学生可用版因式分
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
专题14.2 因式分解(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题汇编章节复习知识
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.2 因式分解（专项拔高30题）考试时间：90分钟试卷满分：120分难度：0.49姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）1．（2分）（2023春•电白区期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．3xy2＝3x⋅y2B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）C．x2+x+2＝x（x+1）+2 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣12．（2分）（2022秋•高青县期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣4，乙与丙相乘的积为x2﹣2x，则甲与丙相乘的积为（）A．2x+2 B．x2+2x C．2x﹣2 D．x2﹣2x3．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣184．（2分）（2022秋•两江新区期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．以下说法：①分解因式：x2y+x2﹣y﹣1＝（x2﹣1）（y+1）＝（x+1）（x﹣1）（y+1）；②若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ac+ab+bc，则△ABC为等边三角形；③若a，b，c为实数且满足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，则这三边能构成三角形；正确的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．05．（2分）（2023春•曲阳县期末）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（2分）（2022秋•白云区期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣2a+4 B．a2+2a﹣1 C．a2+a﹣1 D．a2﹣4a+47．（2分）（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种8．（2分）（2022秋•林州市校级期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x ﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南9．（2分）（2022秋•南安市期末）已知a＝﹣x+2021，b＝﹣x+2022，c＝﹣x+2023，那么，代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．310．（2分）（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．1011．（2分）（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15 D．16评卷人得分二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）（2023春•汉寿县期中）已知4x2+2（k+1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝．（2分）12．13．（2分）（2023春•新田县期中）已知x2﹣x﹣1＝0，则代数式﹣x3+2x2+2022的值为．14．（2分）（2023春•新晃县期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为（x+9）（x﹣2）；乙看错了n，分解结果为（x﹣5）（x+2），则正确的分解结果为．15．（2分）（2023春•双流区期中）已知：△ABC的三分别边为a、b、c；且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），则△ABC的形状．16．（2分）（2022秋•合肥期末）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．17．（2分）（2022春•桃江县期末）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．18．（2分）（2022秋•济宁期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．19．（2分）（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．20．（2分）（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca的值为．评卷人得分三．解答题（共10小题，满分80分）21．（6分）（2023春•成县期末）因式分解．（1）y+（y﹣4）（y﹣1）；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．22．（6分）（2022秋•嘉峪关期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．23．（6分）（2022秋•宛城区校级期末）阅读以下文字并解决问题：【方法呈现】形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1．【尝试应用】（1）利用“配方法”因式分解：x2+2xy﹣3y2．（2）求代数式x2﹣14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．24．（8分）（2023春•铁西区月考）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）填空：x2﹣+49＝（x﹣7）2；；（2）利用配方法分解因式：x2﹣2x﹣24（注意：用其它方法不给分）；（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+3有最大值，并求出这个最大值．25．（8分）（2023春•吉安县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．26．（8分）（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②洪淇发现：2024是“神秘数”．27．（8分）（2023春•滕州市期末）阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加一项a2，使其一部分成为完全平方式，再减去a2项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：（1）因式分解：①x2﹣4x+3；②（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3．（2）拓展：因式分解：x4+4．28．（10分）（2023春•贵州期末）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①；【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3﹣b3＝（结果写成整式的积的形式）【知识运用】已知a﹣b＝4，ab＝3，求a3﹣b3的值．29．（10分）（2023春•兴庆区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝．（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG 和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？30．（10分）（2022秋•平城区校级期末）综合与实践如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．。
多项式的因式分解(学生版)2021-2022学年七年级数学下册同步讲义(苏科版)
第9章 整式乘法与因式分解 9.5 多项式的因式分解课程标准课标解读了解公式的几何背景，并能利用公式进行因式分解。
1.理解并掌握提公因式法分解因式；2.理解并掌握公式法分解因式。
1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。
3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。
4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。
确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。
5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。
（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0） 【即学即练1】1.分解因式：18a 3b +14a 2b ﹣2abc ．2．分解因式：（x ﹣2y ）（2x ＋3y ）﹣2（2y ﹣x ）（5x ﹣y ）．1.用平方差公式分解因式：))((22b a b a b a -+=-（公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式）2.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即：222)(2b a b ab a +=++，222)-(2-b a b ab a =+；公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式。
【微点拨】因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。
专题五 因式分解.doc学生
专题五 因式分解（学生版）教学目标1、掌握因式分解概念与整式乘除的关系。
2、、掌握因式分解常用方法与技巧。
一、 知识回顾 课前热身二、 知识点1、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.热身 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？⑴2(3)(3)9x x x -+=- ；（ ） ⑵2524(3)(8)x x x x +-=-+；（ ）⑶223(2)3x x x x +-=+- ； （ ） ⑷211()x x x x-=- （ ） 知识点2、提取公因式法 用式子表求如下：()ma mb mc m a b c ++=++注：1） 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 2） 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂.热身 二项式15++-n n x x作因式分解的结果，合于要求的选项是( ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x -（C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n知识点3、运用公式法ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 补充：常见的两个二项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数热身 1、（2012兴仁中学一模）因式分解x 2y －4y 的正确结果是 （ ）A ． y （x +2）（x －2）B ． y （x +4）（x －4）C ． y （x 2－4）D ．y （x －2）22、（2012江苏无锡前洲中学模拟）分解因式：269mx mx m -+= 。
