数学人教版九年级上册21.2.1降次--解一元二次方程配方法(二).2.1降次--解一元二次方程配方法(二)
第二十一章21.2.1配方法
=x2+x+ 1 = 3 ,则x2+x- 1 =0,则p=1,q=- 1 ,则pq=- 1 .
44
2
2
2
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21.2.1 配方法
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1.(2018河北衡水安平期末)在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,图 21-2-1-1①是a小思做的,图21-2-1-1②是小博做的,对于两人的做法,说法正 确的是 ( )
21.2.1 配方法
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初中数学（人教版）
九年级 上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.1 配方法
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21.2.1 配方法
解析 (1)原方程可化为x2=27,
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∴x=±3 3 ,
∴x1=3 3 ,x2=-3 3 . (2)原方程可化为(3x+1)2=8,∴3x+1=±2 2 ,
∴x= 1 2 2 , 3
4 3
2
=1
+
4 3
2
,即
x
4 3
2
= 25 .由此可得x+ 4 =± 5 ,解得x1=-3,x2= 1 .
9
33
3
(3)移项,得2x2-x=-2.二次项系数化为1,得x2- 12 x=-1.配方,得x2- 12 x+
1 4
2
=
-1+
21.2.1 配方法
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一、选择题 1.(2019天津宁河期中,5,★☆☆)若一元二次方程x2=m有解,则m的取值 为 ( ) A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零
答案 B 当m≥0时,一元二次方程x2=m有解.故选B.
九年级数学上册导学案：21.2.1降次——解一元二次方程(配方法)
21.2.1降次——解一元二次方程（配方法）班别： 姓名 小组一、研学目标1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
二、研学重点，难点研学重点：学生掌握配方法，解一元二次方程研学难点：1、把一元二次方程转化为 q p x =+2)( 2、理解一元二次方程无实根的解题过程。
课前小测：解下列方程（1）822=x（2）()2160x +-=三、自主研学 1.因式分解：（1）x 2+2x+1=( )2 (2) x 2-2x+1=( )2 (3) x 2+6x+9=( )2 (4) x 2+3x+94=( )2 2.填空： x 2+4x+（ ）=( x+2 )2； x 2-10x+（ ）=( x-5 )2；挑战：22______(_____)x bx x ++=+自主研学反馈思考：能否经过适当变形，将它们转化为（x+a ）2= b （b ≥0）的形式，应用直接开方法求解？例1、解下列方程：x 2＋2x ＝8； （2）x 2－4x ＋3＝0.解（1）x 2＋2x ＋1＝8+1， （为什么要加1，1是怎样来的？使左边变成x 2+2bx+b 2）_____________________,（使左边变成x 2+2bx+b 2）_____________________,(降次)_____________________.（解一元一次方程）（2）x 2－4x ＋4＝－3＋4（方程两边同时加上4）_____________________,_____________________,_____________________.四、互动研学例2、 用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. （3） 04632=+-x x 小结：配方法解一元二次方程的步骤：五、研学反馈①.填空：（1）()()226x x ++= （2）2x －8x ＋（ ）＝（x- ）2 （3）2x ＋x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （4）42x －6x ＋（ ）＝4（x － ）2② 用配方法解方程：（1）2x ＋8x －2＝0 （2）2x －5 x －6＝0. （3）276x x +=-（4） =++1692x x 4 （5）x x 3122=+六、拓展研学 ： 用配方法解方程：（1）02422=--x x （2）3x 2＋6x －3＝0.（3） 05422=+-x x （4） ()06132=--x七、研学小结归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方无实数根。
九年级数学上册21.2.1配方法教案新人教版
21．2 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”-—转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f）2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n（n≥0）的方程，领会降次—-转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m）2＝n（n≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题．问题1：填空（1)x2－8x＋________＝(x－________)2；（2）9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2;（3）x2＋px＋________＝(x＋________）2.解：根据完全平方公式可得：(1）16 4；(2)4 2；（3)（错误!)2错误!.问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次?怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t ＋1,即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3，2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1，t2＝－2例1 解方程：(1）x2＋4x＋4＝1 (2）x2＋6x＋9＝2分析：(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x＋2）2＝1。
(2）由已知,得：（x＋3）2＝2直接开平方，得：x＋3＝±错误!即x＋3＝错误!,x＋3＝－错误!所以，方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－错误!解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14。
初中数学人教版九年级上册 第21章：21.2.1配方法(教案)
是 1 的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
情感、态度、价值观：1.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．
2. 感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
3.温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.
