小学数学 余数性质(一).教师版
第十一讲带余除法和余数性质
| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2知识站牌第十一讲带余除法和余数性质| 五年级·超常班·教师版 | 第11讲2.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
小学三年级数学知识点：有余数的除法知识点
小学三年级数学知识点：有余数的除法知识点小学三年级数学知识点：有余数的除法知识点1、余数：在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，取余数运算：1.指整数除法中被除数未被除尽部分。
例如27除以6，商数为4，余数为3。
2、余数的性质：余数有如下一些重要性质(a，b，c 均为自然数)：(1)余数小于除数。
(2)被除数=除数×商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数;余数=被除数-除数×商。
3、有余数除法的含义：通过平均分一些物体，有时有剩余，就出现了余数。
如：一共有23盆花，每组摆5盆，最多可以摆几组，还多几盆?23 ÷ 5 = 4(组)…… 3(盆)( ) ( )( ) ( )其中，被除数23表示( );除数5表示( );商4表示( );余数3表示( )。
4、余数与除数的关系：在有余数的除法中，每一次除得的余数必须比除数小。
(余数﹤除数)如：23÷5=4……3，其中(余数3﹤除数4)5、除法各部分之间的关系：被除数=商×除数+余数或被除数=商×除数★练习题★24÷8= 56÷7= 35÷5=33÷4= 76÷9= 37÷7=40÷9= 16÷4= 24÷7=9÷4= 27÷5= 13÷4=60÷8= 17÷2= 74÷9=39÷9= 37÷8= 54÷7=27÷8= 58÷7= 36÷5=30÷4= 75÷9= 38÷7=45÷9= 15÷4= 28÷7=有余数的除法知识点就先到这儿了，想要了解更多精彩的内容，大家可点击三年级数学知识点来看哦~同时会持续为大家跟新最新的内容，大家可进入首页选择自己需要的来查看呦~~~。
五年级数学余数的性质
余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
5-6-1_余数问题.题库教师版.doc(可编辑修改word版)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨一、带余除法的定义及性质一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当r = 0 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当r ≠ 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以 23+16=39 除以5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如：23，19 除以5 的余数分别是 3 和4，所以 23+19=42 除以5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。
5-6 余数问题教学目标例如：23，16 除以5 的余数分别是 3 和1，所以23×16除以5 的余数等于3×1=3。
余数问题教师版
余数问题(教师版)一、带余除法的定义及性质一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
2.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
知识精讲余数问题例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b (mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。
5-5-3 余数性质(一).教师版【小学奥数精品讲义】
5-5-3.余数性质（三）教学目标1.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃9法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理1a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为121898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学数学 余数性质(一).教师版
【例 4】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是______． 【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 (70 110 160) 50 290 ， 50 3 16......2 ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是
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而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的
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【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 n 能整除 63 91 129 25 258 ．因为 25 3 8...1 ，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然，n 不能大
于 63．符合条件的只有 43. 【答案】 43
【例 5】 如果 1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么 1！+2！+3！+……+100！ 的个位数字是多少？
求余数
求余数文/乐家骏来源：小学数学教师计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。
下面先介绍四条余数的性质。
为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。
（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。
（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。
以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。
（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。
性质（3）的证明如下：把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。
根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。
特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。
如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。
（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。
证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。
根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。
例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。
小学思维数学讲义：余数性质(一)-带详解
余数性质（一）1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
第12讲余数(教师版)
第12讲 余数内容概述掌握余数的概念与根本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或163. 20220808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8， 808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25， 8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11， 2+0+0+0=2， 0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运发动进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运发动打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16【解析】余数问题，求128×23×300÷17的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？【答案】〔1〕4；〔2〕4；〔3〕2【解析】因为23除以7的余数是1，20=3×6+2，所以220除以7的余数就是22除以7的余数 即为4；同理，1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是27．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？ 【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是28．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是4379．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是510．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66.求这个两位数．【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是952．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？【答案】〔1〕1，46；〔2〕3，5【解析】〔1〕21÷4=5…1；421÷125=3…46；〔2〕〔8+8〕×21÷9=37…3；808808÷11余0，最后还剩一个808，8+8=16，16÷11 余53．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为154．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？ 【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，所以个位数字是8－1＝75．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【解析】7+23k-9能被19整除，最小为2378．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数是4049． 123123123123123个除以99的余数是多少？【答案】90【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是9010．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下20个11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求〔38，57〕＝1912．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 带余除法(一).教师版
数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968． 【答案】1968
【巩固】计算口÷△，结果是：商为 10，余数为▲。如果▲的值是 6，那么△的最小值是_____。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分 【解析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 △的最小值为 7。 【答案】 7
【例 3】 除法算式 □ □ = 208 中，被除数最小等于
5-5-1.带余除法（一）.题库
教师版
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【解析】令第 1 次取的编号为 a，第二次取的编号为 2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1）+1=4a+3；还剩下 的编号为：55-7a-4=51 7a，当 a 为 6 时，余下的是 9；当 a 为 7 时，余下的是 2.