专题05 因式分解(学生版)
2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题05 因式分解考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.43姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023春•鼓楼区校级期中）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2．（2分）（2022春•赣榆区期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+1＝x（x+）D．a2b+ab2＝ab（a+b）3．（2分）（2021春•沭阳县期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2C．ma+mb﹣1＝m（a+b）﹣1 D．8x3y2＝2x3•4y24．（2分）（2023秋•平山县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2D．x2+1＝x（x+）5．（2分）（2023春•东台市月考）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（x+3）2＝x2+6x+9 B．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）C．3xy2＝3x•y•y D．x2+2x+2＝x（x+2）+26．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣57．（2分）（2022春•高新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20238．（2分）（2022春•江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．20199．（2分）（2020春•高邮市期末）利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（）A．99×（69+32）＝99×101＝9999B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝19810．（2分）（2023秋•海门市校级月考）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15 D．16评卷人得分二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．12．（2分）（2023春•盐都区期中）4a2b2c，6ab3的公因式为．13．（2分）（2023春•姜堰区期末）如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代数式x2+y2的值是．14．（2分）（2023春•姜堰区期末）已知a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2b+ab2的值是．15．（2分）（2023春•泗洪县期末）已知x+y＝2，x2﹣y2＝4，则x2023﹣y2023＝．16．（2分）（2023春•高新区期中）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在a2+b2＝c2的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题．如图2，分别将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若（c﹣a）（c﹣b）＝18，则a+b﹣c＝．17．（2分）（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．18．（2分）（2022春•海州区校级期末）若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值．19．（2分）（2023春•梁溪区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．（2分）（2023春•鼓楼区校级月考）n为自然数，若9n2+5n﹣26为两个连续自然数之积，则n的值是．20．评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023春•秦淮区校级月考）分解因式（1）9a2（2x﹣y）+（y﹣2x）；（2）（y2﹣y）2+14（y﹣y2）+24．22．（6分）（2023春•宿豫区期末）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2023、5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”；（3）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记．当G（M）是整数，且P（M）＝3时，求出所有满足条件的M．23．（8分）（2023春•新吴区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，请你画出示意图，并根据该图写出对应的乘法公式．24．（8分）（2023春•泗洪县期中）小明同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张，分别标上记号．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个拼图的面积关系写出一个恒等式：；当他拼成如图③所示的一个大长方形时，其长为（a+2b），宽为（a+b），仔细观察图形，可以完成因式分解：a2+3ab+2b2＝．（2）请你利用1张1号纸片，6张2号纸片和5张3号纸片，拼出一个长方形，在下面虚线区域画出图形并仿图③标出边长．（3）根据所画的图形，写出一个恒等式：．25．（8分）（2023春•鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．26．（8分）（2023春•江都区期中）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？27．（8分）（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．28．（8分）（2022春•高新区月考）【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M．【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x*1＝±4x；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方，∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，。
专题 因式分解的应用(和拼图有关)(学生版)
专题32因式分解的应用（和拼图有关）1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．2．我们已经知道，乘法公式可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释其正确性，实际上还有很多代数恒等式也可用这种形式说明其正确性．例如图1可以用来解释：2a(a+b)=2a2+2ab．（1）试写出图2所表示的代数恒等式：；（2）试在图3的方框内画出一个平面图形，使它的面积能表示：(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2．3．阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是________________________．4．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=_____________(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式_____________(3)如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．A．xy=224m n-B．x+y=m C．x2－y2=m·n D．x2+y2=222m n+5．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．6．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释a 2+2ab +b 2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C ．（1）根据图B 完成因式分解：222a ab +=；（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（3）现要拼出一个面积为()(3)a b a b ++的长方形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张．（4）比较图A 中的两个正方形面积之和1S 与两个长方形面积之和2S 的大小关系，并说明理由．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解.（1）图B 可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．9．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式22a ab b++分解因式，其结果是；32(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式22++＝．56a ab b10．阅读下列材料，并解答问题．面积与代数恒等式通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式()2222a b a ab b +=++，人们经常称作用面积解释代数恒等式实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如可用图2表示()()22a b a b a b +-=-．请根据阅读材料，解答下列问题:（1）请写出图3所表示的代数恒等式：；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：()()2222252a b a b a ab b ++=++；（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．