初中数学竞赛辅导资料(5)
初中数学竞赛专项训练(5)及答案
图9-3初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图9-1，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，点P 在AB 的延长线上，且BP ＝CD ，则图形中面积相等的三角形有 （ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对2、如图9-2，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于（ ）A.65 B.54 C.43 D.32 3、设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且AB AD ＝31，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为 （ ）A. 21B. 31C. 41D. 514、如图9-3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ，作CK ⊥AB ，分别交AB 和GH 于D 和K ，则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是 （ ） A. S 1＝S 2 B. S 1＞S 2C. S 1＜S 2D. 不能确定，与ABAC的大小有关5、如图9-4，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°， AD ＝8，AB ＝7，则BC+CD 等于 （ ）A. 36B. 53C. 43D. 336、如图9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则正方形的面积为 （ ） 2537+A.B.253+C.215+ D.图9-1 F图9-2 A B C D 图9-4图9-5CD图9-6图9-7图9-10图9-11图9-122)21(+7、如图9-6，矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE ＝（ ） A.2242b a ab + B.224b a ab +C. 2242ba ab + D. 224ba ab +8、O 为△ABC 内一点，AO 、BO 、CO 及其延长线把△ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图9-7所示，则S △ABC ＝（ ） A. 292 B. 315 C. 322 D. 357 二、填空题1、如图9-8，梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，高为h ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿2、如图9-9，若等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等于15cm ，则这个等腰三角形的面积等于＿＿＿＿3、如图9-10，在△ABC 中，CE ∶EB ＝1∶2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为＿＿＿＿＿4、如图9-11，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且BD ＝4，DC ＝1，AE ＝5，EC ＝2。
初中数学竞赛5：完全平方数
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得 和 同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且 ．
（1）求证：自然数 一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且 ．问 是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过 的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足： ， ， ，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以 ．
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。
秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。
秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。
清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。
秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。
2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。
聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。
初中数学竞赛辅导资料(七八年级部分)11-5最值问题6绝对值42
初中数学培优辅导资料姓名： 过关： 成绩：（五）最值问题1. （本题7分）若x ,y 是实数，求19993322+--+-y x y xy x 的最小值。
2. （本题7分）若xy =1,求代数式44411y x +的最小值。
3. （本题7分）设21、x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值，并求这个最小值。
（六）绝对值的几何意义（每小题5分）1.已知a是有理数，则| a－2007|+| a－2008|的最小值是。
2.若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是。
3.不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是。
4. 对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是。
5. 已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，则x+ y最大值是，最小值是．（七）平面直角坐标系与一次函数（每小题6分）1.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2．在平面直角坐标系中，已知A（2，•－2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P 有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3.过点P（－1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4.若k、b是一元二次方程x2+px－│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限5.当－1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）－4<a<0 （B）0<a<2 （C）－4<a<2且a≠0（D）－4<a<26.已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为．7.不论k为何值，解析式（2k－1）x－（k+3）y－•（k－11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是．8．设直线kx+（k+1）y－1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008= ．9.平面直角坐标系内有A（2，－1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．。
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初中数学竞赛辅导资料倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A 叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2，关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab；当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号，即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6，只要k 能整除6, 即k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
初中数学竞赛专题选讲(初三.5)对称式
