江苏省苏州市2019-2020学年高考五诊数学试题含解析
【5月江苏苏州三校联考数学】2020年江苏省苏州市三校高三5月联考数学试卷含答案解析
20．（本小题满分 16 分）
数列{an}的数列{an}的首项 a1 = 1 ，前 n 项和为 Sn，若数列{an}满足：对任意正整数 n， k，当 n＞k 时， Sn+k + Sn−k = 2(Sn + Sk ) 总成立，则称数列{an}是“D(k)数列”．
（1）若{an}是公比为 2 的等比数列，试判断{an}是否为“D(2)”为数列？ （2）若{an}是公差为 d 的等差数列，且是“D(3)数列”，求实数 d 的值； （3）若数列{an}既是“D(2)”，又是“D(3)”，求证：数列{an}为等差数列．
11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方 体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）．半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对
1
称美．图 2 是一个棱数为一个正 方体的表面上，且此正方体的表面积为 ▲ ．
3．为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从 4 名（含甲、乙两人）随机选 2 名， 则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是 ▲ ．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ． 5．如图是一次摄影大赛上 7 位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个
最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为 ▲ ．
S←1 For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S
8 96 9 23142
第 4 题图
第 5 题图
6．函数
π f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜2)的最小正周期为
π，且它的图象过点
(−
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x在上单调递增，当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x在)+∞上单调递减，所以当x =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 2．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【详解】若2m ＞2n ＞1＝20，∴m ＞n ＞0，∴πm ﹣n ＞π0＝1，故B 正确； 而当m 12=，n 14=时，检验可得，A 、C 、D 都不正确， 故选：B ． 【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.3．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a【答案】A【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.4．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题5．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( ) A ．322- B．233-C ．23-D ．22-【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4mmx x-=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),(1m 1)H -<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4mmx x-=+++， 当0x =时，0m =，当0x ≠2124(1)4112x xx x⎫=⎪⎪++⎣⎭+++，21103221mm m-≤<⇒<≤-+综上：0322m ≤≤-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 7．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.8．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值． 【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.9．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径AG=233233⨯=,设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=()222324+=取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=()2223113+=.则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()224133-=所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()233ππ⋅=故选：A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题. 11．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．12．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量调研卷高三数学试题无附加题(解析版)
2江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则AB ＝ ． 【答案】{1,4}【分析】由交集定义求解。
【解答】A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则AB ＝{1,4} 【点评】考察集合交集的求解，属于简单题。
2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ．【答案】1.【分析】展开复数z ，对照复数的虚部的系数，列出方程求解即可。
【解答】z=2-b+(2b+1)i ，因此2b+1=3,b=1.【点评】考察复数的展开及虚部的概念，属简单题。
3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ． 【答案】32 【分析】古典概型，列出一男一女的可能选法的种数和三选二选法种数，二者相除即可。
【解答】三人中选二人有23C 种选法，一男一女的选法共有1112C C 种，因此选中的恰好是一男一女的概率为231112C C C =32。
2【点评】考察古典概型，属简单题。
4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．【答案】100.【分析】在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，可求出车辆总数，再求[8，9)之间通过的车辆数水到渠成。
【解答】[5，7)之间的组距频率=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。
所以[8，9)之间通过的车辆数为1000×0.10=100辆。
【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。
江苏省苏州市三校2020届高三下学期5月联考数学试题 Word版含解析
【答案】17
【解析】
试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17
考点：循环结构流程图
5.如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为___________.
(2)∵ ， 是 的中点，∴ ．又∵在直三棱柱 中，底面 ⊥侧面 ，交线为 ， 平面 ，∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴ .∵ ，∴ ．而 ，∴ ，从而 ，∴ ，∴ .又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
17.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形 （ ），如图1所示，其中 ；
(1)求证：BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上，且BP＝ BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ，与 交于点 ，连结 ，可以证明 ，根据线面平行的判定可以可证明 平面 ．（2）中易证 ，只要证明 就可以证明 平面 ，它可以由 得到．
【详解】(1)连接 ，与 交于点 ，连结 ，∵四边形 是矩形，∴ 是 的中点．在 中， 分别是 的中点，∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
【答案】
【解析】
【分析】
由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，去掉这两个数后，剩下的5个数利用平均数的计算公式计算即可.
【详解】由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，由题意，剩下5个数分别为 ，
江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷
江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合，集合，则______．2．命题：“”的否定是__________．3．写出命题“若，则或”的否命题为__________．4．命题“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．已知函数f(x)=的图象一定过点P,则P点的坐标是__________.6．函数f(x)= 的值域是____________7．函数的单调增区间为 _________.8．用“”将，，从小到大排列是__________．9. 方程的解在区间（k，k 1）（）上，则k =_______．10．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为__________．11.已知函数,则_____.12. 已知奇函数满足的值为___________ 。
13．定义在R上的偶函数f(x), 当x≥0时,f(x)为减函数。
若f(1－m)<f(m),则实数m的取值范围是________.14已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1的导函数为f ′（x ），f ′（0）＞0，f （x ）与x 轴恰有一个交点，则的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）A 1C //平面AB 1E ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2．A 1B 1C 1ABCE(第15题）（1）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，yxBAMNOP(第18题）l记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证： CA＝3CB．DA B COB ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t （t为参数），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin （θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．CDPBA23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球． （1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．；2．； 3．若，则且； 4．充分不必要5、P(-1,4)；6、； 7、； 8、9、2； 10、； 11、1； 12、；13、； 14、2二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ． 因为AE 平面ABC ，所以CC 1AE ． ……………2分 因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ． 因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，且BC ∩CC 1＝C ，所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE 平面AB 1E ，所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分 （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分A 1B 1C 1 A BC E(第15题） F又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cos B＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sin Bsin C＝bc，所以sin Bsin C＝3510．……………………………6分解法2因为cos B＝45，B∈(0，)，所以sin B＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，所以sin C＝2sin(B＋C)＝65cos C＋85sin C，即－sin C＝2cos C．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝25 5，所以sin Bsin C＝3510．………………………6分（2）因为cos B＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sin B＝1－cos2B＝3 5，所以sin2B＝2sin B cos B＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sin A＝sin(3π4－2B)＝sin 3π4cos2B－cos3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t 2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分 （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0 x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133． ………………………15分 因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P＝4k 4k 2＋1， 所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分 将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g (x )＝2(1－2ln x )x 3．令g(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4． 令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增． 又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3T n＝S n2＋2S n，①所以3T n＋1＝S n＋12＋2S n＋1，②②－①，得3a n＋12＝S n＋12－S n2＋2a n＋1．因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③………………………5分所以3a n＋2=S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n＋2＝2a n＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S n＝2n－1．因为S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，所以(S k－S1)2＝S1(S t－S k)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于S k－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°， 从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°， 故∠C ＝30°， ………………………7分 所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ………………………4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P(x，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1，所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．DA B C O （第21A 题）………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣2＝1， ………………………8分 解得a ＝1±2．所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设C (1，y ，0)，则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为π3， 所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD∣→PB ∣∣→CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2． ………………………5分CDPBA（第22题）xy z（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PDn 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0． 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝33， 所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种). ………………………3分 （2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝4 C 2496＝14， ………………………5分 P (X ＝1)＝3C 14C1396＝38，P (X ＝2)＝2C14C 1396＝14， P (X ＝3)＝C14C 1396＝18． 所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝014＋138＋214＋318＝54． ………………………10分 X 0 1 2 3 P14381418。
2020届江苏省苏州市三校高三5月联考数学试卷含答案
18．(本小题满分 16 分)
己知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的离心率为
2 2
，点 1,
6 2
在椭圆
C
上.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过坐标原点的直线交 C 于 P, Q 两点，点 P 在第一象限， PE x 轴，垂足为 E,
和一个最低分后，则该作品的平均分为▲ .
6. 函数 f (x) 2sin x ( 0, ) 的最小正周期为 ，且它的图象过点
2
12
,
2
，则
的值为▲
.
7. 若抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是双曲线 x2 y2 1 的一个焦点，则 p= ▲
.
2p p
8. 己知
为锐角，若
称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，其棱长为 1，它的所有顶点都在同一个正 方体的表面上，且此正方体的表面积为 ▲ .
12.由圆 C： x2 + y2 - 2x - 4y +1 = 0 外一点 P (4, 6)引直线 l 交圆 C 于 A、B 两点， 则线
段 AB 中点 M 到 x 轴的距离的最小值为 ▲ .
