二次函数与角度问题
二次函数中的角度问题(4大题型)专练(学生版)-2024年中考数学压轴题专项训练
二次函数中的角度问题(4大题型)专练通用的解题思路：1、角的数量关系处理的一般方法如下：(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； (2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； (3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．2.特殊角问题处理的一般方法如下： (1)运用三角函数值；(2)遇45°构造等腰直角三角形； (3)遇30°，60°构造等边三角形； (4)遇90°构造直角三角形．题型一：角相等问题对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
1(2024·山西太原·三模)综合与探究如图1，经过原点O 的抛物线y =-2x 2+8x 与x 轴的另一个交点为A ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知点B 的横坐标为1，点M 为抛物线上一动点．(1)求出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式．(2)如图2，若点M 是直线l 上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l 于点C ，设点M 的横坐标为m ，求MC OC的最大值．(3)如图3，连接OB ，抛物线上是否存在一点M ，使得∠MOA =∠BAO ，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2(23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出A、B、D三点坐标．(2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；(3)如图2，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；3(23-24九年级下·湖南永州·开学考试)综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-23x2+43x+2的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB=∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4(2024·上海嘉定·二模)在平面直角坐标系xOy(如图)中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)、B(-2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；(3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC=∠BAC，请求出点D的坐标．5(2023·海南·模拟预测)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)．直线y=x+1与抛物线交于A，D两点．点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形PCAD的面积；(3)抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAD？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点M、N是对称轴上的两个动点，且MN=1，点M在点N的上方，求四边形ACMN的周长的最小值．6(2024·上海静安·二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A(0,3)和点B(3,0)，横坐标为4的点C在此抛物线上．(1)求该抛物线的表达式；(2)联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC=45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ=∠BAC，并求点P的坐标．7(2024·广西·一模)如图，已知抛物线y =-13x 2+bx +c 交x 轴于A -3,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ，P 是抛物线上一点，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP ，BP ，若S △BOP =2S △AOC ，求点P 的坐标；(3)若∠PBA =∠ACO ，直接写出点P 的坐标．8(2024·山东济南·一模)如图，二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0). 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC 、BD ．(1)若m =1,，求B 点和C 点坐标；(2)若∠ACO =∠CBD ,求m 的值；(3)若在第一象限内二次函数y =x ²-2mx -2m -1(m >0)的图象上，始终存在一点P ，使得∠ACP =75°.请结合函数的图象，直接写出m 的范围．9(2024·广东·一模)综合应用．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y =-23x 2+43x +2的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B的左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使∠PCB =∠ABC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．10(2024·江苏宿迁·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知A-1,0，B3,0．，C0,3(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上任意一点，若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上任意一点，若以M、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标．题型二：二倍角关系问题对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。
