线段成比率定理得:,由 x=1 得:= =1,依据中点 E 得: AG= AB,从而得出AG:AB 的值;(2)假定 AB=1,则 AD=x,由( 1)得: BE= ,AG= , DG=x﹣,证明△ GDH∽△ EBA,依据面积比等于相像比的平方列式可求得y 对于 x 的函数关系式;( 3)因为 H 是射线 DC 上一点,所以分两种状况:①如图2,当点 H 在边 DC上时,依据已知DH=3HC,得,再利用△ GDH∽△ EBA,列比率式可求得x 的值;②如图 3,当 H 在 DC的延伸线上时,同理可求得 x 的值.【解答】解:( 1)如图 1,在□ABCD中, AD=BC,AD∥BC,∴,∵ x=1,即=1,∴= =1,∴AD=AB, AG=BE,∵ E 为 BC的中点,∴BE= BC,∴AG=BE= BC= AB,即 AG:AB= ;( 2)如图 1,∵= =x,∴不如设 AB=1,则 AD=x, BE= ,∵AD∥BC,∴,∴AG= ,DG=AD﹣AG=x﹣,∵GH∥ AE,∴∠DGH=∠DAE,∵AD∥BC,∴∠ DAE=∠AEB,∴∠ DGH=∠AEB,在□ABCD中,∠ D=∠ABE,∴△ GDH∽△ EBA,∴=()2,∴ y=,∴ y=;(3)①如图 2,当点 H 在边 DC上时,∵ DH=3HC,∴,∴,∵△ GDH∽△ EBA,∴=,∴= ,解得: x= ;②如图 3,当 H 在 DC的延伸线上时,∵DH=3HC,∴ = ,∴= ,∵△ GDH∽△ EBA,∴,合肥市瑶海区2019届九年级上期末数学试卷含分析∴= ,解得: x=2,综上所述,可知x 的值为或2.31 / 3131 / 31。
安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷
安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.二次函数y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是()A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)2.若xy =23,则下列各式不成立的是()A. x+yy =53B. y−xy=13C. x2y=13D. x+1y+1=343.反比例函数y=m−1x的图象,在每个象限内,y的值随x的增大而增大,则m的取值范围是()A. m>0B. m<0C. m>1D. m<14.二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()A. y=2x2−12xB. y=−2x2+6x+12C. y=2x2+12x+18D. y=−2x2−6x+185.下列四个三角形,与图中的三角形相似的是()A. B. C. D.6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A. 3:4B. 9:16C. 4:9D. 1:37.如图,C是以AB为直径的半圆上一点,D是AC⏜上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为()A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°8.如图,在△ABC中,点D在AC上,DE⊥BC,垂足为E,若2AD=DC,AB=4DE,则sin B=()A. 12B. √73C. 3√77D. 389.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB//y轴,AB=3,反比例函数y=−3x的图象经过点B,与AC交于点D,且CD=2AD,则点D的横坐标是()A. −1B. −2C. −3D. −410.如图,已知矩形ABCD,AB=3,BC=4,AE平分∠BAD交BC于点E,点F、G分别为AD、AE的中点,则FG=()A. 52B. √102C. 2D. 3√22二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)11.反比例函数y=kx的图象经过点(3,−1),则k的值为______.12.某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米,此时他与水平地面的垂直距离为4米,则这个坡面的坡度为______.13.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=15,BM=8,则DE的长为______.14.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A(−1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点),下列结论:①当−1<x<3时,y>0;②−1<a<−2;③当m≠1时,a+b>m(am+b);④4ac−b2>38a其中正确的结论是______.三、计算题(本大题共1小题,共8.0分))−1+(2019−π)0+3tan30°15.计算:|√3−2|+(−12四、解答题(本大题共8小题,共82.0分)16.如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;(2)把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90∘,在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2;(3)如果网格中小正方形的边长为1,求线段BB 2的长.17. 如图,以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ,DE ⊥AC 于E .求证:(1)DB =DC ;(2)DE 为⊙O 的切线.18. 观察下列有规律的数:12,16,112,120,130,142…根据规律可知:(1)第8个数是_______________;(2)1132是第_______________个数;(3)计算:12+16+112+120+⋯+1199×200.19.如图,在一笔直的海岸线上有A、B两上观测站,A在B的正东方向,BP=6√2(单位:km).有一艘小船停在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.(1)求A、B两观测站之间的距离;(2)小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察,求观测站B到射线AP的最短距离.20.已知,如图,反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4),点B(m,−1),(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△OAB的面积;(3)直接写出不等式x+b>k的解.x21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是BC边的中点,BD=2,tanB=34(1)求AD和AB的长;(2)求sin∠BAD的值.22. 某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在15天内完成.已知每件产品的售价为65元,工人甲第x 天生产的产品数量为y 件,y 与x 满足如下关系:y ={8x(0≤x ≤5)5x +10(5<x ≤15)(1)工人甲第几天生产的产品数量为80件?(2)设第x 天(0≤x ≤15)生产的产品成本为P 元/件,P 与x 的函数图象如图,工人甲第x 天创造的利润为W 元.①求P 与x 的函数关系式;②求W 与x 的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?23. 如图1,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =16,点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B ,C 重合).以D 为顶点作∠ADE =∠B ,射线DE 交AC 边于点E ,过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ,连接CF .(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当DE//AB时(如图2),求AE的长;(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD 的长;若不存在,请说明理由.-------- 答案与解析 --------1.答案:B解析:解:y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是(2,5).故选:B.根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可.本题考查了二次函数的性质,熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.2.答案:D解析:解:∵x y=23,∴设x=2k,y=3k,A、x+yy =2k+3k3k=53,正确;B、y−xy =3k−2k3k=13,正确;C、x2y =2k2⋅3k=13,正确;D、x+1y+1=2k+13k+1≠34.故选:D.根据比例设x=2k,y=3k,然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解.本题考查了比例的性质,利用“设k法”表示出x、y求解更加简便.3.答案:D解析:本题主要考查的是反比例函数的性质的有关知识,由题意根据反比例函数的图象在每个象限内,y 的值随x的增大而增大,可以得到反比例函数的图象在第二,四象限,进而得到m−1<0,求解即可.解:∵反比例函数的图象在每个象限内,y的值随x的增大而增大,∴m−1<0,∴m<1.故选D.4.答案:C解析:解:二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是:y=2(x−3+6)2+2−2,即y=2x2+12x+18.故选:C.根据平移规律,可得答案.本题考查了二次函数图象与几何变换,利用平移规律:左加右减,上加下减是解题关键.5.答案:B解析:此题考查比例线段和相似三角形的判定的知识点,解题关键点是熟练掌握两个三角形相似判定方法.根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到答案.解:设单位正方形的边长为1,给出的三角形三边长分别为√2,2√2,√10.A.三角形三边2,√10,3√2,与给出的三角形的各边不成比例,故A选项错误;B.三角形三边2,4,2√5,与给出的三角形的各边成正比例,故B选项正确;C.三角形三边2,3,√13,与给出的三角形的各边不成比例,故C选项错误;D.三角形三边√5,4,√13,与给出的三角形的各边不成比例,故D选项错误.故选B.6.答案:B解析:解:设DE=3k,EC=k,则CD=4k,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4k,DE//AB,∴△DEF∽△BAF,∴S△DEFS△ABF =(DEAB)2=(3k4k)2=916,故选B.设DE=3k,EC=k,则CD=4k,由四边形ABCD是平行四边形,推出AB=CD=4k,DE//AB,推出△DEF∽△BAF,推出S△DEFS△ABF =(DEAB)2由此即可解决问题.本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质,学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.7.答案:B解析:此题考查圆周角定理,关键是根据互补得出∠AOC的度数.根据互补得出∠AOC的度数,再利用圆周角定理解答即可.解:∵∠BOC=40°,∴∠AOC=180°−40°=140°,∴∠D=12×(360°−140°)=110°,故选B.8.答案:D解析:本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义,解题的关键是作三角形ABC的高线,构建直角三角形.解:如图,过点A作AF⊥BC于点F,则有DE//AF.∴△CED∽△CFA,∴CDCA =DEAF.∴AF=32DE.则sinB=AFAB =32DE4DE=38.故选D.9.答案:C解析:解:过D作AB的平行线,交BC于E,交x轴于F,则ABEF 是矩形,EF=AB=3.∵DE//AB,CD=2AD,∴DEAB =CDAC=23,∴DE=23AB=2,∴DF=EF−DE=3−2=1,∴D点纵坐标为1,∵反比例函数y=−3x的图象经过点D,∴y=1时,x=−3,∴点D的横坐标是−3.故选:C.过D作AB的平行线,交BC于E,交x轴于F,得出ABEF是矩形,根据矩形的性质得出EF=AB=3.由DE//AB,根据平行线分线段成比例定理求出DE=23AB=2,则DF=1,即D点纵坐标为1,再根据反比例函数y=−3x的图象经过点D,即可求出点D的横坐标.本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,求出D点纵坐标是解题的关键.10.答案:B解析:由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=BE=3,可得EC=1,由勾股定理可求DE=√10,由三角形中位线定理可求GF的长.本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角形中位线的定理,求EC的长是解本题的关键.