又∵ A(0, ) ，∵ sin A 0 ，∴ cosC = 1 ．
4
…………6 分
（2）∵ C (0, ) ， cosC = 1 ，∴ sin C = 1− cos2 C = 1− 1 = 15 ．
4
16 4
∵ S = 1 absin C = 15 ，∴ ab = 2 ﹒①
2
4
…………9 分
江苏省苏州高三(数学)2019-2020学年第二学期调研试卷含附加题(word版含答案)
2019—2020学年苏州第二学期调研试卷高三（数学）试卷2020.03一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知{1,3,4}A =，{3,4,5}B =，则A B ⋂=_______．2．若复数z 满足(12)34i z i +=-+（i 是虚数单位），则||z =_______． 3．执行如图所示的算法流程图，输出的S 的值是________．4．若数据2，x ，2，2的方差为0，则x =_________．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是_______．6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为________．7．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为_______． 8．在ABC V 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PBPB PC⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r _______． 9．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为________．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线y =与椭圆C 交于,A B 两点，若OA OB ⊥，则椭圆离心率的值等于________．11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212a =，且当2n ≥时，1na 为n S 和1n S -的等差中项，则32S 的值为________．12．设α，θ为锐角，tan tan (1)a a θα=>，若θα-的最大值为4π，则实数a 的值为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =若直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为________．14．已知函数()xf x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin()sin 1A B C -+=． （1）求sin cos A B 的值； （2）若2a b =，求sin A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别是AC ，11B C 的中点．求证：（1）//MN 平面11ABB A ； （2）1AN A B ⊥． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，并且点⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k （k 为常数）的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，交x 轴于点(,0)P m ，Q 为直线2x =上的任意一点，记QA ，QB ，QP 的斜率分别为1k ，2k ，0k ．若1202k k k +=，求m 的值． 18．（本小题满分16分）如图，PQ 为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ 相切，记其圆心为O ，切点为G ．为参观方便，现新修建两条道路CA 、CB ，分别与圆O 相切于D 、E 两点，同时与PQ 分别交于A 、B 两点，其中C 、O 、G 三点共线且满足CA CB =，记道路CA 、CB 长之和为L ．（1）①设ACO θ∠=，求出L 关于θ的函数关系式()L θ； ②设2 AB x =米，求出L 关于x 的函数关系式()L x ．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（本小题满分16分）设()xf x ae a =-，2()g x ax x =-（a 为与自变量x 无关的正实数）．（1）证明：函数()f x 与()g x 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，若存在，求出k 的取值范围，否则说明理由． 20．（本小题满分16分）定义：对于一个项数为()*2,m m m N∈…的数列{}na ，若存在*k N∈且k m <，使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为321=+，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，4-，6，8-是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{}n a 共有r 项（3r …，且r 为奇数），11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足1(1)(1)(1)n n nS n S n n n r +=+++-…．判断{}n a 是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈…的等比数列{}n b ，其中2q ≥．判断{}n b 是不是“等和数列”，并证明你的结论．高三数学练习卷附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A ．B ．选修4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数）．求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．C ．选修4-5：不等式选讲 已知,,x y z 均为正数，且1113112x y y z +++++…，求证：4910x y z ++…． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ︒∠=，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点．（1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值． 23．（本小题满分10分）在自然数列1，2，3，…，n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． （1）求3(1)P ； （2）求440()k P k =∑；（3）证明11()()n n nn k k kP k n Pk --===∑∑，并求出0()n nk kP k =∑的值．参考答案与评分标准一、填空题1．{3,4} 2 3．7 4．2 5．310 6 7．6 8．12- 9．1ln2+ 10 11．812．3+ 13．[22---+ 14．2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭二、解答题15．（1）因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=， 从而1sin()sin sin()sin()A B C A B A B =-+=-++(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )A B A B A B A B =-++2sin cos A B =，故1sin cos 2A B =； （2）由2a b =及正弦定理得，sin 2sin A B =，故1sin cos 2sin cos sin 22A B B B B ===， 且sin 2sin 1A B =…，所以1sin 2B …， 又易得a b >，从而A B >，故0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即20,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以26B π=， 即12B π=，此时sin 2sin2sin 2sin cos cos sin 12464646A πππππππ⎛⎫⎛⎫==-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结PM ，1PB ． 因为M ，P 分别是AB ，AC 的中点， 所以//PM BC ，且12PM BC =． 在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//PM B N ，且1PM B N =． 所以四边形1PMNB 是平行四边形， 所以1//MN PB ，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A ．（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ， 所以面11ABB A ⊥面111A B C ，又因为90ABC ︒∠=，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A ⋂面11111A B C B A =，11B C ⊂平面111A B C ， 所以11B C ⊥面11ABB A ，又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1AB AA =， 所以11AB A B ⊥，又因为111NB AB B ⋂=，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ， 所以1A B ⊥面1AB N ， 而AN ⊂面1AB N ， 所以1A B AN ⊥．17．解：（1）因为椭圆C 的两个焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F，点2⎛⎫⎪⎝⎭在此椭圆上．所以21a c ===所以1,1c a b ====所以椭圆方程为2212x y += （2）由已知直线:()l y k x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()02,Q y ，由22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22222124220k x mk x k m +-+-=． 所以222121222422,1212mk k m x x x x k k -+==++．因为1020012012,,222y y y y yk k k x x m--===---且1202k k k +=， 所以10200122222y y y y y x x m--+=---，整理得()01221120222k km y m x x ⎛⎫--++=⎪---⎝⎭， 因为点()02,Q y 不在直线l 上，所以020k km y --≠， 所以122110222m x x ++=---，整理得()12122(2)40x x m x x m -+++=， 将2122412mk x x k +=+，221222212k m x x k -=+代入上式解得1m =，所以1m =．18．解：（1）①在Rt CDO V 中，ACO θ∠=，所以20sin CO θ=， 所以2020sin CG θ=+ 在Rt AGC V 中，20202020sin sin cos cos sin cos CG AC θθθθθθ++===， 所以4040sin ()2sin cos L AC θθθθ+==其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭②设AC y =，则在Rt AGC V中CG =Rt CDO V 与Rt AGC V 相似得，CO ODCA AG=，20x=，即2020x y =，即20()x y =+，即=即2()400()x y x x y -=+，化简得32400400x x CA y x +==-，322800()2400x xL x CA x +==-其中(20,)x ∈+∞（2）选择（1）中的第一个函数关系式4040sin 40(1sin )()2sin cos sin cos L AC θθθθθθθ++===研究． ()()223222240cos sin cos (1sin )cos sin 40sin sin cos ()(sin cos )(sin cos )L θθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-+-+-⎣⎦'==()()()32322222240sin 2sin 140sin sin sin 140(sin 1)sin sin 1(sin cos )(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθθθθθθθ+-++-++-===令()0L θ'=，得1sin 2θ=．令0sin θ=，当()00,θθ∈时，()0L θ'<，所以()L θ递减； 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L θ'>，所以()L θ递增，所以当1sin 2θ-=时，()L θ取得最小值，新建道路何时造价也最少（说明；本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式322800()400x xL x x +=-求解，仿此给分）19．（1）证明：因为0(0)0,(0)0f ae a g =-==，所以2(),()xf x ae ag x ax x =-=-的图像存在一个公共的定点(0,0)O ．因为()xf x ae '=，()2g x a x '=-，所以(0)f a '=，(0)g a '=，所以在定点(0,0)O 处有一条公切线，为直线y ax =．（2）假设存在实数k ，使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立， 即存在实数k 使得ln xk e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立． 令1()ln ,,2xh x e x x x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则1()ln 2,,2xh x e x x ⎡⎫'=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 2,,2xm x e x x ⎡⎫=--∈+∞⎪⎢⎣⎭，则111(),,2x xxe m x e x x x -⎡⎫'=-=∈+∞⎪⎢⎣⎭， 因为0,0x x e >>，且,xy x y e ==在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以xy xe =在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增， 因为112121210,11022e e e --=<⋅->， 所以存在唯一实数01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得0010x x e -=，即()00m x '=，且00x x e -=， 所以()h x '在0x 处取得最小值()00000ln 2ln 2xxx h x e x e e-'=--=--1201322022x e x e =+->+-==>， 所以()ln xh x e x x x =--在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以1ln 21()22h x h -⎛⎫>=⎪⎝⎭，因为ln xk e x x x <--对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，所以ln 212k -≤，所以存在ln 212k -⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦使得()ln 1f x a k x ax x +-->对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立． 20．解：（1）∵2(4)6(8)+-=+-， ∴数列2，4-，6，8-是“等和数列”．（2）由*1(1)(1),n n nS n S n n n N +=+++∈，两边除以(1)n n +，得111n n S S n n +=++，即111n n S Sn n+-=+， 所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111S =，11n S n n n =+-=，所以，2n S n =假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，即k r k S S S =-，所以2k r S S =∴222k r =*在*中，因为r 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边22k 一定是偶数， 所以*不可能有解，从而假设错误，{}n a 不是“等和数列”．