高中数学(人教A版浙江)一轮参考课件：3-2 导数与函数的单调性、极值、最值
合集下载
3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
2021高考浙江版数学一轮课件：第三章 § 3.2 导数与函数的单调性
1-1 (2018杭州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R),试讨论f(x)的单调性.
解析
f
'(x)=3x2+2ax,令f
'(x)=0,解得x1=0,x2=-
2a 3
.
当a=0时,因为f '(x)=3x2≥0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,x∈
-
,-
2a 3
1.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为 (
A.(0,1)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
A)
2.(2019嘉兴六校联考)设函数f(x)= 1 x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实
2
数a的取值范围是 ( A )
A.(1,2]
B.(4,+∞)
结合a>0知,
当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0;
当x∈(0,a)时, f '(x)<0;
当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
(3)g'(x)=x2-ax+2,
依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g'(x)=x2-ax+2<0成立,即x∈(-2,-1)时,a<
1 x0
,曲线y=ln
x在点A(x0,ln
x0)处切线
的斜率也是
1 x0
,所以曲线y=ln
x在点A(x0,ln
高中数学(人教A版浙江)一轮参考课件：3-3 导数的综合应用
知识梳理 知识梳理 双击自测
-8-
自测点评 1.实际问题中函数的定义域,由实际问题的意义和解析式共同确 定. 2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么可直接 根据实际意义判定是最大值还是最小值. 3.利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注 意分类讨论与数形结合思想的应用. 4.函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问 题处理.
解析:设 f(x)= x3-ax2+1,则 f'(x)=x2-2ax=x(x-2a).因为 a>2, 所以 2a>4,所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,则 f(x)在(0,2)上为减函数. 又 f(0)f(2)=1× -4������ + 1 =
8 3 11 -4a<0, 3
1 3
所以 f(x)=0 在(0,2)上恰好有 1 个根,故选 B.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-4-
3.导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来,方 程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化 为函数的单调性和极(最)值问题.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-5-
1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为( C ) A.1百万件 B.2百万件 C.3百万件 D.4百万件 解析:依题意得,y'=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0<x<3时,y'>0; 当x>3时,y'<0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大. 1 3 2 2.若a>2,则方程 3 x -ax +1=0在(0,2)上恰好有 ( B ) A.0个根 B.1个根 C.2个根 D.3个根
高三数学,理科一轮复习,课标通用 3-2,导数与函数的单调性,、极值、最值 ,课件
a －2<2<－1， 由Δ>0， g′－2>0， g′－1>0，
－4<a<－2， a2－8>0， 得 6＋2a>0， 3＋a>0，
－4<a<－2， 即a>2 2或a<－2 2， a>－3
解得－3<a<－2 2，
即实数a的取值范围为(－3，－2 2)．
考点1
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数 在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
增函数 ． f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________
减函数 ． f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________
(1)[教材习题改2，＋∞) ． ___________
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x， x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．
导数符号与单调性． 已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值 [0,3] 范围为__________ ．
[题点发散1] －1)，如何求解？
在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，
解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)， ∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
[题点发散2]
在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在
单调递减区间，如何求解？
第三章
导数及其应用
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最 值
高三数学一轮复习精品课件6：§3.2导数与函数的单调性、极值、 最值第2课时导数与函数的极值、最值
(2)已知函数解析式求极值；
(3)已知函数极值求参数值．
典例1：设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．
(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
②当a>0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是
2
Δ＝(－4) －4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥ .
综上，a的取值范围为[ ，＋∞).
规律方法
运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，
那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)
在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不
是极值点．
考点二
函数的最值问题
典例2 已知函数f(x)＝x－eax(a>0)．
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【解析】设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依
次为x1、x2、x3、x4.
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极
(3)已知函数极值求参数值．
典例1：设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．
(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.
上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；
②当a>0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是
2
Δ＝(－4) －4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥ .
