向量与三角形
平面向量与三角形的关系及三角形的性质
平面向量与三角形的关系及三角形的性质平面向量是解决和研究平面几何问题的有力工具，而三角形是平面几何中最基本的图形之一。
本文将探讨平面向量与三角形之间的关系，并介绍一些与三角形相关的重要性质。
一、平面向量与三角形的关系1. 平面向量的定义平面向量是指既有大小又有方向的量。
用带箭头的小写字母表示，如a→，b→等。
平面向量的起点和终点可以是任意点。
2. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对、坐标、自由向量等多种方式表示。
其中，自由向量是指有大小和方向，但起点可以是任意点的向量。
自由向量a→的终点记为A，即a→=OA→。
3. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数乘运算。
加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
4. 三角形的向量表示定理对于三角形ABC，设向量AB→=a→，向量AC→=b→，则有向量AB→+向量BC→=向量AC→。
即a→+c→=b→。
5. 三角形的重要定理（1）质点法分解定理：对于任意三角形ABC，以任意一点O为起点，作向量OA→、向量OB→、向量OC→，有向量OA→+向量OB→+向量OC→=0→。
（2）垂直定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→垂直，则有向量AB→•向量BC→=0。
（3）共线定理：已知三角形ABC中，向量AB→与向量BC→共线，则有向量AB→×向量BC→=0→。
二、三角形的性质1. 三角形的内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
2. 三角形的外角定理三角形的任意一个外角等于其他两个内角之和。
即∠D = ∠A + ∠C，其中∠D表示三角形的外角。
3. 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，记为G。
重心到三角形各顶点的向量满足质点法分解定理。
即向量GA→+向量GB→+向量GC→=0→。
4. 三角形的垂心三角形的三个高线交于一点，这个点称为三角形的垂心，记为H。
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
向量与三角形的四心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
向量在三角形中的应用课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
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总结词
04
CHAPTER
向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇典藏版
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合一、1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; （1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.OC OB OA ++ 2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.（3）若O 是ABC ∆的重心，且),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩（4）若O 是ABC ∆的重心，则13BOCAOC AOB AOC S S S S ===二、O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB ⊥⇔同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心三、O 是ABC ∆的内心充要条件是：(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，(1)O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
三角形面积公式向量
三角形面积公式向量三角形的面积公式可以用向量表示。
设三角形的两个边表示为向量a和向量b，其夹角为θ，则三角形的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。
首先，我们定义向量的叉积。
对于二维平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，其叉积定义为：a×b=a1*b2-a2*b1然后，我们来推导三角形面积公式。
设三个顶点分别为A、B、C，边AB和AC分别对应向量a和向量b。
根据向量的叉积定义，我们可以得到向量a和向量b的叉积向量（叉积结果为一个向量）：n=a×b其中，n是垂直于平面ABC的一个向量，其模n的长度等于以向量a和向量b为边构成的平行四边形的面积。
但是，我们需要求的是三角形ABC的面积，而不是平行四边形的面积。
要得到三角形的面积，我们需要将平行四边形的面积除以2所以，我们可以将垂直于平面ABC的向量n的模除以2，即可得到三角形ABC的面积S：S=，n，/2现在，我们来具体推导一下面积公式。
向量a的模可以表示为：a，=√(a1²+a2²)向量b的模可以表示为：b，=√(b1²+b2²)向量a与向量b的夹角θ的余弦可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2) / (，a，b，)根据向量的叉积定义，我们可以知道向量a和向量b的叉积n的模可以表示为：n， = ，a × b， = ，a，b，sinθ将，a，b，和sinθ代入上面的式子，可以得到：n，= √(a1² + a2²) * √(b1² + b2²) * sinθ = √(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ将面积的公式S=，n，/2代入上面的式子，可以得到：S = (√(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ) / 2整理上式，可以得到：S=，a×b，/2也就是说，三角形ABC的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。
