2015年北京市朝阳区高三一模考试数学(文)试题含答案

合集下载

北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学【文】试题及答案

y 2 1有两个不同
的交点 P 和 Q ．
（Ⅰ）求 k 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A， B ，是否存在常数 k ，使得向量 OP OQ
与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分 14 分）
已知函数 f x ln x ax2
务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随
机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20,25 ，
第 2 组 25,30 ，第 3 组 30,35 ，第 4 组
35,40 ，第 5 组 40,45 ，得到的频率分
布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第 3，4，
则满足 PA + PC ' = 2 的点 P 的个数为（
）
A．4 C． 8
B．6 D． 12
A B
A' B'
D C
D' C'
. 上一点，
二、填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 .
9．已知复数 z 满足 1 2i 1 2i ，则复数 z =_____________．
z
x2 y2 10．已知双曲线 a 2 4 1的渐近线方程为 y
23 x ，则此双曲线的离心率为 _______．
3
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图有半径为
为
．
2 的四分之一个圆弧，则该几何体的体积
2
2
2 正视图
2 左视图俯视图ຫໍສະໝຸດ 12．在 ABC 中， A
， AB 2 ，且 ABC 的面积为 3 ，则边 BC 的长为 __________ ．

北京市朝阳区2015届高三上学期期中统一考试文科数学试卷(解析版)

2014-2015学年度???学校12月月考卷一、选择题1．已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于（）A ．{}2x x >- B ．{}01x x << C ．{}1x x < D ．{}21x x -<< 【答案】B 【解析】试题分析：试题分析：{}{}{}2+2021,0A xx xx B x x =-<=-<=>;A B ∴{}01x x <<．考点：集合的交集运算．2．要得到函数πtan()6y x =+的图象，只要将函数tan y x =的图象（） A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位【答案】D【解析】试题分析：将函数tan y x =的图象向左平移π6个单位，得到πtan()6y x =+，故选D ．考点：三角函数图象平移．3．“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：∵ 2'()30f x x =≥，∴a 无论取何值，函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数，∴“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数” 充分不必要条件．考点：1导数在函数单调性中的应用；2．充分必要条件的判断． 4．执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于（）A ．3-B ．8-C ．15-D ．24- 【答案】B 【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环后，b=0，a=3；第二次循环后，b=-3，a=5；第三次循环后，b=-8，a=8；此时a=8不满足条件a ＜7，输出b 的值为-8．故选：B ．考点：程序框图．5．如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且A B A C A B A C +=-，则AD = （）DA．6 B ．．3 D ．32【答案】C【解析】试题分析： ||AB AC AB AC +=-，AB AC ⊥∴，即△ABC 为直角三角形，AD 为斜边上的中线，则132||||AD BC ==．故选C ．考点：平面向量加法模的几何意义．6．已知命题p ：x ∀∈R ，20x>；命题q ：在曲线cosy x =则下列判断正确的是（） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】C 【解析】试题分析：易知，命题p 是真命题；对于命题q ：sin [1,1]y x '=-∈- [1,1]-，故命题q 为假命题；所以q ⌝为真命题；所以()p q ∧⌝ 是真命题，故选C ．考点：复合命题真假的判断．7．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0100x <<）人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B 【解析】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流后x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，则由()()01001001 1.2%100x x x t t<<-+≥⎧⎨⎩，解得：5003x <<．所以x 的最大值为16．故选：B ．考点：函数模型的选择与应用．8．在平面直角坐标系中，ABC △顶点坐标分别为(00)A ，，(1B ，(0)C m ，．若ABC △是钝角三角形，则正实数m 的取值范围是（） A ．01m <<B ．0m <C ．0m <或4m >D ．01m <<或4m > 【答案】D【解析】试题分析：由(B ，得到1AE BE ==，根据勾股定理得：260AB BAE =∠=︒，，过B 作BD AB ⊥ ，可得30ADB ∠=︒，∴24AD AB == ，即()40D ，，则ABC 是钝角三角形时，正实数m 的取值范围是01m << 或4m >，故选：D ．考点：余弦定理．二、填空题9．已知平面向量(2,1)=-a ，(,1)x =b ，若⊥a b ，则x = ．【答案】12【解析】试题分析：∵⊥a b ，∴⋅a b =0，即210x -= ，得12x =．考点：向量垂直的充要条件．10．已知3sin 5α= ，(,)2απ∈π，则cos α=_______；tan()4απ+= _______．【答案】45-；17．【解析】试题分析：∵3sin 5α=，(,)2απ∈π，∴4cos 5α==-，∴3tan 4α=-，所以tan()4απ+=311tan 141tan 714αα-+==-+．考点：1．同角的基本关系；2．两角和的正切公式．11．已知函数()22xxf x a -=+⋅，且对于任意的x ，有()()0f x f x -+=，则实数a 的值为．【答案】1- 【解析】试题分析：∵对于任意的x ，有()()f x f x -+=，∴(0)0f =，即00(0)2210f a a =+⋅=+=，∴a =1-．考点：函数奇偶性．12．已知x ，y 满足条件20,3260,20,x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则函数2z x y =-+的最大值是．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行区域，如下图可知在()2,0M - 处，取到最大值，最大值为4．考点：简单的线性规划．13．设函数1e ,0,()sin π1,0 1.x x f x x x +⎧≤=⎨+<≤⎩若()1f m =，则实数m 的值等于．【答案】1-或1 【解析】试题分析：∵()1f m =，∴当0m ≤时，1()1m f m e +==，解得1m =-；当10m ≥>时，()sin 11f m m π=+=，解得1m =；故答案为1-或1．考点：分段函数的函数值,14．已知函数()()f x x a x =-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是．【答案】2a >- 【解析】试题分析：当x≥0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=（x-a ）•x，当x ＜0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=-（x-a ）•x=-x2+ax ，若a=0，则f （x ）的图象如图：满足条件．若a ＞0，则f （x ）的图象如图：满足条件；若a ＜0，则f （x ）的图象如图：要使条件成立，则只需要当x ＜0时，函数的最大值小于1，即22144a a -<-＝，即24a <，解得-2＜a ＜2，此时-2＜a ＜0，综上a ＞-1，故答案为：（-1，+∞）．考点：函数零点与方程根的关系．三、解答题15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且253619,25a a a a +=+=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）31n a n =-; （Ⅱ）213422n n n +++- 【解析】试题分析：（I ）利用等差数列的通项公式可得，由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得出；（II ）利用等比数列的通项公式可知2n n n a b -=、等差数列与等比数列的前n 项和公式，采用分组求和即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2.d a =⎧⎨=⎩所以31n a n =-． 6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n n a b -=，所以312n n b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和21(31)2(12)3422122n n n n n n n S ++-++=-=--． 13分考点： 1．等差数列与等比数列；2．分组求和．16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值．【答案】（Ⅰ）π; （Ⅱ）最大值为12；最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式可得1sin(2)23f x x π=+（），利用周期公式，即可可求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）[0,]2x ∈π，可知2[,]x ππ4π+∈333，进而求出11sin(2)[]232x π+∈，即可求得()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值．试题解析：解：（Ⅰ）1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--11sin2(sin2cos cos2sin )2233x x x ππ=--11sin 2sin 2224x x x =-1sin 224x x = 1sin(2)23x π=+．则()f x 的最小正周期为π． 7分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，则2[,]x ππ4π+∈333．所以sin(2)[3x π+∈．所以11sin(2)[]232x π+∈．则()f x 在[0,]2π上的最大值为12，此时232x ππ+=，即12x π=． ()f x 在[0,]2π上的最小值为，此时233x π4π+=，即2x π=． 13分．考点：1．三角恒等变换；2．函数sin()A x f x ωϕ=+（）的性质．17．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，ACB ∠为钝角，π2,6AB BC A ===．D 为AC延长线上一点，且1CD =．CB（Ⅰ）求BCD ∠的大小；（Ⅱ）求,BD AC 的长．【答案】（Ⅰ）π4BCD ∠=; （Ⅱ）2BD =，1AC =．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出sin ACB ∠=ACB ∠为钝角，求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可求BD 的长，然后再用余弦定理即可求出AC 的长．试题解析：解：（Ⅰ）在ABC 中，因为π2,6AB A ==，BC = 由正弦定理可得sin sin AB BCACB A=∠，即2sin sin 62ACB ===∠所以sin 2ACB ∠=因为ACB ∠为钝角，所以3π4ACB ∠=．所以π4BCD ∠=． 7分（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos4BD =+-⋅，整理得2BD =．在△ABC 中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=．解得1AC =．因为ACB ∠为钝角，所以2AC AB <=．所以1AC =． 14分．考点：1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用．18．（本小题满分13分）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值；（Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2-; （Ⅱ）3[,)4+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-．然后利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可知要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立．利用二次函数的性质和图像，列出不等式解得，即可解得结果．试题解析：解：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-．因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x x=时，即1x =时，等号成立．所以2y ≥-．所以当1x =时，()f x y x=的最小值为2-． 6分（Ⅱ）因为2()21f x a x ax -=--，所以要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立．因为222()21()1g x x ax x a a =--=---，所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即0010,4410,a --≤⎧⎨--≤⎩解得34a ≥．所以a 的取值范围是3[,)4+∞． 13分．考点： 1．基本不等式的应用；二次函数在闭区间上的最值． 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足122(1)n n a a na n n b +++=+，n *∈N ．（Ⅰ）若11,a =22a =，求1b ，2b ；（Ⅱ）若1n n a n +=，求证：12n b >；（Ⅲ）若2n b n =，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（Ⅰ）112b =,256b =; （Ⅱ）n a =2431n n -+ (n *∈N ) 【解析】试题分析：（Ⅰ）将11,a =22a =代入122(1)n n a a na n n b +++=+，即可求出12b b ，；（Ⅱ）由1n n a n+=化简得1n na n =+，由122(1)n n a a na n n b +++=+，即可得到1312(1)2121n n b n n +=⋅=+++，即可证明结果；（Ⅲ）由122(1)n n a a na n n b +++=+，利用做差，得到11()()n n n n n a n b b b b --=-++，再将2n b n =代入，即可求数列{}n a 的通项公式．试题解析：解：（Ⅰ）当1n =时，有1121a b ==，所以112b =．当2n =时，有1222(23)a a b +=⨯．因为11,a =22a =，所以256b =． 3分（Ⅱ）因为1n n a n +=，所以11n n na n n n+=⋅=+．所以12(3)223(1)(1)2n n n n a a na n n n b ++++=++++==+．所以13121(1)21212n n b n n +=⋅=+>++． 8分（Ⅲ）由已知得122(1)n n a a na n n b +++=+ ① 当2n ≥时，12112(1)(1)n n a a n a n nb --+++-=- ②①-②得，[]1(1)(1)n n n na n n b n b -=+--，即11()()n n n n n a n b b b b --=-++．因为2n b n =，所以n a =2431n n -+（2n ≥）．当1n =时，11b =，又112a b ==2，符合上式．所以n a =2431n n -+ (n *∈N )． 14分．考点：1．数列与不等式的综合；2．数列的求和．20．（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ÎR ．（Ⅰ）若0a =，对于任意的(0,1)x Î，求证：1()0f x e -?；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）21a e >-【解析】试题分析：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，对函数进行求导，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值，又由于(0,1)x Î，ln 0x <，即可得到结论；（Ⅱ）由ln ()x x x a f x x +-¢=，设()l n g x x x x a =+-．令()l n 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．求出()ln 20h x x ¢=+=的解为2e x -=．然后再利用导数求出函数的单调区间和函数的极值，即可求出结果．试题解析：解：(Ⅰ) 当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x ¢=+．令()ln 10f x x ¢=+=，解得1e x =．当1(0,)e x Î时，()0f x ¢<，所以函数()f x 在1(0,)e 是减函数；当1(,)e x ? 时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1(,)e + 为增函数．所以函数()f x 在1e x =处取得最小值，11()e ef =-．因为(0,1)x Î，ln 0x <，所以对任意(0,1)x Î，都有()0f x <．即对任意(0,1)x Î，1()0e f x -?． 6分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+ ．又ln ()x x x a f x x+-¢=,设()ln g x x x x a =+-．令()ln 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．令()ln 20h x x ¢=+=，则2e x -=．当21(0,)e x Î时，()0h x ¢<，所以()h x 在21(0,)e上是减函数；当21(,)e x ? 时，()0h x ¢>，所以()h x 在21(,)e+ 上是增函数；所以min 2211()()e e h x h ==-．则()0,x ∈+∞时，1()eh x ≥-．于是，当21e a ?时，直线y a =与函数()ln h x x x x =+的图象有公共点，即函数()ln g x x x x a =+-至少有一个零点，也就是方程()0f x ¢=至少有一个实数根．当21e a =-时，()ln g x x x x a =+-有且只有一个零点，所以ln ()0x x x a f x x+-¢= 恒成立，函数()f x 为单调增函数，不合题意，舍去．即当21e a >-时，函数()f x 不是单调增函数．又因为()0f x ¢<不恒成立，所以21e a >-为所求． 13分．考点： 1．利用导数研究函数的单调性．2．导数在证明不等式中的应用．。