综上，a的取值范围为[ ，＋∞).
规律方法
运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，
那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)
在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不
是极值点．
考点二
函数的最值问题
典例2 已知函数f(x)＝x－eax(a>0)．
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【解析】设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依
次为x1、x2、x3、x4.
当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极
2021高考浙江版数学一轮课件：第三章 § 3.3 导数与函数的极值和最值
命题方向二 已知函数的极值(点)情况 求参数的值(取值范围)
典例2 (2019余杭部分学校高三测试)已知函数f(x)= 1x3+ 1 ax2+bx(a,b∈R).若
32
函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求3a+b的取值范围.
解析 f '(x)=x2+ax+b,由已知可得f '(x)在(0,2)上存在两个不同的零点,
f '(0) 0,
f
'(2) 0,
故有Δ 0,
-
a
(0,2),
2
b 0,
即
2a b a2 -4b
4 0,
a (-4,0),
0,
令z=3a+b,画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示,不包括a轴上
的部分).
由图可知-8<z<0, 故3a+b的取值范围是(-8,0).
方法技巧 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处的导数等于零不是此点为极值点的充要条件,所以求解 后需对所求结果进行验证.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).
(2)①当2mm0,e,即0<m≤
e 2
时,函数f(x)在区间[m,2m]上单调递增,
所以f(x)max=f(2m)= ln (2m) -1;
2m
②当m<e<2m,即e <m<e时,函数f(x)在[m,e)上单调递增,在(e,2m]上单调递减,
当a<0时,由f
'(x)>0,得x>-
高中数学人教新课标A版：导数与函数的单调性、极值与最值 课件
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 f′(x) ； (2)在定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 ； (3)根据结果确定 f(x)的单调性及单调区间． 3．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(<0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若 f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则 f′(x)≥0(≤0)是 f(x)
3．(多选)如果函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函
数 y＝f(x)的判断正确的是
()
A．在区间(2,4)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增 C．x＝－3 是极小值点 D．x＝4 是极大值点
解析： A 项，函数 y＝f(x)在区间(2,4)内 f′(x)＞0，则函数 f(x)在区间(2,4)上 单调递增，故 A 不正确； B 项，函数 y＝f(x)在区间(2,3)内的导数 f′(x)＞0， 则函数 f(x)在区间(2,3)上单调递增，故 B 正确； C 项，由图象知当 x＝－3 时，函数 f′(x)取得极小值，但是函数 y＝f(x)没有 取得极小值，故 C 错误； D 项，当 x＝4 时，f′(x)＝0，当 2＜x＜4 时，f′(x)＞0，函数 y＝f(x)为增函 数，当 x>4 时，f′(x)＜0，函数 y＝f(x)为减函数，则 x＝4 是函数 f(x)的极大 值点，故 D 正确． 答案：BD
[题组练透]
1．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是
A．先增后减
B．先减后增
2018高中数学人教A版浙江一轮参考课件：3-2 导数与函
=
x>0.
-10知识梳理 双击自测
自测点评 1.“f'(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必 要条件. 2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必 要不充分条件. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系.
∴f(x)的单调减区间为(0,2).
-8知识梳理 双击自测
3.已知函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图 象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:导函数f'(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧 图象在x轴上方的只有一个,故选A.
-11考点一 考点二 考点三
利用导数研究函数的单调性(考点难度★★) 例1函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数,求a的取值范围.
-12考点一 考点二 考点三
解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a). ①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f(x)在R上是增函数. ②由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:
-9知识梳理 双击自测
4.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值是( B ) A.0 B.
浙江省高考数学一轮复习第四章导数及其应用第3节导数与函数的极值最值课件
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
以 f(x)在0，a42上单调递减，在a42，＋∞上单调递增，所以极小值为 fa42＝2－ lna42，所以 2－lna42＝2⇒a＝2.
考点二 用导数解决函数的最值问题
【例 2】 已知函数 f(x)＝x＋x2lxn＋x－1 1.
