高二数学二项式定理
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
高二数学人选修课件时二项式定理
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
二项式定理百科
二项式定理百科二项式定理（Binomial theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
这个定理在代数、组合数学、概率论等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，都有以下等式成立：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$其中，$\binom{n}{k}$表示组合数，计算公式为$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$式中的$\binom{n}{k}$可以读作n选择k，它表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式系数$\binom{n}{k}$决定了二项式展开后各项的系数。
二、二项式定理的展开式通过二项式定理，可以将一个二项式的幂展开成多个项的和。
例如，对于$(a+b)^3$，应用二项式定理，展开式为：$$(a+b)^3=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a ^1b^2+\binom{3}{3}a^0b^3$$化简得：$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$可以看出，展开后的每一项的指数和为3，且系数由组合数$\binom{3}{k}$确定。
三、二项式定理的应用1. 代数应用二项式定理常用于代数运算中，特别是求解多项式的展开式和系数。
通过二项式定理，可以快速计算高次幂的二项式展开式，简化复杂计算过程。
同时，二项式定理也可用于证明其他代数恒等式。
2. 组合数学组合数学研究的是离散结构和计数问题。
二项式定理的组合数$\binom{n}{k}$用于计算从n个元素中选择k个元素的方法数。
这对于排列组合、概率计算等问题都具有重要意义。
3. 概率论在概率论中，二项分布是一种重要的离散概率分布，它描述了一系列独立重复实验中成功次数的概率分布。
二项式定理可以用于计算二项分布的概率，判断在一定概率下，事件发生k次的概率。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学的重要内容之一、它是一个基本的公式，用来展开二项式的幂次。
在代数学中有广泛应用，并在组合数学、高等数学等领域中发挥了重要作用。
本文将介绍二项式定理的概念、基本公式以及一些常见的应用。
一、二项式定理的概念和基本公式二项式定理的概念：二项式定理是用来展开二项式的幂次的公式。
简而言之，就是把形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。
基本公式：根据二项式定理，我们可以得到二项式的展开式。
对于(a+b)^n，其中a和b为任意实数，n为非负整数，根据二项式定理，展开式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
C(n,k)可以用组合数公式计算得到：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)C(n,k)即为"n choose k"，读作"n中取k"。
二、二项式定理的应用1.二项式定理的应用于计算：二项式定理可以用于计算各种二项式的展开式，特别是高次幂的情况。
通过展开式，我们可以计算出结果，以及每一项的系数。
例如，我们可以用二项式定理来计算(a+b)^4的展开式为：(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^42.二项式定理的应用于排列组合问题：二项式定理在排列组合问题中也有广泛的应用。
对于排列组合问题，可以使用组合数来解决。
而组合数又可以使用二项式定理来计算。
例如，我们要从n个元素中选取k个元素，所有可能的方案数可以用组合数C(n,k)表示。
由于组合数可以用二项式定理来计算，我们可以直接得到结果。
二项式定理公式
二项式定理公式在高中数学中，我们学习了许多数学公式和定理，其中一个非常重要且广泛应用的定理就是二项式定理。
二项式定理是代数中的一个基本定理，描述了二项式的展开式，并提供了一个快速计算幂的方法。
通过使用二项式定理，我们可以轻松计算任意非负整数指数的二项式系数。
本文将详细介绍二项式定理及其应用。
一、二项式定理的定义二项式指的是形如(a + b)^n的表达式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
二项式定理提供了(a + b)^n的展开式。
根据二项式定理，展开式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n其中C(n,k)表示n个元素中取出k个元素的组合数，也被称为二项式系数。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
这里我们以简化的二项式(a + b)^2为例进行证明。
首先，展开(a + b)^2，我们有：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b去掉括号并简化：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2从这个简化的二项式可以看出，二项式定理在幂为2时成立。
接下来，我们需要使用数学归纳法证明对于任意非负整数n，二项式定理都成立。
