高一数学教案：苏教版高一数学函数的单调性7
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y ＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数 注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。
数学：函数的单调性苏教版必修
《函数的单调性》教学设计一:教材依据江苏省教育出版社高中数学必修１,34P ,第二章第三节二:设计思路课标要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.本节课立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题. 通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力．最后运用运动的观点，理解函数的单调性. 整个过程以学生为主体,引导学生进行探索.函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小，对函数作定性分析，以及与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。
首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降”，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。
在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性的认识的过程.函数概念的理解是一个难点，特别是对“任意”这个词的理解.所以，在教学中结合反比例函数xy 1 的图象引导学生讨论，再采用列表由自变量x 的值写出对应的y 值，观察变量之间的变化关系，把握“任意”的含义.利用函数单调性证明是本课的一个难点，可以采用讲授的方法给学生形成一定的证明规范，再让学生进行模仿，在模仿中帮助学生进一步理解函数单调性的概念。
教学时注意方法的引导，并及时小结证明的思路、步骤，让学生逐步掌握证明的每一步的意义、证明过程的准确性.三:教学目标１．知识与技能：理解函数单调性的概念；２．过程与方法：（１）.能由函数图象判断某些函数的单调性；（２）.通过模仿学会证明函数单调性的方法；（３）.培养学生观察、比较、分析的能力；掌握数形结合的方法.３．情感价值观：熟悉从感性认识到理性认识，从抽象到具体的研究问题的方法.四：教学重点函数单调性的概念与判断五：教学难点利用概念证明或判断函数的单调性六：教学过程（一）.问题情境：１．日常生活中，我们有过这样的体验：爬山时，逐步上升，下山时，逐步下降.２．观察下列图表，在哪些时段内气温是升高的？体会图形上升或下降的变化在实际生活中作用.３．很多函数也具有类似性质.如：（x>0）y=３x+２y=1x老师:这就是我们要研究的函数的重要性质之一：函数的单调性（板书）（二）.学生活动:问题１：观察下列函数的图象，指出函数从左向右是怎样变化的？y=x２y=x３学生：某些函数在定义域内的某些区间上图象呈现上升趋势，在某些区间上呈现下降趋势.问题２：能用数学语言刻画“图象呈上升或下降的趋势”吗？（板书：图形、符号）（三）．建构数学：问题３：如何用数学语言来准确地表述这种y 值随着x 的值增大而增大（减小）呢？进而抽象出单调性的定义.一般地，设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间I ⊆A如果对于区间I 内的任意两个值x １,x ２，当x １<x ２时，都有f （x １ ）<f （x ２ ），那么就说y=f （x ）在区间I 上是增函数。
苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数的单调性和奇偶性
第十二课时 函数的单调性和奇偶性【学习导航】 学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值 例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32.(1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断. 三、利用奇偶性，讨论方程根情况 例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( ) A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定四、利用奇偶性，单调性解不等式 例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
追踪训练1、函数f(x)=x x +-12的值域是( )A.[21，+∞) B.(－∞，21]C.(0,+∞)D.[1,+ ∞)2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A.y=1+x 1B.y=－(x+1)2C.y=xD.y=x 33、设f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1)，求a 的取值范围。
4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x ∈R 且x≠±1}，若f(x)+g(x)=11-x ，则f(x)=________,g(x)=__________.5、函数f(x)=21xbax ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(21)=52.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t －1)+f(t)<0；。
苏教版数学高一《函数的单调性》精品学案 苏教
例2：求证：函数 在 上是单调减函数．
【证明】
设 ，则
，
∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ，
同理 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ 在 上是单调减函数．
例３：(1)若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，则实数 的值为；
（2）若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围为；
（3）若函数 的单调递增区间为 ，则实数 的值为．
函数的单调性（2）
一．较复杂函数的单调性证明：
例1：判断函数 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【证明】函数 是增函数．证明如下：
设 ，则
，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
即 ，∴函数 是增函数．
说明：本题中的函数 可视作函数 和 的和，这两个函数在 内都是增函数， 也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。
追踪训练
1．已知函数 和 在 上都是减函数，则 在 上（A）
是增函数
是减函数
既不是增函数也不是减函数
的单调性不能确定
2.若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 ．
3.若 在 上是增函数，且 ，则 ＞ ．
（注：从 、 、 中选择一个填在横线上）
4.函数 函数单调性的定义证明：函数 在 上是增函数．
证明：设
∴
即