(1)求函数 f(x)的导函数 f′(x)；
所
以
1 4
≤t≤
1 2
，
f（x1）－f（x2） x1－x2
＝
－
1 x1x2
－
1
＋
ln a
x1－ln x1－x2
x2＝－2＋(x1＋x2)ln
x1－ln x1－x2
x2＝－2＋tt＋ －11ln
t.
令 h(t)＝－2＋tt＋－11ln t，则 h′(t)＝t（－t1t－－12）ln2t.
因为当 a＝2 时，f(x)＝1x－x＋2ln x 在(0，＋∞)上为减函数， 所以当 t＜1 时，f(t)＝1t －t＋2ln t＞f(1)＝0，从而 h′(t)＜0，所以 h(t)在(0，1)上 为减函数，
C.极小值－2，极大值2
D.极小值－1，＋1，故有y′＝－3x2＋3，令y′＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，f(x)的极大值为f(1)＝3. 答案 D
所以当3 2 2≤a≤52时，M－m＝h14－h12＝ln32.
浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分132函数的极值与导数课件新人教A版选修2
并说明理由．
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， ∵x＝±1 是函数的极值点． ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系，得－3ca23＝ba＝－01，. ①② 又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③ 由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3ln x. 解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.
令 f′(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
[类题通法] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象
问题，一般地，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x) 的图象的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数 的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直 观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的 个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
复习课件
浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分1.3.2函数的极值与导数课件新 人教A版选修2
2021/4/17
浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分132函数的极值 与导数课件新人教A版选修2
1．3.2 函数的极值与导数
一、预习教材·问题导入
预习课本 P26～29，思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么？ (2)函数取得极值的必要条件是什么？ (3)求可导函数极值的步骤有哪些？
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， ∵x＝±1 是函数的极值点． ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系，得－3ca23＝ba＝－01，. ①② 又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③ 由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3ln x. 解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.
令 f′(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
[类题通法] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象
问题，一般地，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x) 的图象的交点的横坐标．
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数 的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直 观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的 个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
复习课件
浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分1.3.2函数的极值与导数课件新 人教A版选修2
2021/4/17
浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分132函数的极值 与导数课件新人教A版选修2
1．3.2 函数的极值与导数
一、预习教材·问题导入
预习课本 P26～29，思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么？ (2)函数取得极值的必要条件是什么？ (3)求可导函数极值的步骤有哪些？
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函数的单调性与最值课件
x－142＝－2x－12＜0 在(0，＋∞)都成立，
但是 f(x)在0，14是单调递增的，在14，＋∞是单调递减的，说明原命题是 假命题. 答案 y＝－x－142(答案不唯一，符合条件即可)
(2)解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.
证明如下：
法一 设 x1，x2 是任意两个正数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝ x1x－1x2x2(x1x2－a).
规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配 方法；④图象法；⑤导数法. (2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数 f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为 f(a).若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)， 最小值为f(b).
答案 2 [0，＋∞)
6.(2020·绿色评价联盟适考 ) 已知函数
f(x)
＝
x2＋2x，x≤0， log2（x＋1），x>0，
则
f(f(－3)) ＝
________，f(x)的最小值为________.
解析 f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3))＝f(3)＝2.由图象得f(x)min＝f(－1)＝－1. 答案 2 －1
2021/4/17
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函 数的单调性与最值课件
17
规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如 例1(1). (2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法. (3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则.
但是 f(x)在0，14是单调递增的，在14，＋∞是单调递减的，说明原命题是 假命题. 答案 y＝－x－142(答案不唯一，符合条件即可)
(2)解 f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数.
证明如下：
法一 设 x1，x2 是任意两个正数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝ x1x－1x2x2(x1x2－a).
规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配 方法；④图象法；⑤导数法. (2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数 f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为 f(a).若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)， 最小值为f(b).
