山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编4：平面向量
山东地区2014届高三文科数学一轮深刻复习之2013届名校解析试题编辑整编分类汇编14-导数
山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编14：导数一、选择题1 ．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）曲线x x y +=331在点⎪⎭⎫⎝⎛341，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.92 B.91 C.31 D.32 【答案】B 【解析】2''()+1y f x x ==,在点⎪⎭⎫ ⎝⎛341，的切线斜率为'(1)2k f ==.所以切线方程为42(1)3y x -=-,即223y x =-,与坐标轴的交点坐标为21(0,),(,0)33-,所以三角形的面积为11212339⨯⨯-=,选B. 2 ．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）若曲线1f (x )x sin x =+在2x π=处的切线与直线a x +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为A.-2B.-lC.1D.2【答案】D 【解析】直线a x +2y +1=0的斜率为2a -,函数的导数为'()sin cos f x x x x =+,所以'()sin cos 12222f ππππ=+=,由112a -⨯=-,解得2a =,选D.3 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）设曲线y=11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a=A.2B.-2C.12 D.-12【答案】函数的导数为22'(1)y x -=-,所以函数在(3,2)的切线斜率为12k =-,直线ax+y+3=0的斜率为a -,所以1()12a -⋅-=-,解得2a =-,选B. 4 ．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行,则点A 的坐标为(A)()11,e -- (B)()0,1 (C)()1,e (D)()0,2【答案】B 直线30x y -+=的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为'x y e =,所以由'1x y e ==,解得0x =,此时01y e ==,即点A 的坐标为()0,1,选B.5 ．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D ∵函数()()3402f x x x a a =-+<<, ∴f ′(x)=3x 2﹣4.令f ′(x)=0,得 x=±. ∵当233x <-时,'()0f x >;在2323(,)33-上,'()0f x <;在23(,)3+∞上,'()0f x >.故函数在23(,)3-∞-)上是增函数,在2323(,)33-上是减函数,在23(,)3+∞上是增函数.故23()3f -是极大值,23()3f 是极小值.再由f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣<x 2,x 3>. 根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣<0,得>x 2>0.∴0<x 2<1.选D.6 ．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为 A.1[,1]2- B.1[,1)2- C.1(,0)4- D.1(,0]4- 【答案】C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图象,,当0x >时,2211()()024f x x x x =-=--≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则104m <<,即1(,0)4-,选C. 7 ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是A.12()()f x f x <B.12()()f x f x =C.12()()f x f x >D.不确定【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选C.8 ．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-<<===且,现给出如下 结论:①(0)(1)0f f ＞;②(0)(1)0f f ＜;③(0)(2)0f f ＞;④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为:(A)①③ (B)①④ (C)②④ (D)②③【答案】D 函数的导数为22'()3963(32)3(1)(2)f x x x x x x x =-+=-+=--.则函数在1x =处取得极大值,在2x =处取得极小值,因为()()()0f a f b f c ===,所以函数有3个零点,则(1)0,(2)0f f ><,即329(1)16029(2)226202f abc f abc ⎧=-+->⎪⎪⎨⎪=-⨯+⨯-<⎪⎩,解得522abc abc ⎧<⎪⎨⎪>⎩,即522abc <<,所以(0)0f abc =-<,所以(0)(1)0f f ＜,(0)(2)0f f ＞.所以选 D.9 ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知()(2)(3),()22x f x a x a x a g x -=+--=-,同时满足以下两个条件:①,()0()0x R f x g x ∀∈<<或;②(1,)()()0x f x g x ∃∈+∞⋅<，成立,则实数a 的取值范围是(A)1(4,)2- (B)1(,4)(,0)2-∞--(C)1(4,2)(,0)2--- (D)11(4,2)(,)22---【答案】C 解:由()0g x <⇒1x >-,要使对于任意x ∈R ,()0f x <或()0g x <成立,则1x ≤-时,()(2)(3)0f x a x a x a =+--<恒成立,故0a <,且两根2a -与3a +均比1-大,得40a -<<①.因为(1,)x ∈+∞)时,()0g x <,故应存在0(1,)x ∈+∞,使f (x 0)>0,只要12a >-或13a >+即可,所以12a >-或2a <-②,由①、②求交,得14202a a -<<--<<或,即实数a 的取值范围是1(4,2)(,0)2---,选C. 10．（【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试（数学文）解析）已知函数()f x 的导函数()2f x ax bx c '=++的图象如右图所示,则函数()f x 的图象可能是【答案】D 解:由导函数图象可知当0x <时,'()0f x <,函数()f x 递减,排除A,B.又当0x =时,()f x 取得极小值,所以选D.11．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则A.2(2)(3)(log )a f f f a <<B.2(3)(log )(2)a f f a f <<C.2(log )(3)(2)a f a f f <<D.2(log )(2)(3)a f a f f <<【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)a f a f f -<<,即2(log )(3)(2)a f a f f <<,选C. 12．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新驻点”,若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“新驻点”分别为γβα，，,则γβα，，的大小关系为A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>>【答案】A 【解析】'()1g x =,所以由()'()g g αα=得1α=.1'()1h x x =+,所以由()'()h h ββ=得1ln(1)1ββ+=+,由图象可知01β<<..2'()3x x φ=,由()'()φγφγ=得3213γγ-=,当0γ=时,不成立.所以32130γγ-=>,即1γ>,所以γαβ>>,选A.13．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试 数学（文）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数,且),2()2(,1)1('-=+=x f x f f 则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为A.2B.-2C.1D.-1【答案】D解:由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选D.14．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）函数f(x)=1nx-212x 的图像大致是【答案】函数的定义域为{0}x x >,函数的导数微微211'()x f x x x x -=-=,由21'()0x f x x -=>得, 01x <<,即增区间为(0,1).由21'()0x f x x-=<得,1x >,即减区间为(1,)+∞,所以当1x =时,函数取得极大值,且1(1)02f =-<,所以选B.15．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）已知f ′()x是函数()f x 的导函数,如果f ′()x 是二次函数,f ′()x 的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线()y f x =上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是 (A)0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ (B),32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (C)2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ (D),3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭【答案】B 由题意知2'()(1)0)f x a x a =-+>,所以2'()(1)f x a x =-≥,即tan α≥,所以,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,选B. 16．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在），（∞+-1上是减函数,则b 的取值范围是 A.[]∞+-，1 B.），（∞+-1 C.]1-∞-，（ D.），（1-∞- 【答案】C 【解析】函数的导数'()2b f x x x =-++,要是函数在），（∞+-1上是减函数,则'()02b f x x x =-+≤+,在），（∞+-1恒成立,即2b x x ≤+,因为1x >-,所以210x +>>,即(2)b x x ≤+成立.设(2)y x x =+,则222(1)1y x x x =+=+-,因为1x >-,所以1y >-,所以要使(2)b x x ≤+成立,则有1b ≤-,选C.17．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立a=(20.2)·0.2(2),(13)f b og π=·3(13),(19)f og c og π=·3(19)f og ,则a,b,c 的大小关系是( )A. b a c >>B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >>【答案】A 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减,当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选A.二、填空题18．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）函数2ln y x x =-的极值点为____________.【答案】【答案】函数的定义域为(0,)+∞,函数的导数为2112'2x y x x x -=-=,由212'0x y x -==,解得x =,当x >时,'0y <,当0x <<时,'0y >,所以当x =时,函数取得极大值,. 19．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）若函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是____________.【答案】(2,2)-【解析】由3()30f x x x a =-+=,得2'()33f x x =-,当2'()330f x x =-=,得1x =±,由图象可知(1)=2(1)=2f a f a -+-极大值极小值，,要使函数a x x x f +-=3)(3有三个不同的零点,则有(1)=20,(1)=20f a f a -+>-<极大值极小值,即22a -<<,所以实数a 的取值范围是(2,2)-.20．（【解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文）已知函数()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值如下表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示若函数()y f x a =-有4个零点,则a 的取值范围为__________.【答案】[1,2)【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值.由()0y f x a =-=得()f x a =.由图象可知,要使函数()y f x a =-有4个零点,由图象可知12a ≤<,所以a 的取值范围为12a ≤<,即[1,2). 21．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知)1('2)(2xf x x f +=,则=)0('f __________.【答案】-4【解析】函数的导数为'()22'(1)f x x f =+,所以'(1)22'(1)f f =+,解得'(1)2f =-,所以2()4f x x x =-,所以'()24f x x =-,所以'(0)4f =-.三、解答题22．（【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）已知函数2()(1)x f x ax x e =+-,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.(1)若1=a ,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)若0<a ,求()f x 的单调区间;(3)若1-=a ,函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点,求实数m 的取值范围.【答案】解:(1)因为x e x x x f )1()(2-+=,所以++='x e x x f )12()(x x e x x e x x )3()1(22+=-+,所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=又因为e f =)1(,所以所求切线方程为)1(4-=-x e e y ,即034=--e y ex(2)++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+, ①若021<<-a ,当0<x 或aa x 12+->时,0)(<'x f ; 当<<x 0aa 12+-时,0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞,),12[+∞+-aa ; 单调递增区间为]12,0[aa +- ②若21-=a ,=')(x f 0212≤-x e x ,所以)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞. ③若21-<a ,当a a x 12+-<或0>x 时,0)(<'x f ; 当012<<+-x aa 时,0)(>'x f . 所以)(x f 的单调递减区间为]12,(aa +--∞,),0[+∞; 单调递增区间为]0,12[aa +- (3)由(2)知,2()(1)x f x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减,在]0,1[-单调递增,在),0[+∞上单调递减,所以()f x 在1-=x 处取得极小值ef 3)1(-=-,在0=x 处取得极大值1)0(-=f . 由m x x x g ++=232131)(,得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时,0)(>'x g ;当1-0<<x 时,0)(<'x g .所以)(x g 在]1,(--∞上单调递增,在]0,1[-单调递减,在),0[+∞上单调递增.故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-61)1(,在0=x 处取得极小值m g =)0(.因为函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点,所以⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-mm e 1613. 所以1613-<<--m e23．（【解析】山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文科数学）已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. (Ⅰ)若)(x f 在1=x 处取得极大值,求实数a 的值;(Ⅱ)若R m ∈∀,直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线,求k 的取值范围;(Ⅲ)若1->a ,求)(x f 在区间[0,1]上的最大值. 【答案】解:(Ⅰ)因为)]1()[()()12()('22+--=+++-=a x a x a a x a x x f 令a x a x x f =+==,所以随的变化情况如下表:所以1=a(由0)1('=f 得出0=a ,或1=a ,在有单调性验证也可以(标准略))(Ⅱ)因为41)212()('2-+-=a x x f 因为R m ∈∀,直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线,所以k a x x f =-+-=41)212()('2无实数解 只要)('x f 的最小值大于k所以41-<k (Ⅲ)因为1->a ,所以01>+a ,当1≥a 时,0)('≥x f 对]1,0[∈x 成立所以当1=x 时,)(x f 取得最大值61)1(2-=a f 当10<<a 时,在),0(a x ∈时,0)('>x f ,)(x f 单调递增在)(,0)(',)1,(x f x f a x <∈时单调递减所以当a x =时,)(x f 取得最大值232131)(a a a f += 当0=a 时,在)1,0(∈x 时,0)('<x f ,)(x f 单调递减所以当0=x ,)(x f 取得最大值0)0(=f当01<<-a 时,在)1,0(+∈a x 时,)(,0)('x f x f <单调递减在)1,1(+∈a x 时,0)('>x f ,)(x f 单调递增又61)1(,0)0(2-==a f f , 当661<<-a 时,)(x f 在1=x 取得最大值61)1(2-=a f 当066<<-a 时,)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f 当66-=a 时,)(x f 在0=x ,1=x 处都取得最大值0 综上所述,当6611-<<-≥a a 或时,)(x f 取得最大值61)1(2-=a f 当10<<a 时,)(x f 取得最大值232131)(a a a f += 当66-=a 时,)(x f 在0=x ,1=x 处都取得最大值0 当066≤<-a 时,)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f .24．