向量坐标求三角形面积
向量坐标求三角形面积
用向量求三角形面积公式：s=(1/2)|a×b|。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
拓展：
1、已知三角形底为a，高为h，则S=ah/2。
2、已知三角形两边为a，b，且两边夹角为C，则三角形面积为两边之积乘以夹角的正弦值，即S=(absinC)/2。
3、设三角形三边分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形面积S=(a+b+c)r/2。
4、设三角形三边分别为a,b,c，外接圆半径为R，则三角形面积为abc/4R。
5、在直角三角形ABC中(AB垂直于BC)，三角形面积等于两直角
边乘积的一半，即：S=AB×BC/2。
向量与三角形
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； 2垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；3内心——角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； 4外心——中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等; 二、四心与向量的结合1⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线,且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心2⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC,AD 垂直BC, D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥,AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心3设a ,b ,c 是三角形的三条边长,O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量, ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +,令cb a bc++=λBCD∴c b a bcAO ++=b AC cAB + 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a==⇔O 为ABC ∆的外心;典型例题：例1：O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆,E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴AD OA OP λ2+=AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴AD ∴P ABC ∆C例2：03全国理4O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 BA ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量,∴AC AB +BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心,即选B .例3：O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足AC AB OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心B CD分析：如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 是垂足.AC AB +BC ⋅BCAC BC AB ⋅++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心,即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ,满足0=++PC PB PA ,若实数λ满足：AP AC AB λ=+,则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O,半径为1,0=++OC OB OA ,则=⋅OB OA A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ,则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O,若OC OB OA OH ++=,则H 是ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+,则O 是ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=, 则实数m =7．06陕西已知非零向量错误!与错误!满足错误!+错误!·错误!=0且错误!·错误!=错误! , 则△ABC 为CA ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、,若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2,则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
向量在三角形中的运算
向量在三角形中的运算
向量在三角形中的运算包括以下几种：
1、向量相加减。
两个向量相加减得到一个新的向量，可以用于计算三角形的边向量或者位移向量。
2、向量点积。
向量点积可以用于计算两个向量之间的夹角或者判断向量是否垂直。
在三角形中，可以应用向量点积来判断两条边是否相互垂直。
3、向量叉积。
向量叉积可以用于计算两个向量所构成的平行四边形的面积，或者用于判断两条边是否相互平行。
在三角形中，可以应用向量叉积来计算三角形的面积。
4、向量投影。
向量投影可以用于计算向量在某一方向上的投影长度，或者用于计算线段在某一方向上的投影长度。
在三角形中，可以应用向量投影来计算三角形的高或者三角形某个角度的余弦值。
向量的三角形法则