答案 2 [0，＋∞)
6.(2020·绿色评价联盟适考 ) 已知函数
f(x)
＝
x2＋2x，x≤0， log2（x＋1），x>0，
则
f(f(－3)) ＝
________，f(x)的最小值为________.
解析 f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3))＝f(3)＝2.由图象得f(x)min＝f(－1)＝－1. 答案 2 －1
2021/4/17
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第3节函 数的单调性与最值课件
17
规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如 例1(1). (2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法. (3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则.
浙江省高考数学一轮复习第四章导数及其应用第2节导数与函数的单调性课件
解析 根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f′(x)的图象可知， 原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C. 答案 C
4.若 f(x)＝lnxx，0＜a＜b＜e，则 f(a)与 f(b)的大小关系为________. 解析 f′(x)＝1－xl2n x，当 0＜x＜e 时，1－ln x＞0，即 f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单 调递增，∴f(a)＜f(b).
(2)解 ∵f(x)＝x2－2aln x，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2（x2x－a）， ∴当 a≤0 时，f′(x)>0，则 f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当 a>0 时，令 f′(x)<0，得 0<x< a，令 f′(x)>0，得 x> a， ∴f(x)在(0， a)上是减函数，在( a，＋∞)上是增函数. 综上可得，当 a≤0 时，函数 y＝f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当 a＞0 时，函数 y＝f(x)的增区间为( a，＋∞)，减区间为(0， a).
答案 －1 (－∞，0]
考点一 求不含参数的函数的单调性 【例 1】 已知 f(x)＝12x3＋x2ex，讨论 f(x)的单调性.
解 由题意得 f′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.
令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4. 当x<－4时，f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当－4<x<－1时，f′(x)>0，故f(x)为增函数； 当－1<x<0时，f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当x>0时，f′(x)>0，故f(x)为增函数. 综上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
(浙江专用)高考数学第三章函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最值课件
而 y＝log 1 u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
2
∴y＝log 1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增
2
区间为(－∞，1)．
[由题悟法] 确定函数的单调区间的 3 种方法
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式 表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪” 联结，也不能用“或”联结．
①对于任意的 x∈I，都有 ① 对 于 任 意 x ∈ I ， 都 有
f(x)≤M； 条件
f(x)≥M；
②存在 x0∈I，使得 f(x0) ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝
＝M
M
结论 M 为函数 y＝f(x)的最大值 M 为函数 y＝f(x)的最小值
[小题体验]
1
1．给定函数①y＝x 2 ，②y＝log 1 (x＋1)，③y＝|x－1|，
且 2＞1，∴y＝2x＋1 在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减
的函数序号是②③. 答案：B
2．(2019·绍兴调研)函数 f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1] 上的最大值为________． 解析：由于 y＝13x 在 R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1] 上单调递增，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减，故 f(x)在[－1,1] 上的最大值为 f(－1)＝3. 答案：3
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 函数单调性的判断
[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是 ( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－x＋1 1
2
∴y＝log 1 (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增
2
区间为(－∞，1)．
[由题悟法] 确定函数的单调区间的 3 种方法
[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式 表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪” 联结，也不能用“或”联结．
①对于任意的 x∈I，都有 ① 对 于 任 意 x ∈ I ， 都 有
f(x)≤M； 条件
f(x)≥M；
②存在 x0∈I，使得 f(x0) ②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝
＝M
M
结论 M 为函数 y＝f(x)的最大值 M 为函数 y＝f(x)的最小值
[小题体验]
1
1．给定函数①y＝x 2 ，②y＝log 1 (x＋1)，③y＝|x－1|，
且 2＞1，∴y＝2x＋1 在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减
的函数序号是②③. 答案：B
2．(2019·绍兴调研)函数 f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1] 上的最大值为________． 解析：由于 y＝13x 在 R 上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1] 上单调递增，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减，故 f(x)在[－1,1] 上的最大值为 f(－1)＝3. 答案：3
课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
考点一 函数单调性的判断
[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是 ( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－x＋1 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2
导数与函数的单调性、极值、最值
考情概览
-2-
考 纲 要 求 1.了解函数单调 性和导数的关系, 能用导数求函数 的单调区间. 2.理解函数极值 的概念及函数在 某点取到极值的 条件,会用导数求 函数的极大(小) 值,会求闭区间上 函数的最大(小) 值.