11．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，如图1可以验证一个代数恒等式（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ．（1）如图2，用若干张A ，B ，C 的卡片拼成一个长方形面积为（2a +b ）（a +b ），那么需要A ，B ，C 卡片各多少张？（2）如果用1张A ，5张B ，6张C 拼成一个长方形，那么这个长方形的边长分别是和．12．如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类），长为b 、宽为a 的长方形（B 类）及边长为b 的大正方形（C 类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为()()22232a b a b a ab b ++=++．(1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为()()22a b a b ++，画出图形，并根据图形回答：()()22a b a b ++=______________．(2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2256a ab b ++，①你画的图中需C 类卡片___________张；②可将多项式2256a ab b ++分解因式为_______________；(3)如图③，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ．若用,x y 表示四个相同的长方形的两边长()x y >，观察图形并判断下列关系式：①224m n xy -=；②x y m +=；③22x y mn +=；④22222m n x y -+=，其中正确的是____________．13．一天小明和小丽玩纸片拼图游戏，他们发现利用图1中的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式，例如，由图2，我们可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．(1)由图3可以解释的等式是_________；(2)用边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_________；(3)小丽用5个长为b ，宽为a 的长方形按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角的面积为S 1，右下角的面积为S 2，当BC 的长变化时，S 2﹣S 1的值始终保持不变，求a 与b 的数量关系．14．【数学实验】如图，有足够多的边长为a 的小正方形（A 类）、长为a 宽为b 的长方形（B 类）以及边长为b 的大正方形（C 类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a ＋2b ）（a ＋b ）＝a 2＋3ab ＋2b 2．【初步运用】（1）仿照例子，图③可以解释为：；（2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a ＋3b ）、（a ＋5b ），不画图形，试通过计算说明需要C 类卡片多少张；【拓展运用】若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a 2＋5ab ＋3b 2，通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是，将2a 2＋5ab ＋3b 2改写成几个整式积的形式为．15．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如22(2)()23a b a b a ab b ++=++就可以用如下的图形面积来表示．（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：22()(3)43a b a b a ab b ++=++；（2）请仿照上述方法另写出一个含有a ，b 的代数恒等式（要求不同于上述多项式），并画出与之对应的几何图形．16．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S =阴影_________________；方法2∶S =阴影_________________．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?（3）①已知()216+=m n ，3mn =，请利用（2）中的等式，求m n -的值．②已知()2213m n +=，()225m n -=，请利用（2）中的等式，求mn 的值．17．阅读理解：数形结合作为一种数学思想方法，应用可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，借助于数（式）的计算来说明图形的某些性质；第二种情形是“以形助数”，借助图形的直观性来说明数（式）之间数量关系．本学期学习的整式乘法法则，可借助图形的面积，分别从整体．．、局部．．来计算同一个图形的面积来构建等式，进而解释、验证整式乘法法则．解决问题：如图1，利用A 、B 、C 三种纸片各若干，可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图2可以解释等式22()(2)23a b a b a ab b ++=++．(1)图3可以解释等式：；(2)观察图4，请你写出2()a b +、2()a b -和ab 之间的数量关系是；(3)利用5张B 种纸片拼成如图5的大长方形，记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为S ．①若CD ＝7时，试用含a 、b 的代数式表示S ；②设CD ＝x ，且当x 取不同数值时，S 永远为定值，求a 与b 之间的数量关系．18．【知识生成】我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．例如利用图1的面积可以得到()2222a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）请你写出图2所表示的一个等式：________．（2）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()22a b a b ++长方形，则x y z ++=________．【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：________．。
公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系(八大考点)学生版
公式法、因式分解法解一元二次方程和根与系数的关系【考点导航】目录【典型例题】【考点一 一元二次方程的解法--公式法】【考点二 根据判别式判断一元二次方程根的情况】【考点三 根据一元二次方程根的情况求参数】【考点四 根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】【考点五 一元二次方程的解法--因式分解法】【考点六 换元法解一元二次方程】【考点七 一元二次方程根与系数的关系】【考点八 利用一元二次方程根与系数的关系求参数】【过关检测】【典型例题】【考点一一元二次方程的解法--公式法】1(2023·江苏·九年级假期作业)用公式法解下列方程：(1)9x2+1=66x；(2)2x2+43x-22=0．1.1(2022秋·青海西宁·九年级校考期中)解方程：x2-7x-18=0(公式法)1.2(2022秋·陕西西安·九年级校考期中)解方程：3x2-5x+23=01.3(2023·江苏·九年级假期作业)用公式法解下列方程：(1)x2+3x-2=0；(2)-5x2+6x+1=0．1.4(2023春·八年级单元测试)解方程(1)x-1；(2)x2-4x+1=0．2=3x-1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】1(2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模)一元二次方程x2-6x+4=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断1.1(2023·全国·九年级假期作业)下列方程中，有两个相等实数根的是()A.x2-2x+1=0B.x2+1=0C.x2-2x-3=0D.x2-2x=01.2(2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习)方程2x2-5x+7=0根的情况是()A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法判断1.3(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)已知关于x的方程ax2-(1-a)x-1=0，下列说法正确的是()A.当a=0时，方程无实数解B.当a≠0时，方程有两个相等的实数解C.当a=-1时，方程有两个不相等的实数解D.当a=-1时，方程有两个相等的实数解【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】1(2023·安徽宿州·校考一模)若关于x的方程m-1x2-2x+3=0有实数根，则m的取值范围为．1.1(2023·安徽蚌埠·校联考二模)若关于x的一元二次方程3x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为．1.2(2023·四川攀枝花·统考二模)若关于x的一元二次方程a-2x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．1.3(2023·安徽蚌埠·校考一模)若关于x的一元二次方程k-5x2-2x+2=0无实数根，则整数k的最小值为．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】1(2023·北京昌平·统考二模)关于x的一元二次方程x2-kx+k-1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．1.1(2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习)已知关于x的方程x2+m+2x+2m-1=0．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．1.2(2023·全国·九年级假期作业)关于x的一元二次方程x2-m+3x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．1.3(2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中)已知关于x的一元二次方程x2+m-5x-5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点五一元二次方程的解法--因式分解法】1(2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习)解下列方程：(1)x2-2x=3；(2)x-5=0．2+x x-51.1(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)解方程：x(x-1)-2x+2=0．