（3）设n B 为{}n b 的前n 项和假设{}n b 是“等和数列”，则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B ==成立，即2k m B B =，于是()()1121111k m b q b q q q --=--成立，即21k mq q -=因为2q …，所以1212k k k q q q +-<…，又m k >，即1m k ≥+，所以1k m q q +…，所以21k m q q -<，与21k m q q -=产生矛盾．所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”．21．A 解：设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，其在矩阵2aa A b⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦仍在直线上，所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨+=⎩，解得01b a =⎧⎨=-⎩，故1102A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．B 解：直线l的普通方程为y =，①曲线C 的直角坐标方程为21([2,2])2y x x =∈-，② 联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故P 点的直角坐标为(0,0)．C 证：因为, , x y z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得2111[(1)4(1)9(1)](123)36111x y z x y z ⎛⎫+++++++++= ⎪+++⎝⎭…， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立． 因为11131112x y z +++++…， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++⨯=…， 所以4910x y z ++…． 22．解：因为DA ⊥平面ABC ，90CAB ︒∠=，所以可以以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．因为1AC AD ==，2AB =，所以(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)A C B D ，因为点E 为线段BD 的中点， 所以10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）10,1,,(1,2,0)2AE BC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，所以4cos ,5||,|AE BC AE BC AE BC ⋅〈〉===-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为45（2）设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =u r ， 因为1(1,0,0),0,1,2AC AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 所以10n AC ⋅=u r u u u r ，10n AE ⋅=u r u u u r ，即0x =且102y z +=，取1y =，得0,2x z ==-， 所以1(0,1,2)n =-u r 是平面ACE E 的一个法向量．设平面BCE 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，因为(1,2,0)BC =-u u u r ，10,1,2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 所以20n BC ⋅=u u r u u u r ，20n BE ⋅=u u r u u u r，即20x y -=且102y z -+=，取1y =，得2,2x z ==， 所以2(2,1,2)n =u u r 是平面BCE 的一个法向量．所以121212cos ,n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r ‖． 所以二面角A CE B --的余弦值为5- 23．（1）因为数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2成3，2，1或2，1，3，所以3(1)3P =；（2）44444440()(0)(1)(2)(3)(4)k P k P P P P P ==++++∑ 011112433424019860124C C C C C C =++++=++++=；（3）把数列1，2，…，n 中任取其中k 个元素位置不动，则有k n C 种；其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()(0)k n n n k P k C P -=， 故00()(0)n n k nn n k k k kP k kC P -===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=， 所以111110000()(0)(0)()n nn n k k n n n k n n k n k k k k kP k kCP n C P n P k -------=======∑∑∑∑， 令0()nn n k a kP k ==∑，则1n n ana -=，且11a =．于是23411231234n n n a a a a a a a a na --=⨯⨯⨯⨯L L ， 左右同除以2341n a a a a -L ，得234!n a n n =⨯⨯⨯⨯=L 所以0()!n nk kP k n ==∑。
江苏省苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考数学试题含附加题 含解析
江苏省苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数 学 2020.5参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==−∑，其中11ni i x x n ==∑．柱体的体积公式: V = Sh , 其中S 是柱体的底面积, h 为高． 锥体的体积公式: V = 13Sh , 其中S 是锥体的底面积, h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A = {4, 2, 3, 4),集合B = {4, 5},则A ∩B = ▲ ． 2. 复数z =i (1+4i ), (其中i 为虚数单位的实部为 ▲ ． 3. 函数f (x )=ln x +1-x 的定义域为 ▲ ．4. 已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差 为 ▲ ．5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北面若干人, 西面有7488人, 南面有6912人, 这三面要征调300人, 而北面征调108人(用分层抽样的方法), 则北面共有 ▲ 人” ．6. 已知椭圆x 210-m ＋y 2m -2＝1的长轴在y 轴上, 若焦距为4, 则m = ▲ ．7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值x 为8时, 则其输出的结果是 ▲ ．8. 已知知角α的顶点与坐标原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边经过点P (－1, 2) ,则sin2α =▲ ．9. 已知函数f (x )＝log a （x 2＋a -x ）+b , 若 f (3)－f (－3) =－1, 则实数a 的值是 ▲ ．10.如图,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E 为棱DD 1上的点, F 为AB 的中点, 则三棱锥B 1-BFE 的体积为 ▲ ． 11.已知x ，y 为正数, 且12+x ＋4y＝1, 则x + y 的最小值为 ▲ ． 12.如图所示, 平行四边形ABCD 中, AB = 2AD = 2, ∠BAD =60°, E 是DC 中点, 那么向量AC →与EB →所成角的余弦值等于 ▲ ．13.设ABC 的三边a ,b ,c ,所对的角分别为A ,B ,C . 若b +3a 2=c 2,则tan A 的最大值 ▲ ． 14.任意实数a ,b ,定义a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧ab ，ab ≥0，a b， ab ＜0，，设函数f (x )=ln x ⊕x ,正项数列{a n }是公比大于0的等比数列, 且a 1010=1, f (a 1)+f (a 2)+f (a 3) +…+f (a 2019)+f (a 2020)=－e , 则a 2020= ▲ ． 二、解答题:本大题共6小题, 共计90分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)△A B C 中的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知a = 2 , B =－π3 , AB →•AC →= 6.(1) 求边c 的值;(2) 求sin (A －C )的值.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , BB 1=BC , 点P ,Q ,R 分别是棱BC ,CC 1,B 1C 1的中点. (1) 求证: A 1R //平面APQ ; (2) 求证: 直线B 1C ⊥平面APQ .17. (本小题满分14分)如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台P , 已知射线AB , AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3干米), 在两条公路AB ,AC 上分別设立游客上下点M , N , 从观景台P 到M , N 建造两条观光线路PM , PN , 测得AM = 3干米, AN = 3干米. (1) 求线段MN 的长度;(2) 若∠MPN = 60°, 求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值.18. (本小题满分16分)已知椭圆: x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率为 22, 点N (2,0)为椭圆的右顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过点H (0, 2)的直线l 与椭圆交于A , B 两点, 直线NA 与直线NB 的斜率和为－13 ,求直线l 的方程.已知函数f(x)=e x +x2-x,g(x)=x2+ax+b, a,b∈R.(1) 当a=1时,求函数F(x)=f(x)－g(x)的单调区间;(2) 若曲线y=f(x)－g(x)在点(1, 0) 处的切线为: x+y-1=0, 求a , b的值;(3) 若f(x)≥g(x)恒成立, 求a+b的最大值.20. (本小题满分16分)记无穷数列{a n}的前n项a1, a2,…,a n的最大项为A n, 第n项之后的各项a n+1, a n+2…的最小项为B n, b n= A n－B n.(1)若数列{a n}的通项公式为a n = 2 n2－7n+6, 写出b1, b2, b3;(2)若数列{b n}的通项公式为b n=－2n, 判断{a n+1－a n}是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说明理由;(3)若数列{b n}为公差大于零的等差数列, 求证: {a n+1－a n}是等差数列.江苏省苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数学附加题 2020.5【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4－2:矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中, 直线x ＋y －2=0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2 对应的变换作用下得到的直线仍为x ＋y －2=0,求矩阵A .[选修4－4:极坐标与参数方程]22.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ = π3(ρ∈R ).以极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝1－2cos α，（α为参数). 求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标[选修4－5:不等式选讲]23.已知x ,y ,z 均为正数，且1x ＋1 ＋1y ＋1 ＋1z ＋1 ≤ 32 ，求证: x ＋4y ＋9z ≥0.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24. 如图,在三棱锥D －ABC 中, DA ⊥平面ABC , ∠CAB =90°, 且AC =AD =1, AB =2, E 为BD 的中点. (1) 求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； (2) 求二面角A －CE －B 的余弦值.25. 在自然数列1,2,3,…,n 中, 任取k 个元素位置保持不动, 将其余n －k 个元素变动位置, 得到不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1) 求P 3(1)； (2) 求∑k ＝04P 4 (k )；(3) 证明∑k ＝0n k P n (k ) = k ∑k ＝0n -1P n －1(k ), 并求出k P n (k )的值.苏州市吴江区2020届高三下学期五月统考试题数学参考答案及讲评 2020.5参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．柱体的体积公式: V = Sh , 其中S 是柱体的底面积, h 为高． 锥体的体积公式: V = 13 Sh , 其中S 是锥体的底面积, h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A = {4, 2, 3, 4),集合B = {4, 5},则A ∩B = ▲ ． 2. 复数z =i (1+4i ), (其中i 为虚数单位的实部为 ▲ ． 3. 函数f (x )=ln x +1-x 的定义域为 ▲ ．4. 已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18, 21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差 为 ▲ ．5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北面若干人, 西面有7488人, 南面有6912人, 这三面要征调300人, 而北面征调108人(用分层抽样的方法), 则北面共有 ▲ 人” ．6. 已知椭圆x 210-m ＋y 2m -2＝1的长轴在y 轴上, 若焦距为4, 则m = ▲ ．7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值x 为8时, 则其输出的结果是 ▲ ．8. 已知知角α的顶点与坐标原点重合, 始边与x 轴的正半轴重合, 终边经过点P (－1, 2) ,则sin2α =▲ ．9. 已知函数f (x )＝log a （x 2+a -x ）+b, 若 f (3)－f (－3) =－1, 则实数a 的值是 ▲ ．10.如图,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E 为棱DD 1上的点, F 为AB 的中点, 则三棱锥B 1-BFE 的 体积为 ▲ ．填空题1～10参考答案：1.｛4｝2. －43.（0，1]4. 65. 81006. 87. 28. －459.7 10. 11211.已知x ，y 为正数, 且12+x ＋4y＝1, 则x + y 的最小值为 ▲ ．12.如图所示, 平行四边形ABCD 中, AB = 2AD = 2, ∠BAD =60°, E 是DC 中点, 那么向量AC →与EB →所 成角的余弦值等于 ▲ ．