（【解析】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试 数学（文）试题）某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数,2≤a ≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x 元时,产品一年的销售量为x k e(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x 元的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值. 参考公式:【答案】25．（【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++≤. (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)当0a <时,讨论()f x 的单调性;(3)若对任意的()[]123,2,,1,3,a x x ∈--∈恒有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-成立,求实数m 的取值范围【答案】解:(1)当0a =时,()()22121212ln ,(0).x f x x f x x x x x x-'=+=-=> 由()2210x f x x -'=>,解得12x >∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,无极大值(2)()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>①当20a -<<时,()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数,在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数; ②当2a =-时,()f x 在()0,+∞上是减函数;③当2a <-时,()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数,在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数(3)当32a -<<-时,由(2)可知()f x 在[]1,3上是减函数,∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+- 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立,∴()()()12maxln 32ln 3m a f x f x +->-即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立, 即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立, 由于当32a -<<-时,132384339a -<-+<-,∴133m ≤-26．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）函数32111)(xx x x f ++=; (1)求)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214，上的最值;(2)若0≥a ,求3221)(xax x x g ++=的极值点 【答案】27．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知2()1,f x x ax nx a R =+-∈.(1)若a=0时,求函数()y f x =在点(1,()f x )处的切线方程;(2)若函数()f x 在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围;(3)令2()(),g x f x x =-是否存在实数a,当(0,](x e e ∈是自然对数的底)时,函数()g x 的最小值是3,若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.【答案】28．（【解析】山东省临沂市2013届高三3月教学质量检测考试（一模）数学（文）试题）设21x f (x )e (ax x )=++. (I)若a>0,讨论f (x )的单调性;(Ⅱ)x =1时,f (x )有极值,证明:当θ∈[0,2π]时,2|f (cos )f (sin )|θθ-< 【答案】29．（【解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文）已知函数()ln f x x x =.(I)若函数()()g x f x ax =+在区间2,e ⎡⎤+∞⎣⎦上为增函数,求a 的取值范围;(II)若对任意()()230,,2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立,求实数m 的最大值.【答案】30．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文）设函数f(x)=m(x1x)-21nx,g(x)=2ex(m是实数,e是自然对数的底数).(1)当m=2e时,求f(x)+g(x)的单调区间;(2)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求m的值. 【答案】31．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）已知函数()()21.x f x ax x e =++(I)若曲线()1y f x x ==在处的切线与x 轴平行,求a 的值,并讨论()f x 的单调性;(2)当0a =时,是否存在实数m 使不等式()214121mx x x f x mx +≥-++≥+和对任意[)0,x ∈+∞恒成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由【答案】32．（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y . (1)求函数)(x f 的解析式;(2)若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ,都有c x f x f ≤-|)()(|21,求实数c 的最小值;(3)若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.【答案】解答:(1)323)(2-+='bx ax x f根据题意,得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a解得⎩⎨⎧==.0,1b a .3)(3x x x f -=∴(2)令33)(2-='x x f 0=,解得1±=xf(-1)=2, f(1)=-2,2)2(,2)2(=-=-f f [2,2]x ∴∈-当时,max min ()2,() 2.f x f x ==- 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值12,x x ,都有12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-= 所以 4.c ≥所以c 的最小值为4(3)设切点为300000(,),3x y y x x =-则200()33f x x '=-, ∴切线的斜率为203 3.x -则3200003332x x mx x ---=-即32002660x x m -++=,因为过点(2,)(2)M m m ≠,可作曲线()y f x =的三条切线所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解即函数32()266g x x x m =-++有三个不同的零点, 则2()612.g x x x '=-令()0,0 2.g x x x '===解得或⎩⎨⎧<>∴0)2(0)0(g g 即⎩⎨⎧<->+0206m m ,∴26<<-m33．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）已知函数32()f x ax bx =+,()f x 在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若对任意的[)1,x ∈+∞,()ln f x k x '≤恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)将3x =代入直线方程得92y =-,∴92792a b +=-① 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-,∴2766a b +=-②①②联立,解得11,32a b =-=∴3211()32f x x x =-+ (Ⅱ)2()=f x x x '-+,∴2ln x x k x -+≤在[)1,x ∈+∞上恒成立;即2ln 0x x k x -+≥在[)1,x ∈+∞恒成立; 设2()ln g x x x k x =-+,(1)0g =, ∴只需证对任意[)1,x ∈+∞有()(1)g x g ≥[)22()21,1,k x x kg x x x x x-+'=-+=∈+∞设2()2h x x x k =-+,【D 】1．)当=180k ∆-≤,即18k ≥时,()0h x ≥,∴()0g x '≥()g x 在[)1,+∞单调递增,∴()(1)g x g ≥【D 】2．)当=180k ∆->,即18k <时,设12,x x 是方程220x x k -+=的两根且12x x < 由1212x x +=,可知11x <,分析题意可知当21x ≤时对任意[)1,x ∈+∞有()(1)g x g ≥; ∴+10,1k k ≥≥-∴ 118k -≤<综上分析,实数k 的取值范围为[)1,-+∞34．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）已知函数()ln ,()x f x ax x g x e =+=.(I)当0a ≤时,求()f x 的单调区间(Ⅱ)若不等式()g x<,求实数m 的取值菹围;(Ⅲ)证明:当a=0时,()()2f x g x ->.【答案】35．（【解析】山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知2()21,(0,]f x ax nx x e =-∈,其中e 是自然对数的底.(1)若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值;(2)求()f x 的单调区间; (3)设21,()51xa g x n e a=-+＞,若存在12,(0,]x x e ∈,使得12()()9f x g x -＜成立,求a 的取值范围.【答案】36．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a ））函数()R a x ax nx x x f ∈--=21)(.(I)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,求a 的值;(II)若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方,求a 的取值范围;(III)求证:2013)2013...32(110071<⨯⨯⨯n .【答案】37．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）设函数2()ln ()f x x a x a x=--∈R . (Ⅰ)当3a =时,求()f x 的极值; (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性.【答案】38．（【解析】山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题）已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=(1)求)(x f 的单调区间; (2)若0,1≠=b a ,函数bx bx x g -=331)(,若对任意的)2,1(1∈x ,总存在)2,1(2∈x ,使)()(21x g x f ,求实数b 的取值范围.【答案】(1)略39．（【解析】山东省烟台市2013届高三5月适应性练习（一）文科数学）已知函数f(x)=ax-2ax-61nx 在x=2处取得极值. (1)求实数a 的值;(2)g(x)=(x-3)e x-m(e 为自然对数的底数),若对任意x 1∈(0,2),x 2∈[2,3],总有f(x 1)-g(x 2)≤0成立,求实数m 的取值范围. 【答案】40．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）已知函数af (x )ln x x=-. (I)若a >0,试判断f (x )在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f (x )在[1,e]上的最小值为32,求a 的值; (III)若2f (x )x <在(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围 【答案】解 (I)由题意知f (x )的定义域为(0,+∞),且f ′(x )=1x +a x 2=x ＋ax2∵a >0,∴f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数(II)由(I)可知,f ′(x )=x ＋ax2.①若a ≥-1,则x +a ≥0,即f ′(x )≥0在[1,e]上恒成立, 此时f (x )在[1,e]上为增函数,∴f (x )min =f (1)=-a =32,∴a =-32(舍去)②若a ≤-e,则x +a ≤0,即f ′(x )≤0在[1,e]上恒成立, 此时f (x )在[1,e]上为减函数,∴f (x )min =f (e)=1-a e =32,∴a =-e2(舍去)③若-e<a <-1,令f ′(x )=0得x =-a ,当1<x <-a 时,f ′(x )<0,∴f (x )在(1,-a )上为减函数; 当-a <x <e 时,f ′(x )>0,∴f (x )在(-a ,e)上为增函数,∴f (x )min =f (-a )=ln(-a )+1=32,∴a =- e.综上所述,a =- e(Ⅲ)∵f (x )<x 2,∴ln x -ax<x 2.又x >0,∴a >x ln x -x 3令g (x )=x ln x -x 3,h (x )=g ′(x )=1+ln x -3x 2,h ′(x )=1x-6x =1－6x2x.∵x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0, ∴h (x )在(1,+∞)上是减函数.∴h (x )<h (1)=-2<0,即g ′(x )<0, ∴g (x )在(1,+∞)上也是减函数. g (x )<g (1)=-1,∴当a ≥-1时,f (x )<x 2在(1,+∞)上恒成立41．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）已知函数x x a x f ln )1()(2++=.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性;(Ⅱ)若对任意)2,4(--∈a 及]3,1[∈x 时,恒有()2a x f ma >-成立,求实数m 的取值范围.【答案】解: (Ⅰ))0(12212)(>+=+='x xax x ax x f ①当0≥a 时,恒有0)(>'x f ,则)(x f 在),0(+∞上是增函数;②当0<a 时,当a x 210-<<时,0)(>'x f ,则)(x f 在)21,0(a-上是增函数; 当a x 21->时,0)(<'x f ,则)(x f 在),21(+∞-a上是减函数 综上,当0≥a 时,)(x f 在),0(+∞上是增函数;当0<a 时,)(x f 在)21,0(a-上是增函数,)(x f 在),21(+∞-a上是减函数 (Ⅱ)由题意知对任意2,4--∈a 及[]3,1∈x 时,恒有()2a x f ma >-成立,等价于()max 2x f a ma >-因为()2,4--∈a ,所以1212142<<-<a 由(Ⅰ)知:当()2,4--∈a 时,)(x f 在[]3,1上是减函数 所以a f x f 2)1()(max ==所以a a ma 22>-,即2+<a m因为()2,4--∈a ,所以022<+<-a 所以实数m 的取值范围为2-≤m42．（【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））设函数221()21(0).2f x x axa nx a(1)当a=l 时,求曲线()y f x 在点(1(1))f 处的切线方程;(2)若2()f x a 对(0,)x恒成立,求实数a 的取笸范围.【答案】43．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.(I)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围;(II)当 1x ≥时,不等式()1tf x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)由题意()1ln xk f x x+==,0x >所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<.所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭(0m >)上存在极值, 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩得213m <<, 即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，(Ⅱ)由()1tf x x ≥+得()()11ln x x t x ++≤令()()()11ln x x g x x ++=则()2ln x xg x x -'=令()ln h x x x =- 则()111=x h x x x-'=-因为1,x ≥所以()0h x '≥,故()h x 在[)1+∞，上单调递增, 所以()()110h x h ≥=>,从而()0g x '>,()g x 在[)1+∞，上单调递增,()()12g x g ≥=所以实数t 的取值范围是(],2-∞44．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试 数学（文）试题）已知函数),1()1ln()1(2)1(2)(2+∞∈--+-+=x x a x a x x f .(1)23=x 是函数的一个极值点,求a 的值;(2)求函数)(x f 的单调区间; (3)当2=a 时,函数）0(,)(2>--=b b x x g ,若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈1,11,21e e m m ,e e m f m g 22|)()(|212+<-都成立,求b 的取值范围.