1.2(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习)解方程：(1)3x x-2(2)x2-5x+5=0=2x-21.3(2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习)解方程(1)(2x-1)2=4x-2；(2)(x+8)(x+1)=-121.4(2022秋·九年级单元测试)解方程：(1)x2-4x+1=0．(配方法)(2)x(x-2)+x-2=0．(因式分解法)(3)x2+3x+1=0．(公式法)(4)(x+2)2-10(x+2)+25=0．(因式分解法)【考点六换元法解一元二次方程】1(2023·全国·九年级假期作业)实数x满足方程(x2+x)2+(x2+x)-2=0，则x2+x的值等于()A.-2B.1C.-2或1D.2或-11.1(2023秋·广西河池·九年级统考期末)若实数x，y满足x3+y3-1x3+y3+3=0，则x3+y3的值为()A.1B.-3C.1或-3D.-1或31.2(2023·全国·九年级专题练习)若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0，则x2+y2=．1.3(2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习)阅读材料，解答问题.解方程：4x-12-104x-1+24=0.解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y，则原方程可化为y2-10y+24=0．解得：y1=6，y2=4，∴4x-1=6或4x-1=4，∴x1=74，x2=54．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解决下列问题：(1)解方程3x-52+43x-5+3=0；(2)已知x2+y2-2x2+y2-3=12，求x2+y2的值.【考点七一元二次方程根与系数的关系】1(2023·四川泸州·统考一模)已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，则x1-x1x2+x2的值是．1.1(2023·全国·九年级假期作业)若α、β为x2+2x-4=0的两根，则α2+αβ+2α的值为．1.2(2023·全国·九年级假期作业)设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1、x2，计算x21+x22=．1.3(2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习)已知a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b，则ab +ba的值为．1.4(2023春·全国·八年级专题练习)已知m，n是方程x2-4x+2=0的两根，则m2-5m-n的值为．【考点八利用一元二次方程根与系数的关系求参数】1(2023·湖北襄阳·统考二模)关于x的一元二次方程x2+2m-1x+m2=0有两个不相等实数根x1和x2．(1)求实数m的取值范围；(2)当x1⋅x2-x1-x2=0时，求m的值．1.1(2023春·安徽合肥·八年级校考期中)已知关于x的一元二次方程x2+2k-1x-k-1=0．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2-4x1x2=2，求k的值．1.2(2023春·浙江·八年级期末)已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x12+x22-x1x2=16，求a的值．1.3(2023·湖北襄阳·统考一模)已知关于x的一元二次方程x2+2m-1x+m2=0．(1)若方程有实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x1,x2，且满足x12+x22=14．求x12+4x2-10的值．【过关检测】一、选择题1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)一元二次方程x2+x-1=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2(2023·贵州遵义·统考三模)一元二次方程x2+5x+6=0的两个根是()A.x1=2，x2=3B.x1=-2，x2=3C.x1=2，x2=-3D.x1=-2，x2=-33(2023·贵州六盘水·统考二模)已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为()A.-2B.-1C.1D.24(2023·山东泰安·统考一模)已知m、n是一元二次方程x2-x-2024=0的两个实数根，则代数式m2-2m-n的值为( )．A.2020B.2021C.2022D.20235(2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习)已知关于x的方程k-1x2-kx+2=0有两个实数解，求k的取值范围()A.k≤87B.k≤87且k≠1 C.0≤k≤87D.0≤k≤87且k≠16(2023·全国·九年级假期作业)方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A.12B.15C.12或15D.9或15或18二、填空题7(2023·广东·九年级专题练习)一元二次方程x2=2023x的解是．8(2023·吉林长春·统考二模)一元二次方程x2+4x=0根的判别式的值为．9(2023·广东深圳·校联考模拟预测)若方程x2-4x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=．10(2023·广东阳江·统考二模)一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为．11(2023·湖北咸宁·统考模拟预测)设m，n为关于x的方程x2+3x-2023=0的两个实数根，则m2 +4m+n=.12(2023·全国·九年级专题练习)对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法：①若a-b+c=0，则它有一根为-1；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的．三、解答题13(2023春·浙江杭州·八年级杭州市惠兴中学校考期中)解方程．(1)3x x+1；=2x+1(2)2x2-3x-5=0．14(2023春·山东威海·八年级校联考期中)解方程(1)9x2-x-12=0(2)34x2-2x-12=015(2023春·全国·八年级专题练习)用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-32=3x-1216(2023春·全国·八年级专题练习)根据要求解下列方程．(1)用配方法解方程：x2-4x-3=0．(2)用公式法解方程．3x2+8x-4=0．17(2023·江苏泰州·泰州市海军中学校考二模)已知关于x的一元二次方程x2-m+3x+2+m= 0．(1)试说明：对于任意实数m，该方程总有实数根；(2)若这个一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，求m的取值范围．18(2023·黑龙江绥化·校联考一模)关于x的一元二次方程a+2x2-3x+1=0有实数根．求：(1)求a的范围；(2)设x1、x2为方程的两个根，且x21x2+x1x22=4，求a的值？19(2023·北京丰台·二模)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．20(2023·广东广州·校考一模)已知关于x的一元二次方程a+b=0，其中a、b、cx2+2cx+b-a分别为△ABC三边的长．(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．。
完整版)因式分解的常用方法及练习题
完整版)因式分解的常用方法及练习题因式分解是初等数学中常用的代数式恒等变形方法之一，它在解决数学问题时发挥着重要作用。
因式分解方法灵活多样，技巧性强，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能和思维能力也有独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在此基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。
一、提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，使其成为一个因式乘以一个多项式。
例如，ma+mb+mc可以提取公因式m得到m(a+b+c)。
二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，反向使用这些公式可以得到因式分解中常用的公式，例如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式等。
还有两个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2和a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。
三、分组分解法：将多项式按照一定规律分成若干组，然后分别进行因式分解。
分组后能直接提取公因式的例子有am+an+bm+bn，可以将前两项分为一组，后两项分为一组，然后分别提取公因式得到(m+n)(a+b)。
分组后能直接运用公式的例子有2ax-10ay+5by-bx，可以将第一、二项为一组，第三、四项为一组，然后运用平方差公式得到(2a-b)(x-5y)。
因式分解方法的灵活性和技巧性需要通过大量的练才能掌握，只有掌握了这些方法和技巧，才能在解决数学问题时游刃有余。
例3、分解因式：x^2-y^2+ax+ay分析：将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，不能直接提公因式，需要另外分组。
改写：将x^2和ax分为一组，将-y^2和ay分为一组。
不能直接提公因式，需要另外分组。
例4、分解因式：a^2-2ab+b^2-c^2解：原式可以化为(a-b)^2-c^2，再用差平方公式得到(a-b+c)(a-b-c)。
因式分公式法
因式分公式法因式分解是数学中一个非常重要的概念，而公式法则是因式分解的重要方法之一。
咱们先来说说什么是因式分解。
就好比把一个大蛋糕切成几块小蛋糕，因式分解就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。
那公式法呢，就像是我们手里的切蛋糕神器，能让这个切蛋糕的过程变得又快又准。
平方差公式（a+b）(a - b) = a² - b²，这就像是一把神奇的刀，能把符合条件的多项式轻松切开。
比如说，4x² - 9 这个式子，咱们一看，哟呵，这不就是 a² - b²的形式嘛！其中 a = 2x，b = 3，所以 4x² - 9 就可以分解为(2x + 3)(2x - 3)。
再来说说完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
这个公式就像是给我们一个做蛋糕的模具，只要多项式符合这个形状，就能完美地分解出来。
比如 9x² + 12x + 4 ，我们能看出来这是 (3x)² + 2×(3x)×2 + 2²，完全符合 (a + b)²的形式，所以它可以因式分解为 (3x + 2)²。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学怎么都搞不明白。