考 情 概 览
备 考 定 向 导数与函数的单调性、极 值、最值问题是高考考查 2012 浙江高 的常见内容,主要考查导数 考,22(解答题) 的相关知识,知识的载体主 2013 浙江高 要是基本初等函数,综合 考,8(选择题) “把关题”是其考查的主要 2013 浙江高 题型.考查的角度主要 考,22(解答题) 有:(1)利用导数研究函数 2014 浙江高 的单调性、极值、最值问 考,22(解答题) 题;(2)函数、导数与不等 2015 浙江高考,自 式、方程等的综合问题;(3) 选 03(2) 以函数为载体的实际应用 题.
-11考点一 考点二 考点三
利用导数研究函数的单调性(考点难度★★) 例1函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数,求a的取值范围.
-12考点一 考点二 考点三
解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a). ①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f(x)在R上是增函数. ②由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:
知识梳理 知识梳理 双击自测
-5-
3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在 必 [a,b]上 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函 数f(x) 不一定 有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内 可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的 极 值; f(a),f(b) ②将f(x)的各 极 值与 比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值.
∴0<x<2,
∴f(x)的单调减区间为(0,2).
知识梳理 知识梳理 双击自测
-8-
3.已知函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图 象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:导函数f'(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧 图象在x轴上方的只有一个,故选A.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-10-
自测点评 1.“f'(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必 要条件. 2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必 要不充分条件. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-7-
2.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调减区间是( B ) ������ A.(2,+∞) B.(0,2) C.( 2,+∞) D.(0, 2)
4 解析:f'(x)=1- 2.令 ������
4
f'(x)<0,∴
4 1- 2 ������
< 0,
������ > 0,
,右侧 ,右侧
f'(x)<0
,那么 ,那么
f'(x)>0
f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f'(x); f'(x)=0 ②求方程 的根; f'(x)=0 ③检查f'(x)在方程 的根附近的左右两侧导数 极大值 值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ; 极小值 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .
知识梳理 知识梳理 双击自测
-6-
1.关于函数的极值,下列说法正确的是( D ) A.导数为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值 D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数 解析:导数为0的点不一定是极值点(如y=x3,在x=0处),而极值点 的导数一定为0.极值是局部概念,因此极小值可能有多个且有可能 大于极大值.极值点是单调性的转折点.故选D.
>0 <0
注意:如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上 是 . 常数函数
知识梳理 知识梳理 双击自测
-4-
2.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, f'(x)>0 ①如果在x0附近的左侧 f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f'(x)<0
知识梳理 知识梳理 双击自测
-3-
1.函数的单调性与导数
在区间(a,b)上,若 f'(x)>0,则 f(x)在这个区间上单 导数到 调 递增 单调性 在区间(a,b)上,若 f'(x)<0,则 f(x)在这个区间上单 调 递减 单调性 若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f'(x) 到导数 若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f'(x)
1 解析:f'(x)=x������
=
x>0.
5.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围 [-3,+∞) 是 .
解析:f'(x)=3x2+a,且f(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 则f'(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立, 即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.故a≥-3.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-9-
4.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值是( B ) A.0 B.
