2018届高考数学二轮复习专练6线性规划文

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高考数学文(二轮复习)课件《不等式与线性规划》

2．解不等式的四种策略 (1) 解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指、对数不等式的策略：利用指、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．
2．(2014· 全国新课标Ⅱ)设集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋ 2≤0}，则 M∩N＝( A．{1} C．{0,1} ) B．{2} D．{1,2}
答案：D
解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又 M＝{0,1,2}，所以 M∩N＝{1,2}．故选 D.
基础记忆
试做真题
基础要记牢,真题须做熟
基础知识不“背死” ，就不能“用活” ！ 1．牢记四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法．先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法．
a＋b 2 (4)ab≤ 2 (a，b∈R)．
(5)
a2＋b2 a＋b ≥ ≥ ab(a>0，b>0)． 2 2
3．快速判断二元一次不等式表示的平面区域
不等式 B>0 Ax＋By＋ C>0 Ax＋By＋ C<0
区域 B<0
直线 Ax＋By 直线 Ax＋By＋＋C＝0 上方 C＝0 下方
不等式与线性规划

2018年高考数学(理)总复习达标检测(二十七) 简单的线性规划问题含答案

高考达标检测（二十七）简单的线性规划问题1．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为( )A.55B. 5C.255D.355解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255.2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解析：选B 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.3．(2017·河南豫西五校联考)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 法一：作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.法二：先作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0所表示的平面区域，再作出直线x ＋y ＝6，则直线x ＋y ＝6与直线y ＝x 的交点为(3,3)，结合题意易知k ＝3.故不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤3表示的平面区域的顶点分别为(0,0)，(－6,3)，(3,3)，分别代入z ＝x ＋y 得z 的值为0，－3,6，所以z 的最小值为－3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0,5] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 解析：选D 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.5．(2016·乌鲁木齐三诊)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[－3,3] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13解析：选C 依据不等式组作出可行域如图阴影部分所示，注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)．∴斜率的两个端点值为－3,3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴k 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则S ＝y ＋1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．[1,2]解析：选C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2，2)．S ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则S min ＝k PA ＝12，S max＝k PB ＝2，故选C.7．(2016·大连期末)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.8．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)．若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，2x －y >0，y >0，则OM ―→·ON ―→的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选B 如图，点N 在图中阴影区域内，当O ，M ，N 共线，且|ON ―→|＝2时， OM ―→·ON ―→最大，此时N (2，2)，∴OM ―→·ON ―→＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.二、填空题9．(2017·沈阳质监)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2≤0，ax －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为________．解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC ，所以S ＝12×2|AC |＝3，所以|AC |＝3，即C (2,3)，又点C 在直线ax －y ＋2＝0上，得a ＝12.答案：1210．(2016·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－511．点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1(k >0)的最大距离为22，则实数k ＝________.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y ＝kx －1(k >0)的距离最大，所以|0×k －3－1|k 2＋1＝22，又k >0，得k ＝1.答案：112．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13三、解答题13．(2017·山西实验中学诊断)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，求a 的取值范围．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A （23，23），解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 应满足0<a ≤1或a ≥43.故a 的取值范围为(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.14．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.故生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

2018年高考数学小题精练系列(第02期)专题05 线性规划文

专题05 线性规划1．若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值． 2．若实数,x y 满足约束条件13,{11,x y x y ≤+≤-≤-≤则3z x y =+的取值范围是（）A ． []0,6B ． []1,6C ． []1,7D ． []0,5 【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：设3z x y =+ 得3y x z =-+ ，平移直线3y x z =-+，由图象可知当直线3y x z =-+经过点01A （，）时，直线的截距最小，此时z 最小，为011z =+=，当直线3y x z =-+经过点C时，直线的截距最大，此时z 最大，由3{?1x y x y +-＝＝，解得2{? 1x y ＝＝，即21C （，），此时3217z =⨯+=，即17z ≤≤，故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键． 3．设点在内部及边界上运动，其中A(0,1)B(3,4)C(3,-2)，则z=2x-3y 的取值范围是（）A ． [-6,-3]B ． [-3,12]C ． [-6,12]D ． [-6,6] 【答案】C【解析】所以z=2x-3y 的取值范围为．选C ．4．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为（）A． B． 6 C． 1 D．或6【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC =|AD||y B﹣y C|=（2+a）（1+﹣）==，解得a=6或a=﹣10（舍）．故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．5．设x ， y 满足约束条件0,{, 4312,x y x x y ≥≥+≤则251x y x +++的取值范围是（） A ． 71,1319⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． []1,12C ． 70,1319⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． []2,12【答案】A【解析】先画出可行域如上图，则252y 2111x y x x +++=+++（），表示可行域的点到点()12--，两点连线的斜率，联立{ 4312y x x y =+=解得127{ 127x y ==代入得7119，此时取得最小值，当取得0{4x y ==时解得最大值13，故选A6．已知实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y +≥≤-≥若z mx y =+的最大值为10，则m =（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1 【答案】C【解析】作出可行域如图：目标函数z mx y =+可化为y mx z =-+，作出直线y mx =-，移动直线，当直线过点B 时，取得最大值10，所以1034m =+，解得2m =，故选B ．点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论，，显然直线越上移z 越大，当直线过B 时z 最大．7．已知实数,x y 满足条件2,{2, 22,x x y x y ≤+≥-≥，则xy的取值范围是（）A ． []0,1 B ． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ． 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，充分利用数形结合思想是解决本题的关键． 8．若均为整数，且满足约束条件则的最大值为（）A ． -4B ． 4C ． -3D ． 3 【答案】B【解析】作出二元一次不等式组所表示的可行域，目标函数为截距型，截距越大越大，求出最优解为，则的最大值为4．选B ．9．设不等式组02{02x y ≤≤≤≤，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D10．已知变量,x y 满足约束条件0{4 x y x y y m-≥+≤≥，若目标函数2z x y =+的最小值为2，则m =（）A ． 2B ． 1C ． 23D ． 2- 【答案】C【解析】根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点()()()2,2,4,A B m m C m m -，目标函数2z x y =+化简可得122zy x =-+ ，根据图像得到当目标函数过点B 时，有最小值2，此时232,.3m m == 故答案为C ．点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式．常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可．注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到．11．已知实数x ，y 满足0{0 134x y x y ≥≥+≤，则11y x ++的取值范围是（） A ． 156⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ． [1，5] C ． 154⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ． [0，5] 【答案】C【解析】由约束条件0{0 134x y x y ≥≥+≤作出可行域如图所示：点睛：本题为线性规划问题．掌握常见的几种目标函数的最值的求法：①()0z ax by b =+≠，利用截距的几何意义；② ()0ay bz ac cx d+=≠+，利用斜率的几何意义；③()()22z x a y b =-+-，利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出()x y ，的可行域，再利用()x y ，的条件约束，作出图形，数形结合，求得目标函数的最值． 12．某企业生产A 、B 、C 三种家电，经市场调查决定调整生产方案，计划本季度（按不超过480个工时计算）生产A 、B 、C 三种家电共120台，其中A 家电至少生产20台，已知生产A 、B 、C 三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，则按此方案生产，此季度最高产值为（）千元． A ． 3600 B ． 350 C ． 4800 D ． 480 【答案】A【解析】设本季度生产A 家电x 台、B 家电y 台，则生产家电C ： ()120x y --台，总产值为z 千元，由题意可列表格：则根据题意可得()20304012048002010z x y x y x y =++--=--由题意得x y ，满足()3461204801200{00x y x y x y x y ++--≤--≥≥≥，即32240120{ 00x y x y x y +≥+≤≥≥，画出可行域如图所示：解方程组32240{120x y x y +=+=，得0{ 120x y ==，即()0120A ，作出直线020l x y +=：，平移0l 过点()0120A ，时，目标函数有最大值，max 4800200101203600z =-⨯-⨯=，故选A。

