新湘教版初中数学八年级下册解题技巧利用一次函数解决实际问题
4.5 第1课时 利用一次函数解决实际问题 湘教版数学八年级下册课时习题(含答案)
4.5 一次函数的应用第1课时利用一次比例函数解决实际问题要点感知1函数图象由两个一次函数拼接在一起，我们要按照图象实行分段处理，每段看它适合哪种函数模型.预习练习1-1如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费__________元.要点感知2 同一坐标系中若有多条直线，我们要对每条直线进行处理，重在找出这些函数的交点坐标和每个图形的起始坐标(交点的求法一般将两个函数的表达式联立在一起，组成方程组，方程组的解便是交点坐标).预习练习2-1在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为( )A.(-1，4)B.(-1，2)C.(2，-1)D.(2，1)2-2 如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利(收入＞成本)时，销售量必须__________.知识点1 利用一次函数解决分段计费问题1.如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费( )A.0.4元B.0.45元C.约0.47元D.0.5元2.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知甲用户某月份用煤气80立方米，那么这个月甲用户应交煤气费__________元.3.为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每户家庭月用水量为x吨时，应交水费y元.(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？知识点2 利用一次函数解决相交直线问题4. “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( )A.2小时B.2.2小时C.2.25小时D.2.4小时第4题图第5题图5.某市政府决定实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图，则下列说法中错误的是( )A.甲队每天挖100米B.乙队开挖两天后，每天挖50米C.甲队比乙队提前2天完成任务D.当x=3时，甲、乙两队所挖管道长度相同6.某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )A.5.5公里B.6.9公里C.7.5公里D.8.1公里7.甲乙两地相距50千米.星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y(千米)与小聪行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示，小明父亲出发________小时时，行进中的两车相距8千米.8.小李和小陆沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系的图象如图.已知小李离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系为s=2t+10.则：(1)小陆离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系为：_________________；(2)他们相遇的时间t=__________.9.学生甲、乙两人跑步的路程s与所用时间t的函数关系图象表示如图(甲为实线，乙为虚线).根据图象判断：如果两人进行一百米赛跑，当甲跑到终点时，乙落后甲多少米？10.电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差__________元.11.为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系式.(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x(度)0＜x≤140(2)小明家某月用电120度，需交电费__________元；(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式；(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费M元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求M的值.参考答案预习练习1-17.4预习练习2-1 D2-2大于41.A2.723.(1)当0≤x≤20时，y与x之间的函数表达式为：y=2x(0≤x≤20)；当x＞20时，y与x之间的函数表达式为：y=2.8(x-20)＋40=2.8x-16(x＞20)；(2)∵小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，∴小颖家四月份用水超过20吨，五月份用水没有超过20吨.∴45.6=2.8(x1-20)＋40，38=2x2.∴x1=22,x2=19.∵22-19=3，∴小颖家五月份比四月份节约用水3吨.4.C5.D6.B7.或8.（1）s=10t（2）9.根据图形可得：甲的速度是=8(米/秒)，乙的速度是：=7(米/秒)，∴根据题意得：100-×7=12.5(米).当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.答：当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.10.1011.（1）140＜x≤230x＞230（2）54(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=ax+c，将(140，63)，(230，108)代入，得解得则第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=x-7(140＜x≤230).(4)根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，故108-63=45(元)，230-140=90(度)，45÷90=0.5(元)，则第二档电费为0.5元/度；∵小刚家某月用电290度，交电费153元，290-230=60(度)，153-108=45(元)，45÷60=0.75(元)，M=0.75-0.5=0.25.答：M的值为0.25.。
湘教版数学八年级下册 利用一次函数解决实际问题
进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？
从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12.
s /海里
10
8
AP
l2
这说明在
6
l1 B
A 逃入公海前，
4 2
O 2 4 6 8 10 12 14 t /分
我边防快艇 B 能够追上 A 船.
（6）l1 与 l2 对应的两个一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x
8 6 4
A
l2
l1 B
2
O 2 4 6 8 10
t /分
解：观察图象知，
当 t＝0 时，B 距 海岸 0 海里，即 s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追
赶时间之间的关系.
（2）A、B 哪个速度快？ t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2， l1 的纵坐标增加了 5.
s /海里
∴ 当人数为 50 以上时 ，选择乙旅行社费用较少； （3）当 y1＜y2，即 80x＜60x+1000 时，解得 x＜50.
∴ 当人数少于 50 时，选择甲旅行社费用较少.
