电磁感应中的导轨模型

电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式1．电路特点 导体棒相当于电源 2．安培力的特点 安培力为阻力，并随速度减小而减小。

3．加速度特点 加速度随速度减小而减小 4．运动特点 a 减小的减速运动 5．最终状态 静止 6．三个规律 (1)能量关系： (2)动量关系： (3)瞬时加速度： 7．变化 (1)有摩擦 (2)磁场方向不沿竖直方向 电动式1．电路特点导体为电动棒，运动后产生反电动势（等效于电机）2．安培力的特点 安培力为运动动力，并随速度增大而减小。

3．加速度特点 加速度随速度增大而减小 4．运动特点 a 减小的加速运动 5．最终特征 匀速运动 6．两个极值 (1)最大加速度： v=0时,E 反=0,电流、加速度最大 (2)最大速度： 稳定时，速度最大，电流最小 7．稳定后的能量转化规律 8．起动过程中的三个规律(1)动量关系： (2)能量关系： (3)瞬时加速度： 发电式1．电路特点 导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E ＝Blv2．安培力的特点 安培力为阻力，并随速度增大而增大3．加速度特点 加速度随速度增大而减小 4．运动特点 a 减小的加速运动5．最终特征 匀速运动 6．两个极值 (1) v=0时,有最大加速度： (2) a=0时,有最大速度： 7．稳定后的能量转化规律 8．起动过程中的三个规律v 022B B l v F BIl R r ==+22()B F B l va m m R r ==+20102mv Q-=00BIl t mv -⋅∆=-0mv q Bl =Bl sq n R r R rφ∆⋅∆==++22()B F B l va m m R r ==+(E E B lR r -=+反）m EI R r=+m m F mga mμ-=,m m F BI l =min min ()2min mI E I E I R r mgv μ=+++反0m BLq mgt mv μ-=-212E mqE Q mgS mv μ=++B F mg a m μ-=(B ()E lv B l gm R r μ--+）=FBlv B l R r =+m F mga m μ-=B F F mg a m μ--=220=--=+()F B l vg m m R r μ22-+=()()m F mg R r v B l μ2()m m mBLv Fv mgv R rμ=++0m Ft BLq mgt mv μ--=-(1)动量关系：(2)能量关系： (3)瞬时加速度： 电容放电式：1．电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。

2．电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时U C =Blv3．运动特点 a 渐小的加速运动，最终做匀速运动。

4．最终特征 匀速运动 ，但此时电容器带电量不为零 5．最大速度v m电容器充电量： 放电结束时电量： 电容器放电电量： 对杆应用动量定理： 6．达最大速度过程中的两个关系安培力对导体棒的冲量 安培力对导体棒做的功：易错点：认为电容器最终带电量为零 电容无外力充电式1．电路特点 导体棒相当于电源;电容器被充电.2．电流的特点 导体棒相当于电源; F 安为阻力， 棒减速, E 减小有I 感 I 感渐小 电容器被充电。

U C 渐大，阻碍电流 当Blv =U C 时，I =0， F 安=0，棒匀速运动。

3．运动特点 a 渐小的减速运动，最终做匀速运动。

4．最终特征 匀速运动 但此时电容器带电量不为零 5．最终速度 电容器充电量： 最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压： 对杆应用动量定理： 电容有外力充电式1．电路特点 导体棒为发电棒；电容器被充电。

2．三个基本关系导体棒受到的安培力为： 导体棒加速度可表示为： 回路中的电流可表示为：3．四个重要结论： (1)导体棒做初速度为零匀加速运动： (2)回路中的电流恒定：22CBlmgI mg CB l =+(3)导体棒受安培力恒定： (4)导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能： 证明二、双棒模型212E mFs Q mgS mv μ=++BF F mg a m μ--=22=--=+()F B l v g m m R r μ0Q CE =mQ CU CBlv ==0m QQ Q CE CBlv ∆=-=-mmv BIl t Bl Q =⋅∆=∆22m BlCE v m B l C =+22m mBlCEI mv m B l C ==+安v 0C Blv U I R -=q CU=U Blv =0mv mv BIl t Blq-=⋅∆=B F BIl =BF F a m -=22mga m CB L =+2222B CB l mgF m CB l =+1．电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.2．电流特点 随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度v 2-v 1变小，回路中电流也变小。