13.设ABC 的三边a ,b ,c ,所对的角分别为A ,B ,C . 若b +3a 2=c 2,则tan A 的最大值 ▲ ．14.任意实数a ,b ,定义a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧ab ，ab ≥0，a b ， ab ＜0，，设函数f (x )=ln x ⊕x ,正项数列{a n }是公比大于0的等比数列, 且a 1010=1, f (a 1)+f (a 2)+f (a 3) +…+f (a 2019)+f (a 2020)=－e , 则a 2020= ▲ ．二、解答题:本大题共6小题, 共计90分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)△A B C 中的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知a = 2 , B =－π3 , AB →•AC →= 6.(1) 求边c 的值; (2) 求sin (A －C )的值.16. (本小题满分14分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, AB =AC , BB 1=BC , 点P ,Q ,R 分别是棱BC ,CC 1,B 1C 1的中点. (1) 求证: A 1R //平面APQ ; (2) 求证: 直线B 1C ⊥平面APQ .17. (本小题满分14分)如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台P, 已知射线AB, AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过3干米), 在两条公路AB,AC上分別设立游客上下点M, N, 从观景台P到M, N建造两条观光线路PM, PN, 测得AM = 3干米, AN = 3干米.(1) 求线段MN的长度;(2) 若∠MPN = 60°, 求两条观光线路PM与PN之和的最大值.18. (本小题满分16分)已知椭圆: x2a2＋y2b2=1 (a>b>0)的离心率为22, 点N(2,0)为椭圆的右顶点.(1) 求椭圆的方程;(2) 过点H(0, 2)的直线l与椭圆交于A, B两点, 直线NA与直线NB的斜率和为一13,求直线l的方程.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x +x2-x,g(x)=x2+ax+b, a,b∈R.(1) 当a=1时,求函数F(x)=f(x)－g(x)的单调区间;(2) 若曲线y=f(x)－g(x)在点(1, 0) 处的切线为: x+y-1=0, 求a , b的值;(3) 若f(x)≥g(x)恒成立, 求a+b的最大值.20. (本小题满分16分)记无穷数列{a n}的前n项a1, a2,…,a n的最大项为A n, 第n项之后的各项a n+1, a n+2…的最小项为B n, b n= A n－B n.(1)若数列{a n}的通项公式为a n = 2 n2－7n+6, 写出b1, b2, b3;(2)若数列{b n}的通项公式为b n=－2n, 判断{a n+1－a n}是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说明理由;(3)若数列{b n}为公差大于零的等差数列, 求证: {a n+1－a n}是等差数列.数学附加题参考答案 2020.5【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4－2:矩阵与变换]21.在平面直角坐标系xOy 中, 直线x ＋y －2=0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 2 对应的变换作用下得到的直线仍 为x ＋y －2=0,求矩阵A .[选修4－4:极坐标与参数方程]22.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ = π3(ρ∈R ).以极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝1－2cos α，（α为参数). 求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标[选修4－5:不等式选讲]23.已知x,y,z均为正数，且1x＋1＋1y＋1＋1z＋1≤32，求证: x＋4y＋9z≥0.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24. 如图,在三棱锥D－ABC中, DA⊥平面ABC, ∠CAB=90°, 且AC=AD=1, AB=2, E为BD的中点.(1) 求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2) 求二面角A－CE－B的余弦值.25. 在自然数列1,2,3,…,n 中, 任取k 个元素位置保持不动, 将其余n －k 个元素变动位置, 得到不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为P n (k ). (1) 求P 3(1)； (2) 求∑k ＝04P 4 (k )；(3) 证明∑k ＝0nk P n (k ) = k ∑k ＝0n -1P n －1(k ), 并求出k P n (k )的值.。
江苏省苏州市2019—2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷(含答案)
江苏省苏州市2019—2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1江苏省苏州市2019-2020学年度第一学期高三期初调研考试数学试题2019．9第I卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，3}，B＝{3，9}，则A B＝．2．如果复数23bii-+(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于．3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为．次数12345得分33302729314．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a，b分别为2，3时，最后输出的b的值为．6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．第5题 第7题8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为 ． 9．若()y f x =是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0，+∞)时，sin [0, 1)()(1)[1, )x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6f π--＝ ． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足()(OA OB CA +⋅-)CB ＝0，则CO AB ⋅＝ ．11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝23．点P 是圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ． 13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sin A 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点． （1）求证：AB 1∥平面PBC 1； （2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分）已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++．（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y ＝kx 交椭圆C 于A 、B 两点，在直线l ：x ＋y ﹣3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求实数k 的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A 点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，()ln g x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A (0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x --<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面；当n为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ． （1）求点P(1，1)在T 作用下的点P ′的坐标；（2）求曲线C ：y ＝x 2在变换T 的作用下所得到的曲线C′的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩（a ＞0，θ为参数），点P 是圆C 上的任意点，若点P 到直线的距1，求实数a 的值．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++≤m ”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322nn m n mS ++<+-．参考答案1.{1，3，9}2.13.44.56 5.2 6. 5 7.4 8.-5 9.12 10.411.1或85 12.[4,16] 13.[1,2]⋃[72,+∞). 14.21515.16.17.18.19.20.A22.。
江苏省苏州市2019-2020学年中考五诊数学试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年中考五诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞32．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=03．如图，在△ABC中，AB=AC,点D是边AC上一点，BC=BD=AD,则∠A的大小是（）．A．36°B．54°C．72°D．30°4．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．15 B．17 C．19 D．245．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x36．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC 于点E，则DE的长是( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.57．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A ．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查B ．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查C ．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查 8．下列运算正确的是（ ）A ．a 2·a 3﹦a 6B ．a 3+ a 3﹦a 6C ．|－a 2|﹦a 2D ．(－a 2)3﹦a 6 9．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点1(,3)A x 、2(,6)B x 都在反比例函数3y x=-的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ） A ．120x x <<B ．120x x <<C ．210x x <<D ．210x x <<11．下面四个立体图形，从正面、左面、上面对空都不可能看到长方形的是( )A ．B ．C ．D ．12．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3）B ．（1，﹣3）C ．（2，2）D ．（5，﹣1）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．新定义[a ，b]为一次函数（其中a≠0，且a ，b 为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程的解为 ．14．如图，线段AC=n+1（其中n 为正整数），点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ，连接AM 、ME 、EA 得到△AME ．当AB=1时，△AME 的面积记为S 1；当AB=2时，△AME 的面积记为S 2；当AB=3时，△AME 的面积记为S 3；…；当AB=n 时，△AME 的面积记为S n ．当n≥2时，S n ﹣S n ﹣1= ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为_____．16．如图，随机闭合开关1K ，2K ，3K 中的两个，能让两盏灯泡1l 和2l 同时发光的概率为___________．17．某校广播台要招聘一批小主持人，对A 、B 两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示： 应聘者 专业素质 创新能力 外语水平 应变能力 A 73 85 78 85 B81828075如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）18．如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为______米（结果保留根号）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x=的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .求m ，k ，b 的值；求四边形ABCD 的面积.20．（6分）计算：（12）﹣2﹣327+（﹣2）0+|2﹣8| 21．（6分）计算: 021( 3.14)()3p --+-|12|4cos30-+o .22．（8分）先化简代数式211a a a a a +⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a 的值代入求值． 23．（8分）近年来，共享单车服务的推出（如图1），极大的方便了城市公民绿色出行，图2是某品牌某型号单车的车架新投放时的示意图（车轮半径约为30cm ），其中BC ∥直线l ，∠BCE=71°，CE=54cm ． （1）求单车车座E 到地面的高度；（结果精确到1cm ）（2）根据经验，当车座E 到CB 的距离调整至等于人体胯高（腿长）的0.85时，坐骑比较舒适．小明的胯高为70cm ，现将车座E 调整至座椅舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm ） （参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）24．（10分）如图，已知一次函数y 1=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两点，与坐标轴交于M 、N 两点．且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出y 1＞y 1时x 的取值范围．25．（10分）现有四张分别标有数字1、2、2、3的卡片，他们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率（ ） A ．58B ．38C ．1116D ．1226．（12分）先化简：（1111x x --+）÷221x x +-，再从﹣2，﹣1，0，1这四个数中选择一个合适的数代入27．（12分）如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于点A （－3，m ＋8），B （n ，－6）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；求△AOB 的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x 2＋bx ＋c 与x 轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）, 所以当y ＜0时,x 的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x ＜1． 故选B ．考点：二次函数的图象．