中考数学二次函数之角度问题
二次函数之角度问题【牛刀小试】x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y 如图①，抛物线y=−√39轴交于点C（0，3√3），连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，已知R是y轴上一点，连接AR，若AR平分∠OAC，求点R的坐标；（3）如图③，已知点G是抛物线上一点，连接CG，若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标；【变式】如图，已知抛物线y =−13x 2+bx +c 经过点A （5，23）、点B （9，﹣10），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点P 在抛物线上，过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线BC 交于点E ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当∠PCB ＝90°时，作∠PCB 的角平分线，交抛物线于点F ．求点P 和点F 的坐标．考点2：已知角度关系求坐标【典例】如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的经过D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式和A、B两点坐标；（2）在y轴上有一点P，使得∠OAP＝∠BCO，求点P的坐标．【变式】如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．同步练习1．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），x+1与x轴、y轴交于点D、E，与二且与y轴交于点C，直线y=12次函数图象交于点F，G．（1）求该二次函数的解析式．（2）点M为该二次函数图象上一动点．①若点M在图象上的C，F两点之间，求△DME的面积的最大值．②若∠MED＝∠EDB，求点M的坐标．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a ＞0）经过点A(−1，√3)和x轴正半轴上的点B，AO＝OB．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的度数；（3）连接AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP＝∠ABM，求点P的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB＝∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．已知点B（1，0），C（0，﹣2）．抛物线的对称轴是直线x=−32（1）求抛物线的解析式．（2）E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值及此时点E的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P，使得∠OAP+∠OAC＝60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c过点A、B、C，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），连接AC，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ACD的面积；（3）如果点P是抛物线上的一点，当∠PCA＝15°时，求点P的横坐标．拓展提优1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP．①若△PBC是直角三角形，且∠PBC＝90°时，求P点坐标；②当∠PBA＝2∠CBD时，求P点坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣4），作直线AC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．①求证：四边形OCPD是平行四边形；②连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP＝∠DPQ，若存在求点Q 的坐标；若不存在说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B 两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n （n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．4．如图1，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是线段OB上一动点，过点P 作垂直于x轴的直线交抛物线于点D，交BC于点E．（1）二次函数的表达式是；（2）求△BDC面积的最大值；（3）当△CDE中有一个角与∠ABD相等时，求点P的坐标；（4）如图3，将△BCD沿BC翻折至△BCD′，当点P从点O运动至点B时，记点D′的运动轨迹为G，若直线y＝2x+m与图象G有两个公共点，直接写出m的取值范围．。