1 2
பைடு நூலகம்1 2
C.1
������2 -1 ,且 ������
D.不存在
令 f'(x)>0,得 x>1;令 f'(x)<0,得 0<x<1. 故 f(x)在 x=1 时取得最小值
1 f(1)= -ln 2 1 1= . 2
导数与函数的单调性、极值、最值
考情概览
-2-
考 纲 要 求 1.了解函数单调 性和导数的关系, 能用导数求函数 的单调区间. 2.理解函数极值 的概念及函数在 某点取到极值的 条件,会用导数求 函数的极大(小) 值,会求闭区间上 函数的最大(小) 值.
考 情 概 览
备 考 定 向 导数与函数的单调性、极 值、最值问题是高考考查 2012 浙江高 的常见内容,主要考查导数 考,22(解答题) 的相关知识,知识的载体主 2013 浙江高 要是基本初等函数,综合 考,8(选择题) “把关题”是其考查的主要 2013 浙江高 题型.考查的角度主要 考,22(解答题) 有:(1)利用导数研究函数 2014 浙江高 的单调性、极值、最值问 考,22(解答题) 题;(2)函数、导数与不等 2015 浙江高考,自 式、方程等的综合问题;(3) 选 03(2) 以函数为载体的实际应用 题.
-11考点一 考点二 考点三
利用导数研究函数的单调性(考点难度★★) 例1函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数,求a的取值范围.
-12考点一 考点二 考点三
解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a). ①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f(x)在R上是增函数. ②由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根:
知识梳理 知识梳理 双击自测
-5-
3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在 必 [a,b]上 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函 数f(x) 不一定 有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内 可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的 极 值; f(a),f(b) ②将f(x)的各 极 值与 比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值.
∴0<x<2,
∴f(x)的单调减区间为(0,2).
知识梳理 知识梳理 双击自测
-8-
3.已知函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图 象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:导函数f'(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧 图象在x轴上方的只有一个,故选A.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-10-
自测点评 1.“f'(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必 要条件. 2.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必 要不充分条件. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需 要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极 小值之间没有必然的大小关系.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-7-
2.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调减区间是( B ) ������ A.(2,+∞) B.(0,2) C.( 2,+∞) D.(0, 2)
4 解析:f'(x)=1- 2.令 ������
4
f'(x)<0,∴
4 1- 2 ������
< 0,
������ > 0,
,右侧 ,右侧
f'(x)<0
,那么 ,那么
f'(x)>0
f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f'(x); f'(x)=0 ②求方程 的根; f'(x)=0 ③检查f'(x)在方程 的根附近的左右两侧导数 极大值 值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ; 极小值 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .
知识梳理 知识梳理 双击自测
-6-
1.关于函数的极值,下列说法正确的是( D ) A.导数为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值 D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数 解析:导数为0的点不一定是极值点(如y=x3,在x=0处),而极值点 的导数一定为0.极值是局部概念,因此极小值可能有多个且有可能 大于极大值.极值点是单调性的转折点.故选D.
>0 <0
注意:如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上 是 . 常数函数
知识梳理 知识梳理 双击自测
-4-
2.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, f'(x)>0 ①如果在x0附近的左侧 f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f'(x)<0
知识梳理 知识梳理 双击自测
-3-
1.函数的单调性与导数
在区间(a,b)上,若 f'(x)>0,则 f(x)在这个区间上单 导数到 调 递增 单调性 在区间(a,b)上,若 f'(x)<0,则 f(x)在这个区间上单 调 递减 单调性 若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f'(x) 到导数 若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f'(x)
1 解析:f'(x)=x������
=
x>0.
5.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围 [-3,+∞) 是 .
解析:f'(x)=3x2+a,且f(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 则f'(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立, 即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.故a≥-3.
知识梳理 知识梳理 双击自测
-9-
4.函数 f(x)= x2-ln x 的最小值是( B ) A.0 B.
1 2
பைடு நூலகம்1 2
C.1
������2 -1 ,且 ������
D.不存在
令 f'(x)>0,得 x>1;令 f'(x)<0,得 0<x<1. 故 f(x)在 x=1 时取得最小值
1 f(1)= -ln 2 1 1= . 2