106144 2．D 【解析】试题分析：根据题意得a≠1且△=2440ac -≥，解得4ac ≤且a≠1．观察四个答案，只有c ＝1一定满足条件，故选D ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义． 3．A 【解析】 【分析】由BD=BC=AD 可知，△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x ，则∠C=∠CDB=2x ，又由AB=AC 可知，△ABC 为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x ．在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x ，则∠C=∠CDB=2x ． 又∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x ．在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，即∠A=36°． 故选A ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解． 4．D 【解析】 【分析】由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n 个图案有三角形4（n ﹣1）个（n ＞1时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形1+3＝4个， 第③个图案有三角形1+3+4＝8个， …∴第n 个图案有三角形4（n ﹣1）个（n ＞1时）， 则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个， 故选D ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n ＝4（n ﹣1）是解题的关键． 5．B 【解析】分析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案． 详解：A 、不是同类项，无法计算，故此选项错误； B 、235x x x ⋅=， 正确； C 、()326x x -=-，故此选项错误； D 、624x x x ÷=， 故此选项错误； 故选：B ．点睛：此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．6．C【解析】【分析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.【详解】连接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2.则DE=2.【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.7．D【解析】【详解】A．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择抽样调查，故A不符合题意；B．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择抽样调查，故B不符合题意；C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选普查，故C不符合题意；D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故D符合题意；故选D．8．C【解析】【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】a2·a3﹦a5，故A项错误；a3+ a3﹦2a3，故B项错误；a3+ a3﹦- a6，故D项错误，选C.【点睛】本题考查同底数幂加减乘除及乘方，解题的关键是清楚运算法则.9．A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误，故选A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.10．A【解析】分析：根据反比例函数的性质，可得答案．详解：由题意，得k=-3，图象位于第二象限，或第四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∵3＜6，∴x1＜x2＜0，故选A．点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．11．B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形的图形．【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误；B、主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为圆，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；C、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；D、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题重点考查三视图的定义以及考查学生的空间想象能力．12．C【解析】【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=32＞0，符合题意；D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．.【解析】试题分析：根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0，解得：m=-2，则分式方程为，去分母得：2-（x-1）=2（x-1）， 去括号得：2-x+1=2x-2， 解得：x=，经检验x=是分式方程的解考点：1.一次函数的定义；2.解分式方程；3.正比例函数的定义． 14．2n 12- 【解析】 连接BE ，∵在线段AC 同侧作正方形ABMN 及正方形BCEF ， ∴BE ∥AM ．∴△AME 与△AMB 同底等高． ∴△AME 的面积=△AMB 的面积． ∴当AB=n 时，△AME 的面积为2n 1S n 2=，当AB=n －1时，△AME 的面积为()2n 1S n 12=-． ∴当n≥2时，()()()22n n 11112n 1S S n n 1=n+n 1n n+1=2222---=----15．32或34【解析】试题分析：如图4所示；点E 与点C′重合时．在Rt △ABC 中，22AB AC -．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE ．则EB=2．设DC=ED=x ，则BD=4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2=DB 2，即x 2+22=（4﹣x ）2．解得：x=32．∴DE=32．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC ﹣DC=4﹣3=4．∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴14DE DB AC CB ==，即134ED =．解得：DE=34．点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．16．1 3【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：由树状图得：共有6种结果，且每种结果的可能性相同，其中能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关为：K1、K3与K3、K1共两种结果，∴能让两盏灯泡同时发光的概率21 ==63，故答案为：13．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．17．A A的平均成绩高于B平均成绩【解析】【分析】根据表格求出A,B的平均成绩,比较大小即可解题.【详解】解：A 的平均数是80.25,B 的平均数是79.5,∴A 比B 更优秀,∴如果只招一名主持人，该选用A ；依据是A 的平均成绩高于B 平均成绩.【点睛】本题考查了平均数的实际应用,属于简单题,从表格中找到有用信息是解题关键.18．1002． 【解析】解：如图，连接AN ，由题意知，BM ⊥AA'，BA=BA'，∴AN=A'N ，∴∠ANB=∠A'NB=45°，∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=∠ANB ﹣∠AMB=22.5°=∠AMN ，∴AN=MN=200米，在Rt △ABN 中，∠ANB=45°，∴AB=22AN=1002（米），故答案为1002．点睛：此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠ANB=45°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）3m =，32k =，32b =.（2）6 【解析】【分析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.【详解】解：（1）∵点(1,)A m 在3y x=上， ∴3m =，∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2B --.∵y kx b =+过A ，B 两点，∴33 22 k bk b+=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3m=，32k=，32b=.（2）如图，延长AD，BC交于点E，则90E∠=︒.∵BC y⊥轴，AD x⊥轴，∴(1,0)D，3(0,)2C-，∴92AE=，3BE=，∴ABE CDEABCDS S S∆∆=-四边形1122AE BE CE DE=⋅⋅-⋅⋅1913312222=⨯⨯-⨯⨯6=.∴四边形ABCD的面积为6.【点睛】考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.20．2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式以及立方根的运算法则分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4﹣﹣2＝．【点睛】本题考查实数的运算，难点也在于对原式中零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式以及立方根的运算化简，关键要掌握这些知识点．21．10【解析】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及绝对值的化简、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】原式=1+9-=10-=10.【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.22．11 aa+-,1【解析】【分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【详解】原式＝22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-＝11aa+-，当a＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【点睛】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.23．（1）81cm；（2）8.6cm；【解析】【分析】（1）作EM⊥BC于点M，由EM=ECsin∠BCE可得答案；（2）作E′H⊥BC于点H，先根据E′C='E Hsin ECB∠求得E′C的长度，再根据EE′=CE′﹣CE可得答案．【详解】（1）如图1，过点E作EM⊥BC于点M．由题意知∠BCE=71°、EC=54，∴EM=ECsin∠BCE=54sin71°≈51.3，则单车车座E到地面的高度为51.3+30≈81cm；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥BC于点H．由题意知E′H=70×0.85=59.5，则E′C='E Hsin ECB∠=59.571sin︒≈62.6，∴EE′=CE′﹣CE=62.6﹣54=8.6（cm）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．24．（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4【解析】试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,（1）在一次函数y1=﹣x+1中，当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；（3）根据图象可得，当y 1＞y 1时，x 的取值范围为：x ＜﹣1或0＜x ＜4考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积25．A【解析】分析：根据题意画出树状图，从而可以得到两次两次抽出的卡片所标数字不同的情况及所有等可能发生的情况，进而根据概率公式求出两次抽出的卡片所标数字不同的概率.详解：由题意可得，两次抽出的卡片所标数字不同的概率是：105168=， 故选：A ． 点睛：本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m 除以所有等可能发生的情况数n 即可,即m P n=. 26．22x +，1． 【解析】【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可．【详解】原式=1111x x x x +--+-（）（）（）（）•112x x x +-+（）（） =211x x +-（）（）•112x x x +-+（）（）=22x+．∵由题意，x不能取1，﹣1，﹣2，∴x取2．当x=2时，原式=22x+=202+=1．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．27．（1）y=-6x，y=-2x-1（2）1【解析】试题分析：（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．试题解析：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，=m+8，解得m=﹣6，m+8=﹣6+8=2，所以，点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣，将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，解得n=1，所以，点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，，解得，所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣1；（2）设AB与x轴相交于点C，令﹣2x﹣1=0解得x=﹣2，所以，点C的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S△AOB=S△AOC+S△BOC，=×2×3+×2×1，=3+1，=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。
江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷数学试题(解析版)