向量的三角形法则向量是线性代数中的重要概念，它可以用来表示方向和大小，并在许多领域中都有广泛的应用。
在向量运算中，三角形法则是一个关键概念，它可以帮助我们理解向量的加法和减法运算。
本文将详细介绍向量的三角形法则，包括其定义、图示、应用和相关的数学原理。
1. 三角形法则的定义。
在向量运算中，三角形法则是指两个向量的和可以用一个三角形的第三条边来表示。
具体来说，如果有两个向量a和b，它们的和可以表示为c，即a + b = c。
在图形上，可以用一个三角形来表示这个关系，其中a和b分别为三角形的两条边，c为第三条边。
2. 三角形法则的图示。
为了更直观地理解三角形法则，我们可以通过图示来展示这个概念。
假设有两个向量a和b，它们的起点都在原点O处，终点分别为A和B。
根据三角形法则，我们可以将向量a和b的终点连接起来，得到一个三角形，而向量 a + b则是这个三角形的第三条边。
3. 三角形法则的应用。
三角形法则在向量的加法和减法运算中起着重要作用。
通过三角形法则，我们可以直观地理解向量的加法和减法运算，并且可以通过图形的方式来求解向量的和或差。
这对于解决实际问题和理解向量运算的性质都非常有帮助。
4. 三角形法则的数学原理。
三角形法则的数学原理可以通过向量的坐标表示和几何向量的性质来进行推导。
在向量的坐标表示中，向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1, b2)，而向量a + b可以表示为(a1 +b1, a2 + b2)。
这与三角形法则的图示是一致的。
另外，通过向量的几何性质，可以证明三角形法则在向量运算中是成立的。
总结。
通过本文的介绍，我们了解了向量的三角形法则的定义、图示、应用和数学原理。
三角形法则是向量运算中的重要概念，它可以帮助我们直观地理解向量的加法和减法运算，并且在实际问题中具有广泛的应用。
因此，掌握三角形法则对于理解和运用向量运算是非常重要的。
平面向量三角形法则
平面向量三角形法则
向量的三角形法则是向量加法,即向量求和的基本方法之一.向量的三角形法则:已知非零向量a和b, 在平面内任取一点A,作向量AB=向量a,过B点作向量BC=向量b,连接AC,得向量AC.则向量AB +向量BC=向量AC.即,向量a+向量b=向量AC. ∵三个向量构成的图形正好是一个三角形,∴此法则叫做向量的三角形法则.向量三角形法则的扩展。
在平面内,有n个向量,首尾相连,最后一个向量的末端与第一个向量的始端相连,则最后这一个向量(方向由第一个向量的始端指向最末一个向量的末端)就是n个向量之和.。
向量三角形法则口诀
向量三角形法则口诀在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在向量运算中，有一条重要的法则叫做向量三角形法则，它可以帮助我们理解和计算向量的运算规律。
下面我将为大家介绍向量三角形法则口诀，希望能帮助大家更好地理解和运用向量的知识。
1. 向量加法的口诀：向量相加要平行，首尾相接顺次行。
这句口诀简洁明了地说明了向量加法的规则。
在向量加法中，我们需要将两个向量首尾相接，然后用一条新的向量连接它们的起点和终点，这个新的向量就是它们的和向量。
而且，这个和向量的方向与原向量相同，大小等于它们的几何和。
2. 向量减法的口诀：向量相减要变号，首尾相接顺次行。
这句口诀简洁明了地说明了向量减法的规则。
在向量减法中，我们需要将被减向量的起点和终点连接起来，然后用一条新的向量连接减向量的终点和被减向量的起点，这个新的向量就是它们的差向量。
而且，这个差向量的方向与原向量相反，大小等于它们的几何差。
3. 向量数量积的口诀：向量数量积，模乘cos夹角。
这句口诀简洁明了地说明了向量数量积的规则。
在向量数量积中，我们需要将两个向量的模长相乘，再乘以它们夹角的余弦值，这个结果就是它们的数量积。
而且，数量积的结果是一个标量，它的大小等于两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的余弦值。
4. 向量叉积的口诀：向量叉积很特别，模乘sin夹角。
这句口诀简洁明了地说明了向量叉积的规则。
在向量叉积中，我们需要将两个向量的模长相乘，再乘以它们夹角的正弦值，这个结果就是它们的叉积。
而且，叉积的结果是一个向量，它的方向垂直于原向量所在的平面，大小等于两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的正弦值。
通过以上口诀，我们可以更好地理解和记忆向量三角形法则，从而更加灵活地运用向量的知识。
希望大家能够通过不断地练习和应用，掌握向量的运算规律，提高数学和物理的解题能力。
向量中的三角形
向量中的三角形“四心”问题
结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，即，所以。
同理可证。
故O为△ABC的垂心。
结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。
证明：由，得，所以。
同理可证。
容易得到由结论1知O为△ABC的垂心。
结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得。
设BC边中点为M，则，所以，即点G在中线AM上。
设AB 边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△A BC的重心。
结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足，则点G为△ABC的重心。
证明：由，得，得。
由结论3知点G为△ABC的重心。
结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，则点P为△ABC的内心。
证明：由于，可得。
设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。
因为为单位向量，所以向量在∠A的平分线上。
由，知点P在∠A的平分线上。
同理可证点P在∠B的平分线上。
故点G为△ABC的内心。
结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。
证明：因为，所以
同理得由题意得，所以，得。
故点O为△ABC的外心。
三角形向量公式
三角形向量公式摘要：一、引言二、三角形向量公式简介1.三角形法则定义2.三角形向量公式推导三、三角形向量公式的应用1.二维向量加法2.三维向量加法四、结论正文：一、引言在向量运算中，三角形向量公式是一种非常基本的公式，它可以帮助我们快速、简便地计算向量的加法。