【巩固】一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。
【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转
化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数 与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39，91. 【答案】39 或者 97
带余除法 教师版
带余除法例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。
因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。
由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。
将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。
所求整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。
余数与带余除法教师版
（一）知识点概述1.带余除法的概念和性质；2.中国剩余定理；3.带余除法和剩余类的应用．（二）典型例题1．完成下列各个小题：（1）a÷24＝121……b，要使余数最大，被除数应该等于_____．（2）一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是_____．（3）393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有_____个，它们是_____．（4）31453⨯68765⨯987657的积，除以4的余数是_____．1)2927，因为余数一定要比除数小,所以余数最大为23,故有被除数=24⨯121+23=29272) 831这个三位数可以写成37⨯商+17=36⨯商+(商+17).根据“被36除余3”.(商+17)被36除要余3.商只能是22(如果商更大的话,与题目条件“三位数”不符合).因此,这个三位数是37⨯22+17=831.3) 4;11,35,55,77。
393减8,那么差一定能被两位数整除.∵393-8=385， 385=5⨯7⨯11=(5⨯7)⨯11=(5⨯11)⨯7=(7⨯11)⨯5∴385能被两位数11，35，55，77整除.本题的答案是4个:11,35,55,77.4) 1，∵31453÷4=7863...1， 68765÷4=17191...1， 987657÷4=246914 (1)1⨯1⨯1=1∴31453⨯68765⨯987657的积除以4余数是1.2．除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是_____．172因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,…….又因为67÷7=9…4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，….所以,符合条件的最小三位数是172.3．有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个．这盒乒乓球至少有多少个?如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.所以这盒乒乓球有123个4．一个五位数79□□8，除以13或37，余数都是2，请在□中填入正确的数字，使这个整数还原。
《带余除法(一)》(教案)-2024-2025学年浙教版小学数学二年级上册
1.知识与技能目标
（1）学生能够理解带余除法的意义，知道什么是余数。
（2）学会用算式表示带余除法的运算过程，能正确读写带余除法算式。
（3）能够运用带余除法解决简单的实际生活中平均分有剩余的问题。
2.过程与方法目标
（1）通过分物、画图等实际操作活动，培养学生的动手能力和直观感知能力。
（2）在探索带余除法的过程中，培养学生观察、分析、比较和归纳总结的能力。
（4）设计意图：通过操作小棒和画图的活动，让学生亲身体验带余除法的运算过程，从直观的操作中理解带余除法的概念。画图表示有助于学生进一步加深对余数的理解，而正确读写带余除法算式则是基本的数学技能要求。
3.巩固练习（分层练习，巩固提高）
（1）基础练习
①教师在大屏幕上展示一些简单的带余除法算式，如 7÷3、8÷5 等，让学生计算并说出算式中各部分的名称。
七、板书设计
《带余除法（一）》板书
1. 实例：
9÷4 = 2……1
2. 含义：
9（被除数）：要分的总数
4（除数）：平均分的份数
2（商）：每份的数量
1（余数）：平均分后剩余的数量
3. 算式读法：9 除以 4 等于 2 余 1
八、教学反思
1.成功之处
（1）情境导入环节有效地吸引了学生的注意力，分苹果的情境简单易懂，与学生的生活实际紧密相关，能够快速引导学生进入带余除法的学习情境，激发学生的学习兴趣。
2.操作体验策略
安排大量的操作活动，如让学生用实物（小棒、卡片等）进行分物操作，或者通过画图来表示分物过程。让学生在动手操作和画图过程中，亲身体验带余除法的运算过程，加深对概念的理解。
3.小组合作策略
组织学生进行小组合作学习。在小组内共同完成分物任务、讨论分物结果、探究带余除法的运算过程等。通过小组合作，学生可以互相交流、启发，培养合作能力。
数论第16讲_余数的性质(教师版)A4
余数的性质：和的余数等于余数的和，差的余数等于余数的差，积的余数等于余数的积． 这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算33371580+⨯-的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．重难点：根据余数的性质进行替换求余．根据周期性求余数．题模一：替换求余例1.1.1（1）135137139⨯+除以5的余数是__________；（2）3579135713579⨯+除以9的余数是__________．【答案】（1）4（2）4【解析】（1）135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4；135137139⨯+除以5的余数是0244⨯+=．（2）3579除以9的余数是6，1357除以9的余数是7，13579除以9的余数是7；因此3579135713579⨯+除以9的余数和67749⨯+=除以9的余数相同，是4．