2015届北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 【答案】C{}121{10}{1}x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选C.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 【答案】B(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题【答案】D因为22131()24x x x +-=+-，所以p 为假命题。

sin cos )4x x x π+=+，所以q 为真命题，所以()p q ⌝∧是真命题，选D.（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22 B ．()4,0-C．(22-- D . ()0,4【答案】D圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，<即22m -<，解得04m <<，选D.（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A当3m ≥时，不等式对应的区域为三角形OBC..当1m =时，此时直线0x y m +-=经过点C ，此时对应的区域也为三角形，所以3m ≥是不等式组表示的平面区域为三角形的充分不必要条件，选A.（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C. 203D. 8 【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。

北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试(数学文)

第4题图北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2014.11 （考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于A.{}2x x >- B.{}01x x << C. {}1x x < D.{}21x x -<<2.要得到函数πtan(6y x =+的图象，只要将函数tan y x =的图象 A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位3.“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于 A. 3- B. 8- C. 15- D. 24-5. 如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且AB AC AB AC+=-，则AD =A ．6B ．C ．3D ．326. 已知命题p ：x ∀∈R ，20x >；命题q ：在曲线cos y x =则下列判断正确的是 A ．p 是假命题B ．q 是真命题D 第5题图C ．()p q ⌝∧是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题7. 设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0100x <<）人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是 A. 15 B. 16 C. 17 D. 188. 在平面直角坐标系中，ABC △顶点坐标分别为(00)A ，，(1B ，(0)C m ，．若ABC△是钝角三角形，则正实数m 的取值范围是 A. 01m <<B. 0m <<C. 0m <<4m >D. 01m <<或4m >第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量(2,1)=-a ，(,1)x =b ，若⊥a b ，则x = ．10.已知3sin 5α=，(,)2απ∈π，则cos α=_______；tan()4απ+=_______．11.已知函数()22x xf x a -=+⋅，且对于任意的x ，有()()0f x f x -+=，则实数a 的值为．12.已知x ，y 满足条件20,3260,20,x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则函数2z x y =-+的最大值是．13. 设函数1e ,0,()sin π1,0 1.x x f x x x +⎧≤=⎨+<≤⎩若()1f m =，则实数m 的值等于． 14．已知函数()()f x x a x=-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且253619,25a a a a +=+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .16. （本小题满分13分）已知函数1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值.17. （本小题满分14分）如图，在△ABC 中，A C B ∠为钝角，π2,,6A B B C A ==．D 为AC 延长线上一点，且1CD =．（Ⅰ）求BCD ∠的大小；（Ⅱ）求,BD AC 的长．18. （本小题满分13分）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R . （Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x =（0x >）的最小值；（Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足122(1)n n a a na n n b +++=+，n *∈N .（Ⅰ）若11,a =22a =，求1b ，2b ；（Ⅱ）若1n n a n +=，求证：12n b >；（Ⅲ）若2n b n =，求数列{}n a 的通项公式．DCB20. （本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ÎR .（Ⅰ）若0a =，对于任意的(0,1)x Î，求证：1()ef x -?；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围.北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（文史类） 2014.11 一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2.d a =⎧⎨=⎩所以31n a n =-.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn n a b -=，所以312n n b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和21(31)2(12)3422122n n n n n n n S ++-++=-=--.…………………………………………………………………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）1()sin cos sin(2)23f x x x x π=-- 11sin2(sin2cos cos2sin )2233x x x ππ=--11sin 2sin 2224x x x =-1sin 224x x =+1sin(2)23x π=+. 则()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………………………7分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，则2[,]x ππ4π+∈333.所以sin(2)[3x π+∈.所以11sin(2)[]232x π+∈. 则()f x 在[0,]2π上的最大值为12，此时232x ππ+=，即12x π=. ()f x 在[0,]2π上的最小值为，此时233x π4π+=，即2x π=.…………………………………………………………………………………13分17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为π2,6AB A ==，BC ，由正弦定理可得sin sin AB BCACB A =∠，CB即2π1sin sin 62ACB ===∠，所以sin 2ACB ∠=．因为ACB ∠为钝角，所以3π4ACB ∠=.所以π4BCD ∠=． ………………………………………………………………7分（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos4BD =+-⋅，整理得2BD =．在△ABC 中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=．解得1AC =．因为ACB ∠为钝角，所以2AC AB <=．所以1AC =．……………………………………………………………………………………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x -+===+-．因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x x =时，即1x =时，等号成立．所以2y ≥-．所以当1x =时，()f x y x =的最小值为2-．………………………………………6分（Ⅱ）因为2()21f x a x ax -=--，所以要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”.不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立. 因为222()21()1g x x ax x a a =--=---，所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即0010,4410,a --≤⎧⎨--≤⎩解得34a ≥. 所以a 的取值范围是3[,)4+∞． ………………………………………………………13分19（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1n =时，有1121a b ==，所以112b =．当2n =时，有1222(23)a a b +=⨯．因为11,a =22a =，所以256b =． ………………3分（Ⅱ）因为1n n a n +=，所以11n n na n n n +=⋅=+．所以12(3)223(1)(1)2n nn na a na n n nb ++++=++++==+．所以13121(1)21212n n b n n +=⋅=+>++． ………………8分（Ⅲ）由已知得122(1)n n a a na n n b +++=+ …①当2n ≥时，12112(1)(1)n n a a n a n nb --+++-=- …②①-②得，[]1(1)(1)n n n na n n b n b -=+--，即11()()n n n n n a n b b b b --=-++．因为2n b n =，所以n a =2431n n -+（2n ≥）．当1n =时，11b =，又112a b ==2，符合上式．所以n a =2431n n -+ (n *∈N )． ………………14分20. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x ¢=+. 令()ln 10f x x ¢=+=，解得1e x =.当1(0,)e x Î时，()0f x ¢<，所以函数()f x 在1(0,)e 是减函数；当1(,)e x ? 时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1(,)e + 为增函数.所以函数()f x 在1e x =处取得最小值，11()e e f =-.因为(0,1)x Î，ln 0x <，所以对任意(0,1)x Î，都有()0f x <.即对任意(0,1)x Î，1()ef x -?. ………………………………………6分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+ .又ln ()x x x af x x +-¢=,设()ln g x x x x a =+-.令()ln 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+.令()ln 20h x x ¢=+=，则2e x -=.当21(0,)e x Î时，()0h x ¢<，所以()h x 在21(0,)e 上是减函数；当21(,)e x ? 时，()0h x ¢>，所以()h x 在21(,)e + 上是增函数；所以min 2211()()e e h x h ==-.则()0,x ∈+∞时，1()e h x ≥-.于是，当21e a ?时，直线y a =与函数()ln h x x x x =+的图象有公共点，即函数()ln g x x x x a =+-至少有一个零点，也就是方程()0f x ¢=至少有一个实数根.当21e a =-时，()ln g x x x x a =+-有且只有一个零点，所以ln ()0x x x af x x +-¢=恒成立，函数()f x 为单调增函数，不合题意，舍去.即当21e a >-时，函数()f x 不是单调增函数.又因为()0f x ¢<不恒成立，所以21e a >-为所求．………………………………………………………………………………………………13分。