【详解】解:连接DE,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3,AD=BC=4,AD//BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE=3,∴EC=BC−BE=1,∴DE=√EC2+CD2=√10,∵点F、G分别为AD、AE的中点,∴FG=12DE=√102.故选B.11.答案:−3解析:解:∵反比函数y=kx的图象经过点(3,−1),∴k=xy=3×(−1)=−3.故答案是:−3.把点(3,−1)代入y=kx来求k的值.本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.12.答案:4:3解析:解:∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米.此时他与水平地面的垂直距离为4米,∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为:√52−42=3,则坡度为4:3,故答案为:4:3.根据坡面距离和垂直距离,利用勾股定理求出水平距离,然后求出坡度.此题主要考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出.13.答案:1698解析:本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.方法一:先根据题意得出△ABM∽△MCG,故可得出CG的长,再求出DG的长,根据△MCG∽△EDG 即可得出结论.方法二:Rt△ABM中利用勾股定理求得AM,证明△ABM∽△EMA,则BMAM =AMAE,代入即可求得DE的长.解:方法一:∵四边形ABCD是正方形,AB=15,BM=8,∴MC=15−8=7.∵ME⊥AM,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠CMG=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMG,∠B=∠C=90°,∴△ABM∽△MCG,∴ABMC =BMCG,∴157=8CG,解得:CG=5615,∴DG=15−5615=16915,∵AE//BC,∴∠E=∠CMG,∠EDG=∠C,∴△MCG∽△EDG,∴MCDE =CGDG,∴7DE=561516915,∴DE=1698,故答案为:1698.方法二:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,AD//BC,∵AM⊥ME,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠CMG=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMG,∵AD//BC,∴∠CMG=∠E,∴∠BAM=∠E,又∠B=∠AME=90°,∴△ABM∽△EMA,∴BMAM =AMAE,∵Rt△ABM中,AB=15,BM=8,∴AM=√152+82=17,∴817=1715+DE,解得DE=1698,故答案为:1698.14.答案:①②③解析:本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键.①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0),即可求解;②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3),则y=ax2−2ax−3a,令x=0得:y=−3a,即可求解;③由二次函数的最大值是y=a+b+c,从而可知a+b+c>am2+bm+c(m≠1).④由4ac−b24a>2,a<0,从而求得4ac−b2<8a.解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0),当−1<x<3时,y>0,故①正确;②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3),则y=ax2−2ax−3a,令x=0得:y=−3a.∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点),∴2<−3a<3.解得:−1<a<−23,故②正确;③∵当x=1时,函数有最大值,即a+b+c>am2+bm+c(m≠1),∴a+b>m(am+b),故③正确;④∵4ac−b24a>2,a<0,∴4ac−b2<8a,故④错误,故答案为①②③.15.答案:解:|√3−2|+(−12)−1+(2019−π)0+3tan30°=(2−√3)+(−2)+1+3×√3 3=2−√3−2+1+√3=1故原式的值为1.解析:本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算.本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值化简、特殊角三角函数4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.16.答案:解:(1)如下图所示:△A1B1C1即为所求;(2)如下图所示:△A1B2C2即为所求;(3)如图所示:线段BB2的长为:√22+42=2√5.解析:此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换和勾股定理应用等知识,得出旋转变换后对应点位置是解题关键.(1)利用平移变换的性质得出平移规律进而得出对应点坐标位置即可;(2)利用旋转的性质得出逆时针旋转90°后对应点位置,进而得出答案;(3)直接利用勾股定理得出线段BB2的长即可.17.答案:证明:(1)连AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,AD⊥BC,又AB=AC,∴D为BC中点,即DB=DC;(2)连OD,∵D为BC中点,OA=OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD//AC,又∵DE⊥AC于E,∴∠ODE=∠DEC=90°,∴DE为⊙O的切线.解析:本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定和三角形的中位线等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.(1)连接AD,根据圆周角定理得出∠ADB=90°,根据等腰三角形的性质得出即可;(2)求出OD//AC,求出DE⊥OD,根据切线的判定得出即可.18.答案:解:(1)172(2)11(3)原式=1−12+12−13+⋯+1199−1200=1−1200=199200.解析:本题主要考查数字的变化规律,根据题意掌握数列的分子均为1,分母是序数与序数加1的乘积是解题的关键.(1)以上分子均为1,分母是序数与序数加1的乘积,据此可得.(2)根据(1)可知第n个数为1n(n+1),列方程求解可得;(3)由1n(n+1)=1n−1n+1裂项相消求解可得.解:(1)∵第1个数12=11×2,第2个数16=12×3,第3个数112=13×4,…∴第8个数为18×9=172,故答案为172;(2)由(1)知第n个数为1n(n+1),由题意知n(n+1)=132,解得n=11或n=−12(舍),即1132是第11个数,故答案为11;(3)见答案.19.答案:解:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠PBD=90°−45°=45°,∵BP=6√2,∴BD=PD=6km.在Rt△PAD中,∠ADP=90°,∠PAD=90°−60°=30°,∴AD=PDtan30°=√3PD=6√3km,∴AB=BD+AD=(6+6√3)km;(2)如图,过点B作BF⊥AC于点F,则∠BAP=30°,∵AB=(6+6√3),∴BF=12AB=(3+3√3)km.∴观测站B到射线AP的最短距离为(3+3√3)km.解析:(1)过点P作PD⊥AB于点D,先解Rt△PBD,得到BD和PD的长,再解Rt△PAD,得到AD 的长,然后根据BD+AD=AB,即可求解;(2)过点B作BF⊥AC于点F,解直角三角形即可得到结论.本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题,难度适中.通过作辅助线,构造直角三角形是解题的关键.20.答案:解:(1)把A点坐标(1,4)分别代入y=kx,y=x+b,得k=1×4,1+b=4,解得k=4,b=3,∴反比例函数、一次函数的解析式分别为y=4x,y=x+3.(2)如图,当y=−1时,x=−4,∴B(−4,−1),又∵当y=0时,x+3=0,x=−3,∴C(−3,0).∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×4+12×3×1=152.(3)不等式x+b>kx的解是x>1或−4<x<0.解析:(1)根据反比例函数y=kx的图象过点A(1,4)利用待定系数法求出即可;把B(m,−1)代入所求的反比例函数的解析式得出B点坐标,进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可;(2)将三角形AOB分割为S△AOB=S△BOC+S△AOC,求出即可.(3)根据函数的图象和交点坐标即可求得.此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识,根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△BOC+S△AOC是解题关键.21.答案:解:(1)∵D是BC的中点,BD=2,∴BD=DC=2,BC=4,在Rt△ACB中,由tanB=ACCB =34,∴AC4=34,∴AC=3,由勾股定理得:AD=√AC2+CD2=√32+22=√13,AB=√AC2+BC2=√32+42=5;(2)过点D作DE⊥AB于E,∴∠C =∠DEB =90°,又∠B =∠B ,∴△DEB∽△ACB ,∴DE AC =DB AB, ∴DE =65,∴sin∠BAD =DE AD =65√13=6√1365.解析:(1)由中点定义求BC =4,根据tanB =34得:AC =3,由勾股定理得:AB =5,AD =√13;(2)作高线DE ,证明△DEB∽△ACB ,求DE 的长,再利用三角函数定义求结果.本题考查了解直角三角形,熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键. 22.答案:解:(1)根据题意,得:∵若8x =80,得:x =10>5,不符合题意;若5x +10=80,解得:x =14.答:工人甲第14天生产的产品数量为80件;(2)①由图象知:当0≤x ≤5时,P =40;当5<x ≤15时,设P =kx +b ,将(5,40),(15,50)代入得:{5k +b =4015k +b =50, ∴{k =1b =35, ∴P =x +35,综上,P 与x 的函数关系式为:P ={40(0≤x ≤5)x +35(5<x ≤15); ②当0≤x ≤5时,W =(65−40)×8x =200x ,当5<x ≤15时,W =(65−x −35)(5x +10)=−5x 2+140x +300,综上,W 与x 的函数关系式为:W ={200x (0≤x ≤5)−5x 2+140x +300(5<x ≤15);当0≤x≤5时,W=200x,∵200>0,∴W随x的增大而增大,∴当x=5时,W最大为1000元;当5<x≤15时,W=−5(x−14)2+1280,当x=14时,W最大值为1280元,综上,第14天时,利润最大,最大利润为1280元.解析:(1)根据y=80求得x即可;(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式,再结合x的范围分类讨论,根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式,由二次函数的性质求得最值即可.本题考查一次函数的应用、二次函数的应用,解题的关键是理解题意,记住利润=售价−成本,学会利用函数的性质解决最值问题.23.答案:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE,又∠B=∠ACB,∴△BAD∽△DCE.(2)解:∵DE//AB,∴△CDE∽△CBA,∵△CDE∽△ABD,∴△ABD∽△CBA,∴ABBC =BDAB,即1016=BD10,解得,BD=254,∵DE//AB,∴AEAC =BDBC,即AE10=25416,解得,AE=12532;(3)点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.理由如下:如图3,作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.则四边形AMHN为矩形,∴∠MAN=90°,MH=AN,∵AB=AC,AM⊥BC,∴BM=CM=12BC=8,在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM=√AB2−BM2=√102−82=6,∴tanB=AMBM =34,∵∠ADE=∠B,∴tan∠ADE=AFAD =34,∵AN⊥FH,AM⊥BC,∴∠ANF=90°=∠AMD,∵∠DAF=90°=∠MAN,∴∠NAF=∠MAD,∴△AFN∽△ADM,∴ANAM ═AFAD=34,即AN6=34,解得,AN=92,∴MH=AN=92,∴CH=CM−MH=72,∵FD=FC,FH⊥CD,∴CD=2CH=7,∴BD=BC−CD=9.解析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB,根据三角形的外角性质得到∠BAD=∠CDE,根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可;(2)证明△ABD∽△CBA,根据相似三角形的性质求出BD,根据平行线分线段成比例定理列式求出AE;(3)作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.根据勾股定理求出AM,证明△AFN∽△ADM,根据相似三角形的性质求出MH,根据等腰三角形的性质计算,得到答案.本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题.。