苏州市2019届高考信息卷数学Ⅰ（试题）一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =____.【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ．【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75-⨯+=所以全团抽取的人数为：212(0.75)6÷⨯＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_______．【答案】4【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：133130,3,,,1,,,22244k a q a k a =====<= 313313312,,,3,,,4,,4488416164k a k a k =<==<==<成立，输出4k =考点：程序框图5.设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为_______． 【答案】1﹣8π【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式求事件A 发生的概率.【详解】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形， 其面积为24=8⨯.设事件A 发生的概率为P ，故P ＝88π-＝1﹣8π．故答案为：1﹣8π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知ABC ∆的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____. 【答案】2π【解析】 【分析】根据正弦定理化简边角关系可得cos sin C B =，从而可知0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据大边对大角的关系可知0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求得2B C π+=；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B = cos 0C ∴> 0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又a b > A B ∴> 0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭由cos sin C B =得：sin sin 2C B π⎛⎫-=⎪⎝⎭2C B π∴-=，即2B C π+=()2A B C ππ∴=-+=本题正确结果：2π 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.7.已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出3a 的值，再求5a 的值. 【详解】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f ==∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a >所以解得a ．故答案【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学最后模拟卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称的等价条件，得到7,8k k ϕππ=+∈Z ，分析即得解. 【详解】若函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，则3,82k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ， 解得7,8k k ϕππ=+∈Z ， 故“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的充分不必要条件．故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D 【解析】 【分析】用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系．3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 4．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】{}()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =，又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p pDP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C. 【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．6．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 7．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=-⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．8．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13【答案】D 【解析】 【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量 158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r ，DF FC =u u ur u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C 【解析】 【分析】将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r ，再利用投影公式AD AB AB⋅u u u r u u u r u u u r 可得答案. 【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u ur u u u r ， 得6AD AB ⋅=u u u r u u u r，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u ru u ur . 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r用向量AD u u u r 和AB u u u r表示是关键，是基础题. 10．设1,0(){2,0xx x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．11．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.12．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
苏州市2019~2020学年第一学期高三期初调研试卷高三数学答案
所以当 x 0 时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递增；当 x 0 时， F '( x) 0 ， F ( x) 单调递减；
所以 F ( x) = F (0) = 0 ，由最小值定义得 F ( x)≥ F ( x) = 0 ，即 ex ≥ x +1， ……12 分
min
min
Tn
= T4k −1
=
S2k −1
+
M2k
=
(2k
− 1)2
+
2k 5(8k +
5)
=
(n
−1)2 4
+
n +1 10(2n +
7)
.
综上所述：
当
n
=
2k
时， Tn
=
n2 4
+
n 10(2nຫໍສະໝຸດ + 5)；
当n
=
4k
− 3 时， Tn
=
(n +1)2 4
+
n− 10(2n
1 +
3)
；
当
n
=
4k
−1时， Tn
2019～2020 学年第一学期高三期初调研试卷
数学(I 卷)参考答案
2019.9
一、填空题：
1．{1,3,9} 2．1
9．
1 2
10． 4
二、解答题．
3．4
4．
5 6
5． 2
11．1
或
8 5
12． [4,16]
6． 5 7． 4 8．－5
13．1≤
a
≤
2
或
苏州三校数学参考答案
2 1 - 1 163 2 2 2 2019—2020 学年第二学期 5 月调研测试参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．{ 2，0} 2．5+12i 3．5 4．17 5.91 6．- π7．12 8． 25 56 9．337 10． 3 + 211. 12 18 + 12 12. 3 13.14.( 1 + 1 , 2 ) U {1 + 5} 2 e 6 3 e 6二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵ m ∥ n ，∴ c cos B = (4a - b ) cos C ， ........................................................ 2 分由正弦定理，得sin C cos B = (4sin A - sin B ) cos C ，化简，得sin(B + C ) = 4sin A cos C ﹒ ........................................ 4 分 ∵ A + B + C = p ，∴ sin A = sin(B + C ) ﹒又∵ A ∈(0, p ) ，∵sin A > 0 ，∴ cos C = 1． ................................6 分 4（2）∵ C ∈(0, p ) ， cos C = 1，∴sin C = 4 = = 15 ． 4∵ S = 1 ab sin C = 15，∴ ab = 2 ﹒① ..................................... 9 分2 4∵ c = ，由余弦定理得3 = a 2 + b 2 - 1ab ，2∴ a 2 + b 2 = 4 ，② ..................................................... 12 分 由①②，得 a 4 - 4a 2 + 4 = 0 ，从而 a 2 = 2 ， a = ± （舍负），所以b = ，∴ a = b = ． ....................................................... 14 分16．证明：（1）连结 AC 1 ，设交 A 1C 于点O ，连结OD ．∵四边形 AA 1C 1C 是矩形，∴ O 是 AC 1 的中点． ............................ 2 分在△ ABC 1 中， O ， D 分别是 AC 1 ， AB 的中点，∴ OD ∥ BC 1 ． ........................................................ 4 分又∵ OD ⊂ 平面 A 1CD ， BC 1 ⊄ 平面 A 1CD ，∴ BC 1 ∥平面 A 1CD ． ............................................... 6 分 （2）∵ CA = CB ， D 是 AB 的中点，∴ CD ⊥ AB ﹒又∵在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，底面 ABC ⊥侧面 AA 1B 1B ，交线为 AB ，22 1 - cos 2 C1= = πCD ⊂ 平面 ABC ，∴ CD ⊥ 平面 AA 1B 1B ﹒ ................................ 8 分∵ AP ⊂ 平面 A 1B 1BA ，∴ CD ⊥ AP ． ....................................9 分∵ BB = 2BA ， BB = AA ， BP = 1BB ，1 1 14 1∴ BP =2 = AD ， ∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A AD ，BA 4 AA 1从而∠ AA 1D =∠ BAP ，所以∠ AA 1D +∠ A 1 AP =∠ BAP +∠ A 1 AP = 90︒ ，∴ AP ⊥ A 1 D ． ....................................................... 12 分又∵ CD A 1 D = D ， CD ⊂ 平面 A 1CD ， A 1D ⊂ 平面 A 1CD∴ AP ⊥ 平面 A 1CD ． .................................................. 14 分16. 解：设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为 S 1, S 2 ．方案①设 AE = x ，则 S 1 = ⨯(30 - x ) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分21 ⎡ x + (30 - x )⎤2≤ 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ 225（当且仅当 x 15 时，“=”成立）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 2方案②设∠BAE =θ，则 S = 100 sin θ(1+ cos θ),θ∈⎛ 0,π⎫ ． ．．．．．．．．．．．．．．．．8 分2 2 ⎪⎝ ⎭由 S ' = 100 (2 cos 2 θ+ cos θ-1) = 0 得， cos θ= 1（ cos θ= -1 舍去）．．．．．．．．．．10 分22因为θ∈⎛ 0,π⎫，所以θ= π，列表： 2 ⎪ 3⎝ ⎭θ⎛ 0,π⎫ 3 ⎪ ⎝ ⎭π3⎛π,π⎫3 2 ⎪ ⎝ ⎭' S 2 +0 -S 2极大值所以当θ=时， (S 2 ) 3max= 75 ． ．．．．．．．．．．．．．12 分3 14 2 22225因为2< 75π ，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE =．3答：方案①，②苗圃的最大面积分别为225m2 , 75 3m2 ，建苗圃时用方案②，且2π∠BAE=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分3【注：不作答，不写单位分别扣1 分】18．解：（1） x+y= 14 2…………4 分（i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为y =kx(k > 0) ．⎧y =kx⎪2由⎨x2⎪⎩ +y2=得x =±．....................................... 6 分1+ 2k 2记u =，则P(u, u k ), Q(-u, -uk ), E(u, 0) ．1+ 2k 2于是直线QG 的斜率为k 2⎧y =k(x -u),，方程为 y =k(x -u) ．2⎪ 2 2 22 2 2由⎨x2 y2 得(2 +k )x -2uk x +k u - 8 = 0 ．①⎪+= 1⎪⎩42设G(x G , y G ) ，则-u 和x G 是方程①的解，故 x G = u(3k 2 + 2)2 +k 2uk 3，由此得y G =2 +k 2．…………8 分uk 32 +k 2-uk =-1从而直线PG 的斜率为u(3k 2 + 2) k．2 +k 2-u所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ............................. 10 分（ii）由（i）得| PQ |= 2u | PG |=2 +k 2，所以△PQG 的面积S =1| PQ‖PG |=8k(1 +k 2)8(1+k)=k ． .................... 12 分2 (1 + 2k 2 )(2 +k 2 ) 1+ 2( 1 +k)2k31+k22uk k 2 +111 21 设 t =k + k，则由 k >0 得 t ≥2，当且仅当 k =1 时取等号．因为 S = 8t1 + 2t 2在[2，+∞）单调递减，所以当 t =2，即 k =1 时，S 取得最大值，最大值 为16 ．因此，△PQG 面积的最大值为16． ............................ 16 分 9 919. 解：（1） f ' (x ) = 3x 2 - 6x + a = 3(x - 1) 2 + a - 3.当 a ≥ 3 时， f ' (x ) ≥ 0 ，所以 f (x ) 的单调增区间为(-∞,+∞) ,无减区间；当 a < 3 时，令 f ' (x ) > 0 ，得 x < 1 -或 x > 1 + ,所以 f (x ) 的单调增区间为(-∞,1 -3 - a ) 和(1 + 3 3 - a,+∞) ，减区间为(1 - 33 - a ,1 + 3 3 - a ) . 3 综上：当 a ≥ 3 时， f (x ) 的单调增区间为(-∞,+∞) ,无减区间当 a < 3 时， f (x ) 的单调增区间为(-∞,1 -3 - a ) 和(1 + 3 3 - a ,+∞) ， 3减区间为(1 -3 - a ,1 + 3 3 - a ) ...............................................4 分 3(2)因为 f (x ) 的两个极值点 x ，x ，由（1）知，当 a < 3 时，a = -3x 2 + 6x ，a = -3x 2 + 6x ，121122且 x 1 = 1 -，x 2 = 1 +，则 x 1 + x 2 = 2，x 1 x 2 = a ，因此0 < x 1 < 1 < x 2 < 2 ，所以0 < a < 3 ............................................................................................................. 6 分 ①因为 f (x ) 在[0, x 1 ]，[x 2 ,2] 上单调递增，在[x 1 , x 2 ] 上递减， 所以 f (x 1 ) > f (0) = 0, f (x 2 ) < f (2) = 2a - 4 . 