【答案】解:(1)函数)1(1)1(2)1(2)(2--+-+=x n a x a x x f1)1(2)1(22)(--+-+='x a a x x f , 23=x 是函数的一个极值点0)23(='∴f解得:23=a(2)1)(21)1(2)1(22--=--+-+='x a x x x a a x f ），的定义域是（又∞+1)(x f ），）的单调增区间为（（时，函数当∞+≤∴11x f a 为增区间）为减区间，（，时，（当),11+∞〉a a a(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.3)1(,11)11(,0)2(22-=++=+=e e f e e f f]3,0[]1,11[)(2-++=∴e e ex f y 的值域在为减函数在]1,11[)(2++--=e e b x x g])11(,1[]1,11[)(22b eb e e e x g y -+--+-++=∴）（的值域为在b>0成立，只要所以e e m g m f b e b e 22)()(0)1(,0)11(22122+〈-〈-+-〈-+-∴成立即可e e b e e b e e b e e 22222)1(3))1(3222222+〈+-+=+++-=-+---解得:0<b<245．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学）设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-,其中0a ≠.( I )若函数()y g x =图象恒过定点P,且点P 在()y f x =的图象上,求m 的值; (Ⅱ)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性;(Ⅲ)在(I)的条件下,设(),1()(),1f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q,使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由.【答案】解:(Ⅰ)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0),P则1(1)(4)0, 3.3f m m m =++=∴=-(Ⅱ)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞, 8()2(82)F x mx m x'=+++=22(82)8mx m x x +++ =(28)(1).mx x x++0x >,则10,x +>∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>>此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,当0m <时,由()0F x '>得40,x m<<-由()0F x '<得4x m >-,此时()F x 在4(0,)m-上为增函数,在4(,)m-+∞为减函数,综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数,0m <时,在4(0,)m -上为增函数,在4(,)m-+∞为减函数,(Ⅲ)由条件(Ⅰ)知32,1,()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨>⎩假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧 设(,())(0)P t G t t >,则32(,),Q t t t -+POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形, 2320,()()0.OP OQ t G t t t ∴⋅=∴-++=①(1)当01t <≤时,32(),G t t t =-+此时方程①为23232()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=.此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在(2)当1t >时,()ln G t a t =,方程①为232ln ()0,t a t t t -+⋅+= 即1(1)ln ,t t a=+ 设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,h t t t'=++显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数, ()h t ∴的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞, 10,0.a a∴>∴> 综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >46．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）已知函数21()122f x nx ax x =--(1)若函数()f x 在x=2处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域内单调递增,求a 的取值范围;(3)若12a =-时,关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.【答案】47．（【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试（数学文）解析）已知函数()()21a x f x x-=,其中0a >.(I)求函数()f x 的单调区间;(II)若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线,求实数a 的值;(III)设()()2ln g x x x x f x =-,求()g x 在区间[]1,e 上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)【答案】48．（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）设函数()ln f x x ax =-.(Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若1,()(()1),(1)2a g x x f x x ==+＞,且()g x 在区间(,1)k k +内存在极值,求整数k 的值.【答案】解:(Ⅰ)由已知110,()axx f x a x x-'=-=＞. 当0a ≤时,()0,f x '＞函数()f x 在(0,)+∞内单调递增;当0a ＞时,由()0,f x '＞得10,ax -＞∴10x a＜＜;由()0,f x '＜得10,ax -＜∴1x a＞.∴()f x 在1(0,)a 内单调递增,在1(,)a+∞内单调递减.(Ⅱ)当12a =时,211()(()1)(ln 1)ln (1)22g x x f x x x x x x x x x =+=-+=+-＞ ∴()ln 2(1),g x x x x '=-+＞ 令()()ln 2(1)F x g x x x x '==-+＞,则1()10,F x x'=-＜∴()F x 在(1,)+∞内单调递减.∵(1)10,(2)ln 20,F F ==＞＞(3)(3)ln 332ln 310,F g '==-+=-＞ (4)(4)ln 442ln 420.F g '==-+=-＜∴()F x 即()g x '在(3,4)内有零点,即()g x '在(3,4)内存在极值. 又∵()g x 在(,1)k k +上存在极值,且k ∈z ,∴k =3.。
山东2013—2014学年度第一学期期末自主练习高三数学文含答案详解.docx
2013 年 12 月高三文科参考答案与评分标准一、 (每小 5 分)DADDCBCDDBBC二、填空 （每小4 分）13.(0,1)14.9 2 15. 516.③④4三、解答17. 解：（ 1）∵ OP OQ1 ，∴ sin 22cos 21⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴1cos 2 (1 cos2 ) 1，2∴ cos2 1 .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分31 cos22∴ P(1,4) （ 2）由（ 1）得： cos2，2 33sin21 cos 21 ， ∴ Q(1, 1)⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分233∴ |OP|(1)2 ( 4 )2 5 ，|OQ|( 1 )2 ( 1)2 10 ， ⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分33 33∴ sin4 3， cos，55sin3 10， cos10⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分10，10sin() sin coscossin10⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分1018. 解 ： (1) 明： ∵ AB ∥ DC ，且 AB 平面 PCD ，CD? 平面 PCD.∴ AB ∥平面 PCD .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(2) 明： 在直角梯形 ABCD 中， C 作 CE ⊥AB 于点 E ， 四 形 ADCE 矩形 ∴AE ＝DC ＝ 1，又 AB ＝2，∴ BE ＝ 1，在 Rt △ BEC 中，∠ ABC ＝ 45°，∴CE ＝BE ＝ 1， CB ＝ 2，∴ AD ＝CE ＝ 1， AC ＝ AD 2＋ DC 2＝2，∴AC 2＋BC 2＝ AB 2，∴ BC ⊥ AC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分又∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥ BC ， PA ∩ AC ＝ A ，∴ BC ⊥平面 PAC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分19. （ 1）由 意可得： na nS n n(n 1) ，∴ n( S n n S n 1 ) S n n(n 1),( n N ,n 2)⋯⋯⋯⋯ 3 分即： ( n1)S n nS n 1 n(nS n Sn 11 ，1),n 1n所以数列S n 等差数列；⋯⋯⋯⋯ 6 分n（2）由（ 1）得：S n1 (n 1) 1n, S n n 2 ，na n S n S n 1n 2 ( n 1)2 2n 1 ， (nN , n2)⋯⋯⋯9分1(2 n11) 1 ( 11) a nan 11)(2n 2 2n 1 2n1T n1(1 11 11 1 ) n ，⋯⋯⋯⋯ 12 分23 3 52n 1 2n 1 2n 120. 解：（ 1）由 意知，y (420 ) P (10 2P) x ，2P将P 3代入化 得：x 1 y 16 4x ，（ 0 x a ），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x 1（ 2） y164 x 17 (4 x 1) 17 24( x 1) 13 ，x 11 xx1当且 当4 x 1,即 x 1 ，上式取等号 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分1x 当 a 1 ,促 用投入 1 万元 ，厂家的利 最大;当 a1 , y 17( 4 x 1) 在 0, a 上 增 ,所以在 xa ,函数有最大 ．促x 1用投入 a 万元 ，厂家的利 最大 .上述 , 当 a 1促 用投入1 万元 ，厂家的利 最大;,当 a1 ,促 用投入 a 万元 ，厂家的利 最大.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21. 解 : （ 1）∵ fx 是二次函数，不等式 f x0 的解集是0,5 ，∴可 fxax x 5 ， a0 .∴ f / ( x)2ax 5a .⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∵函数 f x 在点 1, f 1 的切 与直 6xy10 平行，∴ f / 1 6 .∴ 2a 5a6，解得 a2 .∴ fx2x x 52x 210x .⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）解：由（ 1）知，方程f x370 等价于方程 2x 3 10x 237 0 ⋯ 6 分xh x2x 310x 237 ，h /x6 x 220 x2x 3x10 .⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分当x 10 ，/x0 ，函数 hx, 10 上 减；0, 3h在 0 3当 x10 , ， h / x0 ，函数 hx 在 10 ,上 增 . ⋯ 9分33∵ h 31 0, h10 1 0, h 450 ，327∴方程 h x0在区 3,10，10,4 内分 有唯一 数根，在区0, 3 ,334,内没有 数根 .⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分∴存在唯一的自然数t3，使得方程 fx37 0 在区 t, t1 内有且只x有两个不等的 数根 .⋯⋯⋯⋯⋯ 13分22. 解 :（ 1）由已知，可得 c2 ， a3b ，∵ a 2 b 2c 2 ，∴ a3 ， b 1，∴ x 2y 21 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分3（ 2）当 k 0 ，直 和 有两交点只需 1m 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 k0 ， 弦 MN的中点 P( x p , y p ), x M 、 x N 分 点 M 、 N 的横坐 ，由ykx m2222x y2，得 (3k1)x6mkx 3(m1) 0 ,13由于直 与 有两个不同的交点，所以0 ，即 m 2 3k 2 1①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分x Mx N3mk从而 y pkx p mmkAPy p 1m3k 2 1x p23k 211 x p3mk3k 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分又AMAN,AP MN ,则m3k 2 1 1 即2m 3k21 ②，⋯10分3mkk将②代入①得 2mm 2 ，解得 0 m 2 ， 由②得 k 22m 1 0, 解得 m 1 ，32故所求的 m 取 范 是 (1,2) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分2当 k 0时， m 的取值范围是（1 ，2），2当 k 0时， m 的取值范围是（－ 11，） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。
济南市2013-2014学年高三上学期期末考试数学(文)试题(含答案解析)
2014年1月高三教学质量调研考试数学（文科）试题答案一、选择题：1.D2.B3.B4.D5.B6.A7.A8.C9.B 10. A 11.C 12.D二、填空题： 13. 67 14. 0.3 15. 312 16. ①④ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由102)4cos(=-A π得102)cos (sin 22=+A A 所以51cos sin =+A A ……………………………………3分 又1cos sin 22=+A A 解得54sin =A …………………………………………6分 （Ⅱ）12sin 21==A bc S ，又6=b ，解得5=c ，……………………8分 由51cos sin =+A A ，54sin =A 得3cos 5A =-……………………9分 ∴22232cos 3625265(975a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=……………………11分∴a =.………………………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有)5,4(),3,4(),2,4)(1,4(),5,3(),4,3(),2,3(),1,3(),5,2(),4,2(),3,2(,),1,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1()4,5(),3,5(),2,5(),1,5(共20个………………………………………2分设事件=A “甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”则事件A 包含的基本事件有共8个………4分 )3,5(),1,5(),2,4(),5,3(),1,3(),4,2(),5,1(),3,1(所以82()205P A ==.…………………………………………6分 （Ⅱ）剩下的三边长包含的基本事件为：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个； ……………………………………………………8分设事件=B “剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“则事件B 包含的基本事件有：共3个……………………10分)5,4,3(),5,4,2(),4,3,2(所以3()10P B =.……………………12分 备注:第二问也可看做20个基本事件，重复一倍。
山东省2014届高三文科数学备考之2013届名校解析试题分类汇编10：概率-Word版含答案