例3 某县大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 t，B 地将采摘 300 t．若要将这些猕猴桃运到甲、乙 两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 t，乙仓库可储存 260 t，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元 和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为 x t，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA 元和 yB 元.
(3) 考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不
湘教版八下数学4.5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题教学设计
湘教版八下数学4.5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4.5一次函数的应用第1课时主要介绍了利用一次函数解决实际问题。
本节课的内容是在学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，能够理解一次函数的图像和性质。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，进而运用一次函数进行解决。
因此，在本节课的教学过程中，需要引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一次函数进行解决。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用一次函数进行解决。
3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，并运用一次函数进行解决。
五. 教学方法1.讲授法：讲解一次函数的性质和应用。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题。
3.练习法：让学生通过练习，巩固一次函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数的性质和应用的课件。
2.实际问题案例：准备一些实际问题，用于引导学生进行分析。
3.练习题：准备一些练习题，用于让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件介绍一次函数在实际问题中的应用，引导学生关注一次函数与实际问题之间的关系。
2.呈现（10分钟）呈现一些实际问题，让学生进行分析。
如：某商场举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
3.操练（15分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用一次函数进行解决。
如：设打折后的价格为y元，原价为x元，根据打8折的条件，可以得到一次函数关系式：y = 0.8x。
湘教版八下数学4.5第2课时建立一次函数模型解决实际问题教学设计
湘教版八下数学4.5第2课时建立一次函数模型解决实际问题教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4.5第2课时“建立一次函数模型解决实际问题”这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的性质和图象的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生学会如何将实际问题抽象成一次函数模型，并通过数学方法解决这些问题。
教材通过两个实例，引导学生运用一次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。
他们在学习过程中，能够通过实例理解一次函数模型的实际意义，并能够运用一次函数的知识解决一些简单的实际问题。
但是，学生在建立一次函数模型解决实际问题时，还存在着对实际问题抽象成数学模型的能力不足，以及解决实际问题时思路不清晰等问题。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握建立一次函数模型的方法，能够将实际问题抽象成一次函数模型，并运用一次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例引导学生学会如何建立一次函数模型解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观：培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生掌握建立一次函数模型的方法，能够将实际问题抽象成一次函数模型。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题抽象成一次函数模型，以及如何运用一次函数的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入一次函数模型解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生发现实际问题中的数量关系，自主建立一次函数模型。
3.合作交流法：学生在解决实际问题的过程中，进行小组合作交流，共同完成任务。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、三角板、直尺。
3.教学素材：实际问题实例、一次函数模型解决实际问题的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题实例，引导学生思考如何将实际问题抽象成数学模型。
八年级数学下册 4.5 一次函数的应用 一次函数的解题方法素材 (新版)湘教版
一次函数的解题方法一次函数在实际的应用当中是相当的广泛的，不论是解决实际的问题还是抽象的问题．一次函数的性质的运用是解决这些问题的途径，因此我们具体说明一次函数的解题方法．一、有关产品销售决策问题例 1 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图1表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？分析：（1）由图可得出每个图象上两点坐标，用待定数系法可求出两函数解析式；（2）根据图象和（1）可说明两种方案；（3）结合图象和（2）可选方案．解：（1）由图象知y1是x的正比例函数，y2是x的一次函数，因而可设y1=kx，y2=mx+n．将（30，600）坐标代入y1=kx，得k=20，所以y1=20x；将（0，300）、（30，600）的坐标分别代入y2=mx+n，解得m=10，n=300．所以y2=10x+300．（2）y1表示不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元；y2表示保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y1付费方案，否则，选择y2付费方案．