2018年浙江高考数学二轮复习练习：第2部分必考补充专题专题限时集训18不等式与线性规划Word版含答案

6 令 f ′（x) ＝ 1－ x2＝ 0，解得 x＝ 6( 负值舍去 ) ．
当 1<x< 6时， f ′（x)<0 ；当 x> 6时， f ′（x)>0 ， 6
∴ f ( x) 的最小值为 f ( 6) ＝ 6＋－ 6＝ 2 6－ 6. 6
综上， f ( x) 的最小值是 2 6－ 6.] 二、线性规划问题
因为 a2＋ b2＋ c2＝ 1，所以－ a2＋ 1＝ b2＋ c2＝ ( b＋ c) 2－ 2bc＝ a2－ 2bc，所以 2a2－ 1＝ 2bc≤ b2＋ c2＝1－ a2，
所以 3a2≤2，所以
a2≤
2 3
，
6
Hale Waihona Puke 6所以－3 ≤ a≤
. 3
6 所以 amax＝ 3 .]
x
2
，
x
≤
1，
4．(2015 ·浙江高考 ) 已知函数 f ( x) ＝ 6 x＋ x－6， x>1，
个工
时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利
润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，
则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 ________元．
216 000 [ 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，则
1.5 x＋ 0.5 y≤150， x＋ 0.3 y≤90， 5x＋ 3y≤600， x≥0， x∈N* ， y≥0， y∈ N* .
目标函数 z＝2 100 x＋900y. 作出可行域为图中的阴影部分 ( 包括边界 ) 内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为 (60,100) ， (0,200) ， (0,0) ， (90,0) ．当直线 z＝ 2 100x＋ 900y 经过点 (60,100) 时， z 取得最大值， zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000( 元 ) ． ]

2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析

[A 组夯基保分专练]一、选择题1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以a －5＋a ＋1＝8，即a ＝6.故选B.2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )A.310B.25C.320D.14解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C 36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C 23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C 23C 36＝320.故选C.3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A .小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，所以P (A |B )＝24108＝29. 4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为( )A.110B.120C.124D.310解析：选B .1，2，3，4，5可组成A 55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C 24C 22＝6个，故出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为6120＝120. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p , 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.6．(2018·贵阳模拟)点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e }，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )A.1e B.1e 2 C.e －1eD.e 2－1e2解析：选B.如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为⎠⎛01(e －e x )dx ＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1e2.故选B.二、填空题7．某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．解析：利用隔板法将7元分成3个红包，共有C 26＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A 22＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A 22＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是3＋2＋115＝25.答案：258．(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题10．(2018·贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解：(1)由题意可得，所求概率为P ＝C 14C 22C 36×C 13×23×⎝⎛⎭⎫132＋C 24C 12C 36×C 03×⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫133＝115.(2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)×15＝25.设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3. 由题意可知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y ) ，所以甲被录取的可能性更大．11．(2018·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本的数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球质量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.⎝⎛⎭⎫或者E （X ）＝3×15＝35. 12．(2018·长春质量监测(二))某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300，350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)9个芒果中，质量在[250，300)和[300，350)内的分别有6个和3个．则X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 36C 39＝2084，P (X ＝1)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝2)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×2084＋1×4584＋2×1884＋3×184＝1.(2)设选择方案A 可获利y 1元，则y 1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750.设选择方案B ，从质量低于250克的芒果中获利y 2元，从质量高于或等于250克的芒果中获利y 3元，则y 2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000. y 3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500. y 2＋y 3＝7 000＋19 500＝26 500.由于25 750<26 500，故B 方案获利更多，应选B 方案．[B 组大题增分专练]1．(2018·合肥第一次质量检测)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始，高考不再分文理科，语文、数学、英语三科为必考科目，考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，其中物理、化学、生物为自然科学科目，思想政治、历史、地理为社会科学科目，假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．(1)求这位考生所选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是45，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是34，且所选的各个科目的考试成绩相互独立，用随机变量X表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记“这位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则P (M )＝1－C 33C 36＝1－120＝1920，所以这位考生选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率为1920.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. 因为P (X ＝0)＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，P (X ＝1)＝45×⎝⎛⎭⎫142＋15×C 12×14×34＝18， P (X ＝2)＝45×C 12×14×34＋15×⎝⎛⎭⎫342＝3380，P (X ＝3)＝45×⎝⎛⎭⎫342＝920，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．3．2017年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为34，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为23，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查．(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X 表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A ，“在甲企业抽中”为事件B ，“在乙企业第一次抽中”为事件C ，“在乙企业第二次抽中”为事件D ，则由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23.(1)因为A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，所以P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.所以P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )[1－P (C )][1－P (D )]＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B CD )＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (BCD )＝[1－P (B )]P (C )P (D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝P (B )P (C )P (D )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.4．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与车辆发生有责任道路交通事故的情况相联系，发生有责任交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》中汽车交强险价格的规定，a ＝950.某同学家里有一辆该品牌同型号车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌同型号的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进并销售一辆事故车亏损5 000元，购进并销售一辆非事故车盈利10 000元．①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值．解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a . 由统计数据可知：P (X ＝0.9a )＝16，P (X ＝0.8a )＝112，P (X ＝0.7a )＝112，P (X ＝a )＝13，P (X ＝1.1a )＝14，P (X＝1.3a )＝112.所以X 的分布列为所以E (X )＝0.9a ×16＋0.8a ×112＋0.7a ×112＋a ×13＋1.1a ×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝11 30512≈942(元)．(2)①由统计数据可知，任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，则三辆车中至多有一辆事故车的概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－133＋C 1313⎝⎛⎭⎫232＝2027. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5 000，10 000.11 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5 000×13＋10 000×23＝5 000(元)．故该销售商一次购进并销售100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝50(万元)．。