故函数 在 上是增函数．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
3.函数y=|x+1|的单调递减区间为[－1，+∞)单调递减区间(－∞，－1]
已知函数单调性，求参数范围：
例4:已知函数 的定义域为 ，且对任意的正数 ，都有 ，求满足 的 的取值范围．
苏教版高中数学必修一课题 函数的单调性.docx
课题 函数的单调性【考点聚焦】1、理解函数单调性的定义，并学会利用定义去判断或证明函数在给定区间上的单调性2、理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值3、能利用函数的单调性解决其他一些综合问题.【考情预测】1、函数单调性仍将会是2016年高考的重点，特别要注意函数单调性的应用.2、常见题型有：（1）求函数的单调区间；（2）用定义判断函数在所给区间上的单调性；（3）单调性的应用的意识，特别是求函数最值，（4）已知函数的单调性求参数的范围等【重点难点】研究函数的单调性的工具选择：图像、定义、导数【教学过程】一、知识要点（1）单调增函数 关键词：任意两个值（2）单调减函数（3）单调性、单调区间（4）几何意义：二、基础训练1、已知函数t x m x f +-=)12()(在区间R 是减函数.则m 的范围2、已知函数14)(2+=mx x x f －在区间).2[∞+-是增函数.则m 的范围3、函数||)3(x x y -=的单调递减区间是______4、函数1212)(+-=x x x f 在R 上为 函数（增减性） 5、已知函数12)(-+=x a x x f 在),1(+∞上是减函数.则a 的范围 6、函数xx y 1ln -=的单调增区间7、已知函数xa x x f +=)(在),1(+∞上是增函数. 则a 的范围 8、已知函数,1()(3)4,1x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，若对任意的12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成 立，则a 的取值范围为______________9、函数x x x f --+=11)(的最大值M ,最小值m ，则m M = 10、已知函数2()cos f x x x =-，对于]2,2[ππ-上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >；③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 三、典型例题例1、求82)(2--=x x x f 的单调增区间例2、确定函数x x f 211)(-=在定义域上的单调性 例3、若()f x 对任意的,m n R ∈都有()()()1,f m n f m f n +=+-且0,x >恒有()1f x >.（1）求证：()f x 在R 上是增函数 （2）若(3)4f =，解不等式2(2)2f a a +-< 例4、已知函数11lg )(--=x kx x f (1) 求函数)(x f 的定义域； (2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围例5、已知(]1,0,12)(2∈-=x xax x f （1）若()x f 在区间]1,0(是增函数，求a 的取值范围（2）求()x f 在区间]1,0(上的最大值小结：（1）利用定义证明函数单调性的步骤：⑴取值 ⑵作差 ⑶作差 ⑷化积与0比较 ⑸结论.（2）判定函数的单调性的工具：（1）图象法；（2）定义法；（3）导数四、课堂检测1、已知函数2)(2+++=m x mx x f 在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的范围_______2、函数43()21x f x x -=+的单调减区间为 3、已知函数)(x f 在)1,1(-上是减函数，若)9()3(2a f a f -<-，则a 的范围4、已知函数2)(+-=b x a x f 在),1(+∞上是增函数. 则a 的范围 b 范围5、已知函数()f x 为定义在(2,2)-上的偶函数，且()f x 在(2,0]-上递增，则满足不等式 (1)(2)f a f a ->的a 的取值范围为___________6、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,)1(0,2)(x x k x k e x f x 是R 上的增函数，则实数k 的取值范围_______7、函数⎩⎨⎧<-≥+=0,)1(0,1)(22x e a x ax x f ax 在R 上单调，则a 的取值范围是_____ 8、若函数2()log ()a f x x ax =-在区间1(,0)2-内递增，则a 的取值范围为_________ 9、讨论函数1)(2-=x ax x f 在)1,1(-上的单调性，并证明 10、已知函数2()21x x m f x +=-为奇函数. (1) 求实数m 的值 (2) 用定义证明函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数(3) 若关于x 的不等式()0f x a +<对区间[]1,3上的任意实数x 都成立，求实数a 的范围11、是否存在实数a ，使函数)(log )(2x ax x f a -=在区间]4,2[上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由12、设函数a ax x e x f x++=2)(其中a 为实数(1) 若)(x f 定义域为R ，求a 的范围 （2）当)(x f 定义域为R 时，求)(x f 的单调减区间。
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
高一数学苏教版必修1教学案：第2章7函数的单调性(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(17)必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间．重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用．课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。
2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ．课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单调增 区间xy3π32π32π-O()y g x =y1y = f ( x )2、填表：函 数xky =（0≠k ） kx y =（0≠k ）0>k0<k0>k0<k单调区间 （－∞，+∞） 单调性增函数3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减．学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y =2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 3之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ．6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．。
高中数学教师竞赛作品《 函数的单调性 》教学案 苏教版必修1
教学构想及目标:
教学构想：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.