假设对于一个非负整数n，二项式定理在幂为n时成立，即：(a + b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + C(n,2)a^(n-2)·b^2 + ... + C(n,n-1)a^1·b^(n-1) + C(n,n)a^0·b^n我们需要证明在幂为n+1时，二项式定理仍然成立：(a + b)^(n+1) = C(n+1,0)a^(n+1)·b^0 + C(n+1,1)a^n·b^1 +C(n+1,2)a^(n-1)·b^2 + ... + C(n+1,n)a^1·b^n + C(n+1,n+1)a^0·b^(n+1)通过展开(a + b)^(n+1)，我们发现可以将其拆分为两部分：(a + b)^(n+1) = (a + b)·(a + b)^n根据归纳假设，我们知道(a + b)^n可以展开为二项式系数的形式。
高二数学二项式定理
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n
n 0 n n
(a b ) C a C a
1 n
N*有
r n
n 1
bC a
2 n r
n2
b
2 n
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
1 4 ( ) 70. x
练习：
x 3 9 ) 的展开式常数项 1、求 ( 3 x
解:
r 9 1 9 r r 2
x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2
1 96 6 T7 C ( ) 3 2268 3
Hale Waihona Puke 3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
6 9
练习：
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 2、求 ( 3 x
x 9 4 3 4 3 T5 T41 C ( ) ( ) 42 x 3 x
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
x 9 5 3 5 T6 T51 C ( ) ( ) 42 x 3 x
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结
一. 二项式定理
二项式定理是一个数学定理，它是指给定的任意非负整数n和任意实数a，则杨辉三角中的第n行和第m项中的元素之和为：
(a+b)^n = ΣC(n,m)a^(n-m)b^m,m=0,1,...,n
二. 特点
1. 如果a=1和b=1，可以理解为杨辉三角公式，
C(n,m)=(n,m)=(n!)/(m!(n-m)!),C(n,m)是组合数；
2. 当n=m时，它可以被称为勒贝格定理；
3. 二项式定律的作用是可以用来计算出多项式的值，和实现多项式的数学推导；
三. 应用
1. 二项式定理可以用来求解二次函数y=x^2+ax+b在满足a^2-4b<0时，其极值与极点，同时还能应用于多项式的展开和逻辑判断；
2. 应用于光度学问题，二项式函数可以用来表达连续发射物质的浓度与位置之间的关系；
3. 在概率论和数论中，二项式定理用于求解有限次试验概率等问题；
4. 在图论中，二项式定理可被用来求解连通图的极大或极小的有向圈
数量；
5. 在微积分中，可以利用它求解一系列数学问题。
高二数学人选修课件二项式定理
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
二项式定理高中
二项式定理高中1. 引言在高中数学中，我们学习了许多重要的数学定理和公式。
其中，二项式定理是一个非常重要且实用的定理，它在代数表达式的展开和组合数学中起着关键作用。
本文将详细介绍二项式定理的定义、推导过程、应用以及相关例题。
2. 定义二项式定理是指对于任意实数a 和b 以及非负整数n ，以下等式成立：(a +b )n =C n 0⋅a n ⋅b 0+C n 1⋅a n−1⋅b 1+C n 2⋅a n−2⋅b 2+...+C n n ⋅a 0⋅b n其中，C n k 表示从n 个元素中选取k 个元素的组合数。
3. 推导过程为了更好地理解二项式定理，我们可以通过数学归纳法来推导它。
首先考虑当n=1时，等式左边为(a +b )1=a +b ，右边为C 10⋅a 1⋅b 0+C 11⋅a 0⋅b 1=a +b 。
两边相等。
假设当n=k 时等式成立，即：(a +b )k =C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
首先展开(a +b )k+1，可以得到：(a +b )k+1=(a +b )⋅(a +b )k根据假设，我们可以将(a +b )k 展开为：(a +b )k+1=(a +b )⋅[C k 0⋅a k ⋅b 0+C k 1⋅a k−1⋅b 1+C k 2⋅a k−2⋅b 2+...+C k k ⋅a 0⋅b k ]展开后，我们可以得到：(a +b )k+1=C k 0⋅a (k+1)⋅b (0+1)+C k 1⋅a (k−1+1)×b (1+1)+......+C (n−2)(n−2)×a (0+2)×b (n−2)+2+⋯+C n−3×a ×b ×(b n )⋯+C n ×(a n )×b 0将上述等式与(a+b)k+1展开的结果进行比较，可以发现每一项都与二项式定理中的对应项相等。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、概念：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二、证明：可以用排列组合的方法证明二项式定理。
考虑对(a+b)^n展开式中每一项的系数，将(a+b)^n表示为n个相加的项，每一项由a和b组成。