九年级上册合肥数学期末试卷测试卷(含答案解析)
九年级上册合肥数学期末试卷测试卷(含答案解析)一、选择题1.一组数据0、-1、3、2、1的极差是( ) A .4B .3C .2D .12.在九年级体育中考中,某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位:次/分):46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为( ) A .42B .45C .46D .48 3.下列方程有两个相等的实数根是( )A .x 2﹣x +3=0B .x 2﹣3x +2=0C .x 2﹣2x +1=0D .x 2﹣4=04.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8,点M 是AB 上的一点,点N 是CB 上的一点,43=BM CN ,当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时,则BM 的值为( )A .3或4B .83或4C .83或6D .4或65.如图,△ABC 内接于⊙O ,连接OA 、OB ,若∠ABO =35°,则∠C 的度数为( )A .70°B .65°C .55°D .45° 6.抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A .()1,1 B .()1,1-C .()1,1--D .()1,1-7.已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ,若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A .在⊙O 的内部B .在⊙O 的外部C .在⊙O 上D .在⊙O 上或⊙O 内部8.下列函数中属于二次函数的是( ) A .y =12x B .y =2x 2-1C .y 23x +D .y =x 2+1x+19.在六张卡片上分别写有13,π,1.5,5,0,2六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是( )A .16B .13C .12D .5610.如图,AB ,AM ,BN 分别是⊙O 的切线,切点分别为 P ,M ,N .若 MN ∥AB ,∠A =60°,AB =6,则⊙O 的半径是( )A .32 B .3 C .323 D .311.2的相反数是( ) A .12-B .12C .2D .2-12.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2<0;②4a+c <2b ;③3b+2c <0;④m (am+b )+b <a (m≠﹣1),其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个二、填空题13.如图,A 、B 、C 是⊙O 上三点,∠ACB =30°,则∠AOB 的度数是_____.14.二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________.15.已知小明身高1.8m ,在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时,测得影长为0.78m ,则小明举起的手臂超出头顶______m .16.如图,一个可以自由转动的转盘,任意转动转盘一次,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为____.17.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,当y <3时,x 的取值范围是____.18.某企业2017年全年收入720万元,2019年全年收入845万元,若设该企业全年收入的年平均增长率为x ,则可列方程____.19.一个扇形的圆心角是120°.它的半径是3cm .则扇形的弧长为__________cm . 20.如图,O 的弦8AB =,半径ON 交AB 于点M ,M 是AB 的中点,且3OM =,则MN 的长为__________.21.二次函数y =2x 2﹣4x +4的图象如图所示,其对称轴与它的图象交于点P ,点N 是其图象上异于点P 的一点,若PM ⊥y 轴,MN ⊥x 轴,则2MNPM =_____.22.如图,已知PA ,PB 是⊙O 的两条切线,A ,B 为切点.C 是⊙O 上一个动点.且不与A ,B 重合.若∠PAC =α,∠ABC =β,则α与β的关系是_______.23.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A⇒B⇒A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连接EF,当t为_____s时,△BEF是直角三角形.24.如图,C、D是线段AB的两个黄金分割点,且CD=1,则线段AB的长为_____.三、解答题25.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点F是AD上一点,连接AF交CD的延长线于点E.(1)求证:△AFC∽△ACE;(2)若AC=5,DC=6,当点F为AD的中点时,求AF的值.26.现代城市绿化带在不断扩大,绿化用水的节约是一个非常重要的问题.如图1、图2所示,某喷灌设备由一根高度为0.64m的水管和一个旋转喷头组成,水管竖直安装在绿化带地面上,旋转喷头安装在水管顶部(水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计),旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱,从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域.现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3m处达到最高,高度为1m.(1)求喷灌出的圆形区域的半径;(2)在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备,喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗?如果可以,请说明理由;如果不可以,假设水管可以上下调整高度,求水管高度为多少时,喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带.(以上需要画出示意图,并有必要的计算、推理过程)27.我们不妨约定:如图①,若点D在△ABC的边AB上,且满足∠ACD=∠B(或∠BCD=∠A),则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”.(1)如图①,若点D是△ABC的边AB的中点,AC=22,AB=4.试判断点D是不是△ABC 边AB上的“理想点”,并说明理由.(2)如图②,在⊙O中,AB为直径,且AB=5,AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”,求CD的长.(3)如图③,已知平面直角坐标系中,点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点,且满足∠ACB=45°,在y轴上是否存在一点D,使点A是B,C,D三点围成的三角形的“理想点”,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.28.如图,已知直线l切⊙O于点A,B为⊙O上一点,过点B作BC⊥l,垂足为点C,连接AB、OB.(1)求证:∠ABC=∠ABO;(2)若AB=10,AC=1,求⊙O的半径.29.已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C (2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是;(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是;(3)△A2B2C2的面积是平方单位.30.某超市销售一种书包,平均每天可销售100件,每件盈利30元.试营销阶段发现:该商品每件降价1元,超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价x元时,日盈利为w元.据此规律,解决下列问题:(1)降价后每件商品盈利元,超市日销售量增加件(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变的情况下,求每件商品降价多少元时,超市的日盈利最大?最大为多少元?31.将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.(1)搅匀后从中摸出1个盒子,求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率;(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).32.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点M、N分别是边AC、AB上的动点,连接MN,将△AMN沿MN所在直线翻折,翻折后点A的对应点为A′.(1)如图1,若点A′恰好落在边AB上,且AN=12AC,求AM的长;(2)如图2,若点A′恰好落在边BC上,且A′N∥AC.①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由;②求AM、MN的长;(3)如图3,设线段NM、BC的延长线交于点P,当35ANAB=且67AMAC=时,求CP的长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解.【详解】解:这组数据:0、-1、3、2、1的极差是:3-(-1)=4.故选A.【点睛】本题考查了极差的知识,极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.2.C解析:C【解析】【分析】根据中位数的定义,把8个数据从小到大的顺序依次排列后,求第4,第5位两数的平均数即为本组数据的中位数.【详解】解:把数据由小到大排列为:42,44,45,46,46,46,47,48∴中位数为4646462+=.故答案为:46.【点睛】找中位数的时候一定要先排好大小顺序,再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个,则正中间的数字即为中位数;如果是偶数个,则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.3.C解析:C【解析】【分析】先根据方程求出△的值,再根据根的判别式的意义判断即可. 【详解】 A 、x 2﹣x+3=0,△=(﹣1)2﹣4×1×3=﹣11<0,所以方程没有实数根,故本选项不符合题意; B 、x 2﹣3x+2=0,△=(﹣3)2﹣4×1×2=1>0,所以方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意; C 、x 2﹣2x+1=0, △=(﹣2)2﹣4×1×1=0,所以方程有两个相等的实数根,故本选项符合题意; D 、x 2﹣4=0,△=02﹣4×1×(﹣4)=16>0,所以方程有两个不相等的实数根,故本选项不符合题意; 故选:C . 【点睛】本题考查了根的判别式,能熟记根的判别式的意义是解此题的关键.4.D解析:D 【解析】 【分析】分两种情形:当CAN B ∠=∠时,CAN CBA ∆∆∽,设3CN k =,4BM k =,可得CN ACAC CB=,解出k 值即可;当CAN MCB ∠=∠时,过点M 作MH CB ⊥,可得CAN BAC ∆∆∽,得出125MH k =,165BH k =,则1685CH k =-,证明ACN CHM ∆∆∽,得出方程求解即可. 【详解】解:在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =6,BC =8, ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠,AB=10, CAN CAB ∴∠≠∠,设3CN k =,4BM k =,①当CAN B ∠=∠时,可得CAN CBA ∆∆∽, ∴CN ACAC CB =, ∴3668k =, 32k ∴=,6BM∴=.②当CAN MCB∠=∠时,如图2中,过点M作MH CB⊥,可得BMH BAC∆∆∽,∴BM MH BHBA AC BC==,∴41068k MH BH==,125MH k∴=,165BH k=,1685CH k∴=-,MCB CAN∠=∠,90CHM ACN∠=∠=︒,ACN CHM∴∆∆∽,∴CN MHAC CH=,∴123516685kkk=-,1k∴=,4BM∴=.综上所述,4BM=或6.故选:D.【点睛】本题考相似三角形的判定和性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.5.C解析:C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数,再进一步根据圆周角定理求解.