例1.1.2某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．则最后一包有__________个零件．【答案】16【解析】1281779÷=；231716÷=；300171711÷=．所以12823300⨯⨯与9611=594⨯⨯除以17的余数相同．594173416÷=．所以最后一包有16个零件．例1.1.3（1）877844923581368+⨯除以4、9的余数分别是多少？（2）365366367368369370+⨯除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】（1）0，2（2）2，2，2【解析】特性求余法和替换求余法结合使用．（1）877844923581368+⨯除以4的余数等于0300+⨯=除以4的余数，即为0．877844923581368+⨯除以9的余数等于75847+⨯=除以9的余数，即为2．（2）365366367368369370+⨯除以7的余数等于1112+⨯=除以7的余数，即为2．数论第16讲_余数的性质 33 ＋ 37 × 15 － 80 5 ＋ 2×1 — 3每个数都用它除以7的余数替换365366367368369370+⨯除以11的余数等于1112+⨯=除以11的余数，即为2．365366367368369370+⨯除以13的余数等于1112+⨯=除以13的余数，即为2．例1.1.4算式200920092010201020112011⨯+⨯+⨯除以31的余数是_________．【答案】15【解析】用替换求余法．这个算式除以31的余数即2525262627272030⨯+⨯+⨯=降以31的余数，2030316515÷=．所以这个算式除以31的余数是15．题模二：周期求余例1.2.1702除以7的余数是多少？【答案】2【解析】2，22，32……这个数列的每个数除以7的余数为2、4、1、2、4、1……，以2、4、1为周期，所以第70个为2．例1.2.2201452的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以13的余数是多少？【答案】4，4，0【解析】52n 的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数一个周期．2014除以4余2，所以201452的个位数字与周期中的第二个数字相同，即为4．52n 除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每6个数一个周期．2014除以6余4，所以所以201452除以7的余数与周期中的第4个数字相同，即为4．52n 除以13的余数是0．所以201452除以13的余数是0．例 1.2.32013201320132013201312345++++除以5，余数是___________．（注：2013a表示2013个a 相乘）【答案】0【解析】20130除以5余数是1； 20132除以5的余数依次是2、4、3、1为周期，所以最后余数是2；20133除以5的余数依次是3、4、2、1为周期，所以最后余数是3；20134除以5的余数依次是4、1为周期，所以最后余数是4；20135除以5的余数是0．故这个算式的结果除以5的余数是：()12340520++++÷=，即余数是0． 例1.2.4108888888+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数是多少？【答案】2 【解析】8除以5余3，本题相当于求333333103+⨯++⨯⨯⨯个除以5的余数；3，23，33，43，⋅⋅⋅除以5的余数依次为3，4，2，1，3，4，⋅⋅⋅它按照3，4，2，1的顺序反复出现，并且342110+++=是5的倍数，这10个数中有2个3，4，2，1，还剩一个3和4．所以所求余数为347+=除以5的余数，余2．例 1.2.5有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数．【答案】401【解析】从第三个数起，每个数都是前面两个数之和，所以除以5的余数也为前面两余数之和．可得余数依次为下：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0……可以看出，每5个余数会有一个为0，20095401......4÷=，所以共401个．例1.2.6算式20087777777+⨯++⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少？【答案】00【解析】通过计算7，77⨯，777⨯⨯，7777⨯⨯⨯的末两位知道这2008个数的末两位以4为周期，按07，49，43，01循环出现．因为749431100+++=，所以原来每连续4个数相加的末两位是是00．20084502÷=，把这2008个数按4个一组分成502组，每组4个数之和的末两位都是0，最后这2008个数之和的末两位也是00．随练1.1164+321+166除以16的余数是多少？【答案】11【解析】和的余数等于余数的和．随练1.2一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】2【解析】本题是要求算式3651234⨯的结果除以6的余数．利用替换求余法易知结果是2．随练1.349015×81364－83778+10除以9的余数是__________．【答案】8【解析】余数可加性、可减性、可乘性之综合运用．原式的余数等于14611⨯-+=-，不够减补上一个9，也就是说明余数是8．随练1.436629的个位数字是_______，除以7的余数是_______．【答案】1；1【解析】3663661831832998111(mod 10)≡≡≡≡，3661832911(mod 7)≡≡．随练1.5有一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……，这列数左起第2014个数除以5的余数是__________．【答案】2【解析】这个数列除以5的余数依次是1、2、4、2、1、1、2、4、2、1……，5个一周期，20145402......4÷=，所以这列数左起第2014个数除以5的余数是2．作业1123456789123456789++++++++除以3的余数是__________．【答案】1【解析】易知3693690(mod 3)≡≡≡；1471(mod 3)≡≡≡，进而1471471(mod 3)≡≡≡；2241(mod 3)≡≡，55252551122(mod 3)≡⨯⨯≡⨯⨯≡，8448641(mod 3)≡≡．