我就给他举了个例子，说假如你有 16 个苹果，要把它们分成两堆，一堆有 x 个，另一堆有 y 个，那怎么分呢？这其实就和因式分解差不多，要找到合适的 x 和 y ，让它们乘起来等于 16 。
这个小同学听了之后，眼睛突然一亮，好像有点开窍了。
后来经过反复练习，他终于掌握了公式法因式分解，那高兴劲儿，就像自己解开了一个超级大谜团！在实际应用中，公式法因式分解可是大有用处的。
比如在解方程的时候，通过因式分解能让复杂的方程变得简单易懂。
而且，这也是进一步学习数学的基础，像高中数学里的函数、不等式等知识，都离不开因式分解这个小帮手。
因式分解-第1讲竞赛班学生版
第一讲 因式分解综合一、 知识回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-例2. 分解因式32332a a a +++例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--例5. 分解因式4322928x x x x +--+例6. 分解因式3333x y z xyz ++-例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++-五、 因式分解的应用例11.已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33： 543223453515412x x y x y x y xy y +--++例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=例14.（基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除六、 练习题1． 选择题（1）下列式子中，是轮换对称多项式的有（ ）○132x y z ++ ○2234432x y z x y z +++ ○32233xy y z z x ++ ○4333222x y z x y z ++--- A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若2222223()()x y xy y z yz z x zx xyz k x y z xy yz zx ++++++=++++，则k 的值是（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．－1（3）将444222222222a b c a b b c c a ++---分解因式得（ ）A ．2222()a b c --B ．222222(2)(2)a b c bc a b c bc --+---C ．()()()()a b c a b c a b c a b c +--+++--D ．()()()()a b c b c a c a b a b c +-+-+-++2． 分解因式（1）222()()()a b c b c a c a b -+-+-（2）222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-（3）222333()()()()2x y z y z x z x y x y z xyz +++++-++-3． 若多项式32x ax bx ++能够被(5)x -和(6)x -整除，那么a=______；b=______；4． 已知0a b c d +++=，33333a b c d +++=，求证： （1）33()()0a b c d +++=；（2）()()1ab c d cd a b +++=。
人教版初二(上)数学第41讲：因式分解方法(2)(学生版)
因式分解方法（2）1.二次三项式（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：和都是关于x的二次三项式．（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．2.十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．1.利用十字相乘法分解因式【例1】（2014安徽省中考）分解因式：【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．【答案】解：练习1.（2014四川凉山一中月考）；练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________．2.二次项系数不为1的十字相乘【例2】把下列各式分解因式：（1）；（2）．【解析】我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．【答案】解：（1）；（2）．练习3. (x－3)(__________)．练习4.练习5．练习6.3.把其中一个量看成一个整体【例3】分解因式：【解析】把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．【答案】解：＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．练习7.（2014湖北恩施中考）练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）；4. 换元法分解因式【例4】分解因式：．【解析】把看作一个变量，利用换元法解之．【答案】解：设，则原式＝(y－3)(y－24)＋90＝(y－18)(y－9)．注意：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．练习10．分解因式．练习11．．练习12.；5.重新分组分解因式【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)＝(a－b)(c－a)(c－b)．练习13．；练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．6.因式分解的综合题【例6】．【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。
初中数学因式分解(分组分解法)练习100题及答案
初中数学因式分解(分组分解法)练习100题及答案(1)1027014ax ay bx by+--(2)224981981848x y x y--++ (3)22285132535a b ab bc ca--+-(4)222712272015x y xy yz zx--+-(5)60106010mn m n+--(6)801006480xy x y-+-+(7)22872124x y xy yz zx-++-(8)22283251520a b ab bc ca+-+-(9)20282535xy x y----(10)222141939x y xy yz zx++--(11)1070428xy x y-++-(12)221510313521x y xy yz zx+--+ (13)2220358103a c ab bc ca-+-+ (14)60501815xy x y----(15)22365452511a c ab bc ca---+ (16)226123417x z xy yz zx+-+-(17)754935ab a b-+-(18)16884xy x y-++-(19)945945mx my nx ny--+ (20)22201839a c ca++(21)22672824a b ab bc ca-+--(22)2235121220a b ab bc ca--+-(23)9327ax ay bx by+--(24)8016204mx my nx ny+++ (25)2231024x z xy yz zx---+(26)15502480xy x y----(27)221535464935x y xy yz zx++++ (28)222035154928a b ab bc ca--+-(29)632412mx my nx ny+--(30)49214218xy x y+++(31)4085ax ay bx by+--(32)16364090xy x y-++-(33)2220619624x y xy yz zx-+-+ (34)368368mn m n--+(35)45633549ax ay bx by-+-(36)2244363217a b a b--++ (37)25304554mn m n-+-(38)104156xy x y+++(39)2221126432x z xy yz zx++--(40)24286070ab a b--+(41)2249281840a b a b-+++ (42)223625652016a b ab bc ca+-+-(43)226464489m n m---(44)223664369m n m---(45)224936568433a b a b-++-(46)22331039a b ab bc ca+-+-(47)226513510a b ab bc ca+-+-(48)2294937x z xy yz zx++--(49)754935mn m n-+-(50)2291018447a c ab bc ca+--+ (51)227221272129x z xy yz zx---+ (52)530636mx my nx ny+--(53)2249241827a b a b -+-+(54)312624xy x y --++(55)225625529x z xy yz zx-++-(56)242065xy x y +++(57)2282836x y xy yz zx++--(58)2216202548a c ab bc ca++++(59)22925204x y y ---(60)2230736637a c ab bc ca--++(61)221412461035x y xy yz zx+-+-(62)2245425733x z xy yz zx-+--(63)486486mn m n +++(64)2210530627a c ab bc ca+-+-(65)205164xy x y --++(66)2272524331x z xy yz zx----(67)2293021353a c ab bc ca-++-(68)848040ab a b +++(69)81451810ab a b -+-(70)223014354952x z xy yz zx+-+-(71)22123574a b ab bc ca -+--(72)222020mx my nx ny -+-(73)153357ab a b -+-(74)18126342mn m n +--(75)99010ax ay bx by+--(76)24241616mn m n -+-(77)16144035xy x y -+-(78)728455mx my nx ny-+-(79)5401080mx my nx ny+++(80)2254221212x y xy yz zx++++(81)20503280xy x y --+(82)552020ax ay bx by+--(83)22124236x y xy yz zx----(84)18244864mn m n -+-(85)9020276ax ay bx by+--(86)222418391232a b ab bc ca----(87)2292142866x z xy yz zx+-+-(88)222581101a b a ---(89)24361624ax ay bx by--+ (90)20104020mn m n-+-(91)229961x y y---(92)226416647265x y x y----(93)229424209m n m n----(94)2245220813a c ab bc ca--+-(95)22449325648m n m n--++ (96)22481412648x y x y-++-(97)22634276103x z xy yz zx+--+ (98)223030202461x z xy yz zx++--(99)221012352126a c ab bc ca+--+ (100)24275663ax ay bx by--+初中数学因式分解(分组分解法)练习100题答案(1)2(7)(5)a b x y-+(2)(798)(796)x y x y+---(3)(75)(45)a b a b c-+-(4)(935)(34)x y z x y+--(5)10(1)(61)m n-+(6)4(54)(45)x y-+-(7)(87)(3)x y x y z-+-(8)(75)(43)a b c a b---(9)(45)(57)x y-++ (10)(3)(743)x y x y z++-(11)2(52)(7)x y---(12)(527)(35)x y z x y-+-(13)(45)(527)a c ab c-++ (14)(103)(65)x y-++(15)(95)(45)a c ab c+--(16)(34)(23)x z x y z---(17)(7)(75)a b+-(18)4(21)(21)x y---(19)9()(5)m n x y--(20)(56)(43)a c a c++(21)(4)(67)a b c a b--+(22)(53)(744)a b a b c-+-(23)(3)(9)a b x y-+(24)4(4)(5)m n x y++ (25)(325)(2)x y z x z--+ (26)(58)(310)x y-++ (27)(357)(57)x y z x y+++(28)(557)(47)a b c a b+--(29)3(4)(2)m n x y-+ (30)(76)(73)x y++(31)(8)(5)a b x y-+(32)2(25)(49)x y---(33)(4)(566)x y x y z-++ (34)4(1)(92)m n--(35)(97)(57)a b x y+-(36)(2217)(221)a b a b+---(37)(59)(56)m n+-(38)(23)(52)x y++(39)(32)(726)x z x y z-+-(40)2(25)(67)a b--(41)(234)(2310)a b a b++-+(42)(45)(954)a b a b c---(43)(883)(883)m n m n+---(44)(683)(683)m n m n+---(45)(763)(7611)a b a b+--+(46)(3)(33)a b a b c---(47)(355)(2)a b c a b---(48)(9)(4)x z x y z-+-(49)(7)(75)m n+-(50)(92)(25)a c ab c+-+ (51)(97)(833)x z x y z+--(52)(56)(6)m n x y-+(53)(239)(233)a b a b++-+ (54)3(2)(4)x y--+(55)(5)(56)x z x y z++-(56)(41)(65)x y++(57)(423)(2)x y z x y+-+(58)(84)(25)a b c a c+++ (59)(352)(352)x y x y++--(60)(6)(567)a c ab c--+ (61)(72)(265)x y x y z---(62)(57)(96)x z x y z-++ (63)6(1)(81)m n++(64)(265)(5)a b c a c---(65)(54)(41)x y--+ (66)(935)(8)x y z x z--+(67)(35)(376)a c ab c++-(68)4(10)(21)a b++(69)(92)(95)a b+-(70)(672)(57)x y z x z---(71)(35)(47)a b c a b--+ (72)2(10)()m n x y+-(73)(37)(51)a b+-(74)3(27)(32)m n-+(75)(10)(9)a b x y-+ (76)8(32)(1)m n+-(77)(25)(87)x y+-(78)(85)(9)m n x y+-(79)5(2)(8)m n x y++ (80)(922)(6)x y z x y+++ (81)2(58)(25)x y--(82)5(4)()a b x y-+(83)(643)(2)x y z x y--+ (84)2(38)(34)m n+-(85)(103)(92)a b x y-+(86)(83)(364)a b a b c+--(87)(7)(943)x z x y z---(88)(591)(591)a b a b+---(89)4(32)(23)a b x y--(90)10(2)(21)m n+-(91)(331)(331)x y x y++--(92)(845)(8413)x y x y++--(93)(321)(329)m n m n++--(94)(94)(52)a b c a c-+-(95)(2712)(274)m n m n+---(96)(296)(298)x y x y+--+ (97)(76)(97)x z x y z+-+ (98)(645)(56)x y z x z+--(99)(53)(274)a c ab c+-+ (100)(37)(89)a b x y--。
初中数学小蓝本_因式分解_01提公因式
0 什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解．由乘法，得3×4＝12．反过来，12可以分解：12＝3×4．当然，4还可以继续分解为2×2，于是得12＝3×2×2．这时12已经分解成质因数的乘积了．同样地，由整式乘法，得(1＋2x)(1－x2)＝1＋2x－x2－2x3．反过来，1＋2x－x2－2x3可以分解为两个因式1＋2x与1－x2的乘积，即1＋2x－x2－2x3＝(1＋2x)(1－x2)．1－x2还可以继续分解为(1＋x)(1－x)．于是1＋2x－x2－2x3＝(1＋2x)(1＋x)(1－x)，这里x的一次多项式1＋2x、1＋x、1－x都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，1＋2x－x2－2x3已经分解成质因式的乘积了．把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．每一个乘式称为积的因式．在因式分解中，通常要求各个乘式（因式）都是既约多项式，这样的因式成为质因式．因式分解的方法，我们将逐一介绍．1 提公因式学过因式分解的人爱说“一提、二代、三分组．”“提”是指“提取公因式”．在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提．几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如ma、mb、－mc都含有因式m，m就是它们的公因式．由乘法分配律，我们知道m(a＋b－c)＝ma＋mb－mc，因此ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．（1）这表明（1）式左边三项的公因式m可以提取出来，作为整式ma＋mb－mc的因式．ma＋mb－mc的另一个因式a＋b－c仍由三项组成，每一项等于ma＋mb－mc中对应的项除以公因式m：a＝ma÷m，b＝mb÷m，c＝mc÷m．1.1 一次提净例1分解因式：12a2x3＋6abx2y－15acx2．解 12a2x3＋6abx2y－15acx2由12a2x3、6abx2y、－15acx2这三项组成，它们的数系数12、6、－15的最大公约数是3，各项都含有因式a和x2，所以3ax2是上述三项的公因式，可以提取出来作为12a2x3＋6abx2y－15acx2的因式，即有12a2x3＋6abx2y－15acx2＝3ax2(4ax＋2by－5c)．在例1中，如果只将因式3a或3ax提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取．还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例1中，这三项分别为12a2x3、6abx2y、－15acx2除以公因式3ax2所得的商．初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1．在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式3ax2与另一个式子的积，然后再提取公因式，即12a2x3＋6abx2y－15acx2＝3ax2·4ax＋3ax2·2by＋3ax2·(－5c)＝3ax2(4ax＋2by－5c)．在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．2．用乘法分配律进行验算．由乘法得出3ax2(4ax＋2by－5c)＝12a2x3＋6abx2y－15acx2．1.2 视“多”为一例2 分解因式：2a2b(x＋y)2(b＋c)－6a3b3(x＋y)(b＋c)2．解原式由2a2b(x＋y)2(b＋c)、6a3b3(x＋y)(b＋c)2这两项组成，它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式a2和b，而且都含有因式x＋y 与b＋c，因此2a2b(x＋y)(b＋c)是它们的公因式．于是有2a2b(x＋y)2(b＋c)－6a3b3(x＋y)(b＋c)2＝2a2b(x＋y)(b＋c)·(x＋y)－ 2a2b(x＋y)(b＋c)·3ab2(b＋c)＝2a2b(x＋y)(b＋c)[(x＋y)－3ab2(b＋c)]＝2a2b(x＋y)(b＋c)(x＋y－3ab3－3ab2c)．在本例中，我们把多项式x＋y、b＋c分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的．1.3 切勿漏1例3分解因式：(2x＋y)3－(2x＋y)2＋(2x＋y)．解我们把多项式2x＋y看成是一个字母，因此原式由(2x＋y)3、－(2x＋y)2、2x＋y这三项组成，2x＋y是这三项的公因式，于是(2x＋y)3－(2x＋y)2＋(2x＋y)＝(2x＋y)·(2x＋y)2－(2x＋y)·(2x＋y)＋(2x＋y)·1＝(2x＋y)[(2x＋y)2－(2x＋y)＋1]．请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1．在省去中间过程时，尤需加倍留心．1.4 注意负号例4分解因式：－3ab(2x＋3y)4＋ac(2x＋3y)3－a(2x＋3y)．解－3ab(2x＋3y)4＋ac(2x＋3y)3－a(2x＋3y)＝a(2x＋3y)·(－3b)·(2x＋3y)3＋a(2x＋3y)·c(2x＋3y)2＋a(2x＋3y)·(－1)＝a(2x＋3y)[(－3b)(2x＋3y)3＋c(2x＋3y)2－1]．注意中括号内的最后一项是－1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数－1，它也可以作为因数提取出来，即－3ab(2x＋3y)4＋ac(2x＋3y)3－a(2x＋3y)＝－a(2x＋3y)·3b·(2x＋3y)3－a(2x＋3y)·(－c)·(2x＋3y)2－a(2x＋3y)·1＝－a(2x＋3y)[3b(2x＋3y)3－c(2x＋3y)2＋1]．（2）这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数－1后各项都应改变符号，所以（2）式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反．