2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(文科)含答案

2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．B． C．f（x）=e x D．f（x）=sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是（）A．若α∥β，则m∥n B．若m⊥β，则α⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若α⊥β，则m⊥n6．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x7．（5分）已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|=（）A． B．C．2 D．48．（5分）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）计算：i（1﹣i）=（i为虚数单位）．10．（5分）双曲线x2﹣=1的两条渐近线方程为．11．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=；sinA=．12．（5分）已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是，侧面积为．14．（5分）在△ABC中，AB=AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则△ABC面积的最大值为（用l表示）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=3，a2+b2=14，a3+a4+a5=b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最小值．17．（13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）19．（13分）已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，k∈R．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当k=e时，试判断函数f（x）是否存在零点，并说明理由；（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【解答】解：因为集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，所以A∩B={0，1}，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．B． C．f（x）=e x D．f（x）=sinx【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数．B．函数为奇函数，由=0得方程无解，即函数没有零点．C．f（x）=e x为增函数，函数为非奇非偶函数，且没有零点．D．f（x）=sinx是奇函数，且存在零点，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是（）A．若α∥β，则m∥n B．若m⊥β，则α⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若α⊥β，则m⊥n【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m ⊂α，n⊂β，知：在A中：若α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中：若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中：若m∥β，则α与β平行或相交，故C错误；在D中：若α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：B．6．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选：C．7．（5分）已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|=（）A． B．C．2 D．4【解答】解：设圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9与y轴交于A，B两点，取线段AB 的中点D，则由弦的性质可得CD⊥AB，且=，故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离．∴圆心C到AB的距离为d=||=，由于圆的半径为r=3，故AB=2=，故选：A．8．（5分）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）计算：i（1﹣i）=1+i（i为虚数单位）．【解答】解：i（1﹣i）=1+i．故答案为：1+i．10．（5分）双曲线x2﹣=1的两条渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=1，b2=3，得a=1，b=∵双曲线的渐近线方程为y=∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x故答案为：y=±x11．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．12．（5分）已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．∴的最小值为．故答案为：．13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是12，侧面积为27．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△==，S△CBP==．CDP∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．四棱锥的体积V=S正方形•PA==12．ABCD故答案为12，27．14．（5分）在△ABC中，AB=AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则△ABC面积的最大值为（用l表示）．【解答】解：cosA==﹣，∴S=b2=≤，△ABC故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=3，a2+b2=14，a3+a4+a5=b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q ＞0．依题意有，由a1=b1=3，又q＞0，解得∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1，n∈N*．，n∈N*．（Ⅱ）∵，∴前n项和S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=（3+5+…+2n+1）+（31+32+…+3n）==．∴前n项和．16．（13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得==．∵函数f（x）的图象过点，∴．解得．∴函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵，∴．∴．∴当即时，函数f（x）取最小值17．（13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．【解答】解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个．…（4分）（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，所以，事件M发生的概率．…（8分）（Ⅱ）事件N包含的基本事件有{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，所以，事件N发生的概率．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…（5分）（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD所以CD⊥AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）（Ⅲ）解：不存在．…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，k∈R．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当k=e时，试判断函数f（x）是否存在零点，并说明理由；（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：函数f（x）的定义域：x∈（0，+∞），f′（x）=，（Ⅰ）当k=1时，f（x）=lnx++2x，f′（x）=，有f（1）=ln1+1+2=3，即切点（1，3），k=f′（1）=2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程是y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1．…（4分）的（Ⅱ）若k=e ，f （x ）=（2e ﹣1）lnx ++2x ，f′（x ）=，令f′（x ）=0，得x 1=﹣e （舍），．则．所以函数f （x ）不存在零点．…（8分）（Ⅲ）．当﹣k ≤0，即k ≥0时，f （x ） ↘ 极小↗当，即时，当，即时，当，即时，综上，当k≥0时，f（x）的单调增区间是；减区间是．当时，f（x）的单调增区间是（0，﹣k），；减区间是．当时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当时，f（x）的单调增区间是，（﹣k，+∞）；减区间是．…（13分）20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．=1．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．。

朝阳区2013-2015数学期末考试+一模+二模试题及答案

朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)试题朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C过点(1,2,离心率为2，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=L 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题a CC朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为．过焦点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =．（Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，，求；（Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，求； (Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==L ，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出；若不存在，说明理由. 朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)F 3F l C ,A B AB D ,M N C AMBN m b 11=b 1a ,11b a =1a )(ng朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）试题朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理)答案朝阳区2013届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为，且…………2分 ①当0a ≤，即02a ≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞. ②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02a x <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a ，(1,)+∞. 令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a . ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分 (Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e ea a f =--+=--+>，要使()f x 在上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得或. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2a x ∈时，总有()0f x >. 因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为()f x 在内单调递增，从而当时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.综上所述，或或时，()f x 在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）{}0x x >(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x --'=-++=(]0,2(]0,21a =-2ln 2a <-2a =02a <<22e 12a aa +-<<+22222222(e )e [e (2)](ln e 22)0a a a a a a a a f a a a ++++----=-++++<(0,)2a (0,)2a02a <≤02a <≤2ln 2a <-1a =-(]0,2解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c aa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得(1,(1,22E F -，(3,(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=u u u u r u u u r . …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--u u u u r ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--u u u r . ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--u u u u r u u u r 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+-- 2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅-- 2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++ C222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈u u u u r u u u r .综上所述，EM FN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分朝阳区2014届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）试题 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增. 所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分（Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两个零点. (2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ，故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=．当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+．由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+．所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+==== 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若，因为数列单调递增，所以，又是自然数，所以或1. ………2分（Ⅱ）因为数列的每项都是自然数，若，则，与矛盾；若，则因单调递增，故不存在，即，也与矛盾. 当11=a 时，因单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以，符合条件，所以，. ………6分（Ⅲ）若，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由，即，得，所以，为不超过的最大整数，当21m k =-()k *ÎN时，因为，所以；当2m k =()k *ÎN时，，所以，.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )，即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列是数列的生成数列，且生成的控制函数为，则中不超过的项数恰为，即中不超过的项数恰为，11b ={}n a 211a ≤1a 10a ={}n a 2101a =≤11b ≥11a b =12a ≥{}n a 21n a ≤10b =11a b ={}n a 11b =11a =2(1,2,)n a n n ==L 2n a m ≤22n m ≤212n m ≤m b 212m 222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+222m b k k =-22122m k =22m b k ={}n a {}m b {}m b {}n a ()g n m b ()g n n a m b ()g n 2n所以，即对一切正整数都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =；当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-；当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以，或，或，或，或，或(n *ÎN ). ………13分朝阳区2013届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案221()n n b g n b +≤<222222n pn qn r n n ≤++<+n 2()2g n n =221n +221n n +-22n n +2222n n +-2221n n +-朝阳区2014届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案朝阳区2015届高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）答案。