综上，12345678912345678915211(mod 3)++++++++≡⨯+⨯≡．作业220032与22003的和除以7的余数是______．【答案】5【解析】()()667220032222003271324115(mod 7)+≡⨯++-≡⨯+≡． 作业3（1）123456789++的结果除以111的余数是多少？（2）2244686678-的结果除以22的余数是多少？【答案】（1）36（2）12【解析】利用替换求余法计算．（1）本题就是要求算式12121236++=的结果除以111的余数，即为36．（2）本题就是要求算式212-的结果除以22的余数，当不够减时，增加22的倍数，即2122212-+=，所以最后的余数是12．作业4今天是星期日，再过1天是星期一，再过2天是星期二，则：（1）从今天算起，再过2014天是星期几？（2）从今天算起，再过20142014⨯天是星期几？（3）从今天算起，再过20142014天是星期几？【答案】（1）星期五（2）星期四（3）星期二【解析】（1）利用7的整除特性，可以很容易求出2014除以7的余数为5，因此再过2014天是星期五．（2）利用特性求余法和替换求余法，可知20142014⨯除以7的余数等于55⨯除以7的余数，余数为4，因此再过20142014⨯天是星期四．（3）仍然利用特性求余法和替换求余法，可知20142014201420142014⨯⨯⨯个除以7的余数等于20145555⨯⨯⨯个除以7的余数，然后我们利用周期求余法，15除以7余5，25除以7余4，35除以7余6，45除以7余2，55除以7余3，65除以7余1，因此是6个一周期，2014除以6余4，即周期中的第4个，余数为2，因此再过20142014天是星期二．作业5（1）202除以7的余数是__________；（2）1414除以11的余数是__________；（3）12128除以13的余数是__________．【答案】（1）4（2）4（3）2【解析】（1）2的不同次方除以7的余数按照2、4、1的规律反复出现，20除以3余2，所以202除以7的余数与22除以7的余数相同，为4．（2）14除以11的余数是3，所以1414除以11的余数与143除以11的余数相同．3除以11余3；23除以11余9；33除以11余5；43除以11余4；53除以11余1，63除以11余3；⋅⋅⋅．我们可以得到3的次方除以11的余数每5个一周期．14除以5余4，所以143与43除以11的余数相同，余4．（3）28除以13余2，这样只需要计算1212除以13的余数，我们来计算2，22，32，42，⋅⋅⋅除以13的余数，它们依次为：2，4，8，3，6，12，11，9，5，10，7，1，2，4，⋅⋅⋅．这里以12个为一周期，由于121除以12余1，所以1212与12除以13的余数相同．即1212除以13余2．作业6求余数的方法（1）求乘积316419813⨯⨯除以13所得的余数．（2）923除以21的余数是几？（3）7118除以11的余数是几？（4）求25316除以9的余数．（5）观察一列数2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……的规律，这列数的第2008个数被6除的余数是多少？【答案】（1）6（2）9（3）7（4）1（5）4【解析】（1）316419813437236(mod13)⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡．（2）()()45159124533332323133(mod 7)≡⨯≡⨯≡⨯≡⨯≡，故923除以21的余数是339⨯=． （3）()()()234471713223531877725225177(mod 11)≡≡⨯≡⨯≡⨯⨯≡-⨯≡． （4）()25252531631611(mod 9)≡++≡≡．（5）设第2008个数为n ．数列为“偶奇奇偶奇奇……”，周期为3，20081(mod 3)≡，故0(mod 2)n ≡；数列被3除的余数分别为2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……周期为8，20080(mod 8)≡，故1(mod 3)n ≡．再结合0(mod 2)n ≡，易知4(mod 6)n ≡．作业720122012201220121232013++++的计算结果除以10的余数是多少？ 【答案】1 【解析】用替换求余和特殊求余法．20121除以10余1，20122除以10余6，20123除以10余1，20124除以10余6，20125除以10余5，20126除以10余6，20127除以10余1，20128除以10余6，20129除以10余1，201210除以10余0．所以算式的计算结果除以10的余数是()1616561610201161332011616641+++++++++⨯+++=⨯+++=除以10的余数，即余数是1．。
小学奥数余数基础
余数1．定义: 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整时，就产生余数，取余数运算。
余数指整数除法中被除数未被除尽部分。
例如27除以6，商数为4，余数为3。
2．在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
取余数运算：a modb =c 表示整数a除以整数b所得余数为c如：7 mod 3 = 13．余数性质：余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）大小法则：余数小于除数（2）式子变换：被除数=除数×商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商（3）减法法则：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
a÷c=k…mb÷c=p…ma-b=cn例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）加法法则：a与b的和除以c的余数（不包括能整除），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
a÷c=k…yb÷c=p…z(a+b) ÷c=r..(y+z)例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
.(y+z) ÷c例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5乘法法则：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