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abcc b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+. 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1. 含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式，∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题 例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 （1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abcb ac 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m 得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1. 已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.练习题参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
初中竞赛数学5. 解读绝对值(含答案)
5.解读绝对值知识纵横绝对值(absolute value)是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、•有理数(rational number)运算及后续算术根的基础。
•绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手：1.去绝对值的符号法则:│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩2.绝对值基本性质 ①非负性:│a │≥0;②│ab │=│││b │;③|a b |=||||a b (b ≠0);④│a 2│=│a 2│=a 2;⑤│a+b │≤│a │+│b │;⑥││a │-│b ││≤│a-b │≤│a │+│b │.3.绝对值的几何意义从数轴上看,│a │表示数a 的点到原点的距离(长度,非负);│a-b │表示数a 、•数b 的两点间的距离.例题求解【例1】(1)已知│a │=1,│b │=2,│c │=3,且a>b>c,那么a+b-c=_______. (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数,│a-b │≤9,│c-d │≤16,且│a-b-c+d │=25,那么│b-a │-│d-c │=________. (第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出a 、b 、c 的值,注意条件a>b>c 的约束;(2)若注意到9+16=25这一条件,结合绝对值的性质,问题可获解.解:(1)2或0(2)因│a-b │≤9,│c-d │≤16,故│a-b │+│c-d │≤9+16=25,•又因为25=│a-b-c+d │=│(a-b)+(d-c)│≤│a-b │+│d-c │≤25,所以│a-b │=9,│c-d │=16,故原式=9-16=-7.【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数,且a+b+c=0,那么||a a +||b b +||c c +||abc abc 的所有可能的值为( )A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2(2003年山东省竞赛题)思路点拨根据a、b的符号所有可能情况,脱去绝对值符号,这是解本例的关键. 解:A【例3】已知│ab-2│与│b-1│互为相反数,试求代数式1 ab +1(1)(1)a b+++1(2)(2)a b+++┅+1(2002)(2002)a b++的值.思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值。
初中数学竞赛辅导资料(5)n次方的个位数
初中数学竞赛辅导资料（5）a n 的个位数甲内容提要.1. 整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
即24k+1与21，24K ＋2与22，24K ＋3与23，24K ＋4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4K ＋m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数。
乙例题例1 20032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 K 取什么正整数值时，3k ＋2k 是5的倍数？5，∵a m与a4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
丙练习51，在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）220的个位数是（）45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（）311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（）2，目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(5)
全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（5）1、求函数值和函数表达式：例1：已知()44551912-+=-x x x f ，求()x f 。
例2：若函数()21x x g -= ，()[]221x x x g f -=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛43f 。
例3：已知函数()535++-=x bx ax x f ，其中a 、b 为常数，若()75=f ，求()5-f 。
例4：函数()x f 的定义域是全体实数，并且对任意实数x 、y ，有()()xy f y x f =+，若()9919=f ，求()1999f 。
2、建立函数关系式：例5：直线l 1过点A （0，2），B （2，0），直线l 2：b mx y +=过点C （1，0），且把ΔAOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图象。
例6：已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式。
3、含绝对值的函数：例7：作函数|1||3|-+-=x x y 的图象。
例8：作函数|65|2+-=x x y 的图象。
例9：点（x ，y ）满足方程2|2||1|=++-y x ，求它的图象所围成区域的面积。
例10：m 是什么实数时，方程05||42=+-x x 有四个互不相等的实数根？解答：（1）()3093192++=x x x f ；（2）3；（3）3；（4）99；（5）()0221<≤--=m m S ；（6）()604329222<<++-=x x x S CD AE （7）略。
（8）略。
（9）8。
（10）51<<m 。
练习：1、填空：（1）已知()44551912-+=-x x x f ，则()x f 。
初中数学竞赛题资料5(附解答)
蓝色字数学式--数学竞赛题资料（附解答） 初中数学竞赛题精选（一） 、填空题:1、若 A=1001 X 1002 X 1003 X …X 20002、化简：勺2 +辰贝U abed=第5题图则斜边的长为梯形ABCD 被对角线分成四个小三角形，已知/AOB 和/BOC 的面积分别为25cm2如图正方形ABCD 的中心为O 面积为1898，P 为正方形只的一点， 且/ APB=45° ， PA:PB=5:14,贝U PB=不超过（7 + 3） 6的最大整数是:若 a — b=3 a — c= 3 26 b + c=1则(c 2 — b 2)[(a — b)2 + (a — c)2 + (a — b)(a — c)] 10、设 100 个实数 a 〔, a 2, a 3,…,a ,满足(n — 2)a n —(n — 1)a n _〔 + 1=0B=1 X 3 X 5 X …X 1999abcd3、实数 a,b,c,d 满足：a + b + c =1abedabcd abcd=2 ------------- =3 ------------ =6a +b + d 2 a +c +d 3 b + c + d 6 4m4、已知 y = 4m + 2 设 m = 100121001 ' 1001 ' ' 10011000时,y 的值分别为： ，y 2 ， y 3 ，…，y 1000 ， + …+ y 1000如图：E 、F 、G 、H 把直角三角形的斜边五等分,其中连线 CF=cos a ，CG=Sin a ，和35cm2，那么， 梯形ABCD 的面积为cm2 . 则：+y 2 +y 3的值等于(O w n W 100)并且 a 100 =199 则a 〔 + a? + ag + …+ ai 。