2018数列、线性规划专题(理科)(2018高考真题)

2018数列、线性规划专题（理）1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（）A ．12-B ．10-C ．10D ．122．已知成等比数列，且．若，则( )A ．B ．C ．D ．3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.4.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。

若11lim 2n n n S a →+∞+=，则q =_________. 5．设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为________．6．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．7.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．8．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．9．若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________10．设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．1234,,,a a a a 1234123ln()a a a a a a a +++=++11a >1324,a a a a <<1324,a a a a ><1324,a a a a <>1324,a a a a >>x y z 100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩81z =x =y =,x y 0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩3z x y =+11.已知集合},12|{*N n n x x A ∈-==，},2|{*N n x x B n ∈==，将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列}{n a ．记n S 为数列}{n a 的前n 项的和，则使得 1n 12+>n a S 成立的n 的最小值为______12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________．13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．14.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．{}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m15.已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．16.设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*∈n T n N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑.17.设}{n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，}{n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设1a ＝0，1b ＝1，q ＝2，若1b b a n n ≤-对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；(2)若1a ＝1b >0，*N m ∈，]2,1(m q ∈，证明：存在R d ∈，使得1b b a n n ≤-对n ＝1，2，3，……m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用1b ，m ，q 表示)．给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n ∈N ，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。

2018年春高考数学(文)新课标二轮复习(高考22题各个击破)课件： 1.2线性规划题专项练 (共23张PPT)

(2)z=
�� -�� -��
��
��
:z 表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)连线的斜率;
(3)z=(x-a)2+(y-b)2:z表示可行域内的点(x,y)和点(a,b)间的距离的平方. -2-
一、选择题
二、填空题
�� + 3�� ≤ 3, 1.(2017全国Ⅰ,文7)设x,y满足约束条件 ��-�� ≥ 1, 则z=x+y的最 �� ≥ 0, 大值为( D )
1 3
C.2
�� +2 �� +1
D.
5 2
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,
的几何意义是区域内
的点到定点 D(-1,-2)的斜率,由图象知 BD 的斜率最大, ��-�� + 2 = 0, �� = 1, 由得即 B(1,3), �� = 3 , �� + ��-4 = 0 3+2 5 此时 BD 的斜率 k= = ,故选 D.
-3-
一、选择题
二、填空题
2�� + 3��-3 ≤ 0, 2.(2017全国Ⅱ,文7)设x,y满足约束条件 2��-3�� + 3 ≥ 0, 则z=2x+y �� + 3 ≥ 0, 的最小值是( A )
A.-15 C.1
B.-9 D.9
解析: 画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-123=-15,故选A.