山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编10:概率一、选择题1•（【解析】山东省潍坊市2013 届高三上学期期末考试数学文（a ））已知集合21 xA x|2xx 3 0,Bx| y 1g,在区间 3,3上任取一实数 x ,贝x A B ”的概率x 3为(A) 1(B) 1 (C) 1 (D) 148 312【答案】C 【解析】Ax|2x 2 x 3 0 {x 1 x -},1 x 1 xB x|y 1g ——{x —— 0} {x （1 x ）（x 3） 0} {x | 3 x 1}, 所 以x 3 | x 3AI B {x |1 x 1},因为x A B ,所以1 x 1 .根据几何概型可知x A B 的概率为 1 （ 1） 21,选 C.3 （ 3） 6 32 •（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题） 从1,2,3,4,5中随机选取一为5 2 3,选C.5 05二、填空题使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a b c 的值为个数为a 从2,3,4中随机选取一个数 b,则b a 的概率是 A. 4B.3C.2D. 1【答案】C 从两个集合中各选1 个数有 15 种,满足 b a 的数有，(1,2),(1,3),(2,3),(1, 4),(2, 4),(3, 4)共有6个，所以b a 的概率是62,选C.15 5设p 在0,5上随机地取值,则关于x 的方程x 2 px 10有实数根的概率为A1 r 234 A.B.C. 一D.55 55【答案】C方程有实根 ,则p 2 4 0,解得 p2（舍去）.所以由几何概型可知所求的概率4 •（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）在如图的表格中，每格填上一个数字后3 •（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）1 1 32【答案】 2b11,所以2■ P¥a【解析】由题意知 2a•（【解析】 a=(1,-2),b=( 2.第三列和第五列的公比都为- m2,所以33 8,所5 3 16 16 山东省临沂市 5 —c 1616 ,所以IdaJ 321品1 —J ■心* 1 —L 4m 屮* 4匚亠*2013届高三3月教学质量检测考试（一模）x ,y ),若 x , y € [1,4],则满足 a b 0的概率为 数学 （文）试题）已知向量因为a b 0 ,所以x 2y °,又14.做出4域如图J1 {yT1 *■ 1 ■DrjiLk I-1 1J1 12 3【答案】 1 时，x 2,y2,即 B(2,0).当 x 4 时，yD(4,2),所以 BC 2,CD 1,即三角形 1BCD 的面积为1 2 1.所以由几何概型可知满足4 c 2 ,即2r ra b 0的概率为13 3三、解答题6 •（山东省淄博市 2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）某校从高一年级学生中随机抽取50名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六 段：40,50 , 50,60 ,, 90,100 ,得到如图所示的频率分布直方图(I)若该校高一年级共有学生 1000人，试估计成绩不低于 (II)为了帮助学生提高数学成绩，学校决定在随机抽取的 50名学生中成立“二帮一”小组90,100中选两位同学，共同帮助40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率 【答案】解：(I )根据频率分布直方图， 成绩不低于60分的频率为110 (0.004 0.010) 0.86由于该校高一年级共有学生 1000人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数为1000 0.86 860人(n )成绩在 40,50分数段内的人数为 50 0.04 2人 成绩在90,100分数段内的人数为50 0.15人，［40,50)内有2人，记为甲、A ［90,100)内有5人，记为乙、B C D E .则“二帮一”小组有以下 20种分组办法：甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E ,甲BC 甲 BD 甲 B E ,甲 CD 甲 C E ,甲 DE A 乙 BA 乙 CA 乙 D A 乙 E,ABCABDABE ACD ACE ADE其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种办法：甲乙B,甲乙C,甲乙D 甲乙E4 1 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P 4' 2057 .(【解析】山东省济宁市 2013届高三第一次模拟考试文科数学)某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了 40名学生的政治成绩，这40名学生的成绩全部在 40分至100分之间，据此绘制了如图所示的 样本频率分布直方图.(I)求成绩在［80,90)的学生人数；(n )从成绩大于等于 80分的学生中随机选 2名学生，求至少有I 名学生成绩在［90,100］的概率.60分的人数;,即从成绩0.032 0.024 0X20 0.Q1Q 0.W4【答案】解：(I)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间［80,90)的频率为1 (0.005 2 0.015 0.020 0.045) 10 0.1,所以,40名学生中成绩在区间［80,90)的学生人数为40 0.1 4(人)(n)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成绩在区间［90,100］内”，由已知和(I)的结果可知成绩在区间［80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为a, b, c,d ,成绩在区间［90,100］内的学生有2人，记这两个人分别为e, f则选取学生的所有可能结果为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a, f ),(b,c),(b,d),(b,e),(b, f), (c,d),(c,e),(c, f), (d,e),(d,f),(e, f)基本事件数为15,事件“至少一人成绩在区间［90,100］之间”的可能结果为所以P(A) 9 158 .(【解析】山东省济南市2013中去图书馆A学习的次数和乙组届高三3月高考模拟文科数学)4名同学寒假假期中去图书馆MSF茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期B学习的次数.乙组记录中有一个数据模【答案】解：(I)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间［80,90)的频率为(a,e),(a, f),(b,e),(b, f), (c,e),(c, f ),(d,e),(d, f ),(e, f),基本事件数为9,由 0.04 0.08 0.2 (m 170) 0.040.5得 m 174.5糊，无法确认，在图中以X 表示.甲组乙组JL 9x 89「2112第18题图(1)如果x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差 ；⑵ 如果x =9,从学习次数大于 8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学 习的次数和大于 20的概率.【答案】解(1)当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是78,9,12, 所以平均数为7 8 9 12 °x ——49；方差为 s 21[(7 9)2(8 9)2(9 9)2(12 9)2]7.42⑵ 记甲组3名同学为A,A 2,A 3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组4名同学为B,B 2,B 3,B 4,他们去 图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们 是：AA 2,A 1A 3,A 1B1 ,A 1B 3,A 1B 4,A 2A s ,A 2Bl ,A 2B 3,A 2B 4,A 3B 1 ,A 3B 3,A 3B 4, B 1 B 3,B 1 B 4,B 3B 4用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件，则C 中的结果有5个,它们是:A1b,A 2B 4,A 2B 3,A2B,A 3B 4,51 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为P(C) 51 . 15 3研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示(n )为了调查研修效果，现从三个批次中按1: 60的比例抽取教师进行问卷调查 ，三个批次被选取的人数分 别是多少？(川)若从(n )中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈 ，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率.【答案】 解：（I ） x 360 0.15 54, y 360 0.1 36z 360 86 54 36 94 66 24(n )由题意知，三个批次的人数分别是180,120,60 ,所以被选取的人数分别为 3,2,1 （川）第一批次选取的三个教师设为 A 1,A 2,A 3,第二批次的教师为 B,B 2,第三批次的教师设为 C ,则从这69 .(山东省威海市 2013届高三上学期期末考试文科数学)某普通高中共有教师 360 人,分为三个批次参加全体教师中随机抽取1名,抽到第二、三批次中女教师 分别是0.15、0.1.x, y,z 的值;已知在的概率 (I)求名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为A1A2, A1A3, A1B1, A1B2, AC , A2A3, A2B1, A2B2, A2C, A3B1, A3B2, A3C, B1B2, B1C, B2C }共15 个“来自两个批次”的事件包括1 A B1, AB2 ‘ AC , A2B1, A2B2,A2C ,A3 B1,A3 B2 ,A3C, B1C , B2C ｝共11个'所以“来自两个批次”的概率p —1510.（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155, 160）,第二组［160, 165）,,第八组［190, 195］,右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（I）求第七组的频率；（n ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（川）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x, y ,事件E {|x y| 5},事件F {|x y| 15},求P（EUF）.【答案】（I）第六组的频率为0.08 ,所以第七组的频率为501 0.08 5 （0.0082 0.016 0.04 2 0.06）0.06 ;（n）身高在第一组［155,160）的频率为0.008 5 0.04,身高在第二组［160,165）的频率为0.016 5 0.08,身高在第三组［165,170）的频率为0.04 5 0.2,身高在第四组［170,175）的频率为0.04 5 0.2,由于0.04 0.08 0.2 0.32 0.5, 0.04 0.08 0.2 0.2 0.52 0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m,则170 m 175所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06 0.08 0.008 5 0.18,所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18 800 144人（川）第六组［180,185）的人数为4人，设为a,b,c, d ,第八组［190,195］的人数为2人，设为A, B ,则有ab, ac, ad,bc, bd, cd, aA,bA,cA,dA, aB,bB, cB, dB, AB 共15 种情况,因事件E { |x y 5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab, ac, ad, bc, bd,cd, AB 共7 种情况,故p（E）—15由于|x y|max 195 180 15,所以事件F {|x y 15}是不可能事件，P（F） 0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P（EU F） P（E） P（F）71511.（【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））（本小题满分12分）为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理得到的频率分布直方图如下图•若图中第一组（成绩为［40,50））对应矩形高是第六组（成绩为［90,100］）对应矩形高的一半.（1）试求第一组、第六组分别有学生多少人？（2）若从第一组中选出一名学生，从第六组中选出2名学生，共3名学生召开座谈会,求第一组中学生A和第六组中学生B1同时被选中的概率【答案】由0.04 0.08 0.2 (m 170) 0.04 0.5得m 174.512.(【解析】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(文)试题) 有编号为A,A2,A3,,A 6的6位同学,其中成绩在13秒内的同学记为优秀.(1) 从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2) 从成绩优秀的同学中，随机抽取2名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率.【答案】13.【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学) 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13,14),第二组14,15),,第五组17,18 ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1) 若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数12.(【解析】山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(文)试题) 有编号为A,A2,A3,,A 6的6位同学, (2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.频率/组距【答案】解:⑴由频率分布直方图知,成绩在［14,16）内的人数为：50 0.28 50 0.36 32（人）所以该班成绩良好的人数为32人⑵由频率分布直方图知，成绩在［13,14）的人数为50 0.04 2 人,设为x、y ;成绩在［17,18）的人数为50 0.08 4人,设为A、B、C、D若m,n ［13,14）时,有xy 1种情况;若m,n ［17,18）时，有AB,AC, AD, BC,BD,CD 6种情况；若m,n分别在［13,14）和［17,18）内时,共有8种情况所以基本事件总数为15种,事件“|m n| 1 ”所包含的基本事件个数有8种.8P （| m n | 1）1514.（【解析】山东省烟台市2013届高三5月适应性练习（一）文科数学）有一个不透明的袋子，装有3个完全相同的小球，球上分别编有数字1,2,3.（1）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；（2）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为2 2 1b,求直线ax+by+1=0与圆x + y = -有公共点的概率.9 【答案】15.（【解析】山东省临沂市2013届高三5月高考模拟文科数学）某高校组织的自主招生考试,共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组［60,70）,第2组［70,80）,第3组［80,90）,第4组［90,100］.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.（I ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；（n）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时,要求每人回答两个问题,假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为；2若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.第20题图【答案】 解:(I )设第i(i 1,2,3,4)组的频率为f 「则由频率分布直方图知50 f 4 1 (0.014 0.03 0.036) 10 0.2所以成绩在85分以上的同学的概率 P - f 3 +f 40.036 100.2 0.38,2 2故这1000名同学中，取得面试资格的约有 1Q0Q X 0.38=380人. (n )设答对记为1,打错记为0,则所有可能的情况有： 甲 00乙00, 甲 00乙 10, 甲00乙01 , 甲00乙11 ,甲 10乙00,甲 10乙 10, 甲 10乙01,甲 10乙 11, 甲 01乙 00, 甲 01乙 10, 甲 01乙01 , 甲 01乙 11, 甲 11乙 00, 甲 11乙 10,甲11乙01,甲11乙11,共16个 甲答对题的个数不少于乙的情况有 ：甲 00 乙 00, 甲 10 乙 00, 甲 10 乙 10, 甲 10 乙 01 , 甲 01 乙 00, 甲 01 乙 10, 甲 01 乙 01, 甲11乙00,甲11乙01,甲11乙10,甲11乙11 ,共11个16.(【解析】山东省潍坊市 2013届高三第二次模拟考试文科数学)时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习(I)求a 、b 的值并估计本社区［25,55］岁的人群中“光盘族”人数所占的比例 ；(n )从年龄段在［35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自［35,40)与［40,45)两个年龄段的概率•故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为11 16若人们具有较强的节约意识，到饭店就餐【答案】 解：(1)第一组的人数为50,第一组的频率为0.05,所以n0.051000 人520所以光盘族占比为52%100017.(【解析】山东省德州市 2013届高三3月模拟检测文科数学)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的 统计表和频率颁直方图如下 ：(1求出表中M,p 及图中a 的值；(2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间［25,30］内的概率.【答案】分组1频举[1035)'10 D. 25 [15.20)24L_ . JCp J[25,30]20.05 件计i118.(【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学) 某日用品按行业质量标准分成五个等级1,234,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率等级系数X依次为分布表如下：X12345(1)若所抽取的20件频率a0.20.45b c日用品中等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值；⑵在⑴的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x i,X2,X3,等级系数为5的2件日用品记为y i,y 2,现从x i,X2,X3,y(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果，并求i,y2这5件日用品中任取两件这两件日用品的等级系数恰好相等的概率•【答案】解答:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.353因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3 件,所以b= 3 =0.15202等级系数为5的恰有2 件,所以c= 2 =0.120从而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1⑵从日用品X1 , X2 , X3 , ¥，丫2中任取两件，所有可能结果(X1,X2),( X1, X3),( X1,Y.),( X1,YJ,( X2, X3),( X2,Y1),( X2,YJ,( X3,Y I),( X3, Y^),(丫2)共10 种,¥，设事件A表示“从日用品X1, X2, X3, Y|, 丫2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(X1，X2),( X1, X3),( X1, X2),( 丫，篦)共4 个,4故所求的概率P(A)= —=0.41019.