3．两棒的运动情况 安培力大小： 两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小. 棒1做加速度变小的加速运动 棒2做加速度变小的减速运动最终两棒具有共同速度 4．两个规律(1)动量规律 两棒受到安培力大小相等方向相反, 系统合外力为零,系统动量守恒. (2)能量转化规律 系统机械能的减小量等于内能的增加量.两棒产生焦耳热之比：5．几种变化：(1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3) 无外力不等距式(4)两棒都有初速度 (5)两棒位于不同磁场中有外力等距式1．电路特点 棒2相当于电源;棒1受安培力而起动. 2．运动分析：某时刻回路中电流：最初阶段，a 2>a 1, 3．稳定时的速度差 4．变化(1)两棒都受外力作用 (2)外力提供方式变化无外力不等距式1．电路特点 棒1相当于电源;棒2受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.2．电流特点 随着棒1的减速、棒2的加速，最终当Bl 1v 1= Bl 2v 2时,电流为零,两棒 都做匀速运动 3．两棒的运动情况安培力大小： 两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的减速运动，最终匀速; 棒2做加速度变小的加速运动，最终匀速; 4．最终特征 回路中电流为零 5．能量转化规律 系统动能✍电能✍内能两棒产生焦耳热之比： 6．流过某一截面的电量2012m v (m m )v =+共1122Bl v Bl v =运动分析：杆1做a渐小的加速运动a1≠a2a1、a2恒定杆2做a渐大的加速运动I 恒定某时刻两棒速度分别为v1、v2加速度分别为a1、a2经极短时间t后其速度分别为：此时回路中电流为：练习1．(多选)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的足够长平行金属导轨，导轨间距为L，两导轨顶端连有一定值电阻R，导轨平面与水平面的夹角为θ，匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上，质量为m、电阻为r的光滑导体棒从某一高度处由静止释放，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，其他部分的电阻不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．导体棒先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动B．若导体棒的速度为v，则R两端的电压为BLvC．导体棒的最大速度为mg?R＋r?B2L2D．在导体棒下滑过程中，电路中产生的焦耳热等于导体棒克服安培力所做的功【解析】AD[导体棒随着速度的增加，受到的安培力越来越大，因此受到的合力越来越小，加速度越来越小，故导体棒做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，做匀速运动，A正确；导体棒中产生的感应电动势为E＝BLv，所以在电阻R上的电压为RBLvR＋r，B错误；由于导体棒匀速运动时有mg sin θ＝B2L2vR＋r，因此导体棒的最大速度为mg?R＋r?sin θB2L2，C错误；根据功能关系，感应电流所产生的焦耳热在数值上等于导体棒克服安培力所做的功，D正确．] 练习2．(多选)如图所示，间距为l＝1 m的导轨PQ、MN由电阻不计的光滑水平导轨和与水平面成37°角的粗糙倾斜导轨组成，导体棒ab、cd的质量均为m＝1 kg、长度均为l＝1 m、电阻均为R＝0.5 Ω，ab棒静止在水平导轨上，cd棒静止在倾斜导轨上，整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小B＝ 2 T．现ab棒在水平外力F作用下由静止开始沿水平导轨运动，当ab棒的运动速度达到一定值时cd棒开始滑动．已知cd棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为μ＝0.8，且cd棒受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.关于该运动过程，下列说法正确的是( ) A ．cd 棒所受的摩擦力方向始终沿倾斜导轨向上B ．cd 棒所受的摩擦力方向先沿倾斜导轨向上后沿倾斜导轨向下C ．cd 棒开始滑动时，ab 棒的速度大小约为20 m/sD ．