2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试文科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015届北京市朝阳区高三上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：132分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，在正方体中，为的中点，点在四边形及其内部运动．若，则点的轨迹为A ．线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分2、已知定义在上的函数若直线与函数的图象A ．B ．C ．D ．3、如图，塔底部为点，若两点相距为100并且与点在同一水平线上，现从两点测得塔顶的仰角分别为和，则塔的高约为（）（精确到0.1，，）A ．36.5B ．115.6C ．120.5D ．136.54、若是两个非零的平面向量，则 “”是“”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、执行如图所示的程序框图,则输出的的值是6、一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．B ．C ．D ．7、已知全集，若集合，则A ．，或 B ．，或C ．D ．8、设为虚数单位，则复数的模= A ．1 B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设（），若无论为何值，函数的图象总是一条直线，则的值是______.10、在平面直角坐标系中，若关于的不等式组表示一个三角形区域，则实数的取值范围是______.11、某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.12、已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是______.13、为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .14、双曲线的离心率是；渐近线方程是．三、解答题（题型注释）15、（本小题满分14分）已知离心率为的椭圆与直线相交于两点（点在轴上方），且．点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．16、（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若x=1是的极值点，求a 的值：（Ⅱ）当时，求证：.17、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．点是线段的中点，点是线段上的动点．（Ⅰ）若是的中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，，当三棱锥的体积等于时，试判断点在边上的位置，并说明理由.18、（本小题满分13分）已知平面向量，，，，函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值.19、（本小题满分13分）某幼儿园有教师人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.20、（本小题满分13分）已知公比为的等比数列中，，前三项的和为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，设数列满足，,求使的的最小值.参考答案1、A2、B3、D4、C5、B6、D7、A8、B9、410、11、2212、13、14、15、，（0,4）16、e17、点F为边PD上靠近D点的三等分点18、，当时，；当时，19、，20、或,6【解析】1、试题分析：分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，,所以N的轨迹是线段考点：本题考查轨迹方程的求法2、试题分析：画出分段函数图像，当x<1时，函数单调，值域为，当时，单调递增，值域为，直线与函数的图象恰有两个公共点，则考点：本题考查分段函数的图像点评：带绝对值的函数画图像时要分段，画出分段函数图像，注意分界点处的函数值3、试题分析：在中，在，考点：本题考查解三角形点评：分别在不同的三角形中用正弦定理，注意的计算4、试题分析：即，反之也成立考点：本题考查向量的数量积的运算点评：向量的数量积的运算与四则混合运算法则相似，5、试题分析：i=1,s=0,s=0+=2<15i=i+1=2,s=2+=6<15,i=3,s=6+=14<15i=4,s=14+=30>15,所以i=4考点：本题考查程序框图点评：考查框图中的循环体，注意循环条件6、试题分析：由图可知，几何体为四棱锥，其中底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面，所以共有4个直角三角形，四个侧面都是直角三角形考点：本题考查三视图点评：考查学生的空间想象能力，有三视图知道直观图是四棱锥，会证侧面为直角三角形7、试题分析：，所以考点：本题考查一元二次不等式的解法和补集点评：注意补集的概念，别丢等号8、试题分析：考点：本题考查复数交运算点评：复数的模等于实部的平方加上虚部的平方再开方9、试题分析：要使函数表示一条直线，只有是水平直线，所以，此时函数表示一条直线，所以考点：本题考查同角三角函数基本关系式点评：原函数是三角函数，要想让它变成直线，只能让x消失，所以将他们化简成常数即可10、试题分析：画的公共区域，表示过（1，-1）的直线系，当k=2画直线，旋转该直线观察当直线旋转至x=1，右侧不构成三角形，旋转（0,0），即时，也不构成三角形，只有在x=1，之间可以，所以考点：本题考查线性规划点评：画出平面区域，画直线时，注意过定点，让直线旋转即可看出范围11、试题分析：由已知可画出图26+28+12-60=6,所以既喜欢体育又喜欢文艺的是6人，喜欢体育但不喜欢文艺的为28-6=22人考点：本题考查集合的关系点评：画出韦氏图，将各集合的关系一目了然表现出来，根据数据求结果12、试题分析：设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13、试题分析：，所以有户，第一组与第二组的人数为, 所以概率为考点：本题考查统计概率点评：由分布表得到频率，频率近似概率去算人数14、试题分析：，所以离心率e=，渐近线方程为,考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c求出离心率，渐近线方程15、试题分析：（Ⅰ）由已知得，则，设椭圆方程为由题意可知点在椭圆上，所以．解得．故椭圆的标准方程为．（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为，所以．设直线PA的斜率为k，则直线．由，得……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式成立.即,化简得，解得.因为2是方程（1）的一个解，所以．所以．当方程（1）根的判别式时，，此时直线PA与椭圆相切.由题意，可知直线PB的方程为．同理，易得．由于点A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，，且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足.设四边形APBQ面积为S，则由于，故.当时，，即，即.(此处另解：设，讨论函数在时的取值范围.，则当时，，单调递增.则当时，，即.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是.考点：本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系点评：由已知条件可得到，求得椭圆方程，联立直线与椭圆，用弦长来表示四边形APBQ的面积，求最值16、试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为.因为,又x=1是的极值点,所以，解得.经检验，x=1是的极值点，所以a的值为e. ………5分（Ⅱ）证明：方法1：当时，.所以.若，则，所以，所以.所以函数在单调递减.若，则，所以，所以.所以函数在单调递增.所以当x=1时，.(时，;时，.)所以.方法2：当时，，所以.设，则，所以在单调递增.又，所以当时，，即，所以在单调递减；当时，，即，所以在单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以.考点：本题考查导函数求最值求极值点评：导函数得0的点不一定是极值点，所以还要验证，第二问可以直接求的最值，也可以构造新函数求最值17、试题分析：（Ⅰ）证明：在中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，所以//．又因为平面，平面，所以//平面．（Ⅱ）证明：因为平面，且平面，所以．又因为底面是正方形，且点E是BD的中点，所以．因为，所以平面，而平面，所以．（Ⅲ）点F为边PD上靠近D点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，平面．又因为平面，平面，所以.设．由AB=2得，所以．由已知，所以x=2．因为，点F为边PD上靠近D点的三等分点．考点：本题考查线线垂直的证明，等体积法求三棱锥的体积点评：要想证线线垂直先证线面垂直，先由体积求得PF的长，可得到F的位置18、试题分析：（Ⅰ）因为，，，所以，=.则=.则当时，即时，函数为减函数，.所以函数的单调递减区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，则，.因为，所以..所以当时，；当时，.考点：本题考查二倍角公式，降幂扩角公式，用已知角表示未知角点评：将原函数化成，才能求单调区间，将用表示，再展开求值19、试题分析：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（，），（，），（，），（，），（，C），（，），（，），（，），（，C），（，），（，），（，C），（，），（，C），（，C），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件，则中的结果共有12个，它们是：（，），（，），（，），（，），（，C），（，），（，），（，），（，C），（，C），（，C），（，C）故所求概率为．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为.考点：本题考查古典概型点评：将所有的基本事件列出来，从中数出满足题意的基本事件数，两个数值相比20、试题分析：（Ⅰ）由已知得，，解得，或，则数列的通项公式为或（Ⅱ）因为，所以，由，即，即，即即n>5.则使的最小的n的值为6．考点：本题考查求基本量。

2015北京市朝阳区高三一模数学(文)