【详解】解:∵OA=OB,∠ABO=35°,∴∠BAO=∠ABO=35°,∴∠O=180°-35°×2=110°,∴∠C=12∠O=55°.故选:C.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质,圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.6.A解析:A【解析】【分析】已知抛物线顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k).【详解】∵抛物线y=3(x﹣1)2+1是顶点式,∴顶点坐标是(1,1).故选A.【点睛】本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标,比较容易.7.D解析:D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0,求出d的范围,进而得出d与r 的数量关系,即可判断点P和⊙O的关系..【详解】解:∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根,∴根的判别式△=(-2) 2 -4×d≥0,解得d≤1,∵⊙O的半径为r=1,∴d≤r∴点P在圆内或在圆上.故选:D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系,由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径,即当d>r时,点在圆外,当d=r时,点在圆上,当d<r 时,点在圆内.8.B解析:B【解析】【分析】根据反比例函数的定义,二次函数的定义,一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解:A. y=12x是正比例函数,不符合题意;B. y=2x2-1是二次函数,符合题意;C. yD. y=x2+1x+1不是二次函数,不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的定义,解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义.9.B解析:B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数,无理数通常有以下三种形式:一是开方开不尽的数,二是圆周率π,三是构造的一些不循环的数,如1.010010001……(两个1之间0的个数一次多一个).然后用无理数的个数除以所有书的个数,即可求出从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π共2个,∴卡片上的数为无理数的概率是21 =63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.10.D解析:D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形,再由切线的性质可推出∠ABN=60°,从而判定△APO≌△BPO,可得AP=BP=3,在直角△APO中,利用三角函数可解出半径的值.【详解】解:连接OP,OM,OA,OB,ON∵AB,AM,BN 分别和⊙O 相切,∴∠AMO=90°,∠APO=90°,∵MN∥AB,∠A=60°,∴∠AMN=120°,∠OAB=30°,∴∠OMN=∠ONM=30°,∵∠BNO=90°,∴∠ABN=60°,∴∠ABO=30°,在△APO和△BPO中,OAP OBPAPO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△APO≌△BPO(AAS),∴AP=12AB=3,∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=3,∴OP=3,即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,关键是说明点P是AB中点,难度不大.11.D解析:D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可.【详解】2的相反数是-2,故选D.12.B解析:B【解析】【分析】【详解】解:∵抛物线和x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴4ac﹣b2<0,∴①正确;∵对称轴是直线x﹣1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,∴抛物线和x轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a﹣2b+c>0,∴4a+c>2b,∴②错误;∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c<0,∴2a+2b+2c<0,∵b=2a,∴3b,2c<0,∴③正确;∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,∴y=a﹣b+c的值最大,即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,∴am2+bm+b<a,即m(am+b)+b<a,∴④正确;即正确的有3个,故选B.考点:二次函数图象与系数的关系二、填空题13.60°【解析】【分析】直接利用圆周角定理,即可求得答案.【详解】∵A、B、C是⊙O上三点,∠ACB=30°,∴∠AOB的度数是:∠AOB =2∠ACB=60°.故答案为:60°.【点解析:60°【解析】【分析】直接利用圆周角定理,即可求得答案.【详解】∵A、B、C是⊙O上三点,∠ACB=30°,∴∠AOB的度数是:∠AOB=2∠ACB=60°.故答案为:60°.【点睛】考查了圆周角定理的运用,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.14.【解析】【分析】二次函数(a≠0)的顶点坐标是(h ,k ).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程知,该函数的顶点坐标是:(1,2). 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性解析:()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+(a≠0)的顶点坐标是(h ,k ).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知,该函数的顶点坐标是:(1,2). 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式,解答该题时,需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ,k 所表示的意义. 15.54【解析】【分析】在同一时刻,物体的高度和影长成比例,根据此规律列方程求解.【详解】解:设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得,,解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m解析:54【解析】【分析】在同一时刻,物体的高度和影长成比例,根据此规律列方程求解.【详解】解:设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得,1.8 1.80.60.78x ,解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m.故答案为:0.54.【点睛】本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律,根据规律列比例式求解是解答此题的关键.,16.【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是=,故答案为.【解析:2 3【解析】【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率.【详解】解:因为蓝色区域的圆心角的度数为120°,所以指针落在红色区域内的概率是360120360=23,故答案为2 3 .【点睛】本题考查了几何概率:求概率时,已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是利用长度比,面积比,体积比等.17.-1<x<3【解析】【分析】根据图象,写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可.【详解】解:如图,根据二次函数的对称性可知,-1<x<3时,y<3,故答案为:-1<x<3.【点睛解析:-1<x<3【解析】【分析】根据图象,写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可.【详解】解:如图,根据二次函数的对称性可知,-1<x<3时,y<3,故答案为:-1<x<3.【点睛】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性,此类题目,利用数形结合的思想求解更简便.18.720(1+x)2=845.【解析】【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果该企业全年收入的年平均增长率为x,根据2017年全年收入720万元,2019 解析:720(1+x)2=845.【解析】【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果该企业全年收入的年平均增长率为x,根据2017年全年收入720万元,2019年全年收入845万元,即可得出方程.【详解】解:设该企业全年收入的年平均增长率为x,则2018的全年收入为:720×(1+x)2019的全年收入为:720×(1+x)2.那么可得方程:720(1+x)2=845.故答案为:720(1+x)2=845.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,解此类题的关键是掌握等量关系式:增长后的量=增长前的量×(1+增长率).19.2π【解析】分析:根据弧长公式可得结论.详解:根据题意,扇形的弧长为=2π,故答案为:2π点睛:本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键.解析:2π【解析】分析:根据弧长公式可得结论.详解:根据题意,扇形的弧长为1203180π⨯=2π,故答案为:2π点睛:本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键.20.2【解析】【分析】连接OA,先根据垂径定理求出AO的长,再设ON=OA,则MN=ON-OM即可得到答案.【详解】解:如图所示,连接OA,∵半径交于点,是的中点,∴AM=BM==4解析:2【解析】【分析】连接OA,先根据垂径定理求出AO的长,再设ON=OA,则MN=ON-OM即可得到答案.【详解】解:如图所示,连接OA,∵半径ON交AB于点M,M是AB的中点,∴AM=BM=12AB=4,∠AMO=90°,∴在Rt△AMO中22OMAM+∵ON=OA,∴MN=ON-OM=5-3=2.故答案为2.本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.21.【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标,然后设出点M 、点N 的坐标,然后计算即可解答本题.【详解】解:∵二次函数y =2x2﹣4x+4=2(x ﹣1)2+2,∴点P 的坐标为(1解析:【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标,然后设出点M 、点N 的坐标,然后计算2MN PM 即可解答本题. 【详解】解:∵二次函数y =2x 2﹣4x +4=2(x ﹣1)2+2,∴点P 的坐标为(1,2),设点M 的坐标为(a ,2),则点N 的坐标为(a ,2a 2﹣4a +4), ∴2MN PM =()222442(1)a a a -+--=()22222212422121a a a a a a a a -+-+=-+-+=2, 故答案为:2.【点睛】本题考查了二次函数与几何的问题,解题的关键是求出点P 左边,设出点M 、点N 的坐标,表达出2MN PM. 22.或【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论,根据切线的性质得到∠OAC 的度数,再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数,再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解:当点解析:αβ=或180αβ+︒=【解析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论,根据切线的性质得到∠OAC 的度数,再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数,再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解:当点C 在优弧AB 上时,如图,连接OA 、OB 、OC ,∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90°,∴∠OAC=α-90°=∠OCA ,∵∠AOC=2∠ABC=2β,∴2(α-90°)+2β=180°,∴180αβ+︒=;当点C 在劣弧AB 上时,如图,∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90°,∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ,∵∠AOC=2∠ABC=2β,∴2(90°-α)+2β=180°,∴αβ=.