初三几何2中点辅助线.中位线(2014-2015)教师

2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：×××上课时间：2014.××.××构造中位线自检自查必考点知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．CEDBA C FE D BA【答案】取AC 的中点F ，连结DF ，易得12DF AB =∥，ADF BAD ADF ==∠∠∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，得AE AF =．【练1】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A【答案】如右下图，则取AC 边中点F ，连结EF 、DF ．由中位线可得，12EF AB =且B CEF ∠=∠．DF 为Rt ADC ∆斜边上的中线，∴DF CF =． ∴CDF C ∠=∠，又∵DFE FDE CEF ∠+∠=∠，即2C DFE C ∠+∠=∠，∴DFE EDF ∠=∠，∴12DE EF AB ==，∴2AB DE =． 中考满分必做题FAB DEC【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． C E DB A M CN E D B A【考点】三角形的中位线，30°所对的直角边等于斜边的一半【答案】取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．从而得12BE BM AB ==，12BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．又因12MN AC =，故12DE AC =．【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【答案】过E 作EF BC ∥交BD 于F135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒ ∵45DFE DBC ∠=∠=︒∴135EFB ∠=︒又∵EF BC ∥，12EF BC =，12AC BC =∴EF AC =，CE FB =∴EFB ACE ∆∆≌ ∴CEA DBE ∠=∠ 又∵90DBE DEB ∠+∠=︒ ∴90DEB CEA ∠+∠=︒ 故90AEB ∠=︒∴AE EB ⊥且AE BE =．F ABCED【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【答案】设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得12GE BD =∥，12GF AC =∥，从而GF GE =，GEF GFE =∠∠， 所以 AMN BNM =∠∠．【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【答案】取AB 中点H ，连接EH FH 、．∵AE =ED AH =BH ，∴12EH BD EH =BD ∥，,∴GNM HEF ∠=∠ ∵AH =BH BF =CF ，∴12FH AC FH =AC ∥，∴GMN HFE ∠=∠ ∵AC <BD ∴FH <EH∴<HEF HFE ∠∠ ∴GMN GNM ∠>∠【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．HGNMFE DCBACM FEGND B AMN AB EF DC(N )M F EDCBA【答案】取AC 的中点H ，连结HE 、HF∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点 ∴HF AD ∥，12HF AD = ∴AMF HFE ∠=∠同理，HE CB ∥，12HE CB =∴ENB HEF ∠=∠∵AD BC = ∴HF HE =， ∴HEF HFE ∠=∠ ∴ENB AMF ∠=∠【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【答案】取AC 中点M ，AD 中点N ．连结MF 、NF 、MB 、NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MF AD NE ==，12NF AC MB ==，MF AD ∥，NF AC ∥，NMEDF CBA∴DNF CAD CMF ∠=∠=∠，∵BM AM =，∴MBA CAB ∠=∠．∴2BMC MBA CAB CAB ∠=∠+∠=∠．同理可证2DNE DAE ∠=∠． ∵BAC EAD ∠=∠，∴BMC END ∠=∠． ∴BMC CMF FND DNE ∠+∠=∠+∠，即BMF ENF ∠=∠，∴MBF NFE ∆∆≌，∴BF EF =．HAB ECDMN F【练1】 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．【答案】（1）如图所示，根据题意可知DM BN ∥且DM BN =，DN AM ∥且DN AM =，所以AMD APB DNB ∠=∠=∠．而M 、N 分别是直角三角形AEP ∆、BFP ∆的斜边的中点， 所以EM AM DN ==，FN BN DM ==， 又已知DE DF =，从而DEM FDN ∆∆≌．（2）由(1)可知EMD DNF ∠=∠，则由AMD DNB ∠=∠可得AME BNF ∠=∠． 而AME ∆、BNF ∆均为等腰三角形， 所以PAE PBF ∠=∠．【练2】 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PN MCBA【答案】取AB 中点Q AC ，中点R连结PQ PR MQ NR ，，，A12PQ AC PQ AC NR ==∥， PR AB PR MQ ∥，＝ PQM PRN ∠∠＝ (两边分别垂直)∴PQM NRP PM PN ∆∆≌，　＝【练3】 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【答案】（1）如图所示，延长BM 交CE 于N ．因为DM EM =，CE BD ∥， 故DBM ENM ∆∆≌， 则BM NM =， 从而12MC BN MB ==．（2）结论是肯定的．取AD 、AE 的中点F 、G ， 连接FB 、FM 、MG 、GC ．由BF 、CG 是Rt ABD ∆、Rt ACE ∆斜边上的中线 可得12BF AD =，12CG AE =， 从而MF CG =，MG BF =．又因为22CGE CAE BAD BFD ∠=∠=∠=∠， MFD DAE MGE ∠=∠=∠，故BFM MGC ∠=∠， 从而BFM MGC ∆∆≌， 故MB MC =．【练4】 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；NEMDCBA MGFEDCBA（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．EDBCEDBCAMBC2014年门头沟二模 【答案】（1）MD ME = （2）如图，作DF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G 、．因为DF EG 、分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE 斜边上的高，所以F G 、分别是AB AC 、的中点． 又∵M 是BC 的中点，所以MF MG 、是ABC V 的中位线． ∴12MF AC =，12MG AB =，////MF AC MG AB ，． BFM BAC MGC BAC ∴∠∠∠∠＝，＝．BFM MGC DFM MGE ∴∠∠∠∠＝．所以＝．EMBCDF EG Q 、分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线，∴12EG AC =，12DF AB =． MF EG DF NG ∴＝，＝． DFM MGE ∴V V ≌．DM ME FMD GEM ∴∠=∠＝． FMG GME GEM MGC GME ∠+∠=∠+∠+∠图24-1图24-2图24-390EG AC EGC ⊥∴∠=︒Q018090GEM MGC GME EGC DME ∠+∠+∠+∠=∴∠=︒Q（3）作图正确得一分 等腰直角三角形．【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NM EDCBA【答案】（1）AM DE ⊥，12AM DE =; （2）结论仍然成立。