通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．
学生自我归纳证明函数单调性的四步骤：假设-作差变形-判断符号-下结论．
学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.
1函数单调性概念
2证明函数单调性的四步骤
问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
4、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．
5、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
教学目标：
1.知识与技能：
（1）使学生理解函数的单调性；
（2）能判别或证明一些简单函数的单调性。
2. 过程与方法：
（四）回顾反思深化概念
完成P37第7题
完成P37第5,6题
（五）课堂小结
（六）作业布置：
1.阅读课本P34－35例2
2. 书面作业：
教材P43 1、7、11
问题1：气温在0-4时逐渐下降，4-14时逐渐升高，14—24时逐渐下降。
苏教版必修1精品教学案：第2章7函数的单调性(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(17)必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间．重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用．课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。
2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ．课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单调2、填表：3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减．学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y = 2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ．6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．江苏省泰兴中学高一数学教学案(34)必修1_02 函数与方程（2）班级 姓名 目标要求1、掌握从二次函数的角度来处理一元二次方程根的分布问题；2、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的内在联系及相互转化.重点难点重点：学会用函数的观点看待一元二次方程根的分布问题；能够运用数形结合思想通过观察函数图象列出代数关系式 难点：如何确保图象位置关系与代数关系式的等价转化教学过程一、复习引入：1．函数)(x f y =的零点，用二分法研究函数的零点.2． 2()2(1)421f x m x mx m =+++-,根据m 的取值，讨论函数图象与x 轴的公共点的个数．3．二次函数图象的零点两边的函数值之间有关系：二次函数()y f x =的两个零点为)(,2121x x x x ≠，则0)()(>n f m f ⇔21,x x ； 0)()(<n f m f ⇒二、新课讲授：思考：当关于x 的方程0422=+-ax x 的根是下列条件时，求实数a 的取值范围 （1） 两根都大于0；（2）两根都大于1；（2）两根在)1,4(--；（3）一根大于1，一根小于1.结论：一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 根的分布表三、例题分析：例1．当关于x 的方程0422=+-ax x 的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）一根在（0，1）上，另一根在（1，5）上；（2）至少有一个根在（0，1）上．变题1：若关于x 的方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求a 的取值范围．变题2：已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图象与x 轴有两个不同的交点.（1）若两个交点中有且只有一个在原点的左侧，求实数m 的取值范围； （2）若两个交点中至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围．例2．关于x 的方程12+=+m x x 在0＜x ≤1内有解，求实数m 的范围．变题1、已知关于x 的不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围.变题2、已知关于x 的不等式210x ax ++≥对一切10,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求x 的取值范围.课堂练习1、若ac b =2，则函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象与x 轴的公共点个数为 .2、已知不等式2(1)(1)0m x m x m +-++≤的解集为空集，则实数m 的取值范围是___3、已知方程012=+-mx x 恰有一个根在)1,0(内，则m 的取值范围为 .4、求实数a 的取值范围，使关于x 的方程0422=-+-a ax x(1)有两个正根； (2)有两个异号根学习反思1、根的分布问题要考虑四个要素是：（1）（2）（3）（4）.2、确保所列出的代数关系式与图象是等价的可以从“由图列式”和“由式画图”两个方面来检查转化的等价性.江苏省泰兴中学高一数学作业(34)班级 姓名 得分1、210ax x ++<解集为空集，则实数a 的取值范围是_____________．2、二次函数20y ax bx c ac =++<中，，则该函数的零点个数是______个．3、不等式22(1)(1)10a x a x ----≤的解是全体实数，则实数a 的取值范围是______．4、已知函数2))(()(---=b x a x x f ，并且βα,是方程的两根，则实数a,b,βα,的大小关系可能是________．(1)βα<<<b a (2)b a <<<βα (3)βα<<<b a (4)b a <<<βα5、求实数m 的取值范围，使关于x 的方程03)2(2=+++x m x（1）有两个大于1的实根；（2）有两个实根21,x x 且满足41021<<<<x x ；（3）一根大于1，一根小于1；（4）两根均大于0小于1.6、设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ,不等式2540x x -+≤的解集为N ，若M N ⊆,求实数a 的取值范围.7、关于x 的不等式2(2)10x m x m -++->对于1m ≤恒成立，求x 的取值范围．8、已知2()3f x x ax a =++-，若当[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.9、已知A=}01)2(|{2=+++x p x x ，若φ=⋂+R A ，求实数p 的取值范围.。
高中数学2.1《函数的单调性》学案苏教版必修1
函 数 的 单 调 性【教学目的】1． 使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2． 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力； 【基本知识】1、 定义：对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间上的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1＜x 2时，如果有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间；如果有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)在这个区间上是＿＿＿＿函数，这个区间就叫做函数f(x)的＿＿＿区间； 〖说明〗1。
单调区间是定义域的子集；2。
若函数f(x)在区间D 上是增函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 若函数f(x)在区间D 上是减函数，则图象在D 上的部分从左到右呈＿＿趋势 3。