二次函数综合--角度存在性问题
二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法1利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角2利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；＝S△CDO，求点P的横坐标；（2）若S△CDP（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。
二次函数中角度问题
二次函数中角度问题二次函数是高中数学中非常重要的一章内容，其中涉及到许多重要的概念和知识点，其中一个比较重要的问题就是二次函数中角度问题。
本文将从以下几个方面进行详细的阐述。
一、什么是角度问题在二次函数中，我们经常会遇到关于角度的问题。
例如，我们可以将二次函数表示为 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 的形式，其中$a$ 和 $b$ 是常数。
这个式子中的 $x$ 就代表了一个角度。
此外，在解决一些实际问题时，我们也经常需要用到角度概念。
例如，在物理学中，我们需要计算物体在斜面上滑动时的倾斜角度；在工程学中，我们需要计算建筑物或桥梁的倾斜角度等等。
因此，在二次函数中涉及到角度问题时，我们需要对角度有一个清晰准确的认识。
二、如何理解角度在数学中，我们通常使用弧度来表示角度。
弧度是一个长度单位，它表示弧长与半径之比。
例如，在一个半径为 $r$ 的圆上走过弧长为$l$ 的弧所对应的弧度就是 $\theta = l/r$。
在初学者中，我们通常使用度数来表示角度。
一个圆的周长是 $2\pi r$，因此一个完整的圆的角度是 $360$ 度。
因此，我们可以将一个任意角度 $\theta$ 转换为弧度制：$$\theta_{\text{弧度}} = \frac{\theta_{\text{度}}}{180^\circ}\pi$$例如，$45^\circ$ 对应的弧度是 $\pi/4$。
三、如何解决二次函数中的角度问题在二次函数中，我们经常需要用到三角函数和反三角函数。
例如，在上面提到的二次函数 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 中，我们需要用到正弦和余弦函数。
在解决这些问题时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 三角函数的定义域和值域正弦和余弦函数都是周期为 $2\pi$ 的周期函数。
它们的定义域是实数集合 $\mathbb{R}$，值域是区间 $[-1, 1]$。
二次函数与角度问题解题技巧
二次函数与角度问题解题技巧一、引言二次函数是中学数学中重要的概念之一，在解题中经常会涉及到与角度相关的问题。
本文将从几个角度探讨二次函数与角度问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
二、二次函数的基本特征在深入讨论二次函数与角度问题之前，我们首先需要理解二次函数的基本特征。
二次函数的标准形式为：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是常数，a≠0。
2.1 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
要求二次函数的零点，可以通过解方程f(x)=0来得到。
常用的求根公式是一元二次方程的解法之一，即$ x = $。
2.2 顶点二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点。
顶点的横坐标是通过x=−b计算得2a到的，纵坐标是将横坐标代入函数中得到的。
2.3 对称轴二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过x=−b得到。
2a2.4 开口方向二次函数的开口方向可以根据系数a的正负来确定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，开口向下。
三、角度问题的解题技巧在解决与角度相关的二次函数问题时，我们需要掌握一些解题技巧。
本节将从几个角度探讨这些技巧。
3.1 求解函数图像与坐标轴交点当需要求解二次函数的图像与x轴或y轴交点时，我们可以将函数设置为0，得到方程f(x)=0或f(y)=0。
通过解这些方程，我们可以得到函数图像与坐标轴交点的坐标。
3.2 求解函数图像的对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
通过计算顶点的坐标，我们可以确定函数图像的对称轴、开口方向以及顶点的位置。
3.3 求解函数的最大值或最小值当需要求解二次函数的最大值或最小值时，我们可以利用顶点的纵坐标。
根据开口方向，最大值或最小值就是函数图像的顶点。
3.4 求解角度问题在一些角度问题中，我们需要根据给定的条件，建立二次函数的方程，并通过解方程求解。
一般情况下，可以利用三角函数的性质将角度转化为弧度，然后建立二次函数方程，最后通过求解方程得到结果。
二次函数综合(七)——角度问题
二次函数综合（七）——角度问题的坐标。
第（1）问要求抛物线的解析式，题中已知D点坐标，而抛物线又与直线交y轴于点C，故易得C点坐标，把C、D两点代入二次函数解析式即可求出，具体过程如下：第二问要使P、C、F、O四点构成的四边形是平行四边形，平行四边形存在性问题处理策略，通常是用对边平行且相等或对角线互相平分来处理。