2015北京市朝阳区高三一模数学试卷（文史类）2015．4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{,,,}U a b c d=，集合{,},{,}A a bB b c==，则()UA Bð等于A．{}b B．{}d C．{,,}a c d D．{,,}a b c答案：B解析：{}(){},,,UA B a b c C A B d==（2）已知命题:p x∀∈R，sin1x≤，则A．:p⌝x∀∈R，sin1x≥B．:p⌝x∀∈R, sin1x>C．:p⌝x∃∈R, 0sin1x≥D．:p⌝x∃∈R，0sin1x>答案：D解析：命题的否定要注意“全称量词更改为存在量词，否定原命题的结论”（3）若抛物线22(0)y px p=>的焦点与双曲线222x y-=的右焦点重合，则p的值为AB．2C．4D．答案：C解析：双曲线22122x y-=的右焦点是()2,0，抛物线22(0)y px p=>的焦点,02p⎛⎫⎪⎝⎭故4 p=（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值答案：B（5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<第（4）题图D ．312x x x << 答案：A解析：11133log 2log 10x =<=，12221x -==<，作出函数31,log 3xy y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭的图像：可知31x >（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是 A ．π6x = B ．π3x = C ．5π12x = D ．2π3x =答案：C解析：ππ()2sin()cos()sin 2663f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当232x k πππ-=+时，即512x k ππ=+为此函数对称轴（7）已知实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若3z x y =+的最大值为5，则z 的最小值为A ．52 B ．1 C ．0 D ．1-答案：D解析：作出可行域：当2t = 时恰好满足3z x y =+ 的最大值为5，此时z 的最小值是-1（8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是A ．B ．C ．D ．答案：A解析：如图所示由题可知HM CM x == 3MG DM x ==-()()211121133326322C GMH V HM CM GM x x x x x -=⋅⋅=⋅-=⋅⋅⋅-当且仅当11322x x x==- 即2x =时体积取得最大值23 由此可以判断A 为正确选项（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）i 为虚数单位，计算1i1i +-=i ．答案：i解析：()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i +⋅++==--⋅+（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ．答案：32解析：()213122a a b a a b ⋅+=+⋅=+=（11）圆22:(2)(2)8C x y-+-=与y轴相交于,A B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．答案：90︒解析：根据题意作图：易知所求角为直角（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．答案：6，4第（12）题图正视图侧视图俯视图解析：由题作出直观图：其体积为113V ==最大侧面积为AOBS=（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为2800元．答案：解析：稿酬为4000元时，应纳税额为（4000-800）×20%×（1－30%）=448>280 故纳税额280元的稿酬低于4000元，根据公式可知，此人稿酬2800元（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是3．答案：3解析：如图所示，当2a < 时，函数值域为1,2a ⎡⎤⎣⎦ 其区间长度大于3；当2a ≤ 时，函数值域为[]1,4 其区间长度等于3，故区间[],m n 的长度的最小值是3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，π3A =，cos B =，6BC =．（Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为cos B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=，所以sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BCB A =.所以=. 所以4AC =. ……… 6分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+1sin 2B B ==12323⨯=6.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯6= ……13分（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．答案：（Ⅰ）乙校的数学成绩整体水平较高（Ⅱ）25解析：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分（Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）存在解析：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC ．ABCDA 1B 1C 1因为BD Ì底面ABC ，所以1CC BD ^．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BD AC ^．因为1AC CC C ?，所以BD ^平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点，所以1//AB OD ．又因为OD Ì平面1BC D ，1AB Ë平面1BC D ，所以直线1//AB 平面1BC D ． ……… 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ^平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ^．又1CE C D ⊥，1BD C D D =I ，所以CE ^平面D BC 1．ABCDA 1B 1C 1O C 1ABCDA 1B 1ME又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．答案：（Ⅰ）24a =，38a =，416a =．（Ⅱ）4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）316(2)2n n T n +=+-⨯解析：（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N . 因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为3．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．答案：（Ⅰ）22162x y +=（Ⅱ）2)y x =-解析：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k k D k k -++．因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-．因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． ……… 14分（20）（本小题满分13分）已知函数()()e xaf x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．答案：（Ⅰ）2e e =0x y --（Ⅱ）略（Ⅲ））0a >解析：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e xx x ax a f x x ++-'=.（Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e xx +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ……… 3分（Ⅱ）当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x +-+.设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+. 令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >.令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>.所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x +-+>恒成立.所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x +-+.由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax af x x ++-'=.设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。

2015年北京市朝阳区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c} 2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．24．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x26．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣18．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c}【解答】解：∵A＝{a，b}，B＝{b，c}，∴A∪B＝{a，b，c}，则∁U（A∪B）＝{d}，故选：B．2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1【解答】解：命题p为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1．故选：B．3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．2【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线x2﹣y2＝2即﹣＝1的右焦点为（2，0），由题意可得＝2，解得p＝4．故选：C．4．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，t＝2满足条件S≤100，S＝1×2＝2，t＝3满足条件S≤100，S＝1×2×3＝6，t＝4满足条件S≤100，S＝1×2×3×4＝24，t＝5满足条件S≤100，S＝1×2×3×4×5＝120，t＝6不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120．故程序框图的功能是求S＝1×2×3×4×5的值．故选：B．5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵x3满足＝log3x3，∴x3＞0，∴0，∴x3＞1．又∵x 1＝2＜0，0＜x2＝＜1，∴x1＜x2＜x3．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），令：2x﹣＝kπ+（k∈Z），解得：x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣1【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故t＝2；由解得，x＝﹣1，y＝2；故z的最小值为z＝﹣1×3+2＝﹣1；故选：D．8．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH∥DE交CE于H，作MG∥AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM＝x（0＜x＜3），则HM＝CM，GM＝DM＝3﹣x，所以三棱锥的体积为V＝＝＝，（0＜x ＜3）令V'＝﹣＝0，解得x＝0或者x＝2，体积在（0，2）随x的增大而增大，在（2，3）增大而减小，V关于x的图象如下：故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝i．【解答】解：＝＝＝i故答案为：i．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．【解答】解：∵，∴＝1+＝．故答案为11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为90°．【解答】解：当x＝0时，得（y﹣2）2＝4，解得y＝0或y＝4，则AB＝4﹣0＝4，半径R＝＝，∵OA2+OB2＝（）2+（）2＝8+8＝16＝（AB）2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故答案为：90°12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△P AD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝＝，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面积是＝．故答案为：；．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280＝（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x＝2800，故答案为：2800．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是3．【解答】解：；∴①x∈[﹣2，0）时，；∴此时1＜y≤4；②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a；∴此时1≤y≤2a，则：0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3；∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，B∈（0，π），又sin2B+cos2B＝1，解得sin B＝．由正弦定理得：，即，∴AC＝4；（Ⅱ）在△ABC中，sin C＝sin（B+60°）＝sin B cos60°+cos B sin60°＝＝．∴＝．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【解答】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（Ⅱ）设事件M为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a、b，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A、B、C，D，E，其中a＝92，b＝93，A＝90，B＝91，B＝95，D＝96，E＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有（aA）、（aB）、（aC）、（aD）、（aE）、（bA）、（bB）、（bC）、（bD）、（bE），共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有（aA）、（aB）、（bA）、（bB）四种可能，故P（M）＝＝17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D＝D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝4，a n+1＝S n，∴a2＝S1＝a1＝4，a3＝S2＝a1+a2＝4+4＝8，a4＝S3＝a1+a2+a3＝4+4+8＝16；（Ⅱ）由a n+1＝S n，得a n＝S n（n≥2），﹣1两式作差得：a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起为公比是2的等比数列，当n≥2时，．∴；（Ⅲ）依题意，b2＝a2＝4，b3＝a3＝8，则，得，∴b n＝4（n﹣1）．∴，则，T n＝a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+…+（n﹣2）×2n+1+（n﹣1）×2n+2，，两式作差得：＝．∴．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝（x+）e x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）＝e x；（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，所以f（1）＝e，f′（1）＝2e；所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e＝2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e＝0；（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，f′（x）＝e x，设g（x）＝x3+x2﹣x+1，则g′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），故g（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（）＝＞0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．（Ⅲ）f′（x）＝e x；设h（x）＝x3+x2+ax﹣a，h′（x）＝3x2+2x+a，（1）当a＞0时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；而h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝2＞0，故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈（0，1）时，h′（x）＝3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数；又h（0）＝0，故f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；（3）当a＜0时，h（x）＝x3+x2+a（x﹣1），当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；综上所述，a＞0．。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(文史类)