= _________ 二、 选择题：1 1、 如果n 是整数，那么N=8［1 - (— 1)n (n2 -1)］的值( )(A )只能是0 (B )是偶数 (C )是整数 (D )不一定是整数 2、 在/ ABC 中，点 F 在 AC 上，且 AF:FC=1:2点G 是BF 的中点，延长AG 交BC 于F , 那么BE:EC 为( )(A ) 1:3 ( B ) 2:5 (C ) 4:11 (D ) 3:83、 已知方程ax 2 + bx + c=0有两个正根，则下述结论 ①a >0， b >0，c >0 ;②a v 0，b v 0， c v 0 ；③a > 0，b v 0，c v 0 ； ® a v 0，b > 0，c > 0 中 肯定是错误的结论有()(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 4、 设实数P =饭-勺6+勺9则P 满足()(A ) 0 v P v 1 ( B ) 1 v P v 2 (C ) 2 v P v 3 (D ) P= ^75、 四个2组成的数中，由小到大排列的是((A ) 222 2v 22 22v 2222v 22?2 ( B ) (C ) 222 2v 22 22v 2222 v 2222( D ) 6、 关于 x 的方程 mx 2 — 2(m + 2)x + m + 5=0 则关于方程(m — 5)x 2 — 2(m + 2)x + m=0 的实根的个数是((A ) 2个(B ) 1个(C ) 0个(D )不能确定7、 ［x ］表示不超过x 的最大整数， M= ［ x ］，N=［ x ］，x 表示不小于1的实数，则有( ) (A ) M > N ( B ) M=N (C ) M v N ( D ) M > N 8、 已知锐角三角形 ABC 中AC v AB v BC ,在/ABC 的平面内使/ PAB 和/PBC 都是等腰 三角形的P 点的个数是((A ) 6 (B ) 9 (C ) 13 (D ) 141 1 a b 9、 实数a 、b 满足ab=1记M= 1 + a +1+ b ,M= 1 + a + 1 + b 则M 、N 的大小关系为()(A ) M >N ( B ) M=N (C ) M v N ( D )不能确定3 210、 设x 1 ,x 2是二次方程x 2 + x — 3=0的两根，那么x 1 — 4x 2 + 19=0的值等于()(A ) — 4 ( B ) 8 (C ) 6 ( D ) 0 三、 解答题：1、某服装厂有A 、B 、C 、D 四个组，已知A 组每天可以加工8件上衣或10条裤子，B 组 每天能加工9件上衣或12条裤子，C 组每天可以加工7件上衣或11条裤子，D 组每天能222 2v 2222v 22 22v 2222 2222 v 22 22v 222 2v 2222无实根,加工6件上衣或7条裤子，现在上衣和裤子要求配套，问在 7天里，这四个组最多能加工多 少套衣服？2、 已知：A=O.a 沖2&3…a n a n +〔 a n +?…是一个无限小数，且a 〔为奇数，a?为偶数， a 3=a 1 + a 2的个位数，a 4=a 2 + a 3的个位数，a n + 2=a n + a n + 1的个位数，a 〔月2月3,…,a n ,a n +〔，a n + ?，…都是0 — 9这10个数，求证：A 是一个有理数. 3、 一工程，甲、乙、丙三人合作，已知甲单做所需天数为乙、丙合做天数的 m 倍，乙单做天数为甲、丙合做天数的n 倍，丙单做天数为甲、乙合做天数的 P 倍，1 1 1 求证：m + 1 + n + 1 + p + 1=14、 已知，a 2 + 2a —仁0 ,b 4 — 2b 2 —仁0 ，且 1 — ab 工0; 「、 ab2 + b 2 + 1 2007 + 求—a — 的值5、 求证：对任何矩形 A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长与面积之比都等 于常数R (R > 1 )6、 已知实系数的一元二次方程ax 2 + 2bx + c=0有两实根x 〔 ，x?设d=|x 〔 — x?| 求a > b > c 且a + b + c=0时，d 的取值范围.7、 二次方程ax 2 — 2bx + c=0 中a 、b 、c 为/ABC 的三边，且方程两实根a 、B 满足| a — BF V 2当a=c 时，求/ B 的度数•8、已知二次函数y= — x 2 + (m — 2)x + 3(m + 1)=0 的图像与疋轴交于A 、B ,交y 轴于C (如图所示)，已知AB ・OB=6f求 sin / ACB/\9、 已知】a 、B 是方程x 2 — 7x + 8=0的两根，且a> B 不解方程求-+ 3 B 2a10、 已知a 为实数，且使一元二次方程x 2 — a 2x + a=0有实根， 求该方程根x 能取到的最大值.附解题答案: 一、填空题:A_ 1002 X 1004 X-X 2000 _ 500 501 X 502 X 503 X-X 1000 = =2B 1 X 3 X 5 X …X 999 1 X 3 X 5 X …X 999 500 乂502 X 504 X 506 X ・・・X 100=2 500 =2 1X 3X 5X ・・・X 499 =21 解: X 2250251 X 252 X 253 X-X 500x ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 X 3X 5X ・・・X=2 500 X 2250252 X 254 X 256 X …X 500乂 --------------------------------------------X1 X 3X 5X ・・・X 249=2 500 X 2250 =2 500 X 2250 125 126 X 127 X 128 X …X 250 X 1 X 3X 5X ・・・X 125 125 63 63 X 64 X 65 X …X 125 X 2 X 2 X1 X 3 X 5 X …X 125=2 500 X2250 125 63 64 X 66 X 68 X (X)124 X2 X X ----------------------------------- X 2 X 2 X1 X 3 X 5 X (X)123 =...=2 500 X 2250 X 2125 X 263 X 231 X 216X 28X 24X 22X2=21000 2 解：设 A=勺2 +^5B= ^2 — 7W 则 AB= — 1 ••• (A + B)3=A 3 + B 3 + 3AB(A + B)=4 — 3(A + B) 得 A+B=1 ••• A 、B 是方程y 2 — y —仁0 的根, •/ A > 0 • A= 3 解: 用倒数法 a + b + c abed =1 a + b + d 1 a + e + d 1 b + e + d 1 abed = 2 , abed = 3 , abed = 63(a + b + e + d) 四式相加得：^ =2 abed a 1分别减去倒数式可得：abed =2 , abed b = 1 abed = 3 ,3 e = 1 abed = 6 ,d abedabed 4四式相乘得： (abed) 1 108(abed) 3= —108•• abed=—勺-108= -334 4m 4 解：y= m =1 4m + 2 24m + 2 原式=1000 — 2X11 1001 4 _ 1 + 2c 1001c+ 2 4 + 2 ____ 1 +…+9991001 4____ 1+1000 1001 41 1 10014 + 2 ___ 1 + 100010014 1 =2故括号内有5001 —2X 500X2 =500 5 解：设 AE=EF=FG=GH=m , 则原式=1000 AC2 + (2m) 2—2AC- 2m- eosA=CF 2=eos 2 a(1)AC2 + (3m) 2 — 2AC- 3m- cosA=CG 2=sin 2a① + ②：2AC 2+ 13m 2- 10m ACcosA=1 ............AC2+ (5m) 2- BC22AC(5m)••• 10mACcosA=AC 2+25m 2-BC2 代入⑶得：AC2-25m 2+BC2 +13m 2-1=0■/ AC2+BC 2=25m 2 13m 2=1 二m= 二AB=6 解：352=25S 二S=497 解：连OA、OB，由/ BAO= / BPO=45°••• A、B、0、P 四点共圆，贝U / APB= / AOB=90 °设PA=5x 贝U PB=14x，则(5x) 2+ (14x) 2=1989解得x=3 二PB=428 解：设7 + 3=x 7 —3=y 则x + y=2 7 xy=4••• x2+ y2=20 x2y2=16x6+ y6=(x 2+ y2)3—3x2y2(x2+ y2)=8000 —3 x 16 x20=7040即(7 + 3)6+ ( 7 —3 ) 6 =7040v 0 v 7 —3 v 1 • 0 v ( 7 —3)6< 1•不超过(7 + 3)6的最大整数是70399 解：原式=(c + b)(c —b)[(a —b) 2+ (a —c)2+ (a —b)(a —c)]=(c + b)[(a —b)(a —c)][(a —b) 2+ (a —c) 2+ (a —b)(a —c)]=(c + b)[(a —b)3—(a —c) 3] = 23—' =110 解：将a100 =199 代入条件式得：(100 —2)a 100—(100 —1)a99+ 1=0 •• 98 x 199 —99a 99 + 仁0 •-得*99 =197同理将a99=197代入条件式可得a98=195cosA=猜想a n =2 n + 1代入条件式检验是正确的=2 n + 11• - a i + a 2 + a 3 + …+ a〔0。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中数学竞赛专题培训(5)