我们看题中说PE垂直x轴交PD于点F，自然PF平行y轴，即PF平行OC，即只需再利用PF=OC即可，这里我们用绝对值的方法来解，不去分类讨论.具体过程如下：最后，我们来看第三问，题中说道∠PCF=45°，因为没说P 解法一：我们再看，若过点P作CD的垂线（P不是直角顶点），其实解法本质没太多区别，具体过程如下：解法二：我们现在依托于过D点作PC的垂线（P是直角顶点），也没有问题，这里就不过多分析，直接给出解题过程：解法三：同样，我们过D点作CD的垂线（P不是直角顶点），也可以构造一线三直角，这里也不过分析，具体过程如下：解法四：我们现在继续思考，图中给出了∠PCD=45°，点C在y轴上，我们自然可以依托于y轴构造一线三等角，具体过程如下：解法五：解法六：其实，就以解题而言，我们这里还可以将三角形COM绕点C 解法七：而连结PD，则有定边定角，自然可以构造辅助圆，这时几乎可以解法八：最后，我不得不说，数学解题大师于新华老师的“12345”模型，直接就知道答案，关于此模型的详细介绍我会在后面给出链接，请亲自己点开阅读，本题过程如下：解法九：要过程如下：至此，P点已求完，答案即为回顾解题过程，尤其是第三问，在特殊角的情况下自然可以特事特办，构造一线三直角，构造一线三等角，构造母子型相似，构造隐圆，捆绑旋转等即可，掌握一些特设技能，如“12345”模型完全可以在山穷水尽的时候杀开一条血路.当然，这些都需要我们平时多积累和思考。
解法一、二、八最好。
二次函数与30度角问题解题技巧
二次函数与30度角问题解题技巧二次函数是高中数学中重要的一种函数类型，学好二次函数对于解决各类相关问题具有重要意义。
而二次函数与角度问题的结合，在几何问题的解答中也是很常见的。
其中，30度角是一个非常特殊的角度，许多问题都可以通过将30度角与二次函数相结合来解决。
下面将介绍一些二次函数与30度角问题的解题技巧。
一、二次函数的性质回顾在解决二次函数与30度角问题之前，我们首先需要回顾一下二次函数的性质。
1.二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像是一个曲线，其形状取决于a的正负性：若a > 0，则图像开口向上；若a < 0，则图像开口向下。
对于a = 0的情况，曲线实际上就是一条直线。
3.二次函数的图像关于y轴对称。
4.二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h = -b / (2a)，k = f(h)。
5.二次函数的对称轴为直线x = h。
6.当二次函数的a > 0时，在对称轴上方的函数值比对称轴下方的函数值大；当a < 0时，则相反。
二、二次函数与30度角问题1. 30度角的特点首先，我们来看一下30度角的特点。
30度角是一个较为常见的直角三角函数角度，其正弦值、余弦值和正切值都具有特殊的数值：sin 30° = 1 / 2cos 30° = √3 / 2tan 30° = 1 / √3 = √3 / 3可以根据这些特殊角度的数值，来求解一些二次函数与30度角问题。
2.求二次函数与30度角的交点在二次函数的图像中，与x轴有交点的坐标为（x1，0）和（x2，0）。
现在要求二次函数与30度角的交点，即求二次函数与x轴交于30度角的坐标。
设二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，且f(x)与x轴交于角度为30度的点，也就是交点的纵坐标为0，即f(x) = 0。
二次函数中角度的存在性问题
二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。
2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。
类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。
2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。
类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。
过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。
然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。
然后一样利用对称性求出点M ’。
21。
二次函数与角度和差倍分
二次函数与角度和差倍分1.引言1.1 概述二次函数与角度和差倍分是数学领域中的重要概念和理论。
二次函数是一种特殊的函数形式，其解析式可以表示为一个变量的二次多项式形式。
二次函数具有独特的性质和特点，其图像通常呈现出抛物线的形状，对于解决实际问题和分析数学模型具有广泛的应用。
角度和差则是指两个角度之间的加法和减法运算。
在三角函数中，角度和差公式是一组重要的等式，用于求解两个角度的和与差的三角函数值。
通过角度和差公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一种形式，从而使计算更加简便。
本文旨在探讨二次函数与角度和差之间的关系，以及它们在实际问题中的应用和意义。
首先，我们将介绍二次函数的定义和特点，包括二次函数的一般形式、顶点坐标、对称轴等内容。
然后，我们将深入讨论角度和差的定义及其常见的倍分公式，包括正弦、余弦和正切函数的角度和差倍分公式。
最后，我们将总结二次函数与角度和差的关系，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解二次函数与角度和差的概念和理论，并能够运用它们解决实际问题。
无论是在科学研究还是日常生活中，这些知识都是非常有用的，能够帮助我们更好地理解数学的本质和应用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1. 章节划分：介绍本文的章节划分和内容安排，即明确说明文章包含哪些主要章节和各个章节的主题。
2. 二次函数部分：简要介绍文章中关于二次函数的内容，包括定义和特点以及图像和性质。
可以提及二次函数的标准形式、顶点形式和一般式，以及二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点位置等基本性质。
3. 角度和差倍分部分：概述文章中关于角度和差倍分的内容，包括角度和差的定义和角度和差的倍分公式。
可以提及如何计算角度和差以及如何利用倍分公式得出特定角度的倍分值。
4. 结构关联：指出二次函数和角度和差倍分之间的关系，即通过二次函数的性质可以推导出角度和差倍分的公式。
可以说明角度和差倍分在解决二次函数问题中的应用价值。
二次函数角度问题
二次函数角度问题1. 什么是二次函数二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