1.5 仔细观察例5 分解因式：(2x －3y )(3x －2y )＋(2y －3x )(2x ＋3y )．解 初看起来，原式所含的第一项(2x －3y )(3x －2y )与第二项没有公因式，但进一步观察便会发现2y －3x ＝－(3x －2y )．因此3x －2y 是两项的公因式．于是有(2x －3y )(3x －2y )＋(2y －3x )(2x ＋3y )＝(3x －2y )[(2x －y )－(2x ＋3y )]＝－y (2x －3y )．提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．1.6 化“分”为整例6 分解因式：3a 3b 2－6a 2b 3＋ab ．274解 这里的第三项ab 的系数是分数，为了避免分数运算，我们把先提取出来，这时每27414项都除以（也就是乘以4），即143a 3b 2－6a 2b 3＋ab 274＝(12a 3b 3－24a 2b 3＋27ab )14＝ab (4a 2b －8ab 2＋9)．34熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”．在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化成整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把－1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数．小 结提公因式是因式分解的基本方法之一．在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提．在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式．凡有公因式应立即提净．提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项．习 题 1将以下各式分解因式：1、5x 2y －10xyz ＋5xy ．2、a (x －a )＋b (a －x )－(x －a )．3、－2x (x ＋1)＋a (x ＋1)＋(x ＋1)．4、b 3n －1＋b 2n －1（n 是正整数）．32165、2(p －1)2－4q (p －1)．6、mn (m 2＋n 2)－n 2(m 2＋n 2)．7、(5a －2b )(2m ＋3p )－(2a －7b )(2m ＋3p )．8、2(x ＋y )＋6(x ＋y )2－4(x ＋y )3．9、(x ＋y )2(b ＋c )－(x ＋y )(b ＋c )2．10、6p (x －1)3－8p 2(x －1)2－2p (1－x )2．习题11．5xy (x －2z ＋1)2．(x －a )(a －b －1)3．(x ＋1)(a ＋1－2x )4．b 2n －1(9b n ＋1)165．2(p －1)(p －1－2q )6．n (m －n )(m 2＋n 2)7．(2m ＋3p )(3a ＋5b )8．2(x ＋y )(1＋3x ＋3y －2x 2－4xy －2y 2)9．(x ＋y )((b ＋c )(x ＋y －b －c )10．2p (x －1)2(3x －4p －4)。
因式分解之提公因式法学生版
因式分解之提公因式法【知识要点】1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
概念巩固11.下列各式中①22623x y x y =；②243(2)(2)3x x x x x --=+--；③22(2)ab ab ab b -=-；④221(1)(1)1a a a a -+=-+=-，是因式分解的有 .2. 将下列各式因式分解233x x -= 216m -=ma mb mc ++= 269y y -+=2．提公因式法；（1）公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。
（3）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
（4）多项式的公因式的确定方法是：① 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
② 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
概念巩固21．下列各式中，没有公因式的是（ ）A ．33a b -与b a -B ．mx y +与x my +C ．2()x y +与x y --D ．2x xy -与()()x y x y +-2．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）①2y x +与x y +；②3()a m n -与m n -+；③a b -与2()a b +；④22x y -与2()y x -A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④3．多项式2n n b b -提公因式n b 后，另一个因式是（ ）A ．1n b -B ．211n b-- C ．21n b - D ．n b【典例精析】（一）基本分解因式1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---322222.将下列各式因式分解（1）322x x x ()()---（2）412132q p p ()()-+-3.将下列各式因式分解 231115255n n n x x x ++--+（1n >且是整数）= (2)(23)2(2)(32)a b a b a b a b a -----= 222()4()a b m b a ---=212n n x xy +-=4.将下列各式因式分解220041(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++ 22(161)(116)a x y b y x -++--2221()()2()2a b a b ab b a ab b a -+-+-（二） 利用提公因式法简化计算过程5.计算：1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯6. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯7.计算：1998 5.219987.4199.826⨯+⨯-⨯ 4.4513.74450.88944.50.26⨯+⨯-⨯1(2)2(2)n n --+- 43937133⨯-⨯（三） 在多项式恒等变形中的应用8. 已知方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
因式分解的概念和基本方法.学生版
因式分解的概念和基本方法因式分解时概念和基木力法因式分榊丛木力汇去九必定义示例剖析定义：把一个多项式化成几个整式的积的形 a a2 a 1 a ；4x2 2x3 2x2 2 x 式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式.3a3b 6a2b 3ab 3ab a22a 1 3ab a 1 2实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的因式分解ma mb me 敕十予比m a b c整式乘法变形.多项式整式分法整式乘积因式分解与整式乘法是相反方向的变形.整式乘法分解因式的注意事项：1、结果一定是乘积的形式；1 如：x 1 x 1 —不是因式分解x2、每一个因式都是整式；3、相同的因式的积要写成幕的形式.2x 1 (x 1)(x 1)是因式分解4、没有大括号和中括号； 2 25、每个因式中不能含有冋类项，如果有需要合并的冋类项，合并后要注意能否再x y x y x y不是因式分解分解；6、单项式因式写在多项式因式的前面；x2 3x 2 x x 3 2不是因式分解知识互联网T方斗公式计鱼屮方处!:7、 每个因式第一项系数一般不为负；8、 若不特别说明，分解因式的结果必须是 每个因式在有理数范围内不能再分解为 止.【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）2 2 2 22A. 3ab （a b ） 3a 2b 3ab 2B. 2x 2 4x 2x 2 1 -xC. a 2 4b 2（a 2b ）（a 2b ）D. 3x 26xy 3x 3x （x 2y ）⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下 4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是 （ ）3A. xxx x 2 1B. x 2 2xy2 2yx y2 2C. x y xyxy x yD.2 2x yx y x y【例2】⑴一个多项式分解因式的结果是(b 3 2)(2 b 3), 那么这个多项式是（）6A . b 4B . 46 b C . b 6 4D .6b 42⑵如果多项式xmx 35分解因式为 x 5 x 7，则m 的值为 ( ) A 、 2 B 、2C 、12D 、 12⑶若多项式x 2 ax b 可因式分解为 x 1 x 2，求a b 的值 _______________ ,模块二提公因式法定 义如果多项式的各项有公因式，一般要将 公因式提到括号外面进行因式分解。
因式分解300(下篇)
因式分解疯狂训练300道（下）板块一：十字相乘法1.分解因式：256x x ++2.分解因式：652-+x x3.分解因式：652--x x4.分解因式：256x x -+5. 分解因式2299x x +-等于（ ）A ．()()911x x --B ．()()911x x +-C ．()()911x x -+D ．()()911x x ++6.分解因式：276x x ++ 7.分解因式：762-+x x 8.分解因式：762--x x9.分解因式：276x x -+10.分解因式：268x x ++11.分解因式：862+-x x12.分解因式：278x x +- 13.分解因式：122-+x x14.分解因式：212x x +-15.分解因式：2376a a -- 16.分解因式：3832-+x x17.分解因式：2383x x --18.分解因式：25129x x +-19.分解因式：2121115x x -- 20.分解因式：1529-122+x x21.分解因式：42730x x +-22.分解因式：36134+-x x23.分解因式：()()()2442111x x x ++-+- 24.分解因式：26x x -- 25.分解因式：62-+x x26.分解因式：2922x x --27.分解因式：2292-+x x28.分解因式：21220x x ++ 29.分解因式：2082+-x x 30.分解因式：20122+-x x31.分解因式：2672x x -+ 32.分解因式：21362+-x x33.分解因式：21162--x x 34.分解因式：21162-+x x35.分解因式：2121115x x --36.分解因式：256x x -++37.分解因式：562-+x x38.分解因式：26136x x -+ 39.分解因式：63762+-x x40.分解因式：63762++x x41.分解因式：2273x x ++42.分解因式：3722+-x x43.分解因式：2253x x -+44.分解因式：222064xy y x -++ 45.分解因式：2223y xy x ++ 46.分解因式：22253y xy x ++47.分解因式：22253y xy x +-48.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++49.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++50.