(山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学文) 某学校组织500名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第 1 组［155,160),第 2 组［160,165), 第 3 组［165,170),第 4 组［170,175), 第 5 组［175,180］,得到的频率分布直方图如图所示•(1)下表是身高的频数分布表，求正整数m,n的值；区间i[155J60)165)[H55, 170)[ITO, 175)[I75r 1801人数5050tn15C(2) 现在要从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，第1,2,3组应抽取的人数分别是多少(3) 在⑵ 的前提下，从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在第3组的概率.20.(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(文)试题)有六张纸牌，上面分别写有1,2,3,4,5,6六个数字，甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数•如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜•(1) 求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；(2) 这种游戏规则公平吗？说明理由.【答案】解：(1)设"甲胜且点数的和为6”为事件A,甲的点数为x,乙的点数为y,则(x,y)表示一个基本事件两人取牌结果包括(1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,1),(6,6) 共36 个基本事件；A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3)(4,2),(5,1) 共5 个，5所以P( A)-36所以，编号之和为6且甲胜的概率为-536⑵这种游戏公平•设“甲胜”为事件B, “乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶数所包含基本事件为以下18个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3)(5,5) ,(6,2),(6,4),(6,6)181 181所以甲胜的概率为P(B) ——;乙胜的概率为P ( C) ——36 2 36 2P(B) P(C)这种游戏规则是公平的•21. (【解析】山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试数学(文)试题) 甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间•因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(I)甲、乙选择同一所院校的概率；(n)院校A、B至少有一所被选择的概率【答案】22.(【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文( a)) M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试,录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分),公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作;180分以下者到“乙部门”工作.(I) 求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；(II) 如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？4 3■W 【答案】23.(【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学) 为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人.(I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(n )若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的慨率• 【答案】解：(I )家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为-6- ,故从108 18三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2人(n)设A1, A2, A为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，G,C2为从高三抽得的2个家长.则抽取的全部结果有：(AA),(人，人),(A,B),(AQ),( A,C2),(A2, A3 ),(A2，B )，(A2，C1),(A2，C2),( A3,B1 ),(A3，C1 )，(A,C2),( B1,C1),( B1,C2),( C1,C2)共15 种,令X “ 至少有一人是高三学生家长”，结果有(A1,G),( Ai ,C2),( A2, C1),( A2, C2),( A B,C1 ),( A3, C2),( B1Q), B1 ,C2),( C1, C2)共9 种所以这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是P(X) -9- -3.15 5。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B) 3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．解答：解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2）C．[1，2）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．点评：本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分析可知，，解出x即可．解答：解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．点评：本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．s inx＞sinyC．l n（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•山东）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．8．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12 D．18考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；解答：解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．9．（5分）（2014•山东）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．10．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）（2014•山东）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解答：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．解答：解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．点评：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14．（5分）（2014•山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．（5分）（2014•山东）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．解答：解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）（2014•山东）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．17．（12分）（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．（12分）（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19．（12分）（2014•山东）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4kT n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣．故T n=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．解答：解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根均大于零，计算得当＜x＜时，g（x）＞0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上单调递增，在（0，），（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．点评：导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．21．（14分）（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。
山东2013—2014学年度第一学期期末自主练习 高三数学文含答案详解
2013年12月高三文科参考答案与评分标准一、选择题(每小题5分)D A D D C B C D D B B C二、填空题（每小题4分）13. (0,1) 14.15. 5 16.③④ 三、解答题 17. 解：（1）∵ 1OP OQ ⋅=- ， ∴ 22sin 2cos 1θθ-=- ……………2分∴ 1cos 2(1cos 2)12θθ--+=-， ∴ 1cos 23θ=. ……………5分 （2）由（1）得：21cos 22cos 23θθ+==， ∴ 4(1,)3P 21cos 21sin 23θθ-==， ∴ 1(,1)3Q - ……………7分∴ 5||3OP ==，||3OQ ==， ……………9分 ∴ 4sin 5α=，3cos 5α=，sin 10β=-，cos 10β=， ……………11分sin()sin cos cos sin 10αβαβαβ∴+=+=- ……………12分 18. 解 ：(1)证明： ∵AB ∥DC ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD .∴AB ∥平面PCD . ……………5分(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形 ∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠ABC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，∴AD ＝CE ＝1，则AC ＝AD 2＋DC 2＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ， …………………9分 又∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ………………12分19. （1）由题意可得：(1)n n na S n n =+-，∴1()(1),(,2)n n n n n S S S n n n N n *--=+-∈≥ …………3分 即：11(1)(1),11n n n n S S n S nS n n n n ----=-∴-=-，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列； …………6分 （2）由（1）得：21(1)1,n n S n n S n n=+-⨯=∴=， 221(1)21n n n a S S n n n -∴=-=--=-，(,2)n N n *∈≥ ………9分 111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++ ， …………12分 20. 解：（1）由题意知， 20(4)(102)y P P x P=+⨯-+-， 将123+-=x P 代入化简得： 4161y x x =--+，（0x a ≤≤）， ……………………6分 （2）441617(1)171311y x x x x =--=-++≤-=++， 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ……………………9分 当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当1a <时, )114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增,所以在x a =时,函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .综上述,当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当1a <时,促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………12分21. 解:（1）∵()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,， ∴可设()()5f x ax x =-，0a >.∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. ∴256a a -=-，解得2a =.∴()()225210f x x x x x =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370f x x +=等价于方程32210370x x -+=… 6分设()h x =3221037x x -+，则()()26202310h x x x x x /=-=-. …………… 7分 当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭， ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,, ()4,+∞内没有实数根. …………… 12分 ∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 13分22. 解:（1）由已知，可得2=c ，b a 3=，∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ， ∴1322=+y x . ……………………………………………………4分 （2）当0k =时，直线和椭圆有两交点只需11m -<<； ………………5分 当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M N 、的横坐标，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以0∴∆>，即2231m k <+ ① ……………………7分2221331231313p M N p p p AP p y x x mk m m k x y kx m k k k x mk++++==-=+===-++从而……………………9分又22311,,2313m k AM AN AP MN m k mk k++=∴⊥-=-=+则即 ②，…10分 将②代入①得22m m >，解得02m <<， 由②得22110,32m k m -=>>解得 ， 故所求的m 取值范围是1(,2)2. ……………………12分 1022011k m k m ∴≠=当时，的取值范围是（，），当时，的取值范围是（－，）.………………………………………13分。
2014年山东高考数学文科试卷及详细解析
2014年山东高考数学文科试卷解析一．选择题： （1） 【解析】由ia +bi-=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=-故答案选A （2）【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）【解析】01log 2>-x 故2>x 。
选D （4）【解析】答案选A ，解析略。
（5）【解析】由)10(<<<a a a y x 得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。
（6） 【解析】由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c <<答案选C （7）【解析】：()22333cos ,29233393a b m a b a b a b m m m m ⋅=+⋅==+⋅∴+=⋅+∴=r rr r r r r r答案：B （8）【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=答案：C （9）【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。
答案：D （10）【解析】：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