a÷c=k…yb÷c=p…z(a×b) ÷c=s…(y×z)例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
求余数
求余数文/乐家骏来源：小学数学教师计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。
下面先介绍四条余数的性质。
为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。
（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。
（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。
以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。
（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。
性质（3）的证明如下：把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。
根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。
特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。
如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。
（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。
证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。
根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。
例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。
小学数学精讲(6)带余除法、同余性质、中国剩余定理
小学数学精讲(6)带余除法、同余性质、中国剩余定理一、知识地图;,;(2),.;(4)a ⎧⎪≡≡⎧⎪⎪⎪≡+⎪⎪⎪>≡-⎪⎧⎪⎨⎨⎪<≡-+⎩⎪⎪⎪⎪⨯≡⨯⎨⎪⎪⎪≡⎩⎪≡⎩12121212121212带余除法如果m r ,n r(moda),那么(1)m+n r r 当r r m-n r r 同余性质m-n 当r r m-n r r 数论三(3)m n r r 如果m n(moda),那么a|m-n 中国剩余定理--余1律升级满足法--前几级得数+前几级公倍数本级余数(mod 本级数)进制数，数位与位值⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 二、基础知识（一）余数问题在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。
余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。
1. 带余除法 1定义的引入：带余除法：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0），那么一定有另外两个整数q 和r ，0≤r ＜b ，使得a=b ×q + r 当r=0时，我们称a 能被b 整除。
当r ≠0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商（亦简称为商）。
用带余数的除式又可以表示为a ÷b=q ……r ， 0≤r ＜b例如：给出整数13 ，整数5，那么就存在另外两个数2和3，使得13=5×2+3 其实也就是表达了13÷5=2…3，这么一个简单的意思。
2.和余数相关的一些性质余数有如下一些重要性质（a ，b ，c 均为自然数） （1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。
这条性质，要与整除性联系，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。
因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。
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1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。
例题精讲模块一、余数的加减法定理【例1】幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。
平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。
这班里共有_______位小朋友。
【考点】余数的加减法定理【难度】1星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】40-4=36，200-20=180，120-12=108。
小朋友的人数应是36，180，108的大于20的公约数，只有36。
【答案】36【例2】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，2000,2003，+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()25360253679()1998,2000,2003,2001,1995．1998,2000,2003，()2000,2003,2001,1995，()【答案】4【例3】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。
那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。
显然126运动员打5盘是最多的。