2. 什么是二次函数的角度二次函数的角度是指抛物线与其自身的对称轴之间的夹角。
对称轴是一个垂直于x轴的线，通过抛物线的顶点。
角度的大小决定了抛物线的形状和方向。
3. 如何确定二次函数的角度要确定二次函数的角度，我们可以使用二次函数的标准形式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标。
对称轴的方程为x = h，因此角度可以通过计算抛物线开口朝上或朝下的倾斜程度来确定。
4. 如何计算二次函数的角度计算二次函数的角度，可以使用函数的一阶导数。
一阶导数表示函数的斜率，也就是抛物线在某一点处的斜率。
当斜率为正时，抛物线开口朝上；当斜率为负时，抛物线开口朝下。
我们可以对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，得到f'(x) = 2ax + b。
通过求解f'(x) = 0，可以找到抛物线与对称轴的交点。
这个交点的x坐标可以代入原函数，得到对称轴的方程x = h。
如果a大于0，则抛物线开口朝上，角度为锐角。
如果a小于0，则抛物线开口朝下，角度为钝角。
角度的大小与a的绝对值成正比。
5. 如何解释二次函数角度对抛物线的影响二次函数的角度决定了抛物线的形状和开口的方向。
角度较小时，抛物线较为陡峭；角度较大时，抛物线较为平缓。
当角度比较小的时候，抛物线的增长或减少速度较快，曲线较为陡峭。
这意味着函数的值在x轴附近迅速变化，对应于一个较为敏感的函数。
当角度比较大的时候，抛物线的增长或减少速度较慢，曲线较为平缓。
这意味着函数的值在x轴附近变化得较为缓慢，对应于一个较为平滑的函数。
因此，角度对二次函数的图像具有重要影响，它决定了函数的形状、敏感性和平滑度。
总结起来，二次函数是一种具有角度的函数，角度决定了抛物线的形状和开口的方向。
二次函数存在性--角度问题
专题二：二次函数存在性之角度问题角度已知时例题1 . 已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）.（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象；（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.练习1 . 已知抛物线y=ax2+bx+c顶点(2,−1)，经过点(0,3)，且与直线y=x−1交于A,B两点.（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q,M,N,满足S△QAB=S△MAB=S△NAB=S，求S的值；（3）在A,B之间的抛物线弧上是否存在点P满足0∠APB？若存在，求=90点P的横坐标，若不存在，请说明理由.角度相等时例题1 . 如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1 . 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．角度成倍比关系时x+2与x轴交于点A，与y轴交例题1 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y= 12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．于点C，抛物线y= 12（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的的最大值；面积为S2，求S1S2②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．练习1 . 如图，抛物线y＝k x2﹣2kx﹣3经过点P（4，5），过点P的直线AM：y ＝m x+t1（m＜0）与抛物线交于点M，与x轴交于点A，过点P的另一直线BN：y＝n x+t2（n＞0）与抛物线交于点N，与x轴交于点B，已知PA＝PB．（1）写出抛物线的解析式为；问题探究：若点M的横坐标为﹣3，则点N的横坐标为，若点M的横坐标为﹣4，则点N的横坐标为；（2）结论猜想：若点M的横坐标为a，点N的横坐标为b，请根据（1）猜想a，b之间的数量关系为，并给予证明．（3）综合应用：已知直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，在抛物线上是否存在点P，连接PA，PB分别交y轴，x轴于点D，C，使∠DPB＝2∠PCO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．角度出现和差时例题1 ．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a2x+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME取值最大值时，求△ACE的面积．（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB+∠BCD=90°？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；。
二次函数与角度综合问题(学生版)
二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为y A，y B，设s＝y A﹣y B，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为；抛物线的解析式为．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．。
二次函数积分题分类精选---45度角
二次函数积分题分类精选---45度角在初等数学中，二次函数是一个非常重要的概念。
而在微积分中，对二次函数进行积分是经常用到的技巧。
本文将会介绍二次函数积分中的一个特殊情况：角度为45度。
我们将挑选出几个典型的题目，并根据题目的特点进行分类讲解。
类型一：$ax^2+2bx+a$型当被积函数为$ax^2+2bx+a$型时，可以采用配方法进行积分，即利用配方法将其化为$(px+q)^2$的形式，然后代入积分公式，最后通过代数运算计算出积分的结果。