可以把这n个项分成若干组，每组的项数k从0到n，且对于固定的k有k个a和n-k个b。
根据组合数的定义，对于每组项数k，其系数为C(n,k)，因此可以得到二项式定理。
三、应用：1.计算组合数：二项式定理可以用来计算组合数。
当a=b=1时，二项式展开后的每一项系数即为对应的组合数。
例如，(1+1)^n=2^n，系数为1,n,n(n-1)/2,n(n-1)(n-2)/6,...，依次为组合数C(n,0),C(n,1),C(n,2),...2. 多项式展开：利用二项式定理，可以方便地展开多项式。
例如，(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^33.计算幂数：二项式定理可以用于计算幂，即对于任意整数m，可以使用二项式定理计算(a+b)^m的展开式，将其中的每一项进行计算，得到每一项的幂数。
4.计算二项式系数：二项式定理可以用来计算二项式系数，即对于给定的a,b和n，可以通过二项式定理展开式中的各项系数得到相应的二项式系数。
五、推广：1.负指数：二项式定理不仅适用于非负整数n，也适用于负指数n，即(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n。
这样可以扩展二项式定理的应用范围。
2. 多变量二项式定理：二项式定理不仅限于两个变量a和b，可以推广到多变量的情况。
高中数学知识点总结---二项式定理5篇
高中数学知识点总结---二项式定理5篇第一篇：高中数学知识点总结---二项式定理高中数学知识点总结---二项式定理0n01n-1rn-rrn0n1.⑴二项式定理：(a+b)n=Cnab+Cnab+Λ+Cnab+Λ+Cnab.展开式具有以下特点：① 项数：共有n+1项；012rn② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,Λ,Cn,Λ,Cn;③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（a+b)n展开式中的第r+1项为：Trn-rrbr+1=Cna(0≤r≤n,r∈Z).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．I.当n是偶数时，中间项是第n2n+1项，它的二项式系数C2n最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第最大.③系数和：Cn+Cn+Λ+Cn=2C024n+Cn+Cn+01nn13n+Cn+n+12项和第n+12n-1n+12n+1项，它们的二项式系数C2n=CΛ=CΛ=2n-1 附：一般来说(ax+by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．⎧Ak≥Ak+1,⎩Ak≥Ak-1⎧Ak≤Ak+1或⎨(Ak为TA≤Ak-1⎩k解.当a≠1或b≠1时，一般采用解不等式组⎨的绝对值）的办法来求解.k+1的系数或系数⑷如何来求(a+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中(a+b+c)=[(a+b)+c]n-rnnp,q,r∈N,且p+q+r=n把rn-rr(a+b)C，另一方面在视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a+b)中含有bq的项为pqrCn-raqn-r-qb=Cn-rabqqpq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的项为(n-r)!n!r!q!p!pqrn-pCrCnCn-rabc.其系数为CnCn-r=rqrqn!r!(n-r)!q!(n-r-q)!⋅==CnC.2.近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2+Cn3a3+Λ+Cnnan很小，可以忽略不计。
高中数学中的二项式定理及其应用
高中数学中的二项式定理及其应用在高中数学中，二项式定理是不可避免的一个重要话题。
二项式定理是指将一个二元式(a+b)的n次幂展开后，各项的系数满足一定规律。
这个定理的重要性不仅在于它本身的理论意义，更在于它的广泛应用。
本文将从二项式定理的基本概念开始，探讨它的应用。
一、二项式定理首先，我们来看一下二项式定理的公式：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + … + C(n,r)aⁿ⁻ʳbr + … +C(n,n)a⁰bⁿ其中，C(n,r)是组合数，它表示从n个元素中取r个元素的方案数，也可以用以下公式表示：C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)例如，C(4,2) = 4!/(2!2!) = 6，表示从{1,2,3,4}这4个元素中取出2个元素的所有方案数为6个。
二项式定理告诉我们，将二元式(a+b)的n次幂展开后，每一项的系数都可以用组合数来表示。
这个规律具有很强的普适性，不论a、b是什么数，n是什么值，都能套用这个定理。
二、二项式系数的性质在实际应用中，二项式系数的性质也是我们需要掌握的。
这里列举几个常见的性质：1.对称性：C(n,r) = C(n,n-r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n个元素中取出n-r个元素的方案数。
这个性质的证明比较简单，可以通过对组合公式的变形来完成。
2.递推关系：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)即从n个元素中取出r个元素的方案数等于从n-1个元素中取出r-1个元素的方案数加上从n-1个元素中取出r个元素的方案数。
这个递推关系非常有用，可以应用于组合恒等式的证明，也可以结合递归算法来解决一些实际问题。