初中数学竞赛专题培训第十七讲* 集合与简易逻辑我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合．组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素．通常用大写字母A，B，C…等表示集合，小写字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就说m属于A，记作m∈A．如果n(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素．(ii)自然数全体1，2，3，…组成一个集合(通常把它叫作自然数集)．(iii)如果A，B是平面上两个不同的点，那么A，B两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素．总之，集合是数学中一个最基本、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识．1．集合的描述方法(1)列举法当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法．用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在｛｝中，每个元素之间用逗点隔开．填写集合的元素时，与元素的排列次序无关．例如：(i)由a，b，c，d，e五个小写字母组成的集合A，记作A=｛a，b，c，d，e｝，也可记作A=｛b，a，c，d，e)．(ii)由小于40的质数组成的集合B，记作B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．(iii)平方等于1的有理数集合C，记作C=｛1，-1｝．(iv)三条直线l1，l2，l3组成的集合D，记作D=｛l1，l2，l3｝．(2)特征性质描述法当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法．所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素．例如，集合=｛1,-1｝用特征性质描述法表示就是A=｛x│x2=1｝，或者A=｛x││x│=1｝．全体偶数组成的集合B，用特征性质描述法表示就是B=｛x│x是能被2整除的整数｝，或者B=｛2n│n是整数｝．全体奇数组成的集合C，用特征性质描述法表示就是C=｛x│x是不能被2整除的整数｝，或者C=｛2n＋1│n是整数｝，C=｛2n-1│n是整数｝．一般地，用特征性质α表示集合A的形式是：A=｛x│x具有性质α｝．2．集合之间的关系和运算(1)包含与子集(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者．(ii)设集合例1设A=｛1，2，3，4｝，试写出A的所有子集．｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．(2)交集运算对于给定的集合A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合A与B的交集．我们用A∩B 表示A，B的交集(图2-88)．例如(i)如图2-89，设A=｛x│x是12的正因数｝，B=｛x│5＜x＜13，x是整数｝，则A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．所以 A∩B=｛6，12｝．(ii)设l1，l2是平面上两条不同的直线，则l1∩l2就是由它们的交点组成的集合．如果l1与l2相交于一点P，则l1∩l2=｛P｝(图2-90)；(3)并集运算对于给定的两个集合A，B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B的并集，我们用符号A∪B表示A，B的并集(图2-92)．例如(i)设M，N分别表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同学的集合．(ii)设A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，则 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．注意在求上述集合A，B的并集时，虽然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．(iii)设E=｛x│x是实数，且x≥4｝，F={x│x是实数，且x≤-4}，G={x│x2≥16}．则 E∪F=G．一般地说，如果α，β分别是集合A，B的特征性质，即A={x│x具有性质α} ，B=｛x│x具有性质β｝，则A∪B就是那些具有性质α或性质β的元素组成的集合，也就是A∪B=｛x│x具有性质α或β｝，或者A∪B={x│x∈A或x∈B}．例2设A={x│x是12的正因数}，B={x│x是18的正因数}，C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．解根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图2-93(a)，(b)).(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．例3设A={1，a，a2} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整数，并且A∩B=｛1，3｝，A ∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．解因为A=｛1，a，a2｝，B=｛1，a，b｝，所以A∩B＝｛1，a｝．已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于A∪B=｛1，a，b，a2｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．简易逻辑逻辑一词是LOGIC的音译，它是研究思维法则的一门学科．数学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍．1．推出关系如果设A={x│x是4的倍数}，B={x│x是2的倍数}，则A中元素具有性质α——4的倍数；B中元素具有性质β——2的倍数．我们知道：如果某元素x是4的倍数，那么x一定是2的倍数，即具有性质一般地说，如果具有性质α的元素也具有性质β，我们便说由α推下面再举一个例子．2．命题和证明(1)命题和逆命题人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断．例如：(i)雪是白的；(ii)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；(iii)3+4=6；上述所列都是对客观事物做出判断的语句．人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真)，也可能是错误的(假)．我们把肯定或否定的判断语句叫作命题．上述语句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命题．关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii)是假命题．但对(iv)的真假性就不是显然可判断的．可通过设x=1，y=0(x＞y)，那么因此，命题(iv)为假命题(注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)．数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若α，则β”，“如果α，那么β”．命题“若α，则β”或是真命题，或是假命题，二者必居其一．“若当由α不可能推出β时，“若α，则β”便是假命题．在命题“若α，则β”中，α叫作这个命题的条件，β叫作这个命题的结论．如果将命题“若α，则β”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若β，则α”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题．当“如果α，则β”为真命题时，它的逆命题“如果β，则α”不一定是真命题．例如：(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命题．它的逆命题“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命题．(ii)“若a=0并且b=0，则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0并且b=0”就不是真命题．(iii)“如果∠1，∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“∠1=∠2，那么∠1，∠2是对顶角”就是假命题．(2)证明我们要说明“若α，则β”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即：如果那么例如，(i)若∠1和∠2是对顶角，①对顶角相等，②则∠1=∠2．③(ii) 张三是人，①凡人必有死，②所以张三必有死．③上述推理格式叫作三段论式，推理中的①，②是两个前提条件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的结论．实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的．例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解．已知：∠1是∠2的对顶角(图2-98)，求证：∠1=∠2．