答案： B二．填空题：11【解析】：根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n 答案：3 12【解析】：233111sin 2cos sin 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴==. 答案：T π=13【解析】：设六棱锥的高为h ，斜高为h '，则由体积1122sin 6062332V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭得：1h =，()2232h h '=+=∴ 侧面积为126122h '⨯⨯⨯=.答案：12 14【解析】 设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a . 由勾股定理()22232a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-= 答案：()()22214x y -+-=15【解析】 由题意知222Pc a b =-=， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c ba b-=，得222c a=，∴渐近线方程为yx =±，2211b c a a∴=-=.答案：1 三．解答题 （16） 【解析】：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：::50:150:1001:3:2A B C ==所以各地区抽取商品数为：1:616A ⨯=，3:636B ⨯=，2:626C ⨯=；（Ⅱ）设各地区商品分别为：12312,,,,,A B B B C C时间空间Ω为：()()()()()()()123121213,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A C B B B B()()()()()()()()1112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,B C B C B B B C B C B C B C C C ，共15个.样本时间空间为：()()()()12132312,,,,,,,B B B B B B C C 所以这两件商品来自同一地区的概率为：()415P A = （17） 【解析】：（Ⅰ）由题意知：23sin 1cos 3A A =-=， 6sin sin sin cos cos sin cos 2223B A A A A πππ⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由正弦定理得：sin 32sin sin sin a b a Bb A B A⋅=⇒== （Ⅱ）由余弦定理得：2222126cos 43903,33,23b c a A c c c c bc +-==⇒-+=⇒== 又因为2B A π=+为钝角，所以b c >，即3c =，所以132sin .22ABCS ac B == （18）【解析】：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设AB=BC=1,则AD=2,//,BC AD BC AB = ∴四边形ABCE 为菱形AP OF PC AC F O //,,∴中点，分别为又BEF AP BEF OF 平面，平面//∴⊂ （Ⅱ）CD AP PCD CD PCD AP ⊥∴⊂⊥,平面，平面CD BE BCDE ED BC ED BC //,,//∴∴=为平行四边形， ,PA BE ⊥∴AC BE ABCE ⊥∴为菱形，又PAC AC PA A AC PA 平面、又⊂=⋂, ,PAC BE 平面⊥∴（19）【解析】： （Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=an n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212nn n n n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-=②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,2221222 (20)【解析】(1)0a =当时212(),()1(1)x f x f x x x -'==++ 221(1)(11)2f '==+ (1)0(1,0)f =∴又直线过点1122y x ∴=- (2) 22()(0)(1)af x x x x '=+>+ 220()0.()(1)a f x f x x '==+①当时，恒大于在定义域上单调递增. 2222(1)20()=0.()(1)(1)a a x x a f x f x x x x x ++'>=+>++②当时，在定义域上单调递增.2210(22)4840,.2a a a a a <∆=+-=+≤≤-③当时，即()f x 开口向下，在定义域上单调递减。
2014山东高考数学文科试卷逐题解析
2014-山东-高考数学（文）-试卷一.选择题1.已知a ，b R ∈，i 是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=（ ）A.34i -B.34i +C.43i -D.43i +【答案】A 【解析】先依据两复数相等的充要条件确定出a ，b 的值，再进行复数的平方运算.由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=-. 【知识点】复数相等的条件;复数的四则运算2.设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =（ ）A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)【答案】C 【解析】先将集合化简，再求交集.2{|20}{|(2)0}(02)A x x x x x x =-<=-<=，，{|14}[14]B x x =≤≤=，，[12)A B ∴=，. 【知识点】一元二次不等式;集合的基本运算3.函数()f x =的定义域为（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(2,)+∞D.[2,)+∞【答案】C 【解析】求函数的定义域时要保证函数解析式有意义.要使函数有意义，2log 100x x ->⎧⎨>⎩，，故2>x .【知识点】函数的定义域与值域;对数函数的概念、图像和性质;对数不等式4.用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A 【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也灭有，直接写出命题的否定. 方程30x ax b ++=至少有一个实根的反面是方程30x ax b ++=没有实根，故选A. 【知识点】命题及其关系;反证法5.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【答案】A 【解析】先依据指数函数的性质确定x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.,01x y a a a <<<Q ，x y ∴>.排除C ，D ，对于B ，sin x 是周期函数，排除B. 函数3=y x 在R 上是增函数，故选A.【知识点】基本初等函数的性质;不等式性质6.已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ） A.0,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<> D .01,01a c <<<<【答案】D 【解析】依据对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换求解.由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c << 【知识点】对数函数的概念、图像及其性质;函数的图像变换7.已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（ ）A.C.0D.【答案】B 【解析】依据向量数量积的定义和坐标运算列出关于m 的方程.3a b ⋅=r r Q ，又()||||cos ,2a b a b a b ⋅===r r r r r r3∴m ∴【知识点】平面向量的数量积;平面向量的坐标运算8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ） 的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组 共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.18【答案】C 【解析】一局频率分布直方图及频率公式求解.第一组与第二组频率之和为0.240.160.4+=，所以志愿者的总人数为200.450÷=，所以第三组人数为500.3618⨯=，有疗效的人数为18612-=.【知识点】用样本估计总体9.对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则 称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）A.()f x =B.3()f x x =C.()tan f x x =D.()cos(1)f x x =+【答案】D 【解析】在正确理解新定义的基础上对所给选项作出判断.由()(2)f x f a x =-知()f x 的图像关于x a =对称，且0a ≠，A ，C 中两函数图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有0x =，而D 中当1()a k k Z π=-∈时，x a =都是()cos(1)f x x =+的 图像的对称轴. 【知识点】函数新定义10.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A.5B.4D.2【答案】B 【解析】先正确作出可行域，运用平移直线法确定出关于a ，b 的不等式，再进一步求出22a b +的最小值.线性约束条件所表示的可行域如图所示.由10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，，解得21x y =⎧⎨=⎩，，所以z ax by =+在(21)A ，处取得最小值，故2a b +=222222)4)44a b a a +=+=-+≥. 【知识点】线性规划;函数的极值和最值二.填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 . 【答案】3 【解析】按照程序框图逐一进行.根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x ； 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x ；第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x ； 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n . 【知识点】算法的概念;基本算法语句12.函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】先将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再依据周期公式进行求解.23111sin 2cos 2cos 2sin 22262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期22T ππ==. 【知识点】三角恒等变换;三角函数的周期性13.一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积 为 . 【答案】12 【解析】利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥斜高，最后求侧面积. 设六棱锥的高为h ，斜高为h '，则由体积1122sin 60632V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭1h =，2h '==∴ 侧面积为126122h '⨯⨯⨯=.【知识点】空间几何体的表面积和体积14.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为C 的 标准方程为 . 【答案】22(2)(1)4x y -+-= 【解析】设出圆心坐标，由弦长公式求解.设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a .由弦长公式2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=【知识点】圆的方程;直线与圆的位置关系;弦长公式15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线 为 . 【答案】y x =± 【解析】依据题意得到关于a ，b 的等式，进而得出双曲线的渐近线方程. 抛物线的准线2p y =-，焦点(0)2p F ，，222()2p a c ∴+=. ① 设抛物线的准线2p y =-交双曲线于1()2p M x -，，2()2p N x -，两点，222221p y x y a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，，22c ∴=. ② 又222b c a =-，③ ∴由①②③，得222c a =. 222211b c a a∴=-=，解得1b a =.∴双曲线的渐近线方程为y x =±【知识点】双曲线的定义及其标准方程;双曲线的几何性质;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的几何性质三.解答题16.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（1）求这6件样品中来自A （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【答案】（1）A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2；（2）415【解析】（1）按照分层抽样中抽样比与每层抽出的数量成比例求解. 因为样本容量与总体中的个体数的比时615015010050=++，所以，样本中包含三个地区的个体数量分别是：111501,1503,1002505050⨯=⨯=⨯=. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. （2）列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解. 设6件来自A,B,C 三个地区的样品分别为12312;,,;,A B B B C C .则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：12312{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A C A C1213111223{,},{,},{,},{,},{,}B B B B B C B C B B ，2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C 共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现时等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同的地区”，则事件D 包含的基本事件由12132312{,},{,},{,},{,}B B B B B B C C 共4个.所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415. 【知识点】分层抽样;古典概型17.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 2a A B A π===+. （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）（2）2【解析】（1）先求出的sin A ，sin B 的值，再用正弦定理求解. 在ABC ∆中，由题意知sin A ==，又因为2B A π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理可得3sin sin a B b A ===. （2）先用三角函数的诱导公式、两角和公式求出sin C ，再代入三角形面积公式即可求得面积. 由2B A π=+得cos cos()sin 23B A A π=+=-=-. 由A B C π++=，得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=. 因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=. 【知识点】正弦定理;诱导公式;三角恒等变换;解三角形18.如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：AP BEF ∥平面； （2）求证：BE PAC ⊥平面. 【答案】见解析 【解析】证明（1）在平面中连接OF ，依据线面平行的判定定理只需证明//AP OF 即可. 设ACBE O =，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF BEF AP BEF ⊂⊄平面，平面 所以//AP BEF 平面.（2）依据线面垂直的判定定理，只需证明BE 垂直于平面PAC 内的两条相交直线即可.由题意知//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，因此//BE CD .又AP PCD ⊥平面，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥.因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥. 又APAC A =，且AP ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .【知识点】线面位置关系;线面平行的判定和性质;线面垂直的判定和性质19.在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .【答案】（1）2n a n =；（2）2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 【解析】（1）根据条件建立首项1a 的方程求解.由题意知2111(3)a d a a d +=+（），即21112(6)a a a +=+（），解得12a =.所以，数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）分n 为奇数和偶数进行讨论，求出数列{}n b 的前n 项和n T .由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+，所以122334...(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.因为12(1)n n b b n +-=+，可得， 当n 为偶数时，12141()()...()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+4812...2n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=. 当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-. 所以2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 【知识点】等差数列的概念和性质;等差数列的通项公式;等差数列的前n 项和公式;等比数列的概念和性质;等比数列的通项公式;等比数列的前n 项和公式;数列求和方法.20.设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）210x y --=；（2）见解析 【解析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程. 由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+. 此时22()(1)f x x '=+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=.（2）对()f x 的导函数中的字母参数进行分类讨论，确定出导函数的符号，从而得出函数()f x 的单调性.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++. 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ②当12a <-时，0,()0g x ∆<<， ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ③当102a -<<时，0∆>. 设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则12x x ==由11a x a +=-0a=>-，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，函数()f x 在)+∞上单调递减，在上单调递增. 【知识点】导数的概念与几何意义;导数计算;利用导数研究函数的单调性21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线y x =被椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（Ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （Ⅱ）求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）（Ⅰ）12λ=-；（Ⅱ）98 【解析】（1）由椭圆的离心率得出a ，c 的关系，结合y x =被椭圆C 截得的线段长确定a ，b 的值.由题意知2a =，可得224ab =.椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=.将y x =代入可得x ==2a =，因此1b =. 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）（Ⅰ）设出A ，B ，D 三点坐标，进而确定出直线BD ，AM 的斜率，代入表达式即可证明.设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-. 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠ 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mk x x k +=-+，因此121222()214m y y k x x m k +=++=+. 由题意知12x x ≠，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+. 所以，直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+. 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ，可得1212y k x =-，所以1212k k =-，即12λ=-. 因此，存在常数12λ=-使得结论成立. （Ⅱ）求出含参数的OMN ∆的面积的表达式，应用均值不等式求最小值. 直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -. 由（Ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=. 因为221111||||14x x y y ≤+=当且仅当11||||22x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以OMN ∆面积的最大值为98. 【知识点】椭圆的定义及标准方程;椭圆的几何性质;直线与圆锥曲线的位置关系;均值不等式。