综上:α与β的关系是180αβ+︒=或αβ=. 故答案为:αβ=或180αβ+︒=. 【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,利用圆周角定理是解题的关键,同时注意分类讨论.23.1或1.75或2.25s【解析】试题分析:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∵∠ABC=60°,∴∠A=30°.又BC=3cm,∴AB=6cm.则当0≤t<3时,即点E从A到B再到解析:1或1.75或2.25s【解析】试题分析:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.∵∠ABC=60°,∴∠A=30°.又BC=3cm,∴AB=6cm.则当0≤t<3时,即点E从A到B再到O(此时和O不重合).若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=34,此时点E走过的路程是214或274,则运动时间是74s或94s.故答案是t=1或74或94.考点:圆周角定理.24.2+【解析】【分析】设线段AB=x,根据黄金分割点的定义可知AD=AB,BC=AB,再根据CD=AB ﹣AD﹣BC可列关于x的方程,解方程即可【详解】∵线段AB=x,点C、D是AB黄金分割点解析:5【解析】【分析】设线段AB=x,根据黄金分割点的定义可知AD=352AB,BC=352AB,再根据CD=AB﹣AD﹣BC可列关于x的方程,解方程即可∵线段AB =x ,点C 、D 是AB 黄金分割点,∴较小线段AD =BC =32x -,则CD =AB ﹣AD ﹣BC =x ﹣x =1,解得:x =故答案为:【点睛】 本题考查黄金分割的知识,解题的关键是掌握黄金分割中,较短的线段=原线段的352倍.三、解答题25.(1)见解析;(2【解析】【分析】(1)根据条件得出AD =AC ,推出∠AFC =∠ACD ,结合公共角得出三角形相似; (2)根据已知条件证明△ACF ≌△DEF ,得出AC =DE ,利用勾股定理计算出AE 的长度,再根据(1)中△AFC ∽△ACE ,得出AF AC =AC AE,从而计算出AF 的长度. 【详解】(1)∵CD ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径∴AD =AC∴∠AFC =∠ACD .∵在△ACF 和△AEC 中,∠AFC =∠ACD ,∠CAF =∠EAC∴△AFC ∽△ACE(2)∵四边形ACDF 内接于⊙O∴∠AFD +∠ACD =180°∵∠AFD +∠DFE =180°∴∠DFE =∠ACD∵∠AFC =∠ACD∴∠AFC =∠DFE .∵△AFC ∽△ACE∴∠ACF =∠DEF .∵F 为AC 的中点∵在△ACF 和△DEF 中,∠ACF =∠DEF ,∠AFC =∠DFE ,AF =DF∴△ACF ≌△DEF .∴AC =DE =5.∵CD ⊥AB ,AB 是⊙O 的直径∴CH =DH =3.∴EH =8在Rt △AHC 中,AH 2=AC 2-CH 2=16,在Rt △AHE 中,AE 2=AH 2+EH 2=80,∴AE =∵△AFC ∽△ACE ∴AFAC =AC AE ,即5AF ,∴AF 【点睛】本题属于圆与相似三角形的综合,涉及了圆内接四边形的性质,勾股定理,等弧所对的圆周角相等,相似三角形的判定定理等,解题的关键是灵活运用所学知识,正确寻找全等三角形.26.(1)8m ;(2)不可以,水管高度调整到0.7m ,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据题意设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+,然后将(0,0.64)代入解析式求得a 的值,然后求解析式y=0时,x 的值,从而求得半径;(2)利用圆与圆的位置关系结合正方形,作出三个等圆覆盖正方形的图形,然后利用勾股定理求得圆的半径,从而使问题得解.【详解】解:(1)由题意,设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+,将(0,0.64)代入解析式,得910.64a += 解得:125a =- ∴最远的抛物线形水柱的解析式为21(3)125y x =--+ 当y=0时,21(3)1025x --+= 解得:128;2x x ==-所以喷灌出的圆形区域的半径为8m ;(2)如图,三个等圆覆盖正方形设圆的半径MN=NB=ME=DE=r ,则2r 2r∴在Rt△AMN 中,22216)(162)r r r -+-=(2(162)2560r r -++= 解得:8828221r =+-(其中882+822116+->,舍去) ∴88282218.5r =+-≈设最远的抛物线形水柱的解析式为2(3)1y a x =-+,将(8.5,0)代入25.51=0a + 解得: 4=121a - ∴24(3)1121y x =--+ 当x=0时,y=850.7121≈ ∴水管高度约为0.7m 时,喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式,根据题意设抛物线为顶点式是本题的解题关键.27.(1)是,理由见解析;(2)125;(3)D (0,42)或D (0,6) 【解析】【分析】(1)依据边长AC=22AB=4,D 是边AB 的中点,得到AC 2=AD AB ,可得到两个三角形相似,从而得到∠ACD=∠B ;(2)由点D 是△ABC 的“理想点”,得到∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A ,分两种情况证明均得到CD ⊥AB ,再根据面积法求出CD 的长;(3)使点A 是B ,C ,D 三点围成的三角形的“理想点”,应分两种情况讨论,利用三角形相似分别求出点D 的坐标即可.【详解】(1)D 是△ABC 边AB 上的“理想点”,理由:∵AB=4,点D 是△ABC 的边AB 的中点,∴AD=2,∵AC 2=8,8AD AB •=,∴AC 2=AD AB ,又∵∠A=∠A ,∴△ADC ∽△ACB ,∴∠ACD=∠B ,∴D 是△ABC 边AB 上的“理想点”.(2)如图②,∵点D 是△ABC 的“理想点”,∴∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A,当∠ACD=∠B 时,∵∠ACD+∠BCD=90︒,∴∠BCD+∠B=90︒,∴∠CDB=90︒,当∠BCD=∠A 时,同理可得CD ⊥AB ,在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90︒,AB=5,AC=4,∴222254AB AC -=-=3, ∵1122AB CD AC BC ⋅=⋅, ∴1153422CD , ∴125CD =. (3)如图③,存在.过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M,∵∠MAC=∠AOC=90︒,∠ACM=45︒,∴∠AMC=∠ACM=45︒,∴AM=AC,∵∠MAH+∠CAO=90︒,∠CAO+∠ACO=90︒,∴∠MAH=∠ACO,∴△AHM≌△COA∴MH=OA,OC=AH,设C(a,0),∵A(0,2),B(0,-3),∴OA=MH=2,OB=3,AB=5,OC=AH=a,BH=a-5,∵MH∥OC,∴MH BH OC OB,∴253aa,解得a=6或a=-1(舍去),经检验a=6是原分式方程的解,∴C(6,0),OC=6.①当∠D1CA=∠ABC时,点A是△BCD1的“理想点”,设D1(0,m),∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,∴△D1AC∽△D1CB,∴2111CD D A D B,∴226(2)(3)m m m,解得m=42,∴D1(0,42);②当∠BCA=∠CD2B时,点A是△BCD2“理想点”,可知:∠CD2O=45 ,∴OD2=OC=6,∴D2(0,6).综上,满足条件的点D的坐标为D(0,42)或D(0,6).【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质,通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”,通过点是三角形的“理想点”,从而证明出三角形相似,由此得到点的坐标,相互反推的思想的利用,注意后者需分情况进行讨论.28.(1)详见解析;(2)⊙O的半径是132.【解析】【分析】(1)连接OA,求出OA∥BC,根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBA=∠OAB,∠OBA=∠ABC,即可得出答案;(2)根据矩形的性质求出OD=AC=1,根据勾股定理求出BC,根据垂径定理求出BD,再根据勾股定理求出OB即可.【详解】(1)证明:连接OA,∵OB=OA,∴∠OBA=∠OAB,∵AC切⊙O于A,∴OA⊥AC,∵BC⊥AC,∴OA∥BC,∴∠OBA=∠ABC,∴∠ABC=∠ABO;(2)解:过O作OD⊥BC于D,∵OD ⊥BC ,BC ⊥AC ,OA ⊥AC ,∴∠ODC =∠DCA =∠OAC =90°,∴OD =AC =1,在Rt △ACB 中,AB =10,AC =1,由勾股定理得:BC =()22101-=3, ∵OD ⊥BC ,OD 过O ,∴BD =DC =12BC =132⨯=1.5, 在Rt △ODB 中,由勾股定理得:OB =()22131 1.5+=, 即⊙O 的半径是13. 【点睛】 此题主要考查切线的性质及判定,解题的关键熟知等腰三角形的性质、垂径定理及切线的性质.29.(1)(2,﹣2);(2)(1,0);(3)10.【解析】试题分析:(1)根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标;(2)根据位似图形的性质得出对应点位置,从而得到点的坐标;(3)利用等腰直角三角形的性质得出△A 2B 2C 2的面积.试题解析:(1)如图所示:C 1(2,﹣2);故答案为(2,﹣2);(2)如图所示:C 2(1,0);故答案为(1,0);(3)∵=20,=20,=40,∴△A 2B 2C 2是等腰直角三角形,∴△A 2B 2C 2的面积是:××=10平方单位.故答案为10.考点:1、平移变换;2、位似变换;3、勾股定理的逆定理30.(1)(30-x);10x;(2)每件商品降价10元时,商场日盈利最大,最大值是4000元.【解析】【分析】(1)降价后的盈利等于原来每件的盈利减去降低的钱数;件降价1元,超市平均每天可多售出10件,则降价x元,超市平均每天可多售出10x件;(2)等量关系为:每件商品的盈利×可卖出商品的件数=利润w,化为一般式后,再配方可得出结论.【详解】解:(1)降价后每件商品盈利(30-x)元;,超市日销售量增加10x件;(2)设每件商品降价x元时,利润为w元根据题意得:w=(30-x)(100+10x)= -10x2+200x+3000=-10(x-10)2+4000∵-10<0,∴w有最大值,当x=10时,商场日盈利最大,最大值是4000元;答:每件商品降价10元时,商场日盈利最大,最大值是4000元.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用,根据题意找出等量关系式列出利润w关于x的二次函数解析式是解题的关键.31.(1)13;(2)23.【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;(2)画树状图得出所有等可能结果,从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数,利用概率公式计算可得.【详解】解:(1)搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果,所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为13;(2)画树状图如下:由树状图知共有6种等可能结果,其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果,所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为42 63 =.【点睛】考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.32.(1)52;(2)①菱形,理由见解析;②AM=209,MN410;(3)1.【解析】【分析】(1)利用相似三角形的性质求解即可.(2)①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.②连接AA′交MN于O.设AM=MA′=x,由MA′∥AB,可得'MAAB=CMCA,由此构建方程求出x,解直角三角形求出OM即可解决问题.(3)如图3中,作NH⊥BC于H.想办法求出NH,CM,利用相似三角形,确定比例关系,构建方程解决问题即可.【详解】解:(1)如图1中,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB2222435AC BC+=+=,∵∠A=∠A,∠ANM=∠C=90°,∴△ANM∽△ACB,∴ANAC=AMAB,∵AN=12 AC∴12=5AM,∴AM=52.(2)①如图2中,∵NA ′∥AC ,∴∠AMN =∠MNA ′,由翻折可知:MA =MA ′,∠AMN =∠NMA ′, ∴∠MNA ′=∠A ′MN ,∴A ′N =A ′M ,∴AM =A ′N ,∵AM ∥A ′N ,∴四边形AMA ′N 是平行四边形,∵MA =MA ′,∴四边形AMA ′N 是菱形.②连接AA ′交MN 于O .设AM =MA ′=x , ∵MA ′∥AB ,∴'ABC MA C ∽∴'MA AB =CM CA , ∴5x =44x -, 解得x =209, ∴AM =209 ∴CM =169, ∴CA 22MA CM -22201699⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=43, ∴AA 22'AC CA +22443⎛⎫+ ⎪⎝⎭4103 ∵四边形AMA ′N 是菱形,∴AA ′⊥MN ,OM =ON ,OA =OA 210,∴OM=22AM AO-=222021093⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2109,∴MN=2OM=410.(3)如图3中,作NH⊥BC于H.∵NH∥AC,∴△ABC∽△NBH∴NHAC=BNAB=3BH∴NH4=25=3BH∴NH=85,BH=65,∴CH=BC﹣BH=3﹣65=95,∴AM=67AC=247,∴CM=AC﹣AM=4﹣247=47,∵CM∥NH,∴△CPM∽△HPN∴PCPH=CMNH,∴PC9PC5+=4785,∴PC=1.【点睛】本题考查了相似三角形的综合应用,涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点,综合性较强,难度较大,解题的关键是综合运用上述知识点.。