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学（文史类）一、选择题（共8小题；共40分）1. 设i为虚数单位，则复数z=1−i的模 z = ______A. 1B. 2C. 2D. 222. 已知全集U=R，若集合A=x x2−x<0，则∁U A= ______A. x x≤0,或x≥1B. x x<0,或x>1C. x0<x<1D. x x≥13. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为______A. 1B. 2C. 3D. 44. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是______A. 3B. 4C. 5D. 65. 若a，b是两个非零的平面向量，则" a=b "是" a+b⋅ a−b=0 "的______A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB的底部为点B，若C，D两点相距100 m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45∘和30∘，则塔AB的高约为______（精确到0.1 m，≈1.73，2≈1.41）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57. 已知定义在R上的函数f x=x x +1,x<1,2x−2,x≥1,若直线y=a与函数f x的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是______A. 0,2B. 0,2C. 0,2D. 1,28. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．若MN⊥A1C1，则N点的轨迹为______A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分二、填空题（共6小题；共30分）9. 双曲线C：x24−y2=1的离心率是______；渐近线方程是______．10. 为了了解某厂职工家庭人均月收入情况，调查了该厂80户居民月收入频率分布如下表：按家庭人均月收入分组百元第一组10,16第二组16,22第三组22,28第四组28,34第五组34,40频率0.10.20.15a0.1则这80户居民中，家庭人均月收入在2800,3400元之间的有______ 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭，现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭，估计该家庭为中低收入家庭的概率是______．11. 已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是______．12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有______人．13. 在平面直角坐标系中，若关于x，y的不等式组y≥0,y≤x,y≤k x−1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是______．14. f x=a1cos2x+a2−1sin x cos x+3sin2x a12+a22≠0，无论x为何值，函数f x的图象总是一条直线，则a1+a2的值是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：本科研究生合计35岁以下52735∼50岁含35岁和50岁1732050岁以上213（1）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（2）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率．16. 已知平面向量a=sin x,cos x，b=sin x,−cos x，c=−cos x,−sin x，x∈R，函数f x=a⋅ b−c．（1）求函数f x的单调递减区间；（2）若fα2=22，求sinα的值．17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD的中点，点F是线段PD上的动点．（1）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（2）求证：CE⊥BF；（3）若AB=2，PD=3，当三棱锥P−BCF的体积等于43时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．18. 已知公比为q的等比数列a n（n∈N∗）中，a2=2，前三项的和为7．（1）求数列a n的通项公式；（2）若0<q<1，设数列b n满足b n=a1⋅a2⋅⋯⋅a n（n∈N∗），求使得0<b n<1的n 的最小值．19. 已知函数f x=e x−a ln x，a∈R．（1）若x=1是f x的极值点，求a的值；（2）当a=e时，求证：f x≥e．20. 已知离心率为32的椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）与直线x=2相交于P，Q两点（点P在x轴上方），且PQ =2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ=∠BPQ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形APBQ面积的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. A第二部分9. 52；y=±12x10. 28；0.311. x+132+ y−132=1912. 2213. k<014. 4第三部分15. （1）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人．则P A=630=15.答：从幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15．（2）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35∼50岁（含35岁和50岁）具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A1,C，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A2,C，B1,B2，B1,B3，B1,C，B2,B3，B2,C，B3,C．记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：A1,A2，A1,B1，A1,B2，A1,B3，A1,C，A2,B1，A2,B2，A2,B3，A2,C，B1,C，B2,C，B3,C，故所求概率为P D=1215=45．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45．16. （1）因为a=sin x,cos x，b=sin x,−cos x，c=−cos x,−sin x，所以 b−c=sin x+cos x,sin x−cos x，f x=a⋅ b−c=sin x sin x+cos x+cos x sin x−cos x．则f x=sin2x+2sin x cos x−cos2x=sin2x−cos2x=2sin2x−π4．则当2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2时，即kπ+3π8≤x≤kπ+7π8时，函数f x为减函数，k∈Z．所以函数f x的单调递减区间是 kπ+3π8,kπ+7π8，k∈Z．（2）由（1）知，f x=2x−π4，又fα2=22，则2sin α−π4=22，sin α−π4=12．因为sin2 α−π4+cos2 α−π4=1，所以cos α−π4=±32．sinα=sin α−π4+π4=sin α−π4cosπ4+cos α−π4sinπ4．所以当cos α−π4=32时，sinα=12×22+32×22=6+24；当cos α−π4=−32时，sinα=12×22+ −32×22=2−64．17. （1）在△PDB中，因为点E是BD中点，点F是PD中点，所以EF∥PB．又因为EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．（2）因为PD⊥平面ABCD，且CE⊂平面ABCD，所以PD⊥CE．又因为底面ABCD是正方形，且点E是BD的中点，所以CE⊥BD．因为BD∩PD=D，所以CE⊥平面PBD，而BF⊂平面PCD，所以CE⊥平面BF．（3）点F为边PD上靠近D点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE⊥平面PBF．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD．设PF=x，由AB=2得BD=22，CE=2，所以V P−BCF=V C−BPF=1×1×PF×BD×CE=16×22×2x=2 3 x.由已知23x=43，所以x=2．因为PD=3，所以点F为边PD上靠近D点的三等分点．18. （1）由已知得a2=2,a1+a2+a3=7,解得q=2，a1=1或q=12，a1=4．则数列a n的通项公式为a n=2n−1或a n=12n−3，n∈N∗．（2）因为0<q<1，所以a n=12n−3，n∈N∗．b n=a1⋅a2⋅⋯⋅a n=12−2−1+0+⋯+n−3=12n n−5，n∈N∗．由0<b n<1，即0<12n n−52<1，即n n−52>0，即n>5，则使0<b n<1的最小的n的值为6．19. （1）函数f x的定义域为0,+∞．因为fʹx=e x−ax，又x=1是f x的极值点，所以fʹ1=e−a=0，解得a=e．经检验，x=1是f x的极值点，所以a的值为e．（2）方法一：当a=e时，f x=e x−eln x．所以fʹx=e x−ex =x e x−ex．若0<x<1，则1<e x<e，所以x e x<e，所以x e x−e<0．所以函数f x在0,1单调递减．若x>1，则e x>e，所以x e x>e，所以x e x−e>0．所以函数f x在1,+∞单调递增．所以当x=1时，f x min=f1=e．（x→0时，e x−eln x→+∞；x→+∞时，e x−eln x→+∞．）所以f x≥e．方法二当a=e时，f x=e x−eln x．所以fʹx=e x−ex =x e x−ex．设g x=x e x−e，则gʹx=e x x+1，所以g x在0,+∞单调递增．又g1=0，所以当x∈0,1时，g x<0，即fʹx<0，所以f x在0,1单调递减；当x∈1,+∞时，g x>0，即fʹx>0，所以f x在1,+∞单调递增．（接下来表述同解法1相应内容）所以f x≥e．20. （1）由已知得e=32，则ba=12，设椭圆方程为x24b2+y2b2=1b>0,由题意可知点P2,1在椭圆上，所以44b2+1b2=1，解得b2=2.故椭圆C的标准方程为x28+y22=1．（2）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．因为∠APQ=∠BPQ，所以k PA=−k PB．设直线PA的斜率为k，则直线PA:y−1=k x−2k≠0．由x2+4y2=8,y=kx+1−2k得1+4k2x2+8k1−2k x+16k2−16k−4=0 ⋯⋯①依题意，方程①有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ>0成立．即Δ=64k21−2k2−41+4k216k2−16k−4>0，化简得162k+12>0，解得k≠−12.因为2是方程①的一个解，所以2⋅x A=16k2−16k−41+4k2．所以x A=8k2−8k−21+4k．当方程①的判别式Δ=0时，k=−12，此时直线PA与椭圆相切．由题意，可知直线PB的方程为y−1=−k x−2．同理，易得x B=8−k2−8−k−21+4−k =8k2+8k−21+4k．由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ=∠BPQ，且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足 k >12．设四边形APBQ面积为S，则S=S△APQ+S△BPQ=12PQ ⋅2−x A+12PQ ⋅x B−2=12PQ ⋅x B−x A=8k2−8k−21+4k−8k2+8k−21+4k=16k1+4k2.由于 k >12，故S=16 k1+4k2=161k+4 k．当 k >12时，1k+4 k >4，即0<11+4 k<14，即0<S<4．（此处另解：设t= k ，讨论函数f t=1t +4t在t∈12,+∞ 时的取值范围．fʹt=4−1t2=4t2−1t2，则当t>12时，fʹt>0，f t单调递增．则当t>12时，f t∈4,+∞，即S∈0,4．）所以四边形APBQ面积S的取值范围是0,4．。

北京市朝阳区2015年高三第一次综合练习数学理试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2015.4（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A ={1，2，m 2}，B ={1，m }．若B ⊆ A ，则m =A ．0B ．2C ．0 或2D ．1 或22．已知点A(1，y 0 )( y 0> 0) 为抛物线 y 2 = 2px ( p > 0)上一点．若点 A 到该抛物线焦点的距离为 3，则y 0 =A ．2B ． 2C ．22D ． 43．在△ABC 中，若A 36＝，cosB=3,BC = 6，则 AC = A ．42 B ． 4 C ．23 D ．433 4．“∀x ∈R ，x 2 + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，a (t )表示时间段[t -1，t )内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A ．t ≤17？B ．t ≥19？C ．t ≥18？D ．t ≤18？6．设均为实数，且则7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(1，0) ，B(1，1) ，且∠BOP = 90︒ 。

设OP = OA+ kOB(k ∈R)，则|OP|＝8．设集合，则M 中元素的个数为A．61B．65C．69D．84第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分。

9．i 为虚数单位，计算＝＿＿＿＿＿＿＿。

10．设n S 为等差数列的前n 项和。

2015年北京朝阳高三一模数学试题及答案

2015年北京朝阳一模数学试题及答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2015．4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px=()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B. 2C.D.28. 设集合M ={}220000(,)20,,x y xy x y +≤∈∈Z Z，则M 中元素的个数为A.61B. 65C. 69D.84第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.i 为虚数单位，计算12i1i -=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______.12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin 4m 的值．16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；0.0375 0.01250.025（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？若存在，求出EMEC 的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x=+-+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F，离心率为3F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =．（Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ；（Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中ABFED C常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x =π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m = ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ，又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分（Ⅱ）因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD =AD ，CDAD ，CD平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CD ED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =，设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)m ，由（Ⅱ）知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则010m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ，若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->0x 解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<0x解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分（Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >.（1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=．当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+．由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB==因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+．所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====．当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为． …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分（Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件，所以，11a =. ………6分（Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21mkk N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-；当2mk kN 时，22122m k =，所以，22m b k =.文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！11 / 11 综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k N )N )，即当0m 且m 为奇数时，212m m b ；当0m 且m 为偶数时，22m m b . 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ，则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈. 又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =；当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-；当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n N ). ………13分。

【数学】北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习(文)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习（文）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A {}(1)(2)0x x x =--?，集合{}1B x x =<，则A B =U （）A ．ÆB ．{}1x x =C ．{}12x x＃ D ．{}12x x -<?2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是（） A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．π323．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3z x y =+的最小值是（）A ． 12-B ． 8-C ． 4-D ．0 4. 已知非零平面向量，，则“与共线”是“与共线”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（） A ．0 B ．1- C ．12-D ．32-a b a b a +b -a b6.函数11,()lg ,1,x f x x x ìï-?ï=íï³ïî的零点个数是（）A. 0B.1C.2D.37．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð（）A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（） A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设为虚数单位，则．10．若中心在原点的双曲线的一个焦点是1(0,2)F -，一条渐近线的方程是，则双曲线的方程为．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为；表面积为．12. 已知在中，，，，则sin A = ；的面积为．13．在圆C ：()222(2)8x y -+-=内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 14．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)+?； ③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是．i i(1i)-=C 0x y -=C ABCD 4C p =3cos 5B =5AB =ABC D三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=．（Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值；（Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x Î，求0x 的值．16．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N Î）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N Î）从左至右依次都在函数23xy =的图象上，求这n 个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和．17．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,B C 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．18．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ；（Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l Ì平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y +=,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB?o ．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB D 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．20．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x =+，其中0a >．（Ⅰ）当1a ³时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性；（Ⅱ）当01a <<2()2f x t at <++对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案。