二、有关气温决策问题例2 春秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”，由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害．需采取预防措施．右图是气象台某天分布的该地区气象信息，预报了次日0时-8时气温随时间变化情况，其中0时-5时，5时-8时的图象分别满足一次函数关系，请你根据图中信息，针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．分析：由图象知：0时-5时和5时-8时的图象都满足一次函数关系，故可设111b x k y +=，222b x k y +=，可求得3561+-=x y ，349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时， 当21,y y 分别为0时，分别求出21,x x ，再作差与3比较．解：设0时-5时的一次函数关系式为111b x k y +=，将点（0，3），（5，-3）分别代入可求得3561+-=x y ．设5时-8时的一次函数关系式为222b x k y +=，将点（8，5），（5，-3）分别代入可求得349382-=x y ．是否需要采取防霜冻措施，需要知道某种植物是否在气温0℃以下持续时间超过3小时，而当21,y y 分别为0时，,849,2521==x x 而38292584912〉=-=-x x ．故需要采取防霜冻措施．三、有关运输调配决策问题例3 夏天容易发生腹泻等肠道疾病，益阳市医药公司的甲乙两仓库内分别存在医治腹泻的药品80箱和70箱，现需要将库存的药品调往南县100箱和沅江50箱，已知从甲乙两仓库内运送药品到两地的费用（元∕箱）如下表所示：（1）设从运送到南县的药品为x 箱，求总费用y 元与x 箱之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案． 解：（1）由题意知从甲仓库运送到沅江的药品为（80-x ） 箱，从乙仓库运送到南县的药品为（100-x ）箱，从乙仓库运送到沅江的药品为（x-30）箱．故y=14x +10（80-x ）+20（100-x ）+8（x-30）=-8x+2560．（30≤x ≤80）．（2）因为在函数y=-8x+2560中，y 随x 的增大而减小，所以x=80时，1920min y （元），总费用最低时调配方案为：甲仓库的80箱全部运往南县，乙仓库的20箱运往南县，50箱运往江．。
湘教版八年级数学下册-解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题
解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题◆类型一 两个一次函数结合的问题1．(曲靖中考)如图，已知直线y 1＝－12x ＋1与x 轴交于点A ，与直线y 2＝－32x 交于点B .求：(1)△AOB 的面积；(2)y 1>y 2时，x 的取值范围．2．(上海中考)某物流公司引进A ，B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A (千克)与时间x (时)的函数图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B (千克)与时间x (时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y B 关于x 的函数表达式；(2)如果A ，B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？3．甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，两车离开A 城的距离y (千米)与时刻t(时)的对应关系如图所示：(1)A，B两城之间距离是多少千米？(2)求乙车出发多长时间追上甲车；(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．【方法16】◆类型二与一次函数相关的分段函数问题4．小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费用外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元．5．如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的速度为________，在CD上运动的速度为________；(2)求出点P在CD上时S与t的函数关系式；(3)t为何值时，△APD的面积为10cm2?6．(南充中考)小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．他们家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留时间需作怎样的调整？◆类型三与一次函数相关的最值或方案设计问题7．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．8．(衡阳中考)为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；【易错8】(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．参考答案与解析1．解：(1)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋1，y ＝－32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝32.所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.令y 1＝－12x ＋1＝0，得x ＝2，所以点A 的坐标为(2，0)，所以OA ＝2，OA 上的高为32，所以S △AOB ＝12×2×32＝32. (2)由图可知y 1>y 2时，x >－1.2．解：(1)设y B 关于x 的函数表达式为y B ＝k 1x ＋b (k 1≠0)，把点E (1，0)和点P (3，180)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b ＝0，3k 1＋b ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝90，b ＝－90，所以y B 关于x 的函数表达式为y B ＝90x －90(1≤x ≤6)．(2)设y A 关于x 的函数表达式为y A ＝k 2x (k 2≠0)，把P (3，180)代入，得180＝3k 2，k 2＝60，∴y A ＝60x .当x ＝5时，y A ＝5×60＝300；当x ＝6时，y B ＝90×6－90＝450，450－300＝150(千克)．答：B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 3．解：(1)从图象中得A ，B 两地相距300千米．