3.二项式系数的对数性质：∑C(n,r) = 2ⁿ即二项式系数C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n)的和等于2的n次幂。
这个性质的证明也比较简单，可以利用二项式定理将(a+b)ⁿ展开来证明。
二项式定理知识点归纳总结
二项式定理知识点归纳总结一、二项式定理公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，叫做二项式系数。
例如(a + b)^2=a^2 +2ab+b^2，这里n = 2，当k = 0时，C_2^0a^2-0b^0=a^2；当k = 1时，C_2^1a^2 -1b^1=2ab；当k = 2时，C_2^2a^2-2b^2=b^2。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k(k = 0,1,·s,n)。
例如在(x+2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5-22^2=10× x^3×4 = 40x^3。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^6中，C_6^2=(6!)/(2!(6 - 2)!)=(6×5)/(2×1)=15，C_6^4=(6!)/(4!(6 -4)!)=(6×5)/(2×1)=15，所以C_6^2 = C_6^4。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)取得最大值；当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n+1)/(2)相等且取得最大值。
- 二项式系数先增大后减小，其增减性由frac{C_n^k}{C_n^k - 1}=(n - k+1)/(k)来判断。
当(n - k + 1)/(k)>1，即k<(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐增大；当(n -k+1)/(k)<1，即k>(n + 1)/(2)时，二项式系数逐渐减小。
高中数学 二项式定理
高中数学二项式定理二项式定理是数学中最重要的定理之一，它帮助我们理解多项式的乘积的意义，并能有效地解决多个公式的问题。
本文将详细论述二项式定理的定义、证明、应用以及其他有关的知识。
二项式定理的定义首先，要熟悉二项式定理的定义，要在掌握一个正确的定义前，了解一些术语的含义，这些术语如下所示：n是一个正整数，(a+b)^n 是指a和b的乘积。
二项式定理可以定义为：当n为非负整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n 其中 nC1, nC2, nC3等，可以用来表示不同的组合概率，这些概率也可以用系数表示。
证明证明二项式定理，最常用的方法就是使用归纳法。
首先，让n=0，此时(a + b)^0 = a^0 + 0C1*a^(-1)*b +0C2*a^(-2)*b^2 + + 0C0*a*b^0 + b^0,据组合系数的定义，可以得出当n=0时，等式成立；再让n=1，此时(a + b)^1 = a^1 + 1C1*a^0*b + 1C2*a^(-1)*b^2 + + 1C1*a*b^1 + b^1,上式可分别把等号左右两边的项目分别累加，再根据组合系数的定义，可以得出当n=1时，等式也成立；以此类推，可以得出当n=2,3,4,…时，等式也成立。
由此可以得出当n为正整数时，(a + b)^n = a^n + nC1*a^(n-1)*b+ nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n立。
由于以上方法只证明了当n为正整数时，等式成立，要想证明当n为非负整数时，等式也成立，那就要用反证法。
假设当n为非负整数时，(a + b)^n a^n + nC1*a^(n-1)*b + nC2*a^(n-2)*b^2 + + nCn-1*a*b^(n-1) + b^n，这意味着当n=0,1,2,3,4,…时，等式都不成立，而前面已经证明了当n=0,1,2,3,4,…时，等式是成立的，因此，这个假设是不正确的，故该等式在n为非负整数的情况下也成立。
二项式定理-高中数学知识点讲解
二项式定理1．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n =푛푖=0∁n i a n﹣i•b i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例 1：用二项式定理估算 1.0110＝ 1.105．（精确到 0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例 2：把( 3푖―푥)10把二项式定理展开，展开式的第 8 项的系数是．解：由题意T8＝C107 × ( 3푖)3 × ( ―1)7 = 120×3 3i＝360 3i．故答案为：360 3i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1 项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：1/ 2① ；②； （5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第 n +1 项 叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的 项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应 用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第 r +1 项，该项的二项式系数是∁n r ；（2）字母 b 的次数和组合数的上标相同；（3）a 与 b 的次数之和为 n ．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；푛 + 1（2）增减性与最大值：当 k ＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且2푛푛―1 푛+1 在中间取最大值．当 n 为偶数时，则中间一项퐶푛的二项式系数最大；当 n 为奇数时，则中间的两项퐶푛 ，퐶푛相 2 2 2 等，且同时取得最大值．2 / 2。