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安徽省合肥市瑶海区2019 届九年级上期末数学试卷含答案解析一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)每小题都给出 A、 B、 C 、D 四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项写在题后的表格中,不选、错选或多选的,一律得 0 分.1.若= ,则的值为()A . 1 B.C.D.2.在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为a、 b、 c,下列等式中不一定成立的是()A . b=atanB B. a=ccosB C.D. a=bcosA3.如图,⊙ O 是△ABC 的外接圆,连接OA 、 OB,∠ OBA=50 °,则∠ C 的度数为()A . 30°B . 40°C. 50°D. 80°4.如图,点P 在△ ABC 的边 AC 上,要判断△ ABP ∽△ ACB ,添加一个条件,不正确的是()A .∠ ABP= ∠ C B.∠ APB= ∠ ABC C.=D.=5.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为 5 米,那么这两树在坡面上的距离AB 为()A . 5cosαB.C. 5sinαD.26.某同学在用描点法画二次函数y=ax +bx+c 的象,列出了下面的表格:x ⋯ 2 1 0 1 2 ⋯y ⋯11 2 1 2 5 ⋯由于粗心,他算了其中一个y ,个的数是()A . 11 B. 2 C. 1 D. 57.如,已知⊙ O 的半径5,点 O 到弦 AB 的距离 3 ,⊙ O 上到弦 AB 所在直的距离 2 的点有()A . 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8.若等腰直角三角形的外接半径的2,其内切半径的()A .B. 2 2C. 2 D.29 ABCD 中, E CD 上一点,接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点 F EF.如,在 ? ,若:AF=2 5,S : S 四边形EFBC():△ DEFA . 2:5B. 4: 25C. 4: 31D. 4: 3510.如,等腰Rt△ABC (∠ ACB=90 °)的直角与正方形DEFG 的均2,且 AC与 DE 在同一直上,开始点 C 与点 D 重合,△ ABC 沿条直向右平移,直到点 A 与点 E 重合止.CD 的 x,△ ABC 与正方形DEFG 重合部分(中阴影部分)的面 y, y 与 x 之的函数关系的象大致是()A .B.C.D.二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)11.抛物线 y=x 2﹣ 4x+m 与 x 轴的一个交点的坐标为( 1, 0),则此抛物线与 x 轴的另一 个交点的坐标是 .12.如图,点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点,过点 A 作 AB ⊥x 轴, AC ⊥ y 轴,垂足点分别为 B 、C ,矩形 ABOC 的面积为 4,则 k=.13.已知 △ABC 的边 BC=4cm ,⊙ O 是其外接圆,且半径也为 4cm ,则∠ A 的度数是 .14.如图, AB 是⊙ O 的直径, P 为 AB 延长线上的一个动点,过点 P 作⊙ O 的切线,切点为 C ,连接 AC , BC ,作∠ APC 的平分线交 AC 于点 D . 下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号) ① △CPD ∽△ DPA ; ② 若∠ A=30 °PC= BC ;,则③ 若∠ CPA=30 °,则 PB=OB ;④ 无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化,∠CDP 为定值.三.(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15.计算: 4sin60°+tan45°﹣ .16.已知二次函数y=ax 2+4x+2 的图象经过点 A (3,﹣ 4). ( 1)求 a 的值;( 2)求此函数图象抛物线的顶点坐标;( 3)直接写出函数 y 随自变量增大而减小的 x 的取值范围.四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)17.如图,在 6×4 的正方形方格中,△ ABC 的顶点 A 、B 、 C 在单位正方形的格点上.请按要求画图:(1)以点 B 为位似中心,在方格内将△ ABC 放大为原来的 2 倍,得到△ EBD ,且点 D、 E 都在单位正方形的顶点上.(2)在方格中作一个△ FGH ,使△ FGH∽△ ABC ,且相似比为,点 F、 G、H 都在单位正方形的顶点上.18.如图, MN 经过△ ABC 的顶点 A , MN ∥BC, AM=AN , MC 交 AB 于 D.(1)求证:△ ADE ∽△ ABC ;(2)连结 DE,如果 DE=1 , BC=3 ,求 MN 的长.五、(本大题共 2 小题,每小题10 分,满分20 分)19.如图,已知点I 是△ABC 的内心, AI 交 BC 于 D ,交外接圆O 于 E,求证:(1) IE=EC ;(2) IE 2=ED ?EA .20.为了弘扬“社会主义核心价值观”,市政府在广场树立公益广告牌,如图所示,为固定广告牌,在两侧加固钢缆,已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD 为 3 米,从 D 点测得广告牌顶端 A 点和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°.(1)求公益广告牌的高度 AB ;(2)求加固钢缆 AD 和 BD 的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)六、(本题满分12 分)21 xOy中,一次函数y =ax+b a b为常数,且a≠0.如图,在平面直角坐标系 1 (,)与反比例函数 y2= ( m 为常数,且m≠0)的图象交于点 A (﹣ 2, 1)、 B( 1, n).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连结 OA 、 OB,求△ AOB 的面积;(3)直接写出当 y1< y2< 0 时,自变量 x 的取值范围.七、(本题满分12 分)22.对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图①,△ABC ∽△ A ′B′C′,且沿周界 ABCA 与 A ′B′C′A′环绕的方向相同,因此△ ACB 和△ A ′B′C′互为顺相似;如图②,△ ABC ∽△ A ′B′C′,且沿周界 ABCA 与A ′B′C′A′环绕的方向相反,因此△ ACB和△A′B′C′互为逆相似.(1)根据图Ⅰ,图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形:① △ ADE与△ABC ;②△ GHO 与△ KFO ;③ △ NQP 与△ NMQ ;其中,互为顺相似的是;互为逆相似的是.(填写所有符合要求的序号).(2)如图 ③ ,在锐角 △ABC 中,∠ A <∠ B <∠ C ,点 P 在 △ABC 的边 AB 上(不与点 A , B 重合).过点 P 画直线截 △ ABC ,使截得的一个三角形与 △ ABC 互为逆相似.请根据点 P 的不同位置,探索过点 P 的截线的情形,请在备用图中画出图形并说明截线满足的 条件,不必说明理由.八、(本题满分 14 分)23.某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次.在1~ 12 月份中,公司前 x 个月累计获得的总利润 y (万元)与销售时间 x (月)之间满足二次函数关系式 y=a ( x ﹣h ) 2+k ,二次函数 y=a ( x ﹣h ) 2+k 的一部分图象如图所示,点 A 为抛物线的顶点,且点 A 、 B 、C 的横坐标分别为 4、 10、12,点 A 、 B 的纵坐标分别为﹣ 16、 20. 2(1)试确定函数关系式y=a (x ﹣ h ) +k ; (2)分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润; (3)在前 12 个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分)每小题都给出 A、 B、 C 、D 四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项写在题后的表格中,不选、错选或多选的,一律得 0 分.1.若= ,则的值为()A . 1 B.C.D.【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】根据合分比性质求解.【解答】解:∵= ,∴== .故选 D .【点评】考查了比例性质:常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.2.在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为a、 b、 c,下列等式中不一定成立的是()A . b=atanB B. a=ccosB C.D. a=bcosA【考点】锐角三角函数的定义.【专题】应用题.【分析】根据三角函数的定义就可以解决.【解答】解:∵∠ C=90°,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为a、 b、 c,∴A 、 tanB= ,则 b=atanB,故本选项正确,B、 cosB= ,故本选项正确,C、 sinA=,故本选项正确,D、 cosA=,故本选项错误,故选 D .【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系,难度适中.3.如图,⊙ O 是△ABC 的外接圆,连接OA 、 OB,∠ OBA=50 °,则∠ C 的度数为()A. 30°B . 40°C. 50°D. 80°【考点】圆周角定理.【专题】几何图形问题.【分析】根据三角形的内角和定理求得∠ AOB 的度数,再进一步根据圆周角定理求解.【解答】解:∵ OA=OB ,∠ OBA=50 °,∴∠ OAB= ∠ OBA=50 °,∴∠AOB=180 °﹣ 50°×2=80°,∴∠ C=∠AOB=40°.故选: B.【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.4.如图,点P 在△ ABC 的边 AC 上,要判断△ ABP ∽△ ACB ,添加一个条件,不正确的是()A .∠ ABP= ∠ C B.∠ APB= ∠ ABC C.=D.=【考点】相似三角形的判定.【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.【解答】解: A 、当∠ ABP= ∠ C 时,又∵∠ A= ∠ A ,∴△ ABP ∽△ ACB ,故此选项错误;B、当∠ APB= ∠ ABC 时,又∵∠ A= ∠ A ,∴△ ABP ∽△ ACB ,故此选项错误;C、当=时,又∵∠ A=∠A,∴△ ABP∽△ACB,故此选项错误;D、无法得到△ABP ∽△ ACB ,故此选项正确.故选: D.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.5.如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为 5 米,那么这两树在坡面上的距离AB 为()A . 5cosαB.C. 5sinαD.【考点】 解直角三角形的 用 -坡度坡角 .【 】 .【分析】 利用所 的角的余弦 求解即可. 【解答】 解:∵ BC=5 米,∠ CBA= ∠ α.