吉林省东北师范大学附属中学高考数学二轮复习不等式及线性规划教案文

第4讲不等式及线性规划【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx ＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①变形⇒f x g x>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒f x g x≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2．五个重要不等式(1)|a|≥0，a2≥0(a ∈R)．(2)a2＋b2≥2ab(a 、b ∈R)．(3)a ＋b 2≥ab(a>0，b>0)． (4)ab≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)． (5) a2＋b22≥a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b(a>0，b>0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．4．两个常用结论(1)ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ<0. (2)ax2＋bx ＋c<0(a≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.考点一一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b(a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析由题意知f(x)＝x2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b －a24＝0，即b ＝a24. ∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f(x)<c.∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c<x<－a 2＋ c. ∴⎩⎨⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知关于x 的一元二次不等式ax2＋2x ＋b>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≠－1a ，则a2＋b2＋7a －b(其中a>b)的最小值为________． (2)设命题p ：{x|0≤2x －1≤1}，命题q ：{x|x2－(2k ＋1)x ＋k(k ＋1)≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________．答案 (1)6 (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)由题意知a>0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，则由a>b 得a －b>0.故a2＋b2＋7a －b ＝ a －b 2＋2ab ＋7a －b ＝a －b ＋9a －b ≥29＝6，当且仅当a －b ＝3时取“＝”．(2)p ：{x|12≤x≤1}，q ：{x|k≤x≤k ＋1}，由p ⇒q 且qD ⇒/p ，则⎩⎪⎨⎪⎧ k≤121<k ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧k<121≤k ＋1，∴0≤k≤12，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 考点二利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．(2)设x ，y 为实数，若4x2＋y2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．答案 (1)5 (2)2105解析 (1)∵x>0，y>0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y x＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy ＝1，∴(2x ＋y)2－3xy ＝1，即(2x ＋y)2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y)2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y)2≤85，即2x ＋y≤2105. 等号当且仅当2x ＝y>0，即x ＝1010，y ＝105时成立．方法二令t ＝2x ＋y ，则y ＝t －2x ，代入4x2＋y2＋xy ＝1，得6x2－3tx ＋t2－1＝0，由于x 是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤85，即－2105≤t≤2105，即t 的最大值也就是2x ＋y 的最大值，为2105. 方法三化已知4x2＋y2＋xy ＝1为⎝⎛⎭⎫2x ＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫154y 2＝1，令2x ＋14y ＝cos α，154y ＝sin α，则34y ＝155sin α，则2x ＋y ＝2x ＋14y ＋34y ＝cos α＋155sin α＝2105sin(α＋φ)≤2105.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习40---二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第40讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点知识：1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域111222112＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0. 3．线性规划的有关概念线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方． (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b.2．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( )A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4 答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A (－1，－1)，B (2，－1)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时， z min ＝－2.4．(2022·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．5.(2022·汉中质检)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．答案14解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，B (1,0)和C (2,0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S △ABC ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2021·成都诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 2．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.3．若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 D解析作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分表示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)，故0<a ≤1或a ≥43.感悟升华平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．考点二求目标函数的最值角度1 求线性目标函数的最值【例1】(2021·郑州模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，x －y ≥0，则目标函数z＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3 答案 C解析由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z ＝2x －y 变为y ＝2x －z ，当z 取最小值时，y ＝2x －z 在y 轴截距最大，由y ＝2x 图象平移可知，当y ＝2x －z 过点A 时，在y 轴截距最大，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x得A (1,1)，∴z min ＝2×1－1＝1，故选C.角度2 求非线性目标函数的最值【例2】(1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1，则z ＝y x ＋2的取值范围是________．(2)(2022·景德镇模拟改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76 (2)45解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B (1,2)，C⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，D (2,3)，y x ＋2的几何意义是可行域内任一点(x ，y )与点P (－2,0)连线的斜率，连接PB ，PC ，由于直线PB 的斜率为23，直线PC 的斜率为76，由图可知z ＝yx ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76. (2)画出约束条件⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝(x －1)2＋y 2，则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2×1－0|22＋(－1)2＝25，则z min ＝d 2＝45，所以(x －1)2＋y 2的最小值为45.角度3 求参数值或取值范围【例3】(2021·太原调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2.感悟升华线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2；③斜率型：形如z ＝y －b x －a. (2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．【训练1】(1)(2021·昆明质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，2x －y ＋3≥0，x ＋y ≤0，则y ＋4x ＋6的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 B ．[－3,1] C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－37，1(2)若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，35 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞答案 (1)B (2)C解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝y ＋4x ＋6表示可行域内的点与点P (－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点A(－1,1)处取得最大值为1＋4－1＋6＝1，目标函数在点B(－5，－7)处取得最小值为－7＋4－5＋6＝－3，故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.(2)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－23<－a<35，即－35<a<23时，z＝ax＋y仅在x＝y＝3时取得最大值，故选C.考点三实际生活中的线性规划问题【例4】(2022·安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿 4.5吨0.5万元0.4万元________万元．答案43解析设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．由题意可得⎩⎨⎧x ＋y ≤30，x ＋0.5y ≤25，x ≥0，y ≥0，z ＝0.5×5x ＋0.4×4.5y －(x ＋0.5y )＝1.5x ＋1.3y ，作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝1.5x ＋1.3y 经过点A 时，z 取得最大值，又⎩⎨⎧x ＋y ＝30，x ＋0.5y ＝25，解得x ＝20，y ＝10，即A (20,10)，代入z ＝1.5x ＋1.3y 可得z ＝43. 感悟升华 1.解线性规划应用题的步骤．(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题．【训练2】某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元 D ．38 400元答案 C解析设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值，由⎩⎨⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝12，故N (5,12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．“隐性”的线性规划问题数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数量与数量的关系，抽象出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查．【典例】如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．812答案 B解析 f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8.由已知得：对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ′(2)≤0，所以⎩⎨⎧m ≥0，n ≥0，m ＋2n ≤18，2m ＋n ≤12.画出可行域，如图，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0；当n ≠0时，m ＝t n.由线性规划的相关知识，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t n相切时，t 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max ＝18.素养升华 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件．2．解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义．该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力．【训练】在等差数列{a n }中，已知首项a 1>0，公差d >0，a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________，取到最大值时d ＝________，a 1＝________. 答案 200 20 20解析由题意得点(a 1，d )满足⎩⎨⎧a 1>0，d >0，2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，画出可行域，又5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，故经过B 点，即a 1＝d ＝20时，5a 1＋a 5取最大值200.A 级基础巩固一、选择题1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3) 答案 C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(2021·合肥模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0，则2x ＋3y 的最小值为( )A ．4B ． 5C ． 6D ．7 答案 B解析画出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －3≥0，2x ＋y －3≥0，x ＋y －3≤0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，分析知，当x ＝1，y ＝1时，z 取得最小值，且z min ＝2＋3＝5.故选B.3．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个答案 A解析画出⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当l 0过点A (－1,1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.5．(2021·哈师大附中模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝2－2x＋y的最大值为( )A.132 B ．14 C ．12D ．2 答案 C解析由实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1作出可行域如图，则z ＝2－2x ＋y 的最大值就是u ＝－2x ＋y 的最大值时取得．联立⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝1，解得A (1,1)，化目标函数u ＝－2x ＋y 为y ＝2x ＋u ，由图可知，当直线y ＝2x ＋u 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值2－2＋1＝12.故选C. 6．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④ 答案 A解析法一画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一组平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．法二取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．7．(2019·北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5 D ．7 答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.8．(2021·全国大联考)设不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，2x －y ＋2≥0，x ≥1表示的平面区域为M ，则( )A ．M 的面积为92B ．M 内的点到x 轴的距离有最大值C ．点A (x ，y )在M 内时，y x ＋2<2D ．若点P (x 0，y 0)∈M ，则x 0＋y 0≠2 答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A 、B 错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x ＋y ＝1＋1＝2，故选项D 错误；yx ＋2表示区域M 内的点(x ，y )与N (－2,0)连线的斜率，由图知⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋2min ＝k NB ＝13，∴yx ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2，故选项C 正确，故选C. 二、填空题9．(2022·山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －2y －6≤0，x ＋y －2≥0，x －4y ＋8≥0，则z ＝x －2y 的最小值是________．答案－4解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝x －2y 化为y ＝12x －z2，可知z的最小值即为y ＝12x －z 2在y 轴上截距最大时z 的取值，由图可知，当y ＝12x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －4y ＋8＝0得A (0,2)，∴z min ＝0－2×2＝－ 4.10．(2021·平顶山一模)已知O 为坐标原点，A (－1，－2)，P 为平面区域M ：⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0，2x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0内任意一点，则OA →·OP →的最小值为________．答案－2解析由题意可得，平面区域M (如图)是由点O (0,0)，D (0,1)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得OA →·OP →＝－x －2y ，设z ＝－x －2y ，当直线z ＝－x －2y 平移到与DC 重合时，目标函数z ＝－x －2y 有最小值(此时点P 为线段DC 上任意一点)，且最小值为－2.故OA →·OP →的最小值为－2.11．(2022·昆明诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ≤15，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 19解析根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z ＝3x ＋2y 在点M 处取得最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋3y ＝15得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫215，185，但M 点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足要求，且代入得z ＝19，故最大值为19.12．已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案 3解析设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)， ∴⎩⎨⎧x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ⎩⎨⎧ 3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3，又1≤λ≤2,0≤μ≤1， ∴⎩⎨⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的距离d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3. B 级能力提升13．若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．32 D ．2 答案 B解析在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元答案 B解析设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧x ，y ∈N ，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N)时，z 取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元．15．(2021·西安模拟)已知实数x ，y 满足(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，则x 2＋y 2的最小值为________．答案95解析由(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，得 ⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋3≥0或⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋3≤0，不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，因为原点到x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2，原点到x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|0－2×0＋3|5＝35＝355<2，所以，x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝95. 16．(2021·九江联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x －3y －6≤0，2x －2y ＋1≥0，x ＋2y －1≥0，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为________．答案2811解析根据约束条件画出可行域如图中阴影部分，z ＝|x －y ＋1|＝2|x －y ＋1|2表示可行域内的点到直线x －y ＋1＝0的距离的2倍．由图可知点A 到直线x －y ＋1＝0的距离最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，4x －3y －6＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，－211，所以z max ＝2811.。