(2)设甲车在行驶过程中y 与t 的表达式为y 甲＝k 1t ＋b 1，∵图象过(5，0)和(10，300)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧5k 1＋b 1＝0，10k 1＋b 1＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝60，b 1＝－300，∴y 甲＝60t －300.设乙车在行驶过程中y 与t 的表达式为y 乙＝k 2t ＋b 2，∵图象过(6，0)和(9，300)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k 2＋b 2＝0，9k 2＋b 2＝300，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝100，b 2＝－600，∴y 乙＝100t －600.当乙车追上甲车时，它们所行驶的路程相同，即60t －300＝100t －600，解得t＝7.5.7.5－6＝1.5(小时)，∴乙车出发1.5小时追上甲车．(3)13小时或2小时或3小时或143小时． 解析：①当y 甲＝20时，即60t －300＝20，解得t ＝163，163－5＝13(小时)；②当y 甲－y 乙＝20时，即60t －300－(100t －600)＝20，解得t ＝7，7－5＝2(小时)；③当y 乙－y 甲＝20时，即100t －600－(60t －300)＝20，解得t ＝8，8－5＝3(小时)；④当y 甲＋20＝300时，即60t －300＋20＝300，解得t ＝293，293－5＝143(小时)．∴甲车出发13小时或2小时或3小时或143小时，两车相距20千米．4．解：(1)当0<x ≤1时，y ＝6＋22＝28；当x >1时，y ＝6＋22＋10(x －1)＝10x ＋18.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0<x ≤1），10x ＋18（x >1）. (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快递的费用是43元． 5．解：(1)1cm/s 2cm/s(2)设点P 在CD 上时S 与t 的函数关系式为S ＝kt ＋b (k ≠0)．由图分析知其过(12，18)，(15，0)两点．代入得⎩⎪⎨⎪⎧18＝12t ＋b ，0＝15t ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，b ＝90，∴S ＝90－6t (12≤t ≤15)．(3)当0≤t ≤6时，S ＝3t ，△APD 的面积为10cm 2，即S ＝10时，3t ＝10，t ＝103；当12≤t ≤15时，90－6t ＝10，t ＝403.综上所述，当t 为103s 或403s 时，△APD 的面积为10cm 2.6．解：(1)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t （0≤t ≤20），1000（20<t ≤30），50t －500（30<t ≤60）.(2)设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为s ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝1000，b ＝250，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝250，则s ＝30t ＋250.当50t －500＝30t ＋250，即t ＝37.5，即小明出发37.5min 与爸爸第三次相遇．(3)30t ＋250＝2500，解得t ＝75，即小明的爸爸到达公园需要75min.∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴小明希望比爸爸早20min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.7．解：(1)设一只A 型节能灯的售价是x 元，一只B 型节能灯的售价是y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝26，3x ＋2y ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7，所以一只A 型节能灯的售价是5元，一只B 型节能灯的售价是7元．(2)设购进A 型节能灯m 只，总费用为w 元．依题意得w ＝5m ＋7(50－m )＝－2m ＋350.∵－2<0，∴当m 取最大值时w 有最小值．又∵m ≤3(50－m )，∴m ≤37.5.而m 为正整数，∴m ＝37，∴50－m ＝13.故最省钱的购买方案是购进37只A 型节能灯，13只B 型节能灯．8．解：(1)因为从甲仓库运x 吨往A 港口，则从甲仓库运往B 港口的有(80－x )吨，从乙仓库运往A 港口的有(100－x )吨，运往B 港口的有50－(80－x )＝(x －30)吨，所以y ＝14x ＋20(100－x )＋10(80－x )＋8(x －30)＝2560－8x (30≤x ≤80)．(2)由(1)得y ＝2560－8x ，y 随x 增大而减少，所以当x ＝80时总运费最小，y 最小＝2560－8×80＝1920(元)，此时的方案为：把甲仓库的全部运往A 港口，再从乙仓库运20吨往A 港口，乙仓库的余下的全部运往B 港口．。
湘教版初中八下数学精品授课课件 第4章 一次函数 一次函数的应用 第1课时 利用一次函数解决实际问题
解：(1)设函数表达式为y=kx+b. 由题意知，当x=60时，y=8000 ；当x=61时，y=7500，
60k + b = 8000，
k = -500，
得 61k + b = 7500，解得 b = 38000，
所以这种商品的需求量y(件)与单价x(元)之间的函数关系式 为y=-500x+38000(x≥60).
(2)当x=70时，y=-500x+38000=-500×70+38000=3000. 所以当价格为 70元是，这种商品的需求量是3000件.
(3)当y=0时，0=-500x+38000，解得x=76.所以当价格提高到76元时，这 种商品就卖不出去了.
解 ： (1) 设 日 销 售 量 y （ 件 ） 与 上 市 时 间t（天）之间的函数表达式为y=kt. 将 点 (30 ， 600) 的 坐 标 代 入 ， 得 600=k×30，解得k=20.所以日销售量 y（件）与上市时间t（天）之间的函 数表达式为y=20t (0≤t≤30).
(2)当购买4500 kg时， 甲方案付款：y=9x=9×4500=40500(元)， 乙方案付款：y=8x+5000=8×4500＋5000=41000(元)， 所以购买量为4500 kg是选择甲方案付款少. 当购买5100 kg时， 甲方案付款：y=9x=9×5100=45900(元)， 乙方案付款：y=8x+5000=8×5100＋5000=45800(元)， 所以购买量为5100 kg时，选择乙方案付款少.
(2)从图(b)中可知，从第20天起，产品销售利润为60元/件，故第30天的 日销售利润最大，即y最大=60×(20×30)＝36000(元)=3.6万元.
