连续小波变换

3. 连续小波变换的再生核
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正
交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如
下描述
K (a, ; a, )
1 C
a, (t)a, (t)dt
R
1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。
重建核方程
Wf (a0,0 )
da 0 a2

W

f
(a,
)K
(a0
,
0;
a,
)d
4. 连续小波变换具有以下重要性质： (1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的 小波变换之和。
(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(t－)
的小波变换为
注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确 的尺度－时间－小波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数 图。这是因为此时的频率间隔不为常数。 。
下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为100Hz和
200Hz的两个正弦分量所合成的信号。
clear;
➢ （3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
➢
（4）品质因素
Q

0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。

a t 1
a
➢ 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参
数的变化而变化。
几点结论：
➢ （1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
➢ （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
➢ 同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：

a,
()

a
1 2
e
j
(a)
➢ ➢
常用的小波
➢ 1.Haar小波。

(t)

1,0 t 0,1其, 12他 t
1 2
1

2.Daubechies（dbN）小波
N 1
令P( y) C N 1k yk，其中，C N 1k为二项式的系数，
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2

(c
os2

图1.11
小波变换的系数用图所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换 系数的系号，纵坐标表示尺度， 灰度颜色越深，表示系数的值越 大。
绘图原理 1.需要用到的小波工具箱中的三个函数 cwt（），centfrq（），
scal2frq（）
COEFS = cwt(S,SCALES,‘wname’) 说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES为 尺度，wname为小波名称。
即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 ➢ （2）对称性。它在图像处理中可以有效的 避免移相。
➢ （3） (t)和(t) 的消失矩阵数。这对于压缩 非常有用。
➢ （4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。
➢ 具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
a,
(t)
|
a
1
|2

(t

a
),
b

R,
a

R
{0}
➢ 从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 一样，也是一种变换，WT f (a, ) 为小波变换 系数。
➢ 也可见其与傅立叶变换的区别。
逆变换
➢ 若小波满足容许条件，则连续小波变换存
在着逆变换。
➢
容许条件：
C
| () |2
FREQ = centfrq(‘wname’) 说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,‘wname’,DELTA) 说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname为小 波名称，DELTA为采样周期。 注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅matlab的帮助文档。
由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列， 尺度序列必须取为以下形式：
c/totalscal,...,c/(totalscal-1), c (2)
其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长 度(通常需要预先设定好)，c为一常数。
下面讲讲c的求法。
根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应 为fs/2，于是可得
2
)
N
P(sin2

2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：

(t
)

(1

t
2

)e
t2 2
()
2

2e

2
2
4.Morlet小波
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
t2
(t) Ce 2 cos(5x)
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1， length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图所示。
C是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和
信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，
在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。 （4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。
2.4 尺度和频率之间的关系
小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换 结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中 的主要问题之一。在MATLAB中，可以用cwt函数实现对信号的连续小波 变换。
2.2 几种常用的小波
➢ 小波分类的标准 ➢ （1） (t)、 ()、(t)、() 的支撑长度，
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a
(1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定
R ||
d
➢ 逆变换公式：f (t) 1
C
da 0 a2

WT

f
(a,
)
a,
(t)d
1
C
da 0 a2

WT

f
(a,
)
1 (t )d
aa
说明：
➢ （1）必须满足“容许条件”，反变换才存
在。
()
(t)
➢ （2）在实际应用中，对基本小波的要求往
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义
➢ 将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
WT f (a, ) f (t), a, (t)
1 f (t) (t )dt
aR
a
➢
其中：
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
Haar小波
clc;
fs=1024;
%采样频率
f1=100;
f2=200;
t=0:1/fs:1;
s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %两个不同频率正弦信号合成的仿真信号
往不局限于满足容许条件，对 还要施加
所谓“正则性条件”，使|WTf (a在,)| 频域上表现
出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性，要求 (t) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0， 且n值越高越好。
➢ 即： t p (t)dt 0, p 1 ~ n,且n值越大越好。
其频域窗口中心为： a, 窗口宽度为： 1

1 a
0
a
➢
信号在频域窗内：[
1 a
0

1 2a

,
1 a
0

1 2a

]
➢ 从上面的时频域的讨论可见，连续小波的
时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸
缩，如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口
面积，则：
ta,
a,
1

(t)


1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
1 (t)
01
1
2
1
ˆ () i 4 ei/2 sin2 / 4

定量分析-时域
➢ 假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波
a, (பைடு நூலகம்)
1 (t )
aa
第二章 连续小波变换
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数
➢ 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。
➢ 小波的可容许条件：
^
C

| () |2 R | |

小波特点：
➢ （一）“小”。即在时域都具有紧 支集或近似紧支集。
➢ （二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。
Wf (a，b－)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(ct)的 小波变换为
1
c W f (ca, cb) c 0
(4)自相似性：对应不同尺度 参数a和不同平移参数b的连续小 波变换之间是自相似的。
(5)冗余性：连续小波变换把 一维信号变换到二维空间，因此 在连续小波变换中存在信息表述 的冗余度(redundancy)。小波变 换的逆变换公式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在 以下两个面：
①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说， 信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅 里叶反变换是一一对应的。
②小波变换的核函数即小波函数a，b(t)存在许多可能的选择(例如，
它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性 相关的)。
➢ 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
➢ 将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
➢ 小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
c=2×Fc×totalscal
(3)
将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。
4.时频图的绘制
确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs（系数是复数 时要取模），然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，最后结 合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。
Fa


Fc a
➢ a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
2.5 应用实例
例已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋5cos(72t)，且该信号 混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、 1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：