线性规划-2018年高考数学(文)--精校解析Word版

【母题原题1】【2018新课标1，文14】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.【母题原题2】【2017新课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【母题原题3】【2016新课标1，文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品和产品的件数分别为件，利润之和为元，则根据题意可得考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题是结合实际应用的线性规划问题，根据条件列出限制条件，即得到可行域，根据问题明确目标函数；线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一、准确无误的做出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【命题规律】1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 2．二元一次不等式所表示的平面区域一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线． 3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，直线l 的同一侧点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0. 4．线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等；线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数. 可行解：满足线性约束条件的解. 可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【方法总结】1．求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－b x－a.3．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．1．【2018年北京市石景山区高三统一测试】设满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C2．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考】记不等式组的解集为，若，则实数的最小值是( )A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：首先根据题干所给的约束条件，画出相应的可行域，再分析可得目标函数所表示的直线经过定点，分析参数的几何意义可知当直线经过点时，取最小值为.详解：作出约束条件所表示的可行域,如图所示,直线经过点,而经过两点的直线的斜率为,所以要使得, 成立,则,所以实数的最小值是,故选C.点睛：本题在求解时，首先要根据约束条件正确画出可行域，之后根据目标函数的形式，判断参数的几何意义，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值即可.4．【北京市十一学校2018届高三三模】已知实数满足若的最小值是-5，则实数取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B的最小值是-5，此时-5，此时目标函数过定点，作出-5的图象，由图象知当时，直线经过B时，取得最小值-5；当时，由平移可知当直线经过点A时，目标函数取得最小值-5，此时满足条件，点睛：与二元一次不等式(组)区域有关问题的解决方法(1)求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的取值范围进行讨论；(2)在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．5．【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟】设关于,的不等式组,表示的平面区域内存在点，满足,求得取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据约束条件，画出可行域，要使可行域存在，必有，要求可行域包含直线上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线下方，从而建立关于的不等式组，解之可得结论.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.6．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考】已知变量，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.7．【湖北省2018届高三5月冲刺】已知实数、满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 1【答案】A点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z min＝5×1 600＋2 400×12＝36800，故租金最少为36800元．选C.9．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C其中为向量与的夹角，由图可知，时有最小值，在直线上时，有最大值，即，，目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】已知实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．11．【福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟考试】若变量、满足约束条件，则的最大值为______________.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.详解：画出可行域，如图：点睛：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，是基础题.12．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是__________．【答案】.【解析】分析：若恒成立，满足的可行域在直线下面，结合图形可得结果.详解：点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.13．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】已知实数，满足约束条件，且的最小值为3，则常数__________．【答案】-2.【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为列方程求解即可.详解：点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【江苏省南通市2018届高三最后一卷】甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素/分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为__________．【答案】.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.。

数学高考二轮微专题6 平面向量的线性运算

rr ab
O
r a
B
r b
A
点使如r并得图且：arr与箭将br头向的指量起向ar点平被相移减同至向，Ou量u这Aur ,ar时向的连量向接br量平aruB与移uArbr至的Ouu终Bur ,O a b.
B
r
rr
b
ab
r a
A
2.向量共线定理
通过向量共线定理，可以实现三点共线与向量共线
的转化，它是处理有关平行及三点共线问题的一个
DF
/
/
O
E.
2 所以O点为AD的中点.
uuur AO
1
uuur AD.
2
又Q
D为BC的中点,据例2可知:
uuur AD
1
uuur ( AB
uuur AC
),
uuur AO
1
uuur ( AB
uAuCur ).又Q
uuur AB
uuur AC
uu2ur 6 AO
uuur EC,
uuur AB
uuu4r AC
uuur
OB OC OB OA OC OA ,
uuur uuur uuur CB AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur C
D
如图,作出 AB AC AD, CB AD ,
因此以
uuur AB,
uuur AC
为邻边的平行四边形为
A
CB
矩形,所以BAC 90o,ABC 的形状为直角三角形.
O
在uuur平面u内uur, O, Auu,urB是不共线的三点,设 OP xOA yOB(x, y R), 则:
A, B, P 三点共线 x y 1.