例如：$$\int (2x^2+4\sqrt{2}x+2) dx$$解：$2x^2+4\sqrt{2}x+2=2(x^2+2\sqrt{2}x+1)=2(x+\sqrt{2})^2$所以，$$\begin{aligned} \int (2x^2+4\sqrt{2}x+2) dx & =2\int(x+\sqrt{2})^2 dx \\ & = \frac{4}{3}(x+\sqrt{2})^3+C \end{aligned}$$ 类型二：$ax^2+bx+c$型当被积函数为$ax^2+bx+c$型时，可以采用换元法进行积分，即令$t=x+\frac{b}{2a}$，将被积函数化为关于$t$的一次方程，然后代入积分公式进行计算。
例如：$$\int (x^2-x-2) dx$$解：$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$所以，$$\begin{aligned} \int (x^2-x-2) dx & =\int (x+1)(x-2) dx \\ & = \frac{1}{3}(x+1)^3-\frac{1}{2}(x-2)^2+C \end{aligned}$$类型三：$\sqrt{ax^2+bx+c}(a>0)$型当被积函数为$\sqrt{ax^2+bx+c}(a>0)$型时，采用三角代换进行积分是一种有效的方法，即令$x=\frac{1}{\sqrt{a}}\tan t$，然后将被积函数化为三角函数的形式，代入积分公式进行计算。
(挑战压轴)专项2.10 二次函数中角度有关问题(三大类)(解析版)
（挑战压轴）专项2.10 二次函数中角度有关问题（三大类）【方法技巧】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A 、B 、C ，CP ⊥y 轴交抛物线与点P ，点M 为A 、C 间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标。
分析：显然符合条件的点M 有两个，OP 上方一个，OP 下方一个、当M 在OP 上方时，由∠MPO=∠POA 可知PM//OA,则M 与C 点重合。
当M 在OP 下方时，∠MPO=∠POA ，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM 与x 轴交于点D ，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD 、PD 长，根据OD=PD 列方程即可求出D 点坐标，再求出PD 直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M 点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+-=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
二次函数与角度问题解题技巧
二次函数与角度问题解题技巧二次函数与角度问题解题技巧是高中数学教学中的一个重要内容，本文将为大家详细介绍有关二次函数与角度问题解题的相关内容。
一、二次函数的基本性质二次函数y=ax²+bx+c是一个常见的函数形式，其中a、b、c都是常数，a不能为0。
通过对二次函数的研究，我们可以得到以下几个基本性质。
1.对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2.开口方向：当a>0时，二次函数开口朝上；当a<0时，二次函数开口朝下。
3.零点：二次函数的零点为x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
4.最值：当a>0时，二次函数的最小值为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为c-b²/4a。
二、角度的基本概念在解题时涉及到角度问题，我们需要先了解一些角度的基本概念。
1.度数：度数是衡量角度大小的单位，一个完整的圆是360°。
角度小于360°的称为锐角或者钝角，大于360°的称为扩角。
2.弧度：弧度是衡量角度大小的另一种单位，一个完整的圆对应的弧度是2π。
一般情况下，我们可以通过角度制转换成弧度制，即1°=π/180。
3.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们是角度的函数，可以用来计算三角形中各个边和角度之间的关系。
三、我们可以通过二次函数与角度问题解题来加深对这两个知识点的理解。
下面分别介绍两种不同的解题方法。
1.将角度问题转换成二次函数问题有时我们会遇到一些角度问题，如正弦函数、余弦函数和正切函数等，可以通过转换成二次函数的形式来解决。
如题：已知正弦函数的最小正周期为6，函数图像通过点(0,-1)，求这个正弦函数的解析式。
解：因为正弦函数的最小正周期为6，所以这个函数的表达式应该是y=Asin(2π/6x)+B。
又因为这个函数图像通过点(0,-1)，所以B=-1。
二次函数与特殊角问题(定弦定角类)
二次函数角度问题（定弦定角类）针对所求点为角的顶点我们在隐圆篇讲过一类动点轨迹问题，“定角+定对边”可确定动点轨迹为圆弧。
接下来我们用隐圆来解决二次函数中的一类角度问题。
首先看下面两个小题。
1．点A（﹣5，0），B（1，0），点C在y轴上．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为___________。
分析：AB是定长，∠ACB=60°（定角），所以点C的轨迹为一段弧，又点C在y轴上，所以以AB为底边，∠ADB=120°为顶角作等腰三角形。
再以D为圆心，AD(或BD）为半径作圆，以y轴的交点即为点C。
注意符合题意的点C有两个。
接下来就是如何计算点C的坐标了。
在此提供两种方法：（1）利用垂径定理求解，从点D分别作x轴和y轴的垂线。
角度特殊，计算简单；（2）求半径（AD或BD）,设点C（0，y）利用两点距离公式CD=半径求解。
2.如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为．分析：本题的关键在于求解AD。
