6.2(问题)线性规划中的参数问题(原卷版)

2018届学科网高三数学成功在我专题六不等式问题二：线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解）,将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试,11】已知,x y满足约束条件20220 220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为（）A．1 2或-1 B．12或2 C.1或2 D．-1或2【答案】D【解析】在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如下图所示的三角形ABC,目标函数z y ax=-可变形为y ax z=+,z的几何意义为直线y ax z=+在y轴上的截距,因为z y ax=-取得最大值的最优解不唯一,所以直线y ax z=+与区域三角形的某一边平行,当直线y ax z=+与边线20x y+-=平行时,1a=-符合题意,当直线y ax z=+与边线220x y--=平行时,12a=不符合题意,直线y ax z=+与边线220x y--=平行时,2a=符合题意,综上所述,实数a的值为1-或2,故选D.【点评】线性规划问题的最优解一般在平面区域的边界顶点处或边界线上,当最优解为边界顶点时,最优解唯一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行,其最优解为边界线段上的所有的点. 【小试牛刀】【凉山州2018届高中毕业班第二次诊断】若实数x, y满足320{2360230x yx yx y--≤+-≥-+≥,且使3c ax y=++取到最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值是（）A.12- B.23C.23或3- D.23-或32．目标函数中y的系数为参数【例2】已知变量,x y满足约束条件23110,480,20,x yx yx y+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a=->的最大值为1,则a= ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示,目标函数过B （4,1）点是取得最大值,∴141a =-⨯,∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ,y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分,易求得)3,2(),2,2(B A ,要目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最小值为2,∴222=+b a ,即1==b a ,∴41)2(2=+≤b a ab ,当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形,最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”,缺一不可．【小试牛刀】【广东省汕头市2017届高三上学期期末】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ,且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-,则实数=a ．4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是( ) A ．[]52,22 B ．(]23,22 C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,0【答案】D ．【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--,区域中A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距离最大,∴要使圆不经过区域D,则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩,即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩,得13x y =⎧⎨=⎩,即(1,3)B ．∴22AC =,25BC =,∴022r <<或25r >,即r 的取值范围是(0,22)(25,)+∞,选D ．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义,即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：()()22z x a y b =-+-,可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方,即()()222PQ x a y b =-+-；也可看成是以(),Q a b 为圆心z 为半径的圆,转换为圆与可行域有无公共点的问题．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数x、y满足20,50,40,x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y+≥+恒成立,则实数a的最小值是．(二)约束条件中含参数由于约束条件中存在参数,∴可行域无法确定,此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值,来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域,从而确定参数的值．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知实数x y，满足不等式组21,0,10,xx y mx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y=-+的最大值不超过4,则实数m的取值范围是（）A．(3,3)-B．[0,3] C.[3,0]-D．[3,3]-【答案】D【解析】由20,10,x y mx y⎧-+=⎨+-=⎩得221212mxmy⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,作出不等式组21,0,10,xx y mx y≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域,分析知当212mx-=,212my+=时,z取得最大值,且2max1122z m=-,又因为max4z≤,解得33m-≤≤,故选D.【点评】约束条件中含有参数时：（1）要对可行域的各种可能情况作出判断,特别注意特殊的线与点；（2）依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；（3）求出参数．【小试牛刀】【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知实数 x y ，满足25035050x y x y kx y k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若目标函数13z x y =+的最小值的7倍与27z x y =+的最大值相等,则实数k 的值为（ ）A ．2B ．1 C.1- D ．2- (三)目标函数及约束条件中均含参数【例6】设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下,目标函数my x z +=的最大值大于2,则m 的取值范围为（ ）．A ．()21,1+B ．()+∞+,21 C ．()3,1 D ．()+∞,3 【答案】B【解析】把目标函数转化为mz x m y +-=1,表示是斜率为m 1-,截距为m z的平行直线系,当截距最大时,z 最大,当过点⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,11m m m 时,截距最大21112>+++∴m m m ,解之得21+>m ． 【小试牛刀】设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3五、迁移运用1．【河南省三门峡市2018届高三上学期期末】若实数x , y 满足20,{, ,x y y x y x b -≥≥≥-+且2z x y =+的最小值为4,则实数b 的值为（ ） A. 1 B. 2C.D. 3 2.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ,满足0022x y -=.则m 的取值范围是（ ）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞ C. 2(,)3-∞- D ．5(,)3-∞-3.【广西柳州市2017届高三10月模拟】不等式组0,0,4,x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩（1k >）所表示平面区域的面积为S ,则1kSk -的最小值等于（ ） A ．30B ．32C ．34D ．364.【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,若z ax y =+的最大值为24a +,最小值为1a +,则实数a 的取值范围为A ．[1,2]-B ．[2,1]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-5.【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】已知0a >,,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y=+的最小值为1,则a =（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 6.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ,若02≥++k y x 恒成立,则实数k 的取值范围为 . 7．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】已知0a >,,x y 满足约束条件13(2)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最大值为112,则a =（ ） A ．14 B ．128.若实数,x y 满足236x ky x y x y --⎧⎪+⎨⎪+-⎩( )A ．1B ．29．变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值集合是（ ）A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-10．设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0－2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时,恒有2ax y +≤成立,则实数a 的取值集合是（ ）A ．(1,1]-B ．(1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞ 12.三个正数a,b,c 满足2a b c a ≤+≤,2b a c b ≤+≤,则ba的取值范围是（ ） A ．23[,]32 B ．2[,2]3 C ．3[1,]2D ．[1,2]13.已知x ,y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]14.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检】若,x y 满足约束条件0,30,30,y x y kx y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≥⎩,且2z x y =-的最大值为4,则实数k 的值为 ．15．【北京市朝阳区2018年高三一模】已知实数,x y 满足10{10 ,1x y x y y +-≥--≤≤若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个,则m 的值为__________．16. 【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】设1m >,变量,x y 在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值为2,则m =________.17．若关于x ,y 的不等式组0, , 10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则k = ．18．【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知x , y 满足约束条件220{20 220x y x y x y --≤+-≤--+≥,若z ax y =+取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__________．19．【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中,若不等式组10{10 10x y x ax y +-≥-≤-+≥（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于1,则a 的值为__________． 20．【福建省漳州市2018届高三上学期期末】已知实数x , y 满足20,{0, 0,x y x y y k +≥-≤≤≤若z x y =+的最大值为4,则z 的最小值为__________．21．若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数k 的取值范是 ．22．若不等式组1026ax y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形,则实数a 的取值范围是_______．。