由 于 f (x ) + f (x ) = x 3 - 3x 2 + ax + x 3 - 3x 2 + ax12111222= (x 1 + x 2 )(x 2 - x 1 x 2 + x 2 ) - 3[(x 1 + x 2 ) 2- 2x 1 x 2 ] + a (x 1 + x 2 )= (x 1 + x 2 )[(x 1 + x 2 ) 2 - 3x 1 x 2 ] - 3[(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] + a (x 1 + x 2 )= 2(22 - 3a ) - 3(22 - 2a ) + 2a = 2a - 4 = f (2)即 f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (2) ........................................................................................ 10 分②因为函数 g (x ) =| f (x ) | - | f (x 1 ) | 在区间[0，2]上有且只有一个零点，所以 y =| f (x ) | 在3 - a33 - a 3 3 - a 33 - a3区间[0，2]上只有唯一的最大值| f (x 1 ) |= f (x 1 ) .......................................................... 12 分⎧ f (x 2 故由⎨ ) ≥ 0 ⎧ f (x 2 ) < 0 （由①知不成立，故舍去）或⎪f (x ) > f (2) ⎧ f (x 2 （即⎨ ) < 0 ） f (x ) > f (2) ⎨ 1 2a - 4 > 0 ⎩ 1 ⎪ f (x ) > - f (x )⎩ ⎩ 12 由 f (x ) = -2x3 + 3x 2 < 0 ，解得 3 < x < 2 ，代入 a = -3x 2+ 6x ，得0 < a < 9 ,2 2 2 2 2 2 24由 2a - 4 > 0 ，得 a > 2 ，所以 2 < a < 9 ................................................................16 分4【注：①中还可以用降次的方法处理】 20.解：（1）因为a 1 = 1, q = 2 ，所以 S n = 2n- 1 ， ......................... 1 分 假设{a n }是否为 D (2)为数列，则当 n ＞2 时，则 S n +2 + S n -2 = 2(S n + S 2 ) 成立，但n = 3 时， S 5 + S 1 = 32 , 2(S 3 + S 2 ) = 20 ， S 5 + S 1 ≠ 2(S 3 + S 2 ) ，所以假设不成立， {a n }不是为 D (2)为数列 ................................................... 3 分 (2) 设{a n }的公差为 d ，则 a n = 1 + (n - 1)d ，因为{a n }是“D (3)数列”，则∀n > 3, S n +3 + S n -3 = 2(S n + S 3 )即a n +1 + a n +2 + a n +3 - (a n -2 + a n -1 + a n ) = 2S 3 ，所以 9d =2(3+3d )，即 d =2 ..................................................................................................... 7 分 (3) 数列{a n }既是“D (2)数列”，又是“D (3)数列”，⎧∀n > 2, S n +2 + S n -2 = 2(S n + S 2 ) ① 所以⎨⎩∀n > 3, S n +3 + S n -3 = 2(S n + S 3 ) ②②-①得： ∀n > 3, a n +3 - a n -2 = 2a 3 ，⎧∀n > 3, S n +3 + S n -1 = 2(S n +1 + S 2 ) ③ ⎨⎩∀n > 4, S n +4 + S n -2 = 2(S n +1 + S 3 ) ④④-③得： ∀n > 4, a n +4 - a n -1 = 2a 4 ， ....................................... 9 分又③-①得： ∀n > 3, a n +3 + a n -1 = 2a n +1 ，④-②得： ∀n > 4, a n +4 + a n -2 = 2a n +1 ， ..................................... 11 分所以 a n -1, a n +1, a n +3 成等差数列，设公差为 d 1， a n -2 , a n +1, a n +4 成等差数列，设公差为 d 2因此 a n +3 = a n +1 + d 1 ， a n +4 = a n +1 + d 2⎩ 1 c d 1 1 2 c d 2 2 所以 a n +4 - a n +3 = d 2 - d 1 = a n -1 - a n -2 对 n >3 恒成立，即{a n }(n ≥ 2) 成等差数列，设公差为 d ， 在（1）（2）中分别取 n =3,n =4 得：⎧2a 2 - 4d = -2⎨4a - 7d = -2，解得a 2 = 3, d = 2 ，所以a n = 2n - 1......................................... 16 分附加题答案21．解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α ＝ ⎡1⎤可得，⎡3 3⎤ ⎡1⎤ ＝6 ⎡1⎤ ，1 ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 即 c + d = 6 ，……3 分由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α ＝ ⎡3⎤，2 ⎢ ⎥⎣ ⎦可得⎡3 3⎤ ⎡3⎤ ＝ ⎡3⎤，即3c - 2d = -2 ， ……6 分⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧ c = 2 ⎡33⎤ 解得⎨d = 4 ，即 A ＝ ⎢24⎥ ， ……10 分 ⎩ ⎣ ⎦B.解：（1）由ρsin(π－θ)，得ρθ－1sin θ)－13 2 2 2 2 2 2 2化简得 y= 3x － 3，所以直线 l 的直角坐标方程是 y= 3x － 3． ............... 2 分由 x 2 y 2 2 2 x 2 y 2( ) +( 2 ) =cos t +sin t =1，得椭圆 C 的普通方程为 3y= 3x － 3，+ =1．..................... 4 分 4 3 x 2 y 2消去 y ，得x 2+(x －1)2=1， + =1， 4 3 化简得 5x 2－8x =0，解得 x 1=0，x 2=8， ....................................... 8 分5所以 A (0，－ 3)，B (8，，5 则 AB =16． ........................................ 10 分5C.证明：因为 a + b + c = 1，所以(a +1)2+ (b +1)2+ (c +1)2= a 2+ b 2+ c 2+2 (a + b + c ) + 3 = a 2+ b 2+ c 2+ 5 ．2 4→ 所以要证明(a +1)2+ (b +1)2+ (c +1)2≥16， 3即证明 a 2 + b 2 + c 2≥1． .............................................. 5 分3因为 a 2+ b 2+ c 2= (a + b + c )2-2(ab + bc + ca ) ≥ (a + b + c )2- 2 (a 2+ b 2+ c2) ，所以3(a 2 +b 2 +c 2 )≥(a + b + c )2．a 2 +b 2 +c 2≥1因为a +b +c = 1，所以 3 ． 所以(a + 1)2 + (b + 1)2 + (c + 1)2≥16 ． ................................................................ 10 分3→ → →23．解：⑴以{CD ，CB ， CE }为正交基底，建立如图空间直角坐标系 C －xyz ，则 D ( 2，0，0)，F ( 2， 2，1)，E (0，0，1)，B (0， 2，0)，C (0，0，0)，→ → 所以DF ＝(0， 2，1)， BE ＝(0，– 2，1)， ........... 2 分从而 → → –1 1 cos<DF ， BE >＝ ＝－ 3⨯ 3． ……………………4 分 z3 E所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为1． ............. 5 分3F(2)平面 ADF 的法向量为 m ＝CD ＝ ( 2，0，0).……………6 分 CBy→设面 BDF 的法向量为 n = (x ，y ，z )．又BF ＝( 2，0，1)． DA→ →x 由 n · DF ＝0，n · BF ＝0，得 2y ＋z ＝0， 2x ＋z ＝0， 取 x ＝1，则 y ＝1，z ＝– 2，所以 n = (1，1，－ 2)， ....................... 8 分所以 cos<m ，n >＝ 2 ＝1．4⨯ 2 2ππ又因为<m ，n >∈[0，]，所以<m ，n >＝ ．23π所以二面角 A – DF – B 的大小为 ． ....................................10 分 3y ＋1 x 2＋123．解：（1）因为 k 1＝2，所以 0 ＝ 0x 0 x 0＝2，解得 x 0＝1，y 0＝1，所以 P 1 的坐标为(1，1)． ············· 2 分 y ＋1 x 2＋1（2）设 k 1＝2p (p ∈N *)，即＝x 0x 0＝2p ，所以 x 2－2px ＋1＝0，所以 x ＝p ± p 2－1． ··············· 4 分x nny n ＋1 x 2n ＋1 n 10 0 因为 y ＝x 2，所以 k ＝ ＝ ＝x ＋ ， 0 0 nn0 n 0 n 0所以当 x 0＝p ＋ p 2－1时，k n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋( 1)n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋(p － p 2－1)n ． ······ 6 分p ＋ p 2－1同理，当 x 0＝p － p 2－1时，k n ＝(p ＋ p 2－1)n ＋(p － p 2－1)n ． m①当 n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝2 ∑ C 2k p n －2k (p 2－1)k ，所以 k n 为偶数． k =0 m②当 n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2 ∑ C 2k p n －2k (p 2－1)k ，所以 k n 为偶数． k =0综上， k n 为偶数． ·························· 10 分 ：x x。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图2．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152 B ．512C ．512D ．512或512【答案】C 【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=，因为数列各项都是正数，所以12q +=，而34451a a a a q +===+，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q，代入即可得结果. 3．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +„，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【详解】由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +„．设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x'=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1h x h ==． 所以min ()1a h x =„． 故a 的取值范围是(,1]-∞． 故选：B 【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.5．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题. 6．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.7．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．8．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+【答案】C 【解析】 【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--，故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.9．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 【答案】C 【解析】 【分析】根据该厂每年产量未知可判断A 、B 、D 选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A 、B 、D 选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.11．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题12．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ） A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】 推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 3．已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b r r 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D【解析】【分析】 根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r 以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=r r r r . 将a b λ=r r 代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）. 故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.4．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．3B ．3CD ．【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ， 可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC AG ==︒， 即23BC = 由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴…．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯= 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=； 1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B【解析】【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.7．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 2【答案】D【解析】试题分析：11 1ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．193B．4 C．254D．132【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M的值，当3x=，1943M=>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x=，0M=；23x=，23M=；12x=-，16M=；3x=，196M=；23x=，236M=；12x=-，103M=；3x=，1943M=>，退出循环，输出结果为193，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A县的分法有（）A．