证从上述证明过程可知，要证明“若α，则β”，我们先设法找出一应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法就叫作演绎推理法(简称演绎法)．演绎法是证明数学问题的重要方法．＝a2＋b2＋c2(a+b-c)2=a2+b2+c2.例2某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名．A说：“或者F，或者H是第一名．”B说：“我是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F说：“我不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？分解与解由已知条件可知：A与H同真假，E与F同真假，B与D必定一真一假．(i)如果A与H猜对了，那么D与G也都猜对了．这样就有四人猜对，不合题意，因此，A与H 必定都猜错了．(ii)如果E与F猜对了，即F与H都不是第一名，这时若B猜对了，那么D就猜错了，C也猜错了，G猜对了，这样，就有E，F，B，G四人猜对，也与题意不符．因此B猜的不对，D猜对了，这时已有E，F，D三人猜对，所以G，C都必定猜错了，所以C是第一名．练习十七1．已知A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5，7}，C={2，3，5，8} ，写出集合：(1)A∩B∩C； (2)A∪B∪C；(3)A∩(B∪C)；(4)A∪(B∩C)．3．有某种产品100个，通过两种检查，第一种检查合格品有90个，第二种检查合格品有78个，两种检查都合格的有72个．试问这100个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？(1)a＞0□│a│＞0；(2)a＝0且b=0□a2＋b2=0；(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b；(4)如果α＞1，β＞2，γ＞3，那么，α□γ，β□α，β□γ．5．写出下列命题的逆命题，并指出其真假．(1)若a=b，则(a-b)2 =0；(2)若a=b，则a2-b2=0；(3)若a≠b，则a2＋b2＞2ab；6．已知3(a2＋b2＋c2)=(a+b+c)2，求证：a=b=c．初中数学竞赛专题培训第十五讲相似三角形(一)两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．解在△ABC中，因为EF∥AB，所以同样，在△DBC中有①＋②得设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题请同学自己证明．例2如图2-65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB 于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以在△FOG中，由于GO∥EB，所以例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD 平分分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED ∽△CAB，可实现求证的目标．证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以△ADE是正三角形，所以EA=ED=AD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以由①，②得从而例4如图2-67所示．ABCD中，AC与BD 交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．证延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以△OED≌△OBH(AAS)．从而DE=BH=AI，例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC 的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．证过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．例6 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．分析由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：进而求d．因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而将②代入①左端得因为DE=PE＋PD=AI＋FB，④AF=AI＋FI，⑤BI=IF＋FB．⑥由④，⑤，⑥知，③的分子为DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．从而即下面计算d．因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得解得d＝306．练习十五1．如图2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．2．已知P 为ABCD边BC上任意一点，DP 交AB的延长线于Q3．如图 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH 分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)．求证：5．如图 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：不少于2．初中数学竞赛专题培训第十六讲相似三角形(二)上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用．例1 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．分析设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．证过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以∠2=∠3．从而∠1=∠3，AB=BE．显然△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．说明这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．例2如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．证过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE．因为BG∥AC，所以∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以∠ABF=∠HBF，从而AB∶BH=AF∶FH．又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为AM∶MB=FM∶ME．在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以△MEF∽△MAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以∠ABM=∠FEM，所以 EF∥AB．例3 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．证延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，所以例4 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD 的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.分析要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC 应该相似．证在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以∠PBC=∠PHB=90°，从而∠PBH=∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为∠ABC=∠BCD=90°，所以∠HBQ=∠HCD，所以△HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．又因为∠BHQ＋∠QHC=90°，所以∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．例5如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．分析与证明若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2，①等价于PB2-PA2=QA2-QC2．②因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，②等价于(AD＋PD)2-(AD-PD)2=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③③等价于AD·PD=AE·EQ．④因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等价于ME·PD=MD·EQ．