教学重点：用配方法解一元二次方程
教学难点：用配方法解二次项系Fra bibliotek不是 1 的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系 数，将方程化为二次项系数是 1 的类型.
教学方法：讲练法，引导法，合作学习法。
教学准备：多媒体课件
课时安排：1 课时
一、 复习引入
教学 过程
二次备课
【教师活动】
教师展示多媒体课件,引导学生. 导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0）或 （mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是 1， 一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方 程. 【学生活动】
○1 .把常数项移到方程右边得：
x2 6x -4
○2 .（如果二次项的系数不为零时方程两边同除以二次项系数，化二次 项系数为 1）；
○3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
x2 6x 9 -4 9
○4 .原方程变形为（x+m）2=n 的形式得 （x+3）2=5 ○5 降次得
x+3= 5 得 x+3= 5 或 x+3=- 5
D．（ 1 x-a）2=a
2
2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 （x+n）2=p
的形式，那么就有：
（1） 当 p>0 时，方程有两个不等的实数根
1 =-n+ p ， 2 =-n- p
人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程 教案
配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。
一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
（二）能力目标1、体会数学的转化思想。
2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。
二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、知识考点运用配方法解一元二次方程。
五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。
实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。
（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。
通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。
这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。
1、用直接开平方法解一元二次方程（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。
（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？问题2重在引出用配方法解一元二次方程。
(人教版)九年级数学上册课件：21.2.1降次——解一元二次方程(配方法)
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表 面积为6x2dm2， 依题意得 10×6x2=1500 ① 即 x2=25 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
2
由此可得
x
1 x1 1, x 2 . 2
3x 3
移项，得
2
2
6x 4 0
3x 6 x 4,
二次项系数化为1，得 4 2 x 2x , 3 配方
4 x 2 2 x 12 12 , 3
1 因为实数的平方不会是负数，所以 x取 2 x 1 . 2 任何实数时，(x－1) 都是非负数，上式 3 都不成立。 即原方程无实数根。
2
解：移项，得
3 1 3 3 x x , 2 2 4 4
2 2 2
2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得4
3 1 x x , 2 2
2
方程的二次项系数不 是1时，为便于配方， 可以让方程的各项除 以二次项系数．
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1
配方法
复习旧知
1、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解？ 方程
一元一次方程
二元一次方程组
类比 消元 降次 猜想
一元二次方程
复习旧知 2、关于X的一元二次方程的一般形 式是什么？ 2
ax bx c 0(a 0)
3、你还记得完全平方和公式和完全 平方差公式是什么么？
移项
二次项的系数
（移常数项到等号右边）
数学九年级上册 21.2解一元二次方程 ——配方法解一元二次方程
2 4 24
即 (x-3)2 1 4 16
开平方得： x- 3 1
44
∴
x1 1,
x2
1 2
推导
议一议：结合上面例题的解答过程，说出解一元 二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平 方）； （4）开平方。
2 x 2 1 2 x _ _ 122_ _ 2 _ (x _ _ 6_ _ )2 ;
3 x 2 5 x _ _ _ 52_ _ 2_ ( x _ _ _ 52 _ _ ) 2 ;
4 x22 3x_ _ _ 13_ _ 2 (x_ _ １_ 3 _ _ )2.