6种B．12种C．24种D．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】【分析】【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ， ∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t =，即'()0g t =， 又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．故选B ．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．11．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβPB ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβPC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错；故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 12．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】考点：程序框图． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2|sin |2()61x f x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A . 【详解】因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x --===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ==++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ==+426164ππ+42616444>-+46662425=>-=-=由图象知,排除D .故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x = D ．3y x =【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】Q 双曲线2212y x -=, ∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.4．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠，若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立，若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件，故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.5．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】【分析】根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D ．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 6．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r ，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可.【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，知O 为ABC ∆的重心， 所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ， 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r 2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r ，||362||AB AC λ===u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-【答案】C【解析】【分析】根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：C ．【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B .【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．10．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112 C ．0.114 D ．0.116根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.11．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ） A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭< 【答案】D【解析】【分析】 利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=，故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>.因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<.因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<. 故选：D.【点睛】 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.12．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．212B ．212C 61-D 31- 【答案】D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d =-=312-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--= ⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 2．已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】C 【解析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，则312,,222AEa EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅ 222312()()()32223312()()a a a a a +-==⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角．3．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 4．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案. 【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.5．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13【答案】D 【解析】 【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量 158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.6．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) A ．π B ．2πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1=4π,x 2=π, |x 1-x 2|=π,|y 1-y 2|=|πsinx 1-πcosx 2| =22π+22π =2π, ∴|MN|==π.故选C.7．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.9．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.10．设向量a r ，b r 满足2=r a ，1b =r ，,60a b =o r r ，则a tb +r r 的取值范围是A．)+∞B．)+∞C．⎤⎦D．⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式求解即可. 【详解】a tb +===≥r r当1t =-时取等号，所以本题答案为B. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.11．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.12．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市吴江区2020届高三数学下学期五月统考试题含解析
在 中，由正弦定理得，
．
所以 ， ，
因此
,
因为 ,所以 ．
所以当 ，即 时， 取到最大值6．
答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．
【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题。
18。已知椭圆 的离心率为 ,点 椭圆的右顶点.
19。已知函数 , ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间;
（2）若曲线 在点(1，0）处的切线为l：x＋y－1＝0，求a,b的值；
（3）若 恒成立,求 的最大值．
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） ;（3） .
【解析】
【分析】
（1）先求导数 ,令 可得增区间,令 可得减区间;
（2）求导数，结合切线方程可求a，b的值；
10.如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点,则三棱锥 的体积为.
【答案】
【解析】
试题分析： 。
考点：1.三棱锥的体积;2.等体积转化法.
11.已知x，y为正数,且 ，则 的最小值为________。
【答案】7
【解析】
【分析】
由题设等式有 ，利用基本不等式可求 的最小值,从而可得 的最小值。
所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ；
当 时, ，所以 ，此时无解;
当 时， ，所以 ，解得 ；
故答案为ห้องสมุดไป่ตู้ 。
【点睛】本题主要考查函数的性质和等比数列的性质，发现 恒成立是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养。
二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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江苏省苏州市2019-2020学年高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，所以正切值取值范围是3⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．2．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为313824122422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.3．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎡⎢⎣⎭ B．(2⎤⎦C．1⎤⎥⎝⎦D．(1⎤⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据22PQ OF =可得四边形12PFQF 为矩形, 设1PF n =,2PF m =,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析=+m n t n m的取值范围,进而求得()222422c a c <≤-再求离心率的范围即可. 【详解】设1PF n =,2PF m =,由1>0x ,10y >,知m n <,因为()11,P x y ,()11,Q x y --在椭圆C 上,222PQ OP OF ==, 所以四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ；由113QF PF ≥,1m n≤<,由椭圆的定义可得2m n a +=,2224m n c +=①, 平方相减可得()222mn a c=-②,由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m ,令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦,即()2224232c a c <≤-,所以()222223a c c a c -<≤-,所以()22211e e e -<≤-,所以2142e <≤-解得12e <≤. 故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 4．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】21ln ()2()xf x x e x-'=--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值21()f e e a e=+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e<+． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．5．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】 【分析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，， ∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 7．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】 根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mn x n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 8．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.9．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 10．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2【答案】A 【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）； 故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．11．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.12．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则2,233AD AM AD ===，PM ∴==，1312P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ，则1443P ABC O ABC V V --==⨯，解得：12r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ， 则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，2213R R ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，解得4R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。