数学_2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝{a, b, c, d}，集合A＝{a, b}，B＝{b, c}，则∁U(A∪B)等于（）A {b}B {d}C {a, c, d}D {a, b, c}2. 命题p:∀x∈R，都有sinx≤1，则（）A ￢p:∃x0∈R，使得sinx0≥1B ￢p:∃x0∈R，使得sinx0>1C ￢p:∀x0∈R，使得sinx0≥1D ￢p:∀x0∈R，使得sinx0>13. 若抛物线y2=2px，p>0的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为()A √2B 2C 4D 2√24. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A 计算S＝1×2×3×4×5×6的值B 计算S＝1×2×3×4×5的值C 计算S＝1×2×3×4的值 D 计算S＝1×3×5×7的值5. 已知x1=log132，x2=2−12，x3满足(13)x3=log3x3，则（）A x1<x3<x2B x1<x2<x3C x2<x1<x3D x3<x1<x26. 函数f(x)＝2sin(x−π6)cos(x−π6)图象的一条对称轴方程是（）A x=π6 B x=π3C x=5π12D x=2π37. 已知实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A 52B 1C 0D −18. 已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH // DE交CE于H，作MG // AD交BD于G，连结GH．设CM＝x(0< x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 若i 为虚数单位，则1+i 1−i =________．10. 若向量a ，b 满足|a →|＝|b →|＝1，a →,b →的夹角为60∘，则a →⋅a →+a →⋅b →=________．11. 圆C ：(x −2)2+(y −2)2＝8与y 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为________．12. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是________，四棱锥侧面中最大侧面的面积是________． 13. 稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额−800）×20%×(1−30%)（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1−20%)×20%×(1−30%)．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为________元．14. 记x 2−x 1为区间[x 1, x 2]的长度．已知函数y ＝2|x|，x ∈[−2, a](a ≥0)，其值域为[m, n]，则区间[m, n]的长度的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 在△ABC 中，A =π3，cosB =√63，BC ＝6． (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)求△ABC 的面积．16. 某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：(Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；(Ⅱ)若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：直线AB1 // 平面BC1D；(Ⅲ)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N∗．(Ⅰ)写出a2，a3，a4的值；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅲ)已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，离心率为√63．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20. 已知函数f(x)＝(x+ax)e x，a∈R．(Ⅰ)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝−1时，求证：f(x)在(0, +∞)上为增函数；(Ⅲ)若f(x)在区间(0, 1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. B5. B6. C7. D8. A9. i10. 32 11. 90∘12. √36,√7413. 由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x 元，则280＝(x −800)×20%×(1−30%) 所以x ＝2800，280014. 315. （1）∵ cosB =√63，B ∈(0, π)，又sin 2B +cos 2B ＝1，解得sinB =√33．由正弦定理得：AC sinB =BC sinA ，即√33=√32，∴ AC ＝4；（2）在△ABC 中，sinC ＝sin(B +60∘)＝sinBcos60∘+cosBsin60∘=12sinB +√32cosB =12×√33+√32×√63=√3+3√26． ∴ S △ABC =12AC ⋅BCsinC =12×4×6×√3+3√26=2√3+6√2．16. （1）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（2）设事件M 为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a 、b ，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A 、B 、C ，D ，E ，其中a ＝92，b ＝93，A ＝90，B ＝91，B ＝95，D ＝96，E ＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有(aA)、(aB)、(aC)、(aD)、(aE)、(bA)、(bB)、(bC)、(bD)、(bE)，共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有(aA)、(aB)、(bA)、(bB)四种可能，故P(M)=410=25 17. （1）证明：∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴ CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，∴ CC 1⊥底面ABC ，∵ BD ⊂底面ABC ，∴ CC 1⊥BD ，又底面为等边三角形，D 为线段AC 的中点．∴ BD ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1；（2）证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，如图则O 为B 1C 的中点，∵ D 是AC 的中点，∴ AB 1 // OD ，又OD ⊂平面BC 1D ，OD ⊄平面BC 1D∴ 直线AB 1 // 平面BC 1D ；(Ⅲ)在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）存在点E ，使CE ⊥DM ，此时E 在线段C 1D 上；证明如下：过C 作CE ⊥C 1D 交线段C 1D 与E ，由(Ⅰ)可知BD ⊥平面ACC 1A 1，而CE ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CE ，由CE ⊥C 1D ，BD ∩C 1D ＝D ，所以CE ⊥平面BC 1D ，DM ⊂平面BC 1D ，所以CE ⊥DM ．18. （1）∵ a 1＝4，a n+1＝S n ，∴ a 2＝S 1＝a 1＝4，a 3＝S 2＝a 1+a 2＝4+4＝8，a 4＝S 3＝a 1+a 2+a 3＝4+4+8＝16；（2）由a n+1＝S n ，得a n ＝S n−1(n ≥2)，两式作差得：a n+1−a n ＝a n ，即a n+1＝2a n (n ≥2)，∴ 数列{a n }从第二项起为公比是2的等比数列，当n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ．∴ a n ={4,n =12n ,n ≥2； (Ⅲ)依题意，b 2＝a 2＝4，b 3＝a 3＝8，则{b 1+d =4b 1+2d =8 ，得{b 1=0d =4， ∴ b n ＝4(n −1)．∴ a n ⋅b n ={0,n =1(n −1)⋅2n+2,n ≥2，则a n ⋅b n =(n −1)⋅2n+2(n ∈N ∗)，T n ＝a 1b 1+a 2b 2+...+a n−1b n−1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+...+(n −2)×2n+1+(n −1)×2n+2， 2T n =1×25+2×26+3×27+⋯+(n −2)×2n+2+(n −1)×2n+3，两式作差得：−T n =24+25+⋯+2n+2−(n −1)×2n+3=24(1−2n+1)1−2−(n −1)×2n+3=−16−(n −2)×2n+3．∴ T n =16+(n −2)×2n+3．19. （I ）由已知可得：{c =2c a =√63a 2=b 2+c 2 ，解得a 2＝6，b 2＝2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1；(II)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)，化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6＝0， ∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，y 1+y 2＝k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2， ∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2,−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky ＝0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6，解得y 32=21+3k 2，x 3＝−3ky 3． ∵ 四边形MF 1NF 2为矩形，∴ F 2M →⋅F 2N →=0，∴ (x 3−2, y 3)⋅(−x 3−2, −y 3)＝0，∴ 4−x 32−y 32=0，∴ 4−2(9k 2+1)1+3k 2=0，解得k =±√33，故直线方程为y =±√33(x −2)． 20. 函数f(x)＝(x +a x )e x 的定义域为{x|x ≠0}，f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；（1）当a ＝0时，f(x)＝xe x ，f′(x)＝(x +1)e x ，所以f(1)＝e ，f′(1)＝2e ；所以曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y −e ＝2e(x −1)，即2ex −y −e ＝0；（2）证明：当a ＝−1时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x ，设g(x)＝x 3+x 2−x +1，则g′(x)＝3x 2+2x −1＝(3x −1)(x +1)，故g(x)在(0, 13)上是减函数，在(13, +∞)上是增函数，所以g(x)≥g(13)=2227>0，所以当x ∈(0, +∞)时，f′(x)=x 3+x 2−x+1x 2e x >0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上为增函数．(Ⅲ)f′(x)=x 3+x 2+ax−ax 2e x ；设ℎ(x)＝x3+x2+ax−a，ℎ′(x)＝3x2+2x+a，（1）当a>0时，ℎ′(x)>0恒成立，故ℎ(x)在(0, +∞)上为增函数；而ℎ(0)＝−a<0，ℎ(1)＝2>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数f(x)在区间(0, 1)上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)＝3x2+2x>0，故ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；又ℎ(0)＝0，故f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；（3）当a<0时，ℎ(x)＝x3+x2+a(x−1)，当x∈(0, 1)时，总有ℎ(x)>0成立，即f(x)在(0, 1)上为增函数；故函数f(x)在区间(0, 1)上没有极值；综上所述，a>0．。