3. 用配方法解下列方程
（ 1 ） 3x26x40;
（ 2） 4x26x30;
(3) 2x2 3x
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为（x + n）2 = p （n，p 是常数，p≥0） 的形式，运用直接开平方法，降次求解．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? ①将方程二次项系数化成 1； ②移项； ③配方（方程两边都加上一次项系数一半的平
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5 ，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
人教版数学九年级上册21.2降次—解一元二次方程(配方法)(共14张PPT)
配 方
解方程： x2+6x+4=0
法
移项得： x2+6x=-4
配方得：x2+6x+9=-4+9 写成完全平方式： （x+3）2=5
开方得：x+3= + 5
∴ x+3= 5 , x+3=- 5
二次项和一次项在等号左边， 常数项移到等号右边。 两边同时加上一次项系数一半的平方。
注意：正数的平方根有两个。
3如、图配，2方在6，一m方块程长的3两5m边，都宽加26上m一的次项系数一
x-61/2=+59/2
第二十一章 一元二次方程
1、将方程变为一般形式。
5、利用直接开平方法进行开方求得两根。
(35-y)(26-y)=850
解：设道路的宽应为xm
26×35=35x+26x+850 -x2
x2_61x+60=0 x2_61x=-60
知识准备一
解下列方程： 1、9x2＝9
x1=1, x2=-1 3、16x2-13=3
x1=1, x2=-1 5、2(3x+2)2=2
x1=-3, x2=-1/3
2、 (x+5)2＝9 x1=-2, x2=-8 4、(3x+2)2-49=0 x1=-3, x2=5/3 6、81(2x-5)2-16=0
2、若a2+2a+b2-6b+10=0,求a、b的值。
学以致用
如图，在一块长35m，宽26m的
二次项和一矩次项形在地等号面左上边，，修建同样宽的两条 (35-y)(26-y互)=8相50 垂直的道路，剩余部分栽种
你答还：有 道哪路些的花收宽获应草和为，体1m会要。？使剩余部分的面积为850 3、配方，m方程2，的两道边路都加的上宽一次应项为系数多一少？第 ຫໍສະໝຸດ 十 一 章 一 元 二 次 方 程
21.2降次——解一元二次方程配方法 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
（4）x2-4 3x+源自(2 3)
2
=
(
x-
2 3
)2
你发现了什么规律？（进入提问环节）
归纳总结
配方的方法
二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
二 用配方法解方程
合作探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
即 ( x－4)2=15 由此可得 x 4 １5,
x1 4 15, x2 4 15.
2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
课后作业
课本第16－17页第1、2、3题
问题２：下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
提示：方程左边能不能 变成完全平方的形式
问题３.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+42 = ( x+ 4 )2
x 12 1.
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
人教版九年级数学：21.2.1降次--解一元二次方程配方法
开平方得： x 1 7
44
∴原方程的解为：x1 2 ,
x2
3 2
反馈练习巩固新知
用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-15=0 (2)x2-5x-6=0
(3)2x2-5x-6=0
(4)x2+px+q=0(p2-4q＞0)
小结
1、配方法通：过配方,将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接
怎样解这
个方程？
移项
两边加上32,使左边配成
x 2 2bx b2的形式
左边写成完全平方形式 降次
心动不如行动
例1:用配方法解方程
x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
(4)
y2
1 2
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
问题1一桶油漆可刷的面积为1500，d 李m林2 用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
由此可得 x2 25
x 5，
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2:你能用配方法解方程
吗？ 2x2 x 6 0
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
移项得： x2 1 x 3
2
配方得：x2
1
2 x
(
1)2
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个方程？
x 6 x 16 0
2
x 6 x 16
2
移项
两边加上32,使左边配成
2 2
x 6 x 3 16 3
2 2 2
x 2 bx b 的形式
( x 3 ) 25
2
左边写成完全平方形式 降次
x 3 5
x 3 5 , x 3 5
反馈练习巩固新知
用配方法解下列方程:
2 (1)x +8x-15=0 2 (2)x -5x-6=0 2 (3)2x -5x-6=0
(4)
x px
2
p 2 ( ) =( 2
x
p 2
)2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平 方.
填一填
2 2
1 ( x ___) 1 (1) x 2 x _____
2
2
2
2
4 ( 2 ) x 8 x _____ ( x ___) 4 5 5 2 2 ） ( y ___) (3) y 5 y （_____ 2 2
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x 1
a , x a 2
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
完全平方公式：
a 2ab b (ab) ; a 2ab b (ab) .
2 2 2 2 2 2
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 观察(1)(2)看所填的常 (1) x 6 x 3 2 =( x +3 )2 数与一次项系数之间 2 2 有什么关系? (2) x 4)2 8 x4 =( x 2 2 (3) x 2 )2 4 x2 =( x
得 : x 2 , x 8
1 2
例1: 用配方法解方程
x 8 x 1 8 x 0
2
2 x 1 3 x
2
3 x 6 x 4 0
2
小结
1、配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未 知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接 开平方求出方程的解的方法。 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： （1）移项 (2)化二次项系数为1 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
2
(4)
y
2
2 1 1 1 ） ( y ___) y （ ____ 4 4 2
2
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
X（X+6） = 16 整理得：X2+6X－16 = 0