本文将详细介绍三角形向量公式的相关知识，包括公式定义、推导以及应用。
二、三角形向量公式简介1.三角形法则定义三角形法则是一种直观的向量加法方法，根据该法则，我们可以将两个向量首尾相接，形成一个三角形。
然后从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，构成一个新的向量，这个新的向量就是两个向量的和。
2.三角形向量公式推导为了更方便地进行向量加法运算，我们可以通过三角形法则推导出三角形向量公式。
假设向量A = (Ax, Ay) 和向量B = (Bx, By)，那么根据三角形法则，向量A + 向量B 的结果为：Ax + Bx = (Ax + Bx),Ay + By = (Ay + By)将上述两个等式相加，得到：(Ax + Bx) + (Ay + By) = (Ax + Bx) + (Ay + By)通过移项，我们可以得到三角形向量公式：(Ax + Bx, Ay + By) = (Ax + Bx, Ay + By)三、三角形向量公式的应用1.二维向量加法在二维空间中，三角形向量公式可以帮助我们快速计算两个向量的和。
例如，假设向量A = (Ax, Ay) 和向量B = (Bx, By)，那么根据三角形向量公式，向量A + 向量B 的结果为：(Ax + Bx, Ay + By)2.三维向量加法在三维空间中，三角形向量公式同样适用。
假设向量A = (Ax, Ay, Az) 和向量B = (Bx, By, Bz)，那么根据三角形向量公式，向量A + 向量B 的结果为：(Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)四、结论三角形向量公式是一种基本的向量加法方法，它可以帮助我们在二维和三维空间中快速计算向量的和。
三角形向量公式
三角形向量公式
摘要：
一、三角形向量公式简介
二、三角形向量公式的推导与证明
三、三角形向量公式的应用
四、结论
正文：
一、三角形向量公式简介
在数学中，向量是用来表示物体在空间中运动和位置的一种工具。
三角形向量公式是一种在三角形中计算向量的方法，可以帮助我们更好地理解和计算空间中的向量。
三角形向量公式包括三个向量：a，b，c。
其中a 和b 构成三角形的两条边，c 为它们的延长线相交的点。
二、三角形向量公式的推导与证明
为了更好地理解三角形向量公式，我们先来推导它。
假设三角形ABC 的顶点分别为A，B，C，那么我们可以根据三角形的性质得到以下关系：AB + BC = AC
我们将这个关系式稍微变形，可以得到：
AB = AC - BC
然后，我们可以将这个式子表示为向量的形式，假设向量a 表示AB，向量b 表示BC，向量c 表示AC，那么我们可以得到以下公式：
a = c - b
这就是三角形向量公式的推导过程。
三、三角形向量公式的应用
三角形向量公式在几何学中有着广泛的应用，例如在计算三角形的面积，计算两个三角形是否重合，计算三角形的周长等。
此外，在计算机图形学中，三角形向量公式也有着重要的应用，例如在计算三角形的边缘和顶点，在计算光照和阴影效果等。
四、结论
总的来说，三角形向量公式是一种在三角形中计算向量的方法，它在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识得交汇
一、四心得概念介绍
(1)重心——中线得交点:重心将中线长度分成2:１;
(2)垂心-—高线得交点:高线与对应边垂直;
(3)内心—-角平分线得交点(内切圆得圆心):角平分线上得任意点到角两边得距离相等;
(4)外心——中垂线得交点(外接圆得圆心):外心到三角形各顶点得距离相等。
二、四心与向量得结合
(1)就是得重心、
证法１:设
就是得重心。
证法２:如图
三点共线,且分
为２:1
就是得重心
(2)为得垂心。
证明:如图所示O 就是三角形ABC 得垂心,ＢE 垂直AC,A Ｄ垂直B Ｃ, D 、E 就是垂足.
同理, 为得垂心 (3)设,,就是三角形得三条边长,O 就是ＡBC 得内心
为得内心.
证明:分别为方向上得单位向量, 平分,
),令
()
化简得
(4)为得外心。
典型例题:
例１:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得
( )
A 。
外心
B 、内心 C.重心 D 。
垂心
分析:如图所示,分别为边得中点、
//
点得轨迹一定通过得重心,即选、
例2:(0３全国理４)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( B )
B D B
C D
A.外心 B 。
内心 C 、重心 D.垂心
分析:分别为方向上得单位向量,
平分,
点得轨迹一定通过得内心,即选、
例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得
( )
A 、外心 B.内心 C 。
重心 D 、垂心
分析:如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 就是垂足.
= =
=+=０
点得轨迹一定通过得垂心,即选、
练习: 1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则得值为
( )
Ａ、2 B 、 C.３ Ｄ。
6
2.若得外接圆得圆心为Ｏ,半径为1,,则( )
A 、 B.0 C 。
1 D 、
３.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比就是( )
A 、0 B. Ｃ。
Ｄ.
4.得外接圆得圆心为Ｏ,若,则就是得( )
Ａ。
外心 B 。
内心 C 。
重心 D.垂心
5.就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,若
,则就是得( )
A 。
外心 B.内心 C.重心 D.垂心
6.得外接圆得圆心为Ｏ,两条边上得高得交点为H,,
则实数m ＝
7.(06陕西)已知非零向量错误!与错误!满足(错误!＋错误!)·错误!＝0且错误!·错误!=错误! , 则△AB Ｃ为( )
A 。
三边均不相等得三角形 Ｂ。
直角三角形
C.等腰非等边三角形 D 、等边三角形
8.已知三个顶点,若,则为( )
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.既非等腰又非直角三角形
练习答案:C 、Ｄ、C 、D 、D 、1、D 、C
C。