北京市朝阳区高三上学期期末考试数学文试题

北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学试卷（文史类）2015.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设为虚数单位，则复数的模=A. 1B.C.D.2. 已知全集，若集合，则A.，或B.，或C.D.3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. B. C. D.4.执行如右图所示的程序框图,则输出的的值是A.3B.4C.5D.6 正视图侧视图俯视图5.若是两个非零的平面向量，则 “”是“”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，塔底部为点，若两点相距为100m 并且与点在同一水平线上，现从两点测得塔顶的仰角分别为和，则塔的高约为（精确到0.1m ，，）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在上的函数(1)1,()221,xx x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线与函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 如图，在正方体中，为的中点，点在四边形及其内部运动．若，则点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分ACD A 1B 1C 1D 1 MN .第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9. 双曲线的离心率是；渐近线方程是．10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .11. 已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.13. 在平面直角坐标系中，若关于的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（），若无论为何值，函数的图象总是一条直线，则的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.16.（本小题满分13分）已知平面向量，，，，函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值.17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．点是线段的中点，点是线段上的动点．（Ⅰ）若是的中点，求证：//平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，，当三棱锥的体积等于时，试判断点在边上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为的等比数列中，，前三项的和为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，设数列满足，,求使的的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数，.（I）若是的极值点，求的值：（Ⅱ）当时，求证：.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>与直线相交于两点（点在轴上方），且．点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人. 则.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为，，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为，，， 50岁以上具有研究生学历的教师为，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件，则中的结果共有12个，它们是：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），故所求概率为．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为，，，所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ， =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-. 则22sin 2sin cos cos x x x x +-=.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数为减函数，.所以函数的单调递减区间是，.………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又，则，.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以.sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当时，12+=；当时，1(2+=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在中，因为点是中点，点是中点，所以//．又因为平面，平面，所以//平面．…………4分（Ⅱ）证明：因为平面，且平面，所以．又因为底面是正方形，且点是的中点，所以．因为，所以平面，而平面，所以． …………9分（Ⅲ）点为边上靠近点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，平面．DAPCEFB又因为平面，平面，所以. 设．由得，，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=．由已知，所以．因为，所以点为边上靠近点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得，，解得，或，．则数列的通项公式为或，……………5分（Ⅱ）因为，所以，.(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，. 由，即，即，即即.则使的最小的的值为． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数的定义域为. 因为,又是的极值点,所以，解得. 经检验，是的极值点，所以的值为. ………5分（Ⅱ）证明：方法1：当时，.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若，则，所以，所以.所以函数在单调递减. 若，则，所以，所以. 所以函数在单调递增. 所以当时，. (时，;时，.)所以. ………13分方法2：当时，，所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 设，则，所以在单调递增.又，所以当时，，即，所以在单调递减；当时，，即，所以在单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以. ………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，则，设椭圆方程为由题意可知点在椭圆上，所以．解得．故椭圆的标准方程为． ………4分（Ⅱ）由题意可知，直线，直线的斜率都存在且不等于0．因为，所以．设直线的斜率为，则直线（）．由得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式成立. 即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得，解得.因为是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以．当方程（1）根的判别式时，，此时直线与椭圆相切.由题意，可知直线的方程为．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+．由于点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，，且能存在四边形，则直线的斜率需满足. 设四边形面积为，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++由于，故216161144k S kk k==++.当时，，即110144k k<<+，即. (此处另解：设，讨论函数在时的取值范围.222141()4t f t t t-'=-=，则当时，，单调递增. 则当时，，即.)所以四边形面积的取值范围是. ………14分。

北京朝阳区高三一模数学(文)试题答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）2013.4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()22x f x x ωω-=-+……………………………………………1分1cos 2x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分于是()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点，所以 EF BC ．因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分（Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD ，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥．P DABCFE由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥．又因为CDPC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，3PC PF ==．可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3．……………14分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >，且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=，解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >。

北京市朝阳区2015年高三年级上学期期末考试数学文试题

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2014.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则AB =A.}{0x x > B. }{1x x > C. }{011x x x <<>或 D. ∅ 2.为了得到函数22y x =-的图象，可以把函数2y x =的图象上所有的点 A. 向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C. 向左平行移动2个单位长度 D. 向左平行移动1个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A. 6B. 24C. 120D.7204.已知函数2,0,()0,x x f x x ⎧≥⎪=<则2a =是()4f a =成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若实数,x y 满足3200x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最小值为A. 0B. 1C. 2D. 3 6. 已知π02α<<，且4cos 5α=，则πtan()4α+等于 A. 7- B. 1- C. 34D. 77. 若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，且AB =则m 的值是A. 116B. 80C. 52D. 208. 函数2()3f x x x =-的图象为曲线1C ，函数2()4g x x =-的图象为曲线2C ，过x 轴上的动点(,0)(03)M a a ≤≤作垂直于x 轴的直线分别交曲线1C ，2C 于,A B 两点，则线段AB 长度的最大值为A ．2B ．4C ． 5D ．418第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列{}n a 为等差数列，若1358a a a ++=，24620a a a ++=，则公差d = ． 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是；表面积是 .俯视图侧视图正视图11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．12.直线l ：360x y --=被圆:C ()221(2)5x y -+-=截得的弦AB 的长是 .13.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=-，则AB AC = ；||BC 的最小值是 . 14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本题满分13分）已知函数22()3sin 2sin cos cos 2f x x x x x =++-. （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.17. （本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ;（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.（Ⅰ）若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最小值. 19.（本题满分14分）已知椭圆C两焦点坐标分别为1(F,2F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分13分）已知数列{}n a 的通项19210nn a n ⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N .(Ⅰ)求12,a a ；（Ⅱ）判断数列{}n a 的增减性,并说明理由； (Ⅲ) 设1n n n b a a +=-，求数列1n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项.DEAPC北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 2014.1二、填空题：三、解答题： 15.解：（Ⅰ）依题意2()2sin sin 21f x x x =+-=sin 2cos 2x x -=)4x π-.则())1444f πππ=⨯-=. ………….7分（Ⅱ）()f x 的最小正周期Τ2π==π2. 当ππ2π22242k x k ππ-≤-≤+时，即π3πππ88k x k -≤≤+时,()f x 为增函数.则函数()f x 的单调增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………….13分 16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. ……….6分（Ⅱ）设事件A ：抽到的成绩中至少有一个高于90分.从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,65,58,82,58,87,58,85,58,95,55,65,55,82,55,87,55,85,55,95,76,65,76,82,76,87,76,85,76,95,88,65,88,82,88,87,88,85,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95,共25个.事件A 包含的基本事件有8 7 5 6 9826 甲乙5 57 2 58 5{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,95,55,95,76,95,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95共9个. 所以9()25P A =，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为925. ……….13分 17. 证明：（Ⅰ）因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． ………….4分（Ⅱ）因为平面PAC ⊥面ABC , 平面PAC平面ABC =AC ,又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥面ABC . 所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PAAB =A ，所以BC ⊥面PAB ． ……….9分（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB 中点F ，连EF ，连DF . 由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ．又因为DEEF =E ，所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．故当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． ……….14分 18. 解：（Ⅰ）已知函数322()f x x ax a x =--，所以22()32f x x ax a '=--，2(0)4f a '=-=-，又0a ≥，所以2a =. 又(1)5,(1)5f f '=-=-，DEAP C F所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为50x y +=. ………….…..…5分（Ⅱ）[]0,2x ∈，22()32()(3)f x x ax a x a x a '=--=-+ 令()0f x '=，则12,3ax x a =-=. （1）当0a =时，2()30f x x '=≥在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==；（2）当02a <<时，在区间[0,)a 上，()0f x '<，在区间(,2]a 上，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[0,)a 上单调递减，在区间(,2]a 上单调递增，且x a =是[]0,2 上唯一极值点，所以3min ()()f x f a a ==-；（3）当2a ≥时，在区间[]0,2上，()0f x '≤（仅有当2a =时(2)0f '=），所以()f x 在区间[]0,2上单调递减所以函数2min ()(2)842f x f a a ==--.综上所述，当02a ≤<时，函数()f x 的最小值为3a -，2a ≥时，函数()f x 的最小值为2842a a -- ………………13分19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.则依题意c =1b =，所以2223a b c =+=于是椭圆C 的方程为2213x y += ……….4分（Ⅱ）存在这样的直线l . 依题意，直线l 的斜率存在设直线l 的方程为y kx m =+，则由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(31)6330k x kmx m +++-= 因为2222364(31)(33)0k m k m ∆=-+->得22310k m -+>……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)P x y ，则12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000223,3131km mx y kx m k k =-=+=++ 因为AM AN =，所以AP MN ⊥.若0m =，则直线l 过原点，(0,0)P ，不合题意.若0m ≠，由0k ≠得，0011y k x +=-，整理得2231m k =+………………② 由①②知，21k <，所以11k -<< 又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈-. ……….14分20．（Ⅰ）10.45a =,2 1.215a =. ……….2分（Ⅱ）11(0.5)0.9(0.5)0.9n n n n a a n n ++-=+⋅--⋅ 0.9(0.90.450.5)n n n =+-+ 0.10.9(9.5)nn =-⨯⨯-.则当19n ≤≤时，10n n a a +->，则110n ≤≤时，数列{}n a 为递增数列，n *∈N ;当10n ≥时，10n n a a +-<，数列{}n a 为递减数列，n *∈N . ……….7分(Ⅲ)由上问可得，10.10.9(9.5)n n n n b a a n +=-=-⨯⨯-，n *∈N . 令1n n nb c b +=，即求数列{}n c 的最大项和最小项. 则18.50.99.5n n n b n c b n +-==⋅-=10.9(1)9.5n +-. 则数列{}n c 在19n ≤≤时递减，此时90.9n c c ≤<，即0.90.9n c -≤<；数列{}n c 在10n ≥ 时递减，此时100.9n c c <≤，即0.9 2.7n c <≤.因此数列{}n c 的最大项为10 2.7c =，最小项为90.9c =-. ……….….13分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。