单调区间一般不能并 2、 判断单调性的方法：①定义； ②导数； ③复合函数单调性：同增则增，异增则减； ④图象 3、 常用结论：①两个增（减）函数的和为___；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是__； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；【课前预习】1． 下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是 ( )A 、84)(2+-=x x x f B 、g(x)=ax+3 (a≥0) C 、2()1h x x =-+ D 、12()log ()s x x =- 2． 函数33y x x=+的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 3． 函数f(x)＝｜log a x ｜（0＜a ＜1）的单调增区间是＿＿＿＿＿＿＿ 4． 函数)23(log )(221-+-=x x x f 的减区间是__________________5． 函数f(x)＝x 3+ax 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿ 【例题讲解】例1：若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.【变式1】3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）为增函数，求实数a 的取值范围；【变式2】已知数列{a n }中22(1)2n a n a n =+-+，且n a 随着n 的增大而增大，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿例2、判断并证明函数1()1xf x x-=+的单调性【变式1】判断函数)1,0(11log )(≠>+-=a a x xx f a的单调性 【变式2】已知函数1()log (1)1axf x a x-=>+，是否存在实数x ，使关于x 的不等式 2()(1)f x f x <-成立例3、设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
高中数学说课稿：苏教版高中数学《函数的单调性》说课稿教案模板
高中数学说课稿：苏教版高中数学《函数的单调性》说课稿教案模板课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、教学过程完整版观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
高一上学期数学教学计划模板：函数的单调性(苏版)
高一上学期数学教学计划模板：函数的单调性（苏版）历史使人聪慧，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。
以下是查字典数学网为大伙儿整理的高一上学期数学教学打算模板，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、教学目标（一）、知识与技能1、明白得函数单调性的概念，会依照函数的图像判定函数的单调性;2、能够依照函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
（二）、过程与方法1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力;2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观看、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。
（三）情感态度与价值观1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观看，认真分析，严谨论证的良好适应;2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的爱好，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锤炼克服困难的意志，坚决学习数学的自信心。
二、教学重点领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。
三、教学难点语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、制造和进展。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
最新高中数学苏教版必修一2.1.3《第1课时函数的单调性》教学设计.doc
2．1.3 函数的简单性质第1课时函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．1．单调性设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有__________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调______，I称为y＝f(x)的单调________．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调________，I称为y＝f(x)的单调________．2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．4．函数y＝1x的单调递减区间为__________．一、填空题1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是________．(填序号)2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，则f(x1)________f(x2)．(填“>”、“<”或“＝”)3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上________．(填序号)①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．4．函数y＝x2－6x＋10的单调增区间是________．5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是______________________________________．①f x1f x2x1－x2>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；③f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)；④x1－x2f x1f x2>0.6．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为________．7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.二、解答题9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．能力提升12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.2．1.3 函数的简单性质第1课时函数的单调性知识梳理1．f(x1)<f(x2) 增函数增区间减函数减区间2.[0，＋∞)3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)作业设计1．①④2．<解析由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，所以f(x2)>f(x1)．3．④解析∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，∴当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，故f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．4．[3，＋∞)解析如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．5．①②④解析由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，①、②、④正确；对于③，若x1<x2时，可有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故③不成立．6．(－∞，－3]解析该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．7．m>0解析由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m －1<2m－1，∴m>0.8．－3解析f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，由题意m4＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 9．解y＝－x2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3 x<0＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋4 x ≥0x ＋12＋4 x<0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数y ＝－x 2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．10．