湘教版八年级数学下册课件 4-5 第1课时 利用一次函数解决实际问题
（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐
标系中，如图. 过点M(0，40)作射线
l与x轴平行，它先与射线 y2 = 40(x-2)相交，这表明 小红先到达乙地.
y /km
40 32 小红y2=40(x-2) 24 16 8
l
小明y1=8x
O 1 2 3 4 5 x /h
三 随堂巩固
1. 如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关 系，l2反映该公司产品的销售成本 与销售量的关系，根据图象判断
（2）画出这个函数的图象； （3）小王家3月份，4月份分别用电150kW·h 和200kW·h，应缴纳电费各多少元？
解（1）电费与用电量相关.
当0≤x≤160时，y=0.6x；
当x＞160时，y = 160×0.6+(x-160)×(0.6+0.1) = 0.7x-16.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
解（2）设一次函数的表达式为 y = kx + b， 由于点A(0, 5000)，B(20, 0)都在一次函数图像上，将 这两点坐标带入表达式，得
k·0 + b = 5000， k·20 + b = 0. 解得 k = -250，b = 5000. 因此所求一次函数的解析式为 y = -250x + 5000.
该4件
B. 大于4件
C. 等于4件
D. 大于或等于4件
2. 甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路 程 y (米)与长跑时间 x (分)之间的函数图象如图所示， 根据图象所提供的信息解答问题：
（1）他们在进行__5_0_0_0_米的长跑训练，在0<x<15 的时段内，速度较快的人是__甲____； （2）求甲距终点的路程y(米) 和跑步时间t(分)之间的函数 关系式； （3）当x=15时，两人相距多 少米？在15<x<20的时段内， 求两人速度之差.
湘教版初中数学八年级下册4.5 第1课时 利用一次函数解决实际问题2
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！4.5 一次函数的应用第1课时 利用一次比例函数解决实际问题一．选择题（每小题6分）1.一根弹簧的原长为12 cm ，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1kg 就伸长cm ，写12出挂重后的弹簧长度y （cm ）与挂重x （kg ）之间的函数关系式（ ） A 、y = x + 12（0＜x≤15）12B 、y = x + 12（0≤x ＜15）12C 、y = x + 12（0≤x≤15）12D 、y = x + 12（0＜x ＜15）122.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y （元）与销售量x （件）之间的函数图象.下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ） A ．①② B ．②③④ C ．②③ D ．①②③3.在一定范围内，某产品的购买量y （吨）与单价x （元）满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，如客户购买400吨，单价为（ ） A ．820元 B.840元 C.860元 D.880二、填空题(每题6分)4.如图，汽车油箱的余油量与行驶的时间的关系为一次函数，由图可知，汽车行驶的最长时间为_____.5.某食品厂向A 市销售面包，如果从铁路托运，每千克需运费0.58元；如果从公路托运，每千克需运费0.28元，另需出差补助600元。
（1）设该市向A 市销售面包千克，铁x 路运费y 元，公路运费z 元，则y ，z 与之间的函数关系式分别为_______，x _________；（2）若厂家只出运费1500元，选用______运送，运送面包多； （3）若厂家运送1500千克，选用______运送，所需运费少.三．问答题（共70分）6．如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元）与行车里程x （km ） 之间的函数关系图象．①根据图象，写出当x ≥3时该图象的函数关系式； ②某人乘坐2.5km ，应付多少钱？③某人乘坐13km，应付多少钱？④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？7．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台． 已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．（1）设B市运往C市机器x台， 求总运费W（元）关于x的函数关系式．（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？8、某单位要制作一批宣传材料。
最新湘教版初中数学八年级下册4.5第1课时利用一次函数解决实际问题优质课教案
4．5 一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟01元)和B套餐(月租费0元，通话费每分钟015元)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为分钟．(1)分别表示出y1与，y2与的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水t，应收水费y元，y与之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求b的值，并写出当>10时，y 与之间的函数表达式；(3)已知上月居民甲比居民乙多用4t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t时，设其函数表达式为y＝a，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t多还是比10t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤≤10时，图象过原点，所以设y＝a把(10，15)代入，解得a＝15所以y＝15(0≤≤10)．当＝8时，y＝15×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当>10时，设y＝b＋(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得错误!解得错误!即超过10t的部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y＝2－5(>10)；(3)因为10×15＋10×15＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t多．设居民乙上月用水t，则居民甲上月用水(＋4)t y甲＝2(＋4)－5，y乙＝2－5由题意，得[2(＋4)－5]＋(2－5)＝46，解得＝12即居民甲用水16t，居民乙用水12t方法总结：本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果千克，则购进乙种水果(140－)千克，根据题意可得5＋9(140－)＝1000，解得＝65，∴140－＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3＋4(140－)＝－＋560，故W随的增大而减小，则越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－≤3，解得≥35，∴当＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30c2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(c)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：c3/s)为多少？(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15c2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为c3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a c，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5c，设“几何体”上方圆柱的底面积为S c2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14c，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11c，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(c)．