cd 棒开始滑动时，ab 棒的速度大小约为10 m/s【解析】BC [cd 棒刚开始静止在倾斜导轨上，μ＝0.8>tan 37°＝0.75，cd 棒受到的摩擦力沿倾斜导轨向上，ab 棒向右运动切割磁感线使得ab 棒、cd 棒中产生感应电流，cd 棒受到水平向右的安培力作用，cd 棒受到的摩擦力先沿倾斜导轨向上减小到零，后反向沿倾斜导轨向下增大，故A 错误，B 正确；当cd 棒即将滑动时，由平衡条件B 2l 2v2R cos 37°＝mg sin 37°＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫mg cos 37°＋B 2l 2v 2R sin 37°，代入数据可得v ＝19.375 m/s ，C 正确，D 错误．] 练习3．如图所示，阻值均为2 Ω的定值电阻R 1和R 2通过水平和倾斜平行金属导轨连接，水平导轨和倾斜导轨平滑相接，导轨间距离为0.5 m ，倾斜导轨与水平面夹角为60°，水平导轨间存在方向竖直向上、磁感应强度大小为0.03 T 的匀强磁场，倾斜导轨处没有磁场．一根质量为0.1 kg 、长度为0.5 m 、阻值为2 Ω的导体棒从倾斜导轨上一定高度处由静止释放，导体棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为34，水平导轨光滑，导体棒在水平导轨上向右运动s ＝2 m 停下来，在此过程中电阻R 1上产生的热量为0.3 J ，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度g ＝10 m/s 2，则下列说法正确的是( ) A ．导体棒在倾斜导轨上释放点离水平面的高度为2 m B ．导体棒在导轨上运动的最大速度为6 m/s C ．R 1两端的最大电压为0.045 VD ．导体棒在导轨上运动过程中通过R 1的电荷量为0.01 C【解析】B [导体棒滑上水平导轨后做减速运动，因此滑上水平导轨的初速度v 0是导体棒在导轨上运动的最大速度，导体棒在水平导轨上运动时，若电阻R 1上产生热量为Q ，则导体棒上产生热量为4Q ，电路产生的总热量为6Q ，由功能关系可得mv 202＝6Q ，又Q ＝0.3 J ，得v 0＝6 m/s ，B 选项正确；导体棒在倾斜导轨上运动，有mgh －μmg cos θ·h sin θ＝mv 202，得h ＝2.4 m ，A 选项错误；导体棒运动的最大速度为v 0，最大感应电动势为E m ＝Blv 0，R 1两端的最大电压U m ＝E m 3，得U m ＝0.03 V ，C 选项错误；通过导体棒的电荷量q ＝ΔΦR 总，q 1＝q2＝0.005 C ，D 选项错误．]练习4．如图甲所示，dc 和ef 是足够长的光滑的金属导轨(不计电阻)水平放置，相距L ＝1 m ，de 处接有一个电阻，在其两端的电压低于某个特定的值U 0时，它的阻值与其两端的电压成正比，而其两端的电压大于等于U 0时，它的电阻恒为R 0＝5 Ω，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ，质量为m ＝0.5 kg ，长度恰好能跨放在导轨上的金属杆电阻不计，在水平向右的拉力作用下，从紧靠de 处由静止开始做加速度为a ＝1 m/s 2的匀加速运动，水平拉力F 与时间的关系如图乙所示． (1)试求电压的特定值U 0和图中所标的F 0的大小；(2)当t ＝0.5 s 时和t ＝2 s 时，电阻的发热功率分别为多大？ (3)从开始到运动2 m 时，通过R 的电荷量为多少？ (4)运动到2 m 时刻撤去外力，金属杆还能运动多远？【解析】 (1)当电压小于U 0时，设电阻R ＝kU ，所以电流I ＝U R ＝1k ，则I 为定值 F －BL 1k ＝ma ，F ＝ma ＋BL 1k当电压大于等于U 0时，F －B 2L 2v R 0＝ma ，F ＝ma ＋B 2L 2aR 0t ，而当t ＝1 s 时，速度v ＝at ＝1 m/s ，U 0＝BLv ＝1 V又当t ＝1 s 时，F ＝ma ＋B 2L 2a R 0t ＝ma ＋BL 1k ，所以有k ＝5故F 0＝0.7 N 1 s 以后的拉力与时间的关系为F ＝0.5＋0.2t (2)t ＝0.5 s 时，v ＝0.5 m/s ，U ＝E ＝BLv ＝0.5 V ，R ＝kU ＝2.5 ΩP 1＝U 2R ＝0.1 W t ＝2 s 时，F ＝0.9 N ，安培力F 安＝F －ma ＝0.4 N ，v ＝2 m/s P 2＝F 安v ＝0.8 W(3)前1 s ，电流恒为I ＝U R ＝1k ＝0.2 A ，q 1＝It ＝0.2 C ，运动了0.5 m.余下的1.5 m 是通过定值电阻R 0的电荷量，q 2＝ΔΦR 0＝0.3 C 所以q ＝q 1＋q 2＝0.5 C(4)撤去外力时，速度为v 2＝2 m/s ，电压U 2＝2 V ，变减速运动到速度v 1＝1 m/s ，于是有： B 2L 2x 1R 0＝m (v 2－v 1)，x 1＝2.5 m 此后，电流恒为0.2 A ，F 安′＝BLI ＝0.2 N ，做匀减速运动，a′＝F安′m＝0.4 m/s2x2＝v212a′＝1.25 m 所以x＝x1＋x2＝3.75 m.练习５.如图所示, 金属导轨是由倾斜和水平两部分圆滑相接而成, 倾斜部分与水平夹角q=37°，导轨电阻不计。