⑤为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．下面我们来证明这一点．事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以∠DME=90°=∠PMQ(已知)．⑥在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即∠PMD=∠QME．⑦由⑥，⑦，所以△MPD∽△MEQ．由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．例6如图2-81所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．解取AF的中点G，连接DF，EG．由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)．又在△BDF中，E是BD的中点，且EH∥DF，所以因为EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，从而显然，H是BF的中点，所以故所求的三条线段长分别为练习十六1．如图2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．2．如图2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．3．如图2-84所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2＝PA·PC．提示：设法证明△PAB∽△PBC．)4．如图2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AE∶EB=2∶1．求证：CE⊥AD．5．如图2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD ⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE·EC．6．在△ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．初中数学竞赛专题培训第十八讲归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：1；第二层有点数：1×6；第三层有点数：2×6；第四层有点数：3×6；……第n层有点数：(n-1)×6.因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n 层共有点数为例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？(2)这n个圆共有多少个交点？分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．由表18．1易知S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，……由此，不难推测Sn-Sn-1＝n．把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到S n -S1＝2＋3＋4＋…＋n，因为S1=2，所以下面对Sn -Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．由表18．2容易发现a1＝1，a 2-a1＝1，a 3-a2＝2，a 4-a3＝3，a 5-a4＝4，……a n-1-an-2＝n-2，a n -an-1＝n-1．n个式子相加注意请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？分析与解我们先来研究一些特殊情况：(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n 个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c ＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：例4设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n 的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.分析与解先观察特殊情况：(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.下面我们证明这个猜想的正确性．1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n=2！×3+3！×3+…＋n！×n=3！+3！×3+…+n！×n＝…=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有x3＜x2+x+2．①设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以x3＞x2+x+2．②设x=100，则有x3＞x2+x+2．观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样(1)当x=2时，x3=x2+x+2；(2)当0＜x＜2时，因为x-2＜0，x2+x+2＞0，所以 (x-2)(x2＋x+2)＜0，即x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)当x＞2时，因为x-2＞0，x2+x+2＞0，所以 (x-2)(x2+x+2)＞0，即x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．分析先由特例入手，注意到例7已知E，F，G，H各点分别在四边形ABCD 的AB，BC，CD，DA边上(如图2—101)．(2)当上述条件中比值为3，4，…，n时(n为自然数)，那S么S四边形EFGH 与S四边形ABCD之比是多少？G引GM∥AC交DA于M点．由平行截割定理易知(2)设当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表18．5.观察表18．5中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现：当k=n(自然数)时有以上推测是完全正确的，证明留给读者．练习十八1．试证明例7中：2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：(1)这n条直线共有多少个交点？(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？然后做出证明.)4．求适合x5=656356768的整数x．(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝。
初中数学竞赛讲解教材 第五讲 三角形的五心
第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ，∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△A B C P P M N 'A B C QK P O O O ....S 123O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′.有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， A A 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DAD =2222221a c b -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23 =a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.当△中a ≥b ≥c 时，△′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(a CF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43. ∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知 .O A A A A 1234H H 1213212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A , Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有∥=∥=H H H M A B B A A B C C C F 12111222DEA 21A =r 2+bc a c b 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取 △DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅ =αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α. 