山东省济南市2014届高三上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
2014年1月高三教学质量调研考试数学（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：1．棱锥的体积公式：h s V ⋅=31(S 为棱锥的底面面积,h 为棱锥的高) 2．样本数据n x x x ,,21的方差公式：222212)()()(nx x x x x x s n -⋅⋅⋅+-+-=（其中x 为样本平均数）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知复数iiz -+=131,则z 的实部为 A ．lB ．2C ． -2D ． -12．设全集R U =,集合}12|{<<-=x x M ,}30|{<<=x x N ,则)(M C N U 等于A ．}10|{<<x xB ．}31|{<≤x xC ．}02|{≤<-x xD ．}32|{≥-≤x x x 或3．为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,对应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则中型组中应抽取的城市数为A ．3B ．4C ．5D ．64．执行右面的程序框图．若输入n=7,则输出的值为A ．2B ．3C ．4D ．55．已知}{n a 为等差数列,且882=+a a ,56=a 则S l0的值为 A ．50B ．45C ．55D ．406．函数x e e y xxsin )(⋅-=-的图象大致是7．把函数)32sin(π+=x y 的图象向右平移6π个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A ．x y sin =B .x y 4sin =C ．)34sin(π-=x yD .)6sin(π-=x y 8．已知命题p :R ∈∀a ,且a >0,有21≥+aa ,命题q :R ∈∃x ,3cos sin =+x x ,则下列判断正确的是A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．)(q p ⌝∧是真命题D ．q p ∧)(⌝是真命题9．已知直线l 1：02)1(=-+-ay x a ,l 2：03)12(=+++y a ax ,若21l l ⊥,则a的值为A ．0或2B ．0或一2C ．2D ．-210．若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤,02,0,1y x y x y 则y x z 3-=的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线均与圆05622=+-+x y x C ： 相切,则该双曲线离心率等于A ．23 B ．26 C ．553 D ．55 12．设函数)(x f y =对任意的R ∈x 满足)()4(x f x f -=+,当]2,(-∞∈x 时,有x x f -=2)(-5．若函数)(x f 在区间))(1,(Z ∈+k k k 上有零点,则k 的值为A ．-3或7B ．-4或7C ．-4或6D ．-3或6第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分）13．已知两点)0,1(-A ,)3,1(B ,向量)2,12(-=k a ,若a AB //,则实数k 的值为 ．14．若a 1,a 2,…a 10这10个数据的样本平均数为x ,方差为0.33,则a 1,a 2,…a 10,x 这11个数据的方差为________．15．一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为36,则这个三棱柱的体积为________．16.给出下列命题①在△ABC 中,A >B 是sin A >sin B 的充要条件；②设m ,n 是两条直线,α,β是空间中两个平面．若βα⊂⊂n m ,,βα⊥⊥则n m ；③函数f (x )=x cos 是周期为2π的偶函数；④已知定点A (1,1),抛物线y 2 =4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上任意一点,则||||PF PA +的最小值为2；以上命题正确的是________（请把正确命题的序号都写上） 三、解答题（本大题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A ,B ,C 所对三边分别为a ,b ,c ,且102)4cos(=-πA ． (Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积S =12,b =6,求a 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．(Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率； (Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率．19．（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AD ⊥AB ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,N 为线段PB 的中点,G 在线段BM 上,且.2=GMBG(Ⅰ)求证：AB ⊥PD ； (Ⅱ)求证：GN //平面PCD ．20.（本小题满分12分）设正项数列{a n }为等比数列,它的前n 项和为S n ,a 1=1,且a 1+ S 2= a 3. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)已知}{nn a b是首项为1,公差为2的等差数列,求数列}{n b 的前n 项和T n ．21.（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36,长轴长为32.(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线21-=kx y 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在y 轴正半轴上是否存在一个定点M 满足MB MA ⊥,若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．22.（本小题满分14分） 已知函数x ax x x f 32131)(23-+-=,x x x g ln )(= (Ⅰ)当a =4时,求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)求函数g (x )在区间)0](1,[>+t t t 上的最小值；(Ⅲ)若存在)](,1[,2121x x e ex x =/∈,使方程)(2)(x g x f =＇成立,求实数a 的取值范围（其中e =2.71828…是自然对数的底数）2014年1月高三教学质量调研考试数学（文科）试题答案（阅卷）一、选择题：1.D2.B3.B4.D5.B6.A7.A8.C9.B 10. A 11.C 12.D 二、填空题： 13.6714. 0.3 15. 312 16. ①④ 三、解答题：GNMPCBA17. 解：（Ⅰ）由102)4cos(=-A π得102)cos (sin 22=+A A 所以51cos sin =+A A ……………………………………3分 又1cos sin 22=+A A解得54sin =A …………………………………………6分 （Ⅱ）12sin 21==A bc S ，又6=b ，解得5=c ，……………………8分由51cos sin =+A A ，54sin =A 得3cos 5A =-……………………9分∴22232cos 3625265()975a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=……………………11分∴a =………………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有)5,4(),3,4(),2,4)(1,4(),5,3(),4,3(),2,3(),1,3(),5,2(),4,2(),3,2(,),1,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1()4,5(),3,5(),2,5(),1,5(共20个………………………………………2分设事件=A “甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”则事件A 包含的基本事件有)3,5(),1,5(),2,4(),5,3(),1,3(),4,2(),5,1(),3,1(共8个………4分 所以82()205P A ==.…………………………………………6分 （Ⅱ）剩下的三边长包含的基本事件为：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10个；……………………………………………………8分设事件=B “剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“则事件B 包含的基本事件有：)5,4,3(),5,4,2(),4,3,2(共3个……………………10分 所以3()10P B =.……………………12分 备注:第二问也可看做20个基本事件，重复一倍。
山东省济宁市2014届高三上学期期末考试数学(文)答案解析
2013——2014学年度高三复习阶段性检测数学（文史类）试题2014.01本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}{}2340,log 1,A x R x x B x R x A B =∈+-≤=∈≥⋂=则A.[)2,4B.[]2,4C.()4,+∞D.[)4,+∞ 2.直线12,l l 平行的一个充分条件是A.12,l l 都平行于同一个平面B.12,l l 与同一个平面所成的角相等C.12l l 平行与所在的平面D.12,l l 都垂直于同一个平面3.若(),0ln ,0x e x g x g x x ⎧≤=⎨>⎩，则（g （12））= A.ln 2- B.1 C.12 D.24.已知实数2，a ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为5.等差数列{}n a 满足1234345661525=a a a a a a a a S +++=+++=，，则A.12B.30C.40D.256.已知不等式组51,0x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则目标函数2z y x =-的最大值是A.1B.1-C.5-D.47. 函数[]sin y x x ππ=-在，上的图象是8.M 是抛物线24y x =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，若直线FM 的倾斜角为60 ，则FM =A.2B.3C.4D.69.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A.83B.4C.2D.4310.已知()()()1f x x x x m =--，满足()()01f f ''=，则函数()f x 的图象在点()(),m f m 处的切线方程为A.2810x y +-=B.2810x y --=C.2810x y -+=D.2810x y ++= 11.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,2A πϕ><其中）的部分图象如图所示，为了得到函数()cos2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象A.向右平移6π个长度单位 B.向右平移12π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位 12.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()(),3f x f x f x f x -=--=，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是A.3B.5C.7D.9第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.已知向量()()1,1,2,,a b a b λλ==⊥且则的值为__▲__.14.以双曲线221916x y -=的左焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是__▲__. 15.已知()35cos ,sin 0051322ππαββαβ⎛⎫⎛⎫-==-∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且，，，，则sin α=_▲_. 16.观察下列等式： ()2331212+=+，()2333123123,++=++()2333312341234+++=+++，… … … … … …根据以上规律，3333333312345678+++++++=___▲___.（结果用具体数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等比数列{}13232423,2,n a a a a a a a +=+满足且是的等差中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若212l ,,n n n n n n b a og a S b b b S =+=++⋅⋅⋅+求.18.（本小题满分12分）已知函数()2cos 2cos ,f x x x x x R =-∈.（I ）求函数()f x 的最小正周期和最小值；（II ）ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知()1,sin 2sin c f C B A ===，求a,b 的值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，其中BC//AD ，90,3,BAD AD BC O ∠== 是AD 上一点.（I ）若AD=3OD ，求证：CD//平面PBO ；（II ）求证：平面PAB ⊥平面PCD.20.（本小题满分12分）如图，两个工厂A,B （视为两个点）相距2km ，现要在以A,B 为焦点，长轴长为4km 的椭圆上某一点P 处建一幢办公楼.据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 成反比，办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 也成反比，且比例系数都为1.办公楼受A ，B 两厂的“总噪音影响度”y 是受A,B 两厂“噪音影响度”的和，设AP=.xkm（I ）求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系式；（II ）当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？21.（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为2，且经过点A （0，1-）. （I ）求椭圆的方程；（II ）若过点30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆交于M,N 两点（M,N 点与A 点不重合），求证：以MN 为直径的圆恒过A 点；22.（本小题满分13分）已知函数()()(),ln ,a f x x g x f x x a R x=+=+∈. （I ）当a=2时，求函数()g x 的单调区间；（II ）当()()()()21002a h x g x x x b R b h x b==--∈≠时，记且，求在定义域内的极值点； （III ）[)()()12121221,1,ln ln x x x x f x f x x x ∀∈+∞<-<-且，都有成立，求实数a 的取值范围.。
山东省2014届高三文科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编4：平面向量 Word版含答案.pdf
