2012年文数高考试题答案及解析-重庆

2012年普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若p 则q ”的逆命题是（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q （C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝（2）不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．（3）设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】：D【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270（5）sin 47sin17cos30cos17-（A ）-B ）12-（C ）12 （D【答案】：C 【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+ （6）设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A（B（C）（D ）10 【答案】：B（7）已知2l o g 3o g 3a =+2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >>【答案】：B 【解析】：222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===则a b c => 【考点定位】本题考查对数函数运算．（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】：C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a 且长为a a 的取值范围是（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】：A【解析】：BE ==，BF BE <，2AB BF =，【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． （10）设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则MN 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞ 【答案】：D【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x-<即34x<所以3log 4x <故(,1)MN =-∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S = 【答案】：15【解析】：44121512S -==- 【考点定位】本题考查等比数列的前n 项和公式（12）函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a =（13）设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =【答案】（14）设P 为直线3b y x a =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。

【答案】：15三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

【答案】：（Ⅰ）n a =2n （Ⅱ）6k =【解析】：：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d,由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得12,2a d ==所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+ 因12,,k k a a S + 成等比数列，所以212k k a a S += 从而2(2)2(2)(3)k k k =++ ，即 2560k k --=解得6k = 或1k =-（舍去），因此6k = 。

17．（本小题满分13分）已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值． 【答案】：（Ⅰ）1327（Ⅱ）427【解析】：：（Ⅰ）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。

由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响。

（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

【答案】：（Ⅰ）1327（Ⅱ）427独立事件同时发生的概率计算公式知112211223()()()p D p A B A B p A B A B A =+112211223()()()()()()()()()p A p B P A P B p A p B P A P B p A =+2222212114()()()()3232327=+=19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在6x π=处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π（I ）求()f x 的解析式； （II ）求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域。

【答案】：（Ⅰ）6πϕ=（Ⅱ）775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]442（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。

（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）13【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC ， D 为AB 的中点，故CD ⊥AB 。

又直三棱柱中，1CC ⊥ 面ABC ，故1CD CC ⊥，所以异面直线1CC 和AB 的距离为（Ⅱ）：由1C D ,C D ,A B B B ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角。