分解因式：4222(1)x x a a -++51.分解因式：2273320x x --52.分解因式：212x x +-53.分解因式：2612x x -+-54. 分解因式：2214425x y xy +-55. 分解因式：22672x xy y -+56.已知221547280x xy y -+=，求x y 的值57.分解因式：22121115x xy y --58.分解因式：2358x x +-59.分解因式：2212197x xy y -+60.因式分解：2(2)(3)4x x x +++-= ．61.分解因式：2()4()12x y x y +-+-；62. 分解因式：2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-63.分解因式：257(1)6(1)a a ++-+64.分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+65.分解因式：633619216x x y y --66.分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++67.分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++68.分解因式：222()14()24x x x x +-++69.分解因式：2()2a b x ax a b -+++70.分解因式：2()()x a b c x a b c +++++71.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++72.分解因式：2()(1)1a b ab +-+73.已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值74.长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足22220x y x xy y --+-+=，求它的面积.板块二：选主元 75.分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++76.分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++--77.分解因式：2222a b ab bc ac --++78.分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++79.分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++80.分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++81. 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：重组重解82. (泰安中考题)因式分解：2(2)(3)4x x x +++-= ．83.分解因式：()()x x z y y z +-+84.分解因式：2222(1)(2)(1)x x x x x x ++-++-85.分解因式：222222()()ax by ay bx c x c y ++-++86.分解因式：()()()2442111x x x ++-+-87.分解因式：(1)(2)6x x x ---88.分解因式：222(1)()ab x x a b +++89.分解因式：2()(1)1a b ab +-+90.分解因式：3322()()ax y b by bx a y +++91.分解因式：22()4a b ab c -+-92.分解因式：()()22114m n mn --+93.分解因式：2222111[()()](2)222x y x y x y -++- 94.分解因式：2231()b a x abx +--95.已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．96.已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：2b a c =+97.分解因式：222064xy y x -++98.分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++99.分解因式：4224109x x y y -+100.分解因式：2222()abcx a b c x abc +++。
353 因式分解【学生版】
因式分解【知识定位】因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学家问题重要的手段和工具，有关的题目在中考和数学竞赛中比较常见。
对于特殊的因式分解，除了考虑提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法，这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，使复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的习惯，提高同学们的数学思维能力。
现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧列举如下，供同学们参考。
【知识梳理】知识梳理1：提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)知识梳理2：运用公式法.(1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；知识梳理3：分组分解法.知识梳理4：十字相乘法.1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++3、二次项系数为1的齐次多项式知识梳理5：添项、拆项、配方法。
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因式分解提高
一．选择题（共2小题）
1．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）
A．2B．1C．﹣2 D．﹣1
2．若x2﹣x﹣m=（x﹣m）（x+1），则m的值为（）
A．0B．2C．﹣1 D．1
二．解答题（共28小题）
3．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．
4．因式分解
（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
（2）（a2+4）2﹣16a2．
5．分解因式：（x2+16y2）2﹣64x2y2．
6．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积．
7．利用分解因式计算：
（1）已知a+b=2，ab=﹣3，求代数式a2b+ab2的值；
（2）若a﹣b=﹣3，ab=4，求的值．
8．已知：a=2999，b=2995，求a2﹣2ab+b2﹣5a+5b﹣6的值．
9．已知，ab=﹣3，求下列代数式的值：
（1）（a﹣5）（b﹣5）；
（2）2a3b+4a2b2+2ab3．
10．已知：a+b=﹣10，求a2+ab+5a﹣5b的值．
11．（1）（a﹣2）2﹣6（2﹣a），其中a=﹣2．
（2），其中．
12．若，，求多项式a3b+2a2b2+ab3的值．
13．利用因式分解计算：
．
14．计算：．
15．已知：a，b，c分别为△ABC的三条边的长度，请你猜想b2+c2﹣a2﹣2bc的值是正数、负数还是零？你能用所学的知识说明为什么吗？
16．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：x4+4
解：x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2
=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x4+x2y2+y4分解因式．
17．把多项式x2﹣11x+24分解因式，可以采取以下两种方法：
①将﹣11x拆成两项，﹣6x﹣5x；将24拆成两项，9+15，则：x2﹣11x+24=x2﹣6x+9﹣5x+15=（x2﹣6x+9）﹣5（x﹣3）=（x﹣3）2﹣5（x﹣3）=（x﹣3）[（x﹣3）﹣5]=（x﹣3）（x﹣8）．
②添加一个数，再减去这个数，则：
=
．
根据上面的启发，请将多项式x2+4x﹣12分解因式．
18．在实数范围内分解因式：3a3﹣4ab2=_________．
19．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1
解：x4﹣6x2+1=x4﹣2x2﹣4x2+1
=（x4﹣2x2+1）﹣4x2
=（x2﹣1）2﹣（2x）2
=（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．
20．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x=2代入此多项式，发现x=2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
21．题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．”
分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456
=（x﹣60）2﹣144=（x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
=（x﹣48）（x﹣72）．
通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4875．
22．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4；②2x2+12x+4；③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．
23．分解因式：8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．
24．在实数范围内分解因式：．
25．对于任意的正整数n，所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么？
26．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，a n=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．
27．已知A=a+2，B=a2﹣a+5，C=a2+5a﹣19，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
28．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到
n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法
将奖金逐一发给了n所民办学校．
（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；
（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．
29．分解因式：m3﹣2m2﹣4m+8
30．化简：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）。