山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编4：平面向量 一、选择题 ．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为B．C．D．【答案】B 由得,,即.由,得,即,所以,所以,所以向量与的夹角的余弦值为,所以,选B． ．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知向量（ ） A．—3B．—2C．lD．-l 【答案】A【解析】因为垂直,所以有,即,所以,解得,选A． ．（【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试（数学文）解析）已知O是所在平面内一点,D为BC边中点,且,则有B．C．D． 【答案】B解:由得,即,所以,即为的中点.选B． ．（【解析】山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知点,向量a=(1,2),若,则实数y的值为5B．6C．7D．8 【答案】C【解析】,因为,所以,即,选C． ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）如图,平行四边形ABCD中,,点M在AB边上,且等于（ ） A．B．C．D．1 【答案】D ,所以.选D． ．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）在△ABC中,G是△ABC的重心,AB．AC的边长分别为2、1,BAC=60o.则=（ ） A．B．C．D．- 【答案】A【解析】由,所以,将直角三角形放入直角坐标系中,,则,所以重心,所以,所以,选A． ．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）若均为单位向量,且,则的最小值为（ ） A．B．1C．D． 【答案】A,因为,且,所以,所以,所以,所以当时,最小为,所以,即的最小值为.选A． ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）已知,则（ ） A．B．C．D． 【答案】【答案】D因为,所以,所以,选D． ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学）如图,在边长为2的菱形ABCD中,,E为BC中点,则（ ） A．-3B．0C．-1D．1 【答案】C,所以,选C． ．（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）中,设,那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心B．内心C．外心D．重心 【答案】C【解析】假设BC的中点是O.则,即,所以,所以动点在线段的中垂线上,所以动点的轨迹必通过的外心,选C． ．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）如图,是圆的直径,是圆弧上的点,是直径上关于对称的两点,且,则（ ） A．13B．7C．5D．3 【答案】C连结AP,BP.则,所以. ．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知点O为△ABC内一点,且则△AOB．△AOC．△BOC的面积之比等于（ ） A．9:4:1B．1:4:9C．3:2:1D．1:2:3 【答案】C【解析】,延长到,使,延长到,使,连结,取的中点,则所以三点共线且为三角形的重心,则可以证明.在△AOB’中,B为OB‘边中点,所以,在△AOC’中,C为OC‘边近O端三等分点,所以.在△B'OC'中,连BC',B为OB‘边中点,所以,在△BOC'中,C为OC‘边近O端三等分点,所以,因为,所以△AOB: △AOC: △BOC面积之比为,选C． ．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）已知则向量的夹角为B．C．D． 【答案】B ,所以,所以,所以,选B． ．（【解析】山东省烟台市2013届高三5月适应性练习（一）文科数学）已知平面向量a=(-2,m),b=(1,),且,则实数m的值为（ ） A．B．C．D． 【答案】B【解析】因为,所以.即,解得,选B． ．（【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）若函数的图象与x轴交于点A,过点A的直线与函数的图象交于B．C两点,则（ ） A．-32B．-16C．16D．32 【答案】D 由,解得,即,过点A的直线与函数的图象交于B．C两点,根据对称性可知,是的中点,所以,所以,选D． 二、填空题 ．（【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）若,且,则=__________. 【答案】2解:因为,所以,即. ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=I,,,则______________. 【答案】因为,所以,又,所以,即,所以. ．（【解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文）已知向量满足,则的夹角为_________ 【答案】【解析】由得,即,所以,所以,即的夹角为. ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a））已知向量,则向量的夹角为______________. 【答案】【解析】因为,所以,所以,所以. ．（【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））若是平面内夹角为的两个单位向量,则向量的夹角为__________. 【答案】解:,,,,所以的夹角的余弦值为,所以.。
2014年全国高考山东省数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =I(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(3,)a b m ==r r . 若向量,a b r r 的夹角为6π，则实数m =(A)(B)(C) 0(D)(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
山东省2014届高三数学备考2013届名校解析试题精选分类汇编10排列、组合及二项式定理
（）
A．360
B． 60
C． 54
D． 18
【答案】 D
【 解析】 5 张电影票分 3 份 , 两张连续 , 则有 1-23-45;12-3-45;12-34-5 三种分发 , 然后发给三个人 ,
有 A33 6 种 , 所以不同的分法有 6 3 18 . [
14．（山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理） 和为 2, 则该展开式中常数项为
B． 20
C． -160
D． 160
【答案】C 因为 a 0 (cos x sin x)dx (sin x cos x) 0 2 , 所以二项式为 ( x2
所 以 展 开 式 的 通 项 公 式为 Tk 1
C
k 6
(
x
2
)
6
k(
2 )k
x
C
k 6
x12
3k(
2)k , 由 12
3k
a )6 ( x2 2)6 ,
则 a+b=
A．36
【答案】 D
二
项
B． 46 式
C． 34 的
D． 44
展
开
（）
式
为
1
C
1 4
(
3)1
C42( 3)2
C43 ( 3)3
( 3)4
1 4 3 18 12 3
9
28 16 3
,
所以
a 28,b 16 , a b 28 16 44 , 选 D ．
4 ．（山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学）二项式
x (
1 )8 的展开式中常数项是
（
）
2 3x
2014年山东省高考文科数学试卷及答案解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是(A) 33x y >(B) sin sin x y > (C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<>(D) 01,01a c <<<<(7)已知向量(3,)a b m == . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
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山东省2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（【解析】山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试文科数学）若两个非零向量a ,b满足||2||||a b a b a=-=+,则向量a b + 与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π【答案】B 由a b a b +=- 得,222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ,即0a b ⋅= .由2a b a += ,得22224a a b b a +⋅+= ,即223b a = ,所所以22()a b a a a b a +⋅=+⋅= ,所以向量a b + 与a 的夹角的余弦值为2()1cos 22a b a a a b a a a θ+⋅===+⋅⋅ ,所以3πθ=,选 B ．2 ．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知向量(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则（ ）A ．—3B ．—2C ．lD ．-l【答案】A 【解析】因为2a b c +与垂直,所以有2=0a b c + （）,即2=0a c b c + ,所以0++=,解得3k =-,选A ． 3 ．（【解析】山东省济宁市2013届高三1月份期末测试（数学文）解析）已知O 是ABC ∆所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,则有 （ ）A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =【答案】B 解:由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=,即22OB OC OD AO +== ,所以OD AO =,即O 为AD 的中点.选 B ． 4 ．（【解析】山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（文）试题）已知点(1,1),(2,)A B y -,向量a=(1,2),若//AB a uu u r r,则实数y 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【解析】(3,1)AB y =-,因为//AB a uu u r r ,所以1230y --⨯=,即7y =,选C ．5 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（文）试题）如图,平行四边形ABCD中,2,1,60AB AD A ==∠=,点M 在AB 边上,且13AM AB DM DB =⋅ ，则等于（ ）A ．BC ．1-D ．1 【答案】 D 1,3DM DA AM DA AB DB DA AB =+=+=+,所以2211444()()133333DM DB DA AB DA AB DA AB DA AB AD AB⋅=+⋅+=++⋅=+-⋅ 74741cos 6012133332AD AB =-⋅=-⨯⨯⨯= .选D ． 6 ．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试文科数学 ）在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,A B ．AC 的边长分别为2、1,∠BAC=60o.则AG BG= （ ）A ．89-B ．109- C D ．【答案】A 【解析】由2,1,60AB AC BAC ==∠= ,所以90BC ACB =∠=,将直角三角形放入直角坐标系中,,则(0,1),(A B ,所以重心1()3G ,所以21(),,)33AG BG =-= ,所以218(,),)339AG BG ⋅=-⋅=- ,选A ．7 ．（【解析】山东省德州市2013届高三3月模拟检测文科数学）若,,a b c均为单位向量,且0a b ⋅= ,则a b c +-的最小值为 （ ）A 1-B ．1C 1 D【答案】A 222222232()a b c a b c a b a c b c a b c +-=+++⋅-⋅-⋅=-+⋅,因为()cos ,cos ,a b c a b c a b c a b c +⋅=+<+<+>,所以23cos (),a b c a b c +-=-<+> ,所以当cos (),1a b c <+>= 时,2a b c +- 最小为2231)a b c +-=-= ,所以1a b + ,即a b c +- 的最小值1-.选A ．8 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试文科数学）已知(1,2),2(3,1)a a b =-=,则a b ⋅= （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】【答案】D 因为(1,2),2(3,1)a a b =-=,所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)b a =-=-=- ,所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯= ,选 D ．9 ．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试文科数学）如图,在边长为2的菱形ABCD中,60BAD ∠=,E 为BC 中点,则AE BD ⋅=（ ）A ．-3B ．0C ．-1D ．1【答案】C 12AE AB BE AB BC=+=+,所以11()22AE BD AB BC BD AB BD BC BD ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos120cos 60222212222AB BD BC BD =⋅+⋅=-⨯⨯+⨯⨯⨯=-,选C ． 10．（【解析】山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文科数学）ABC ∆中,设222AC AB AM BC --→--→--→--→-=⋅,那么动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心 【答案】C 【解析】假设BC的中点是O.则22()()22AC AB AC AB AC AB AO BC AM BC --→--→-=+-==,即()0AO AM BC MO BC -== ,所以MO BC ⊥,所以动点M 在线段BC 的中垂线上,所以动点M 的轨迹必通过ABC ∆的外心,选 C ．11．（【解析】山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（文）试题）如图,AB 是圆O 的直径,P 是圆弧 AB上的点,,M N 是直径AB 上关于O 对称的两点,且6,4AB MN ==,则PM PN ⋅=（ ）A ．13B ．7C ．5D ．3【答案】C 连结AP,BP.则,PM PA AM PN PB BN PB AM =+=+=-,所以2()()PM PN PA AM PB AM PA PB PA AM AM PB AM ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 221615PA AM AM PB AM AM AB AM =-⋅+⋅-=⋅-=⨯-= .12．（【解析】山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（文）试题）已知点O 为△ABC内一点,且230,OA OB OC ++=则△AO B ．△AOC ．△BOC 的面积之比等于（ ）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．3:2:1D ．1:2:3【答案】C 【解析】,延长OB 到'B ,使'2OB OB =,延长OC 到'C ,使'3OC OC =,连结''B C ,取''B C 的中点'A ,则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心,则可以证明''''=AOB AOC B OC S S S ∆∆∆=.在△AOB’中,B 为OB‘边中点,所以'12AOB AOB S S ∆∆=,在△AOC’中,C 为OC‘边近O 端三等分点,所以'13AOC AOC S S ∆∆=.在△B'OC'中,连BC',B 为OB‘边中点,所以'''12BOC B OC S S ∆∆=,在△BOC'中,C 为OC‘边近O 端三等分点,所以'''1136BOC BOC B OC S S S ∆∆∆==,因为''''=AOB AOC B OC S S S ∆∆∆=,所以△AOB: △AOC: △BOC 面积之比为111=3:2:1236：：,选 C ．13．（【解析】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（文）试题）已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】 B 2()2a b a a b a ⋅-=⋅-= ,所以3a b ⋅= ,所以31cos ,162a b a b a b ⋅<>===⨯,所以,3a b π<>= ,选B ． 14．（【解析】山东省烟台市2013届高三5月适应性练习（一）文科数学）已知平面向量且()a b b -⊥,则实数m 的值为（ ）A．-B．C．D．【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥,所以2()0a b b a b b -⋅=⋅-= .即240-+-=,解得m =,选 B ．15．（【解析】山东省济南市2013届高三3月高考模拟文科数学）若函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图象与x 轴交于点A,过点A 的直线l 与函数的图象交于 B ．C 两点,则=⋅+OA OC OB )( （ ） A ．-32B ．-16C ．16D ．32【答案】D 由()0f x =,解得4x =,即(4,0)A ,过点A 的直线l 与函数的图象交于B ．C两点二、填空题16．（【解析】山东省济南市2013届高三上学期期末考试文科数学）若()()1,2,,1a b x =-=,且a b ⊥,则x =__________.【答案】2解:因为a b ⊥ ,所以20a b x =-=,即2x =. 17．（【解析】山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试文科数学）如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若AB=I,3AC =,,60AB AC =,则OA= ______________.【答案】因为,60AB AC =,所以13cos 60322AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯= ,又1()2AO AB AC =+ ,所以222211()(2)44AO AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ,即2113(139)44AO =++= , 18．（【解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文）已知向量,a b满足()()26,1,2a b a b a b +⋅-=-==且,则a b 与的夹角为_________【答案】3π【解析】由()()26,a b a b +⋅-=- 得2226a a b b +-=- ,即22261861a b a b =-+-=-+-= ,所以11cos ,122a b a b a b<>===⨯,所以,3a b π<>= ,即a b 与的夹角为3π.19．（【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学文（a ））已知向量)0,2(),1,1(==b a ,则向量b a ,的夹角为______________.【答案】4π【解析】因为)0,2(),1,1(==b a ,所2,所以cos ,a b a b a b <>===,所以,4a b π<>= . 20．（【解析】山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（文））若12,e e是平面内夹角为60的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为__________.【答案】120解:12121cos 602e e e e ==,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-,==,==,所以,a b的夹角的余弦值为1cos ,2a b a b a b<>===- ,所以,120a b <>= .。