设匀速注水的水流速度为c3/s，则18·＝30×3，解得＝5，即匀速注水的水流速度为5c3/s；(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a c，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(c)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S c2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24c2方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－成本)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－)箱，则y＝(63－55)＋(40－35)(500－)＝3＋2500即y＝3＋2500(0≤≤500)；(2)由题意，得55＋35(500－)≤20000解得≤125∴当＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的25倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y()与自行车队离开甲地时间(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是________/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出B，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24/h(2)由题意得，邮政车的速度为24×25＝60(/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝错误!答：邮政车出发错误!小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝错误!(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为错误!＋2＋1＝错误!(h)，∴B(错误!，135)，(75，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋05＝错误!＋05＝错误!(h)，∴D(错误!，135)．设B的解析式为y1＝1＋b1，由题意得错误!∴错误!∴y1＝－60＋450，设ED的解析式为y2＝2＋b2，由题意得错误!解得错误!∴y2＝24－12当y1＝y2时，－60＋450＝24－12，解得＝55y1＝－60×55＋450＝120 答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练力争逐步提高。
最新湘教版初中数学八年级下册解题技巧一次函数应用中的综合性问题
解题技巧专题：一次函数应用中的综合性问题◆类型一两个一次函数结合的问题1．(曲靖中考)如图，已知直线y1＝－错误!＋1与轴交于点A，与直线y2＝－错误!交于点B求：(1)△AOB的面积；(2)y1>y2时，的取值范围．2．(上海中考)某物流公司引进A，B两种机器人用搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A(千克)与时间(时)的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B(千克)与时间(时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y B关于的函数表达式；(2)如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？3．甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y(千米)与时刻t(时)的对应关系如图所示：(1)A，B两城之间距离是多少千米？(2)求乙车出发多长时间追上甲车；(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20千米．【方法16】◆类型二与一次函数相关的分段函数问题4．小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费用外，樱桃不超过1g收费22元，超过1g，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为(g)．(1)求y与之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快递了25g樱桃，请你求出这次快递的费用是多少元．5．如图，正方形ABD的边长为6c，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(c2)，S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的速度为________，在D上运动的速度为________；(2)求出点P在D上时S与t的函数关系式；(3)t为何值时，△APD的面积为10c2?6．(南充中考)小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．他们家到公园的距离为2500，如图是小明和爸爸所走路程s()与步行时间t(in)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度不变的情况下，小明希望比爸爸早20in到达公园，则小明在步行过程中停留时间需作怎样的调整？◆类型三与一次函数相关的最值或方案设计问题7．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．8．(衡阳中考)为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B 港口分别运送100吨和50吨生活物资，已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为吨，求总费用y(元)与(吨)之间的函数关系式，并写出的取值范围；【易错8】(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．参考答案与解析1．解：(1)联立错误!解得错误!所以B点的坐标为错误!令y1＝－错误!＋1＝0，得＝2，所以点A的坐标为(2，0)，所以OA＝2，OA上的高为错误!，所以S△AOB＝错误!×2×错误!＝错误!(2)由图可知y1>y2时，>－12．解：(1)设y B关于的函数表达式为y B＝1＋b(1≠0)，把点E(1，0)和点P(3，180)的坐标代入，得错误!解得错误!所以y B关于的函数表达式为y B＝90－90(1≤≤6)．(2)设y A关于的函数表达式为y A＝2(2≠0)，把P(3，180)代入，得180＝32，＝60，∴y A＝60当＝5时，y A＝5×60＝300；当＝6时，y B＝90×6－90＝450，2450－300＝150(千克)．答：B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．3．解：(1)从图象中得A，B两地相距300千米．(2)设甲车在行驶过程中y与t的表达式为y甲＝1t＋b1，∵图象过(5，0)和(10，300)两点，∴错误!解得错误!∴y甲＝60t－300设乙车在行驶过程中y与t 的表达式为y乙＝2t＋b2，∵图象过(6，0)和(9，300)两点，∴错误!解得错误!∴y＝100t－600当乙车追上甲车时，它们所行驶的路程相同，即60t－300＝100t 乙－600，解得t＝7575－6＝15(小时)，∴乙车出发15小时追上甲车．(3)错误!小时或2小时或3小时或错误!小时．解析：①当y甲＝20时，即60t－300＝20，解得t＝错误!，错误!－5＝错误!(小时)；②当y甲－y乙＝20时，即60t－300－(100t－600)＝20，解得t＝7，7－5＝2(小时)；③当y乙－y甲＝20时，即100t－600－(60t－300)＝20，解得t＝8，8－5＝3(小时)；④当y甲＋20＝300时，即60t－300＋20＝300，解得t＝错误!，错误!－5＝错误!(小时)．∴甲车出发错误!小时或2小时或3小时或错误!小时，两车相距20千米．4．解：(1)当0<≤1时，y＝6＋22＝28；当>1时，y＝6＋22＋10(－1)＝10＋18∴y＝错误!(2)当＝25时，y＝10×25＋18＝43∴这次快递的费用是43元．5．解：(1)1c/s 2c/s(2)设点P在D上时S与t的函数关系式为S＝t＋b(≠0)．由图分析知其过(12，18)，(15，0)两点．代入得错误!解得错误!∴S＝90－6t(12≤t≤15)．(3)当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10c2，即S＝10时，3t＝10，t ＝错误!；当12≤t≤15时，90－6t＝10，t＝错误!综上所述，当t为错误!s或错误! s时，△APD的面积为10c26．解：(1)s＝错误!