专题2 线性规划-2018年高考天津卷文科数学真题分析及相似模拟题集训Word版含解析

【母题原题1】【2018天津，文2】设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（）A ．6B ．19C ．21D ．45 【答案】C【名师点睛】求线性目标函数()0z ax by ab =≠＋的最值，当0b ＞时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b ＜时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．【母题原题2】【2017天津，文2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23（B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；③线性规划的实际应用．【母题原题3】【2016天津，文2】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取得最小值6，选B ．【考点】线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围．【母题原题4】【2015天津，文2】【2015高考天津，文2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C【考点定位】线性规划．【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力．本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题．【母题原题5】【2014天津，文2】设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B ．【解析】=2y x，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题．线性规划考试题型有两种，一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围，本题属于第二类，对可行域提出相应的要求，求参数的取值范围．【命题意图】高考对本部分内容的考查以线性规划基础知识为主，天津卷主要考查截距型目标函数的最值问题，紧扣教材、考纲．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：(1) 根据题目所提供的二元一次不等式组所提供的要求，在直角坐标系下画出可行域． (2) 研究目标函数所代表的几何意义，以截距型目标函数z ax by =+为例来说明：令0z =，画出出基准线:l a y x b =-，由于1a y x zb b=-+可知，0b >时，直线的截距越大，z 越大；0b <时，直线的截距越大，z 越小；（3）在可行域内平移直线l ，找出z 取得最值时所对应的最优解，将最优解代入目标函数求出最值．【方法总结】线性规划问题可分为两类，第一类是简单的线性规划，考题可分为三种，其一是考查可行域，如可行域的形状或面积的大小；其二就是截距型目标函数的最值或范围．其三是其他型目标函数，如有截距型、距离型、斜率型等；第二类是线性规划的逆向思维的考查，如提供可行域的面积，反求参数的值，或提供最优解的个数，反求参数的值，或提供目标函数的最值，反求参数的范围等．近年高考出现的常见目标函数：1．截距型：(,)z ax by a b R =+∈ 几何意义：经过可行域的直线1a y x zb b=-+的纵截距的b 倍． 2．斜率型：y bz x a-=- （,a b R ∈）几何意义：可行域内一点(,)x y 与定点(,)a b 连线的斜率． 3．距离型：22z x y ax by =+++（,a b R ∈）几何意义：可行域内一点(,)x y 与定点(,)22a b--的距离的平方，减去224a b +．说明：理解目标函数的几何意义，利用线性规划求最值或范围时，只需找到最优解代入目标函数即可．模拟题1．【2018值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A平移直线，由图可知A．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．2．【2018天津市部分区高三质量调查（二））A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即详解：对此时z的最小值为故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．3．【2018满足条件）A．10 B．6 C．4 D．【答案】B上下移动该直线，可以发现直线越往下，截距就越小，而目标函数z就越大，从而得到当直线过x轴与直线从而z就取到最大，此时，故选B．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解．4．【2018天津河北区高三二模】若实数x，y（）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C可求最大值．详解：代入目标函数得即目标函数C．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．5．【2018天津市十二校高三二模】，的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B，设可行域内一点的最小值为B．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．6．【2018天津市9校高三联考】若实数x，y满足1{10220xx yx y≥-+≤--≤，则21z x y=+-的最小值（）A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B【解析】作出可行域如图所示：作直线y=﹣2x﹣1+z，再将其平移至A（1，2）时，直线的纵截距最小，z最大为3，故选B．7．【2018天津滨海新区七所重点学校高三联考】实数,x y满足不等式组20{201x yx yy+-≥--≤≥则目标函数2z x y=+的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【名师点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： x z z ax by y b b =+⇒=-+，与直线的截距相关联，若0b >，当zb的最值情况和z 的一致；若0b <，当zb的最值情况和z 的相反；（2）斜率型： (),y b z a b x a -=⇒-与(),x y 的斜率，常见的变形： ()b y ay b a a ak xc x c -⎛⎫- ⎪+⎝⎭⇔⨯=+--， ()()11y c b x y b k x c x c --++⇔+=++--， 11x b y c y ck x b-⇔=---．（3）点点距离型： ()()2222z x y ax by c z x m x n =++++⇒=-+-表示(),x y 到(),m n 两点距离的平方．8．【2018天津十二重点中学高三联考（一）】设变量,x y 满足线性约束条件0{30 30y x y x y ≥-+≥+-≥ ，则2z x y =-的取值范围是（）A ． []36-，B ． []66-，C ． [)6-+∞，D ． [)3-+∞，【答案】D【解析】画出变量,x y 满足线性约束条件0{30 30y x y x y ≥-+≥+-≥，如图所示：【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．9．【2018天津十二重点中学高三毕业班联考】的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．10．【2018天津市部分区高三上学期期末考试】设变量,x y 满足约束条件0{2390 210x x y x y ≥+-≥--≤，则目标函数2z x y =+的取值范围是（）A ． [)6,+∞B ． [)5,+∞C ． []5,6D ． []0,5 【答案】B【解析】画出变量x ，y 满足约束条件0{2390 210x x y x y ≥+-≥--≤表示的平面区域，如图：【名师点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．11．【2018）A ．B ．C ．D ．【答案】B优解，然后再求目标函数的最小值．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．【名师点睛】用线性规划求目标函数的最值时，首先要分清目标函数中z的几何意义，然后根据z 的几何意义并利用数形结合的方法求得最值．12．【2018天津耀华中学高三上学期第三次月考】设变量x，y满足约束条件20,220,{0,3,x yx yxy+≥+-≥≤≤则目标函数z x y=+的最大值为（）A．3 B．32C．1 D．23【答案】A【解析】13．【2018辽宁鞍山一中高三上学期二模】设,x y满足约束条件20{210220x yx yx y+-≤-+≤-+≥，则3z x y=+的最大值为（）A．-3 B．4 C．2 D．5【答案】B【解析】作出x，y满足的区域如图(阴影部分)，由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目标函数在点(1，1)处取得最大值4．故选B【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．14．【2018天津市滨海新区大港油田第一中学高三上学期期中考试】设变量,x y 满足约束条件0,{1, 2 1.x y x y x y -≥+≤+≥则目标函数5z x y =+的最小值为__________．【答案】2【解析】作可行域如图，则直线5z x y =+过点A 11,33⎛⎫⎪⎝⎭时取最小值215．【2018天津河北区高三数学二模】某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A 产品x 吨，B 产品y 吨．（I ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；（II ）该公司每天需生产A ，B 产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨可获得最大利润，最大利润为14000元．（II）设利润为z元，由题意得z=300x+200y，A 此时z 页最大．．．答：该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元．【名师点睛】解线性规划应用题的步骤（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．16．【2018天津一中高三上学期第三次月考】某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[]60,90（单位：克），脂肪的摄入量控制在[]18,27（单位：克），某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主，1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．（1）如果某学生只吃食物A ，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；（2）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A 和食物B 各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．【答案】（1）见解析；（2）见解析议；当脂肪的摄入量在[]18,27（单位：克）时，食物A 的重量在[]2,3（单位：千克），其相应的蛋白质摄入量在[]120,180（单位：克），不符合营养学家的建议．（2）设学生每天吃x 千克食物A ， y 千克食物B ，每天的伙食费为2015z x y =+，由题意,x y满足60603090{18927270,0x yx yx y≤+≤≤+≤≥≥，即223{2330,0x yx yx y≤+≤≤+≤≥≥，可行域如图所示，答：学生每天吃0．8千克食物A，0．4千克食物B，既能符合营养学家的建议又花费最少．最低需要花费22元．17．【2018天津一中高三上学期第二次月考】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0．3万元和0．2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟．（Ⅰ）用,x y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，则x，y满足的数学关系式为300, 50020090000, {0,0,x yx yxy+≤+≤≥≥该二次元不等式组等价于300, 52900, {0,0,x yx yxy+≤+≤≥≥做出二元一次不等式组所表示的平面区域答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．【2018天津实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试】某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售A B、两种不同规格的胶合板．经过测算，A种规格的胶合板可同时截得大块胶合板2张，小块胶合板6张，B种规格的胶合板可同时截得大块胶合板1张，小块胶合板2张．已知A 种规格胶合板每张200元， B 种规格胶合板每张72元．分别用,x y 表示购买A B 、两种不同规格的胶合板的张数．（1）用,x y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）根据施工需求， A B 、两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．【答案】（1）220325{ 00x y x y x y +≥+≥≥≥；（2）A 种胶合板5张， B 种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元．（2）由设花费资金20072z x y =+，由（1）220{6250x y x y +=+=得()5,10A ，由图可知当5,10x y ==时， min 10007201720z =+=（元）．答：A型木板5张，B型木板10张，付出资金最少为1720元．。