由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin . A B CD O O O 234O 1A ααMB C KN ER O Q F r P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2] =21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得r a =AF -AC =p -b ，r b =BG -BC =p -a ，r c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c .∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p=4p -(a +b +c )=2p .由①及图形易证.K r r r r O O O 213A OE C B a b c例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =q r . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A =A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin 2'sin 2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin 2'cos 2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有 11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg =qr . 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =F A .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +F A ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACEA ...'B 'C 'O O 'E D的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =F A ，IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +F A =2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE之垂心.易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°， Erdos ..I P A B C D E F Q SA B C D E F O K G O A BC D E F I K 30°∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高.同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE .由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2， ∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C .同样可得HH 2，HH 3.∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.B C O IAO G H O G H G O G H 123112233练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。
初中数学竞赛讲座——数论部分5(最小公倍数)
第五讲 最小公倍数一、基础知识：对于4，8，12这一组数，24，48和72等都能被它们中的每一个数整除，24，48和72等都叫它们的公倍数，而24是公倍数中最小的，把这个概念推广到一般情形，有如下的定义：如果1a ,2a ，…，n a 和m 都是正整数，且m a m a m a n |,...,|,|21，那么m 叫做1a ,2a ，…，n a 的公倍数。
公倍数中最小的数叫做1a ,2a ，…，n a 的最小的公倍数，记作[1a ,2a ，…，n a ]。
如果m 是1a ,2a ，…，n a 的公倍数，那么km （k 是正整数）也是它们的公倍数，因此不存在最大公倍数。
一些性质：(1)若a b |，则[a , b ]=a .(2)若[a , b ]=m ，且n 为正整数，则[na , nb ]=nm 。
(3)若b n a n |,|，则[]nb a nb n a ,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡最大公约数与最小公倍数这两个概念有着密切的联系，下面的性质揭示了它们的关系。
(4)若[a , b ]=m ，则1,=⎪⎭⎫⎝⎛b m a m (5)],[),(b a abb a =由性质(5)知，在已知a , b 两数的最大公约数和最小公倍数之一时，便很容易求出另一个。
二、典型例题例1 某正整数与24的最大公约数和最小公倍数分别为4和168，求这个正整数。
解：设所求正整数为x ，则由(x , 24)=4，有x =4n (n 是正整数)。
于是有 [4n , 24]=168.根据性质（4），有124168,4168=⎪⎭⎫⎝⎛n ，即 .17,42=⎪⎭⎫⎝⎛n 由n42是正整数，得n 可能取的值是1，2，3，6，7，14，21，42。
分别代入上式检验，只有n =7。
故所求正整数是28。
例2.（1999年希望杯初一2试）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数, 使得这个五位数能被3,5,7,13都整除，这样的五位数中最大的是___________.解：所求五位数能被3、5、7、13整除，当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 72×1364=98280(两个8重复,不合要求). 71×1365=96915(两个9重复,不合要求). 70×1365=95550(三个5重复,不合要求). 69×1365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185.例3 已知两个正整数的和是45，它们的最小公倍数是168，求这两个数。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛辅导资料5
初中数学竞赛辅导资料〔5〕a n的个位数内容提要1 ．整数 a 的正整数次a n , 它的个位数字与 a 的末位数的 n 次的个位数字相同。
例如 2002 3与 2 3的个位数字都是 8。
2 ． 0 ， 1 ， 5 ， 6 ，的任何正整数次的个位数字都是它本身。
例如57的个位数是 5 ， 6 20的个位数是 6 。
3 ． 2 ， 3 ， 7 的正整数次的个位数字的律下表：指数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⋯⋯底 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 ⋯⋯3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 ⋯⋯数7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 ⋯⋯其律是：2的正整数次的个位数是按2、4、8、6四个数字循出，即 2 4k+ 1与 2 1，2 4 K＋2与 2 2，2 4 K＋3与 23，24 K＋4与 2 4的个位数是相同的〔 K 是正整数〕。
3 和 7 也有似的性。
4 ． 4 ， 8 ， 9 的正整数次的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9 ＝ 3 2化以2、3底的。
5 ．上所述，整数 a 的正整数次的个位数有如下的一般律：a4 K＋m与a m的个位数相同 (k,m都是正整数。
例例 1 2003 20 03的个位数是多少？解： 2003 200 3 与3 200 3 的个位数是相同的，∵2003 ＝ 4× 500 ＋ 3，∴ 3 2 00 3与 3 3的个位数是相同的，都是 7 ，∴ 2003 的个位数是7 。
1欢送下载例 2 明 63 200 0＋ 147 200 2的和能被 10 整除的理由解：∵ 2000 ＝ 4 × 500 ， 2002 ＝ 4 × 500 ＋ 2∴ 63 2 000与 34的个位数相同都是 1， 147 20 0 2与 7 2的个位数相同都是 9 ，∴63 20 00＋ 147 2 00 2的和个位数是 0，∴ 63 2 000＋ 147 20 02的和能被 10 整除。
初中数学竞赛辅导资料(51)