由于BC定边，∠BAC=45°，满足定角定对边模型。
可用辅助圆求解。
先定圆心，以BC为底边，90°为顶角作等腰三角形BOC。
点O即为辅助圆的圆心。
利用垂径定理可求AD。
总结：以上2题解法不唯一，但辅助圆是一种相对简便的方法。
尤其是前面已经有了隐圆轨迹模型的学习，再用辅助圆来解答，让学生进一步加深对模型的认知。
例1、如图，抛物线y＝过点A（3，2），点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：先作图再计算。
所求点Q是∠AQM的顶点，可用辅助圆进行求解。
AM为辅助圆的弦，那圆心该如何确定呢？考虑到∠AQM=45°（圆周角），那么弧AM所对的圆心角为90°，过点A作AB⊥直线x=1，垂足为点B。
二次函数倍角问题
二次函数倍角问题二次函数倍角问题，是指在给定的二次函数的定义域内查找其两个角度之间的倍角关系。
更具体地说，对于任意给定的二次函数f(x)，我们需要找到一对相异的定义域内的角度x1和x2，使得它们的倍角关系成立，即2x1=x2在解决二次函数倍角问题之前，我们需要了解一些与二次函数和倍角有关的基本知识。
首先是二次函数的定义和图像。
二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
它的图像是一个拱形或倒拱形的曲线，称为抛物线。
接下来，我们需要了解一些倍角公式。
对于任意角度θ，有以下三个倍角公式：1. sin(2θ) = 2sinθcosθ2. cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)首先，我们需要找到一个二次函数f(x)，并确定它的定义域。
通常情况下，定义域是整个实数集，即(-∞,+∞)。
然后，我们需要找到满足2x1=x2的一对角度x1和x2、为了方便分析，我们可以选取一些特殊的角度，并考察它们的倍角关系。
例如，我们可以选取θ=0作为初始角度。
根据倍角公式，sin(2×0)=2sin0cos0=0。
我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=0，x2=2×0=0。
这说明在这种情况下，不同的角度0和0有倍角关系。
另外，我们可以考察θ=π/4这个角度。
根据倍角公式，sin(2×π/4)=2sin(π/4)cos(π/4)=2(√2/2)(√2/2)=1、我们可以找到满足2x1=x2的一对角度，其中x1=π/4，x2=2×π/4=π/2、这说明在这种情况下，不同的角度π/4和π/2有倍角关系。
然后，我们可以继续考察其他一些角度，以找到更多的倍角关系。
通过逐步尝试不同的角度，并根据倍角公式计算它们的倍角值，我们可以找到更多满足2x1=x2的一对角度。
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二次函数与角度问题
例1、已知抛物线2
y ax
bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点
B 的左边），与y 轴交于点(0
C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交
于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线23
=++经过点N（2,
y ax bx
－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C Array∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q
理由.
例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线244
=-++与x轴交于点
y ax ax a c
A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P 的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为
A'，若2
-QB
QA，求点Q的坐标和此时△QAA'的面积．=
例4、已知，抛物线c
=2与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），
+
ax
bx
y+
与y轴交于点C（0，－4）。
直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D 在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小；
（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）
例5、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32
-+=，与y 轴交于点C ，
且OA OC OB 3==． （I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；
（III ）直线1
31
+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，
βαβ-=∠求,CBE 的值．
例6、如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC 是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C 是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．
D
C
A
B
O x
y
图（1）
D
C
A
B
O x
y
备用图
例7、已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFE CFE
∠=∠，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；
（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．。