高中新课程数学(苏教)二轮复习精选《必考问题9 不等式及线性规划问题》(命题方向把握+命题角,含解析)

必考问题9 不等式及线性规划问题【真题体验】1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c . ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a 的取值范围是________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ，得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e ac ，得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝⎛⎭⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]．答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13， x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y4的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案 [－4,2] 【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.必备知识1．一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0. 3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．必备方法1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法．【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0. [审题视点] [听课记录][审题视点] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＜0. ①若0＜a ＜12，则1a ＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ； ②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＞0. 由于1a ＜2，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)．综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2.含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________.解析由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案－8≤λ≤4 ,含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3，或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．命题角度三线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(2m －n )≥8－2n －4(2m －n )≥8－2n ，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，n m 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以nm ∈⎣⎡⎦⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝⎛⎭⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎡⎦⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎡⎦⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案－803,线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】 (2012·南师附中模拟)已知向量a ＝(x －z,1)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤2，则z 的取值范围是________．解析由a ⊥b 得2(x －z )＋y －z ＝0⇒z ＝2x ＋y3，作出不等式组对应的平面区域如图，当目标函数y ＝－2x ＋3z 经过点(0,1)时，z 取得最小值13，经过点(2,2)时，z 取得最大值2，所以13≤z ≤2.答案 ⎣⎡⎦⎤13，29．解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}老师叮咛：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x 2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (1)＝a ＋b －1＜0f (2)＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)老师叮咛：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)老师叮咛：对目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义要理解正确，表示点(0，3)到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现(2，＋∞)的错误，所以考虑问题要细心.。

(完整版)2018高考数学一轮复习简单的线性规划问题

【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，由题
3 x ＋ y 1 3，
意可得
2 x
x＋ 3y 0，
目 1标8 ，函数为z＝5x＋3y，
y 0 ，
作出如图所示的可行域(阴影部分)．当直线5x＋3y＝z经过 A(3,4)时，z取得最大值， ∴zmax＝5×3＋3×4＝27(万元).
条件
x
2y
3
0，
则实数m的最大值为(
)
x m ，
(A) 1
(B)1
(C) 3
(D)2
2
2
【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，判断其
形状并求其面积.
(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x
的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.
【规范解答】(1)选B.画出平面可行区域，可知该区域是一个等腰直角三角形，且
【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费
用关系式，利用线性规划求解.
【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单
位和y个单位,所花的费用为z元,
则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足
x 0， x N ，
y 12x
0,y 8
N， y 即 6 4
,
6
x
6y
42,
【规范解答】(1)选A.由z=y-2x，得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域ABC.作直线y=2x，平移直线y=2x+z，由图象知当直线经过点B时，y=2x+z的截距最小，此时z最小.由 xy3y02,0,得代入xyz=35,,y-2x得z=3-2×5=-7.所以最小值为-7.

2018全国高考数学真题线性规划部分整理(附详细答案解析)

2018高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（18全国卷I，文数14，理数13题）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为．解析：不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示可行域如图中阴影部分所示。

目标函数32z x y =+可化为31y x z =-+，作3y x =-即320x y +=图象，32z x y =+的最大值点应为使3122y x z =-+的截距最大的点，由图易知为点(2,0)。

∴把(2,0)代入32z x y =+得max 32206z =⨯+⨯=。

答案：62.（18全国卷Ⅱ，文数、理数14）若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为．解析：不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，表示的可行域如图中阴影部分所示。

目标函数z x y =+可化为y x z =-+，作y x =-即0x y +=的图象（虚线所示），易知z x y =+中z 取最大值的点应为使y x z =-+截距最大的点，为点()5,4A ，把()5,4A 坐标代入z x y =+中得max 549z =+=答案：93.（18全国卷Ⅲ，文数15）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．解析：不等式组23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，所表示的可行域如右图中阴影部分所示，目标函数13z x y =+可化为33y x z =-+，作出函数3y x =-即30x y +=的图象（图中虚线所示），易知13z x y =+的最大值点为33y x z =-+在y 轴截距的最大值点，为点()2,3A ，把()2,3A 代入目标函数13z x y =+中，得max 12333z =+⨯=答案：34.（18年北京卷文数13、理数12）若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是．解析：不等式12x y x +≤≤等价于12y x y x ≥+⎧⎨≤⎩，其可行域如图中阴影部分所示。

2018学年上海高三数学二模分类汇编——参数方程、线性规划

参数方程：5（2018松江二模）. 直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6（2018浦东二模）.椭圆2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为8（2018普陀二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为13（2018奉贤二模）. 已知曲线的参数方程为2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩，则曲线为（） A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线14（2018长嘉二模）. 参数方程22342x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，且03t ≤≤）所表示的曲线是（） A. 直线 B. 圆弧C. 线段D. 双曲线的一支14（2018金山二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±线性规划：4（2018奉贤二模）. 已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是5（2018杨浦二模）. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6（2018长嘉二模）. 设变量x 、y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为6（2018青浦二模）. 若x 、y 满足21020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值为6（2018青浦二模）. 已知实数x 、y 满足0,01x y x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为7（2018浦东二模）. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为10（2018青浦二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =11（2018崇明二模）. 已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为15（2018黄浦二模）. 实数x y 、满足约束条件30,010x y x y x y +≤⎧⎪≥≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数23w x y =+-最大值是（） A. 0B. 1C. 2-D. 310（2018普陀二模）. 设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是。