(2)设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为s＝t＋b，则错误!解得错误!则s＝30t＋250当50t－500＝30t＋250，即t＝375，即小明出发375in与爸爸第三次相遇．(3)30t＋250＝2500，解得t＝75，即小明的爸爸到达公园需要75in∵小明到达公园需要的时间是60in，∴小明希望比爸爸早20in到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5in7．解：(1)设一只A型节能灯的售价是元，一只B型节能灯的售价是y元．依题意得错误!解得错误!所以一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元．(2)设购进A型节能灯只，总费用为w元．依题意得w＝5＋7(50－)＝－2＋350∵－2<0，∴当取最大值时w有最小值．又∵≤3(50－)，∴≤375而为正整数，∴＝37，∴50－＝13故最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯，13只B 型节能灯．8．解：(1)因为从甲仓库运吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有(80－)吨，从乙仓库运往A港口的有(100－)吨，运往B港口的有50－(80－)＝(－30)吨，所以y＝14＋20(100－)＋10(80－)＋8(－30)＝2560－8(30≤≤80)．(2)由(1)得y＝2560－8，y随增大而减少，所以当＝80时总运费最小，y最＝2560－8×80＝1920(元)，此时的方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从小乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．。
湘教版八年级数学下册解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题(1)
解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？◆类型二路程类问题一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？◆类型三工程类问题一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎨⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝3.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）.(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)． 答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎨⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎨⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎨⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎨⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y乙＝⎩⎨⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）. (2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20. (2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.7．①②④8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎨⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
湘教版八年级数学下册教案-利用一次函数解决实际问题
4．5 一次函数的应用第1课时 利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司手机话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？ 二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的部分，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)已知上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得a ＝1.5.所以y ＝1.5x (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ＝1.5×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，则居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x －5.由题意，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x ＝12.即居民甲用水16t ，居民乙用水12t.方法总结：本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：则这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，则x越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为a cm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－成本)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，则y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3x＋2500.即y＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤20000.解得x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以D的坐标，由待定系数法就可以求出BC，ED的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C (7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0＝7.5k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72＝3.5k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24x －12.当y 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
湘教版数学八年级下册第1课时 利用一次函数解决实际问题教案与反思
4.5一次函数的应用投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时利用一次函数解决实际问题【知识与技能】1.进一步训练学生的识图能力.2.能利用函数图象解决简单的实际问题.【过程与方法】1.通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识.2.通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力.【情感态度】通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题.【教学重点】一次函数图象的应用.【教学难点】利用一次函数的知识解决实际问题一、创设情境，导入新课我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？【教学说明】让学生能够学以致用，采用设问的方式使他们很快融入到学习中去，从而顺其自然地过渡到新内容.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题一次函数的实际应用思考教材第133页“动脑筋”【教学说明】通过在实际问题中，自变量的取值范围不同，函数的解析式也就不同，经历分段函数的运用，培养了学生分类讨论的思想.例：教材第134页“例1”【教学说明】让学生明确在实际问题中，两个一次函数图象都要附带自变量的取值范围，同时能够利用它们的图象分析解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量（）A.小于4件B.大于4件C.等于4件D.大于或等于4件2.甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y(米)与长跑时间x(分)之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练，在0<x<15的时段内，速度较快的人是；（2）求甲距终点的路程y(米)和跑步时间t(分)之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？在15<x<20的时段内，求两人速度之差.【教学说明】由学生自主完成，便于检查学生掌握的情况，及时查漏补缺，并根据学生出现的错误有针对性地矫正强化.在完成上述题目，让学生完成练习册中本课时的“课堂自主演练”部分.答案：1.B2.（1）5000，甲；（2）y=-250x+5000;(3)750米，在15<x<20的时段内，两人速度之差为150米/分.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑难问题，请与大家共同探讨.【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，共同讨论，消除疑问，不断提高.1.布置作业：习题4.5中的第1、2题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.对于分段函数的实际应用问题中，学往往忽视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练力度，力争逐步提高.【素材积累】辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。
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解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题
——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义
◆类型一费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；
(2)设每月用水量为吨，应交水费为y元，请写出y与之间的函数解析式；
(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
二、分段函数问题
2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B
种树苗所需费用y(元)与购买数量(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与的函数解析式；
(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
三、两个一次函数图象结合的问题
3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费12元；③A点的坐标为(65，104)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用34元．其中正确的个数有( )
A．1个B．2个．3个D．4个
四、分类讨论思想
4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲，y 乙(单位：元)与原价(单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y 甲，y 乙关于的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
◆类型二 路程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
5．(2017·青岛中考)A ，B 两地相距60，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l 1，l 2表示两人离A 地的距离s()与时间t(h )的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A 地的距离与时间关系的图象是________(填l 1或l 2)；甲的速度是________/h ，乙的速度是________/h ；
(2)甲出发多长时间两人恰好相距5?
二、分段函数问题
6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380的某景区旅游，他们离家的距离y()与汽车行驶的时间(h )之间的函数图象如图所示．
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？ (2)求线段AB 对应的函数解析式； (3)小刚一家出发25h 后离目的地有多远？
◆类型三工程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．
二、分段函数问题
8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤35时，求Q关于t的函数解析式．
参考答案与解析
1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场价为n元．由题意得错误!解得错误!
答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为35元．
(2)当0≤≤14时，y＝2；当＞14时，y＝14×2＋(－14)×35＝35－21综上所述，y
＝错误!
(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为35×26－21＝70(元)．
答：小明家5月份应交水费70元．
2．解：(1)当0≤≤20时，设y与的函数解析式为y＝a，把(20，160)代入y＝a中，得a＝8即y与的函数解析式为y＝8；当>20时，设y与的函数解析式为y＝＋b，把(20，160)，(40，288)代入y＝＋b中，得错误!解得错误!即y与的函数解析式为y＝64＋32综上所述，y与的函数解析式为y＝错误!
(2)∵B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，∴错误!∴225≤≤35设总费用为W元，则W＝64＋32＋7(45－)＝－06＋347∵＝－06<0，∴y随的增大而减小，∴当＝35，45－＝10时，总费用最低，即购买B种树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝－06×35＋347＝326(元)．
3．D
4．解：(1)设y甲＝，把(2000，1600)代入，得2000＝1600，解得＝08，所以y甲＝08当0＜＜2000时，设y乙＝a，把(2000，2000)代入，得2000＝2000，解得＝1，所以y
＝当≥2000时，设y乙＝＋n，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得错误!解得错误!所乙
以y乙＝错误!
(2)当0＜＜2000时，08＜，到甲商店购买更省钱；当≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则08＜07＋600，解得＜6000；若到乙商店购买更省钱，则08＞07＋600，解得＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则08＝07＋600，解得＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l230 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是错误!＝30(/h)，乙的速度是错误!＝20(/h)．故答案为l2，30，20
(2)设甲出发h两人恰好相距5由题意30＋20(－05)＋5＝60或30＋20(－05)－5＝60，解得＝13或15
答：甲出发13h或15h两人恰好相距5
6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h
(2)设线段AB对应的函数解析式为y＝＋b把点A(1，80)，B(3，320)代入得错误!解得错误!∴y＝120－40(1≤≤3)．
(3)当＝25时，y＝120×25－40＝260，380－260＝120()．故小刚一家出发25h后离目的地120
7．①②④
8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－15＝05(h)．∵排水时间为35－05＝3(h)，一共排水9003，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(3/h)．
(2)当2≤t≤35时，设Q关于t的函数解析式为Q＝t＋b，易知图象过点(35，0)．∵当t＝15时，排水300×15＝450(3)，此时Q＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q＝t＋b上．把(2，450)，(35，0)代入Q＝t＋b，得错误!解得错误!∴Q关于t的函数解析式为Q＝－300t＋1050。