二项式定理公式规律
二项式定理公式规律一、二项式定理公式。
(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^k a^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈ N^*。
二、公式规律。
（一）二项展开式的项数。
1. 规律。
- 对于(a + b)^n的展开式，共有n+1项。
例如(a + b)^3=a^3 + 3a^2b+3ab^2 +b^3，这里n = 3，展开式有3 + 1=4项。
2. 理解。
- 展开式的项数与指数n有关，从k = 0到k=n，一共n+1个取值，所以有n + 1项。
（二）二项展开式的通项公式。
1. 规律。
- 二项展开式的通项公式为T_k+1=C_n^k a^n - kb^k（k = 0,1,·s,n）。
例如在(x+2)^5中，a=x，b = 2，n = 5，其通项公式T_k + 1=C_5^k x^5 - k2^k。
2. 理解。
- 通项公式表示展开式中的任意一项。
通过确定k的值，可以得到展开式中特定的项。
它是研究二项式展开式性质的重要工具。
（三）二项式系数的规律。
1. 对称性。
- 规律。
- 二项式系数C_n^k具有对称性，即C_n^k=C_n^n - k。
例如在(a + b)^5的展开式中，C_5^1 = C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 理解。
- 从组合数的定义来看，从n个元素中选k个元素的组合数与从n个元素中选n - k个元素的组合数是相等的。
在二项展开式中，这意味着距离首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 规律。
- 当n为偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
- 二项式系数先增大后减小。
对于(a + b)^n，二项式系数C_n^k随着k从0到n变化时，当k<(n)/(2)（n为偶数）或k<(n - 1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递增；当k>(n)/(2)（n为偶数）或k>(n+1)/(2)（n为奇数）时，C_n^k单调递减。
高二数学 二项式定理与性质
二项式定理与性质•二项式定理：，它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项.•二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。
•二项式定理的特别提醒：①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。
③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。
二项式定理常见的利用：方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。
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例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
12 ( x a ) 的展开式有13项, 倒数第4项是它的第10项. 解:
T91 C x
9 129 9 12
a 220x a .
3 9
例4、(1)求（1+2x) 的展开式的第4项的系数
7
由9 2r 3, 得r=3.故x 的系数为(-1) C9 84.
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
C a
nr
b
C b
n n
1 4 例1：展开（1＋ ) x
应
用
1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 解（ : 1＋ ) 1 C 4 ( ) C 4 ( ) C 4 ( ) x x x x 4 6 4 1 4 1 4 C4 ( ) 1 2 3 4 . x x x x x
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . 的各项是什么呢？
. .展析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
中间一项是第5项, T41 C x
4 8 4 8
1 9 (2)求（x ) 的展开式中x 3的系数和中间项 x 3 73 3 3 第四项系数为280. 解: (1)T31 C7 1 (2x) 280x 1 r r 9r r r 9 2 r (2)Tr 1 C9 x ( ) (1) C9 x . x3 3 3
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
二项展开式定理
一般地，对于n
n 0 n n
(a b ) C a C a
1 n
N*有
r n
n 1
bC a
2 n r
n2
b
2 n
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 Cnr ： 二项式系数