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线性规划1．[2017·咸阳质检]不等式3260x y +-≤表示的区域是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】表示直线3260x y +-=左下方部分，所以选C ．2．[2017·临汾一中]不等式()20y x y +-≥在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示）是（）ABCD【答案】C【解析】由()20y x y +-≥，得020y x y +-⎧⎨⎩≥≥或020y x y +-⎧⎨⎩≤≤，所以不等式()20y x y +-≥在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C ．3．[2017·湖州联考]已知实数,x y 满足020x y x y +-⎨⎩-⎧≥≤，则2y x -的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点()1,1A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．4．[2017·江西质检]不等式组2010220x y x y --+⎧⎪⎪⎩-⎨≤≤≥表示的平面区域的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】作出不等式组2010220x y x y --+⎧⎪⎪⎩-⎨≤≤≥表示的区域是两直角边分别为2，1的直角三角形，面积A ． 5．[2017·双鸭山一中]设变量x y ，满足约束条件342y x x y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≥，≤，≥，（）A ．8B ．4C ．2 D【答案】A【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数3z x y =-，当直线经过()22A -，时，3z x y =-，取到最大值，max 8z =．本题选择A 选项．6．[2017·淮北一中]若直线:l y ax =将不等式组206000x y x y x y -++⎨-⎧⎪⎪⎩≥≤≥，≥，表示的平面区域的面积分为相等的两部分，则实数a 的值为（） A ．711B ．911C ．713D ．513【答案】A【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，阴影部分总面积为14，要使7ABC S =△，设B 点纵坐标为h ，只需17723AC h h ⋅⋅==，，将73h =代入60x y +-=，解得113x =，即77311113a ==．7．[2017·亳州二中]已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（） AB ．1 CD ．4【答案】A【解析】当0a >时，画出可行域如下图三角形ABC 边界及内部，目标函数23z x y =-，，当z 有最大值时，这条直线的纵截距最小，所以目标函数在A 点取得最大值．联立423220ax y x y x y +=-=--=⎧⎪⎨⎪⎩，求得当0a <时，画出可行域，红色区域，由于可行域是一个向y 轴负方向敞开的图形，所以23z x y =-不能取到最大值，不合题意，综上所述，A ．8．[2017·沈阳质检]已知,x y 满足约束条件102020x y x y a y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，若目标函数2z x y =-的最大值是2-，则实数a =（） A ．6- B ．1-C ．1D ．6【答案】C【解析】先做出如图可行域，因为目标函数的最大值为2-，即由图像可知2z x y =-经过平面的点A 时，目标函数取得最大值，即1020x y x y a -+=⎧⎨+-=⎩，解得：13a x -=，23a y +=，代入目标函数()max 2212233a a z x y +-=-=-=-，解得：1a =，故选C ．9．[2017·孝义质检]若实数,x y 满足约束条件24010220x y x y x y --+⎪--⎪⎩-⎧⎨≤≥≥，则11y z x +=+的取值范围是（） A ．[)0,2 B ．[]0,2C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)0,+∞ 【答案】A【解析】z 的几何意义为点(),x y 与()1,1--连线的斜率，由图可知[)0,2z ∈．10．[2017·信阳六中]已知()2,1P ，()0,0O ，点(),M x y 满足12222x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤，则z O P P M =⋅ 的最大值为（）A ．5-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【解析】(2,1)(2,1)2(2)125z OP PM x y x y x y =⋅=⋅--=-+-=+- ，将0:25l x y +-移至A 点得最大值，由max 2(2,2)122y A z x y =⎧⇒⇒=⎨-=⎩，故选D ．11．[2017·赣州四中]设正数x y ，满足12x y -<-<，则2z x y =-的取值范围为（） A ．()02， B ．()2-∞，C ．()22-，D ．()2+∞，【答案】B【解析】可行域如图，所以直线2z x y =-过点0(2)A ，时z 取最大值2，即2z x y =-的取值范围为()2-∞，．12．[2017·上饶一模]已知x ，y 满足约束条件20531203x y x y y ---⎧⎪⎨⎪⎩-≤，≥，≤，当目标函数z ax by=+（0a >，0b >）在该约束条件下取得最小值1时，则123a b+的最小值为（） A．4+B．C．3+D．3【答案】C【解析】如下图，画出可行域，目标函数的斜率为0ak b=-<，所以当目标函数过点()31A ，时函数取得最小值，即31a b +=，那么()12123333a b a b a b ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭6333b a a b ++=+≥为63b aa b=，故选C ．13．[2017·长沙一中]若,x y 满足约束条件100290x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤，取值范围是________________．【答案】[]1,4【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中()()()1,1,1,4,3,3A B C ，P14．[2017·辽宁六校]设变量,x y 满足约束条件36020x y x y y a +---⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，且目标函数2z y x =-的最小值为7-，则实数a 等于_____．【答案】3【解析】画出不等式组36020x y x y y a +---⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤表示的区域表示的图形，结合图形可知：当动直线2y x z =+经过点()2,A a a +时，动直线2y x z =+在y 轴上的截距z 最小，247a a --=-，解之得3a =，应填答案3．15．[2017·双流中学]设不等式组220,4,2x y x y -+⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≥表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线20y +=的距离大于2的概率是___________．【解析】如图，不等式对应的区域为DEF △及其内部，其中()2,6--D ，()2,4-E ，()3,4F ，求得直线DE 、EF 分别交x 轴于点()0,2-B ，()0,4C ，∵当点D 在线段BC 上时，点D 到直线20y +=的距离等于2，∴要使点D 到直线的距离大于2，则点D 应在BCF △中（或其边界）因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率为163921251052BCFDEFS P S ⨯⨯===⨯⨯△△16．[2017·浠水中学]设x ，y 满足不等式组60210 320x y x y x y +----⎧⎪⎨⎩-⎪≤≤≥，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]21-，【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，直线y ax z =-+是斜率为−a ，y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A （1，1），B （2，4），∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点B 时，取得最大值为24a +，经过点A 时取得最小值为1a +，若0a =，则y z =，此时满足条件，若0a >，则目标函数斜率0k a =-<，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足1BC a k -=-…，即01a <…，若0a <，则目标函数斜率0k a =->，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足2AC a k -=…，即20a -<…，综上21a -剟，故答案为：[]21-，．。