【答案】5【例4】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】(70110160)50290÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是++-=，50316 (2)29和58，11058 1 (52)÷=，÷=，11029 3 (23)>，所以除数不是58．7029 2 (12)÷=，5250++=，所以除数是29÷=，1223155016029 5 (15)【答案】29【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】n能整除639112925258++-=．因为2538 (1)÷=，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43.【答案】43【例5】如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！......1×2×3×......×99×100＝100！那么1！+2！+3！+ (100)的个位数字是多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【解析】从5！开始个位数字都是0了因此只需要计算前4个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33所以末位数字一定是3【答案】3【例6】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小数报【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷=(元) ．【答案】32【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．(151618192031)(12)119339 (2)+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【答案】20【巩固】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数．计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565+++++=，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2．六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193．【答案】1193【例7】从1，2，3，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N最大为多少？【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第8题【解析】取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0，5或者10．在12007:中，除以15的余数为0的有151⨯+，1515⨯，共有133个；除以15的余数为5的有1505⨯+，…，⨯，…，15133⨯，152⨯+，…，1513310⨯+，共有⨯+，15110⨯+，共有134个；除以15的余数为10的有15010151335134个．所以N最大为134．【答案】134【例8】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1，就知四个岁数都是31k+型的数，又是质数．只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁．【答案】37【例9】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是________人．【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型】填空【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】三所学校的高中生分别是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人数5480是偶数矛盾，因此只能是B校的初中人数是高中人数的 1.5倍．三校初中的总人数是-=，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．从余数来看2215⨯+=，548021963284+= 1224⨯+=，就断定初中人数是高中人数的2倍，只能是C校．所以，A校总人数是7427421484 (人) ．【答案】1484模块二、余数的乘法定理【例10】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【解析】因为246111223 (8)÷=，根据同余定理(三)，÷=，604711549 (8)÷=，1351112 (3)⨯⨯=，⨯⨯÷的余数，而8381922461135604711⨯⨯÷的余数等于83811÷=，所以2461135604711⨯⨯÷的余数为5．1921117 (5)【答案】5【巩固】求478296351⨯⨯除以17的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179 (1)⨯⨯÷=．【答案】1【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【考点】余数的乘法定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先将4373091993⨯⨯算出以后，即4373091993269120769⨯⨯=．再求得此数被7除的余数为1．方法二：因为473除以7的余数为3，309除以7的余数为1，由“同余的可乘性”知：437309（）除⨯以7的余数为31（）除以7的余数⨯⨯（）．又因为1993除以7的余数为5，所以4373091993⨯等于315（）即15除以7的余数，算出4373091993⨯⨯被7除的余数为1．⨯⨯方法三：利用余数判别法⑹，算出4373091993269120769⨯⨯=，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差即2697691201722336（）（）（），36除以7的余数为1，即+++++-++=+-=⨯⨯被7除的余数为1．4373091993【答案】1【例11】求4782569352⨯⨯除以9的余数．【分析】 47819291++==⨯+，2561394++==+，3521091++==+，4782569351⨯⨯除以9的余数等于1414⨯⨯=．【答案】4【例 12】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是 。