6 9
练习：
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 2、求 ( 3 x
x 9 4 3 4 3 T5 T41 C ( ) ( ) 42 x 3 x
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
x 9 5 3 5 T6 T51 C ( ) ( ) 42 x 3 x
应 用 1 6 例2： 展 开 (2 x ) ，并求第 3项 的 x 二项式系数和第 6项 的 系 数 1 6 1 6 ) = 3 (2x 1) 解: (2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x
60 12 1 =64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x 2
3 2
C (2x) C (2x) C ]
4 6 2 5 6 6 6
第三项的二项式系数为 C 第六项的系数为
15 5 5 C6 2(1) 12
6
注：1）注意对二项式定理的灵活应用 2）注意区别二项式系数与项的系数的概念 r 二项式系数为 C n ； 项的系数为：二项式系数与数字系数的积 3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将 二项式展开
考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
5 9
3 2
小
结
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数
3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系 数及项
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袍女人,对她说："去和莫悔说壹下吧,这件东西咱要了,看对方要什么东西,咱都可以尽量提供给他.""前辈,这,这恐怕不合规矩."紫袍女人有些尴尬.还没有开始拍卖呢,现在就想私底下,拿下这东西,这不符合天轩阁の规矩.根汉皱眉道："那你就去把前辈给叫来吧,咱自己和他说.""这.%" 紫袍女人有些为难,不过这时候扫地僧正好就出现了,他の神力早就洞察了各处,自然也知道根汉想找他来问个明白.根汉向扫地僧行了壹礼,扫地僧让这紫袍女人先出去了."前辈,还请助咱壹回,这两个女人可能与咱小师妹有关系,咱必须要拿下."根汉说.扫地僧叹道："原来这女人是你小师 妹,看来你小师妹来头不小呀,无心峰上の个个都是疯子,果然不假.""哦?前辈知道这是什么?"根汉有些意外.扫地僧点头道："如果老夫没有猜错の话,这应该就是传说中の,三生体.""三生体."壹旁の安然惊道："是可以活三世の神体?""恩."扫地僧点了点头道："壹般の就是至尊,也最多能 活出第二世,还得历经劫难,可能前期也没有记忆了,会被彻底の抹去.""但是这三生体,自然三生,能活出三世,而且会记得前世,所以壹般の三生体有可能不止活出三世.""借着前两世の修为,有可能会突破天际,飞入仙界."扫地僧道."现在看来,你那小师妹已经到了第三世了,这确实是了不 得."他又说.根汉皱眉道："前辈是说,咱小师妹现在是第三世,这是她の前两世吗?""恩."扫地僧道："应该是这样の,之前就是咱亲自鉴定の这两具冰棺,就是想看看有谁认识这棺中の人,想不到这人竟然是你.""这么说,咱小师妹,还可能真是这三生体质?"根汉也没想到,会是这样の.若真是 这样の话,那他小师妹来头确实是很大呀,三生体质,已经活了两世了,现在是第三世了.若是这第三世,能够突破壹下の话,说不定能够突破进入天の另壹头.根汉问道："前辈,你能看出她の这前两世,是什么修为吗?""现在看不出来,这可能是半仙体了起码."扫地僧摇了摇头："像这样の三生 体,可以称作仙体了,而且是实实在在の仙体,比之那些虚无瞟渺,离咱们太遥远の那些传说要近得多.""古往今来,便有壹些关于三生体の记载,曾经就有三生体突破天际,进入仙界の记载."扫地僧说,"也许你の小师妹,就属于这壹类人物.""原来是这样."根汉点头道："那咱更要将这两口冰 棺给拿下了,要是落在了别人の手里,更不妥当了.""前辈能不能替咱联系或者是引荐壹下此物の主人,咱想拿下这两口冰棺."根汉很坚持,要将这两口冰棺拿下,他怕别人得到了这东西,会做出对棺中の她们,不敬之事.她们是惜夕の前两世の尸体,对惜夕来说,或许有重大の用处,自己不想让 这东西落入旁人之手."这个,咱试壹下吧."扫地僧想了想后说,"你且在这里等咱片刻.""好,辛苦前辈了."根汉道了声谢,有扫地僧做引,或许可以成功の拿下这两口冰棺.扫地僧先行离开了,安然问根汉："你打算拿出什么东西来交换?"外面莫悔已经说出了交换の条件了,此物の主人要求交 换,仙阵.这个条件,让根汉心中为之壹震,自己拥有几角仙阵,可以说是威力强大の仙阵,但是却并不是完整の仙阵.完整の仙阵阵图他是有,但是要布置起来特别困难,需要对方去布置,能不能成自己也不知道.对方需要仙阵来交换,刚刚过了壹会尔,还真就有人提供了仙阵,想让这东西给交换 走.不过莫悔还是收到了扫地僧の消息,莫悔又改口说："感谢大家の参与,此物已经成交了."根汉心中壹跳,也不知道这两口冰棺是不是落到了自己の手里,还是有别人用仙阵给交换走了.他在雅间中焦急の等待着,安然和燕十娘也说了些话安慰他,希望他不要这么着急,而根汉想不着急也不 行,只是表面上还比较淡定,但是心里还是很想知道结果.若真是这样の话,他壹定要找到这个拍走の人,拿东西与他交换,或者是没办法の话,就得出手了."你也别太着急了,应该有办法の."安然见他这么着急,也为根汉担忧.他小师妹想必与他の关系壹定很好,要不然他不会这么上紧,而且身 为准至尊了,还有这样焦急の情绪.根汉点了点头,过了壹会尔后,扫地僧回到了这里.见到扫地僧面带微笑,根汉也松了壹口气,看来是搞定了.（正文贰玖