∴AB==.故 : B .【点 】 此 主要考 学生 坡度、坡角的理解及运用.6.某同学在用描点法画二次函数 y=ax 2+bx+c 的 象 ,列出了下面的表格:x ⋯2 1 0 1 2 ⋯ y ⋯11 2 125⋯由于粗心,他算 了其中一个y , 个 的数 是()A . 11B . 2C . 1D . 5 【考点】 二次函数的 象.【分析】 根据关于 称 称的自 量 的函数 相等,可得答案. 【解答】 解:由函数 象关于 称 称,得 ( 1, 2),( 0, 1),( 1, 2)在函数 象上,把( 1, 2),( 0, 1),( 1 , 2)代入函数解析式,得,解得 ,2函数解析式y= 3x +1故 : D .【点 】 本 考 了二次函数 象,利用函数 象关于 称 称是解 关 . 7.如 ,已知⊙ O 的半径5,点 O 到弦 AB 的距离3, ⊙ O 上到弦 AB 所在直 的距离 2 的点有()A . 1 个B . 2 个C . 3 个D . 4 个【考点】 垂径定理;勾股定理. 【分析】 根据垂径定理 算.【解答】 解:如 OD=OA=OB=5 ,OE ⊥ AB , OE=3,∴DE=OD ﹣ OE=5 ﹣3=2cm ,∴点 D 是圆上到AB 距离为 2cm 的点,∵O E=3cm > 2cm,∴在 OD 上截取 OH=1cm ,过点 H 作 GF∥ AB ,交圆于点G, F 两点,则有 HE⊥ AB ,HE=OE ﹣ OH=2cm ,即GF 到 AB 的距离为 2cm,∴点 G,F 也是圆上到AB 距离为 2cm 的点.故选 C.【点评】本题利用了垂径定理求解,注意圆上的点到AB 距离为 2cm 的点不唯一,有三个.8.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为()A .B. 2 ﹣ 2 C. 2﹣D.﹣ 2【考点】三角形的内切圆与内心;等腰三角形的性质;三角形的外接圆与外心.【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半,由此可求得等腰直角三角形的斜边长,进而可求得两条直角边的长;然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.【解答】解:∵等腰直角三角形外接圆半径为2,∴此直角三角形的斜边长为4,两条直角边分别为 2 ,∴它的内切圆半径为:R= ( 2 +2 ﹣4) =2 ﹣ 2.故选 B .【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆,等腰直角三角形的性质,要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别:直角三角形的内切圆半径:r= ( a+b﹣ c);(a、 b 为直角边, c 为斜边)直角三角形的外接圆半径:R=c.9 ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点 F EF.如图,在 ? ,若:AF=2 : 5 ,则S : S 四边形EFBC为()△ DEFA . 2:5B. 4: 25C. 4: 31D. 4: 35【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△ BAF,可求得△ DEF和△ AFE、△ ABF的面积之间的关系,从而可求得△DEF 和△ BCD 的面积之间的关系,可求得答案.【解答】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD ∥ AB ,∴△ DEF ∽△ BAF ,∴= = ,∴=()2=,= =设S△DEF=S,则 S△ABF = S, S△ADF= S,∴S△ABD =S△ADF +S△ABF = S+ S=S,∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴S△ABD =S△DBC =S,∴S四边形 EFBC=S△BDC﹣S△DEF=S﹣ S=S,∴S△DEF:S四边形 EFBC=4:31.故选 C.【点评】本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质,根据条件找到△ DEF 和△ DBC 的关系是解题的关键.10.如图,等腰Rt△ABC (∠ ACB=90 °)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2,且 AC 与 DE 在同一直线上,开始时点 C 与点 D 重合,让△ ABC 沿这条直线向右平移,直到点 A 与点 E 重合为止.设CD 的长为 x,△ ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是()A .B.C.D.【考点】动点问题的函数图象.【专题】几何图形问题;压轴题.【分析】此题可分为两段求解,即 C 从 D 点运动到 E 点和 A 从 D 点运动到 E 点,列出面积随动点变化的函数关系式即可.【解答】解:设 CD 的长为 x,△ABC 与正方形 DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y∴当 C 从 D 点运动到 E 点时,即 0≤x ≤2 时, y== .当 A 从 D 点运动到 E 点时,即 2<x ≤4 时,y==∴y 与 x 之间的函数关系由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应.故选: A .【点评】 本题考查的动点变化过程中面积的变化关系,重点是列出函数关系式,但需注意自变量的取值范围.二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)11.抛物线 y=x 2﹣ 4x+m 与 x 轴的一个交点的坐标为( 1, 0),则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 (3, 0) .【考点】 抛物线与 x 轴的交点. 【专题】 方程思想.【分析】 把交点坐标代入抛物线解析式求m 的值,再令 y=0 解一元二次方程求另一交点的 横坐标. y=x 2﹣ 4x+m 中,得 m=3,【解答】 解:把点( 1, 0)代入抛物线所以,原方程为 y=x 2﹣ 4x+3 , 令 y=0 ,解方程 x 2﹣ 4x+3=0 ,得 x 1=1, x 2=3, ∴抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是( 3, 0). 故答案为:( 3, 0).【点评】 本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系,抛物线与 x 轴交点坐标的求法.本 题也可以用根与系数关系直接求解.12.如图,点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点,过点A 作 AB ⊥x 轴, AC ⊥ y 轴,垂足点分别为 B 、C ,矩形 ABOC 的面积为 4,则 k=﹣ 4 .【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义.【分析】 由于点 A 是反比例函数 y= 上一点,矩形 ABOC 的面积 S=|k|=4,则 k 的值即可求出.【解答】 解:由题意得: S 矩形 ABOC =|k|=4 ,又双曲线位于第二、四象限,则k=﹣ 4,故答案为:﹣ 4.【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x 轴、 y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.13.已知△ABC 的边 BC=4cm ,⊙ O 是其外接圆,且半径也为 4cm,则∠ A 的度数是 30°或150° .【考点】三角形的外接圆与外心;等边三角形的判定与性质;圆周角定理.【专题】压轴题.【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60 °,再利用圆周角定理得出答案.【解答】解:如图:连接BO ,CO,∵△ ABC 的边 BC=4cm ,⊙ O 是其外接圆,且半径也为4cm,∴△ OBC 是等边三角形,∴∠ BOC=60 °,∴∠ A=30 °.若点 A 在劣弧 BC 上时,∠ A=150 °.∴∠ A=30 °或 150°.故答案为: 30°或 150°.【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识,得出△ OBC 是等边三角形是解题关键.14.如图, AB 是⊙ O 的直径, P 为 AB 延长线上的一个动点,过点 P 作⊙ O 的切线,切点为C,连接 AC , BC ,作∠ APC 的平分线交 AC 于点 D.下列结论正确的是②③④(写出所有正确结论的序号)① △CPD∽△ DPA ;②若∠ A=30 °,则 PC=BC ;③若∠ CPA=30 °,则 PB=OB ;④无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化,∠CDP 为定值.【考点】切线的性质;三角形的角平分线、中线和高;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质.【专题】几何综合题.【分析】①只有一组对应边相等,所以错误;②根据切线的性质可得∠ PCB= ∠A=30 °,在直角三角形 ABC 中∠ ABC=60 °得出 OB=BC ,∠BPC=30 °,解直角三角形可得 PB= OC= BC;③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A= ∠PCB=30 °ABC=60 °,∠,进而求得PB=BC=OB ;④连接 OC,根据题意,可知OC⊥PC,∠ CPD+ ∠ DPA+ ∠A+ ∠ ACO=90 °,可推出∠D PA+ ∠ A=45 °,即∠ CDP=45 °.【解答】解:① ∵∠ CPD= ∠ DPA,∠ CDP= ∠ DAP+ ∠ DPA≠∠ DAP ≠∠ PDA ,∴△ CPD∽△ DPA 错误;②连接 OC,∵AB 是直径,∠ A=30 °∴∠ ABC=60 °,∴OB=OC=BC ,∵PC 是切线,∴∠ PCB=∠ A=30 °,∠ OCP=90 °,∴∠ APC=30 °,∴在 RT△ POC 中, cot ∠APC=cot30 °= =,∴P C= BC ,正确;③ ∵∠ ABC= ∠ APC+ ∠PCB,∠ PCB= ∠ A ,∴∠ ABC= ∠ APC+ ∠A ,∵∠ ABC+ ∠ A=90 °,∴∠ APC+2 ∠A=90 °,∵∠ APC=30 °,∴∠ A= ∠ PCB=30 °,∴P B=BC ,∠ ABC=60 °,∴O B=BC=OC ,∴P B=OB ;正确;④解:如图,连接OC,∵OC=OA ,PD 平分∠ APC ,∴∠ CPD= ∠ DPA ,∠ A= ∠ ACO ,∵PC 为⊙ O 的切线,∴OC⊥ PC,∵∠ CPO+∠ COP=90 °,∴(∠ CPD+ ∠ DPA) +(∠ A+ ∠ACO )=90 °,∴∠ DPA+∠ A=45 °,即∠ CDP=45 °;正确;故答案为:②③④;【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质,解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形.三.(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15.计算: 4sin60°+tan45°﹣ . 【考点】 特殊角的三角函数值.【分析】 直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】 解:原式 =4×+1﹣2=1.【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.216.已知二次函数 y=ax +4x+2 的图象经过点 A (3,﹣ 4). ( 1)求 a 的值; ( 2)求此函数图象抛物线的顶点坐标;( 3)直接写出函数 y 随自变量增大而减小的 x 的取值范围.【考点】 二次函数的性质.【分析】 (1)将点 A ( 3,﹣ 4)代入 y=ax 2+4x+2 ,即可求出 a 的值;( 2)利用配方法将一般式化为顶点式,即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标;( 3)根据二次函数的增减性即可求解.【解答】 解:( 1)∵二次函数 y=ax 2+4x+2 的图象经过点 A ( 3,﹣ 4), ∴ 9a+12+2= ﹣4,∴ a =﹣ 2;( 2)∵ y=﹣ 2x 2+4x+2= ﹣ 2( x ﹣1) 2+4,∴顶点坐标为( 1, 4);2(3)∵ y=﹣ 2x +4x+2 中, a=﹣ 2<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∴当 x > 1 时,函数 y 随自变量增大而减小.y=ax 2+bx+c (a ≠0)的顶点坐标是(﹣【点评】 本题考查了二次函数的性质.二次函数 , ),对称轴直线2x= ﹣ ,二次函数 y=ax +bx+c ( a ≠0)的图象具有如下性质:① 当 a > 0 时,抛物线 y=ax 2+bx+c ( a ≠0)的开口向上, x <﹣时, y 随 x 的增大而减小; x >﹣时, y 随 x 的增大而增大; x= ﹣时, y 取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.② 当 a < 0时,抛物线 y=ax 2+bx+c ( a ≠0)的开口向下, x <﹣ 时, y 随 x 的增大而增 大; x >﹣时, y 随 x 的增大而减小; x= ﹣时, y 取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)17.