江苏专用高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第34课等差数列及其前n项和教师用书

第34课 等差数列及其前n 项和[最新考纲]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d ＝____________. －2 [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2.]3．(2017·南京模拟)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____________时，{a n }的前n 项和最大．8 [由等差数列的性质可知，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，故a 8>0，a 8＋a 9<0，∴a 9<0，即当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．]4．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．20 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，得a 1＋2d＝2，即a 1＝2－2d ，所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知a 1＋a 52＝5a 3＝10，所以a 3＝2.所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1＝0，所以a 2＝－1.公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623，则在100以内有16个能被6整除的数．]n n a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝____________. 【导学号：62172185】(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝____________. (1)192(2)10 [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋－2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是____________．(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. (1)2 (2)－72 [(1)∵S n ＝n a 1＋a n2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1，得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2，∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n∈N ＋)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的通项公式a n . 【导学号：62172186】 [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于客观题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a n 无意义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是____________．(填序号)①公差为3的等差数列； ②公差为4的等差数列； ③公差为6的等差数列； ④公差为9的等差数列． ③ [∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．](2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为____________．a n ＝1n [由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.]数之和等于63，那么a 52＝____________.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41 a 42 a 43a 51 a 52 a 53a61a 62 a 63(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)7 [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1>0，所以－a 113<0. 故当n ＝7时，S n 最大． 法二：由法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0， 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大． [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝____________.99 [因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.](2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 15＝____________. 60 [因为数列{a n }为等差数列，所以S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也成等差数列，设S 15＝x ，则10,20，x －30成等差数列，所以2×20＝10＋(x －30)，所以x ＝60，即S 15＝60.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….2．等差数列{a n}中，a n＝an＋b(a，b为常数)，S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．课时分层训练(三十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝____________.5 [法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝60，a 1＋6d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝23，∴a 4＝a 1＋3d ＝5.法二：由等差数列的性质有a 1＋a 10＝a 7＋a 4，∵S 10＝a 1＋a 102＝60，∴a 1＋a 10＝12.又∵a 7＝7，∴a 4＝5.]2．已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝____________.【导学号：62172187】4 [法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6，解得d ＝4.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7－2a 4＝a 1＋6d －a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，d ＝4.]3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为____________．8 [设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.]4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________． 23 [∵3a n ＋1＝3a n －2， ∴a n ＋1－a n ＝－23，∴a n ＝15＋－23(n －1)＝－23n ＋473.由a n ＝－23n ＋473>0得n <23.5，∴使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.]5．(2017·苏州期中)等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝____________.120 [∵{a n }为等差数列，∴2d ＝a 4－a 2＝4，d ＝2. 由S 4＝8a 1得4a 1＋4×32×2＝8a 1，即a 1＝3.∴S 10＝10×3＋10×92×2＝120.]6．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝____________.98 [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98. ]7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N ＋)，则a 10＝____________. 【导学号：62172188】14 [由1a n ＋1＝1a n ＋13得⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为首项为1，公差为13的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23， ∴a 10＝312＝14.]8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝____________.130 [由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.]9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝____________. 5 [∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S mm， 即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解．]10．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝____________.3 [设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6. ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0， ∴a 8＝3.] 二、解答题11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【导学号：62172189】[解] (1)设该等差数列为{a n }， 则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －2·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0， 解得k ＝10或k ＝－11(舍去)， 故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1， 故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n＋n ＋2＝n n ＋2.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .[解] (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， 所以S n ＝na 1＋n n －2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小， 最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ， 所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为____________．1941 [∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941.] 2．(2017·南京模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为____________．b n ＝2n －1 [设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2nn －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.]3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．4．(2017·苏北四市摸底)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N ＋，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以，数列{a n }是等差数列．设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.所以，S n ＝na 1＋n n －12d ＝2n ＋n n －12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n .(2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2. 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3， 由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2.所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3， 于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…a 3－a 2＝－2×2＋3， a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝－2×n n －2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N ＋.。