初中数学竞赛辅导资料（51）待定系数法甲内容提要1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x 在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1),x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).求：①a+b+c ； ②a －b+c.解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.∴a=2, b=－2, c=－4.∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.乙例题例1. 已知：23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值.解：去分母，得x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值）， 当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－31. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝158. 当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝54. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式.解：用待定系数法：设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a+bx 2－2bx+b+cx －c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4321d c b a∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4.本题也可用换元法：设x －1=y, 那么x=y+1.把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.例3. 已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.求： a 和b 的值.解：设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx ±1）2 （设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1.比较左右两边同类项系数，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=m b m m a 213442； 或⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m b m m a 213442. 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==172174 172174612612b a b a b a b a －或或或. 例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a ≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.原方程化为x 3+02=++ad x a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根.∴x 3+=++ad x a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得x 3+=++ad x a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：x 1+x 2+x 3=－a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－ad .例5. 已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2整除.求证：4p 3+27q 2=0.证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）.x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b. ⎪⎩⎪⎨⎧==-=-③②①q b a p ab a a b 22202由①得b=2a ， 代入②和③得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p ∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.例6. 已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5的因式.求：f (1)的值.解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数).即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c)14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c)∴k=14, b=－2, c=5.即f (x)=x 2－2x+5.∴f (1)=4 .例7. 用待定系数法，求（x+y ）5 的展开式解：∵展开式是五次齐次对称式，∴可设（x+y ）5＝a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3) (a, b, c 是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1；当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16当 x=－1,y=2时， 得31a －14b+4c=1.得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=141431161c b a c b a a解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧===1051c b a∴（x+y ）5＝x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5.丙练习511. 已知4286322+-+=++-x b x a x x x . 求a, b 的值. 2. 已知：2)1(1)2()1(534222++-+-=+-+-x C x B x A x x x x . 求：A ，B ，C 的值. 3. 已知： x 4—6x 3+13x 2－12x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4. 已知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除.求证：ad=bc.5. 已知：x 3－9x 2+25x+13=a(x+1)(x －2)(x －3)=b(x －1)(x －2)(x －3)=c(x －1)(x+1)(x －3)=d(x －1)(x+1)(x －2).求：a+b+c+d 的值.6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7. 用x －2的各次幂表示3x 3－10x 2+13.8. k 取什么值时，kx 2－2xy －y 2+3x －5y+2能分解为两个一次因式..9. 分解因式：①x 2+3xy+2y 24x+5y+3；②x 4+1987x 2+1986x+1987.10. 求下列展开式：① (x+y)6； ② (a+b+c)3.11. 多项式x 2y －y 2z+z 2x －x 2z+y 2x+z 2y －2xyz 因式分解的结果是( )(A) (x+y)(y －z)(x －z) . (B) (x+y)(y+z)(x －z).(C) (x －y)(y －z)(x+z). (D) (x －y)(y+z)(x+z).12. 已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3.则S 等于( )(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.(1988年泉州市初二数学双基赛题)13． 已知：4310252323-+-++-x x x c bx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.。
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丙练习５
1，在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）
220的个位数是（）45的个位数是（）
330的个位数是（）87的个位数是（）
74K+1的个位数是（）
311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）
32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）
7710×3315×2220×5525的个位数是（）
2，目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿．
3，说明如下两个数都能被10整除的理由．
①5353－3333②19871989－19931991
4，正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？
5，设n是正整数，试说明2 n＋7n+2能被5整除的理由．
6，若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿
7，12+22+32+……+92的个位数是＿＿，
12+22+32+……+192的个位数是＿＿，
12+22+32+……+292的个位数是＿＿．
8．a，b，c是三个连续正整数，a2=14884，c2=15376，那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321。