如图,在 6×4 的正方形方格中, △ ABC 的顶点 A 、B 、 C 在单位正方形的格点上.请按要求画图:(1)以点 B 为位似中心,在方格内将△ ABC 放大为原来的 2 倍,得到△ EBD ,且点都在单位正方形的顶点上.(2)在方格中作一个△ FGH ,使△ FGH∽△ ABC ,且相似比为,点 F、 G、H 单位正方形的顶点上.【考点】作图 -位似变换;作图—相似变换.【分析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用相似三角形的性质得出各边长度进而得出答案.【解答】解:( 1)如图所示:△ EBD 即为所求;(2)如图所示:△ FGH 即为所求.【点评】此题主要考查了位似变换和相似变换,根据题意得出对应边的长度是解题关键.D、 E 都在18.如图, MN 经过△ ABC 的顶点 A , MN ∥BC, AM=AN , MC 交 AB 于 D.(1)求证:△ ADE ∽△ ABC ;(2)连结 DE,如果 DE=1 , BC=3 ,求 MN 的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】(1)根据 MN ∥BC ,得到,,等量代换得到,根据相似三角形的判定即可得到结论;(2)根据,得到DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理得到,于是推出,即,即可得到结论.【解答】(1)证明:∵ MN ∥BC ,∴,,又∵ AM=AN ,∴,∴△ ADE ∽△ ABC ;(2)解:∵,∴DE ∥ BC ,∴,∴,即,∴AM= BC=,∴MN=2AM=3.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.五、(本大题共 2 小题,每小题10 分,满分20 分)19.如图,已知点I 是△ABC 的内心, AI 交 BC 于 D ,交外接圆O 于 E,求证:(1) IE=EC ;(2) IE 2=ED ?EA .【考点】三角形的内切圆与内心.【分析】(1)由内心的性质可知;∠ACI= ∠ BCI ,∠ BAE= ∠ CAE ,由圆周角定理可知∠B CE= ∠ BAE ,从而得到∠ CAE+ ∠ ACI= ∠ ICB+ ∠BCE ,从而得到∠ EIC= ∠ ICE ,于是得到 IE=EC ;(2)先证明 DCE ∽△ CAE ,从而可得到2 2CE =DE ?EA ,由 IE=EC 从而得到IE =DE ?EA .【解答】解:( 1)如图所示;连接IC.∵点 I 是△ ABC 的内心,∴∠ ACI= ∠ BCI ,∠ BAE= ∠ CAE .又∵∠ BAE= ∠ BCE ,∴∠ CAE= ∠BCE .∴∠ CAE+ ∠ACI= ∠ ICB+ ∠ BCE .∴∠ EIC= ∠ ICE .∴I E=EC .(2)由( 1)可知:∠ CAE= ∠BCE .又∵∠ AEC= ∠ DEC ,∴△ DCE ∽△ CAE .∴.2∴CE =DE ?EA .∵I E=EC ,2∴IE =DE ?EA .【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理,明确三角形的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键.20.为了弘扬“社会主义核心价值观”,市政府在广场树立公益广告牌,如图所示,为固定广告牌,在两侧加固钢缆,已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离CD 为 3 米,从 D 点测得广告牌顶端 A 点和底端 B 点的仰角分别是60°和 45°.(1)求公益广告牌的高度 AB ;(2)求加固钢缆 AD 和 BD 的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】(1)根据已知和tan∠ ADC=,求出AC,根据∠ BDC=45°,求出BC,根据AB=AC ﹣ BC 求出 AB ;(2)根据 cos∠ ADC=,求出AD,根据cos∠BDC=,求出BD.【解答】解:( 1)在 Rt △ ADC 中,∵∠ ADC=60 °, CD=3 ,∵t an∠ADC= ,∴AC=3 ?tan60°=3,在Rt△ BDC 中,∵∠BDC=45 °,∴BC=CD=3 ,∴AB=AC ﹣ BC= (3﹣3)米.(2)在 Rt△ADC 中,∵ cos∠ ADC=,∴AD===6 米,在 Rt△ BDC 中,∵ cos∠BDC=,∴BD===3米.【点评】本题考查的是解直角三角形的知识,掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关键.六、(本题满分12 分)21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y1=ax+b (a, b 为常数,且 a≠0)与反比例函数y2=(m为常数,且m≠0)的图象交于点A(﹣2,1)、B(1,n).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连结 OA 、 OB,求△ AOB 的面积;(3)直接写出当 y1< y2< 0 时,自变量 x 的取值范围.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出m 的值,即可确定出反比例函数解析式;将 B 坐标代入反比例解析式中求出 n 的值,确定出 B 坐标,将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求出 a 与 b 的值,即可确定出一次函数解析式;(2)设直线AB 与 y 轴交于点C,求得点 C 坐标, S△AOB =S△AOC+S△COB,计算即可;(3)由图象直接可得自变量x 的取值范围.【解答】解:( 1)∵ A (﹣2, 1 ),∴将 A 坐标代入反比例函数解析式y2= 中,得 m= ﹣ 2,∴反比例函数解析式为 y= ﹣;将B 坐标代入 y= ﹣,得 n=﹣ 2,∴B 坐标( 1,﹣ 2),将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中,得,解得 a=﹣ 1,b=﹣ 1,∴一次函数解析式为y1=﹣ x﹣1;(2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C,令 x=0 ,得 y= ﹣ 1,∴点 C 坐标( 0,﹣ 1),∴S△AOB =S△AOC+S△COB= ×1×2+ ×1×1= ;(3)由图象可得,当y1< y2< 0 时,自变量x 的取值范围x> 1.【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,三角形面积的求法,坐标与图形性质,利用了数形结合的思想,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.七、(本题满分12 分)22.对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图①,△ABC ∽△ A ′B′C′,且沿周界 ABCA 与 A ′B′C′A′环绕的方向相同,因此△ ACB 和△ A ′B′C′互为顺相似;如图②,△ ABC ∽△ A ′B′C′,且沿周界 ABCA 与A ′B′C′A′环绕的方向相反,因此△ ACB和△A′B′C′互为逆相似.(1)根据图Ⅰ,图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件.可得下列三对相似三角形:① △ ADE与△ABC ;②△ GHO 与△ KFO ;③ △ NQP 与△ NMQ ;其中,互为顺相似的是①②;互为逆相似的是③.(填写所有符合要求的序号).(2)如图③,在锐角△ABC 中,∠ A <∠ B<∠ C,点 P 在△ABC 的边 AB 上(不与点 A ,B 重合).过点 P 画直线截△ ABC ,使截得的一个三角形与△ ABC 互为逆相似.请根据点 P 的不同位置,探索过点 P 的截线的情形,请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.【考点】相似形综合题.【分析】(1)根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断;(2)根据点P 在△ ABC 边上的位置分为三种情况,需要分类讨论,逐一分析求解即可.【解答】解:( 1)互为顺相似的是①②;互为逆相似的是③ ;故答案为:①②,③;(2)根据点P 在△ ABC 边上的位置分为以下三种情况:第一种情况:如图①,点 P 在 BC(不含点 B、 C)上,过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1、PQ2,分别使∠ CPQ1=∠ A ,∠ BPQ2=∠ A ,此时△PQ1C、△PBQ 2都与△ ABC 互为逆相似.第二种情况:如图②,点 P 在 AC (不含点 A 、 C)上,过点 B 作∠ CBM= ∠ A , BM 交 AC 于点 M .当点 P 在 AM (不含点 M )上时,过点 P1只能画出 1 条截线 P1Q,使∠ AP 1Q=∠ ABC ,此时△ AP1Q 与△ABC 互为逆相似;当点 P 在 CM 上时,过点P2只能画出2 条截线 P2Q1、 P2Q2,分别使∠ AP 2Q1=∠ABC ,∠CP2Q2=∠ ABC ,此时△ AP 2Q1、△ Q2P2C 都与△ ABC 互为逆相似.第三种情况:如图③,点 P 在 AB (不含点 A 、 B)上,过点 C 作∠ BCD= ∠ A,∠A CE= ∠ B, CD 、CE 分别交 AB 于点 D 、E.当点 P 在 AD (不含点 D )上时,过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q,使∠ AP 1Q= ∠ ACB ,此时△AQP 1与△ ABC 互为逆相似;当点 P 在 DE 上时,过点P2只能画出 2 条截线 P2Q1、 P2Q2,分别使∠ AP 2Q1=∠ ACB ,∠BP 2Q2=∠ BCA ,此时△ AQ 1P2、△ Q2BP2都与△ ABC 互为逆相似;当点 P 在 BE (不含点 E)上时,过点 P3只能画出 1 条截线 P3Q′,使∠ BP3Q′=∠ BCA ,此时△ Q′BP3与△ ABC 互为逆相似.【点评】本题是创新型届中考压轴题,主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力.准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件,在分析与解决问题的过程中,要考虑全面,进行分类讨论,避免漏解.八、(本题满分14 分)23.某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次.在1~ 12 月份中,公司前 x 个月累计获得的总利润 y (万元)与销售时间 x (月)之间满足二次函数关系式 y=a ( x ﹣h ) 2+k ,二次函数 y=a ( x ﹣h ) 2+k 的一部分图象如图所示,点 A为抛物线的顶点,且点 A 、 B 、C 的横坐标分别为 4、 10、12,点 A 、 B 的纵坐标分别为﹣16、 20. y=a (x ﹣ h ) 2+k ; (1 )试确定函数关系式(2)分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润; (3 )在前 12 个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?【考点】 二次函数的应用.【分析】 (1)根据题意此抛物线的顶点坐标为( 4,﹣ 16),设出抛物线的顶点式,把 ( 10, 20)代入即可求出 a 的值,把 a 的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式;( 2)相邻两个月份的总利润的差即为某月利润.(3)根据前 x 个月内所获得的利润减去前x ﹣ 1 个月内所获得的利润,再减去 16 即可表示 出第 x 个月内所获得的利润,为关于x 的一次函数,且为增函数,得到 x 取最大为 12 时, 把 x=12 代入即可求出最多的利润. y=a ( x ﹣ 4)2 ﹣16,【解答】 解:( 1)根据题意可设: 当 x=10 时, y=20, 所以 a ( 10﹣4) 2﹣ 16=20,解得 a=1, 所求函数关系式为: y=( x ﹣ 4) 2﹣ 16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)当 x=9 时, y= ( 9﹣ 4) 2﹣ 16=9,所以前 9 个月公司累计获得的利润为 9 万元, 又由题意可知,当 x=10 时, y=20,而 20﹣9=11, 所以 10 月份一个月内所获得的利润 11 万元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3)设在前 12 个月中,第 n 个月该公司一个月内所获得的利润为 s (万元)则有: s=( n ﹣4) 2﹣ 16﹣ [ ( n ﹣ 1﹣ 4) 2﹣ 16]=2n ﹣9,因为 s 是关于 n 的一次函数,且 2>0, s 随着 n 的增大而增大, 而 n 的最大值为 12,所以当 n=12 时, s=15,所以第 12 月份该公司一个月内所获得的利润最多,最多利润是 15 万元.﹣﹣【点评】 本题考查了二次函数的应用,主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式,灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题,是一道综合题.。