证明 设a<x 1<x 2<b ， ∵g(x)在(a ，b)上是增函数， ∴g(x 1)<g(x 2)，且a<g(x1)<g(x2)<b，又∵f(x)在(a，b)上是增函数，∴f(g(x1))<f(g(x2))，∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．11．解函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x22－1－x21－1＝x22－x21x22－1＋x21－1＝x2－x1x2＋x1x22－1＋x21－1.∵1≤x1<x2，∴x2＋x1>0，x2－x1>0，x22－1＋x21－1>0. ∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．12．解(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．任取x1，x2∈R，且设x1<x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x1>0，所以0<f(x2－x1)<1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1. 当x>0时，0<f(x)<1，所以f(－x)＝1f x>1>0，又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，即f(x2)<f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减．13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2)．∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m|m ≥4}．。
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册5-3 函数的单调性教案
【教学目标】1. 了解函数单调性的概念；2. 掌握判断函数单调性的方法；3. 能够运用函数单调性求解相关问题。
【教学重点】1. 函数单调性的概念；2. 判断函数单调性的方法；3. 运用函数单调性求解相关问题。
【教学难点】如何在考试中快速运用函数单调性。
【教学过程】【Step 1】引入通过具体的例子，引出“函数单调性”的概念；通过实例，让学生理解函数单调性和举一反三的思想。
【Step 2】单调性的定义引入“单调递增”和“单调递减”的概念；对单调性进行严格的定义；列举几个函数来让学生明白单调性的含义。
【Step 3】判断单调性的方法正确理解“导数大于0“导数小于0”与函数单调性之间的关系；介绍导数法判断函数单调性的基本方法，针对不同类型的函数给出处理方法；通过实例演示如何利用导数法判断一个函数的单调性。
【Step 4】应用引导学生根据题目提供的函数，通过判断函数单调性来解决实际问题；结合相关的例题，让学生掌握函数单调性应用的方法。
【Step 5】小结总结单调性的定义；归纳判断函数单调性的方法；强化函数单调性的应用。
【Step 6】课堂练习1. 求函数$f(x)=\frac{1}{x}-2x$在区间$(0,+\infty)$上的单调性；2. 确定函数$f(x)=x^3-5x^2+9x-7$的极值和单调区间；3. 函数$f(x)=x^2e^{-x}$在$x\ge0$上的单调性。
【Step 7】作业布置】完成教材上的相关习题；自选2道函数单调性的应用题目进行练习。
【教学反思】函数单调性是高中数学中一个基本且重要的概念，掌握其判断方法和应用技巧有助于正确解决实际问题。
在教学过程中，应注重对理论知识的讲解，帮助学生理解单调性的定义和判断方法，并通过具体的例子告诉他们函数单调性的应用。
同时，通过许多例题帮助学生逐步熟练掌握函数单调性的判断和应用技巧。
在教学中，还可以鼓励学生多讨论，加强对知识的理解和领悟。
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第8课时函数的单调性
教学目标：
使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.
教学重点：
函数单调性的概念
教学难点：
函数单调性的判断和证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.
我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?
［生］随着x的增加，y的值在增加
［师］怎样用数学语言来表示呢?
［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）
(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)
［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.
下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?
[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).
［师］何以见得?
[生甲]越往左，图象上的点越高.
［师］生甲所谈对不对呢?
［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).
［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?
[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.
［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.
(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦) 那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?
［生］在y轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：
设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）
［师］好，这时我们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.
一般地，设函数f（x）的定义域为Ⅰ：
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f （x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1C)
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.
②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.
③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2
b.计算f（x1）－f（x2）至最简
b.判断上述差的符号
d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)
Ⅲ.例题分析
［例1］(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)
［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明
［例2］证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数.
证明：设任意x1、x2∈R，且x1＜x2
则f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）
由x1＜x2得x1－x2＜0
∴f（x1）－f（x2)＜0 即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）＝3x＋2在R上是增函数
［例3］证明函数f（x）＝1
x在（0，＋∞）上是减函数.
证明：设任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2
则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2
由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0
又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0
∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）
∴f （x ）＝1x
在（0，＋∞）上是减函数 注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
Ⅳ.课堂练习
课本P 37练习1，2，5，6，7
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业
课本P 43习题 1~4。